Définition. Le plus grand nombre naturel pouvant être divisé sans reste par les nombres a et b s'appelle plus grand diviseur commun (PGCD) ces chiffres.
Trouvons le plus grand diviseur commun numéros 24 et 35.
Les diviseurs de 24 sont les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 et les diviseurs de 35 sont les nombres 1, 5, 7, 35.
Nous voyons que les nombres 24 et 35 n'ont qu'un seul diviseur commun - le nombre 1. Ces nombres sont appelés mutuellement premier.
Définition. Les nombres naturels sont appelés mutuellement premier, si leur plus grand diviseur commun (PGCD) est 1.
Plus grand diviseur commun (PGCD) peut être trouvé sans écrire tous les diviseurs des nombres donnés.
Factorisons les nombres 48 et 36 et obtenons :
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Parmi les facteurs inclus dans le développement du premier de ces nombres, nous biffons ceux qui ne sont pas inclus dans le développement du deuxième nombre (c'est-à-dire deux deux).
Les facteurs restants sont 2 * 2 * 3. Leur produit est 12. Ce nombre est le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 36. On trouve également le plus grand diviseur commun de trois nombres ou plus.
Trouver plus grand diviseur commun
2) parmi les facteurs inclus dans le développement d'un de ces nombres, rayer ceux qui ne sont pas inclus dans le développement d'autres nombres ;
3) trouver le produit des facteurs restants.
Si tous les nombres donnés sont divisibles par l’un d’eux, alors ce nombre est plus grand diviseur commun chiffres donnés.
Par exemple, le plus grand diviseur commun des nombres 15, 45, 75 et 180 est le nombre 15, puisque tous les autres nombres sont divisibles par lui : 45, 75 et 180.
Plus petit commun multiple (LCM)
Définition. Plus petit commun multiple (LCM) nombres naturels a et b sont le plus petit nombre naturel multiple de a et b. Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres 75 et 60 peut être trouvé sans écrire les multiples de ces nombres d'affilée. Pour ce faire, décomposons 75 et 60 en facteurs premiers: 75 = 3 * 5 * 5, et 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Écrivons les facteurs inclus dans le développement du premier de ces nombres et ajoutons-y les facteurs manquants 2 et 2 du développement du deuxième nombre (c'est-à-dire que nous combinons les facteurs).
On obtient cinq facteurs 2 * 2 * 3 * 5 * 5 dont le produit est 300. Ce nombre est le plus petit commun multiple des nombres 75 et 60.
Ils trouvent également le plus petit commun multiple de trois nombres ou plus.
À trouver le plus petit commun multiple plusieurs nombres naturels, il vous faut :
1) les factoriser en facteurs premiers ;
2) noter les facteurs inclus dans le développement de l'un des nombres ;
3) ajoutez-y les facteurs manquants issus des développements des nombres restants ;
4) trouver le produit des facteurs résultants.
Notez que si l’un de ces nombres est divisible par tous les autres nombres, alors ce nombre est le plus petit commun multiple de ces nombres.
Par exemple, le plus petit commun multiple des nombres 12, 15, 20 et 60 est 60 car il est divisible par tous ces nombres.
Pythagore (VIe siècle avant JC) et ses élèves étudièrent la question de la divisibilité des nombres. Nombre, égal à la somme Ils appelaient tous ses diviseurs (sans le nombre lui-même) un nombre parfait. Par exemple, les nombres 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sont parfaits. Les prochains nombres parfaits sont 496, 8128, 33 550 336. Les Pythagoriciens ne connaissaient que les trois premiers nombres parfaits. Le quatrième - 8128 - est devenu connu au Ier siècle. n. e. Le cinquième – 33 550 336 – a été retrouvé au XVe siècle. En 1983, 27 nombres parfaits étaient déjà connus. Mais les scientifiques ne savent toujours pas s’il existe des nombres parfaits impairs ou s’il existe un nombre parfait plus grand.
