Etc. est de nature éducative générale et a grande importance pour étudier TOUT le cours de mathématiques supérieures. Aujourd'hui, nous allons répéter les équations « scolaires », mais pas seulement celles « scolaires » - mais celles que l'on retrouve partout dans divers problèmes de vyshmat. Comme d'habitude, l'histoire sera racontée de manière appliquée, c'est-à-dire Je ne me concentrerai pas sur les définitions et les classifications, mais je partagerai avec vous exactement expérience personnelle solutions. Les informations sont principalement destinées aux débutants, mais les lecteurs plus avancés y trouveront également beaucoup de choses pour eux-mêmes. moments intéressants. Et bien sûr, il y aura nouveau matériel, Aller plus loin lycée.
Donc l'équation…. Beaucoup se souviennent de ce mot avec un frisson. Que valent les équations « sophistiquées » avec racines... ... oubliez-les ! Car alors vous rencontrerez les « représentants » les plus inoffensifs de cette espèce. Ou ennuyeux équations trigonométriques avec des dizaines de méthodes de résolution. Pour être honnête, je ne les aimais pas vraiment moi-même... Ne pas paniquer! – alors ce sont surtout des « pissenlits » qui vous attendent avec une solution évidente en 1 à 2 étapes. Même si la « bardane » s'accroche certainement, il faut ici être objectif.
Curieusement, en mathématiques supérieures, il est beaucoup plus courant de traiter des équations très primitives comme linéaireéquations
Que signifie résoudre cette équation ? Cela signifie trouver TELLE valeur de « x » (racine) qui en fait une véritable égalité. Jetons le « trois » vers la droite avec un changement de signe :
et déposez le « deux » sur le côté droit (ou, la même chose - multipliez les deux côtés par)
:
Pour vérifier, remplaçons le trophée gagné dans l’équation originale : 
L'égalité correcte est obtenue, ce qui signifie que la valeur trouvée est bien une racine équation donnée. Ou, comme on dit aussi, satisfait à cette équation.
Veuillez noter que la racine peut également s'écrire sous la forme décimal:
Et essayez de ne pas vous en tenir à ce mauvais style ! J'ai répété la raison plus d'une fois, notamment lors de la toute première leçon sur algèbre supérieure.
D’ailleurs, l’équation peut aussi être résolue « en arabe » :
Et ce qui est le plus intéressant, c’est que cet enregistrement est totalement légal ! Mais si vous n'êtes pas enseignant, alors mieux vaut ne pas faire ça, car l'originalité est punissable ici =)
Et maintenant un peu sur
méthode de solution graphique
L'équation a la forme et sa racine est Coordonnée "X" points d'intersection graphique de fonction linéaire avec le graphique d'une fonction linéaire (axe x):
Il semblerait que l'exemple soit si élémentaire qu'il n'y a plus rien à analyser ici, mais une autre nuance inattendue peut en être « extraite » : présentons la même équation sous la forme et construisons des graphiques des fonctions : 
Où, s'il te plaît, ne confonds pas les deux concepts: une équation est une équation, et fonction– c'est une fonction ! Les fonctions seulement de l'aide trouver les racines de l'équation. Il peut y en avoir deux, trois, quatre, voire une infinité. L'exemple le plus proche en ce sens est le célèbre équation quadratique, l'algorithme de solution pour lequel a reçu un paragraphe séparé des formules scolaires « chaudes ». Et ce n'est pas un hasard ! Si vous pouvez résoudre une équation quadratique et savoir théorème de Pythagore, alors, pourrait-on dire, "la moitié des mathématiques supérieures est déjà dans votre poche" =) Exagéré, bien sûr, mais pas si loin de la vérité !
Par conséquent, ne soyons pas paresseux et résolvons une équation quadratique en utilisant algorithme standard:
, ce qui signifie que l'équation a deux valeurs différentes valide racine: 
Il est facile de vérifier que les deux valeurs trouvées satisfont réellement à cette équation : 
Que faire si vous avez soudainement oublié l'algorithme de solution et qu'il n'y a aucun moyen/coup de main à portée de main ? Cette situation peut survenir, par exemple, lors d'un contrôle ou d'un examen. Nous utilisons la méthode graphique ! Et il y a deux manières : vous pouvez construire point par point parabole 
, découvrant ainsi où il croise l'axe (si ça traverse du tout). Mais il vaut mieux faire quelque chose de plus astucieux : imaginer l'équation sous la forme, dessiner des graphiques de fonctions plus simples - et Coordonnées "X" leurs points d'intersection sont bien visibles ! 
S'il s'avère que la ligne droite touche la parabole, alors l'équation a deux racines correspondantes (plusieurs). S'il s'avère que la ligne droite ne coupe pas la parabole, alors il n'y a pas de véritables racines.
Pour ce faire, bien sûr, vous devez être capable de construire graphiques de fonctions élémentaires, mais d'un autre côté, même un écolier peut acquérir ces compétences.
Et encore une fois - une équation est une équation, et les fonctions sont des fonctions qui seulement aidé résous l'équation!
Et ici, d'ailleurs, il conviendrait de rappeler encore une chose : si tous les coefficients d'une équation sont multipliés par un nombre non nul, alors ses racines ne changeront pas.
Ainsi, par exemple, l'équation 
a les mêmes racines. Comme simple « preuve », je vais retirer la constante entre parenthèses : 
et je l'enlèverai sans douleur (Je diviserai les deux parties par « moins deux »):
MAIS! Si l'on considère la fonction 
, alors vous ne pouvez pas vous débarrasser de la constante ici ! Il est uniquement permis de retirer le multiplicateur entre parenthèses : 
.
Beaucoup de gens sous-estiment la méthode de résolution graphique, la considérant comme « indigne », et certains oublient même complètement cette possibilité. Et c’est fondamentalement faux, car tracer des graphiques sauve parfois la situation !
Autre exemple : supposons que vous ne vous souveniez pas des racines de l’équation trigonométrique la plus simple : . La formule générale se trouve dans les manuels scolaires, dans tous les ouvrages de référence sur les mathématiques élémentaires, mais ils ne sont pas à votre disposition. Cependant, il est essentiel de résoudre l’équation (c’est-à-dire « deux »). Il y a une sortie ! – construire des graphiques de fonctions : 
après quoi on note calmement les coordonnées « X » de leurs points d'intersection : 
Il existe une infinité de racines, et en algèbre leur notation condensée est acceptée :
, Où ( – ensemble d'entiers)
.
