Équation paraboles est fonction quadratique. Il existe plusieurs options pour construire cette équation. Tout dépend des paramètres présentés dans l'énoncé du problème.

Instructions

Une parabole est une courbe qui ressemble à un arc dans sa forme et est un graphique fonction de puissance. Quelles que soient les caractéristiques d’une parabole, celle-ci est paire. Une telle fonction est appelée paire ; pour toutes les valeurs de l'argument de la définition, lorsque le signe de l'argument change, la valeur ne change pas : f (-x) = f (x) Commencez par la fonction la plus simple : y = x^2. De son apparence, nous pouvons conclure qu'il est à la fois positif et négatif. valeurs négatives argument x. Le point auquel x=0, et en même temps y =0 est considéré comme un point.

Vous trouverez ci-dessous toutes les principales options pour construire cette fonction et son . Comme premier exemple, nous considérons ci-dessous une fonction de la forme : f(x)=x^2+a, où a est un entier. Afin de construire un graphe de cette fonction, il est nécessaire de décaler le graphe de la. fonction f(x) par a unités. Un exemple est la fonction y=x^2+3, où le long de l'axe y, la fonction est décalée de deux unités. Si une fonction de signe opposé est donnée, par exemple y=x^2-3, alors son graphique est décalé vers le bas le long de l'axe y.

Un autre type de fonction pouvant recevoir une parabole est f(x)=(x +a)^2. Dans de tels cas, le graphique, au contraire, se décale le long de l'axe des abscisses (axe des x) d'une unité. Par exemple, on peut considérer les fonctions : y=(x +4)^2 et y=(x-4)^2. Dans le premier cas, où il existe une fonction avec un signe plus, le graphique est décalé le long de l'axe des x vers la gauche et dans le second cas, vers la droite. Tous ces cas sont représentés sur la figure.

Équation d'une droite passant par un point donné en dans ce sens. Équation d'une droite passant par deux points donnés. L'angle entre deux lignes droites. La condition de parallélisme et de perpendiculaire de deux lignes droites. Déterminer le point d'intersection de deux lignes

1. Équation d'une droite passant par un point donné UN(x 1 , oui 1) dans une direction donnée, déterminée par la pente k,

oui - oui 1 = k(x - x 1). (1)

Cette équation définit un crayon de lignes passant par un point UN(x 1 , oui 1), appelé centre du faisceau.

2. Équation d'une droite passant par deux points : UN(x 1 , oui 1) et B(x 2 , oui 2), écrit ainsi :

Le coefficient angulaire d'une droite passant par deux points donnés est déterminé par la formule

3. Angle entre les lignes droites UN Et B est l'angle dont la première ligne droite doit être tournée UN autour du point d'intersection de ces lignes dans le sens inverse des aiguilles d'une montre jusqu'à ce qu'il coïncide avec la deuxième ligne B. Si deux droites sont données par des équations avec une pente

oui = k 1 x + B 1 ,

Donnons deux points M 1 (x 1,y 1) Et M 2 (x 2, y 2). Écrivons l'équation de la droite sous la forme (5), où k coefficient encore inconnu :

Depuis le point M2 appartient à une ligne donnée, alors ses coordonnées satisfont à l'équation (5) : . En l'exprimant à partir d'ici et en la substituant dans l'équation (5), nous obtenons l'équation requise :

Si cette équation peut être réécrite sous une forme plus pratique pour la mémorisation :

(6)

Exemple.Écrivez l'équation d'une droite passant par les points M 1 (1,2) et M 2 (-2,3)

Solution. . En utilisant la propriété de proportion et en effectuant les transformations nécessaires, on obtient équation générale direct:

Angle entre deux droites

Considérons deux lignes droites l1 Et l2:

l1: , , Et

l2: , ,

φ est l'angle entre eux (). D'après la figure 4, il ressort clairement : .

D'ici , ou

À l'aide de la formule (7), vous pouvez déterminer l'un des angles entre les lignes droites. Le deuxième angle est égal à .

Exemple. Deux droites sont données par les équations y=2x+3 et y=-3x+2. trouvez l’angle entre ces lignes.

Solution. D'après les équations, il est clair que k 1 =2 et k 2 =-3. En substituant ces valeurs dans la formule (7), on trouve

. Ainsi, l'angle entre ces lignes est égal à .

Conditions de parallélisme et de perpendiculaire de deux droites

Si droit l1 Et l2 sont parallèles, alors φ=0 Et tgφ=0. de la formule (7), il s'ensuit que , d'où k2 =k1. Ainsi, la condition du parallélisme de deux droites est l’égalité de leurs coefficients angulaires.

