Pratique pour, après avoir donné une valeur spécifique de la variable indépendante x (argument), calculer la valeur correspondante de la variable dépendante y. Par exemple, si la fonction y = x 2 est donnée, c'est-à-dire f(x) = x 2, alors pour x = 1 on obtient y = 1 2 = 1 ; En bref, cela s'écrit ainsi : f(1) = 1. Pour x = 2 on obtient f(2) = 2 2 = 4, c'est-à-dire y = 4 ; pour x = - 3 on obtient f(- 3) = (- 3) 2 = 9, c'est-à-dire y = 9, etc.
Déjà en 7e année, vous et moi avons commencé à comprendre que dans l'égalité y = f(x) le côté droit, c'est-à-dire l'expression f(x) n'est pas limitée aux quatre cas listés ci-dessus (C, kx, kx + m, x 2).
Par exemple, nous avons déjà rencontré des fonctions par morceaux, c'est-à-dire les fonctions, donné par différentes formules à différents intervalles. Voici une de ces fonctions : y = f(x), où
Vous rappelez-vous comment représenter graphiquement de telles fonctions ? Vous devez d'abord construire une parabole y = x 2 et prendre sa part en x< 0 (левая ветвь параболы, рис. 1), затем надо построить прямую у = 2х и взять ее часть при х >0 (Fig.2). Et enfin, vous devez combiner les deux pièces sélectionnées dans un seul dessin, c'est-à-dire construire sur une seule avion coordonné(voir fig. 3).
Notre tâche est désormais la suivante : reconstituer le stock de fonctions étudiées. DANS vrai vie Il existe des processus décrits par divers modèles mathématiques de la forme y = f(x), pas seulement ceux que nous avons répertoriés ci-dessus. Dans cette section, nous considérerons la fonction y = kx 2, où coefficient k est n'importe quel nombre non nul.
En fait, la fonction y = kx 2 dans un cas vous est un peu familière. Regardez : si k = 1, alors nous obtenons y = x 2 ; Vous avez étudié cette fonction en 7e et vous souvenez probablement que son graphique est une parabole (Fig. 1). Discutons de ce qui se passe à d'autres valeurs du coefficient k.
Considérons deux fonctions : y = 2x 2 et y = 0,5x 2. Faisons un tableau de valeurs pour la première fonction y = 2x 2 :
Construisons les points (0 ; 0), (1 ; 2), (-1 ; 2), (2 ; 8), (-2 ; 8), (1,5 ; 4,5), (-1,5 ; 4,5) sur avion coordonné(Fig.4); ils tracent une certaine ligne, traçons-la (Fig. 5).
Faisons un tableau de valeurs pour la deuxième fonction y = 0,5x 2 :
Construisons les points (0 ; 0), (1 ; 0,5), (-1 ; 0,5), (2 ; 2), (-2 ; 2), C ; 4.5), (-3 ; 4.5) sur le plan de coordonnées (Fig. 6) ; ils tracent une certaine ligne, traçons-la (Fig. 7)
.
Les points montrés sur la Fig. Les figures 4 et 6 sont parfois appelées points de contrôle du graphique de la fonction correspondante.
Comparez les figures 1, 5 et 7. N’est-il pas vrai que les lignes tracées sont similaires ? Chacune d’elles s’appelle une parabole ; dans ce cas, le point (0 ; 0) est appelé le sommet de la parabole, et l'axe y est l'axe de symétrie de la parabole. La « vitesse de déplacement ascendant » des branches de la parabole ou, comme on dit aussi, le « degré d’inclinaison » de la parabole dépend de la valeur du coefficient k. Ceci est clairement visible sur la Fig. 8, où les trois paraboles construites ci-dessus sont situées sur le même plan de coordonnées.
La situation est exactement la même avec toute autre fonction de la forme y = kx 2, où k > 0. Son graphique est une parabole avec un sommet au début coordonnées, les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, et plus elles sont raides, plus le coefficient k est élevé. L'axe y est l'axe de symétrie de la parabole. D'ailleurs, par souci de concision, les mathématiciens disent souvent « parabole y = kx 2 » au lieu de la longue phrase « parabole servant de graphique à la fonction y = kx 2 », et au lieu du terme « axe de symétrie de une parabole », ils utilisent le terme « axe de la parabole ».