Et, sans « s'éloigner », quelques mots sur la méthode graphique de résolution des inégalités à une variable. Le principe est le même. Ainsi, par exemple, la solution de l’inégalité est n’importe quel « x », car La sinusoïde se situe presque entièrement sous la ligne droite. La solution de l'inégalité est l'ensemble des intervalles dans lesquels les morceaux de la sinusoïde se trouvent strictement au-dessus de la droite (axe des x):
ou, en bref :
Mais voici les nombreuses solutions à l’inégalité : vide, puisqu'aucun point de la sinusoïde ne se trouve au-dessus de la droite.
Y a-t-il quelque chose que vous ne comprenez pas ? Étudiez de toute urgence les leçons sur ensembles Et graphiques de fonctions!
Nous allons réchauffer:
Exercice 1
Résolvez graphiquement les équations trigonométriques suivantes :
Réponses à la fin de la leçon
Comme vous pouvez le constater, pour étudier les sciences exactes, il n'est pas du tout nécessaire de fourrer des formules et des ouvrages de référence ! De plus, il s’agit d’une approche fondamentalement erronée.
Comme je vous l'ai déjà rassuré au tout début de la leçon, les équations trigonométriques complexes dans un cours standard de mathématiques supérieures doivent être résolues extrêmement rarement. En règle générale, toute complexité se termine par des équations comme , dont la solution est constituée de deux groupes de racines provenant des équations les plus simples et 
. Ne vous inquiétez pas trop de résoudre ce dernier problème – regardez dans un livre ou trouvez-le sur Internet =)
La méthode de résolution graphique peut également être utile dans des cas moins triviaux. Considérons, par exemple, l’équation « hétéroclite » suivante :
Les perspectives de sa solution semblent... ne ressemblent à rien du tout, mais il suffit d'imaginer l'équation sous la forme , construire graphiques de fonctions et tout s'avérera incroyablement simple. Il y a un dessin au milieu de l'article sur fonctions infinitésimales (s'ouvrira dans l'onglet suivant).
En utilisant la même méthode graphique, vous pouvez découvrir que l'équation a déjà deux racines, et l'une d'elles est égale à zéro, et l'autre, apparemment, irrationnel et appartient au segment . Cette racine peut être calculée approximativement, par exemple, méthode tangente. D'ailleurs, dans certains problèmes, il arrive que vous n'ayez pas besoin de trouver les racines, mais découvrez est-ce qu'ils existent du tout ?. Et ici aussi, un dessin peut aider - si les graphiques ne se croisent pas, alors il n'y a pas de racines.
Racines rationnelles de polynômes à coefficients entiers.
Schéma Horner
Et maintenant je vous invite à tourner votre regard vers le Moyen Âge et à ressentir l'atmosphère unique de l'algèbre classique. Pour meilleur compréhension Je vous recommande de lire au moins un peu du matériel nombres complexes.
Ils sont les meilleurs. Polynômes.
L'objet de notre intérêt sera les polynômes les plus courants de la forme avec entier coefficients Entier naturel appelé degré de polynôme, nombre – coefficient du plus haut degré (ou juste le coefficient le plus élevé), et le coefficient est Membre gratuit.
Je désignerai brièvement ce polynôme par .
Racines d'un polynôme appeler les racines de l'équation
J'adore la logique de fer =)
Pour des exemples, allez au tout début de l'article : 
Il n'y a aucun problème pour trouver les racines des polynômes des 1er et 2e degrés, mais à mesure que vous augmentez, cette tâche devient de plus en plus difficile. Même si d'un autre côté, tout est plus intéressant ! Et c’est exactement à cela que sera consacrée la deuxième partie de la leçon.
Tout d’abord, littéralement la moitié de l’écran de la théorie :
1) D'après le corollaire théorème fondamental de l'algèbre, le polynôme de degré a exactement complexe racines. Certaines racines (voire toutes) peuvent être particulièrement valide. De plus, parmi les racines réelles, il peut y avoir des racines identiques (plusieurs) (minimum deux, maximum pièces).
Si un nombre complexe est la racine d’un polynôme, alors conjuguer son nombre est aussi nécessairement la racine de ce polynôme (les racines complexes conjuguées ont la forme ).
L'exemple le plus simple est une équation quadratique apparue pour la première fois en 8 (comme) classe, et que nous avons finalement « terminé » dans le sujet nombres complexes. Je vous le rappelle : une équation quadratique a soit deux racines réelles différentes, soit des racines multiples, soit des racines complexes conjuguées.
2) De Théorème de Bezout il s'ensuit que si un nombre est la racine d'une équation, alors le polynôme correspondant peut être factorisé :
, où est un polynôme de degré .
Et encore, notre vieil exemple : puisque est la racine de l’équation, alors . Après quoi, il n’est pas difficile d’obtenir la fameuse extension « école ».
Le corollaire du théorème de Bezout a une grande valeur pratique : si l'on connaît la racine d'une équation du 3ème degré, alors on peut la représenter sous la forme 
et à partir de l’équation quadratique, il est facile de découvrir les racines restantes. Si l’on connaît la racine d’une équation du 4ème degré, alors il est possible de développer le côté gauche en un produit, etc.
Et il y a deux questions ici :
Question une. Comment trouver cette racine ? Tout d'abord, définissons sa nature : dans de nombreux problèmes de mathématiques supérieures il faut trouver rationnel, en particulier entier racines des polynômes, et à cet égard, nous nous intéresserons plus loin à elles principalement.... ...ils sont si bons, si moelleux, qu'on a envie de les retrouver ! =)
La première chose qui vient à l’esprit est la méthode de sélection. Considérons, par exemple, l'équation . Le problème ici est dans le terme libre - s'il était égal à zéro, alors tout irait bien - nous retirons le « x » des parenthèses et les racines elles-mêmes « tombent » à la surface : 
Mais notre terme libre est égal à « trois », et donc nous commençons à substituer dans l'équation différents numéros, prétendant être la « racine ». Tout d'abord, la substitution de valeurs uniques s'impose. Remplaçons : 
Reçu Incorrect l’égalité, donc l’unité « ne correspondait pas ». Bon, d'accord, remplaçons : 
Reçu vraiégalité! Autrement dit, la valeur est la racine de cette équation.
