Niveau moyen

Inégalités quadratiques. Guide complet (2019)

Pour comprendre comment résoudre des équations quadratiques, nous devons comprendre ce que c'est fonction quadratique, et quelles propriétés il possède.

Vous vous êtes probablement demandé pourquoi une fonction quadratique est nécessaire ? Où son graphique (parabole) est-il applicable ? Oui, il suffit de regarder autour de vous et vous remarquerez que chaque jour Vie courante vous la rencontrez. Avez-vous remarqué comment une balle lancée vole en éducation physique ? "Le long de l'arc" ? La réponse la plus correcte serait « parabole » ! Et sur quelle trajectoire se déplace le jet dans la fontaine ? Oui, également en parabole ! Comment vole une balle ou un obus ? C'est vrai, également dans une parabole ! Ainsi, connaissant les propriétés d'une fonction quadratique, il sera possible de résoudre de nombreux problèmes pratiques. Par exemple, sous quel angle faut-il lancer une balle pour assurer la plus grande distance ? Ou, où finira le projectile si vous le lancez sous un certain angle ? etc.

Fonction quadratique

Alors, découvrons-le.

Par exemple, . Quels sont les égaux ici, et ? Oui bien sur!

Et si, c'est-à-dire moins que zéro? Eh bien, bien sûr, nous sommes « tristes », ce qui signifie que les branches seront dirigées vers le bas ! Regardons le graphique.

Cette figure montre le graphique d'une fonction. Depuis, c'est-à-dire inférieur à zéro, les branches de la parabole sont dirigées vers le bas. De plus, vous avez probablement déjà remarqué que les branches de cette parabole coupent l'axe, ce qui signifie que l'équation a 2 racines, et que la fonction prend à la fois des valeurs positives et négatives !

Au tout début, lorsque nous avons donné la définition d'une fonction quadratique, il a été dit que ce sont quelques nombres. Peuvent-ils être égaux à zéro ? Eh bien, bien sûr, ils le peuvent ! Je vais même révéler un secret encore plus grand (qui n’est pas du tout un secret, mais qui mérite d’être mentionné) : il n’y a aucune restriction imposée sur ces chiffres (et) du tout !

Eh bien, voyons ce qui arrive aux graphiques si et sont égaux à zéro.

Comme vous pouvez le constater, les graphiques des fonctions (et) considérées se sont décalés de sorte que leurs sommets se trouvent désormais au point de coordonnées, c'est-à-dire à l'intersection des axes et cela n'a aucun effet sur la direction des branches. . Ainsi, nous pouvons conclure qu'ils sont responsables du « mouvement » du graphe parabolique le long du système de coordonnées.

Le graphique d'une fonction touche l'axe en un point. Cela signifie que l’équation a une racine. Ainsi, la fonction prend des valeurs supérieures ou égales à zéro.

On suit la même logique avec le graphique de la fonction. Il touche l'axe des x en un point. Cela signifie que l’équation a une racine. Ainsi, la fonction prend des valeurs inférieures ou égales à zéro, c'est-à-dire.

Ainsi, pour déterminer le signe d’une expression, la première chose à faire est de trouver les racines de l’équation. Cela nous sera très utile.

Inégalité quadratique

Pour résoudre de telles inégalités, nous aurons besoin de pouvoir déterminer où une fonction quadratique est supérieure, inférieure ou égale à zéro. C'est-à-dire:

• si nous avons une inégalité de forme, alors en fait la tâche revient à déterminer l'intervalle numérique de valeurs pour lequel la parabole se situe au-dessus de l'axe.
• si nous avons une inégalité de la forme, alors en fait la tâche revient à déterminer l'intervalle numérique de valeurs x pour lequel la parabole se situe en dessous de l'axe.

Si les inégalités ne sont pas strictes, alors les racines (les coordonnées de l'intersection de la parabole avec l'axe) sont incluses dans l'intervalle numérique souhaité ; dans le cas d'inégalités strictes, elles sont exclues ;

Tout cela est assez formalisé, mais ne désespérez pas et n’ayez pas peur ! Regardons maintenant les exemples, et tout se mettra en place.

Lors de la résolution d'inégalités quadratiques, nous adhérerons à l'algorithme donné, et un succès inévitable nous attend !

