(Fig. 1)
Figure 1. Graphique dérivé
Propriétés du graphique dérivé
- À intervalles croissants, la dérivée est positive. Si la dérivée en un certain point d'un certain intervalle a une valeur positive, alors le graphique de la fonction sur cet intervalle augmente.
- A intervalles décroissants, la dérivée est négative (avec un signe moins). Si la dérivée à un certain point d'un certain intervalle a Sens négatif, alors le graphique de la fonction diminue sur cet intervalle.
- La dérivée au point x est égale à pente tangente tracée au graphique de la fonction au même point.
- Aux points maximum et minimum de la fonction, la dérivée est égale à zéro. La tangente au graphique de la fonction en ce point est parallèle à l'axe OX.
Exemple 1
A l'aide du graphique (Fig. 2) de la dérivée, déterminez à quel point du segment [-3 ; 5] la fonction est maximale.
Figure 2. Graphique dérivé
Solution : Sur ce segment, la dérivée est négative, ce qui signifie que la fonction décroît de gauche à droite, et valeur la plus élevée est situé sur le côté gauche au point -3.
Exemple 2
A l'aide du graphique (Fig. 3) de la dérivée, déterminez le nombre de points maximum sur le segment [-11 ; 3].
Figure 3. Graphique dérivé
Solution : Les points maximum correspondent aux points où le signe de la dérivée passe du positif au négatif. Sur cet intervalle, la fonction change de signe du plus au moins deux fois - au point -10 et au point -1. Cela signifie que le nombre maximum de points est de deux.
Exemple 3
A l'aide du graphique (Fig. 3) de la dérivée, déterminez le nombre de points minimum dans le segment [-11 ; -1].
Solution : Les points minimaux correspondent aux points où le signe de la dérivée passe du négatif au positif. Sur ce segment, un tel point n'est que de -7. Cela signifie que le nombre minimum de points sur un segment donné est de un.
Exemple 4
A l'aide du graphique (Fig. 3) de la dérivée, déterminez le nombre de points extremum.
Solution : Les points extrêmes sont à la fois les points minimum et maximum. Trouvons le nombre de points auxquels la dérivée change de signe.
Dérivée première Si la dérivée d'une fonction est positive (négative) dans un certain intervalle, alors la fonction dans cet intervalle augmente de manière monotone (diminue de manière monotone). Si la dérivée d'une fonction est positive (négative) dans un certain intervalle, alors la fonction augmente de manière monotone (diminue de manière monotone) dans cet intervalle. Plus loin
Définition Une courbe est dite convexe en un point si dans un certain voisinage de ce point elle se situe sous sa tangente en un point. Une courbe est dite convexe en un point si dans un certain voisinage de ce point elle se situe sous sa tangente en un point. Une courbe est dite concave en un point si dans un certain voisinage de ce point elle est située au-dessus de sa tangente en un point. Une courbe est dite concave en un point si dans un certain voisinage de ce point elle est située au-dessus de sa tangente en un point Suivant.
Signe de concavité et de convexité Si la dérivée seconde d'une fonction dans un intervalle donné est positive, alors la courbe est concave dans cet intervalle, et si elle est négative, elle est convexe dans cet intervalle. Si la dérivée seconde d'une fonction dans un intervalle donné est positive, alors la courbe est concave dans cet intervalle, et si elle est négative, elle est convexe dans cet intervalle. Définition
Plan pour étudier une fonction et construire son graphe 1. Trouver le domaine de définition de la fonction et déterminer les points de discontinuité, le cas échéant ; 1. Trouver le domaine de définition de la fonction et déterminer les points de discontinuité, le cas échéant ; déterminer si la fonction est paire ou impaire ; vérifier sa périodicité 2. Découvrez si la fonction est paire ou impaire ; vérifier sa périodicité 3. Déterminer les points d'intersection du graphique de la fonction avec les axes de coordonnées 3. Déterminer les points d'intersection du graphique de la fonction avec les axes de coordonnées 4. Trouver les points critiques du 1er type 4. Trouver les points critiques points de 1ère espèce 5. Déterminer les intervalles de monotonie et d'extrema de la fonction 5. Déterminer les intervalles de monotonie et d'extrema de la fonction 6. Déterminer les intervalles de convexité et de concavité et trouver les points d'inflexion 6. Déterminer les intervalles de convexité et de concavité et trouvez les points d'inflexion 7. À l'aide des résultats de la recherche, reliez les points obtenus avec une courbe lisse 7. À l'aide des résultats de la recherche, reliez les points obtenus avec une courbe lisse.