Pour trouver les racines d'un polynôme du 3ème degré, il existe une méthode analytique (les formules dites de Cardano), mais maintenant nous nous intéressons à une tâche légèrement différente.
Puisque - est la racine de notre polynôme, le polynôme peut être représenté sous la forme et apparaît Deuxième question: comment trouver un « petit frère » ?
Les considérations algébriques les plus simples suggèrent que pour ce faire, nous devons diviser par . Comment diviser un polynôme par un polynôme ? Même méthode scolaire, qui sert à diviser les nombres ordinaires - dans une « colonne » ! Cette méthode je plus en détail discuté dans les premiers exemples de la leçon Limites complexes, et maintenant nous allons examiner une autre méthode, appelée Schéma Horner.
Nous écrivons d’abord le polynôme « le plus élevé » avec tout le monde
, y compris les coefficients nuls:
, après quoi nous saisissons ces coefficients (strictement dans l'ordre) dans la ligne supérieure du tableau :
On écrit la racine à gauche :
Je ferai immédiatement une réserve sur le fait que le schéma de Horner fonctionne également si le nombre « rouge » Pas est la racine du polynôme. Cependant, ne précipitons pas les choses.
Nous supprimons le coefficient dominant d'en haut :
Le processus de remplissage des cellules inférieures rappelle un peu la broderie, où le « moins un » est une sorte d'« aiguille » qui imprègne les étapes suivantes. Nous multiplions le nombre « reporté » par (–1) et ajoutons le nombre de la cellule supérieure au produit :
Nous multiplions la valeur trouvée par « l'aiguille rouge » et ajoutons le coefficient d'équation suivant au produit :
Et enfin, la valeur résultante est à nouveau « traitée » avec « l'aiguille » et le coefficient supérieur :
Le zéro dans la dernière cellule nous indique que le polynôme est divisé en sans laisser de trace (comme cela devrait être), tandis que les coefficients de dilatation sont « supprimés » directement de la ligne du bas du tableau :
Ainsi, on est passé de l'équation à une équation équivalente et tout est clair avec les deux racines restantes (V. dans ce cas nous obtenons des racines complexes conjuguées).
Soit dit en passant, l'équation peut également être résolue graphiquement : tracer "foudre" 
et voyez que le graphique croise l'axe des x ()
au point . Ou la même astuce « rusée » : nous réécrivons l'équation sous la forme , dessinons des graphiques élémentaires et détectons la coordonnée « X » de leur point d'intersection.
À propos, le graphique de tout polynôme de fonction du 3ème degré coupe l'axe au moins une fois, ce qui signifie que l'équation correspondante a au moins un valide racine. Ce fait valable pour toute fonction polynomiale de degré impair.
Et ici, je voudrais aussi m'attarder sur point important qui concerne la terminologie : polynôme Et fonction polynomiale – ce n'est pas la même chose! Mais dans la pratique, on parle souvent, par exemple, du « graphique d'un polynôme », ce qui, bien sûr, est de la négligence.
Cependant, revenons au schéma de Horner. Comme je l'ai mentionné récemment, ce système fonctionne pour d'autres numéros, mais si le numéro Pas est la racine de l'équation, alors une addition (reste) non nulle apparaît dans notre formule :
"Exécutons" la valeur "échec" selon le schéma de Horner. Dans ce cas, il est pratique d'utiliser le même tableau - écrivez une nouvelle "aiguille" à gauche, déplacez le coefficient dominant d'en haut (flèche verte gauche), et c'est parti : 
Pour vérifier, ouvrons les parenthèses et présentons des termes similaires :
, D'ACCORD.
Il est facile de voir que le reste (« six ») est exactement la valeur du polynôme en . Et en fait, comment ça se passe : 
, et encore plus sympa - comme ceci :
A partir des calculs ci-dessus, il est facile de comprendre que le schéma de Horner permet non seulement de factoriser le polynôme, mais aussi d'effectuer une sélection « civilisée » de la racine. Je vous propose de consolider vous-même l'algorithme de calcul avec une petite tâche :
Tâche 2
À l'aide du schéma de Horner, trouvez la racine entière de l'équation et factorisez le polynôme correspondant
En d'autres termes, vous devez ici vérifier séquentiellement les nombres 1, –1, 2, –2, ... – jusqu'à ce qu'un reste zéro soit « dessiné » dans la dernière colonne. Cela signifiera que « l’aiguille » de cette droite est la racine du polynôme
Il est pratique de regrouper les calculs dans un seul tableau. Solution détaillée et la réponse à la fin de la leçon.
La méthode de sélection des racines est relativement bonne pour cas simples, mais si les coefficients et/ou le degré du polynôme sont grands, le processus peut prendre plus de temps. Ou peut-être qu'il y a des valeurs de la même liste 1, –1, 2, –2 et cela ne sert à rien de les considérer ? Et, en plus, les racines peuvent s'avérer fractionnées, ce qui conduira à un piquage totalement non scientifique.
Heureusement, il existe deux théorèmes puissants qui peuvent réduire considérablement la recherche de valeurs « candidates » pour les racines rationnelles :
Théorème 1 Considérons irréductible fraction , où . Si le nombre est la racine de l'équation, alors le terme libre est divisé par et le coefficient principal est divisé par.
En particulier, si le coefficient dominant est , alors cette racine rationnelle est un entier :
Et nous commençons à exploiter le théorème avec juste ce détail savoureux :
Revenons à l'équation. Puisque son coefficient directeur est , alors les racines rationnelles hypothétiques peuvent être exclusivement entières, et le terme libre doit nécessairement être divisé en ces racines sans reste. Et « trois » ne peut être divisé qu’en 1, –1, 3 et –3. Autrement dit, nous n'avons que 4 « candidats racines ». Et, selon Théorème 1, d'autres nombres rationnels ne peuvent pas être racines de cette équation EN PRINCIPE.
Il y a un peu plus de « prétendants » dans l'équation : le terme libre est divisé en 1, –1, 2, – 2, 4 et –4.
Attention, les chiffres 1, –1 sont des « habitués » de la liste des racines possibles (une conséquence évidente du théorème) et plus meilleur choix pour un contrôle prioritaire.
