Est-il possible d'ajouter des racines identiques ? Racine carrée. Le guide complet (2019)

28.09.2019

Addition et soustraction de racines- l'une des « pierres d'achoppement » les plus courantes pour ceux qui suivent des cours de mathématiques (algèbre) au lycée. Cependant, apprendre à les additionner et à les soustraire correctement est très important, car des exemples sur la somme ou la différence des racines sont inclus dans le programme de l'examen d'État unifié de base dans la discipline « mathématiques ».

Afin de maîtriser la résolution de tels exemples, vous avez besoin de deux choses : comprendre les règles et également acquérir de la pratique. Après avoir résolu une ou deux douzaines d'exemples typiques, l'étudiant amènera cette compétence à l'automatisme, et il n'aura alors plus rien à craindre à l'examen d'État unifié. Il est recommandé de commencer à maîtriser les opérations arithmétiques par l'addition, car les ajouter est un peu plus facile que les soustraire.

Qu'est-ce qu'une racine

La façon la plus simple d'expliquer cela est de prendre un exemple racine carrée. En mathématiques, il existe un terme bien établi de « quadrature ». « Mettre au carré » signifie multiplier une fois un nombre spécifique par lui-même.. Par exemple, si vous mettez 2 au carré, vous obtenez 4. Si vous mettez 7 au carré, vous obtenez 49. Le carré de 9 est 81. Donc la racine carrée de 4 est 2, de 49 est 7 et de 81 est 9.

En règle générale, l'enseignement de ce sujet en mathématiques commence par les racines carrées. Afin de le déterminer immédiatement, l'étudiant lycée il faut connaître la table de multiplication par cœur. Ceux qui ne connaissent pas bien ce tableau doivent utiliser des indices. Habituellement, le processus d'extraction de la racine carrée d'un nombre est présenté sous la forme d'un tableau sur les couvertures de nombreux cahiers de mathématiques scolaires.

Les racines sont des types suivants :

carré;
cubique (ou soi-disant troisième degré);
quatrième degré;
cinquième degré.

Règles d'ajout

Afin de résoudre avec succès un exemple typique, il est nécessaire de garder à l’esprit que tous les nombres racines ne peuvent être empilés les uns avec les autres. Pour qu’ils puissent être assemblés, ils doivent être réunis selon un modèle unique. Si cela est impossible, alors le problème n’a pas de solution. De tels problèmes se retrouvent également souvent dans les manuels de mathématiques comme une sorte de piège pour les élèves.

L'addition n'est pas autorisée dans les tâches lorsque les expressions radicales diffèrent les unes des autres. Cela peut être illustré par un exemple clair :

L'élève est confronté à la tâche : additionner la racine carrée de 4 et 9 ;
étudiant inexpérimenté connaissant les règles, écrit généralement : « racine de 4 + racine de 9 = racine de 13 ».
Il est très facile de prouver que cette solution est incorrecte. Pour ce faire, vous devez trouver la racine carrée de 13 et vérifier si l'exemple est résolu correctement ;
à l'aide d'une microcalculatrice, vous pouvez déterminer qu'il s'agit d'environ 3,6. Il ne reste plus qu'à vérifier la solution ;
racine de 4=2 et racine de 9=3 ;
La somme des nombres « deux » et « trois » est égale à cinq. Ainsi, cet algorithme de solution peut être considéré comme incorrect.

Si les racines ont le même degré mais différent expressions numériques, il est retiré des parenthèses et mis entre parenthèses somme de deux expressions radicales. Ainsi, il est déjà extrait de ce montant.

Algorithme d'addition

Afin de décider correctement tâche la plus simple, nécessaire:

Déterminez ce qui nécessite exactement un ajout.
Découvrez s'il est possible d'ajouter des valeurs les unes aux autres, guidé par les règles existantes en mathématiques.
S'ils ne sont pas pliables, vous devez les transformer pour qu'ils puissent être pliés.
Après avoir effectué toutes les transformations nécessaires, vous devez effectuer l'addition et noter la réponse finale. Vous pouvez effectuer l'addition mentalement ou à l'aide d'une microcalculatrice, selon la complexité de l'exemple.

Quelles sont les racines similaires

Pour résoudre correctement un exemple d’addition, vous devez d’abord réfléchir à la façon dont vous pouvez le simplifier. Pour ce faire, vous devez avoir des connaissances de base sur ce qu’est la similarité.

La possibilité d'identifier des exemples similaires permet de résoudre rapidement des exemples d'addition similaires, en les présentant sous une forme simplifiée. Pour simplifier un exemple d'addition typique, vous devez :

Trouvez-en des similaires et séparez-les en un seul groupe (ou plusieurs groupes).
Réécrivez l’exemple existant de telle sorte que les racines qui ont le même indicateur se suivent clairement (c’est ce qu’on appelle le « regroupement »).
Ensuite, vous devez réécrire l'expression, cette fois de telle manière que des expressions similaires (qui ont le même indicateur et le même chiffre radical) se succèdent également.

Une fois cela fait, l’exemple simplifié est généralement facile à résoudre.

Afin de résoudre correctement tout exemple d'addition, vous devez comprendre clairement les règles de base de l'addition, ainsi que savoir ce qu'est une racine et ce qu'elle peut être.

Parfois, de tels problèmes semblent très difficiles à première vue, mais ils sont généralement facilement résolus en regroupant des problèmes similaires. La chose la plus importante est la pratique, et alors l'étudiant commencera à « résoudre des problèmes comme des fous ». L'ajout de racines est l'un des plus sections importantes mathématiques, les enseignants doivent donc consacrer suffisamment de temps à leur étude.