Remarquez-vous qu'il y a une analogie avec la fonction y = kx ? Si k > 0, alors le graphique de la fonction y = kx est une droite passant par l'origine des coordonnées (rappelons, on a dit brièvement : droite y = kx), et ici aussi le « degré d'inclinaison » de la droite dépend de la valeur du coefficient k. Ceci est clairement visible sur la Fig. 9, où dans un système de coordonnées sont représentés graphiques fonctions linéaires y = kx pour trois valeurs du coefficient
Revenons à la fonction y = kx 2. Voyons comment cela se passe dans le cas d'un coefficient ft négatif. Construisons, par exemple, un graphique de la fonction
y = - x 2 (ici k = - 1). Créons une table de valeurs :
Marquez les points (0 ; 0), (1 ; -1), (-1 ; -1), (2 ; -4), (-2 ; -4), (3 ; -9), (- 3 ; - 9) sur le plan de coordonnées (Fig. 10) ; ils tracent une certaine ligne, traçons-la (Fig. 11). Il s'agit d'une parabole dont le sommet est au point (0 ; 0), l'axe y est l'axe de symétrie, mais contrairement au cas où k > 0, cette fois les branches de la parabole sont dirigées vers le bas. La situation est similaire pour d'autres valeurs négatives coefficient k.
Ainsi, le graphe d’une fonction est une parabole dont le sommet est à l’origine ; l'axe des y est l'axe de la parabole ; les branches de la parabole sont dirigées vers le haut en k>0 u vers le bas en k<0.
Notons également que la parabole y = kx 2 touche l'axe des x au point (0 ; 0), c'est-à-dire qu'une branche de la parabole passe doucement dans l'autre, comme si elle appuyait contre l'axe des x.
Si construit dans un système de coordonnées graphiques de fonctions y = x 2 et y = - x2, alors il est facile de voir que ces paraboles sont symétriques les unes par rapport aux autres par rapport à l'axe x, ce qui est clairement visible sur la Fig. 12. De la même manière, les paraboles y = 2x 2 et y = - 2x 2 sont symétriques l'une de l'autre par rapport à l'axe des x (ne soyez pas paresseux, construisez-les
deux paraboles dans le même système de coordonnées et assurez-vous que la déclaration est vraie).
En général, le graphique de la fonction y = - f(x) est symétrique au graphique de la fonction y = f(x) par rapport à l'axe des x.
Propriétés de la fonction y = kx 2 pour k > 0
Pour décrire les propriétés de cette fonction, nous nous appuierons sur son modèle géométrique - une parabole (Fig. 13).
1. Puisque pour toute valeur de x la valeur correspondante de y peut être calculée à l'aide de la formule y = kx 2, la fonction est définie en tout point x (pour toute valeur de l'argument x). En bref, cela s'écrit ainsi : le domaine de définition de la fonction est (-oo, +oo), c'est à dire toute la ligne de coordonnées.
2. y = 0 à x = 0 ; y > O à . Cela se voit également sur le graphique de la fonction (il est entièrement situé au-dessus de l'axe des x), mais peut être justifié sans l'aide d'un graphique : si
Alors kx 2 > O comme produit de deux nombres positifs k et x 2 .
3. y = kx 2 - fonction continue. Rappelons que pour l'instant nous considérons ce terme comme synonyme de la phrase « le graphique d'une fonction est une ligne continue qui peut être tracée sans lever le crayon du papier ». Dans les classes supérieures, une interprétation mathématique plus précise du concept de continuité d'une fonction sera donnée, sans s'appuyer sur une illustration géométrique.
4.y/ naim = 0 (atteint à x = 0) ; nai6 n'existe pas.
Rappelons que (/name est plus petite valeur fonctions, et Unaib. - la plus grande valeur de la fonction sur un intervalle donné ; si l'intervalle n'est pas spécifié, alors unaim- et y naib, - respectivement, le plus petit et valeur la plus élevée fonctions dans le domaine de la définition.