Passons à des exemples plus significatifs :
Problème 3
Solution: puisque le coefficient dominant est , alors les racines rationnelles hypothétiques ne peuvent être que des nombres entiers, et elles doivent nécessairement être des diviseurs du terme libre. « Moins quarante » est divisé en les paires de nombres suivantes :
– un total de 16 « candidats ».
Et ici apparaît immédiatement une pensée tentante : est-il possible d’éliminer toutes les racines négatives ou toutes les racines positives ? Dans certains cas, c'est possible ! Je formulerai deux signes :
1) Si Tous Si les coefficients du polynôme sont non négatifs, alors il ne peut pas avoir de racines positives. Malheureusement, ce n'est pas notre cas (Maintenant, si on nous donnait une équation - alors oui, lors de la substitution d'une valeur du polynôme, la valeur du polynôme est strictement positive, ce qui signifie que tous les nombres positifs (et les irrationnels aussi) ne peuvent pas être les racines de l’équation.
2) Si les coefficients des puissances impaires sont non négatifs, et pour toutes les puissances paires (y compris membre gratuit) sont négatifs, alors le polynôme ne peut pas avoir de racines négatives. C'est notre cas ! En regardant d’un peu plus près, vous pouvez voir qu’en remplaçant un « X » négatif dans l’équation, le membre de gauche sera strictement négatif, ce qui signifie que les racines négatives disparaissent.
Il reste donc 8 nombres à rechercher :
Nous les « facturons » systématiquement selon le schéma de Horner. J'espère que vous maîtrisez déjà le calcul mental : 
La chance nous attendait lors du test du « deux ». Ainsi, la racine de l’équation considérée est-elle, et
Reste à étudier l'équation 
. C'est facile à faire grâce au discriminant, mais je vais effectuer un test indicatif en utilisant le même schéma. Notons tout d’abord que le terme libre est égal à 20, ce qui signifie Théorème 1 les nombres 8 et 40 sortent de la liste des racines possibles, laissant les valeurs à la recherche (un a été éliminé selon le schéma de Horner).
Nous écrivons les coefficients du trinôme dans la rangée supérieure du nouveau tableau et On commence à vérifier avec les mêmes "deux". Pourquoi? Et comme les racines peuvent être multiples, s'il vous plaît : - cette équation a 10 racines identiques. Mais ne nous laissons pas distraire : 
Et là, bien sûr, je mentais un peu, sachant que les racines sont rationnelles. Après tout, s’ils étaient irrationnels ou complexes, je serais alors confronté à une vérification infructueuse de tous les nombres restants. Par conséquent, en pratique, soyez guidé par le discriminant.
Répondre: racines rationnelles : 2, 4, 5
Nous avons eu de la chance dans le problème que nous avons analysé, car : a) ils sont tombés tout de suite valeurs négatives, et b) nous avons trouvé la racine très rapidement (et théoriquement nous pourrions vérifier toute la liste).
Mais en réalité, la situation est bien pire. je vous invite à regarder jeu passionnant intitulé " Dernier héros»:
Problème 4
Trouver les racines rationnelles de l'équation
Solution: Par Théorème 1 numérateurs d'hypothétiques racines rationnelles doit satisfaire à la condition (on lit « douze est divisé par el »), et les dénominateurs correspondent à la condition . Sur cette base, nous obtenons deux listes :
"liste des éléments":
et "liste euh": (heureusement, les chiffres ici sont naturels).
Faisons maintenant une liste de toutes les racines possibles. Tout d’abord, nous divisons la « liste el » par . Il est absolument clair que les mêmes chiffres seront obtenus. Pour plus de commodité, mettons-les dans un tableau :
De nombreuses fractions ont été réduites, ce qui a donné lieu à des valeurs qui figurent déjà dans la « liste des héros ». Nous ajoutons uniquement les « débutants » : 
De même, nous divisons la même « liste » par : 
et enfin sur
Ainsi, l'équipe des participants à notre jeu est complétée : 
Malheureusement, le polynôme de ce problème ne satisfait pas au critère « positif » ou « négatif », et nous ne pouvons donc pas écarter la ligne du haut ou du bas. Vous devrez travailler avec tous les chiffres.
Comment te sens-tu? Allez, relevez la tête - il existe un autre théorème que l'on peut appeler au sens figuré le « théorème du tueur »…. ...des « candidats », bien sûr =)
Mais vous devez d'abord faire défiler le diagramme de Horner pendant au moins un la totalité Nombres. Traditionnellement, prenons-en un. Dans la ligne du haut, nous écrivons les coefficients du polynôme et tout se passe comme d'habitude :
Puisque quatre n’est clairement pas zéro, la valeur n’est pas la racine du polynôme en question. Mais elle nous aidera beaucoup.
Théorème 2 Si pour certains en général la valeur du polynôme est non nulle : , alors ses racines rationnelles (si ils sont) satisfaire la condition
Dans notre cas et donc toutes les racines possibles doivent satisfaire à la condition (appelons-le Condition n°1). Ce quatre sera le « tueur » de nombreux « candidats ». À titre de démonstration, je vais examiner quelques contrôles :
Vérifions le "candidat". Pour ce faire, représentons-le artificiellement sous la forme d'une fraction, d'où on voit clairement que . Calculons la différence de test : . Quatre est divisé par « moins deux » : , ce qui signifie que la racine possible a réussi le test.
Vérifions la valeur. Ici, la différence de test est : 
. Bien entendu, le deuxième « sujet » reste donc également sur la liste.
Lors de la résolution d’équations et d’inégalités, il est souvent nécessaire de factoriser un polynôme dont le degré est trois ou plus. Dans cet article, nous examinerons la manière la plus simple de procéder.
Comme d'habitude, tournons-nous vers la théorie pour obtenir de l'aide.
Théorème de Bezout déclare que le reste lors de la division d'un polynôme par un binôme est .
Mais ce qui est important pour nous, ce n'est pas le théorème lui-même, mais corollaire de celui-ci :
Si le nombre est la racine d’un polynôme, alors le polynôme est divisible par le binôme sans reste.
Nous sommes confrontés à la tâche de trouver d'une manière ou d'une autre au moins une racine du polynôme, puis de diviser le polynôme par , où est la racine du polynôme. En conséquence, nous obtenons un polynôme dont le degré est inférieur de un au degré d'origine. Et puis, si nécessaire, vous pouvez répéter le processus.