Si droit l1 Et l2 sont perpendiculaires, alors φ = π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Ainsi, la condition pour la perpendiculaire de deux droites est que leurs coefficients angulaires soient inverses en grandeur et opposés en signe.

Distance d'un point à une ligne

Théorème. Si un point M(x 0, y 0) est donné, alors la distance à la ligne Ax + Bу + C = 0 est déterminée comme

Preuve. Soit le point M 1 (x 1, y 1) la base d'une perpendiculaire tombant du point M à une droite donnée. Puis la distance entre les points M et M 1 :

Les coordonnées x 1 et y 1 peuvent être trouvées en résolvant le système d'équations :

La deuxième équation du système est l'équation d'une droite passant par un point donné M 0 perpendiculaire à une droite donnée.

Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,

alors, en résolvant, on obtient :

En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :

Le théorème est prouvé.

Exemple. Déterminez l'angle entre les lignes : y = -3x + 7 ; y = 2x + 1.

k 1 = -3 ; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Exemple. Montrer que les droites 3x – 5y + 7 = 0 et 10x + 6y – 3 = 0 sont perpendiculaires.

On trouve : k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, donc les droites sont perpendiculaires.

Exemple. Sont donnés les sommets du triangle A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Trouvez l'équation de la hauteur tirée du sommet C.

On retrouve l'équation du côté AB : ; 4x = 6 ans – 6 ;

2x – 3 ans + 3 = 0 ;

L'équation de hauteur requise a la forme : Ax + By + C = 0 ou y = kx + b.

k= . Alors y = . Parce que la hauteur passe par le point C, alors ses coordonnées satisfont à cette équation : d'où b = 17. Total : .

Réponse : 3x + 2a – 34 = 0.

La distance d'un point à une ligne est déterminée par la longueur de la perpendiculaire tracée du point à la ligne.

Si la ligne est parallèle au plan de projection (h | | P 1), puis afin de déterminer la distance du point UNà une ligne droite h il faut abaisser une perpendiculaire à partir d'un point UNà l'horizontale h.

Considérons davantage exemple complexe, quand la ligne droite prend position générale. Qu'il soit nécessaire de déterminer la distance d'un point Mà une ligne droite UN situation générale.

Tâche de détermination distances entre lignes parallèles est résolu de la même manière que le précédent. Un point est pris sur une ligne et une perpendiculaire en est tracée sur une autre ligne. La longueur d’une perpendiculaire est égale à la distance entre droites parallèles.

Courbe du deuxième ordre est une droite définie par une équation du deuxième degré relative aux coordonnées cartésiennes actuelles. Dans le cas général, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

où A, B, C, D, E, F sont des nombres réels et au moins un des nombres A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Cercle

Centre du cercle– c'est le lieu géométrique des points du plan équidistants d'un point du plan C(a,b).

Le cercle est donné par l'équation suivante :

Où x,y sont les coordonnées d'un point arbitraire sur le cercle, R est le rayon du cercle.

Signe de l'équation d'un cercle

1. Le terme avec x, y est manquant

2. Les coefficients pour x 2 et y 2 sont égaux

Ellipse

Ellipse est appelé le lieu géométrique des points dans un plan, la somme des distances de chacun d'entre eux à partir de deux points donnés de ce plan est appelée foyers (une valeur constante).

L'équation canonique de l'ellipse :

X et y appartiennent à l'ellipse.

a – demi-grand axe de l'ellipse

b – demi-petit axe de l'ellipse

L'ellipse a 2 axes de symétrie OX et OU. Les axes de symétrie d'une ellipse sont ses axes, le point de leur intersection est le centre de l'ellipse. L'axe sur lequel se situent les foyers s'appelle axe focal. Le point d'intersection de l'ellipse avec les axes est le sommet de l'ellipse.

Taux de compression (tension) : ε = s/a– l'excentricité (caractérise la forme de l'ellipse), plus elle est petite, moins l'ellipse s'étend le long de l'axe focal.

Si les centres de l'ellipse ne sont pas au centre C(α, β)

Hyperbole

Hyperbole est appelé lieu géométrique des points d'un plan, la valeur absolue de la différence des distances dont chacune à partir de deux points donnés de ce plan, appelés foyers, est une valeur constante différente de zéro.

Équation canonique de l'hyperbole

Une hyperbole a 2 axes de symétrie :

a – vrai demi-axe de symétrie

b – demi-axe de symétrie imaginaire

Asymptotes d'une hyperbole :

Parabole

Parabole est le lieu des points du plan équidistants d'un point F donné, appelé foyer, et d'une droite donnée, appelée directrice.