Le problème B9 donne le graphique d’une fonction ou d’une dérivée à partir de laquelle vous devez déterminer l’une des quantités suivantes :
- La valeur de la dérivée à un moment donné x 0,
- Points maximum ou minimum (points extremum),
- Intervalles de fonctions croissantes et décroissantes (intervalles de monotonie).
Les fonctions et dérivées présentées dans ce problème sont toujours continues, ce qui rend la solution beaucoup plus facile. Malgré le fait que la tâche appartient à la section de l'analyse mathématique, même les étudiants les plus faibles peuvent la réaliser, car aucune connaissance théorique approfondie n'est requise ici.
Pour trouver la valeur de la dérivée, des points extrêmes et des intervalles de monotonie, il existe des algorithmes simples et universels - ils seront tous discutés ci-dessous.
Lisez attentivement les conditions du problème B9 pour éviter de commettre des erreurs stupides : parfois vous tombez sur des textes assez longs, mais conditions importantes, qui influencent le cours de la décision, il y en a peu.
Calcul de la valeur dérivée. Méthode en deux points
Si le problème est donné un graphique d'une fonction f(x), tangente à ce graphique en un certain point x 0, et qu'il est nécessaire de trouver la valeur de la dérivée à ce point, l'algorithme suivant est appliqué :
- Trouvez deux points « adéquats » sur le graphique tangent : leurs coordonnées doivent être entières. Notons ces points comme A (x 1 ; y 1) et B (x 2 ; y 2). Notez correctement les coordonnées - c'est un point clé de la solution, et toute erreur ici entraînera une réponse incorrecte.
- Connaissant les coordonnées, il est facile de calculer l'incrément de l'argument Δx = x 2 − x 1 et l'incrément de la fonction Δy = y 2 − y 1 .
- Enfin, on retrouve la valeur de la dérivée D = Δy/Δx. En d'autres termes, vous devez diviser l'incrément de la fonction par l'incrément de l'argument - et ce sera la réponse.
Notons encore une fois : les points A et B doivent être recherchés précisément sur la tangente, et non sur le graphe de la fonction f(x), comme cela arrive souvent. La ligne tangente contiendra nécessairement au moins deux de ces points - sinon le problème ne sera pas composé correctement.
Considérez les points A (−3 ; 2) et B (−1 ; 6) et trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2 ; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Trouvons la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Tâche. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .
Considérez les points A (0 ; 3) et B (3 ; 0), trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3 ; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
On trouve maintenant la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Tâche. La figure montre un graphique de la fonction y = f(x) et une tangente à celle-ci au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .
Considérez les points A (0 ; 2) et B (5 ; 2) et trouvez les incréments :
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5 ; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Reste à trouver la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
A partir du dernier exemple, on peut formuler une règle : si la tangente est parallèle à l'axe OX, la dérivée de la fonction au point de tangence est nulle. Dans ce cas, vous n’avez même pas besoin de compter quoi que ce soit : il suffit de regarder le graphique.
Calcul des points maximum et minimum
Parfois, au lieu d'un graphique d'une fonction, le problème B9 donne un graphique de la dérivée et nécessite de trouver le point maximum ou minimum de la fonction. Dans cette situation, la méthode en deux points est inutile, mais il existe un autre algorithme encore plus simple. Tout d'abord, définissons la terminologie :
- Le point x 0 est appelé le point maximum de la fonction f(x) si dans un certain voisinage de ce point l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) ≥ f(x).
- Le point x 0 est appelé le point minimum de la fonction f(x) si dans un certain voisinage de ce point l'inégalité suivante est vraie : f(x 0) ≤ f(x).
Afin de trouver les points maximum et minimum sur le graphique dérivé, suivez simplement ces étapes :
- Redessinez le graphique dérivé en supprimant toutes les informations inutiles. Comme le montre la pratique, les données inutiles ne font qu'interférer avec la décision. On note donc sur axe de coordonnées les zéros de la dérivée - c'est tout.