Maintenant en programme scolaire il se passe quelque chose qui n’est pas tout à fait clair. Ce qui est bien, c’est qu’en mathématiques, tout reste inchangé. Travailler avec les racines, à savoir l’addition et la soustraction, n’est pas une opération très difficile. Mais certains étudiants rencontrent certaines difficultés.

Et dans cet article, nous examinerons les règles permettant d'ajouter et de soustraire des racines carrées.

Vous pouvez soustraire et ajouter des racines carrées si la condition est remplie que ces racines aient les mêmes expressions radicales. En d’autres termes, nous pouvons effectuer des actions avec 2√3 et 4√3, mais pas avec 2√3 et 2√7. Mais vous pouvez mener des actions pour simplifier l'expression radicale pour ensuite les amener à des racines qui auront les mêmes expressions radicales. Et seulement après cela, commencez à ajouter ou à soustraire.

Théorie de l'addition et de la soustraction de racines carrées

Le principe en lui-même est très simple. Et cela consistera en trois actions. Il faut simplifier l’expression radicale. Trouvez les expressions radicales identiques résultantes et ajoutez ou soustrayez les racines.

Comment simplifier une expression radicale

Pour ce faire, vous devez développer le nombre radical afin qu'il soit composé de deux facteurs. État principal. L'un de ces nombres doit être un nombre carré (exemple : 25 ou 9). Après cette action, nous extrayons la racine du donné nombre carré. Et nous écrivons ce nombre devant notre racine, et sous la racine il nous reste un deuxième facteur.

Par exemple, 6√50 – 2√8 + 5√12

6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Ici, nous décomposons 50 en deux facteurs 25 et 2. Ensuite, nous prenons la racine carrée de 25 (nous obtenons le nombre 5) et la retirons sous la racine. Ensuite, nous multiplions 5 par 6 et obtenons 30√2

2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. DANS exemples donnés Nous décomposons 8 en deux nombres 4 et 2. Nous prenons la racine de 4 et prenons le nombre résultant comme racine et le multiplions par le nombre qui se trouvait déjà derrière la racine.

5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Ici, comme précédemment, on décompose le nombre sous la racine en deux nombres 4 et 3. On extrait la racine de 4. Nous prenons le nombre obtenu comme racine et le multiplions par le nombre qui se trouvait derrière la racine.

En conséquence, nous avons transformé l'équation 6√50 - 2√8 + 5√12 sous cette forme 30√2 - 4√2 + 10√3

Nous mettons l'accent sur les racines qui ont les mêmes expressions radicales

Dans notre exemple, 30√2 - 4√2 + 10√3, nous mettons en évidence 30√2 et 4√2, puisque ces nombres ont le même nombre radical 2.
Si dans votre exemple il y a plusieurs expressions radicales identiques. Soulignez les mêmes avec des traits différents.

Ajouter ou soustraire nos racines

Maintenant, nous ajoutons ou soustrayons des nombres qui ont les mêmes expressions radicales. Et ce qui se trouve sous la racine, nous le laissons inchangé. Le but est de montrer combien de racines avec certaines expressions radicales il y a dans une équation donnée.

Dans notre exemple 30√2 - 4√2 + 10√3 nous soustrayons 4 de 30 et obtenons 26√2

La réponse dans notre exemple sera la suivante. 26√2 + 10√3

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Qu'est-ce qu'une racine mathématique ?

Cette action s'est produite en opposition à l'exponentiation. Les mathématiques suggèrent deux opérations opposées. Il y a une soustraction pour une addition. La multiplication s'oppose à la division. L'action inverse d'un degré est d'extraire la racine correspondante.

Si le degré est deux, alors la racine sera carrée. C'est le plus courant en mathématiques scolaires. Il n'y a même pas d'indication qu'il est carré, c'est-à-dire que le chiffre 2 n'est pas attribué à côté de lui. La notation mathématique de cet opérateur (radical) est présentée sur la figure.

Sa définition découle harmonieusement de l'action décrite. Pour extraire la racine carrée d'un nombre, vous devez savoir ce que donnera l'expression radicale lorsqu'elle sera multipliée par elle-même. Ce nombre sera la racine carrée. Si nous écrivons cela mathématiquement, nous obtenons ce qui suit : x*x=x 2 =y, ce qui signifie √y=x.

Quelles actions pouvez-vous réaliser avec eux ?

À la base, une racine est une puissance fractionnaire avec un au numérateur. Et le dénominateur peut être n'importe quoi. Par exemple, la racine carrée en a deux. Par conséquent, toutes les actions pouvant être réalisées avec des pouvoirs seront également valables pour les racines.

Et les exigences de ces actions sont les mêmes. Si multiplication, division et exponentiation ne rencontrent pas de difficultés pour les élèves, alors ajouter des racines, comme les soustraire, prête parfois à confusion. Et tout cela parce que je veux effectuer ces opérations sans tenir compte du signe de la racine. Et c’est là que commencent les erreurs.

Quelles sont les règles d’addition et de soustraction ?

Vous devez d’abord vous rappeler deux « à ne pas faire » catégoriques :

vous ne pouvez pas effectuer d'addition et de soustraction de racines comme nombres premiers, c'est-à-dire qu'il est impossible d'écrire des expressions radicales de la somme sous un seul signe et d'effectuer des opérations mathématiques avec elles ;
Vous ne pouvez pas ajouter ni soustraire des racines à différents indicateurs, comme carré et cubique.

Un exemple clair de la première interdiction : √6 + √10 ≠ √16, mais √(6 + 10) = √16.