L'équation canonique d'une parabole :

У 2 =2рх, où р est la distance du foyer à la directrice (paramètre de la parabole)

Si le sommet de la parabole est C (α, β), alors l'équation de la parabole (y-β) 2 = 2р(x-α)

Si l'axe focal est pris comme axe des ordonnées, alors l'équation de la parabole prendra la forme : x 2 =2qу

Équation d'une droite sur un plan.
Le vecteur direction est droit. Vecteur normal

Une ligne droite sur un avion est l'une des plus simples formes géométriques, familier depuis classes juniors, et aujourd'hui nous apprendrons comment y faire face en utilisant les méthodes de géométrie analytique. Pour maîtriser la matière, il faut être capable de construire une ligne droite ; savoir quelle équation définit une droite, en particulier une droite passant par l'origine des coordonnées et des droites parallèles aux axes de coordonnées. Ces informations peut être trouvé dans le manuel Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires, je l'ai créé pour Matan, mais la section sur la fonction linéaire s'est avérée très réussie et détaillée. Alors, chères théières, réchauffez-vous d'abord là-bas. De plus, vous devez avoir des connaissances de base sur vecteurs, sinon la compréhension du matériel sera incomplète.

Sur cette leçon Nous examinerons les façons dont vous pouvez créer une équation d’une droite sur un plan. Je recommande de ne pas négliger les exemples pratiques (même si cela semble très simple), puisque je leur fournirai des éléments élémentaires et faits importants, méthodes techniques, qui sera exigé à l'avenir, y compris dans d'autres sections de mathématiques supérieures.

• Comment écrire l’équation d’une droite avec un coefficient d’angle ?
• Comment ?
• Comment trouver un vecteur directeur en utilisant l'équation générale d'une droite ?
• Comment écrire l’équation d’une droite étant donné un point et un vecteur normal ?

et on commence :

Équation d'une droite avec pente

La forme « scolaire » bien connue d’une équation en ligne droite s’appelle équation d'une droite avec pente. Par exemple, si une droite est donnée par l’équation, alors sa pente: . Considérons signification géométrique de ce coefficient et comment sa valeur affecte l'emplacement de la ligne :

Dans un cours de géométrie, il est prouvé que la pente de la droite est égale à tangente de l'angle entre la direction de l'axe positifet cette ligne: , et l'angle se « dévisse » dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Afin de ne pas encombrer le dessin, j'ai dessiné des angles uniquement pour deux lignes droites. Considérons la ligne « rouge » et sa pente. D'après ce qui précède : (l'angle « alpha » est indiqué par un arc vert). Pour la droite « bleue » avec le coefficient d'angle, l'égalité est vraie (l'angle « bêta » est indiqué par un arc marron). Et si la tangente de l'angle est connue, alors si nécessaire, elle est facile à trouver et le coin lui-même en utilisant fonction inverse– arctangente. Comme on dit, une table trigonométrique ou une microcalculatrice entre les mains. Ainsi, le coefficient angulaire caractérise le degré d'inclinaison de la droite par rapport à l'axe des abscisses.

Les cas suivants sont possibles :

1) Si la pente est négative : alors la droite va grosso modo du haut vers le bas. Des exemples sont les lignes droites « bleues » et « framboise » du dessin.

2) Si la pente est positive : alors la droite va du bas vers le haut. Exemples - lignes droites « noires » et « rouges » dans le dessin.

3) Si la pente est nulle : , alors l'équation prend la forme , et la droite correspondante est parallèle à l'axe. Un exemple est la ligne droite « jaune ».

4) Pour une famille de droites parallèles à un axe (il n'y a pas d'exemple sur le dessin, à part l'axe lui-même), le coefficient angulaire n'existe pas (la tangente de 90 degrés n'est pas définie).

Plus le coefficient de pente en valeur absolue est élevé, plus le graphique en ligne droite est raide..

Par exemple, considérons deux lignes droites. Ici donc, la ligne droite a une pente plus forte. Je vous rappelle que le module permet d'ignorer le signe, nous ne nous intéressons qu'à valeurs absolues coefficients angulaires.

À son tour, une ligne droite est plus raide que les lignes droites .

A l’inverse : plus le coefficient de pente en valeur absolue est petit, plus la droite est plate.

Pour les lignes droites l'inégalité est vraie, donc la droite est plus plate. Toboggan pour enfants, pour ne pas vous donner de bleus et de bosses.

Pourquoi est-ce nécessaire ?

Prolongez votre tourment La connaissance des faits ci-dessus vous permet de voir immédiatement vos erreurs, en particulier les erreurs lors de la construction de graphiques - si le dessin s'avère être « manifestement quelque chose qui ne va pas ». Il est conseillé que vous tout de suite il était clair que, par exemple, la ligne droite est très raide et va de bas en haut, et la ligne droite est très plate, pressée près de l'axe et va de haut en bas.