- Découvrez les signes de la dérivée sur les intervalles entre zéros. Si pour un point x 0 on sait que f'(x 0) ≠ 0, alors seules deux options sont possibles : f'(x 0) ≥ 0 ou f'(x 0) ≤ 0. Le signe de la dérivée est facile à déterminer à partir du dessin original : si le graphe dérivé se situe au-dessus de l'axe OX, alors f'(x) ≥ 0. Et vice versa, si le graphe dérivé se situe sous l'axe OX, alors f'(x) ≤ 0.
- Nous vérifions à nouveau les zéros et les signes de la dérivée. Là où le signe passe de moins à plus, c'est le point minimum. A l’inverse, si le signe de la dérivée passe du plus au moins, c’est le point maximum. Le comptage se fait toujours de gauche à droite.
Ce schéma ne fonctionne que pour les fonctions continues – il n’y en a pas d’autres dans le problème B9.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−5; 5]. Trouvez le point minimum de la fonction f(x) sur ce segment.
Débarrassons-nous des informations inutiles et ne laissons que les limites [−5; 5] et les zéros de la dérivée x = −3 et x = 2,5. On note également les signes :
Évidemment, au point x = −3, le signe de la dérivée passe de moins à plus. C'est le point minimum.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−3; 7]. Trouvez le point maximum de la fonction f(x) sur ce segment.
Redessinons le graphique en ne laissant que les limites [−3; 7] et les zéros de la dérivée x = −1,7 et x = 5. Notons les signes de la dérivée sur le graphique résultant. Nous avons:
Évidemment, au point x = 5, le signe de la dérivée passe du plus au moins - c'est le point maximum.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle [−6; 4]. Trouver le nombre de points maximum de la fonction f(x) appartenant au segment [−4; 3].
Des conditions du problème il résulte qu'il suffit de considérer uniquement la partie du graphe limitée par le segment [−4 ; 3]. Par conséquent, nous construisons un nouveau graphe sur lequel nous marquons uniquement les frontières [−4 ; 3] et les zéros de la dérivée à l'intérieur. A savoir, les points x = −3,5 et x = 2. On obtient :
Sur ce graphique, il n'y a qu'un seul point maximum x = 2. C'est à ce stade que le signe de la dérivée passe du plus au moins.
Une petite note sur les points avec des coordonnées non entières. Par exemple, dans le dernier problème, le point x = −3,5 a été considéré, mais avec le même succès nous pouvons prendre x = −3,4. Si le problème est correctement rédigé, de tels changements ne devraient pas affecter la réponse, puisque les points « sans domicile fixe » ne participent pas directement à la résolution du problème. Bien entendu, cette astuce ne fonctionnera pas avec des points entiers.
Trouver des intervalles de fonctions croissantes et décroissantes
Dans un tel problème, comme les points maximum et minimum, il est proposé d'utiliser le graphe dérivé pour trouver les zones dans lesquelles la fonction elle-même augmente ou diminue. Tout d’abord, définissons ce que sont l’augmentation et la diminution :
- Une fonction f(x) est dite croissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé suivant est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . En d’autres termes, plus la valeur de l’argument est grande, plus la valeur de la fonction est grande.
- Une fonction f(x) est appelée décroissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé suivant est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Ceux. valeur plus élevée L’argument correspond à la plus petite valeur de la fonction.
Formulons des conditions suffisantes pour augmenter et diminuer :
- Pour qu'une fonction continue f(x) augmente sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit positive, c'est-à-dire f'(x) ≥ 0.
- Pour qu'une fonction continue f(x) décroisse sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit négative, c'est-à-dire f'(x) ≤ 0.
Acceptons ces déclarations sans preuves. Ainsi, nous obtenons un schéma pour trouver des intervalles d'augmentation et de diminution, qui est à bien des égards similaire à l'algorithme de calcul des points extremum :
- Supprimez toutes les informations inutiles. Dans le graphique original de la dérivée, nous nous intéressons principalement aux zéros de la fonction, nous ne les laisserons donc que.