L'intérêt des mathématiciens anciens pour les nombres premiers vient du fait que tout nombre est premier ou peut être représenté comme un produit. nombres premiers, c'est-à-dire que les nombres premiers sont comme des briques à partir desquelles le reste des nombres naturels est construit.
Vous avez probablement remarqué que les nombres premiers dans la série de nombres naturels apparaissent de manière inégale - dans certaines parties de la série, il y en a plus, dans d'autres, moins. Mais plus on avance dans la série de nombres, moins les nombres premiers sont courants. La question se pose : existe-t-il un dernier (le plus grand) nombre premier ? L'ancien mathématicien grec Euclide (3e siècle avant JC), dans son livre « Éléments », qui fut le principal manuel de mathématiques pendant deux mille ans, a prouvé qu'il existe une infinité de nombres premiers, c'est-à-dire que derrière chaque nombre premier se trouve un nombre premier encore plus grand. nombre.
Pour trouver les nombres premiers, un autre mathématicien grec de la même époque, Eratosthène, a mis au point cette méthode. Il a noté tous les nombres de 1 à un certain nombre, puis en a barré un, qui n'est ni un nombre premier ni un nombre composé, puis a barré d'un seul tous les nombres venant après 2 (nombres multiples de 2, c'est-à-dire 4, 6, 8, etc.). Le premier nombre restant après 2 était 3. Puis, après deux, tous les nombres suivant 3 (nombres multiples de 3, c'est-à-dire 6, 9, 12, etc.) ont été barrés. au final, seuls les nombres premiers sont restés non croisés.
La recherche du plus grand diviseur commun de trois nombres ou plus peut être réduite à la recherche séquentielle du pgcd de deux nombres. Nous l'avons mentionné lors de l'étude des propriétés de GCD. Là nous avons formulé et prouvé le théorème : le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres une 1 , une 2 , …, une k égal au nombre n'importe quoi, qui est trouvé par calcul séquentiel PGCD(une 1 , une 2)=d 2, PGCD(d 2 , a 3)=d 3, PGCD(d 3 , a 4)=d 4, …,PGCD(d k-1 , a k)=d k.
Voyons à quoi ressemble le processus de recherche du pgcd de plusieurs nombres en regardant la solution de l'exemple.
Exemple.
Trouver le plus grand diviseur commun de quatre nombres 78 , 294 , 570 Et 36 .
Solution.
Dans cet exemple un 1 =78, une 2 =294, un 3 =570, un 4 =36.
Premièrement, en utilisant l'algorithme euclidien, nous déterminons le plus grand diviseur commun j 2 deux premiers chiffres 78 Et 294 . En divisant on obtient les égalités 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6 Et 18=6·3. Ainsi, d 2 =PGCD(78, 294)=6.
Maintenant calculons ré 3 =PGCD(d 2, une 3)=PGCD(6, 570). Utilisons à nouveau l'algorithme euclidien : 570=6·95, ainsi, d 3 =PGCD(6, 570)=6.
Reste à calculer ré 4 =PGCD(d 3, une 4)=PGCD(6, 36). Parce que 36 divisé par 6 , Que d 4 =PGCD(6, 36)=6.
Ainsi, le plus grand commun diviseur des quatre nombres donnés est ré4 =6, c'est, PGCD(78, 294, 570, 36)=6.
Répondre:
PGCD(78, 294, 570, 36)=6.
La factorisation des nombres en facteurs premiers vous permet également de calculer le pgcd de trois nombres ou plus. Dans ce cas, le plus grand diviseur commun est le produit de tous les facteurs premiers communs des nombres donnés.
Exemple.
Calculez le pgcd des nombres de l'exemple précédent en utilisant leurs factorisations premières.
Solution.
Décomposons les chiffres 78 , 294 , 570 Et 36 par facteurs premiers, on obtient 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Les facteurs premiers communs aux quatre nombres donnés sont les nombres 2 Et 3 . Ainsi, PGCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Répondre:
PGCD(78, 294, 570, 36)=6.
