Un polynôme dans la variable x est une expression de la forme : anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, où n est un nombre naturel ; un, un-1, . . . , un 1, un 0 - tous les nombres appelés coefficients de ce polynôme. Expressions anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 sont appelés les termes du polynôme et 0 est le terme libre. an est le coefficient de xn, an-1 est le coefficient de xn-1, etc. Un polynôme dans lequel tous les coefficients sont égaux à zéro est appelé zéro. par exemple, le polynôme 0 x2+0 x+0 est nul. De la notation d'un polynôme, il ressort clairement qu'il est constitué de plusieurs membres. C'est de là que vient le terme ‹‹polynôme›› (plusieurs termes). Parfois, un polynôme est appelé polynôme. Ce terme vient des mots grecs πολι – plusieurs et νομχ – membre.
Un polynôme dans une variable x est noté : . f (x), g (x), h (x), etc. par exemple, si le premier des polynômes ci-dessus est noté f (x), alors on peut écrire : f (x) =x 4+2 x 3 + (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. Le polynôme h(x) est appelé le plus grand commun diviseur des polynômes f(x) et g(x) s'il divise f(x), g (x) et chacun d'eux diviseur commun. 2. Un polynôme f(x) à coefficients du corps P de degré n est dit réductible sur le corps P s'il existe des polynômes h(x), g(x) О P[x] de degré inférieur à n tels que f(x) = h(x)g(x).
S'il existe un polynôme f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 et an≠ 0, alors le nombre n est appelé le degré du polynôme f (x) (ou on dit : f (x) - nième degré) et écrivez l'art. f(x)=n. Dans ce cas, an est appelé coefficient dominant et anxn est le terme dominant de ce polynôme. Par exemple, si f (x) =5 x 4 -2 x+3, alors l'art. f (x) =4, coefficient dominant - 5, terme dominant - 5 x4. Le degré d'un polynôme est le plus grand nombre non nul de ses coefficients. Les polynômes de degré zéro sont des nombres différents de zéro. , le polynôme zéro n'a pas de degré ; le polynôme f (x) =a, où a est un nombre non nul et de degré 0 ; le degré de tout autre polynôme est égal au plus grand exposant de la variable x dont le coefficient est égal à zéro.
Égalité des polynômes. Deux polynômes f (x) et g (x) sont considérés comme égaux si leurs coefficients pour les mêmes puissances de la variable x et les termes libres sont égaux (leurs coefficients correspondants sont égaux). f (x) = g (x). Par exemple, les polynômes f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 et g(x) =2 x 23 x+1 ne sont pas égaux, le premier d'entre eux a un coefficient de x3 égal à 1, et le second a zéro ( selon les conventions acceptées, on peut écrire : g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1. Dans ce cas : f (x) ≠g (x) et les polynômes ne sont pas égaux : h (x) =2. x 2 -3 x+5, s (x) =2 x 2+3 x+5, puisque leurs coefficients pour x sont différents.
Mais les polynômes f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 et g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 sont égaux si et seulement si a = 3, a b = -2. Soit le polynôme f (x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 et un nombre c. Nombre f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 est appelé la valeur du polynôme f (x) en x=c. Ainsi, pour trouver f (c), vous devez substituer c dans le polynôme au lieu de x et effectuer les calculs nécessaires. Par exemple, si f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5, alors f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. Le polynôme pour différentes valeurs de la variable x peut prendre différentes significations. Le nombre c est appelé racine du polynôme f (x) si f (c) =0.
Faisons attention à la différence entre deux énoncés : « le polynôme f (x) est égal à zéro (ou, ce qui revient au même, le polynôme f (x) est nul) » et « la valeur du polynôme f (x ) en x = c est égal à zéro. Par exemple, le polynôme f (x) =x 2 -1 n'est pas nul, il a des coefficients non nuls et sa valeur en x=1 est nulle. f (x) ≠ 0, et f (1) =0. Il existe une relation étroite entre les concepts d'égalité des polynômes et la valeur d'un polynôme. Si deux polynômes égaux f (x) et g (x) sont donnés, alors leurs coefficients correspondants sont égaux, ce qui signifie f (c) = g (c) pour chaque nombre c.
Opérations sur les polynômes Les polynômes peuvent être ajoutés, soustraits et multipliés en utilisant les règles habituelles d'ouverture de parenthèses et de rapprochement de termes similaires. Le résultat est encore une fois un polynôme. Ces opérations ont des propriétés connues : f (x) +g (x) =g (x) +f (x), f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) =g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x), f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x).
Soit deux polynômes f(x) =anxn+an-1 xn-1+. . . +une 1 x+une 0, une≠ 0 et g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Il est clair que l'Art. f(x)=n, et art. g(x)=m. Si on multiplie ces deux polynômes, on obtient un polynôme de la forme f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Puisque an≠ 0 et bn≠ 0, alors anbm≠ 0, ce qui signifie st. (f(x)g(x))=m+n. Une déclaration importante en découle.
Le degré du produit de deux polynômes non nuls est égal à la somme des degrés des facteurs, art. (f (x) g (x)) = st. f (x) +st. g(x). Le terme dominant (coefficient) du produit de deux polynômes non nuls est égal au produit des termes dominants (coefficients) des facteurs. Le terme libre du produit de deux polynômes est égal au produit des termes libres des facteurs. Les puissances des polynômes f (x), g (x) et f (x) ±g (x) sont liées par la relation suivante : art. (f (x) ±g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).
La superposition des polynômes f (x) et g (x) est appelée. un polynôme noté f (g (x)), qui est obtenu si dans le polynôme f (x) on substitue le polynôme g (x) au lieu de x. Par exemple, si f(x)=x 2+2 x-1 et g(x) =2 x+3, alors f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2x2+4x+1. On voit que f (g (x)) ≠g (f (x)), c'est-à-dire la superposition des polynômes f (x), g (x) et la superposition des polynômes g (x), f ( x) sont différents. Ainsi, l’opération de superposition n’a pas la propriété commutative.
, Algorithme de division avec reste Pour tout f(x), g(x), il existe q(x) (quotient) et r(x) (reste) tels que f(x)=g(x)q(x)+ r(x), et le degré r(x)
Diviseurs d'un polynôme Le diviseur d'un polynôme f(x) est un polynôme g(x), tel que f(x)=g(x)q(x). Le plus grand diviseur commun de deux polynômes Le plus grand diviseur commun des polynômes f(x) et g(x) est leur diviseur commun d(x) qui est divisible par l'un de leurs autres diviseurs communs.
Algorithme euclidien (algorithme de division séquentielle) pour trouver le plus grand diviseur commun des polynômes f(x) et g(x). Est ensuite le plus grand diviseur commun de f(x) et g(x).
Réduire la fraction Solution : Trouver le pgcd de ces polynômes en utilisant l'algorithme euclidien 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 – x2 – 3 x – 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x – x2 – 3 x – 2 –x– 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Par conséquent, le polynôme (– x2 – 3 x – 2) est le PGCD du numérateur et dénominateur d'une fraction donnée. Le résultat de la division du dénominateur par ce polynôme est connu.
Trouvons le résultat de la division du numérateur. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 – x2 – 3 x – 2 x3 + 3 x2 + 2 x –x– 3 3 x2 + 9 x + 6 0 Ainsi, répondez :
Schéma de Horner Diviser un polynôme f(x) avec un reste par un polynôme non nul g(x) signifie représenter f(x) sous la forme f(x)=g(x) s(x)+r(x), où s (x ) et r(x) sont des polynômes et soit r(x)=0 soit st. r(x)
Les polynômes des côtés gauche et droit de cette relation sont égaux, ce qui signifie que leurs coefficients correspondants sont égaux. Égalons-les en ouvrant d'abord les parenthèses et en plaçant les termes similaires du côté droit de cette égalité. On obtient : a= bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. Rappelons qu'il faut trouver le quotient incomplet, c'est-à-dire ses coefficients, et le reste. Exprimons-les à partir des égalités obtenues : bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2 , b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. Nous avons trouvé des formules qui peuvent être utilisées pour calculer les coefficients du quotient partiel s (x) et du reste r. Dans ce cas, les calculs sont présentés sous la forme du tableau suivant ; c'est ce qu'on appelle le schéma Horner.
Tableau 1. Coefficients f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Coefficients s (x) reste Dans la première ligne de ce tableau, écrivez tous les coefficients du polynôme f (x) d'affilée, en laissant la première cellule libre. Sur la deuxième ligne, dans la première cellule, écrivez le nombre c. Les cellules restantes de cette ligne sont remplies en calculant un à un les coefficients du quotient incomplet s (x) et du reste r. Dans la deuxième cellule, écrivez le coefficient bn-1 qui, comme nous l'avons établi, est égal à an.
Les coefficients de chaque cellule suivante sont calculés selon la règle suivante : le nombre c est multiplié par le nombre de la cellule précédente, et le nombre au-dessus de la cellule en cours de remplissage est ajouté au résultat. Pour mémoriser, disons, la cinquième cellule, c'est-à-dire pour y trouver le coefficient, vous devez multiplier c par le nombre dans la quatrième cellule et ajouter le nombre au-dessus de la cinquième cellule au résultat. Divisons, par exemple, le polynôme f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 par x-2 avec reste, en utilisant le schéma de Horner. En remplissant la première ligne de ce schéma, il ne faut pas oublier les coefficients nuls du polynôme. Ainsi, les coefficients f (x) sont les nombres 3, 0, - 5, 3, - 1. Et vous devez également vous rappeler que le degré d'un quotient incomplet est inférieur de un au degré du polynôme f (x).