Dans le second cas, il vaut mieux se limiter à simplifier les racines elles-mêmes. Et laissez leur montant dans la réponse.

Passons maintenant aux règles

Trouvez et regroupez des racines similaires. Autrement dit, ceux qui ont non seulement les mêmes chiffres sous le radical, mais qui ont eux-mêmes le même indicateur.
Effectuez l’ajout des racines combinées en un seul groupe lors de la première action. C'est facile à mettre en œuvre car il suffit d'ajouter les valeurs qui apparaissent devant les radicaux.
Extrayez les racines des termes dans lesquels l'expression radicale forme un carré entier. Autrement dit, ne rien laisser sous le signe d’un radical.
Simplifiez les expressions radicales. Pour ce faire, vous devez les décomposer en facteurs premiers et voyez s'ils donnent le carré d'un nombre quelconque. Il est clair que cela est vrai lorsqu’on parle de racine carrée. Lorsque l'exposant est trois ou quatre, alors les facteurs premiers doivent donner le cube ou la quatrième puissance du nombre.
Supprimez sous le signe du radical le facteur qui donne tout le pouvoir.
Vérifiez si des termes similaires apparaissent à nouveau. Si oui, effectuez à nouveau la deuxième étape.

Dans une situation où la tâche ne nécessite pas valeur exacte racine, elle peut être calculée sur une calculatrice. Arrondissez la fraction décimale sans fin qui apparaît dans sa fenêtre. Le plus souvent, cela se fait au centième. Et puis effectuez toutes les opérations pour les fractions décimales.

Ce sont toutes les informations sur la façon d’ajouter des racines. Les exemples ci-dessous illustreront ce qui précède.

Première tâche

Calculez la valeur des expressions :

a) √2 + 3√32 + ½ √128 – 6√18 ;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300 ;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Si vous suivez l'algorithme ci-dessus, vous pouvez voir qu'il n'y a rien pour les deux premières actions de cet exemple. Mais vous pouvez simplifier certaines expressions radicales.

Par exemple, décomposez 32 en deux facteurs 2 et 16 ; 18 sera égal au produit de 9 et 2 ; 128 est 2 sur 64. Compte tenu de cela, l'expression s'écrira comme ceci :

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Vous devez maintenant supprimer sous le signe radical les facteurs qui donnent le carré du nombre. C'est 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. L'expression prendra la forme :

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 – 6 * 3√2.

Nous devons simplifier un peu l'enregistrement. Pour cela, multipliez les coefficients avant les signes racine :

√2 + 12√2 + 4 √2 — 12√2.

Dans cette expression, tous les termes se sont avérés similaires. Il vous suffit donc de les plier. La réponse sera : 5√2.

b) Semblable à l’exemple précédent, l’ajout de racines commence par leur simplification. Les expressions radicales 75, 147, 48 et 300 seront représentées dans les paires suivantes : 5 et 25, 3 et 49, 3 et 16, 3 et 100. Chacune d'elles contient un nombre qui peut être retiré sous le signe racine :

5√5 — 7√3 + 4√3 — 1/5 * 10√3.

Après simplification, la réponse est : 5√5 - 5√3. Il peut être laissé sous cette forme, mais il vaut mieux prendre le facteur commun 5 entre parenthèses : 5 (√5 - √3).

c) Et encore factorisation : 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Après avoir supprimé les facteurs sous le signe racine, on a :

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Après avoir ramené des termes similaires on obtient le résultat : 7√11.

Exemple avec des expressions fractionnaires

√(45/4) — √20 — 5√(1/18) — 1/6 √245 + √(49/2).

Vous devrez factoriser les nombres suivants : 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Semblable à ceux déjà évoqués, vous devez supprimer les facteurs sous le signe racine et simplifions l'expression :

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Cette expression nécessite de se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur. Pour cela, il faut multiplier le deuxième terme par √2/√2 :

— 5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = — 5/3 √5 + 8/3 √2.

Pour terminer les actions, vous devez sélectionner toute la partie des facteurs devant les racines. Pour le premier c’est 1, pour le second c’est 2.

Salutations, chats ! La dernière fois, nous avons discuté en détail de ce que sont les racines (si vous ne vous en souvenez pas, je vous recommande de le lire). Principale conclusion cette leçon : il n’existe qu’une seule définition universelle des racines, et c’est ce que vous devez savoir. Le reste n’a aucun sens et c’est une perte de temps.

Aujourd'hui, nous allons plus loin. Nous apprendrons à multiplier les racines, nous étudierons certains problèmes associés à la multiplication (si ces problèmes ne sont pas résolus, ils peuvent devenir fatals à l'examen) et nous pratiquerons correctement. Alors faites le plein de pop-corn, installez-vous confortablement et commençons :)

Vous ne l’avez pas encore fumé non plus, n’est-ce pas ?

La leçon s'est avérée assez longue, je l'ai donc divisée en deux parties :

Nous examinerons d’abord les règles de multiplication. Cap semble faire allusion : c'est lorsqu'il y a deux racines, entre elles il y a un signe « multiplier » - et nous voulons en faire quelque chose.
Alors regardons la situation inverse : il y en a une grosse racine, mais nous avons voulu le présenter sous la forme d'un produit plus simple de deux racines. Pourquoi est-ce nécessaire, c'est une question distincte. Nous analyserons uniquement l'algorithme.

Pour ceux qui ont hâte de passer immédiatement à la deuxième partie, vous êtes les bienvenus. Commençons par le reste dans l'ordre.