Cette tâche se décompose en deux : comment trouver la racine d'un polynôme et comment diviser un polynôme par un binôme.
Examinons ces points de plus près.
1. Comment trouver la racine d'un polynôme.
Nous vérifions d’abord si les nombres 1 et -1 sont des racines du polynôme.
Les faits suivants nous aideront ici :
Si la somme de tous les coefficients d’un polynôme est nulle, alors le nombre est la racine du polynôme.
Par exemple, dans un polynôme la somme des coefficients est nulle : . Il est facile de vérifier quelle est la racine d'un polynôme.
Si la somme des coefficients d’un polynôme aux puissances paires est égale à la somme des coefficients aux puissances impaires, alors le nombre est la racine du polynôme. Le terme libre est considéré comme un coefficient pour un degré pair, puisque , a est un nombre pair.
Par exemple, dans un polynôme, la somme des coefficients des puissances paires est : , et la somme des coefficients des puissances impaires est : . Il est facile de vérifier quelle est la racine d'un polynôme.
Si ni 1 ni -1 ne sont des racines du polynôme, alors nous passons à autre chose.
Pour un polynôme de degré réduit (c'est-à-dire un polynôme dans lequel le coefficient dominant - le coefficient à - est égal à l'unité), la formule de Vieta est valable :
Où sont les racines du polynôme.
Il existe également des formules Vieta concernant les coefficients restants du polynôme, mais celle-ci nous intéresse.
De cette formule Vieta, il s'ensuit que si les racines d'un polynôme sont des nombres entiers, alors elles sont des diviseurs de son terme libre, qui est également un nombre entier.
Basé sur ceci, nous devons factoriser le terme libre du polynôme et, séquentiellement, du plus petit au plus grand, vérifier lequel des facteurs est la racine du polynôme.
Prenons par exemple le polynôme
Diviseurs du terme libre : ;
;
;
La somme de tous les coefficients du polynôme est égale à , donc le nombre 1 n'est pas la racine du polynôme.
Somme des coefficients pour puissances paires :
Somme des coefficients pour les puissances impaires :
Par conséquent, le nombre -1 n’est pas non plus une racine du polynôme.
Vérifions si le nombre 2 est la racine du polynôme : le nombre 2 est donc la racine du polynôme. Cela signifie que, selon le théorème de Bezout, le polynôme est divisible par un binôme sans reste.
2. Comment diviser un polynôme en un binôme.
Un polynôme peut être divisé en binôme par une colonne.
Divisez le polynôme par un binôme à l'aide d'une colonne : Il existe une autre façon de diviser un polynôme par un binôme : le schéma de Horner.
Regardez cette vidéo pour comprendre
comment diviser un polynôme par un binôme avec une colonne, et en utilisant le diagramme de Horner.
Je remarque que si, lors de la division par colonne, un certain degré d'inconnu manque dans le polynôme d'origine, nous écrivons 0 à sa place - de la même manière que lors de la compilation d'un tableau pour le schéma de Horner. Ainsi, si nous devons diviser un polynôme par un binôme et que, à la suite de la division, nous obtenons un polynôme, nous pouvons alors trouver les coefficients du polynôme en utilisant le schéma de Horner : Nous pouvons également utiliser Schéma Horner racine d'un polynôme : si un nombre est la racine d'un polynôme, alors le reste lors de la division du polynôme par est égal à zéro, c'est-à-dire que dans la dernière colonne de la deuxième ligne du schéma de Horner, nous obtenons 0.
En utilisant le schéma de Horner, on « fait d'une pierre deux coups » : on vérifie simultanément si le nombre est la racine d'un polynôme et on divise ce polynôme par un binôme.
Exemple. Résous l'équation:
1. Écrivons les diviseurs du terme libre et cherchons les racines du polynôme parmi les diviseurs du terme libre.
Diviseurs de 24 :
2. Vérifions si le nombre 1 est la racine du polynôme.
La somme des coefficients d'un polynôme, donc le nombre 1 est la racine du polynôme.
3. Divisez le polynôme d'origine en un binôme en utilisant le schéma de Horner.
A) Écrivons les coefficients du polynôme d’origine dans la première ligne du tableau.
Comme le terme contenant est manquant, dans la colonne du tableau dans laquelle le coefficient doit être écrit, nous écrivons 0. À gauche, nous écrivons la racine trouvée : le nombre 1.
B) Remplissez la première ligne du tableau.
Dans la dernière colonne, comme prévu, nous avons obtenu zéro ; nous avons divisé le polynôme d'origine par un binôme sans reste. Les coefficients du polynôme issu de la division sont indiqués en bleu dans la deuxième ligne du tableau :
Il est facile de vérifier que les nombres 1 et -1 ne sont pas des racines du polynôme
B) Continuons le tableau. Vérifions si le nombre 2 est la racine du polynôme :
Ainsi, le degré du polynôme, obtenu à la suite d'une division par un, est inférieur au degré du polynôme d'origine, par conséquent, le nombre de coefficients et le nombre de colonnes sont un de moins.
Dans la dernière colonne, nous avons -40 - un nombre qui n'est pas égal à zéro, donc le polynôme est divisible par un binôme avec un reste et le nombre 2 n'est pas la racine du polynôme.
C) Vérifions si le nombre -2 est la racine du polynôme. La tentative précédente ayant échoué, pour éviter toute confusion avec les coefficients, j'effacerai la ligne correspondant à cette tentative :
Super! Nous avons obtenu zéro comme reste, donc le polynôme a été divisé en un binôme sans reste, donc le nombre -2 est la racine du polynôme. Les coefficients du polynôme obtenu en divisant un polynôme par un binôme sont indiqués en vert dans le tableau.