On effectue donc la division selon le schéma de Horner : Tableau 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 On obtient le quotient partiel s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 et le reste r=33. A noter qu'en même temps nous avons calculé la valeur du polynôme f (2) =33. Divisons maintenant le même polynôme f (x) par x+2 avec un reste. Dans ce cas c=-2. on obtient : Tableau 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 En conséquence, on a f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x- 11) +21 .
Racines de polynômes Soit c1, c2, …, cm des racines différentes du polynôme f (x). Alors f (x) est divisé par x-c1, c'est-à-dire f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Mettons x=c2 dans cette égalité. On obtient f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) et, donc f (c 2) =0, alors (c2 -c1) s 1 (c 2) =0. Mais с2≠с1, c'est-à-dire с2 -с1≠ 0, ce qui signifie s 1 (c 2) =0. Ainsi, c2 est la racine du polynôme s 1 (x). Il s'ensuit que s 1 (x) est divisible par x-c2, c'est-à-dire s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). Remplaçons l'expression résultante pour s 1 (x) par l'égalité f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Nous avons f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x). En mettant x=c3 dans la dernière égalité, en tenant compte du fait que f (c 3) =0, c3≠c1, c3≠c2, on obtient que c3 est la racine du polynôme s 2 (x). Cela signifie s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x), puis f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x), etc. Poursuivant ce raisonnement pour le racines restantes c4, c5, ..., cm, on obtient finalement f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x), c'est-à-dire que l'énoncé formulé ci-dessous est prouvé.
Si с1, с2, …, сm sont des racines différentes du polynôme f (x), alors f (x) peut être représenté par f(x)=(x-c 1) (x-c 2)…(x-cm) sm(x ). Il en découle un corollaire important. Si c1, c2, ..., cm sont des racines différentes du polynôme f(x), alors f(x) est divisé par le polynôme (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Le nombre de racines différentes d'un polynôme non nul f (x) n'est pas supérieur à son degré. En effet, si f(x) n’a pas de racines, alors il est clair que le théorème est vrai, car art. f(x) ≥ 0. Supposons maintenant que f(x) ait m racines с1, с2, …, сm, et toutes sont différentes. Alors, d'après ce qui vient d'être prouvé, f(x) se divise en (x-c1) (x -c2)…(x-cm). Dans ce cas, l'art. f(x)≥st. ((x-c1) (x-c2)…(x-cm))= m. (x-c1)+st. (x-s2)+…+st. (x-cm)=m, c'est-à-dire art. f(x)≥m, et m est le nombre de racines du polynôme en question. Mais le polynôme zéro a une infinité de racines, car sa valeur pour tout x est égale à 0. En particulier, pour cette raison, aucun degré spécifique n'est prescrit. L’énoncé suivant découle du théorème qui vient d’être démontré.
Si un polynôme f(x) n'est pas un polynôme de degré supérieur à n et a plus de n racines, alors f(x) est un polynôme nul. En fait, des conditions de cet énoncé, il s'ensuit que soit f (x) est un polynôme nul, soit art. f (x) ≤n. Si l'on suppose que le polynôme f (x) n'est pas nul, alors l'Art. f (x) ≤n, et alors f (x) a au plus n racines. Nous arrivons à une contradiction. Cela signifie que f(x) est un polynôme non nul. Soient f (x) et g (x) des polynômes non nuls de degré au plus n. Si ces polynômes prennent les mêmes valeurs pour n+1 valeurs de la variable x, alors f (x) =g (x).
Pour le prouver, considérons le polynôme h (x) = f (x) - g (x). Il est clair que soit h (x) =0, soit st. h (x) ≤n, c'est-à-dire h (x) n'est pas un polynôme de degré supérieur à n. Soit maintenant le nombre c tel que f (c) = g (c). Alors h (c) = f (c) - g (c) = 0, c'est-à-dire c est la racine du polynôme h (x). Par conséquent, le polynôme h (x) a n+1 racines, et lorsque, comme nous venons de le prouver, h (x) =0, c'est-à-dire f (x) = g (x). Si f (x) et g (x) prennent les mêmes valeurs pour toutes les valeurs de la variable x, alors ces polynômes sont égaux
Racines multiples d'un polynôme Si un nombre c est une racine d'un polynôme f (x), ce polynôme est connu pour être divisible par x-c. Il peut arriver que f(x) soit divisible par une certaine puissance polynôme x-c, c'est-à-dire sur (x-c) k, k>1. Dans ce cas, c est appelé racine multiple. Formulons la définition plus clairement. Un nombre c est appelé racine de multiplicité k (racine multipliée par k) d'un polynôme f (x) si le polynôme est divisible par (x - c) k, k>1 (k est un nombre naturel), mais non divisible par (x - c) k+ 1. Si k=1, alors c est appelé racine simple, et si k>1, alors on l'appelle racine multiple du polynôme f (x).
Si le polynôme f(x) est représenté par f(x)=(x-c)mg(x), m est un nombre naturel, alors il est divisible par (x-c) m+1 si et seulement si g(x) est divisible sur x-s. En fait, si g(x) est divisible par x-c, c'est-à-dire g(x)=(x-c)s(x), alors f(x)=(x-c) m+1 s(x), et cela signifie f(x ) est divisible par (x-c) m+1. Inversement, si f(x) est divisible par (x-c) m+1, alors f(x)=(x-c) m+1 s(x). Alors (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) et après réduction de (x-c)m on obtient g(x)=(x-c)s(x). Il s’ensuit que g(x) est divisible par x-c.
Voyons, par exemple, si le nombre 2 est la racine du polynôme f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24, et si oui, trouvons sa multiplicité. Pour répondre à la première question, vérifions à l'aide du circuit de Horner si f (x) est divisible par x-2. nous avons : Tableau 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Comme vous pouvez le voir, le reste en divisant f(x) par x-2 est égal à 0, c'est-à-dire qu'il est divisé par x-2. Cela signifie que 2 est la racine de ce polynôme. De plus, nous avons obtenu que f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). Voyons maintenant si f(x) est sur (x-2) 2. Cela dépend, comme nous venons de le prouver, de la divisibilité du polynôme g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x -12 par x-2.
Utilisons à nouveau le schéma de Horner : Tableau 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 Nous avons trouvé que g(x) est divisible par x-2 et g(x)=(x-2)( x3-x2-5x+6). Alors f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). Donc f(x) est divisible par (x-2)2, nous devons maintenant savoir si f(x) est divisible par (x-2)3. Pour ce faire, vérifions si h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 est divisible par x-2 : Tableau 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 On trouve que h(x ) est divisible par x-2, ce qui signifie que f(x) est divisé par (x-2) 3 et f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).
Ensuite, nous vérifions de la même manière si f(x) est divisible par (x-2)4, c'est-à-dire si s(x)=x 2+x-3 est divisible par x-2 : Tableau 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Nous constatons que le reste en divisant s(x) par x-2 est égal à 3, c'est-à-dire que s(x) n'est pas divisible par x-2. Cela signifie que f(x) n'est pas divisible par (x-2)4. Ainsi, f(x) est divisible par (x-2)3 mais pas divisible par (x-2)4. Le nombre 2 est donc une racine de multiplicité 3 du polynôme f(x).
En règle générale, la vérification de la multiplicité de la racine est effectuée dans une seule table. Pour cet exemple ce tableau ressemble à ceci : Tableau 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Autrement dit, selon le schéma de Horner , en divisant un polynôme f (x) par x-2, dans la deuxième ligne on obtient les coefficients du polynôme g (x). On considère alors cette deuxième ligne comme la première ligne nouveau système Horner et divisons g (x) par x-2, etc. Nous continuons les calculs jusqu'à obtenir un reste différent de zéro. Dans ce cas, la multiplicité de la racine est égale au nombre de résidus nuls obtenus. La ligne contenant le dernier reste non nul contient également les coefficients du quotient lors de la division de f (x) par (x-2) 3.
Maintenant, en utilisant le schéma que nous venons de proposer pour vérifier la multiplicité de la racine, nous allons résoudre le problème suivant. Pour quoi a et b le polynôme f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 a-t-il le nombre - 2 comme racine de multiple 2 ? Ainsi, la multiplicité de la racine - 2 doit être égale à 2, puis, en divisant par x+2 selon le schéma proposé, nous devrions obtenir un reste de 0 deux fois, et la troisième fois - un reste différent de zéro. On a : Tableau 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2
Ainsi, le nombre - 2 est une racine de multiplicité 2 du polynôme d'origine si et seulement si
Racines rationnelles d'un polynôme Si la fraction irréductible l/m (l, m sont des nombres entiers) est la racine d'un polynôme f (x) à coefficients entiers, alors le coefficient dominant de ce polynôme est divisé par m, et le terme libre est divisé par 1. En effet, si f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, où an, an-1, . . . , a 1, a 0 sont des entiers, alors f(l/m) =0, c'est-à-dire an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +une 1 l/m+une 0=0. Multiplions les deux côtés de cette égalité par mn. On obtient anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Cela implique anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1).