Règle de base de multiplication

Commençons par la chose la plus simple : les racines carrées classiques. Les mêmes qui sont notés $\sqrt(a)$ et $\sqrt(b)$. Tout est évident pour eux :

Règle de multiplication. Pour multiplier une racine carrée par une autre, il suffit de multiplier leurs expressions radicales et d'écrire le résultat sous le radical commun :

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Aucune restriction supplémentaire n'est imposée sur les nombres à droite ou à gauche : si les facteurs racines existent, alors le produit existe également.

Exemples. Regardons quatre exemples avec des chiffres à la fois :

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \fin(aligner)\]

Comme vous pouvez le constater, le sens principal de cette règle est de simplifier les expressions irrationnelles. Et si dans le premier exemple nous avions extrait nous-mêmes les racines de 25 et 4 sans nouvelles règles, alors les choses se compliquent : $\sqrt(32)$ et $\sqrt(2)$ ne sont pas considérés seuls, mais leur produit s'avère être un carré parfait, donc sa racine est égale à un nombre rationnel.

Je voudrais particulièrement souligner la dernière ligne. Ici, les deux expressions radicales sont des fractions. Grâce au produit, de nombreux facteurs sont annulés et l'expression entière se transforme en un nombre adéquat.

Bien sûr, les choses ne seront pas toujours aussi belles. Parfois, il y aura un désordre complet sous les racines - on ne sait pas quoi en faire et comment le transformer après la multiplication. Un peu plus tard, lorsque vous commencerez à étudier les équations et les inégalités irrationnelles, vous verrez apparaître toutes sortes de variables et de fonctions. Et très souvent, les rédacteurs de problèmes comptent sur le fait que vous découvrirez des termes ou des facteurs d'annulation, après quoi le problème sera plusieurs fois simplifié.

De plus, il n’est pas du tout nécessaire de multiplier exactement deux racines. Vous pouvez multiplier trois, quatre ou même dix à la fois ! Cela ne changera pas la règle. Regarde:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \fin(aligner)\]

Et encore une petite note sur le deuxième exemple. Comme vous pouvez le voir, dans le troisième facteur sous la racine, il y a une fraction décimale - dans le processus de calcul, nous la remplaçons par une fraction régulière, après quoi tout est facilement réduit. Donc : je recommande fortement de se débarrasser des fractions décimales dans tout expressions irrationnelles(c'est-à-dire contenant au moins un symbole radical). Cela vous fera gagner beaucoup de temps et de nerfs à l'avenir.

Mais c'était digression lyrique. Considérons maintenant un cas plus général - lorsque l'exposant racine contient un nombre arbitraire $n$, et pas seulement les deux « classiques ».

Le cas d’un indicateur arbitraire

Nous avons donc trié les racines carrées. Que faire des cubiques ? Ou même avec des racines de degré arbitraire $n$ ? Oui, tout est pareil. La règle reste la même :

Pour multiplier deux racines de degré $n$, il suffit de multiplier leurs expressions radicales, puis d'écrire le résultat sous un radical.

En général, rien de compliqué. Sauf que la quantité de calculs peut être plus importante. Regardons quelques exemples :

Exemples. Calculer les produits :

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5 ; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \fin(aligner)\]

Et encore une fois, attention à la deuxième expression. Nous multiplions racines cubiques, se débarrasser de décimal et en conséquence nous obtenons le produit des nombres 625 et 25 au dénominateur. C'est tout à fait. grand nombre- Personnellement, je n’arrive pas à calculer d’emblée à quoi cela équivaut.

Par conséquent, nous avons simplement isolé le cube exact dans le numérateur et le dénominateur, puis avons utilisé l'une des propriétés clés (ou, si vous préférez, la définition) de la $n$ième racine :

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\gauche| a\droit|. \\ \fin(aligner)\]

De telles « machinations » peuvent vous faire gagner beaucoup de temps à l'examen ou travail d'essai, Alors souviens-toi:

Ne vous précipitez pas pour multiplier les nombres en utilisant des expressions radicales. Tout d’abord, vérifiez : et si le degré exact d’une expression y était « crypté » ?

Malgré l'évidence de cette remarque, je dois admettre que la plupart des étudiants non préparés ne voient pas les diplômes exacts à bout portant. Au lieu de cela, ils multiplient tout, puis se demandent : pourquoi ont-ils obtenu des chiffres aussi brutaux :)

Cependant, tout cela n’est qu’un langage de bébé par rapport à ce que nous allons étudier maintenant.

Multiplier des racines avec différents exposants

Bon, maintenant nous pouvons multiplier les racines avec les mêmes indicateurs. Et si les indicateurs sont différents ? Disons, comment multiplier un $\sqrt(2)$ ordinaire par des conneries comme $\sqrt(23)$ ? Est-il même possible de faire cela ?

Oui bien sûr, vous pouvez. Tout se fait selon cette formule :

Règle pour multiplier les racines. Pour multiplier $\sqrt[n](a)$ par $\sqrt[p](b)$, il suffit d'effectuer la transformation suivante :

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Cependant, cette formule ne fonctionne que si les expressions radicales ne sont pas négatives. C’est une note très importante sur laquelle nous reviendrons un peu plus tard.

Pour l'instant, regardons quelques exemples :

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \fin(aligner)\]

Comme vous pouvez le constater, rien de compliqué. Voyons maintenant d'où vient l'exigence de non-négativité et que se passera-t-il si nous la violons :)

Multiplier les racines est facile

Pourquoi les expressions radicales doivent-elles être non négatives ?