5. La fonction y = kx 2 augmente lorsque x > O et diminue lorsque x< 0.
Rappelons que dans le cours d'algèbre de 7e nous avons convenu d'appeler une fonction dont le graphique sur l'intervalle considéré va de gauche à droite comme en « montée », augmentant, et fonction, dont le graphique dans l'intervalle considéré va de gauche à droite, comme en « descente », est décroissant. Plus précisément, on peut dire ceci : la fonction y = f (x) est dite croissante sur l'intervalle X si sur cet intervalle valeur plus élevée l'argument correspond à une valeur de fonction plus grande ; une fonction y = f (x) est dite décroissante sur un intervalle X si sur cet intervalle une plus grande valeur de l'argument correspond à une plus petite valeur de la fonction.
Dans le manuel Algèbre 7, nous avons appelé le processus de liste des propriétés d'une fonction lisant un graphe. Le processus de lecture d’un graphique deviendra progressivement plus riche et plus intéressant à mesure que nous apprendrons de nouvelles propriétés des fonctions. Nous avons discuté des cinq propriétés énumérées ci-dessus en 7e année pour les fonctions que nous y avons étudiées. Ajoutons une nouvelle propriété.
Une fonction y = f(x) est dite bornée ci-dessous si toutes les valeurs de la fonction sont supérieures à un certain nombre. Géométriquement, cela signifie que le graphique de la fonction se situe au-dessus d'un certain droit, parallèle à l'axe des x.
Regardez maintenant : le graphique de la fonction y = kx 2 est situé au-dessus de la droite y = - 1 (ou y = - 2, peu importe) - il est montré sur la Fig. 13. Cela signifie que y - kx2 (k > 0) est une fonction bornée par le bas.
Outre les fonctions délimitées en dessous, les fonctions délimitées au-dessus sont également prises en compte. Une fonction y - f(x) est dite bornée par le haut si toutes les valeurs de la fonction sont inférieures à un certain nombre. Géométriquement, cela signifie que le graphique de la fonction est situé sous une ligne droite parallèle à l'axe des x.
Existe-t-il une telle droite pour la parabole y = kx 2, où k > 0 ? Non. Cela signifie que la fonction n’est pas limitée en haut.
Nous avons donc une propriété supplémentaire, ajoutons-la aux cinq énumérées ci-dessus.
6. La fonction y = kx 2 (k > 0) est bornée en dessous et non bornée au-dessus.
Propriétés de la fonction y = kx 2 pour k< 0
Pour décrire les propriétés de cette fonction, nous nous appuyons sur sa géométrie modèle- parabole (Fig. 14).
1. Le domaine de définition de la fonction est (-oo, +oo).
2. y = 0 à x = 0 ; à< 0 при .
Z.y = kx 2 - fonction continue.
4. y nai6 = 0 (atteint à x = 0), unaim n'existe pas.
5. La fonction augmente à mesure que x< 0, убывает при х > 0.
6. La fonction est limitée par le haut et non limitée par le bas.
Expliquons la dernière propriété : il existe une droite parallèle à l'axe des x (par exemple, y = 1, elle est dessinée sur la Fig. 14), telle que toute la parabole se trouve en dessous de cette droite ; cela signifie que la fonction est bornée au-dessus. En revanche, il est impossible de tracer une droite parallèle à l'axe des x telle que la parabole entière se situe au dessus de cette droite ; cela signifie que la fonction n'est pas limitée en dessous.
L'ordre des mouvements utilisé ci-dessus pour lister les propriétés d'une fonction n'est pas une loi, tant qu'il s'est développé chronologiquement de cette manière.
Nous développerons progressivement un ordre de mouvements plus ou moins défini et l'unifierons dans le cours d'algèbre de 9e année.