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Trouver le pgcd de nombres négatifs
Si un, plusieurs ou tous les nombres dont on trouve le plus grand diviseur sont des nombres négatifs, alors leur pgcd est égal au plus grand commun diviseur des modules de ces nombres. Cela est dû au fait que les nombres opposés un Et −une ont les mêmes diviseurs, comme nous l'avons discuté lors de l'étude des propriétés de divisibilité.
Exemple.
Trouver le pgcd des entiers négatifs −231 Et −140 .
Solution.
La valeur absolue d'un nombre −231 équivaut à 231 , et le module du nombre −140 équivaut à 140 , Et PGCD(−231, −140)=PGCD(231, 140). L'algorithme euclidien nous donne les égalités suivantes : 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7 Et 42=7 6. Ainsi, PGCD(231, 140)=7. Alors le plus grand commun diviseur souhaité des nombres négatifs est −231 Et −140 équivaut à 7 .
Répondre:
PGCD(−231, −140)=7.
Exemple.
Déterminer le pgcd de trois nombres −585 , 81 Et −189 .
Solution.
Lors de la recherche du plus grand diviseur commun, les nombres négatifs peuvent être remplacés par leurs valeurs absolues, c'est-à-dire PGCD(−585, 81, −189)=PGCD(585, 81, 189). Extensions de numéros 585 , 81 Et 189 en facteurs premiers ont la forme 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 Et 189=3·3·3·7. Les facteurs premiers communs de ces trois nombres sont 3 Et 3 . Alors PGCD(585, 81, 189)=3·3=9, ainsi, PGCD(−585, 81, −189)=9.
Répondre:
PGCD(−585, 81, −189)=9.
35. Racines d'un polynôme. Théorème de Bezout. (33 ans et plus)
36. Racines multiples, critère de multiplicité des racines.
Le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple sont des concepts arithmétiques clés qui vous permettent d'opérer sans effort. fractions ordinaires. LCM et sont le plus souvent utilisés pour trouver le dénominateur commun de plusieurs fractions.
Concepts de base
Le diviseur d'un entier X est un autre entier Y par lequel X est divisé sans laisser de reste. Par exemple, le diviseur de 4 est 2 et 36 est 4, 6, 9. Un multiple d'un entier X est un nombre Y divisible par X sans reste. Par exemple, 3 est un multiple de 15 et 6 est un multiple de 12.
Pour toute paire de nombres, nous pouvons trouver leurs diviseurs et multiples communs. Par exemple, pour 6 et 9, le commun multiple est 18 et le commun diviseur est 3. Évidemment, les paires peuvent avoir plusieurs diviseurs et multiples, donc les calculs utilisent le plus grand diviseur GCD et le plus petit multiple LCM.
Le plus petit diviseur n’a aucun sens puisque pour tout nombre, il vaut toujours un. Le plus grand multiple n’a également aucun sens, puisque la séquence des multiples va vers l’infini.
Trouver pgcd
Il existe de nombreuses méthodes pour trouver le plus grand diviseur commun, dont les plus connues sont :
- recherche séquentielle de diviseurs, sélection des diviseurs communs pour une paire et recherche du plus grand d'entre eux ;
- décomposition des nombres en facteurs indivisibles ;
- Algorithme euclidien ;
- algorithme binaire.
Aujourd'hui à les établissements d'enseignement Les plus populaires sont les méthodes de factorisation première et l'algorithme euclidien. Ce dernier, à son tour, est utilisé lors de la résolution d'équations diophantiennes : la recherche de GCD est nécessaire pour vérifier l'équation pour la possibilité de résolution en nombres entiers.
Trouver le CNO
Le multiple le plus petit commun est également déterminé par énumération séquentielle ou factorisation en facteurs indivisibles. De plus, il est facile de trouver le LCM si le plus grand diviseur a déjà été déterminé. Pour les nombres X et Y, le LCM et le GCD sont liés par la relation suivante :
LCD(X,Y) = X × Y / PGCD(X,Y).