Algorithme	Exemple:
1) Écrivons l'inégalité correspondante équation quadratique(changez simplement le signe d’inégalité par le signe égal « = »).
2) Trouvons les racines de cette équation.
3) Marquer les racines sur l'axe et montrer schématiquement l'orientation des branches de la parabole (« haut » ou « bas »)
4) Plaçons sur l'axe les signes correspondant au signe de la fonction quadratique : là où la parabole est au dessus de l'axe, on met " ", et là où en dessous - " ".
5) Écrivez le ou les intervalles correspondant à « » ou « », selon le signe de l'inégalité. Si l’inégalité n’est pas stricte, les racines sont incluses dans l’intervalle ; si elle est stricte, elles ne le sont pas.

J'ai compris? Alors allez-y et épinglez-le !

Exemple:

Eh bien, est-ce que ça a marché ? Si vous rencontrez des difficultés, cherchez des solutions.

Solution:

Notons les intervalles correspondant au signe " ", puisque le signe d'inégalité est " ". L'inégalité n'est pas stricte, donc les racines sont incluses dans les intervalles :

Écrivons l'équation quadratique correspondante :

Trouvons les racines de cette équation quadratique :

Marquons schématiquement les racines obtenues sur l'axe et disposons les signes :

Notons les intervalles correspondant au signe " ", puisque le signe d'inégalité est " ". L'inégalité est stricte, donc les racines ne sont pas incluses dans les intervalles :

Écrivons l'équation quadratique correspondante :

Trouvons les racines de cette équation quadratique :

cette équation a une racine

Marquons schématiquement les racines obtenues sur l'axe et disposons les signes :

Notons les intervalles correspondant au signe " ", puisque le signe d'inégalité est " ". Pour tout, la fonction prend des valeurs non négatives. Puisque l’inégalité n’est pas stricte, la réponse sera.

Écrivons l'équation quadratique correspondante :

Trouvons les racines de cette équation quadratique :

Traçons schématiquement le graphique d'une parabole et organisons les signes :

Notons les intervalles correspondant au signe " ", puisque le signe d'inégalité est " ". Pour tout, la fonction prend des valeurs positives, donc la solution de l'inégalité sera l'intervalle :

INÉGALITÉS CARRÉES. NIVEAU MOYEN

Fonction quadratique.

Avant de parler du sujet « inégalités quadratiques », rappelons ce qu'est une fonction quadratique et quel est son graphique.

En d'autres termes, ceci polynôme du deuxième degré.

Le graphique d’une fonction quadratique est une parabole (vous vous souvenez de ce que c’est ?). Ses branches sont dirigées vers le haut si "a) la fonction ne prend que des valeurs positives pour tous, et dans la seconde () - uniquement des valeurs négatives :

Dans le cas où l'équation () a exactement une racine (par exemple, si le discriminant est nul), cela signifie que le graphique touche l'axe :

Ensuite, comme dans le cas précédent, pour " .

Ainsi, nous avons récemment appris à déterminer où une fonction quadratique est supérieure à zéro et où elle est inférieure :

Si l’inégalité quadratique n’est pas stricte, alors les racines sont incluses dans l’intervalle numérique ; si elle est stricte, elles ne le sont pas ;

S’il n’y a qu’une seule racine, ce n’est pas grave, le même signe sera partout. S'il n'y a pas de racines, tout dépend uniquement du coefficient : si "25((x)^(2))-30x+9

Réponses:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Il n'y a pas de racines, donc toute l'expression du côté gauche prend le signe du coefficient avant :

• Si vous souhaitez trouver un intervalle numérique sur lequel le trinôme quadratique est supérieur à zéro, alors il s'agit de l'intervalle numérique où la parabole se trouve au-dessus de l'axe.
• Si vous souhaitez trouver un intervalle numérique sur lequel le trinôme quadratique est inférieur à zéro, alors il s'agit de l'intervalle numérique où la parabole se trouve en dessous de l'axe.

INÉGALITÉS CARRÉES. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Fonction quadratique est une fonction de la forme : ,

Le graphique d'une fonction quadratique est une parabole. Ses branches sont dirigées vers le haut si, et vers le bas si :

Types d'inégalités quadratiques :

Toutes les inégalités quadratiques se réduisent aux quatre types suivants :

Algorithme de solution :

Algorithme	Exemple:
1) Écrivons l'équation quadratique correspondant à l'inégalité (changeons simplement le signe de l'inégalité par le signe égal "").
2) Trouvons les racines de cette équation.
3) Marquer les racines sur l'axe et montrer schématiquement l'orientation des branches de la parabole (« haut » ou « bas »)
4) Plaçons sur l'axe les signes correspondant au signe de la fonction quadratique : là où la parabole est au dessus de l'axe, on met " ", et là où en dessous - " ".
5) Notez le(s) intervalle(s) correspondant à « » ou « », selon le signe de l'inégalité. Si l’inégalité n’est pas stricte, les racines sont incluses dans l’intervalle ; si elle est stricte, elles ne le sont pas.