Exemple 1. Trouver les plus petites et les plus grandes valeurs de la fonction y = 2x 2 sur le segment : a) ; b) [- 2, - 1] ; c) [- 1, 1,5].
a) Construisons un graphique de la fonction y = 2x2 et mettons en évidence sa partie sur le segment (Fig. 15). On note que 1/nom. = 0 (atteint à x = 0) et y max = 8 (atteint à x = 2).
b) Construisons un graphique de la fonction y = 2x2 et mettons en évidence sa partie sur le segment [- 2, - 1] (Fig. 16). On note que 2/max = 2 (atteint à x = - 1), et y max = 8 (atteint à x = - 2).
c) Construisons un graphique de la fonction y = 2x2 et mettons en évidence sa partie sur le segment [- 1, 1.5] (Fig. 17). Nous notons que unanm = 0 (atteint à x = 0), et y est le plus atteint au point x = 1,5 ; Calculons cette valeur : (1,5) = 2-1,5 2 = 2-2,25 = 4,5. Donc y max = 4,5.
Exemple 2. Résolvez l'équation - x 2 = 2x - 3.
Solution. Dans le manuel "Algèbre-7", nous avons développé algorithme solution graphique des équations, rappelons-le.
Pour résoudre graphiquement l’équation f(x) = g (x), il vous faut :
1) considérons deux fonctions y = -x 2 et y = 2x -3 ;
2) construire un graphique de la fonction i/ = / (x) ;
3) construire un graphique de la fonction y = g (x) ;
4) trouver les points d'intersection des graphiques construits ; abscis-
Les systèmes de ces points sont les racines de l'équation f(x) = g (x).
Appliquons cet algorithme à équation donnée.
1) Considérons deux fonctions : y = - x2 et y = 2x - 3.
2) Construisons une parabole - un graphique de la fonction y = - x 2 (Fig. 18).
3) Construisons un graphique de la fonction y = 2x - 3. C'est une droite pour la construire, il suffit de trouver deux points quelconques sur le graphique ; Si x = 0, alors y = - 3 ; si x = 1, alors y = -1. Nous avons donc trouvé deux points (0 ; -3) et (1 ; -1). La droite passant par ces deux points (graphique de la fonction y = 2x - 3) est représentée sur le même dessin (voir Fig. 18).
4) D'après le dessin, on constate que la droite et la parabole se coupent en deux points A(1; -1) et B(-3; -9). Moyens, équation donnée a deux racines : 1 et - 3 - ce sont les abscisses des points A et B.
Réponse : 1,-3.
Commentaire. Bien sûr, vous ne pouvez pas vous fier aveuglément aux illustrations graphiques. Peut-être nous semble-t-il simplement que le point A a des coordonnées (1 ; - 1), mais en fait elles sont différentes, par exemple (0,98 ; - 1,01) ?
Il est donc toujours utile de se vérifier soi-même. Ainsi, dans l'exemple considéré, vous devez vous assurer que le point A(1; -1) appartient à la parabole y = - x 2 (c'est simple - remplacez simplement les coordonnées du point A dans la formule y = - x 2 ; nous obtenons - 1 = - 1 2 - égalité numérique correcte) et la droite y = 2x - 3 (et c'est facile - remplacez simplement les coordonnées du point A dans la formule y = 2x - 3 ; nous obtenons - 1 = 2-3 - l'égalité numérique correcte). Il faut faire de même pour le point 8. Cette vérification montre que dans l'équation considérée, les observations graphiques conduisent au résultat correct.
Exemple 3. Résoudre le système
Solution. Transformons la première équation du système sous la forme y = - x 2. Le graphique de cette fonction est une parabole illustrée à la Fig. 18.
Transformons la deuxième équation du système sous la forme y = 2x - 3. Le graphique de cette fonction est la droite représentée sur la Fig. 18.
La parabole et la droite se coupent aux points A (1 ; -1) et B (- 3 ; - 9). Les coordonnées de ces points servent de solutions à un système d'équations donné.
Réponse : (1 ; -1), (-3 ; -9).
Exemple 4. Étant donné une fonction y - f (x), où
Requis:
a) calculer f(-4), f(-2), f(0), f(1.5), f(2), f(3) ;
b) construire un graphique de la fonction ;
c) utiliser un graphique pour lister les propriétés de la fonction.
a) La valeur x = - 4 satisfait à la condition - donc f(-4) doit être calculé en utilisant la première ligne de la définition de la fonction. Nous avons f(x) = - 0,5x2, ce qui signifie f(-4) =. -0,5 . (-4) 2 = -8.