- Marquez les signes de la dérivée aux intervalles entre les zéros. Où f'(x) ≥ 0, la fonction augmente, et où f'(x) ≤ 0, elle diminue. Si le problème impose des restrictions sur la variable x, nous les marquons en plus sur un nouveau graphique.
- Maintenant que l'on connaît le comportement de la fonction et les contraintes, il reste à calculer la quantité requise dans le problème.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur l'intervalle [−3; 7.5]. Trouver les intervalles de diminution de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la somme des entiers compris dans ces intervalles.
Comme d'habitude, redessinons le graphique et marquons les limites [−3 ; 7,5], ainsi que les zéros de la dérivée x = −1,5 et x = 5,3. Puis on note les signes de la dérivée. Nous avons:
Puisque la dérivée est négative sur l'intervalle (− 1,5), c'est l'intervalle de fonction décroissante. Il reste à additionner tous les entiers qui se trouvent à l'intérieur de cet intervalle :
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle [−10 ; 4]. Trouver les intervalles d'augmentation de la fonction f(x). Dans votre réponse, indiquez la longueur du plus grand d’entre eux.
Débarrassons-nous des informations inutiles. Laissons seulement les frontières [−10 ; 4] et les zéros de la dérivée, qui étaient cette fois quatre : x = −8, x = −6, x = −3 et x = 2. Marquons les signes de la dérivée et obtenons l'image suivante :
Nous nous intéressons aux intervalles de fonction croissante, c'est-à-dire tel que f'(x) ≥ 0. Il existe deux de ces intervalles sur le graphique : (−8 ; −6) et (−3 ; 2). Calculons leurs longueurs :
l 1 = − 6 − (−8) = 2 ;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Puisque nous devons trouver la longueur du plus grand des intervalles, nous notons la valeur l 2 = 5 comme réponse.
Étudier une fonction à l'aide de sa dérivée. Dans cet article nous analyserons quelques tâches liées à l'étude du graphe d'une fonction. Dans de tels problèmes, un graphique de la fonction y = f (x) est donné et des questions sont soulevées concernant la détermination du nombre de points auxquels la dérivée de la fonction est positive (ou négative), ainsi que d'autres. Ils sont classés comme tâches sur l'application des dérivées à l'étude des fonctions.
La résolution de tels problèmes, et en général des problèmes liés à la recherche, n'est possible qu'avec une compréhension complète des propriétés de la dérivée pour l'étude des graphiques de fonctions et de la dérivée. Par conséquent, je vous recommande fortement d’étudier la théorie pertinente. Vous pouvez étudier et aussi regarder (mais il contient un bref résumé).
Nous examinerons également les problèmes où le graphe dérivé est donné dans les prochains articles, ne le manquez pas ! Ainsi, les tâches :
La figure montre un graphique de la fonction y = f (x), définie sur l'intervalle (−6 ; 8). Définir:
1. Le nombre de points entiers auxquels la dérivée de la fonction est négative ;
2. Le nombre de points auxquels la tangente au graphique de la fonction est parallèle à la droite y = 2 ;
1. La dérivée d'une fonction est négative sur les intervalles sur lesquels la fonction décroît, c'est-à-dire sur les intervalles (−6 ; –3), (0 ; 4,2), (6,9 ; 8). Ils contiennent les points entiers −5, −4, 1, 2, 3, 4 et 7. Nous obtenons 7 points.
2. Directement oui= 2 parallèles à l'axeOhoui= 2 uniquement aux points extrêmes (aux points où le graphique change de comportement de croissant à décroissant ou vice versa). Il existe quatre de ces points : –3 ; 0 ; 4.2 ; 6.9
Décider vous-même:
Déterminez le nombre de points entiers auxquels la dérivée de la fonction est positive.
La figure montre un graphique de la fonction y = f (x), définie sur l'intervalle (−5 ; 5). Définir:
2. Le nombre de points entiers auxquels la tangente au graphique de la fonction est parallèle à la droite y = 3 ;
3. Le nombre de points auxquels la dérivée est nulle ;
1. D'après les propriétés de la dérivée d'une fonction, on sait qu'elle est positive sur les intervalles sur lesquels la fonction augmente, c'est-à-dire sur les intervalles (1,4 ; 2,5) et (4,4 ; 5). Ils ne contiennent qu'un seul point entier x = 2.