Par exemple, si GCM(15,18) = 3, alors LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. L'exemple le plus évident d'utilisation de LCM consiste à trouver le dénominateur commun, qui est le plus petit commun multiple de fractions données.
Nombres premiers entre eux
Si une paire de nombres n’a pas de diviseur commun, alors une telle paire est appelée premier entre eux. Le pgcd de ces paires est toujours égal à un, et sur la base de la relation entre les diviseurs et les multiples, le pgcd des paires premières entre elles est égal à leur produit. Par exemple, les nombres 25 et 28 sont relativement premiers, car ils n'ont pas de diviseur commun, et LCM(25, 28) = 700, ce qui correspond à leur produit. Deux nombres indivisibles seront toujours premiers relativement.
Diviseur commun et calculateur multiple
À l'aide de notre calculatrice, vous pouvez calculer GCD et LCM pour un nombre arbitraire de nombres parmi lesquels choisir. Les tâches de calcul des diviseurs communs et des multiples se trouvent en arithmétique de 5e et 6e années, mais GCD et LCM sont des concepts clés en mathématiques et sont utilisés en théorie des nombres, en planimétrie et en algèbre communicative.
Exemples concrets
Dénominateur commun des fractions
Le plus petit commun multiple est utilisé pour trouver le dénominateur commun de plusieurs fractions. Laisser entrer problème d'arithmétique vous devez additionner 5 fractions :
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Pour additionner des fractions, l'expression doit être réduite à dénominateur commun, ce qui se réduit au problème de trouver le LCM. Pour ce faire, sélectionnez 5 nombres dans la calculatrice et saisissez les valeurs des dénominateurs dans les cellules appropriées. Le programme calculera le LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Vous devez maintenant calculer des facteurs supplémentaires pour chaque fraction, qui sont définis comme le rapport du LCM au dénominateur. Les multiplicateurs supplémentaires ressembleraient donc à :
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Après cela, nous multiplions toutes les fractions par le facteur supplémentaire correspondant et obtenons :
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Nous pouvons facilement additionner ces fractions et obtenir le résultat 159/360. Nous réduisons la fraction de 3 et voyons la réponse finale - 53/120.
Résolution d'équations diophantiennes linéaires
Les équations diophantiennes linéaires sont des expressions de la forme ax + by = d. Si le rapport d / pgcd(a, b) est un nombre entier, alors l'équation peut être résolue en nombres entiers. Vérifions quelques équations pour voir si elles ont une solution entière. Vérifions d'abord l'équation 150x + 8y = 37. À l'aide d'une calculatrice, nous trouvons PGCD (150,8) = 2. Divisons 37/2 = 18,5. Le nombre n’est pas un nombre entier, donc l’équation n’a pas de racines entières.
Vérifions l'équation 1320x + 1760y = 10120. Utilisez une calculatrice pour trouver PGCD(1320, 1760) = 440. Divisons 10120/440 = 23. En conséquence, nous obtenons un nombre entier, par conséquent, l'équation diophantienne peut être résolue en coefficients entiers. .
Conclusion
GCD et LCM jouent un rôle important dans la théorie des nombres, et les concepts eux-mêmes sont largement utilisés dans une grande variété de domaines mathématiques. Utilisez notre calculatrice pour calculer les plus grands diviseurs et les plus petits multiples d'un nombre quelconque de nombres.
Mais de nombreux nombres naturels sont également divisibles par d’autres nombres naturels.
Par exemple:
Le nombre 12 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12 ;
Le nombre 36 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12, par 18, par 36.
Les nombres par lesquels le nombre est divisible par un tout (pour 12 ce sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12) sont appelés diviseurs de nombres. Diviseur d'un nombre naturel un- est un nombre naturel qui divise numéro donné un sans laisser de trace. Un nombre naturel qui a plus de deux diviseurs s'appelle composite. Veuillez noter que les nombres 12 et 36 ont des facteurs communs. Ces nombres sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur de ces nombres est 12.