On voit que l'entier anln est divisible par m. Mais l/m est une fraction irréductible, c'est-à-dire que les nombres l et m sont premiers entre eux, et alors, comme le montre la théorie de la divisibilité des nombres entiers, les nombres ln et m sont également premiers entre eux. Ainsi, anln est divisible par m et m est premier à ln, ce qui signifie que an est divisible par m. Trouvons les racines rationnelles du polynôme f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8. Selon le théorème, les racines rationnelles de ce polynôme font partie des fractions irréductibles de la forme l/m, où l est le diviseur du terme libre a 0=8, et m est le diviseur du coefficient dominant a 4=6 . De plus, si la fraction l/m est négative, alors le signe « - » sera attribué au numérateur. Par exemple, - (1/3) = (-1) /3. On peut donc dire que l est un diviseur du nombre 8 et m est un diviseur positif du nombre 6.
Puisque les diviseurs du nombre 8 sont ± 1, ± 2, ± 4, ± 8 et que les diviseurs positifs du nombre 6 sont 1, 2, 3, 6, alors les racines rationnelles du polynôme en question sont parmi les nombres ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2/3, ± 4, ± 4/3, ± 8/3. Rappelons que nous n'avons noté que des fractions irréductibles. Ainsi, nous avons vingt nombres - « candidats » aux racines. Il ne reste plus qu'à vérifier chacun d'eux et à sélectionner ceux qui sont réellement des racines. le théorème suivant simplifie ce travail. Si la fraction irréductible l/m est la racine d'un polynôme f (x) à coefficients entiers, alors f (k) est divisible par l-km pour tout entier k, à condition que l-km≠ 0.
Pour prouver ce théorème, divisez f(x) par x-k avec un reste. On obtient f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Puisque f(x) est un polynôme à coefficients entiers, le polynôme s(x) l’est aussi, et f(k) est un nombre entier. Soit s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Alors f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1 x+b 0). Mettons 1 x=l/m dans cette égalité. En considérant que f(l/m)=0, on obtient f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- 2+…+b 1(l/m)+b 0). Multipliez les deux côtés de la dernière égalité par mn : mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1). Il s'ensuit que l'entier mnf (k) est divisible par l-km. Mais puisque l et m sont premiers entre eux, alors mn et l-km sont également premiers entre eux, ce qui signifie que f(k) est divisible par l-km. Le théorème a été prouvé.
Revenons à notre exemple et, en utilisant le théorème éprouvé, nous rétrécirons encore le cercle des recherches racines rationnelles. Appliquons ce théorème pour k=1 et k=-1, c'est-à-dire si la fraction irréductible l/m est la racine du polynôme f(x), alors f(1)/(l-m), et f(-1) /(l+m). On trouve facilement que dans notre cas f(1)=-5, et f(-1)= -15. Notez qu'en même temps nous avons exclu ± 1 de la considération. Ainsi, les racines rationnelles de notre polynôme doivent être recherchées parmi les nombres ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2/3, ± 4/3, ± 8 /3. Considérons l/m=1/2. Alors l-m=-1 et f (1) =-5 est divisé par ce nombre. De plus, l+m=3 et f (1) =-15 est également divisible par 3. Cela signifie que la fraction 1/2 reste parmi les « candidats » aux racines.
Soit maintenant lm=-(1/2)=(-1)/2. Dans ce cas, l-m=-3 et f (1) =-5 n'est pas divisible par - 3. Cela signifie que la fraction -1/2 ne peut pas être la racine de ce polynôme, et nous l'excluons de tout examen ultérieur. Vérifions chacune des fractions écrites ci-dessus et constatons que les racines requises sont parmi les nombres 1/2, ± 2/3, 2, - 4. Ainsi, en utilisant une technique assez simple, nous avons considérablement réduit la zone de recherche du rationnel racines du polynôme en question. Eh bien, pour vérifier les nombres restants, nous utiliserons le schéma de Horner : Tableau 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0
On voit que 1/2 est la racine du polynôme f(x) et f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) (3x3+8x2-8x-8). Il est clair que toutes les autres racines du polynôme f (x) coïncident avec les racines du polynôme g (x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8, ce qui signifie qu'une vérification plus approfondie des « candidats » pour les racines peut être effectué pour ce polynôme. On trouve : Tableau 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Nous avons constaté que le reste en divisant g(x) par x-2/3 est égal à - 80/9, c'est-à-dire que 2/3 n'est pas une racine du polynôme g(x), et donc f(x) non plus. Nous trouvons ensuite que - 2/3 est la racine du polynôme g(x) et g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4).
Alors f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x 2+2 x-4). Une vérification plus approfondie peut être effectuée pour le polynôme x 2+2 x-4, qui, bien entendu, est plus simple que pour g (x) ou, plus encore, pour f (x). En conséquence, nous constatons que les nombres 2 et - 4 ne sont pas des racines. Ainsi, le polynôme f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 a deux racines rationnelles : 1/2 et - 2/3. Cette méthode permet de trouver uniquement les racines rationnelles d'un polynôme à coefficients entiers. Pendant ce temps, un polynôme peut aussi avoir des racines irrationnelles. Ainsi, par exemple, le polynôme considéré dans l'exemple a deux racines supplémentaires : - 1±√ 5 (ce sont les racines du polynôme x2+2 x-4). un polynôme peut ne pas avoir de racines rationnelles du tout.
Lorsqu’on teste les racines « candidates » du polynôme f(x) en utilisant le deuxième des théorèmes démontrés ci-dessus, ce dernier est généralement utilisé pour les cas k = ± 1. En d’autres termes, si l/m est une racine « candidate », alors vérifiez si f( 1) et f (-1) par l-m et l+m, respectivement. Mais il peut arriver que, par exemple, f(1) =0, c'est-à-dire que 1 soit une racine, et alors f(1) soit divisible par n'importe quel nombre, et notre vérification n'a plus de sens. Dans ce cas, vous devez diviser f(x) par x-1, c'est-à-dire obtenir f(x)=(x-1)s(x), et tester le polynôme s(x). En même temps, il ne faut pas oublier que nous avons déjà trouvé une racine du polynôme f(x)-x 1=1. Si nous vérifions les « candidats » pour les racines restantes après avoir utilisé le deuxième théorème sur les racines rationnelles en utilisant le schéma de Horner et constatons que, par exemple, l/m est une racine, alors sa multiplicité devrait être trouvée. S'il est égal, disons, à k, alors f(x)=(x-l/m) ks (x), et des tests supplémentaires peuvent être effectués sur s(x), ce qui réduit les calculs.
Solution. Après avoir remplacé la variable y=2 x, on passe à un polynôme de coefficient égal à un au plus haut degré. Pour ce faire, multipliez d'abord l'expression par 4. Si la fonction résultante a des racines entières, alors elles font partie des diviseurs du terme libre. Notons-les : ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15 ±, ± 20, ± 30, ± 60
Calculons séquentiellement les valeurs de la fonction g(y) en ces points jusqu'à atteindre zéro. Autrement dit, y=-5 est une racine et est donc la racine de la fonction d'origine. Divisons le polynôme par un binôme à l'aide d'une colonne (coin)
Il n'est pas conseillé de continuer à vérifier les diviseurs restants, car il est plus facile de factoriser le résultat trinôme quadratique Ainsi,
Utiliser des formules de multiplication abrégées et le binôme de Newton pour factoriser des polynômes apparence d'un polynôme suggère une manière de le factoriser. Par exemple, après des transformations simples, les coefficients sont alignés sur une ligne du triangle de Pascal pour les coefficients du binôme de Newton. Exemple. Factorisez le polynôme.
Solution. Transformons l'expression sous la forme : La séquence des coefficients de la somme entre parenthèses indique clairement que c'est Par conséquent, appliquons maintenant la formule de la différence des carrés : L'expression entre parenthèses n'a pas de racines réelles, et pour le polynôme du première parenthèse, nous appliquons à nouveau la formule de la différence des carrés
Formules Vieta exprimant les coefficients d'un polynôme à travers ses racines. Ces formules sont pratiques à utiliser pour vérifier l'exactitude de la recherche des racines d'un polynôme, ainsi que pour composer un polynôme basé sur ses racines données. Formulation Si ce sont les racines d'un polynôme, alors les coefficients sont exprimés sous forme de polynômes symétriques des racines, à savoir
En d’autres termes, ak est égal à la somme de tous les produits possibles de k racines. Si le coefficient principal est un polynôme, alors pour appliquer la formule de Vieta, il faut d'abord diviser tous les coefficients par 0. Dans ce cas, les formules de Vieta donnent une expression pour le rapport de tous les coefficients au coefficient principal. De la dernière formule de Vieta, il s'ensuit que si les racines d'un polynôme sont entières, alors elles sont des diviseurs de son terme libre, qui est également entier. La preuve s'effectue en considérant l'égalité obtenue en développant le polynôme par racines, en tenant compte du fait que a 0 = 1 En égalisant les coefficients aux mêmes puissances de x, on obtient les formules de Vieta.