Bien sûr, tu peux être comme professeurs d'école et avec un look intelligent, citez le manuel :

L'exigence de non-négativité est associée à différentes définitions des racines de degrés pairs et impairs (en conséquence, leurs domaines de définition sont également différents).

Eh bien, est-ce devenu plus clair ? Personnellement, quand j'ai lu cette absurdité en 8e, j'ai compris quelque chose comme ceci : « L'exigence de non-négativité est associée à *#&^@(*#@^#)~% » - bref, je l'ai fait je ne comprends rien à ce moment-là :)

Alors maintenant, je vais tout expliquer de manière normale.

Voyons d’abord d’où vient la formule de multiplication ci-dessus. Pour ce faire, permettez-moi de vous rappeler une propriété importante de la racine :

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

En d'autres termes, nous pouvons élever en toute sécurité l'expression radicale à n'importe quelle puissance naturelle $k$ - dans ce cas, l'exposant de la racine devra être multiplié par la même puissance. Par conséquent, nous pouvons facilement réduire n’importe quelle racine à un exposant commun, puis les multiplier. C'est de là que vient la formule de multiplication :

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Mais il existe un problème qui limite fortement l’utilisation de toutes ces formules. Considérez ce numéro :

D’après la formule qui vient d’être donnée, on peut ajouter n’importe quel degré. Essayons d'ajouter $k=2$ :

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Nous avons supprimé le moins précisément parce que le carré brûle le moins (comme tout autre degré pair). Effectuons maintenant la transformation inverse : « réduisons » les deux dans l’exposant et la puissance. Après tout, toute égalité peut être lue aussi bien de gauche à droite que de droite à gauche :

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](un); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \fin(aligner)\]

Mais ensuite, il s'avère que c'est une sorte de connerie :

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Cela ne peut pas arriver, car $\sqrt(-5) \lt 0$ et $\sqrt(5) \gt 0$. Cela signifie que pour les puissances paires et les nombres négatifs, notre formule ne fonctionne plus. Après quoi nous avons deux options :

Frapper le mur et affirmer que les mathématiques sont une science stupide, où « il y a des règles, mais elles sont inexactes » ;
Introduire des restrictions supplémentaires sous lesquelles la formule fonctionnera à 100 %.

Dans la première option, nous devrons constamment détecter les cas « non fonctionnels » - c'est difficile, prend du temps et généralement horrible. Par conséquent, les mathématiciens ont préféré la deuxième option :)

Mais ne vous inquiétez pas ! En pratique, cette limitation n'affecte en rien les calculs, car tous les problèmes décrits ne concernent que des racines de degré impair, et des inconvénients peuvent en être tirés.

Par conséquent, formulons une règle supplémentaire, qui s'applique généralement à toutes les actions avec des racines :

Avant de multiplier des racines, assurez-vous que les expressions radicales ne sont pas négatives.

Exemple. Dans le nombre $\sqrt(-5)$, vous pouvez supprimer le moins sous le signe racine - alors tout sera normal :

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Sentez-vous la différence ? Si vous laissez un moins sous la racine, alors lorsque l'expression radicale sera au carré, elle disparaîtra et la merde commencera. Et si vous supprimez d'abord le moins, vous pouvez alors construire/supprimer le carré jusqu'à ce que votre visage soit bleu - le nombre restera négatif :)

Ainsi, le plus correct et le plus manière fiable multiplier les racines est la suivante :

Supprimez tous les négatifs des radicaux. Les inconvénients n'existent que dans les racines de multiplicité impaire - ils peuvent être placés devant la racine et, si nécessaire, réduits (par exemple, s'il y a deux de ces inconvénients).
Effectuez la multiplication selon les règles discutées ci-dessus dans la leçon d'aujourd'hui. Si les indicateurs des racines sont les mêmes, on multiplie simplement les expressions radicales. Et s'ils sont différents, on utilise la formule maléfique \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3.Profitez du résultat et des bonnes notes. :)

Bien? Devons-nous pratiquer ?

Exemple 1 : Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \fin(aligner)\]

C'est l'option la plus simple : les racines sont les mêmes et impaires, le seul problème est que le deuxième facteur est négatif. Nous retirons ce moins du tableau, après quoi tout est facilement calculé.

Exemple 2 : Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \right))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( aligner)\]

Ici, beaucoup seraient confus par le fait que le résultat s’est avéré être un nombre irrationnel. Oui, cela arrive : nous n’avons pas pu nous débarrasser complètement de la racine, mais au moins nous avons considérablement simplifié l’expression.

Exemple 3 : Simplifiez l'expression :

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Je voudrais attirer votre attention sur cette tâche. Il y a deux points ici:

La racine n'est pas un nombre ou une puissance spécifique, mais la variable $a$. À première vue, c'est un peu inhabituel, mais en réalité, en résolvant problèmes mathématiques Le plus souvent, vous devrez gérer des variables.
Au final, nous avons réussi à « réduire » l’indicateur de radicalité et le degré d’expression radicale. Cela arrive assez souvent. Et cela signifie qu'il était possible de simplifier considérablement les calculs si vous n'utilisiez pas la formule de base.

Par exemple, vous pourriez faire ceci :

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\fin (aligner)\]

En fait, toutes les transformations ont été effectuées uniquement avec le deuxième radical. Et si vous ne décrivez pas en détail toutes les étapes intermédiaires, le nombre de calculs sera finalement considérablement réduit.

En fait, nous avons déjà rencontré une tâche similaire ci-dessus lorsque nous avons résolu l'exemple $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Maintenant, cela peut être écrit beaucoup plus simplement :

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \fin(aligner)\]

Eh bien, nous avons réglé la multiplication des racines. Considérons maintenant l'opération inverse : que faire lorsqu'il y a un produit sous la racine ?