Dans les problèmes géométriques, plusieurs lignes droites apparaissent souvent, il est donc pratique de les désigner d'une manière ou d'une autre.

Désignations: les lignes droites sont désignées en petites lettres latines : . Une option populaire consiste à les désigner en utilisant la même lettre avec des indices naturels. Par exemple, les cinq lignes que nous venons d’examiner peuvent être désignées par .

Puisque toute ligne droite est déterminée de manière unique par deux points, elle peut être désignée par ces points : etc. La désignation implique clairement que les points appartiennent à la ligne.

Il est temps de s'échauffer un peu :

Comment écrire l’équation d’une droite avec un coefficient d’angle ?

Si un point appartenant à une certaine ligne et le coefficient angulaire de cette ligne sont connus, alors l'équation de cette ligne est exprimée par la formule :

Exemple 1

Écrivez une équation pour une droite avec une pente si l’on sait que le point appartient à la droite donnée.

Solution: Composons l'équation de la droite en utilisant la formule . DANS dans ce cas:

Répondre:

Examen se fait simplement. Tout d’abord, nous examinons l’équation résultante et nous assurons que notre pente est en place. Deuxièmement, les coordonnées du point doivent satisfaire à cette équation. Branchons-les dans l'équation :

L'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que le point satisfait l'équation résultante.

Conclusion: L'équation a été trouvée correctement.

Un exemple plus délicat à résoudre par vous-même :

Exemple 2

Écrivez une équation pour une droite si l'on sait que son angle d'inclinaison par rapport à la direction positive de l'axe est et que le point appartient à cette droite.

Si vous rencontrez des difficultés, relisez le matériel théorique. Plus précisément, plus pratique, je passe à côté de nombreuses preuves.

Ça a sonné dernier appel, la fête de remise des diplômes est passée, et devant les portes de notre école natale, la géométrie analytique elle-même nous attend. Les blagues sont finies... Ou peut-être qu'ils ne font que commencer =)

Nous agitons avec nostalgie notre plume vers le familier et nous familiarisons avec l'équation générale d'une ligne droite. Car en géométrie analytique, c’est exactement ce qui est utilisé :

L'équation générale d'une droite a la forme: , où sont quelques chiffres. Parallèlement, les coefficients simultanément ne sont pas égaux à zéro, puisque l’équation perd son sens.

Habillons-nous en costume et lions l'équation avec le coefficient de pente. Tout d’abord, déplaçons tous les termes vers la gauche :

Le terme avec un « X » doit être mis en première place :

En principe, l'équation a déjà la forme , mais selon les règles de l'étiquette mathématique, le coefficient du premier terme (dans ce cas) doit être positif. Changement de signes :

N'oubliez pas cette particularité technique ! On rend le premier coefficient (le plus souvent) positif !

En géométrie analytique, l'équation d'une droite sera presque toujours donnée sous la forme forme générale. Eh bien, si nécessaire, il peut être facilement réduit à la forme « école » avec un coefficient angulaire (à l'exception des droites parallèles à l'axe des ordonnées).

Demandons-nous quoi assez savez-vous construire une ligne droite ? Deux points. Mais pour en savoir plus sur cet incident d'enfance, nous nous en tenons désormais à la règle des flèches. Chaque ligne droite a une pente bien spécifique, à laquelle il est facile de « s’adapter ». vecteur.

Un vecteur parallèle à une ligne est appelé vecteur directeur de cette ligne.. Il est évident que toute ligne droite a un nombre infini de vecteurs directeurs, et tous seront colinéaires (codirectionnels ou non - cela n'a pas d'importance).

Je désignerai le vecteur direction comme suit : .

Mais un seul vecteur ne suffit pas pour construire une droite ; le vecteur est libre et n’est lié à aucun point du plan. Par conséquent, il est également nécessaire de connaître un point appartenant à la ligne.

Comment écrire l’équation d’une droite à l’aide d’un point et d’un vecteur directeur ?

Si un certain point appartenant à une ligne et le vecteur directeur de cette ligne sont connus, alors l'équation de cette ligne peut être compilée à l'aide de la formule :

On l'appelle parfois équation canonique de la droite .

Que faire quand une des coordonnées est égal à zéro, nous le comprendrons dans des exemples pratiques ci-dessous. Au fait, veuillez noter - les deux à la fois les coordonnées ne peuvent pas être égales à zéro, puisque le vecteur zéro ne spécifie pas de direction spécifique.