Résolvez l'équation x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Solution. Notons y = x 3, alors l'équation originale prend la forme y 2 – 5 y + 4 = 0, en résolvant laquelle nous obtenons Y 1 = 1 ; Y 2 = 4. Ainsi, l'équation d'origine est équivalente à un ensemble d'équations : x 3 = 1 ou x 3 = 4, c'est-à-dire X 1 = 1 ou X 2 = Réponse : 1 ;
Théorème de Bezout Définition 1. Un élément est appelé racine d'un polynôme si f(c)=0. Théorème de Bezout. Le reste de la division du polynôme Pn(x) par le binôme (x-a) est égal à la valeur de ce polynôme en x = a. Preuve. En vertu de l'algorithme de division, f(x)=(xc)q(x)+r(x), où soit r(x)=0, soit, et donc. Donc f(x)=(x-c)q(x)+r, donc f(c)=(c-c)q(c)+r=r, et donc f(x)=(xc)q(x) +f (c).
Corollaire 1 : Le reste de la division du polynôme Pn (x) par le binôme ax+b est égal à la valeur de ce polynôme en x = -b/a, soit R=Pn (-b/a). Corollaire 2 : Si le nombre a est la racine du polynôme P (x), alors ce polynôme est divisible par (x-a) sans reste. Corollaire 3 : Si le polynôme P(x) a des racines deux à deux distinctes a 1 , a 2 , ... , an, alors il est divisé par le produit (x-a 1) ... (x-an) sans reste. Corollaire 4 : Un polynôme de degré n a au plus n racines différentes. Corollaire 5 : Pour tout polynôme P(x) et nombre a, la différence (P(x)-P(a)) est divisible par le binôme (x-a) sans reste. Corollaire 6 : Un nombre a est racine d'un polynôme P(x) de degré au moins premier si et seulement si P(x) est divisible par (x-a) sans reste.
Décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples Montrons que toute fraction rationnelle propre peut être décomposée en une somme de fractions simples. Soit une fraction rationnelle appropriée (1).
Théorème 1. Soit x=a la racine du dénominateur de brièveté k, c'est-à-dire où f(a)≠ 0, alors cette fraction propre peut être représentée comme la somme de deux autres fractions propres comme suit : (2) , où A est une constante non égale à zéro, et F 1(x) est un polynôme dont le degré est inférieur au degré du dénominateur
où est un polynôme dont le degré est inférieur au degré du dénominateur. Et de la même manière que la formule précédente, vous pouvez obtenir : (5) Etc. est de nature éducative générale et a grande valeur pour étudier TOUT le cours de mathématiques supérieures. Aujourd'hui, nous allons répéter les équations « scolaires », mais pas seulement celles « scolaires » - mais celles que l'on retrouve partout dans divers problèmes de vyshmat. Comme d'habitude, l'histoire sera racontée de manière appliquée, c'est-à-dire Je ne me concentrerai pas sur les définitions et les classifications, mais je partagerai avec vous exactement expérience personnelle solutions. Les informations sont principalement destinées aux débutants, mais les lecteurs plus avancés y trouveront également beaucoup de choses pour eux-mêmes. moments intéressants. Et bien sûr, il y aura nouveau matériel, allant au-delà lycée.
Donc l'équation…. Beaucoup se souviennent de ce mot avec un frisson. Que valent les équations « sophistiquées » avec racines... ... oubliez-les ! Car alors vous rencontrerez les « représentants » les plus inoffensifs de cette espèce. Ou ennuyeux équations trigonométriques avec des dizaines de méthodes de résolution. Pour être honnête, je ne les aimais pas vraiment moi-même... Ne pas paniquer! – alors ce sont surtout des « pissenlits » qui vous attendent avec une solution évidente en 1 à 2 étapes. Même si la « bardane » s'accroche certainement, il faut ici être objectif.
Curieusement, en mathématiques supérieures, il est beaucoup plus courant de traiter des équations très primitives comme linéaireéquations
Que signifie résoudre cette équation ? Cela signifie trouver TELLE valeur de « x » (racine) qui en fait une véritable égalité. Jetons le « trois » vers la droite avec un changement de signe :
et déposez le « deux » sur le côté droit (ou, la même chose - multipliez les deux côtés par)
:
Pour vérifier, remplaçons le trophée gagné dans l’équation originale : 
L'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la valeur trouvée est bien une racine équation donnée. Ou, comme on dit aussi, satisfait à cette équation.
Veuillez noter que la racine peut également s'écrire sous la forme décimal:
Et essayez de ne pas vous en tenir à ce mauvais style ! J'ai répété la raison plus d'une fois, notamment lors de la toute première leçon sur algèbre supérieure.
D’ailleurs, l’équation peut aussi être résolue « en arabe » :
Et ce qui est le plus intéressant, c’est que cet enregistrement est totalement légal ! Mais si vous n'êtes pas enseignant, alors il vaut mieux ne pas faire ça, car ici l'originalité est punissable =)
Et maintenant un peu sur
méthode de solution graphique
L'équation a la forme et sa racine est Coordonnée "X" points d'intersection graphique de fonction linéaire avec le graphique d'une fonction linéaire (axe x):
Il semblerait que l'exemple soit si élémentaire qu'il n'y a plus rien à analyser ici, mais une autre nuance inattendue peut en être « extraite » : présentons la même équation sous la forme et construisons des graphiques des fonctions : 
En même temps, s'il te plaît, ne confonds pas les deux concepts: une équation est une équation, et fonction– c'est une fonction ! Fonctions seulement de l'aide trouver les racines de l'équation. Il peut y en avoir deux, trois, quatre, voire une infinité. L'exemple le plus proche en ce sens est le célèbre équation quadratique, l'algorithme de solution pour lequel a reçu un paragraphe séparé des formules scolaires « chaudes ». Et ce n'est pas un hasard ! Si vous pouvez résoudre une équation quadratique et savoir Théorème de Pythagore, alors, pourrait-on dire, "la moitié des mathématiques supérieures est déjà dans votre poche" =) Exagéré, bien sûr, mais pas si loin de la vérité !
Par conséquent, ne soyons pas paresseux et résolvons une équation quadratique en utilisant algorithme standard:
, ce qui signifie que l'équation a deux valeurs différentes valide racine: 
Il est facile de vérifier que les deux valeurs trouvées satisfont réellement à cette équation : 
Que faire si vous avez soudainement oublié l'algorithme de solution et qu'il n'y a aucun moyen/coup de main à portée de main ? Cette situation peut survenir, par exemple, lors d'un contrôle ou d'un examen. Nous utilisons la méthode graphique ! Et il y a deux manières : vous pouvez construire point par point parabole 
, découvrant ainsi où il croise l'axe (si ça traverse du tout). Mais il vaut mieux faire quelque chose de plus astucieux : imaginer l'équation sous la forme, dessiner des graphiques de fonctions plus simples - et Coordonnées "X" leurs points d'intersection sont bien visibles ! 
S'il s'avère que la ligne droite touche la parabole, alors l'équation a deux racines (multiples) coïncidentes. S'il s'avère que la ligne droite ne coupe pas la parabole, alors il n'y a pas de véritables racines.
Pour ce faire, bien sûr, vous devez être capable de construire graphiques de fonctions élémentaires, mais d'un autre côté, même un écolier peut acquérir ces compétences.
Et encore une fois - une équation est une équation, et les fonctions sont des fonctions qui je viens d'aider résolvez l'équation!
Et ici, d'ailleurs, il conviendrait de rappeler encore une chose : si tous les coefficients d'une équation sont multipliés par un nombre non nul, alors ses racines ne changeront pas.
Ainsi, par exemple, l'équation 
a les mêmes racines. Comme simple « preuve », je vais retirer la constante entre parenthèses : 
et je l'enlèverai sans douleur (Je diviserai les deux parties par « moins deux »):
MAIS! Si l'on considère la fonction 
, alors vous ne pouvez pas vous débarrasser de la constante ici ! Il est uniquement permis de retirer le multiplicateur entre parenthèses : 
.
Beaucoup de gens sous-estiment la méthode de résolution graphique, la considérant comme « indigne », et certains oublient même complètement cette possibilité. Et c’est fondamentalement faux, car tracer des graphiques sauve parfois la situation !
Autre exemple : supposons que vous ne vous souveniez pas des racines de l’équation trigonométrique la plus simple : . La formule générale se trouve dans les manuels scolaires, dans tous les ouvrages de référence sur les mathématiques élémentaires, mais ils ne sont pas à votre disposition. Cependant, il est essentiel de résoudre l’équation (c’est-à-dire « deux »). Il y a un moyen de s'en sortir ! – construire des graphiques de fonctions : 
après quoi on note calmement les coordonnées « X » de leurs points d'intersection : 
Il existe une infinité de racines et leur notation condensée est acceptée en algèbre :
, Où ( – ensemble d'entiers)
.
Et, sans « s'éloigner », quelques mots sur la méthode graphique de résolution des inégalités à une variable. Le principe est le même. Ainsi, par exemple, la solution de l’inégalité est n’importe quel « x », car La sinusoïde se situe presque entièrement sous la ligne droite. La solution de l'inégalité est l'ensemble des intervalles dans lesquels les morceaux de la sinusoïde se trouvent strictement au-dessus de la droite (axe des x):
ou, en bref :
Mais voici les nombreuses solutions à l’inégalité : vide, puisqu'aucun point de la sinusoïde ne se trouve au-dessus de la droite.