La façon la plus simple d’expliquer cela est d’utiliser la racine carrée comme exemple. En mathématiques, il existe un terme bien établi de « quadrature ». « Mettre au carré » signifie multiplier une fois un nombre spécifique par lui-même.. Par exemple, si vous mettez 2 au carré, vous obtenez 4. Si vous mettez 7 au carré, vous obtenez 49. Le carré de 9 est 81. Donc la racine carrée de 4 est 2, de 49 est 7 et de 81 est 9.

En règle générale, l'enseignement de ce sujet en mathématiques commence par les racines carrées. Afin de la déterminer immédiatement, un lycéen doit connaître par cœur la table de multiplication. Ceux qui ne connaissent pas bien ce tableau doivent utiliser des indices. Habituellement, le processus d'extraction de la racine carrée d'un nombre est présenté sous la forme d'un tableau sur les couvertures de nombreux cahiers de mathématiques scolaires.

Les racines sont des types suivants :

carré;
cubique (ou soi-disant troisième degré);
quatrième degré;
cinquième degré.

Règles d'ajout

L'addition n'est pas autorisée dans les tâches lorsque les expressions radicales diffèrent les unes des autres. Cela peut être illustré par un exemple clair :

L'élève est confronté à la tâche : additionner la racine carrée de 4 et 9 ;
un étudiant inexpérimenté qui ne connaît pas la règle écrit généralement : « racine de 4 + racine de 9 = racine de 13 ».
Il est très facile de prouver que cette solution est incorrecte. Pour ce faire, vous devez trouver la racine carrée de 13 et vérifier si l'exemple est résolu correctement ;
à l'aide d'une microcalculatrice, vous pouvez déterminer qu'il s'agit d'environ 3,6. Il ne reste plus qu'à vérifier la solution ;
racine de 4=2 et racine de 9=3 ;
La somme des nombres « deux » et « trois » est égale à cinq. Ainsi, cet algorithme de solution peut être considéré comme incorrect.

Si les racines ont le même degré, mais des expressions numériques différentes, il est retiré des parenthèses et placé entre parenthèses. somme de deux expressions radicales. Ainsi, il est déjà extrait de ce montant.

Algorithme d'addition

Afin de résoudre correctement le problème le plus simple, vous devez :

Déterminez ce qui nécessite exactement un ajout.
Découvrez s'il est possible d'ajouter des valeurs les unes aux autres, guidé par les règles existantes en mathématiques.
S'ils ne sont pas pliables, vous devez les transformer pour qu'ils puissent être pliés.
Après avoir effectué toutes les transformations nécessaires, vous devez effectuer l'addition et noter la réponse finale. Vous pouvez effectuer l'addition mentalement ou à l'aide d'une microcalculatrice, selon la complexité de l'exemple.

Quelles sont les racines similaires

Trouvez-en des similaires et séparez-les en un seul groupe (ou plusieurs groupes).
Réécrivez l’exemple existant de telle sorte que les racines qui ont le même indicateur se suivent clairement (c’est ce qu’on appelle le « regroupement »).
Ensuite, vous devez réécrire l'expression, cette fois de telle manière que des expressions similaires (qui ont le même indicateur et le même chiffre radical) se succèdent également.

Une fois cela fait, l’exemple simplifié est généralement facile à résoudre.

Afin de résoudre correctement tout exemple d'addition, vous devez comprendre clairement les règles de base de l'addition, ainsi que savoir ce qu'est une racine et ce qu'elle peut être.

Parfois, de tels problèmes semblent très difficiles à première vue, mais ils sont généralement facilement résolus en regroupant des problèmes similaires. La chose la plus importante est la pratique, et alors l'étudiant commencera à « résoudre des problèmes comme des fous ». L’ajout de racines est l’une des parties les plus importantes des mathématiques, les enseignants devraient donc consacrer suffisamment de temps à leur étude.

Vidéo

Cette vidéo vous aidera à comprendre les équations avec des racines carrées.

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Fait 1.
$\bullet$ Prenons un nombre non négatif $a$ (c'est-à-dire $a\geqslant 0$ ). Alors (arithmétique) racine carréeà partir du nombre $a$ est appelé un tel nombre non négatif $b$ , une fois au carré, nous obtenons le nombre $a$ : \[\sqrt a=b\quad \text(identique à )\quad a=b^2\] De la définition il résulte que $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. Ces restrictions sont une condition importante l'existence d'une racine carrée et il faut s'en souvenir !
Rappelez-vous que tout nombre mis au carré donne un résultat non négatif. Autrement dit, $100^2=10000\geqslant 0$ et $(-100)^2=10000\geqslant 0$ .
$\bullet$ À quoi est égal $\sqrt(25)$ ? Nous savons que $5^2=25$ et $(-5)^2=25$ . Puisque par définition nous devons trouver un nombre non négatif, alors $-5$ ne convient pas, donc $\sqrt(25)=5$ (puisque $25=5^2$ ).
Trouver la valeur de $\sqrt a$ s'appelle prendre la racine carrée du nombre $a$ , et le nombre $a$ s'appelle l'expression radicale.
$\bullet$ Basé sur la définition, l'expression $\sqrt(-25)$, $\sqrt(-4)$, etc. cela n'a pas de sens.