Diviseur commun de deux nombres donnés un Et b- c'est le nombre par lequel les deux nombres donnés sont divisés sans reste un Et b. Diviseur commun de plusieurs nombres (PGCD) est un nombre qui sert de diviseur pour chacun d’eux.
En bref, le plus grand diviseur commun des nombres un Et bécris-le comme ceci :
Exemple: PGCD (12 ; 36) = 12.
Les diviseurs de nombres dans la notation solution sont désignés par la lettre majuscule « D ».
Exemple:
PGCD (7 ; 9) = 1
Les nombres 7 et 9 n'ont qu'un seul diviseur commun : le chiffre 1. Ces nombres sont appelés mutuellement premierchi slami.
Nombres premiers entre eux- ce sont des nombres naturels qui n'ont qu'un seul diviseur commun - le nombre 1. Leur pgcd est 1.
Plus grand diviseur commun (PGCD), propriétés.
- Propriété de base : plus grand diviseur commun m Et n est divisible par n'importe quel diviseur commun de ces nombres. Exemple: Pour les nombres 12 et 18, le plus grand commun diviseur est 6 ; il est divisé par tous les diviseurs communs de ces nombres : 1, 2, 3, 6.
- Corollaire 1 : ensemble de diviseurs communs m Et n coïncide avec l'ensemble des diviseurs GCD ( m, n).
- Corollaire 2 : ensemble de multiples communs m Et n coïncide avec l'ensemble de plusieurs LCM ( m, n).
Cela signifie notamment que pour réduire une fraction à une forme irréductible, il faut diviser son numérateur et son dénominateur par leur pgcd.
- Le plus grand diviseur commun des nombres m Et n peut être défini comme le plus petit élément positif de l'ensemble de toutes leurs combinaisons linéaires :
et donc le représenter comme une combinaison linéaire de nombres m Et n:
Ce rapport est appelé La relation de Bezout, et les coefficients toi Et v — Coefficients de Bézout. Les coefficients de Bezout sont calculés efficacement par l'algorithme euclidien étendu. Cette affirmation se généralise aux ensembles de nombres naturels - sa signification est que le sous-groupe du groupe généré par l'ensemble est cyclique et généré par un élément : PGCD ( un 1 , un 2 , … , un).
Calculez le plus grand diviseur commun (PGCD).
Des moyens efficaces de calculer le pgcd de deux nombres sont Algorithme euclidien Et binairealgorithme. De plus, la valeur de pgcd ( m,n) peut être facilement calculé si le développement canonique des nombres est connu m Et n en facteurs premiers :
où sont des nombres premiers distincts, et et sont des entiers non négatifs (ils peuvent être des zéros si le premier correspondant n'est pas dans le développement). Puis PGCD ( m,n) et CNP ( m,n) sont exprimés par les formules :
S'il y a plus de deux nombres : , leur pgcd est trouvé à l'aide de l'algorithme suivant :
- c'est le GCD souhaité.
Aussi, afin de trouver plus grand diviseur commun, vous pouvez factoriser chacun des nombres donnés en facteurs premiers. Notez ensuite séparément uniquement les facteurs inclus dans tous les nombres donnés. Ensuite, nous multiplions les nombres écrits ensemble - le résultat de la multiplication est le plus grand diviseur commun .
Regardons étape par étape le calcul du plus grand diviseur commun :
1. Décomposez les diviseurs de nombres en facteurs premiers :
Il est pratique d'écrire des calculs à l'aide d'une barre verticale. À gauche de la ligne, nous notons d'abord le dividende, à droite le diviseur. Ensuite, dans la colonne de gauche, nous notons les valeurs des quotients. Expliquons-le tout de suite avec un exemple. Factorisons les nombres 28 et 64 en facteurs premiers.