Y a-t-il quelque chose que vous ne comprenez pas ? Étudiez de toute urgence les leçons sur ensembles Et graphiques de fonctions!
Réchauffons-nous :
Tâche 1
Résolvez graphiquement les équations trigonométriques suivantes :
Réponses à la fin de la leçon
Comme vous pouvez le constater, pour étudier les sciences exactes, il n'est pas du tout nécessaire de fourrer des formules et des ouvrages de référence ! De plus, il s’agit d’une approche fondamentalement erronée.
Comme je vous l'ai déjà rassuré au tout début de la leçon, les équations trigonométriques complexes dans un cours standard de mathématiques supérieures doivent être résolues extrêmement rarement. En règle générale, toute complexité se termine par des équations comme , dont la solution est constituée de deux groupes de racines provenant des équations les plus simples et 
. Ne vous inquiétez pas trop de résoudre ce dernier problème – regardez dans un livre ou trouvez-le sur Internet =)
La méthode de résolution graphique peut également être utile dans des cas moins triviaux. Considérons, par exemple, l’équation « ragtag » suivante :
Les perspectives de sa solution semblent... ne ressemblent à rien du tout, mais il suffit d'imaginer l'équation sous la forme , construire graphiques de fonctions et tout s'avérera incroyablement simple. Il y a un dessin au milieu de l'article sur fonctions infinitésimales (s'ouvrira dans l'onglet suivant).
En utilisant la même méthode graphique, vous pouvez découvrir que l'équation a déjà deux racines, et l'une d'elles est égale à zéro, et l'autre, apparemment, irrationnel et appartient au segment . Cette racine peut être calculée approximativement, par exemple, méthode tangente. D'ailleurs, dans certains problèmes, il arrive que vous n'ayez pas besoin de trouver les racines, mais découvrez est-ce qu'ils existent du tout ?. Et ici aussi, un dessin peut aider - si les graphiques ne se croisent pas, alors il n'y a pas de racines.
Racines rationnelles de polynômes à coefficients entiers.
Schéma Horner
Et maintenant je vous invite à tourner votre regard vers le Moyen Âge et à ressentir l'atmosphère unique de l'algèbre classique. Pour meilleure compréhension Je vous recommande de lire au moins un peu du matériel nombres complexes.
Ce sont les meilleurs. Polynômes.
L'objet de notre intérêt sera les polynômes les plus courants de la forme avec entier coefficients Nombre naturel appelé degré de polynôme, nombre – coefficient du plus haut degré (ou juste le coefficient le plus élevé), et le coefficient est membre gratuit.
Je désignerai brièvement ce polynôme par .
Racines d'un polynôme appeler les racines de l'équation
J'adore la logique de fer =)
Pour des exemples, allez au tout début de l'article : 
Il n'y a aucun problème pour trouver les racines des polynômes des 1er et 2e degrés, mais à mesure que vous augmentez, cette tâche devient de plus en plus difficile. Même si d'un autre côté, tout est plus intéressant ! Et c’est exactement à cela que sera consacrée la deuxième partie de la leçon.
Tout d’abord, littéralement un demi-écran de théorie :
1) D'après le corollaire théorème fondamental de l'algèbre, le polynôme de degré a exactement complexe racines. Certaines racines (voire toutes) peuvent être particulièrement valide. De plus, parmi les racines réelles, il peut y avoir des racines identiques (plusieurs) (minimum deux, maximum pièces).
Si un nombre complexe est la racine d’un polynôme, alors conjuguer son nombre est aussi nécessairement la racine de ce polynôme (les racines complexes conjuguées ont la forme ).
L'exemple le plus simple est une équation quadratique apparue pour la première fois en 8 (comme) classe, et que nous avons finalement « terminé » dans le sujet nombres complexes. Je vous le rappelle : une équation quadratique a soit deux racines réelles différentes, soit des racines multiples, soit des racines complexes conjuguées.
2) De Théorème de Bezout il s'ensuit que si un nombre est la racine d'une équation, alors le polynôme correspondant peut être factorisé :
, où est un polynôme de degré .
Et encore une fois, notre vieil exemple : puisque est la racine de l’équation, alors . Après quoi, il n’est pas difficile d’obtenir la fameuse extension « école ».
Le corollaire du théorème de Bezout a une grande valeur pratique : si l'on connaît la racine d'une équation du 3ème degré, alors on peut la représenter sous la forme 
et à partir de l’équation quadratique, il est facile de découvrir les racines restantes. Si nous connaissons la racine d’une équation du 4ème degré, alors il est possible de développer le côté gauche en un produit, etc.
Et il y a deux questions ici :
Première question. Comment trouver cette racine ? Tout d'abord, définissons sa nature : dans de nombreux problèmes de mathématiques supérieures il faut trouver rationnel, en particulier entier racines des polynômes, et à cet égard, nous nous y intéresserons principalement ci-dessous.... ...ils sont si bons, si moelleux, qu'on a envie de les retrouver ! =)
La première chose qui vient à l’esprit est la méthode de sélection. Considérons, par exemple, l'équation . Le problème ici est dans le terme libre - s'il était égal à zéro, alors tout irait bien - nous retirons le « X » des parenthèses et les racines elles-mêmes « tombent » à la surface : 
Mais notre terme libre est égal à « trois », et donc nous commençons à substituer dans l'équation différents numéros, prétendant être la « racine ». Tout d'abord, la substitution de valeurs uniques s'impose. Remplaçons : 
Reçu incorrect l’égalité, donc l’unité « ne correspondait pas ». Bon, d'accord, remplaçons : 
Reçu vraiégalité! Autrement dit, la valeur est la racine de cette équation.
Pour trouver les racines d'un polynôme du 3ème degré, il existe une méthode analytique (les formules dites de Cardano), mais maintenant nous nous intéressons à une tâche légèrement différente.
Puisque - est la racine de notre polynôme, le polynôme peut être représenté sous la forme et apparaît Deuxième question: comment trouver un « petit frère » ?
Les considérations algébriques les plus simples suggèrent que pour ce faire, nous devons diviser par . Comment diviser un polynôme par un polynôme ? Même méthode scolaire, qui sert à diviser les nombres ordinaires - dans une « colonne » ! Cette méthode je plus en détail discuté dans les premiers exemples de la leçon Limites complexes, et maintenant nous allons examiner une autre méthode, appelée Schéma Horner.
Nous écrivons d’abord le polynôme « le plus élevé » avec tout le monde
, y compris les coefficients nuls:
, après quoi nous saisissons ces coefficients (strictement dans l'ordre) dans la ligne supérieure du tableau :
On écrit la racine à gauche :
Je ferai immédiatement une réserve sur le fait que le schéma de Horner fonctionne également si le nombre « rouge » Pas est la racine du polynôme. Cependant, ne précipitons pas les choses.
Nous supprimons le coefficient dominant d'en haut :
Le processus de remplissage des cellules inférieures rappelle un peu la broderie, où le « moins un » est une sorte d'« aiguille » qui imprègne les étapes suivantes. Nous multiplions le nombre « reporté » par (–1) et ajoutons le nombre de la cellule supérieure au produit :
Nous multiplions la valeur trouvée par « l'aiguille rouge » et ajoutons le coefficient d'équation suivant au produit :
Et enfin, la valeur résultante est à nouveau « traitée » avec « l'aiguille » et le coefficient supérieur :
Le zéro dans la dernière cellule nous indique que le polynôme est divisé en sans laisser de trace (comme il se doit), tandis que les coefficients de dilatation sont « supprimés » directement de la ligne du bas du tableau :
Ainsi, on est passé de l'équation à une équation équivalente et tout est clair avec les deux racines restantes (V. dans ce cas nous obtenons des racines complexes conjuguées).
Soit dit en passant, l'équation peut également être résolue graphiquement : tracer "foudre" 
et voyez que le graphique croise l'axe des x ()
au point. Ou la même astuce « rusée » : nous réécrivons l'équation sous la forme , dessinons des graphiques élémentaires et détectons la coordonnée « X » de leur point d'intersection.
À propos, le graphique de toute fonction polynomiale du troisième degré coupe l'axe au moins une fois, ce qui signifie que l'équation correspondante a au moins un valide racine. Ce fait valable pour toute fonction polynomiale de degré impair.
Et ici, je voudrais aussi m'attarder sur point important qui concerne la terminologie : polynôme Et fonction polynomiale – ce n'est pas la même chose! Mais dans la pratique, on parle souvent, par exemple, du « graphique d'un polynôme », ce qui, bien sûr, est de la négligence.
Cependant, revenons au schéma de Horner. Comme je l'ai mentionné récemment, ce système fonctionne pour d'autres numéros, mais si le numéro Pas est la racine de l'équation, alors une addition (reste) non nulle apparaît dans notre formule :
"Exécutons" la valeur "échec" selon le schéma de Horner. Dans ce cas, il est pratique d'utiliser le même tableau - écrivez une nouvelle "aiguille" à gauche, déplacez le coefficient dominant d'en haut (flèche verte gauche), et c'est parti : 
Pour vérifier, ouvrons les parenthèses et présentons des termes similaires :
, D'ACCORD.