2. Directement oui= 3 parallèles à l'axeOh. La tangente sera parallèle à la droiteoui= 3 uniquement aux points extrêmes (aux points où le graphique change de comportement de croissant à décroissant ou vice versa).
Il existe quatre de ces points : –4.3 ; 1.4 ; 2,5 ; 4.4
3. La dérivée est égale à zéro en quatre points (aux points extremum), nous les avons déjà indiqués.
Décider vous-même:
Déterminer le nombre de points entiers auxquels la dérivée de la fonction f(x) est négative.
La figure montre un graphique de la fonction y = f (x), définie sur l'intervalle (−2 ; 12). Trouver:
1. Le nombre de points entiers auxquels la dérivée de la fonction est positive ;
2. Le nombre de points entiers auxquels la dérivée de la fonction est négative ;
3. Le nombre de points entiers auxquels la tangente au graphique de la fonction est parallèle à la droite y = 2 ;
4. Le nombre de points auxquels la dérivée est nulle.
1. D'après les propriétés de la dérivée d'une fonction, on sait qu'elle est positive sur les intervalles sur lesquels la fonction augmente, c'est-à-dire sur les intervalles (–2 ; 1), (2 ; 4), (7 ; 9) et ( 10 ; 11). Ils contiennent des points entiers : –1, 0, 3, 8. Il y en a quatre au total.
2. La dérivée d'une fonction est négative sur les intervalles sur lesquels la fonction décroît, c'est-à-dire sur les intervalles (1 ; 2), (4 ; 7), (9 ; 10), (11 ; 12). Ils contiennent les points entiers 5 et 6. On obtient 2 points.
3. Directement oui= 2 parallèles à l'axeOh. La tangente sera parallèle à la droiteoui= 2 uniquement aux points extrêmes (aux points où le graphique change de comportement de croissant à décroissant ou vice versa). Il y a sept points de ce type : 1 ; 2 ; 4 ; 7; 9 ; dix; onze.
4. La dérivée est égale à zéro en sept points (aux points extremum), nous les avons déjà indiqués.
La dérivée d'une fonction est l'une des sujets difficiles V programme scolaire. Tous les diplômés ne répondront pas à la question de savoir ce qu'est un dérivé.
Cet article explique de manière simple et claire ce qu'est un dérivé et pourquoi il est nécessaire.. Nous ne rechercherons pas maintenant la rigueur mathématique dans la présentation. Le plus important est d’en comprendre le sens.
Rappelons la définition :
La dérivée est le taux de variation d'une fonction.
La figure montre des graphiques de trois fonctions. Selon vous, lequel connaît la croissance la plus rapide ?
La réponse est évidente : la troisième. Elle a le plus grande vitesse changements, c’est-à-dire la plus grande dérivée.
Voici un autre exemple.
Kostya, Grisha et Matvey ont trouvé un emploi en même temps. Voyons comment leurs revenus ont évolué au cours de l'année :
Le graphique montre tout en même temps, n'est-ce pas ? Les revenus de Kostya ont plus que doublé en six mois. Et les revenus de Grisha ont également augmenté, mais juste un peu. Et les revenus de Matvey sont tombés à zéro. Les conditions de départ sont les mêmes, mais le taux de changement de la fonction, c'est-à-dire dérivé, - différent. Quant à Matvey, sa dérivée de revenu est généralement négative.
Intuitivement, nous estimons facilement le taux de changement d’une fonction. Mais comment fait-on cela ?
Ce que nous examinons réellement, c'est la vitesse à laquelle le graphique d'une fonction monte (ou descend). En d’autres termes, à quelle vitesse y change-t-il lorsque x change ? Évidemment, la même fonction dans différents points puis-je avoir sens différent dérivé - c'est-à-dire qu'il peut changer plus rapidement ou plus lentement.
La dérivée d'une fonction est notée .
Nous allons vous montrer comment le trouver à l’aide d’un graphique.
Un graphique d'une fonction a été dessiné. Prenons un point marqué en abscisse. Traçons une tangente au graphique de la fonction à ce stade. Nous voulons estimer la vitesse à laquelle le graphique de fonction augmente. Une valeur pratique pour cela est tangente de l'angle tangent.