Inégalité quadratique – « DE et À ».Dans cet article, nous examinerons la solution des inégalités quadratiques, comme on dit, jusque dans les subtilités. Je recommande d'étudier attentivement le contenu de l'article sans rien manquer. Vous ne pourrez pas maîtriser l'article tout de suite, je vous recommande de le faire selon plusieurs approches, il y a beaucoup d'informations.

Contenu:

Introduction. Important!

Introduction. Important!

Une inégalité quadratique est une inégalité de la forme :

Si vous prenez une équation quadratique et remplacez le signe égal par l’un des signes ci-dessus, vous obtenez une inégalité quadratique. Résoudre une inégalité signifie répondre à la question pour quelles valeurs de x cette inégalité sera vraie. Exemples:

10 X 2 – 6 X+12 ≤ 0

2 X 2 + 5 X –500 > 0

– 15 X 2 – 2 X+13 > 0

8 X 2 – 15 X+45≠ 0

L'inégalité quadratique peut être spécifiée implicitement, par exemple :

10 X 2 – 6 X+14 X 2 –5 X +2≤ 56

2 X 2 > 36

8 X 2 <–15 X 2 – 2 X+13

0> – 15 X 2 – 2 X+13

Dans ce cas, il faut effectuer des transformations algébriques et le ramener à la forme standard (1).

*Les coefficients peuvent être fractionnaires et irrationnels, mais de tels exemples sont rares dans le programme scolaire et ne se retrouvent pas du tout dans les tâches de l'examen d'État unifié. Mais ne vous inquiétez pas si, par exemple, vous rencontrez :

C'est aussi une inégalité quadratique.

Tout d'abord, considérons un algorithme de solution simple qui ne nécessite pas de comprendre ce qu'est une fonction quadratique et à quoi ressemble son graphique sur le plan de coordonnées par rapport aux axes de coordonnées. Si vous êtes capable de mémoriser des informations fermement et pendant longtemps, et de les renforcer régulièrement par la pratique, alors l'algorithme vous aidera. De plus, si, comme on dit, vous devez résoudre une telle inégalité « à la fois », alors l'algorithme vous aidera. En le suivant, vous mettrez facilement en œuvre la solution.

Si vous étudiez à l'école, alors je vous recommande fortement de commencer à étudier l'article à partir de la deuxième partie, qui raconte tout le sens de la solution (voir ci-dessous à partir du point -). Si vous comprenez l'essence, il ne sera pas nécessaire d'apprendre ou de mémoriser l'algorithme spécifié, vous pourrez facilement résoudre rapidement toute inégalité quadratique.

Bien sûr, j'aurais dû immédiatement commencer l'explication avec le graphique de la fonction quadratique et une explication de la signification elle-même, mais j'ai décidé de « construire » l'article de cette façon.

Encore un point théorique ! Regardez la formule de factorisation d'un trinôme quadratique :

où x 1 et x 2 sont les racines de l'équation quadratique ax 2+ bx+c=0

*Afin de résoudre une inégalité quadratique, il faudra factoriser le trinôme quadratique.

L'algorithme présenté ci-dessous est également appelé méthode des intervalles. Il convient pour résoudre des inégalités de la forme F(X)>0, F(X)<0 , F(X)≥0 etF(X)≤0 . Veuillez noter qu'il peut y avoir plus de deux multiplicateurs, par exemple :

(x–10)(x+5)(x–1)(x+104)(x+6)(x–1)<0

Algorithme de solution. Méthode d'intervalle. Exemples.

Compte tenu des inégalités hache 2 + bx+ c > 0 (n'importe quel signe).

1. Écrivez une équation quadratique hache 2 + bx+ c = 0 et résolvez-le. On a x1 et x2– racines d'une équation quadratique.