De même on retrouve :
f(-2) = -0,5 .
(-2) 2 =-2;
f(0) = -0,5 .
0 2 = 0.
La valeur satisfait à la condition, elle doit donc être calculée à l'aide de la deuxième ligne de la spécification de la fonction. On a f(x) = x + 1, ce qui signifie 
La valeur x = 1,5 satisfait à la condition 1< х < 2, т. е. f(1,5) надо вычислять по третьей строке задания функции. Имеем f (х) = 2х 2 , значит, f(1,5) = 2-1,5 2 = 4,5.
De même on obtient f(2)= 2 .
2 2 =8.
La valeur x = 3 ne satisfait aucune des trois conditions de spécification de la fonction, et donc f(3) dans dans ce cas ne peut pas être calculé, le point x = 3 n'appartient pas au domaine de définition de la fonction. La tâche de calculer f(3) est incorrecte.
b) Nous allons construire le graphique « pièce par pièce ». Tout d'abord, construisons une parabole y = -0,5x 2 et sélectionnons sa partie sur le segment [-4, 0] (Fig. 19). Ensuite, nous construisons la droite y = x + 1 u. Sélectionnons sa partie sur le demi-intervalle (0, 1] (Fig. 20). Ensuite, nous allons construire une parabole y = 2x2 et sélectionner sa partie sur le demi-intervalle (1, 2] (Fig. 21).
Enfin, nous représenterons les trois « pièces » dans un seul système de coordonnées ; on obtient un graphique de la fonction y = f(x) (Fig. 22).
c) Listons les propriétés de la fonction ou, comme nous avons convenu de dire, lisons le graphique.
1. Le domaine de définition de la fonction est le segment [-4, 2].
2. y = 0 à x = 0 ; y > 0 à 0<х<2;у<0 при - 4 < х < 0.
3. La fonction subit une discontinuité en x = 0.
4. La fonction augmente sur le segment [-4, 2].
5. La fonction est limitée par le bas et par le haut.
6. y max = -8 (atteint à x = -4) ; et la plupart6 . = 8 (atteint à x = 2).
Exemple 5. La fonction y = f(x) est donnée, où f(x) = 3x 2. Trouver.
Une fonction de la forme où est appelée fonction quadratique.
Graphique d'une fonction quadratique – parabole.
Considérons les cas :
I CASE, PARABOLE CLASSIQUE
C'est , ,
Pour construire, remplissez le tableau en substituant les valeurs x dans la formule :
Marquez les points (0;0); (1;1); (-1;1), etc. sur le plan de coordonnées (plus on fait un pas petit avec les valeurs x (dans ce cas, l'étape 1), et plus on prend de valeurs x, plus la courbe sera lisse), on obtient une parabole :
Il est facile de voir que si l’on prend le cas , , , alors on obtient une parabole symétrique par rapport à l’axe (oh). Il est facile de le vérifier en remplissant un tableau similaire :
II CAS, « a » EST DIFFÉRENT DE L'UNITÉ
Que se passera-t-il si nous prenons , , ? Comment le comportement de la parabole va-t-il changer ? Avec title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Sur la première image (voir ci-dessus) on voit clairement que les points du tableau de la parabole (1;1), (-1;1) ont été transformés en points (1;4), (1;-4), c'est-à-dire qu'avec les mêmes valeurs, l'ordonnée de chaque point est multipliée par 4. Cela arrivera à tous les points clés du tableau d'origine. Nous raisonnons de la même manière dans les cas des images 2 et 3.
Et quand la parabole « devient plus large » que la parabole :
Résumons :
1)Le signe du coefficient détermine la direction des branches. Avec title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Valeur absolue Le coefficient (module) est responsable de la « dilatation » et de la « compression » de la parabole. Plus , plus la parabole est étroite ; plus |a| est petite, plus la parabole est large.
CAS III, « C » APPARAÎT
Introduisons maintenant dans le jeu (c'est-à-dire considérons le cas où), nous considérerons des paraboles de la forme . Il n'est pas difficile de deviner (vous pouvez toujours vous référer au tableau) que la parabole se déplacera vers le haut ou vers le bas le long de l'axe selon le signe :
CAS IV, « b » APPARAÎT
Quand la parabole va-t-elle « se détacher » de l'axe et finalement « marcher » le long de tout le plan de coordonnées ? Quand cessera-t-il d’être égal ?