Il est facile de remarquer que le reste (« six ») est exactement la valeur du polynôme en . Et en fait, comment ça se passe : 
, et encore plus sympa - comme ceci :
A partir des calculs ci-dessus, il est facile de comprendre que le schéma de Horner permet non seulement de factoriser le polynôme, mais aussi d'effectuer une sélection « civilisée » de la racine. Je vous propose de consolider vous-même l'algorithme de calcul avec une petite tâche :
Tâche 2
À l'aide du schéma de Horner, trouvez la racine entière de l'équation et factorisez le polynôme correspondant
En d'autres termes, vous devez ici vérifier séquentiellement les nombres 1, –1, 2, –2, ... – jusqu'à ce qu'un reste zéro soit « dessiné » dans la dernière colonne. Cela signifiera que « l’aiguille » de cette droite est la racine du polynôme
Il est pratique de regrouper les calculs dans un seul tableau. Solution détaillée et la réponse à la fin de la leçon.
La méthode de sélection des racines est relativement bonne pour cas simples, mais si les coefficients et/ou le degré du polynôme sont grands, le processus peut prendre plus de temps. Ou peut-être qu'il y a des valeurs de la même liste 1, –1, 2, –2 et cela ne sert à rien de les considérer ? Et, en plus, les racines peuvent s'avérer fractionnées, ce qui conduira à un piquage totalement non scientifique.
Heureusement, il existe deux théorèmes puissants qui peuvent réduire considérablement la recherche de valeurs « candidates » pour les racines rationnelles :
Théorème 1 Considérons irréductible fraction , où . Si le nombre est la racine de l'équation, alors le terme libre est divisé par et le coefficient principal est divisé par.
En particulier, si le coefficient dominant est , alors cette racine rationnelle est un entier :
Et nous commençons à exploiter le théorème avec juste ce détail savoureux :
Revenons à l'équation. Puisque son coefficient directeur est , alors les racines rationnelles hypothétiques peuvent être exclusivement entières, et le terme libre doit nécessairement être divisé en ces racines sans reste. Et « trois » ne peut être divisé qu’en 1, –1, 3 et –3. Autrement dit, nous n'avons que 4 « candidats racines ». Et, selon Théorème 1, d'autres nombres rationnels ne peuvent pas être racines de cette équation EN PRINCIPE.
Il y a un peu plus de « prétendants » dans l'équation : le terme libre est divisé en 1, –1, 2, – 2, 4 et –4.
Attention, les chiffres 1, –1 sont des « habitués » de la liste des racines possibles (une conséquence évidente du théorème) et la plupart meilleur choix pour un contrôle prioritaire.
Passons à des exemples plus significatifs :
Problème 3
Solution: puisque le coefficient dominant est , alors les racines rationnelles hypothétiques ne peuvent être que des nombres entiers, et elles doivent nécessairement être des diviseurs du terme libre. « Moins quarante » est divisé en les paires de nombres suivantes :
– un total de 16 « candidats ».
Et ici apparaît immédiatement une pensée tentante : est-il possible d’éliminer toutes les racines négatives ou toutes les racines positives ? Dans certains cas, c'est possible ! Je formulerai deux signes :
1) Si Tous Si les coefficients du polynôme sont non négatifs, alors il ne peut pas avoir de racines positives. Malheureusement, ce n'est pas notre cas (Maintenant, si on nous donnait une équation - alors oui, lors de la substitution d'une valeur du polynôme, la valeur du polynôme est strictement positive, ce qui signifie que tous les nombres positifs (et les irrationnels aussi) ne peuvent pas être les racines de l’équation.
2) Si les coefficients des puissances impaires sont non négatifs, et pour toutes les puissances paires (y compris membre gratuit) sont négatifs, alors le polynôme ne peut pas avoir de racines négatives. C'est notre cas ! En regardant d’un peu plus près, vous pouvez voir qu’en remplaçant un « X » négatif dans l’équation, le membre de gauche sera strictement négatif, ce qui signifie que les racines négatives disparaissent.
Il reste donc 8 nombres à rechercher :
Nous les « facturons » séquentiellement selon le schéma de Horner. J'espère que vous maîtrisez déjà le calcul mental : 
La chance nous attendait lors du test du « deux ». Ainsi, la racine de l’équation considérée est-elle, et
Reste à étudier l'équation 
. C'est facile à faire grâce au discriminant, mais je vais effectuer un test indicatif en utilisant le même schéma. Notons tout d’abord que le terme libre est égal à 20, ce qui signifie Théorème 1 les nombres 8 et 40 sortent de la liste des racines possibles, laissant les valeurs à la recherche (un a été éliminé selon le schéma de Horner).
Nous écrivons les coefficients du trinôme dans la rangée supérieure du nouveau tableau et On commence à vérifier avec les mêmes "deux". Pourquoi? Et comme les racines peuvent être multiples, s'il vous plaît : - cette équation a 10 racines identiques. Mais ne nous laissons pas distraire : 
Et là, bien sûr, je mentais un peu, sachant que les racines sont rationnelles. Après tout, s’ils étaient irrationnels ou complexes, je serais alors confronté à une vérification infructueuse de tous les nombres restants. Par conséquent, en pratique, soyez guidé par le discriminant.
Répondre: racines rationnelles : 2, 4, 5
Nous avons eu de la chance dans le problème que nous avons analysé, car : a) ils sont tombés tout de suite valeurs négatives, et b) nous avons trouvé la racine très rapidement (et théoriquement nous pourrions vérifier toute la liste).
Mais en réalité, la situation est bien pire. je vous invite à regarder jeu passionnant appelé " Le dernier héros»:
Problème 4
Trouver les racines rationnelles de l'équation
Solution: Par Théorème 1 les numérateurs des racines rationnelles hypothétiques doivent satisfaire à la condition (on lit « douze est divisé par el »), et les dénominateurs correspondent à la condition . Sur cette base, nous obtenons deux listes :
"liste des éléments":
et "liste euh": (heureusement, les chiffres ici sont naturels).
Faisons maintenant une liste de toutes les racines possibles. Tout d’abord, nous divisons la « liste el » par . Il est absolument clair que les mêmes chiffres seront obtenus. Pour plus de commodité, mettons-les dans un tableau :
De nombreuses fractions ont été réduites, ce qui a donné lieu à des valeurs qui figurent déjà dans la « liste des héros ». Nous ajoutons uniquement les « débutants » : 
De même, nous divisons la même « liste » par : 
et enfin sur
Ainsi, l'équipe des participants à notre jeu est complétée : 
Malheureusement, le polynôme de ce problème ne satisfait pas au critère « positif » ou « négatif », et nous ne pouvons donc pas écarter la ligne du haut ou du bas. Vous devrez travailler avec tous les chiffres.
Comment te sens-tu? Allez, relevez la tête - il existe un autre théorème que l'on peut appeler au sens figuré le « théorème du tueur »…. ...des « candidats », bien sûr =)
Mais vous devez d'abord faire défiler le diagramme de Horner pendant au moins un le tout Nombres. Traditionnellement, prenons-en un. Dans la ligne du haut, nous écrivons les coefficients du polynôme et tout se passe comme d'habitude :
Puisque quatre n’est clairement pas zéro, la valeur n’est pas la racine du polynôme en question. Mais elle nous aidera beaucoup.
Théorème 2 Si pour certains en général la valeur du polynôme est non nulle : , alors ses racines rationnelles (s'ils existent) satisfaire la condition
Dans notre cas et donc toutes les racines possibles doivent satisfaire la condition (appelons-le Condition n°1). Ce quatre sera le « tueur » de nombreux « candidats ». À titre de démonstration, je vais examiner quelques contrôles :
Vérifions le "candidat". Pour ce faire, représentons-le artificiellement sous la forme d'une fraction, d'où on voit clairement que . Calculons la différence de test : . Quatre est divisé par « moins deux » : , ce qui signifie que la racine possible a réussi le test.
Vérifions la valeur. Ici, la différence de test est : 
. Bien entendu, le deuxième « sujet » reste donc également sur la liste.
Il a été prouvé que pour factoriser un polynôme, il faut trouver ses racines. Formules pour les racines d'un polynôme carré. Méthode pour retrouver des racines entières. Méthode de factorisation d'un polynôme biquadratique et de le réduire à un polynôme quadratique. Polynômes récurrents.
Base de la méthode
Laisser
- polynôme de degré n ≥ 1
d'une variable réelle ou complexe z à coefficients réels ou complexes a i.
Acceptons le théorème suivant sans preuve.
Théorème 1 Équation Pn(z) = 0
a au moins une racine.
Démontrons le lemme suivant.
Lemme 1 Soit Pn(z) 1
- polynôme de degré n, z
- racine de l'équation : Pn.
(z 1) = 0 Soit Pn Puis Pn
- racine de l'équation : peut être représenté de la seule manière sous la forme :,
(z) = (z - z 1) P n-1 (z) où Pn- 1(z) 1
.
- polynôme de degré n -
Preuve Soit Pn Pour le prouver, on applique le théorème (voir Division et multiplication d'un polynôme par un polynôme par un coin et une colonne), selon lequel pour deux polynômes quelconques P n Soit Pn et Qk
- racine de l'équation : , degrés n et k, avec n ≥ k, il existe une représentation unique sous la forme :,
(z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z) Soit Pn où Pn-k où Pn-- polynôme de degré n-k, U k- 1
.