Exemple 3

Écrire une équation pour une ligne droite en utilisant un point et un vecteur directeur

Solution: Composons l'équation d'une droite en utilisant la formule. Dans ce cas:

En utilisant les propriétés de proportion on se débarrasse des fractions :

Et nous ramenons l'équation à aspect général:

Répondre:

En règle générale, il n'est pas nécessaire de faire un dessin dans de tels exemples, mais par souci de compréhension :

Dans le dessin, nous voyons le point de départ, le vecteur directeur d'origine (il peut être tracé à partir de n'importe quel point du plan) et la ligne droite construite. À propos, dans de nombreux cas, il est plus pratique de construire une ligne droite à l'aide d'une équation avec un coefficient angulaire. Il est facile de transformer notre équation en forme et de sélectionner facilement un autre point pour construire une ligne droite.

Comme indiqué au début du paragraphe, une ligne droite a une infinité de vecteurs directeurs, et tous sont colinéaires. Par exemple, j'ai dessiné trois de ces vecteurs : . Quel que soit le vecteur directeur choisi, le résultat sera toujours la même équation en ligne droite.

Créons une équation d'une droite en utilisant un point et un vecteur directeur :

Résoudre la proportion :

Divisez les deux côtés par –2 et obtenez l’équation familière :

Les personnes intéressées peuvent tester les vecteurs de la même manière ou tout autre vecteur colinéaire.

Résolvons maintenant le problème inverse :

Comment trouver un vecteur directeur en utilisant l'équation générale d'une droite ?

Très simple :

Si une ligne est donnée par une équation générale dans un système de coordonnées rectangulaires, alors le vecteur est le vecteur direction de cette ligne.

Exemples de recherche de vecteurs directeurs de lignes droites :

L’énoncé nous permet de trouver un seul vecteur directeur parmi un nombre infini, mais nous n’en avons pas besoin de plus. Bien que dans certains cas il soit conseillé de réduire les coordonnées des vecteurs directeurs :

Ainsi, l'équation spécifie une ligne droite parallèle à l'axe et les coordonnées du vecteur de direction résultant sont commodément divisées par –2, obtenant exactement le vecteur de base comme vecteur de direction. Logique.

De même, l'équation spécifie une ligne droite parallèle à l'axe, et en divisant les coordonnées du vecteur par 5, on obtient le vecteur ort comme vecteur direction.

Maintenant, faisons-le vérification de l'exemple 3. L'exemple a augmenté, je vous rappelle donc que nous y avons compilé l'équation d'une droite en utilisant un point et un vecteur direction

Premièrement, à l'aide de l'équation de la droite on reconstruit son vecteur direction : – tout va bien, nous avons reçu le vecteur original (dans certains cas le résultat peut être un vecteur colinéaire à celui d'origine, et cela se remarque généralement facilement par la proportionnalité des coordonnées correspondantes).

Deuxièmement, les coordonnées du point doivent satisfaire l'équation. Nous les substituons dans l'équation :

L'égalité correcte a été obtenue, ce dont nous sommes très heureux.

Conclusion: La tâche a été accomplie correctement.

Exemple 4

Écrire une équation pour une ligne droite en utilisant un point et un vecteur directeur

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon. Il est fortement conseillé de vérifier à l’aide de l’algorithme qui vient d’être évoqué. Essayez de toujours (si possible) vérifier un brouillon. C’est stupide de faire des erreurs là où elles peuvent être évitées à 100 %.

Dans le cas où l'une des coordonnées du vecteur directeur est nulle, procédez très simplement :

Exemple 5

Solution: La formule ne convient pas puisque le dénominateur du côté droit est zéro. Il y a un moyen de s'en sortir ! En utilisant les propriétés de proportion, nous réécrivons la formule sous la forme, et le reste roule le long d'une ornière profonde :

Répondre:

Examen:

1) Restaurer le vecteur directeur de la droite :
– le vecteur résultant est colinéaire au vecteur directeur d’origine.

2) Remplacez les coordonnées du point dans l'équation :

L'égalité correcte est obtenue

Conclusion: tâche terminée correctement

La question se pose, pourquoi s'embêter avec la formule s'il existe une version universelle qui fonctionnera dans tous les cas ? Il y a deux raisons. Premièrement, la formule se présente sous la forme d'une fraction on s'en souvient beaucoup mieux. Et deuxièmement, l’inconvénient de la formule universelle est que le risque de confusion augmente considérablement lors du remplacement des coordonnées.

Exemple 6

Écrivez une équation pour une ligne droite en utilisant un point et un vecteur directeur.

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même.

Revenons aux deux points omniprésents :

Comment écrire l’équation d’une droite à l’aide de deux points ?