Ici, pour construire une parabole, nous avons besoin formule de calcul du sommet : , .
Donc à ce stade (comme au point (0;0) du nouveau système de coordonnées), nous allons construire une parabole, ce que nous pouvons déjà faire. Si nous traitons du cas, alors à partir du sommet, nous plaçons un segment unitaire vers la droite, un vers le haut, - le point résultant est le nôtre (de même, un pas vers la gauche, un pas vers le haut est notre point) ; si nous avons affaire, par exemple, à partir du sommet, nous plaçons un segment unitaire vers la droite, deux vers le haut, etc.
Par exemple, le sommet d'une parabole :
Maintenant, la principale chose à comprendre est qu'à ce sommet, nous allons construire une parabole selon le modèle de parabole, car dans notre cas.
Lors de la construction d'une parabole après avoir trouvé les coordonnées du sommet trèsIl convient de considérer les points suivants :
1) parabole je passerai certainement par le point . En effet, en substituant x=0 dans la formule, nous obtenons que . C'est-à-dire que l'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) est . Dans notre exemple (ci-dessus), la parabole coupe l'ordonnée au point , puisque .
2) axe de symétrie paraboles est une ligne droite, donc tous les points de la parabole seront symétriques par rapport à elle. Dans notre exemple, on prend immédiatement le point (0 ; -2) et on le construit symétriquement par rapport à l'axe de symétrie de la parabole, on obtient le point (4 ; -2) par lequel passera la parabole.
3) En égalant à , on retrouve les points d'intersection de la parabole avec l'axe (oh). Pour ce faire, nous résolvons l’équation. En fonction du discriminant, nous obtiendrons un (, ), deux ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Dans l'exemple précédent, notre racine du discriminant n'est pas un entier ; lors de la construction, cela n'a pas beaucoup de sens pour nous de trouver les racines, mais on voit bien que nous aurons deux points d'intersection avec l'axe (oh) (depuis title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Alors trouvons une solution
Algorithme de construction d'une parabole si elle est donnée sous la forme
1) déterminer la direction des branches (a>0 – vers le haut, a<0 – вниз)
2) on trouve les coordonnées du sommet de la parabole à l'aide de la formule , .
3) on trouve le point d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) à l'aide du terme libre, on construit un point symétrique à ce point par rapport à l'axe de symétrie de la parabole (à noter qu'il arrive qu'il ne soit pas rentable de marquer ce point, par exemple, parce que la valeur est grande... on saute ce point...)
4) Au point trouvé - le sommet de la parabole (comme au point (0;0) du nouveau système de coordonnées), nous construisons une parabole. Si title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) On retrouve les points d'intersection de la parabole avec l'axe (oy) (s'ils n'ont pas encore « fait surface ») en résolvant l'équation
Exemple 1
Exemple 2
Note 1. Si la parabole nous est initialement donnée sous la forme , où sont des nombres (par exemple ), alors il sera encore plus facile de la construire, car on nous a déjà donné les coordonnées du sommet . Pourquoi?
Prenons trinôme quadratique et mettez-y en valeur un carré parfait: Écoutez, donc nous avons compris ça, . Vous et moi appelions auparavant le sommet d'une parabole, c'est-à-dire maintenant.
Par exemple, . On marque le sommet de la parabole sur le plan, on comprend que les branches sont dirigées vers le bas, la parabole est élargie (par rapport à ). C'est-à-dire que nous réalisons les points 1 ; 3 ; 4 ; 5 de l'algorithme de construction d'une parabole (voir ci-dessus).
Note 2. Si la parabole est donnée sous une forme similaire à celle-ci (c'est-à-dire présentée comme le produit de deux facteurs linéaires), alors nous voyons immédiatement les points d'intersection de la parabole avec l'axe (bœuf). Dans ce cas – (0;0) et (4;0). Pour le reste, nous agissons selon l'algorithme en ouvrant les parenthèses.