- polynôme de degré non supérieur à k- 1
Posons k = , Qk(z) = z - z 1
- racine de l'équation : , Alors,
(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + c 1
où c est une constante. Remplaçons ici z = z Pn:
- racine de l'équation : et prendre en compte que P n;
(z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c.
0 = 0 + c 0
Donc c =
.
Alors
Pn, Soit Pn Q.E.D. 1
Ainsi, d'après le théorème 1, le polynôme P n Pn a au moins une racine. Notons-le par z
- racine de l'équation : ,PN.
. 1
Ensuite, d’après le lemme 1 : où Pn-(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) 2
De plus, si n > , alors le polynôme P n- Donc c =
a également au moins une racine, que nous notons z ,Pn-;
- racine de l'équation : 1 (z 2) = 0.
Pn- 1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z)(z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) P n-2 (z)
- racine de l'équation : En poursuivant ce processus, nous arrivons à la conclusion qu'il existe n nombres z.
1 , z 2 , ... , z n tel que(z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z)
(1)
Mais P 0(z).
- c'est une constante. En égalant les coefficients de z n, nous constatons qu'il est égal à a n. Soit Pn.
En conséquence, on obtient la formule de factorisation d'un polynôme : (1)
Pn (1)
(z) = une n (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n )
(2)
Mais P Les nombres z i sont les racines du polynôme P n;
.
En général, tous les z ne sont pas inclus dans 1
, sont différents. Parmi eux, il peut y avoir les mêmes valeurs. Puis factoriser le polynôme peut s'écrire sous la forme :(z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k Ici z je ≠ z j pour je ≠ j. Si n je = , Que racine 1
, sont différents. Parmi eux, il peut y avoir les mêmes valeurs. Puis factoriser le polynôme peut s'écrire sous la forme :(z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k z je appelé simple . Il entre en factorisation sous la forme: (z-z je).
.
Si n je >
Si est une racine complexe d'un polynôme à coefficients réels, , alors le nombre conjugué complexe est également une racine du polynôme, .
- polynôme de degré n -
En effet, si , et les coefficients du polynôme sont des nombres réels, alors .
Ainsi, les racines complexes entrent dans la factorisation par paires avec leurs valeurs conjuguées complexes :
,
où , sont des nombres réels.
Puis la décomposition (2)
un polynôme à coefficients réels en facteurs peut être représenté sous une forme dans laquelle seules des constantes réelles sont présentes :
(3)
;
.
Méthodes de factorisation d'un polynôme
Compte tenu de ce qui précède, pour factoriser un polynôme, vous devez trouver toutes les racines de l'équation P n (z) = 0 et déterminer leur multiplicité. Les facteurs ayant des racines complexes doivent être regroupés avec des conjugués complexes. Alors le développement est déterminé par la formule (3) .
Ainsi, la méthode pour factoriser un polynôme est la suivante :
1.
Trouver la racine z 1
équations Pn (z 1) = 0.
2.1.
Si la racine z 1
réel, alors on ajoute le facteur au développement (z - z 1) (z - z 1) 1
:
.
1(z), à partir du point (1)
jusqu'à ce que nous trouvions toutes les racines.
2.2.
Si la racine est complexe, alors le nombre conjugué complexe est également la racine du polynôme. Alors le développement inclut le facteur
,
où b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
Dans ce cas, on ajoute le facteur au développement (z 2 + b 1 z + c 1) et divisez le polynôme P n (z) par (z 2 + b 1 z + c 1). 2
:
.
En conséquence, on obtient un polynôme de degré n - Ensuite, nous répétons le processus pour le polynôme P n-, à partir du point (1)
jusqu'à ce que nous trouvions toutes les racines.
2(z)
Trouver les racines d'un polynôme
La tâche principale lors de la factorisation d’un polynôme est de trouver ses racines. Malheureusement, cela ne peut pas toujours être fait de manière analytique. Ici, nous examinerons plusieurs cas où vous pouvez trouver analytiquement les racines d'un polynôme.
Racines d'un polynôme du premier degré
.
Un polynôme du premier degré est une fonction linéaire. Il a une racine. Le développement n'a qu'un seul facteur contenant la variable z :
Racines d'un polynôme du deuxième degré
Pour trouver les racines d'un polynôme du deuxième degré, il faut résoudre l'équation quadratique : P..
2 (z) = une 2 z 2 + une 1 z + une 0 = 0
, .
Si le discriminant est , alors l’équation a deux racines réelles :
.
Alors la factorisation a la forme : 0
Si discriminant D =
;
.
, alors l'équation a une racine double :< 0
Si discriminant D
.
, alors les racines de l’équation sont complexes,
Il existe des formules pour trouver les racines des polynômes du 3e et du 4e degré. Cependant, ils sont rarement utilisés car ils sont encombrants. Il n'existe pas de formules pour trouver les racines des polynômes de degré supérieur à 4. Malgré cela, dans certains cas, il est possible de factoriser le polynôme.
Trouver des racines entières
Si l’on sait qu’un polynôme dont les coefficients sont des entiers a une racine entière, alors il peut être trouvé en recherchant toutes les valeurs possibles.
Lemme 3
Laissez le polynôme
,
dont les coefficients a i sont des nombres entiers, a une racine entière z 1
. 0
.
- polynôme de degré n -
Alors cette racine est un diviseur du nombre a Pn Réécrivons l'équation P n
.
sous la forme :
Puis le tout mz.
1 = - un 0 1
:
.
Diviser par z
Puisque M est un entier, alors M est un entier. Q.E.D. 0
Par conséquent, si les coefficients du polynôme sont des nombres entiers, vous pouvez alors essayer de trouver les racines entières. Pour ce faire, vous devez trouver tous les diviseurs du terme libre a Équation Pn et, en substituant dans l'équation P n
, vérifiez si ce sont des racines de cette équation. Note Équation Pn. Si les coefficients du polynôme sont des nombres rationnels, alors multiplier l'équation P n
par le dénominateur commun des nombres a i , on obtient une équation pour un polynôme à coefficients entiers.
Trouver des racines rationnelles 1
Si les coefficients du polynôme sont des entiers et qu'il n'y a pas de racines entières, alors pour un n ≠
, vous pouvez essayer de trouver des racines rationnelles. Pour ce faire, vous devez effectuer une substitution
z = oui/un n 1
et multipliez l'équation par un n n-
.
En conséquence, nous obtenons une équation pour un polynôme dans la variable y avec des coefficients entiers. Ensuite, nous recherchons les racines entières de ce polynôme parmi les diviseurs du terme libre. Si on a trouvé une telle racine y i, alors en passant à la variable x, on obtient une racine rationnelle
z je = y je /une n .
Formules utiles
- racine de l'équation : Nous présentons des formules qui peuvent être utilisées pour factoriser un polynôme.,
Plus généralement, pour développer un polynôme 0
(z) = z n - une 0
où un 0
.
- complexe, il faut trouver toutes ses racines, c'est-à-dire résoudre l'équation : 0
z n = une
.
Cette équation peut être facilement résolue en exprimant un 0
via le module r et l'argument φ : Depuis un ne changera pas si nous ajoutons à l'argument 0
Réécrivons l'équation P n
,
2π
;
.
, alors imaginez un où k est un entier. Alors Attribuer à k les valeurs k =
.
0, 1, 2, ...n-1
, on obtient n racines du polynôme. Alors sa factorisation a la forme :
.
Polynôme biquadratique
Considérons le polynôme biquadratique :
,
Un polynôme biquadratique peut être factorisé sans trouver les racines.
Quand , on a :
Où .
.
Polynômes bicubiques et quadratiques
.
Considérons le polynôme : Ses racines sont déterminées à partir de l'équation : substitution t = z n :
un 2 n t 2 + une n t + une 0 = 0.
Après avoir résolu cette équation, on trouve ses racines, t 1
,t 2
.
.
On retrouve alors le développement sous la forme : 1
Ensuite, en utilisant la méthode indiquée ci-dessus, nous factorisons z n - t 2
et z n - t
.
Enfin, nous regroupons les facteurs contenant des racines conjuguées complexes. Polynômes récurrents Le polynôme s'appelle
consigné
.
, si ses coefficients sont symétriques : -1
Un exemple de polynôme réflexif : + 1
Si le degré d'un polynôme récurrent n est impair, alors un tel polynôme a une racine z = - 1
.
. 2
Diviser un tel polynôme par z
, on obtient un polynôme récurrent de degré n Si le degré d'un polynôme récurrent n est pair, alors par substitution , il est réduit à un polynôme de degré n/.
cm.
Comme nous l'avons déjà noté, l'un des
tâches les plus importantes
dans la théorie des polynômes, la tâche consiste à trouver leurs racines. Pour résoudre ce problème, vous pouvez utiliser la méthode de sélection, c'est-à-dire prenez un nombre au hasard et vérifiez s'il est la racine d'un polynôme donné.
Dans ce cas, vous pouvez rapidement « tomber sur » la racine, ou vous ne la trouverez peut-être jamais. Après tout, il est impossible de vérifier tous les chiffres, car ils sont infinis.
Ce serait une autre affaire si l'on pouvait affiner la zone de recherche, par exemple, pour savoir que les racines que l'on recherche se trouvent, disons, parmi les trente nombres spécifiés. Et pour trente numéros, vous pouvez faire un contrôle. En relation avec tout ce qui a été dit ci-dessus, cette affirmation semble importante et intéressante.