Si deux points sont connus, alors l'équation d'une droite passant par ces points peut être compilée à l'aide de la formule :

En fait, c'est un type de formule et voici pourquoi : si deux points sont connus, alors le vecteur sera le vecteur direction de la ligne donnée. En classe Vecteurs pour les nuls nous avons considéré tâche la plus simple– comment trouver les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points. D’après ce problème, les coordonnées du vecteur direction sont :

Note : les points peuvent être « échangés » et la formule peut être utilisée . Une telle solution sera équivalente.

Exemple 7

Écrire l'équation d'une droite en utilisant deux points .

Solution: On utilise la formule :

Peigner les dénominateurs :

Et mélangez le jeu :

Il est maintenant temps de se débarrasser des nombres fractionnaires. Dans ce cas, vous devez multiplier les deux côtés par 6 :

Ouvrez les parenthèses et rappelez-vous l’équation :

Répondre:

Examen est évident - les coordonnées des points initiaux doivent satisfaire l'équation résultante :

1) Remplacez les coordonnées du point :

Une véritable égalité.

2) Remplacez les coordonnées du point :

Une véritable égalité.

Conclusion: L'équation de la droite est écrite correctement.

Si au moins un des points ne satisfait pas à l’équation, recherchez une erreur.

Il convient de noter que la vérification graphique dans ce cas est difficile, car construire une ligne droite et voir si les points lui appartiennent , pas si simple.

Je noterai quelques aspects techniques supplémentaires de la solution. Peut-être que dans ce problème, il est plus rentable d'utiliser la formule miroir et, aux mêmes points faire une équation :

Moins de fractions. Si vous le souhaitez, vous pouvez effectuer la solution jusqu'au bout, le résultat devrait être la même équation.

Le deuxième point est d’examiner la réponse finale et de déterminer si elle peut être davantage simplifiée ? Par exemple, si vous obtenez l’équation , alors il convient de la réduire par deux : – l’équation définira la même droite. Cependant, c'est déjà un sujet de conversation sur position relative des lignes.

Ayant reçu la réponse dans l'exemple 7, juste au cas où, j'ai vérifié si TOUS les coefficients de l'équation sont divisibles par 2, 3 ou 7. Cependant, le plus souvent, de telles réductions sont effectuées lors de la solution.

Exemple 8

Écrire une équation pour une droite passant par les points .

Ceci est un exemple de solution indépendante, qui vous permettra de mieux comprendre et pratiquer les techniques de calcul.

Semblable au paragraphe précédent : si dans la formule l'un des dénominateurs (la coordonnée du vecteur directeur) devient nul, puis on le réécrit sous la forme . Encore une fois, remarquez à quel point elle a l’air maladroite et confuse. Je ne vois pas l'intérêt de donner des exemples pratiques, puisque nous avons déjà effectivement résolu ce problème (voir n° 5, 6).

Vecteur normal direct (vecteur normal)

Qu'est-ce qui est normal ? En mots simples, la normale est perpendiculaire. Autrement dit, le vecteur normal d’une ligne est perpendiculaire à une ligne donnée. Évidemment, toute droite en possède un nombre infini (ainsi que des vecteurs directeurs), et tous les vecteurs normaux de la droite seront colinéaires (codirectionnels ou non, cela ne fait aucune différence).

Les gérer sera encore plus facile qu'avec des vecteurs guides :

Si une ligne est donnée par une équation générale dans un système de coordonnées rectangulaires, alors le vecteur est le vecteur normal de cette ligne.

Si les coordonnées du vecteur directeur doivent être soigneusement « extraites » de l'équation, alors les coordonnées du vecteur normal peuvent être simplement « supprimées ».

Le vecteur normal est toujours orthogonal au vecteur directeur de la ligne. Vérifions l'orthogonalité de ces vecteurs en utilisant produit scalaire:

Je vais donner des exemples avec les mêmes équations que pour le vecteur direction :

Est-il possible de construire une équation d’une droite étant donné un point et un vecteur normal ? Je le ressens dans mes tripes, c’est possible. Si le vecteur normal est connu, alors la direction de la ligne droite elle-même est clairement définie - il s'agit d'une « structure rigide » avec un angle de 90 degrés.

Comment écrire l’équation d’une droite étant donné un point et un vecteur normal ?

Si un certain point appartenant à une droite et le vecteur normal de cette droite sont connus, alors l'équation de cette droite est exprimée par la formule :

Ici, tout s'est déroulé sans fractions ni autres surprises. C'est notre vecteur normal. Aimez-le. Et respect =)

Exemple 9

Écrivez l'équation d'une droite étant donné un point et un vecteur normal. Trouvez le vecteur direction de la ligne.

Solution: On utilise la formule :

L’équation générale de la droite a été obtenue, vérifions :

1) « Supprimer » les coordonnées du vecteur normal de l'équation : – oui, en effet, le vecteur original a été obtenu à partir de la condition (ou un vecteur colinéaire doit être obtenu).