2. Remplacez le coefficient dans la formule (2) un et les racines. :

hache – X 1 )(X – x2)>0

3. Définissez des intervalles sur la droite numérique (les racines de l'équation divisent la droite numérique en intervalles) :

4. Déterminez les « signes » sur les intervalles (+ ou –) en substituant une valeur « x » arbitraire de chaque intervalle résultant dans l'expression :

hache – X 1 )(X – x2)

et les célébrer.

5. Il ne reste plus qu'à noter les intervalles qui nous intéressent, ils sont marqués :

- avec un signe « + » si l'inégalité contenait « >0 » ou « ≥0 ».

- signe « – » si l'inégalité comprenait «<0» или «≤0».

NOTE!!! Les signes eux-mêmes de l'inégalité peuvent être :

strict - c'est ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Comment cela affecte-t-il le résultat de la décision ?

Avec des signes d'inégalité stricte, les limites de l'intervalle ne sont PAS INCLUSES dans la solution, et dans la réponse, l'intervalle lui-même est écrit sous la forme ( X 1 ; X 2 ) – parenthèses rondes.

Pour les signes d'inégalité faibles, les limites de l'intervalle sont incluses dans la solution et la réponse s'écrit sous la forme [ X 1 ; X 2 ] - crochets.

*Cela ne s'applique pas uniquement aux inégalités quadratiques. Le crochet signifie que la limite de l'intervalle elle-même est incluse dans la solution.

Vous le verrez dans les exemples. Examinons-en quelques-uns pour clarifier toutes les questions à ce sujet. En théorie, l’algorithme peut paraître un peu compliqué, mais en réalité tout est simple.

EXEMPLE 1 : Résoudre X 2 – 60 X+500 ≤ 0

Résoudre une équation quadratique X 2 –60 X+500=0

D = b 2 –4 ca = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Trouver les racines :

Remplacer le coefficient un

X 2 –60 X+500 = (x–50)(x–10)

On écrit l'inégalité sous la forme (x–50)(x–10) ≤ 0

Les racines de l’équation divisent la droite numérique en intervalles. Montrons-les sur la droite numérique :

Nous avons reçu trois intervalles (–∞;10), (10;50) et (50;+∞).

Nous déterminons les « signes » sur les intervalles ; nous le faisons en substituant des valeurs arbitraires de chaque intervalle résultant dans l'expression (x–50)(x–10) et examinons la correspondance du « signe » résultant avec le signe dans l'inégalité (x–50)(x–10) ≤ 0:

à x=2 (x–50)(x–10) = 384 > 0 incorrect

à x=20 (x–50)(x–10) = –300 < 0 верно

à x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 incorrect

La solution sera l'intervalle.

Pour toutes les valeurs de x de cet intervalle, l'inégalité sera vraie.

*Notez que nous avons inclus des crochets.

Pour x = 10 et x = 50, l'inégalité sera également vraie, c'est-à-dire que les frontières sont incluses dans la solution.

Réponse : x∊

Encore:

— Les limites de l'intervalle sont INCLUSES dans la solution de l'inégalité lorsque la condition contient le signe ≤ ou ≥ (inégalité non stricte). Dans ce cas, il est d'usage d'afficher les racines résultantes dans un croquis avec un cercle HASHED.

— Les limites de l'intervalle NE SONT PAS INCLUSES dans la solution de l'inégalité lorsque la condition contient le signe< или >(inégalité stricte). Dans ce cas, il est d'usage d'afficher la racine dans l'esquisse sous la forme d'un cercle NON HASHÉ.

EXEMPLE 2 : Résoudre X 2 + 4 X–21 > 0

Résoudre une équation quadratique X 2 + 4 X–21 = 0

D = b 2 –4 ca = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Trouver les racines :

Remplacer le coefficient un et racines dans la formule (2), on obtient :

X 2 + 4 X–21 = (x–3)(x+7)

On écrit l'inégalité sous la forme (x–3)(x+7) > 0.

Les racines de l’équation divisent la droite numérique en intervalles. Marquons-les sur la droite numérique :

*L'inégalité n'est pas stricte, donc les symboles des racines ne sont PAS ombrés. Nous avons obtenu trois intervalles (–∞;–7), (–7;3) et (3;+∞).

Nous déterminons les « signes » sur les intervalles, nous le faisons en substituant des valeurs arbitraires de ces intervalles dans l'expression (x–3)(x+7) et recherchons le respect de l'inégalité (x–3)(x+7)> 0:

à x= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 correct

à x= 0 (0–3)(0 +7) = –21< 0 неверно

à x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 correct

La solution sera deux intervalles (–∞;–7) et (3;+∞). Pour toutes les valeurs de x de ces intervalles, l'inégalité sera vraie.