Fait 2.
Pour des calculs rapides, il sera utile d'apprendre le tableau des carrés nombres naturels de $1$ à $20$ : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Fait 3.
Quelles opérations peut-on faire avec des racines carrées ?
$\balle$ La somme ou la différence des racines carrées n'est PAS ÉGALE à la racine carrée de la somme ou de la différence, c'est-à-dire \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Ainsi, si vous devez calculer, par exemple, $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ , vous devez d'abord trouver les valeurs de $\sqrt(25)$ et $\ sqrt(49)\ ) puis pliez-les. Ainsi, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Si les valeurs \(\sqrt a$ ou $\sqrt b$ ne peuvent pas être trouvées lors de l'ajout de $\sqrt a+\sqrt b$, alors une telle expression n'est pas transformée davantage et reste telle quelle. Par exemple, dans la somme $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ on peut trouver $\sqrt(49)$ est $7$ , mais $\sqrt 2$ ne peut pas être transformé en de toute façon, c'est pourquoi $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. Malheureusement, cette expression ne peut pas être simplifiée davantage$\bullet$ Le produit/quotient des racines carrées est égal à la racine carrée du produit/quotient, soit \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (à condition que les deux côtés de l'égalité aient un sens)
Exemple: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. $\bullet$ En utilisant ces propriétés, il est pratique de trouver les racines carrées de grands nombres en les factorisant.
Regardons un exemple. Trouvons $\sqrt(44100)$ . Puisque $44100:100=441$ , alors $44100=100\cdot 441$ . Selon le critère de divisibilité, le nombre $441$ est divisible par $9$ (puisque la somme de ses chiffres est 9 et est divisible par 9), donc $441:9=49$, c'est-à-dire $441=9\ cdot 49$ .
Ainsi nous avons obtenu : \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Regardons un autre exemple : \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
$\bullet$ Montrons comment saisir des nombres sous le signe racine carrée en utilisant l'exemple de l'expression $5\sqrt2$ (notation courte pour l'expression $5\cdot \sqrt2$). Puisque $5=\sqrt(25)$ , alors \ Notez également que, par exemple,
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .

Pourquoi donc? Expliquons en utilisant l'exemple 1). Comme vous l'avez déjà compris, nous ne pouvons pas transformer d'une manière ou d'une autre le nombre $\sqrt2$. Imaginons que $\sqrt2$ soit un nombre $a$ . En conséquence, l'expression $\sqrt2+3\sqrt2$ n'est rien de plus que $a+3a$ (un nombre $a$ plus trois autres nombres identiques $a$). Et nous savons que cela est égal à quatre de ces nombres $a$ , c'est-à-dire $4\sqrt2$ .

Fait 4.
$\bullet$ On dit souvent « vous ne pouvez pas extraire la racine » lorsque vous ne pouvez pas vous débarrasser du signe $\sqrt () \ $ de la racine (radical) lors de la recherche de la valeur d'un nombre. . Par exemple, vous pouvez prendre la racine du nombre $16$ car $16=4^2$ , donc $\sqrt(16)=4$ . Mais il est impossible d'extraire la racine du nombre $3$, c'est-à-dire de trouver $\sqrt3$, car il n'y a pas de nombre dont le carré donnera $3$ .
De tels nombres (ou expressions avec de tels nombres) sont irrationnels. Par exemple, les chiffres $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)$ et ainsi de suite. sont irrationnels.
Sont également irrationnels les nombres $\pi$ (le nombre « pi », approximativement égal à $3,14$), $e$ (ce nombre est appelé nombre d'Euler, il est approximativement égal à $2,7 $) etc.
$\bullet$ Veuillez noter que tout nombre sera soit rationnel, soit irrationnel. Et ensemble, tous les nombres rationnels et irrationnels forment un ensemble appelé un ensemble de nombres réels. Cet ensemble est désigné par la lettre $\mathbb(R)$ .
Cela signifie que tous les numéros affichés ce moment nous savons qu'on les appelle des nombres réels.

Fait 5.
$\bullet$ Le module d'un nombre réel $a$ est un nombre non négatif $|a|$ égal à la distance du point $a$ à $0$ sur le vraie ligne. Par exemple, $|3|$ et $|-3|$ sont égaux à 3, puisque les distances des points $3$ et $-3$ à $0$ sont les identique et égal à $3 $ .
$\bullet$ Si $a$ est un nombre non négatif, alors $|a|=a$ .
Exemple : $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ . $\bullet$ Si $a$ est un nombre négatif, alors $|a|=-a$ .
Exemple : $|-5|=-(-5)=5$ ; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
Ils disent que pour les nombres négatifs, le module « mange » le moins, tandis que les nombres positifs, ainsi que le nombre $0$, restent inchangés par le module.
MAIS Cette règle s'applique uniquement aux nombres. Si sous votre signe de module se trouve un $x$ inconnu (ou une autre inconnue), par exemple $|x|$ , dont nous ne savons pas s'il est positif, nul ou négatif, alors débarrassez-vous du module, nous ne pouvons pas. Dans ce cas, cette expression reste la même : $|x|$ . $\bullet$ Les formules suivantes sont valables : \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \text(fourni) a\geqslant 0\] Très souvent, l'erreur suivante est commise : on dit que $\sqrt(a^2)$ et $(\sqrt a)^2$ sont une seule et même chose. Cela n'est vrai que si $a$ est un nombre positif ou zéro. Mais si $a$ est un nombre négatif, alors c'est faux. Il suffit de considérer cet exemple. Prenons à la place de $a$ le nombre $-1$ . Alors $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ , mais l'expression $(\sqrt (-1))^2$ n'existe pas du tout (après tout, il est impossible d'utiliser le signe racine (mettez des nombres négatifs !).
Nous attirons donc votre attention sur le fait que $\sqrt(a^2)$ n'est pas égal à $(\sqrt a)^2$ ! Exemple 1) $\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$, parce que $-\sqrt2<0$ ;