2) Vérifions si le point satisfait l'équation :

Une véritable égalité.

Une fois que nous serons convaincus que l’équation est correctement composée, nous terminerons la deuxième partie de la tâche, la plus simple. On sort le vecteur directeur de la droite :

Répondre:

Sur le dessin, la situation ressemble à ceci :

À des fins de formation, une tâche similaire à résoudre de manière indépendante :

Exemple 10

Écrivez l'équation d'une droite étant donné un point et un vecteur normal. Trouvez le vecteur direction de la ligne.

La dernière partie de la leçon sera consacrée aux choses moins courantes, mais aussi espèce importanteéquations d'une droite sur un plan

Équation d'une droite en segments.
Équation d'une droite sous forme paramétrique

L'équation d'une droite en segments a la forme , où sont des constantes non nulles. Certains types d'équations ne peuvent pas être représentés sous cette forme, par exemple la proportionnalité directe (puisque le terme libre est égal à zéro et qu'il n'y a aucun moyen d'en obtenir un du côté droit).

Il s’agit, au sens figuré, d’une équation de type « technique ». Une tâche courante consiste à représenter l'équation générale d'une droite comme une équation d'une droite en segments. En quoi est-ce pratique ? L'équation d'une droite en segments permet de retrouver rapidement les points d'intersection d'une droite avec axes de coordonnées, ce qui peut être très important dans certains problèmes de mathématiques supérieures.

Trouvons le point d'intersection de la ligne avec l'axe. On réinitialise le « y » et l’équation prend la forme . Le point souhaité est obtenu automatiquement : .

Idem avec l'axe – le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Cet article révèle comment obtenir l'équation d'une droite passant par deux points donnés dans un système de coordonnées rectangulaires situé sur un plan. Dérivons l'équation d'une droite passant par deux points donnés dans un système de coordonnées rectangulaires. Nous montrerons et résoudrons clairement plusieurs exemples liés à la matière abordée.

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Avant d’obtenir l’équation d’une droite passant par deux points donnés, il faut prêter attention à certains faits. Il existe un axiome qui dit que par deux points divergents sur un plan, il est possible de tracer une ligne droite et une seule. Autrement dit, deux points donnés sur un plan sont définis par une droite passant par ces points.

Si le plan est défini par le système de coordonnées rectangulaires Oxy, alors toute ligne droite qui y est représentée correspondra à l'équation d'une ligne droite sur le plan. Il existe également un lien avec le vecteur directeur de la droite. Ces données sont suffisantes pour établir l'équation d'une droite passant par deux points donnés.

Regardons un exemple de résolution d'un problème similaire. Il est nécessaire de créer une équation pour une droite a passant par deux points divergents M 1 (x 1, y 1) et M 2 (x 2, y 2), situés dans le repère cartésien.

Dans l'équation canonique d'une ligne sur un plan, ayant la forme x - x 1 a x = y - y 1 a y, un système de coordonnées rectangulaires O x y est spécifié avec une ligne qui le coupe en un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1) avec un vecteur guide a → = (a x , a y) .

Il faut rédiger équation canonique droite a, qui passera par deux points de coordonnées M 1 (x 1, y 1) et M 2 (x 2, y 2).

La droite a a un vecteur directeur M 1 M 2 → de coordonnées (x 2 - x 1, y 2 - y 1), puisqu'elle coupe les points M 1 et M 2. Nous avons obtenu les données nécessaires afin de transformer l'équation canonique avec les coordonnées du vecteur directeur M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) et les coordonnées des points M 1 se trouvant dessus (x 1, y 1) et M 2 (x 2 , y 2) . On obtient une équation de la forme x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ou x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Considérez la figure ci-dessous.

Suite aux calculs, on note les équations paramétriques d'une droite sur un plan qui passe par deux points de coordonnées M 1 (x 1, y 1) et M 2 (x 2, y 2). On obtient une équation de la forme x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ou x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Examinons de plus près la résolution de plusieurs exemples.

Exemple 1

Écrivez l'équation d'une droite passant par 2 points donnés de coordonnées M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Solution

L'équation canonique d'une ligne se coupant en deux points de coordonnées x 1, y 1 et x 2, y 2 prend la forme x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. D'après les conditions du problème, on a que x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Il est nécessaire de substituer les valeurs numériques dans l'équation x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. De là, nous obtenons que l'équation canonique prend la forme x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Réponse : x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Si vous avez besoin de résoudre un problème avec un type d'équation différent, vous pouvez d'abord passer à l'équation canonique, car il est plus facile d'en passer à une autre.