*Notez que nous avons inclus des parenthèses. À x = 3 et x = –7, l'inégalité sera incorrecte – les frontières ne sont pas incluses dans la solution.

Réponse : x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

EXEMPLE 3 : Résoudre – X 2 –9 X–20 > 0

Résoudre une équation quadratique – X 2 –9 X–20 = 0.

un = –1 b = –9 c = –20

D = b 2 –4 ca = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Trouver les racines :

Remplacer le coefficient un et racines dans la formule (2), on obtient :

– X 2 –9 X–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)

On écrit l'inégalité sous la forme –(x+5)(x+4) > 0.

Les racines de l’équation divisent la droite numérique en intervalles. Marquons sur la droite numérique :

*L'inégalité est stricte, les symboles des racines ne sont donc pas ombrés. Nous avons trois intervalles (–∞;–5), (–5; –4) et (–4;+∞).

Nous définissons des « signes » sur des intervalles, nous le faisons en les substituant dans l'expression –(x+5)(x+4) valeurs arbitraires de ces intervalles et regardez la correspondance avec l'inégalité –(x+5)(x+4)>0:

à x= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30< 0 неверно

à x= –4,5 – (–4,5+5)(–4,5+4) = 0,25 > 0 correct

à x= 0 – (0+5)(0 +4) = –20< 0 неверно

La solution sera l'intervalle (–5,–4). Pour toutes les valeurs de « x » qui lui appartiennent, l'inégalité sera vraie.

*Veuillez noter que les limites ne font pas partie de la solution. Pour x = –5 et x = –4 l’inégalité ne sera pas vraie.

COMMENTAIRE!

Lors de la résolution d'une équation quadratique, nous pouvons nous retrouver avec une racine ou aucune racine du tout, puis en utilisant cette méthode aveuglément, des difficultés peuvent survenir pour déterminer la solution.

Un petit résumé ! La méthode est bonne et pratique à utiliser, surtout si vous êtes familier avec la fonction quadratique et connaissez les propriétés de son graphique. Sinon, jetez-y un œil et passez à la section suivante.

Utiliser le graphique d'une fonction quadratique. Je recommande!

Quadratique est une fonction de la forme :

Son graphique est une parabole, les branches de la parabole sont dirigées vers le haut ou vers le bas :

Le graphique peut être positionné comme suit : il peut couper l'axe des x en deux points, il peut le toucher en un point (sommet) ou il ne peut pas se croiser. Nous en reparlerons plus tard.

Examinons maintenant cette approche avec un exemple. L'ensemble du processus de résolution comprend trois étapes. Résolvons les inégalités X 2 +2 X –8 >0.

Première étape

Résoudre l'équation X 2 +2 X–8=0.

D = b 2 –4 ca = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Trouver les racines :

Nous avons x 1 = 2 et x 2 = – 4.

Seconde phase

Construire une parabole y=X 2 +2 X–8 par points :

Les points 4 et 2 sont les points d'intersection de la parabole et de l'axe des x. C'est simple! Qu'est-ce que tu as fait? Nous avons résolu l'équation quadratique X 2 +2 X–8=0. Découvrez son post comme ceci :

0 = x2+2x – 8

Zéro pour nous est la valeur de « y ». Lorsque y = 0, on obtient l'abscisse des points d'intersection de la parabole avec l'axe des x. On peut dire que la valeur zéro « y » est l'axe des x.

Regardez maintenant quelles valeurs de x l'expression X 2 +2 X – 8 supérieur (ou inférieur) à zéro ? Ce n'est pas difficile à déterminer à partir du graphique parabolique, comme on dit, tout est en vue :

1. À x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен X 2 +2 X –8 sera positif.

2. À –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен X 2 +2 X –8 sera négatif.

3. Pour x > 2, la branche de la parabole se situe au-dessus de l'axe des x. Pour le x spécifié, le trinôme X 2 +2 X –8 sera positif.

Troisième étape

De la parabole, nous pouvons immédiatement voir à quel x l'expression X 2 +2 X–8 supérieur à zéro, égal à zéro, inférieur à zéro. C'est l'essence de la troisième étape de la solution, à savoir voir et identifier les zones positives et négatives du dessin. Nous comparons le résultat obtenu avec l'inégalité d'origine et notons la réponse. Dans notre exemple, il faut déterminer toutes les valeurs de x pour lesquelles l'expression X 2 +2 X–8 Au dessus de zéro. Nous l'avons fait dans la deuxième étape.