$\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ . $\bullet$ Puisque $\sqrt(a^2)=|a|$ , alors \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (l'expression $2n$ désigne un nombre pair)
C'est-à-dire qu'en prenant la racine d'un nombre qui est dans une certaine mesure, ce degré est divisé par deux.
Exemple:
1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (notez que si le module n'est pas fourni, il s'avère que la racine du nombre est égale à $-25\ ) ; mais rappelons-nous que par définition d'une racine cela ne peut pas arriver : lors de l'extraction d'une racine, nous devrions toujours obtenir un nombre positif ou zéro)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (puisque tout nombre à une puissance paire est non négatif)

Fait 6.
Comment comparer deux racines carrées ?
$\bullet$ Pour les racines carrées, c'est vrai : si $\sqrt a<\sqrt b$ , то $aExemple:
1) comparez \(\sqrt(50)$ et $6\sqrt2$ . Tout d’abord, transformons la deuxième expression en $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. Ainsi, puisque $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) Entre quels entiers se trouve $\sqrt(50)$ ?
Puisque $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ et $49<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) Comparons $\sqrt 2-1$ et $0.5$ . Supposons que $\sqrt2-1>0.5$ : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((ajouter un des deux côtés))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((carrer les deux côtés))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Nous voyons que nous avons obtenu une inégalité incorrecte. Par conséquent, notre hypothèse était incorrecte et $\sqrt 2-1<0,5$ .
Notez que l’ajout d’un certain nombre aux deux côtés de l’inégalité n’affecte pas son signe. Multiplier/diviser les deux côtés d'une inégalité par un nombre positif n'affecte pas non plus son signe, mais multiplier/diviser par un nombre négatif inverse le signe de l'inégalité !
Vous pouvez mettre au carré les deux côtés d’une équation/inégalité SEULEMENT SI les deux côtés ne sont pas négatifs. Par exemple, dans l'inégalité de l'exemple précédent, vous pouvez mettre au carré les deux côtés, dans l'inégalité $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ Il ne faut pas oublier que \[\begin(aligned) &\sqrt 2\environ 1.4\\ &\sqrt 3\environ 1.7 \end(aligned)\] Connaître la signification approximative de ces nombres vous aidera à comparer les nombres ! $\bullet$ Afin d'extraire la racine (si elle peut être extraite) d'un grand nombre qui n'est pas dans la table des carrés, vous devez d'abord déterminer entre quelles « centaines » elle se situe, puis – entre lesquelles « dizaines », puis déterminez le dernier chiffre de ce nombre. Montrons comment cela fonctionne avec un exemple.
Prenons $\sqrt(28224)$ . Nous savons que $100^2=10\,000$, $200^2=40\,000$, etc. Notez que $28224$ est compris entre $10\,000$ et $40\,000$ . Par conséquent, $\sqrt(28224)$ est compris entre $100$ et $200$ .
Déterminons maintenant entre quelles « dizaines » notre nombre se situe (c’est-à-dire, par exemple, entre $120$ et $130$). Également à partir de la table des carrés, nous savons que $11^2=121$ , $12^2=144$ etc., alors $110^2=12100$ , $120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900$ , $140^2=19600$ , $150^2=22500$ , $160^2=25600$ , $170^2=28900 \ ) . Nous voyons donc que \(28224$ est compris entre $160^2$ et $170^2$ . Par conséquent, le nombre $\sqrt(28224)$ est compris entre $160$ et $170$ .
Essayons de déterminer le dernier chiffre. Rappelons-nous quels nombres à un chiffre, une fois mis au carré, donnent $4$ à la fin ? Ce sont $2^2$ et $8^2$ . Par conséquent, $\sqrt(28224)$ se terminera par 2 ou 8. Vérifions cela. Trouvons $162^2$ et $168^2$ :
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .
Par conséquent, $\sqrt(28224)=168$ . Voilà !

Afin de résoudre adéquatement l'examen d'État unifié en mathématiques, vous devez d'abord étudier le matériel théorique, qui vous présente de nombreux théorèmes, formules, algorithmes, etc. À première vue, cela peut sembler assez simple. Cependant, trouver une source dans laquelle la théorie de l'examen d'État unifié en mathématiques est présentée de manière simple et compréhensible pour les étudiants de tout niveau de formation est en fait une tâche assez difficile. Les manuels scolaires ne peuvent pas toujours être gardés à portée de main. Et trouver les formules de base pour l'examen d'État unifié en mathématiques peut être difficile, même sur Internet.

Pourquoi est-il si important d'étudier la théorie des mathématiques non seulement pour ceux qui passent l'examen d'État unifié ?

Parce que cela élargit vos horizons. L'étude du matériel théorique en mathématiques est utile à tous ceux qui souhaitent obtenir des réponses à un large éventail de questions liées à la connaissance du monde qui les entoure. Tout dans la nature est ordonné et répond à une logique claire. C’est précisément ce que reflète la science, grâce à laquelle il est possible de comprendre le monde.
Parce qu'il développe l'intelligence. En étudiant les documents de référence pour l'examen d'État unifié en mathématiques, ainsi qu'en résolvant divers problèmes, une personne apprend à penser et à raisonner logiquement, à formuler ses pensées avec compétence et clarté. Il développe la capacité d'analyser, de généraliser et de tirer des conclusions.

Nous vous invitons à évaluer personnellement tous les avantages de notre approche de systématisation et de présentation du matériel pédagogique.