À la suite de la division, nous avons obtenu trinôme quadratique 
, dont les racines peuvent facilement être trouvées à l’aide du théorème de Vieta :
Ainsi, les racines de l’équation originale sont :
{
}
Répondre: ( 
}
Ce polynôme a des coefficients entiers. Si un entier est la racine de ce polynôme, alors c'est un diviseur du nombre 16. Ainsi, si un polynôme donné a des racines entières, alors celles-ci ne peuvent être que les nombres ±1 ; ±2 ; ±4 ; ±8 ; ±16. Par vérification directe, nous sommes convaincus que le nombre 2 est la racine de ce polynôme, soit x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x), où Q (x) est un polynôme de le deuxième degré. Par conséquent, le polynôme est décomposé en facteurs, dont (x – 2). Pour trouver le type de polynôme Q (x), nous utilisons le schéma dit de Horner. Le principal avantage de cette méthode est la compacité de la notation et la possibilité de diviser rapidement un polynôme en un binôme. En fait, le schéma de Horner est une autre forme d'enregistrement de la méthode de regroupement, même si, contrairement à cette dernière, il est totalement non visuel. La réponse (factorisation) s'obtient ici d'elle-même, et nous ne voyons pas le processus pour l'obtenir. Nous ne nous lancerons pas dans une justification rigoureuse du schéma de Horner, mais nous montrerons seulement comment il fonctionne.
| 1 | −5 | −2 | 16 | |
| 2 | 1 | −3 | −8 | 0 |
Le nombre de la cellule au-dessus est « déplacé » vers la deuxième cellule de la ligne du bas, c'est-à-dire 1. Ensuite, ils font cela. La racine de l'équation (numéro 2) est multipliée par le dernier nombre écrit (1) et le résultat est ajouté au nombre qui se trouve dans la rangée supérieure au-dessus de la prochaine cellule libre, dans notre exemple nous avons :
Le degré d'un polynôme résultant de la division est toujours inférieur de 1 au degré de celui d'origine. Donc:
Il a été prouvé que pour factoriser un polynôme, il faut trouver ses racines. Formules pour les racines d'un polynôme carré. Méthode pour retrouver des racines entières. Méthode de factorisation d'un polynôme biquadratique et de le réduire à un polynôme quadratique. Polynômes récurrents.
Base de la méthode
Laisser
- polynôme de degré n ≥ 1
d'une variable réelle ou complexe z à coefficients réels ou complexes a i.
Acceptons le théorème suivant sans preuve.
Théorème 1 Équation Pn(z) = 0
a au moins une racine.
Démontrons le lemme suivant.
Lemme 1 Soit Pn(z) 1
- polynôme de degré n, z
Pn (z 1) = 0.
Alors P n Soit Pn peut être représenté de la seule manière sous la forme :
Pn (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
où Pn- 1(z)- polynôme de degré n - 1
.
Preuve
Pour le prouver, on applique le théorème (voir Division et multiplication d'un polynôme par un polynôme par un coin et une colonne), selon lequel pour deux polynômes quelconques P n Soit Pn et Qk Soit Pn, degrés n et k, avec n ≥ k, il existe une représentation unique sous la forme :
Pn (z) = P n-k (z) Q k (z) + U k-1 (z),
où Pn-k Soit Pn- polynôme de degré n-k, U k- 1(z)- polynôme de degré non supérieur à k- 1
.
Posons k = 1
, Qk (z) = z - z 1, Alors
Pn (z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) + c,
où c est une constante. Remplaçons ici z = z 1
et prendre en compte que P n (z 1) = 0:
Pn (z 1 ) = (z 1 - z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Donc c = 0
.
Alors
Pn,
Q.E.D. Soit Pn Ainsi, d'après le théorème 1, le polynôme P n 1
a au moins une racine. Notons-le par z (z 1) = 0,PN
Pn ..
Ensuite, d’après le lemme 1 : 1
(z) = (z - z 1 ) P n-1 (z) 1(z) De plus, si n > 2
, alors le polynôme P n- a également au moins une racine, que nous notons z.
,Pn- 1 (z 2) = 0;
Pn Pn-.
1 (z) = (z - z 2 ) P n-2 (z) (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) P n-2 (z) En poursuivant ce processus, nous arrivons à la conclusion qu'il existe n nombres z
Pn 1 , z 2 , ... , z n.
tel que (z) = (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) P 0 (z) Mais P
(1)
0(z) - c'est une constante. En égalant les coefficients de z n, nous constatons qu'il est égal à a n..
En conséquence, on obtient la formule de factorisation d'un polynôme : Soit Pn.
Pn (1)
(z) = une n (z - z 1 )(z - z 2 ) ... (z - z n ) (1)
Les nombres z i sont les racines du polynôme P n
(2)
0(z) En général, tous les z ne sont pas inclus dans;
.
, sont différents. Parmi eux, il peut y avoir les mêmes valeurs. Puis factoriser le polynôme 1
peut s'écrire sous la forme : (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k Ici z je ≠ z j pour je ≠ j. Si n je =, Que racine z je 1
peut s'écrire sous la forme : (z) = a n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k Ici z je ≠ z j pour je ≠ j. appelé simple. Il entre en factorisation sous la forme (z-z je): ..
Si n je >
appelé racine multiple de multiplicité
n je.
Preuve
Il entre en factorisation sous la forme du produit n i
facteurs premiers
,
(z-z je )(z-z je ) ... (z-z je ) = (z-z je ) n je
Puis la décomposition (2)
un polynôme à coefficients réels en facteurs peut être représenté sous une forme dans laquelle seules des constantes réelles sont présentes :
(3)
;
.
Méthodes de factorisation d'un polynôme
Compte tenu de ce qui précède, pour factoriser un polynôme, vous devez trouver toutes les racines de l'équation P n (z) = 0 et déterminer leur multiplicité. Les facteurs ayant des racines complexes doivent être regroupés avec des conjugués complexes. Alors le développement est déterminé par la formule (3) .
Ainsi, la méthode pour factoriser un polynôme est la suivante :
1.
Trouver la racine z 1
équations P n (z 1) = 0.
2.1.
Si la racine z 1
réel, alors on ajoute le facteur au développement (z - z 1) (z - z 1) 1
:
.
1(z), à partir du point (1)
jusqu'à ce que nous trouvions toutes les racines.
2.2.
Si la racine est complexe, alors le nombre conjugué complexe est également la racine du polynôme. Alors le développement inclut le facteur
,
où b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
Dans ce cas, on ajoute le facteur au développement (z 2 + b 1 z + c 1) et divisez le polynôme P n (z) par (z 2 + b 1 z + c 1). 2
:
.
En conséquence, on obtient un polynôme de degré n - Ensuite, nous répétons le processus pour le polynôme P n-, à partir du point (1)
jusqu'à ce que nous trouvions toutes les racines.