Il ne reste plus qu'à écrire la réponse.

Réponse : x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Résumons : après avoir calculé les racines de l'équation dans un premier temps, nous pouvons marquer les points résultants sur l'axe des x (ce sont les points d'intersection de la parabole avec l'axe des x). Ensuite, nous construisons schématiquement une parabole et nous pouvons déjà voir la solution. Pourquoi schématique ? Nous n’avons pas besoin d’un calendrier mathématiquement précis. Et imaginez, par exemple, si les racines s'avèrent être 10 et 1 500, essayez de construire un graphique exact sur une feuille de papier avec une telle plage de valeurs. La question se pose! Eh bien, nous avons les racines, eh bien, nous les avons marquées sur l'axe o, mais devrions-nous dessiner l'emplacement de la parabole elle-même - avec ses branches vers le haut ou vers le bas ? Tout est simple ici ! Le coefficient pour x 2 vous dira :

- s'il est supérieur à zéro, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut.

- si inférieur à zéro, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le bas.

Dans notre exemple, il est égal à un, c'est-à-dire positif.

*Note! Si l'inégalité contient un signe non strict, c'est-à-dire ≤ ou ≥, alors les racines de la droite numérique doivent être ombrées, cela indique classiquement que la limite de l'intervalle lui-même est incluse dans la solution de l'inégalité. Dans ce cas, les racines ne sont pas grisées (percées), puisque notre inégalité est stricte (il y a un signe « > »). De plus, dans ce cas, la réponse utilise des parenthèses plutôt que des carrés (les bordures ne sont pas incluses dans la solution).

Beaucoup de choses ont été écrites, j'ai probablement confondu quelqu'un. Mais si vous résolvez au moins 5 inégalités à l’aide de paraboles, alors votre admiration ne connaîtra aucune limite. C'est simple!

Alors, brièvement :

1. Nous écrivons l'inégalité et la réduisons à l'inégalité standard.

2. Écrivez une équation quadratique et résolvez-la.

3. Dessinez l'axe des x, marquez les racines résultantes, dessinez schématiquement une parabole, avec des branches vers le haut si le coefficient de x 2 est positif, ou vers le bas s'il est négatif.

4. Identifiez visuellement les domaines positifs ou négatifs et notez la réponse à l'inégalité d'origine.

Regardons des exemples.

EXEMPLE 1 : Résoudre X 2 –15 X+50 > 0

Première étape.

Résoudre une équation quadratique X 2 –15 X+50=0

D = b 2 –4 ca = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Trouver les racines :

Seconde phase.

Nous construisons l'axe o. Marquons les racines résultantes. Puisque notre inégalité est stricte, nous ne les ombragerons pas. On construit schématiquement une parabole, elle est située branches vers le haut, puisque le coefficient de x 2 est positif :

Troisième étape.

Nous définissons les zones visuellement positives et négatives, ici nous les avons marquées de différentes couleurs pour plus de clarté, vous n'êtes pas obligé de le faire.

Nous écrivons la réponse.

Réponse : x∊(–∞;5) U (10;∞).

*Le signe U indique une solution d'unification. Au sens figuré, la solution est « ceci » ET « aussi cet » intervalle.

EXEMPLE 2 : Résoudre – X 2 + X+20 ≤ 0

Première étape.

Résoudre une équation quadratique – X 2 + X+20=0

D = b 2 –4 ca = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Trouver les racines :

Seconde phase.

Nous construisons l'axe o. Marquons les racines résultantes. Puisque notre inégalité n'est pas stricte, nous ombrons les désignations des racines. On construit schématiquement une parabole, elle est située branches vers le bas, puisque le coefficient de x 2 est négatif (il est égal à –1) :

Troisième étape.

Nous identifions visuellement les zones positives et négatives. Nous la comparons à l'inégalité d'origine (notre signe est ≤ 0). L'inégalité sera vraie pour x ≤ – 4 et x ≥ 5.

Nous écrivons la réponse.

Réponse : x∊(–∞;–4] U ; édité par S. A. Telyakovsky. - 16e éd. - M. : Education, 2008. - 271 pp. : ill. - ISBN 978-5-09 -019243-9.