2. Nous soulignons les mêmes facteurs premiers dans les deux nombres :
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Trouvez le produit de facteurs premiers identiques et notez la réponse :
pgcd (28 ; 64) = 2. 2 = 4
Réponse : PGCD (28 ; 64) = 4
Vous pouvez formaliser l'emplacement du GCD de deux manières : en colonne (comme fait ci-dessus) ou « en ligne ».
La première façon d'écrire GCD :
Trouvez les pgcd 48 et 36.
PGCD (48 ; 36) = 2. 2. 3 = 12
La deuxième façon d'écrire GCD :
Écrivons maintenant la solution à la recherche GCD sur une ligne. Trouvez pgcd 10 et 15.
D (10) = (1, 2, 5, 10)
D (15) = (1, 3, 5, 15)
D (10, 15) = (1, 5)
Pour comprendre comment calculer le LCM, il faut d’abord déterminer la signification du terme « multiple ».
Un multiple de A est un nombre naturel divisible par A sans reste. Ainsi, les nombres multiples de 5 peuvent être considérés comme 15, 20, 25, etc.
Il peut y avoir des diviseurs d'un nombre spécifique Quantité limitée, mais il existe un nombre infini de multiples.
Un multiple commun de nombres naturels est un nombre qui est divisible par eux sans laisser de reste.
Comment trouver le plus petit commun multiple de nombres
Le plus petit commun multiple (LCM) des nombres (deux, trois ou plus) est le plus petit nombre naturel divisible par tous ces nombres.
Pour trouver le LOC, vous pouvez utiliser plusieurs méthodes.
Pour les petits nombres, il est pratique d'écrire tous les multiples de ces nombres sur une ligne jusqu'à ce que vous trouviez quelque chose de commun entre eux. Les multiples sont désignés par la lettre majuscule K.
Par exemple, les multiples de 4 peuvent s’écrire ainsi :
K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Ainsi, vous voyez que le plus petit commun multiple des nombres 4 et 6 est le nombre 24. Cette notation se fait comme suit :
LCM(4, 6) = 24
Si les nombres sont grands, trouvez le commun multiple de trois nombres ou plus, il est alors préférable d'utiliser une autre méthode de calcul du LCM.
Pour terminer la tâche, vous devez factoriser les nombres donnés en facteurs premiers.
Vous devez d'abord écrire la décomposition du plus grand nombre sur une ligne, et en dessous - le reste.
La décomposition de chaque nombre peut contenir un nombre différent de facteurs.
Par exemple, factorisons les nombres 50 et 20 en facteurs premiers.
Dans l’expansion du plus petit nombre, il y a que souligner les facteurs qui sont absents dans l’expansion du premier. grand nombre, puis ajoutez-les-y. Dans l’exemple présenté, il manque un deux.
Vous pouvez maintenant calculer le plus petit commun multiple de 20 et 50.
LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Donc le produit de facteurs premiers plus et les facteurs du deuxième nombre qui n'ont pas été inclus dans l'expansion du plus grand nombre seront le plus petit commun multiple.
Pour trouver le LCM de trois nombres ou plus, vous devez tous les factoriser en facteurs premiers, comme dans le cas précédent.
A titre d'exemple, vous pouvez trouver le plus petit commun multiple des nombres 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Ainsi, seuls deux deux du développement de seize n'ont pas été inclus dans la factorisation d'un plus grand nombre (un est dans le développement de vingt-quatre).
Il faut donc les ajouter à l’expansion d’un plus grand nombre.
LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Il existe des cas particuliers pour déterminer le plus petit commun multiple. Ainsi, si l'un des nombres peut être divisé sans reste par un autre, alors le plus grand de ces nombres sera le plus petit commun multiple.
Par exemple, le LCM de douze et vingt-quatre est vingt-quatre.
S'il est nécessaire de trouver le plus petit commun multiple de nombres premiers qui n'ont pas de diviseurs identiques, alors leur LCM sera égal à leur produit.
Par exemple, LCM (10, 11) = 110.