2(z)
Trouver les racines d'un polynôme
La tâche principale lors de la factorisation d’un polynôme est de trouver ses racines. Malheureusement, cela ne peut pas toujours être fait de manière analytique. Ici, nous examinerons plusieurs cas où vous pouvez trouver analytiquement les racines d'un polynôme.
Racines d'un polynôme du premier degré
.
Un polynôme du premier degré est une fonction linéaire. Il a une racine. Le développement n'a qu'un seul facteur contenant la variable z :
Racines d'un polynôme du deuxième degré
Pour trouver les racines d'un polynôme du deuxième degré, il faut résoudre l'équation quadratique : P..
2 (z) = une 2 z 2 + une 1 z + une 0 = 0
, .
Si le discriminant est , alors l’équation a deux racines réelles :
.
Alors la factorisation a la forme : 0
Si discriminant D =
;
.
, alors l'équation a une racine double :< 0
Si discriminant D
.
, alors les racines de l’équation sont complexes,
Polynômes de degré supérieur à deux
Il existe des formules pour trouver les racines des polynômes du 3e et du 4e degré. Cependant, ils sont rarement utilisés car ils sont encombrants. Il n'existe pas de formules pour trouver les racines des polynômes de degré supérieur à 4. Malgré cela, dans certains cas, il est possible de factoriser le polynôme.
Trouver des racines entières
Si l’on sait qu’un polynôme dont les coefficients sont des entiers a une racine entière, alors il peut être trouvé en recherchant toutes les valeurs possibles.
Lemme 3
,
Laissez le polynôme 1
dont les coefficients a i sont des nombres entiers, a une racine entière z 0
.
Preuve
Réécrivons l'équation P n (z 1) = 0 comme:
.
Puis le tout
mz 1 = - un 0.
Diviser par z 1
:
.
Puisque M est un entier, alors M est un entier. Q.E.D.
Par conséquent, si les coefficients du polynôme sont des nombres entiers, vous pouvez alors essayer de trouver les racines entières. Pour ce faire, vous devez trouver tous les diviseurs du terme libre a 0
et, en substituant dans l'équation P n Équation Pn, vérifiez si ce sont des racines de cette équation.
Note. Si les coefficients du polynôme sont des nombres rationnels, alors multiplier l'équation P n Équation Pn sur dénominateur commun nombres a i , on obtient une équation pour un polynôme à coefficients entiers.
Trouver des racines rationnelles
Si les coefficients du polynôme sont des entiers et qu'il n'y a pas de racines entières, alors pour un n ≠ 1
, vous pouvez essayer de trouver des racines rationnelles. Pour ce faire, vous devez effectuer une substitution
z = oui/un n
et multipliez l'équation par un n n- 1
.
En conséquence, nous obtenons une équation pour un polynôme dans la variable y avec des coefficients entiers. Ensuite, nous recherchons les racines entières de ce polynôme parmi les diviseurs du terme libre. Si on a trouvé une telle racine y i, alors en passant à la variable x, on obtient une racine rationnelle
z je = y je /une n .
Formules utiles
Nous présentons des formules qui peuvent être utilisées pour factoriser un polynôme.
Pn Plus généralement, pour développer un polynôme,
(z) = z n - une 0 0
où un
- complexe, il faut trouver toutes ses racines, c'est-à-dire résoudre l'équation : 0
.
z n = une 0
Cette équation peut être facilement résolue en exprimant un
.
via le module r et l'argument φ : 0
Depuis un ne changera pas si nous ajoutons à l'argument 2π 0
comme:
,
, alors imaginez un
;
.
où k est un entier. Alors Attribuer à k les valeurs k = 0, 1, 2, ...n-1
.
, on obtient n racines du polynôme. Alors sa factorisation a la forme :
Polynôme biquadratique
.
Considérons le polynôme biquadratique :
Un polynôme biquadratique peut être factorisé sans trouver les racines.
,
Quand nous avons:
Où .
Polynômes bicubiques et quadratiques
.
Considérons le polynôme :
.
Ses racines sont déterminées à partir de l'équation : Cela mène àéquation quadratique
substitution t = z n : un.
2 n t 2 + une n t + une 0 = 0 1
Après avoir résolu cette équation, on trouve ses racines, t 2
,t
.
. 1
On retrouve alors le développement sous la forme : 2
Ensuite, en utilisant la méthode indiquée ci-dessus, nous factorisons z n - t
et z n - t
. Enfin, nous regroupons les facteurs contenant des racines conjuguées complexes. Polynômes récurrents
Le polynôme s'appelle
.
consigné -1
, si ses coefficients sont symétriques : + 1
Un exemple de polynôme réflexif : - 1
.
Si le degré d'un polynôme récurrent n est pair, alors par substitution , il est réduit à un polynôme de degré n/ 2
.
Cm. La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F)X[F Q ] (avec coefficients rationnels) se réduit à la question de trouver des racines rationnelles de polynômes
∙
La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F)
k[F Z ] (avec coefficients rationnels) se réduit à la question de trouver des racines rationnelles de polynômes] (avec coefficients entiers). Voici le numéro
est le plus petit commun multiple des dénominateurs des coefficients d'un polynôme donné.
Les conditions nécessaires mais non suffisantes pour l'existence de racines rationnelles d'un polynôme à coefficients entiers sont données par le théorème suivant.
Théorème 6.1 (sur les racines rationnelles d'un polynôme à coefficients entiers).
–
SiLa question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F)
=
racine rationnelle d'un polynôme un
F un +
+
…+
racine rationnelle d'un polynôme 1
F
+
racine rationnelle d'un polynôme 0
n
entier
Avec(coefficients, et,
p)
= 1qcoefficients, et, puis le numérateur de la fraction 0
est un diviseur du terme libre ap, et le dénominateur 0
.
est un diviseur du coefficient dominant aThéorème 6.1 (sur les racines rationnelles d'un polynôme à coefficients entiers).
X
(
Théorème 6.2.
(coefficients, et,
p)
=
1)
Où
La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F)
est la racine rationnelle du polynôme
–avec des coefficients entiers, alors
Exemple. nombres entiers.