La dérivée d'une fonction en un point est égale à la tangente de l'angle tangent tracé au graphique de la fonction en ce point.
Veuillez noter que comme angle d'inclinaison de la tangente, nous prenons l'angle entre la tangente et la direction positive de l'axe.
Parfois, les élèves demandent ce qu’est une tangente au graphique d’une fonction. Il s’agit d’une droite qui a un seul point commun avec le graphique de cette section, et comme le montre notre figure. Cela ressemble à une tangente à un cercle.
Trouvons-le. On se souvient que la tangente d'un angle aigu dans triangle rectangle égal au rapport le côté opposé au côté adjacent. Du triangle :
Nous avons trouvé la dérivée à l'aide d'un graphique sans même connaître la formule de la fonction. De tels problèmes se retrouvent souvent dans l'examen d'État unifié de mathématiques sous le numéro.
Il existe une autre relation importante. Rappelons que la droite est donnée par l'équation
La quantité dans cette équation est appelée pente d'une droite. Elle est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison de la droite à l'axe.
.
Nous obtenons cela
Rappelons cette formule. Elle exprime signification géométrique dérivé.
La dérivée d'une fonction en un point est égale à la pente de la tangente tracée au graphique de la fonction en ce point.
En d’autres termes, la dérivée est égale à la tangente de l’angle tangent.
Nous avons déjà dit qu'une même fonction peut avoir des dérivées différentes en différents points. Voyons comment la dérivée est liée au comportement de la fonction.
Traçons un graphique d'une fonction. Laissez cette fonction augmenter dans certains domaines et diminuer dans d’autres, et à des rythmes différents. Et laissez cette fonction avoir des points maximum et minimum.
À un moment donné, la fonction augmente. La tangente au graphique tracé au point forme angle vif; avec une direction d'axe positive. Cela signifie que la dérivée en ce point est positive.
Au point où notre fonction diminue. La tangente forme en ce point un angle obtus ; avec une direction d'axe positive. Puisque la tangente d’un angle obtus est négative, la dérivée en ce point est négative.
Voici ce qui se passe :
Si une fonction est croissante, sa dérivée est positive.
Si elle diminue, sa dérivée est négative.
Que se passera-t-il aux points maximum et minimum ? On voit qu'aux points (point maximum) et (point minimum) la tangente est horizontale. Par conséquent, la tangente de la tangente en ces points est nulle et la dérivée est également nulle.
Point - point maximum. A ce stade, l’augmentation de la fonction est remplacée par une diminution. Par conséquent, le signe de la dérivée change au point de « plus » à « moins ».
Au point - le point minimum - la dérivée est également nulle, mais son signe passe de « moins » à « plus ».
Conclusion : en utilisant la dérivée on peut découvrir tout ce qui nous intéresse sur le comportement d'une fonction.
Si la dérivée est positive, alors la fonction augmente.
Si la dérivée est négative, alors la fonction diminue.
Au point maximum, la dérivée est nulle et change de signe de « plus » à « moins ».
Au point minimum, la dérivée est également nulle et change de signe de « moins » à « plus ».
Écrivons ces conclusions sous forme de tableau :
| augmente | point maximum | diminue | point minimum | augmente | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Apportons deux petites précisions. Vous en aurez besoin pour résoudre le problème. Un autre - en première année, avec une étude plus sérieuse des fonctions et des dérivées.
Il est possible que la dérivée d'une fonction à un moment donné soit égale à zéro, mais la fonction n'a ni maximum ni minimum à ce stade. C'est ce qu'on appelle :
En un point, la tangente au graphique est horizontale et la dérivée est nulle. Cependant, avant ce point, la fonction augmentait - et après ce point, elle continue d'augmenter. Le signe de la dérivée ne change pas - il reste positif comme avant.
Il arrive aussi qu'au point de maximum ou de minimum la dérivée n'existe pas. Sur le graphique, cela correspond à une rupture brutale, lorsqu'il est impossible de tracer une tangente en un point donné.
Comment trouver la dérivée si la fonction est donnée non pas par un graphique, mais par une formule ? Dans ce cas, cela s'applique