Exemple 2

Composez l'équation générale d'une droite passant par des points de coordonnées M 1 (1, 1) et M 2 (4, 2) dans le système de coordonnées O x y.

Solution

Tout d’abord, vous devez écrire l’équation canonique d’une droite donnée qui passe par deux points donnés. On obtient une équation de la forme x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Amenons l'équation canonique à la forme souhaitée, nous obtenons alors :

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Répondre: x - 3 oui + 2 = 0 .

Des exemples de telles tâches ont été discutés dans les manuels scolaires pendant les cours d'algèbre. Les problèmes scolaires différaient en ce que l'équation d'une droite avec un coefficient d'angle était connue, ayant la forme y = k x + b. Si vous avez besoin de trouver la valeur de la pente k et le nombre b pour lesquels l'équation y = k x + b définit une droite dans le système O x y qui passe par les points M 1 (x 1, y 1) et M 2 ( x 2, y 2) , où x 1 ≠ x 2. Quand x 1 = x 2 , alors le coefficient angulaire prend la valeur de l'infini, et la droite M 1 M 2 est définie par le général équation incomplète de la forme x - x 1 = 0 .

Parce que les points M1 Et M2 sont sur une ligne droite, alors leurs coordonnées satisfont à l'équation y 1 = k x 1 + b et y 2 = k x 2 + b. Il faut résoudre le système d'équations y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b pour k et b.

Pour ce faire, on trouve k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ou k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = oui 2 - oui 2 - oui 1 x 2 - x 1 x 2 .

Avec ces valeurs de k et b, l'équation d'une droite passant par les deux points donnés devient y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ou y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Souviens-toi de ça tout de suite quantité énorme les formules ne fonctionneront pas. Pour ce faire, il est nécessaire d’augmenter le nombre de répétitions dans la résolution de problèmes.

Exemple 3

Notez l'équation d'une droite à coefficient angulaire passant par des points de coordonnées M 2 (2, 1) et y = k x + b.

Solution

Pour résoudre le problème, nous utilisons une formule avec une pente, qui a la forme y = k x + b. Les coefficients k et b doivent prendre une valeur telle que équation donnée correspondait à une droite passant par deux points de coordonnées M 1 (- 7, - 5) et M 2 (2, 1).

Points M1 Et M2 sont situés sur une ligne droite, alors leurs coordonnées doivent faire de l'équation y = k x + b une vraie égalité. De là, nous obtenons que - 5 = k · (- 7) + b et 1 = k · 2 + b. Combinons l'équation dans le système - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b et résolvons.

Lors de la substitution, nous obtenons cela

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Maintenant, les valeurs k = 2 3 et b = - 1 3 sont substituées dans l'équation y = k x + b. Nous constatons que l'équation requise passant par les points donnés sera une équation de la forme y = 2 3 x - 1 3 .

Cette méthode de solution prédétermine les dépenses grande quantité temps. Il existe une manière de résoudre le problème en deux étapes.

Écrivons l'équation canonique de la droite passant par M 2 (2, 1) et M 1 (- 7, - 5), ayant la forme x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Passons maintenant à l'équation de la pente. On obtient que : x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Réponse : y = 2 3 x - 1 3 .

Si dans l'espace tridimensionnel il existe un système de coordonnées rectangulaires O x y z avec deux points donnés non coïncidants avec les coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2, y 2, z 2), le droite M passant par eux 1 M 2 , il faut obtenir l'équation de cette droite.

Nous avons ces équations canoniques de la forme x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z et des équations paramétriques de la forme x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ sont capables de définir une ligne dans le système de coordonnées O x y z, passant par des points ayant des coordonnées (x 1, y 1, z 1) avec un vecteur directeur a → = (a x, a y, a z).

Droit M 1 M 2 a un vecteur directeur de la forme M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), où la droite passe par le point M 1 (x 1, y 1, z 1) et M 2 (x 2 , y 2 , z 2), donc l'équation canonique peut être de la forme x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ou x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, à son tour paramétrique x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ou x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Considérons un dessin qui montre 2 points donnés dans l'espace et l'équation d'une ligne droite.

Exemple 4

Écrivez l'équation d'une droite définie dans un système de coordonnées rectangulaires O x y z d'un espace tridimensionnel, passant par deux points donnés de coordonnées M 1 (2, - 3, 0) et M 2 (1, - 3, - 5).

Solution

Il faut trouver l'équation canonique. Puisque nous parlons d'espace tridimensionnel, cela signifie que lorsqu'une ligne passe par des points donnés, l'équation canonique souhaitée prendra la forme x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Par condition nous avons que x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Il s'ensuit que les équations nécessaires s'écriront comme suit :

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Réponse : x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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