La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F) = 6 F 4 + F 3 + 2 F 2 – 4 Trouver toutes les racines rationnelles du polynôme 1.
x+
–
1. D'après le théorème 6.1 : si La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F),
( racine rationnelle d'un polynôme coefficients, et,
p)
= 1),
Où( racine rationnelle d'un polynôme 0
= 1
coefficients, et,
racine rationnelle d'un polynôme un
= 6
p Que . C'est pourquoi 
{
1}, p 
q
.
(1, 2, 3, 6), ce qui signifie 2. On sait que (Corollaire 5.3) le nombre UN La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F est la racine du polynôme La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F) si et seulement si ) divisé par ().
x – une La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F Par conséquent, pour vérifier si les nombres 1 et –1 sont des racines d’un polynôme
La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(1)
= 6
0,La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(–1)
= 12
), vous pouvez utiliser le schéma de Horner : La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F).
0, donc 1 et –1 ne sont pas des racines du polynôme 
3. Éliminer certains des chiffres restants 
, utilisons le théorème 6.2. Si les expressions 
ou coefficients, et accepte les valeurs entières pour les valeurs du numérateur correspondantes p et le dénominateur
|
|
|
|
|
|||
|
| ||||||
|
|
=
=
, puis dans les cellules correspondantes du tableau (voir ci-dessous), nous écrirons la lettre "ts", sinon - "dr". 
4. En utilisant le schéma de Horner, nous vérifions si les nombres restants après le tri seront La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F racines La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F). Divisons d'abord ) sur (
–
).
X La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F) = () sur ( – )(6 F 3 + 4 F 2 + 4 En conséquence nous avons : X - La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F 2) et – racine p(F) = 6 F 3 + 4 F 2 + 4 En conséquence nous avons :). Privé ) sur ( + ).
diviser 2 par ( p
(–)
= 3
Parce que p(F 0, alors (–) n'est pas une racine du polynôme La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F).
), et donc le polynôme p(F) = 6 F 3 + 4 F 2 + + 4 En conséquence nous avons : Enfin, on divise le polynôme ) sur ( – ).
2 sur ( p A obtenu: p(F() = 0, c'est-à-dire – racine La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme (F), et donc la racine La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme (F). Donc le polynôme
) a deux racines rationnelles : et.
Libération de l'irrationalité algébrique au dénominateur d'une fraction
Au cours de l'école, lors de la résolution de certains types de problèmes pour se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction, il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur de la fraction par le nombre conjugué au dénominateur. 1.Exemples.
=
.
t
Ici, la formule de multiplication abrégée (différence des carrés) fonctionne au dénominateur, ce qui permet de se libérer de l'irrationalité du dénominateur.
Exemples.
=
. Expression – carré incomplet de la différence des nombres 2. On sait que (Corollaire 5.3) le nombre=
Et b= 1. En utilisant la formule de multiplication abrégée 2. On sait que (Corollaire 5.3) le nombre 3
–
b 3
=
(un +b)
· ( racine rationnelle d'un polynôme 2
–
un B
+
b 2
), on peut déterminer le multiplicateur m
= (un +b)
=
+ 1, par lequel le numérateur et le dénominateur de la fraction doivent être multipliés Exemples. se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur de la fraction Exemples.. Ainsi,
Dans les situations où les formules de multiplication abrégées ne fonctionnent pas, d’autres techniques peuvent être utilisées. Nous formulerons ci-dessous un théorème dont la preuve permet notamment de trouver un algorithme pour se débarrasser de l'irrationalité au dénominateur d'une fraction dans des situations plus complexes.
Définition 6.1. Nombre z appelé algébrique sur le terrain
F, s'il existe un polynôme La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F)
F[F], dont la racine est z, sinon le numéro z appelé transcendantal sur le terrainF.
Définition 6.2.Degré d'algébrique sur le terrain
F
Nombres
z s'appelle le degré d'un irréductible sur un corps F polynôme coefficients, et(F)
F[F], dont la racine est le nombre z.
Exemple. Montrons que le nombre z = 
est algébrique sur le terrain X et trouver son degré.
Trouvons un irréductible sur le terrain X polynôme coefficients, et() sur (), dont la racine est F
=
. Élevons les deux côtés de l'égalité F
=
à la puissance quatrième, on obtient ) sur ( 4
= 2 ou ) sur ( 4
–
2
= 0. Donc, coefficients, et() sur ()
= ) sur ( 4
–
2, et le pouvoir du nombre zégal à degré
coefficients, et() sur ()
= 4.
Théorème 6.3
(sur la libération de l'irrationalité algébrique dans le dénominateur d'une fraction).Laisserz– nombre algébrique sur un corpsFdegrésun. Expression de la formeExemples.
=
,Théorème 6.2.
La question de trouver les racines rationnelles d'un polynôme(F),
(F)
F[F],
(z) 
0
ne peut être représenté que sous la forme :
Exemples.
= n un -1
z un -1
+
c un -2
z un -2
+ … +
c 1
z
+
c 0
,
c je
F.
Nous démontrerons l'algorithme permettant de se débarrasser de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction à l'aide d'un exemple spécifique.
Exemple. Libérez-vous de l'irrationalité du dénominateur d'une fraction :
Exemples.
=
1. Le dénominateur de la fraction est la valeur du polynôme 
() sur ()
= ) sur ( 2
– ) sur (+1 quand ) sur (
=
. L'exemple précédent montre que 
– nombre algébrique sur un corps X degré 4, puisqu'il est la racine d'un irréductible sur X polynôme coefficients, et() sur ()
= ) sur ( 4
–
2.
2. Trouvons le développement linéaire de GCD ( 
() sur (),
coefficients, et(F)) en utilisant l'algorithme euclidien.
_X 4 – 2 | F 2 -X + 1
F 4 -X 3 +x 2 X 2 + x = q 1 (F)
_ F 3 -X 2 – 2
F 3 -X 2 +x
F 2 -X + 1 | – F –2 = r 1 (F )
F 2 + 2 F – x + 3 = p 2 (F)
_–3F+ 1
–3 F – 6
_ – F –2 |7 = r 2
– F –2 -F - =p 3 (F)
Donc, PGCD ( 
() sur (),
coefficients, et(F))
= r 2
=
7. Trouvons son développement linéaire.
Écrivons la séquence euclidienne en utilisant la notation polynomiale.
coefficients, et(F)
=
(F)
· p 1
(F)
+ r 1
(F)
r 1
(F)
=p(F)
–
(F)
· p 1
(F)