Si la fraction irréductible l/m (l, m sont des nombres entiers) est la racine d'un polynôme f (x) à coefficients entiers, alors le coefficient dominant de ce polynôme est divisé par m et le terme libre est divisé par 1.
En effet, si f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, où an, an-1,...,a1, a0 sont des entiers, alors f (l/ m) =0, c'est-à-dire an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.
Multiplions les deux côtés de cette égalité par mn. On obtient anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0. Il en découle :. Trouvons les racines rationnelles du polynôme f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8. Selon le théorème, les racines rationnelles de ce polynôme font partie des fractions irréductibles de la forme l/m, où l est le diviseur du terme libre a0=8, et m est le diviseur du coefficient dominant a4=6. De plus, si la fraction l/m est négative, alors le signe « - » sera attribué au numérateur. Par exemple, - (1/3) = (-1) /3. On peut donc dire que l est un diviseur du nombre 8 et m est un diviseur positif du nombre 6.
Puisque les diviseurs du nombre 8 sont ±1, ±2, ±4, ±8 et que les diviseurs positifs du nombre 6 sont 1, 2, 3, 6, alors les racines rationnelles du polynôme en question sont parmi les nombres ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Rappelons que nous n'avons noté que des fractions irréductibles.
Ainsi, nous avons vingt nombres - « candidats » aux racines. Il ne reste plus qu'à vérifier chacun d'eux et à sélectionner ceux qui sont réellement des racines. Mais encore une fois, vous devrez faire pas mal de vérifications. Mais le théorème suivant simplifie ce travail.
Si la fraction irréductible l/m est la racine d'un polynôme f (x) à coefficients entiers, alors f (k) est divisible par l-km pour tout entier k, à condition que l-km?0.
Pour prouver ce théorème, divisez f (x) par x-k avec un reste. Nous obtenons f (x) = (xk) s (x) +f (k). Puisque f (x) est un polynôme à coefficients entiers, le polynôme s (x) l'est également, et f (k) est un nombre entier. Soit s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Alors f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). Mettons x=l/m dans cette égalité. En considérant que f (l/m) =0, on obtient
f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .
Multiplions les deux côtés de la dernière égalité par mn :
mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).
Il s'ensuit que l'entier mnf (k) est divisible par l-km. Mais puisque l et m sont premiers entre eux, alors mn et l-km sont également premiers entre eux, ce qui signifie que f (k) est divisible par l-km. Le théorème a été prouvé.
Revenons maintenant à notre exemple et, à l'aide du théorème éprouvé, nous rétrécirons encore le cercle des recherches de racines rationnelles. Appliquons ce théorème pour k=1 et k=-1, c'est-à-dire si la fraction irréductible l/m est la racine du polynôme f (x), alors f (1) / (l-m), et f (-1) / (l+m). On trouve facilement que dans notre cas f (1) = -5, et f (-1) = -15. Notez qu’en même temps, nous avons exclu ±1 de la considération.
Ainsi, les racines rationnelles de notre polynôme doivent être recherchées parmi les nombres ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8. /3.
Considérons l/m=1/2. Alors l-m=-1 et f (1) =-5 est divisé par ce nombre. De plus, l+m=3 et f (1) =-15 est également divisible par 3. Cela signifie que la fraction 1/2 reste parmi les « candidats » aux racines.
Soit maintenant lm=- (1/2) = (-1) /2. Dans ce cas, l-m=-3 et f (1) =-5 n'est pas divisible par - 3. Cela signifie que la fraction - 1/2 ne peut pas être la racine de ce polynôme, et nous l'excluons d'un examen plus approfondi. Vérifions chacune des fractions écrites ci-dessus et constatons que les racines requises sont parmi les nombres 1/2, ±2/3, 2, - 4.
Ainsi, à l'aide d'une technique assez simple, nous avons considérablement réduit la zone de recherche des racines rationnelles du polynôme considéré. Eh bien, pour vérifier les nombres restants, nous utiliserons le schéma de Horner :
Tableau 10
Nous avons constaté que le reste en divisant g (x) par x-2/3 est égal à - 80/9, c'est-à-dire que 2/3 n'est pas une racine du polynôme g (x), et donc f (x) non plus.
Ensuite, on trouve facilement que - 2/3 est la racine du polynôme g (x) et g (x) = (3x+2) (x2+2x-4). Alors f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Une vérification plus approfondie peut être effectuée pour le polynôme x2+2x-4, ce qui est bien entendu plus simple que pour g (x) ou, plus encore, pour f (x). En conséquence, nous constatons que les nombres 2 et - 4 ne sont pas des racines.
Ainsi, le polynôme f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 a deux racines rationnelles : 1/2 et - 2/3.
Rappelons que la méthode décrite ci-dessus permet de trouver uniquement les racines rationnelles d'un polynôme à coefficients entiers. Pendant ce temps, un polynôme peut aussi avoir des racines irrationnelles. Ainsi, par exemple, le polynôme considéré dans l'exemple a deux racines supplémentaires : - 1±v5 (ce sont les racines du polynôme x2+2x-4). Et, d’une manière générale, un polynôme peut ne pas avoir de racines rationnelles du tout.
Donnons maintenant quelques conseils.
Lors du test des « candidats » pour les racines du polynôme f (x) en utilisant le deuxième des théorèmes démontrés ci-dessus, ce dernier est généralement utilisé pour les cas k=±1. En d'autres termes, si l/m est une racine « candidate », alors vérifiez si f (1) et f (-1) sont divisibles par l-m et l+m, respectivement. Mais il peut arriver que, par exemple, f (1) = 0, c'est-à-dire 1 soit une racine, et alors f (1) soit divisible par n'importe quel nombre, et notre vérification n'a plus de sens. Dans ce cas, vous devez diviser f (x) par x-1, c'est-à-dire obtenez f(x) = (x-1)s(x) et testez le polynôme s(x). En même temps, il ne faut pas oublier que nous avons déjà trouvé une racine du polynôme f (x) - x1=1. Si, en vérifiant les « candidats » pour les racines restantes après avoir utilisé le deuxième théorème sur les racines rationnelles, en utilisant le schéma de Horner, nous trouvons que, par exemple, l/m est une racine, alors sa multiplicité devrait être trouvée. S'il est égal, disons, à k, alors f (x) = (x-l/m) ks (x), et des tests supplémentaires peuvent être effectués pour s (x), ce qui réduit les calculs.
Ainsi, nous avons appris à trouver les racines rationnelles d'un polynôme à coefficients entiers. Il s’avère qu’en faisant cela, nous avons appris à trouver les racines irrationnelles d’un polynôme à coefficients rationnels. En fait, si on a par exemple un polynôme f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2, alors, en ramenant les coefficients à dénominateur commun et en le mettant en dehors des parenthèses, nous obtenons f (x) = 1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Il est clair que les racines du polynôme f (x) coïncident avec les racines du polynôme entre parenthèses, et ses coefficients sont des nombres entiers. Montrons, par exemple, que sin100 est un nombre irrationnel. Utilisons la formule bien connue sin3?=3sin?-4sin3?. Donc sin300=3sin100-4sin3100. En considérant que sin300=0,5 et en effectuant des transformations simples, on obtient 8sin3100-6sin100+1=0. Par conséquent, sin100 est la racine du polynôme f (x) =8x3-6x+1. Si l’on cherche les racines rationnelles de ce polynôme, on sera convaincu qu’il n’y en a pas. Cela signifie que la racine sin100 n'est pas un nombre rationnel, c'est-à-dire sin100 est un nombre irrationnel.
Ce polynôme a des coefficients entiers. Si un entier est la racine de ce polynôme, alors c'est un diviseur du nombre 16. Ainsi, si un polynôme donné a des racines entières, alors celles-ci ne peuvent être que les nombres ±1 ; ±2 ; ±4 ; ±8 ; ±16. Par vérification directe, nous sommes convaincus que le nombre 2 est la racine de ce polynôme, soit x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), où Q (x) est un polynôme de le deuxième degré. Par conséquent, le polynôme est décomposé en facteurs, dont (x – 2). Pour trouver le type de polynôme Q (x), nous utilisons le schéma dit de Horner. Le principal avantage de cette méthode est la compacité de la notation et la possibilité de diviser rapidement un polynôme en un binôme. En fait, le schéma de Horner est une autre forme d'enregistrement de la méthode de regroupement, même si, contrairement à cette dernière, il est totalement non visuel. La réponse (factorisation) s'obtient ici d'elle-même, et nous ne voyons pas le processus pour l'obtenir. Nous ne nous lancerons pas dans une justification rigoureuse du schéma de Horner, mais nous montrerons seulement comment il fonctionne.
| 1 | −5 | −2 | 16 | |
| 2 | 1 | −3 | −8 | 0 |
Le nombre de la cellule au-dessus est « déplacé » vers la deuxième cellule de la ligne du bas, c'est-à-dire 1. Ensuite, ils font cela. La racine de l'équation (numéro 2) est multipliée par le dernier nombre écrit (1) et le résultat est ajouté au nombre qui se trouve dans la rangée supérieure au-dessus de la prochaine cellule libre, dans notre exemple nous avons :
Le degré d'un polynôme résultant de la division est toujours inférieur de 1 au degré de celui d'origine. Donc: