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Dérivée d'une fonction. Guide complet (2019)
Imaginons une route droite traversant une zone vallonnée. Autrement dit, il monte et descend, mais ne tourne ni à droite ni à gauche. Si l'axe est dirigé horizontalement le long de la route et verticalement, alors la ligne de route sera très similaire au graphique d'une fonction continue :
L'axe est un certain niveau d'altitude zéro ; dans la vie, nous utilisons le niveau de la mer comme tel.
À mesure que nous avançons sur une telle route, nous montons ou descendons également. On peut aussi dire : lorsque l'argument change (déplacement le long de l'axe des abscisses), la valeur de la fonction change (déplacement le long de l'axe des ordonnées). Réfléchissons maintenant à la façon de déterminer la « raideur » de notre route ? Quel genre de valeur cela pourrait-il représenter ? C'est très simple : à quel point la hauteur va changer en avançant sur une certaine distance. En effet, sur différents tronçons de route, en avançant (le long de l'axe des x) d'un kilomètre, nous monterons ou descendrons d'un nombre différent de mètres par rapport au niveau de la mer (le long de l'axe des y).
Notons la progression (lire « delta x »).
La lettre grecque (delta) est couramment utilisée en mathématiques comme préfixe signifiant « changement ». C'est-à-dire qu'il s'agit d'un changement de quantité, - un changement ; alors qu'est-ce que c'est ? C'est vrai, un changement d'ampleur.
Important : une expression est un tout unique, une variable. Ne séparez jamais le « delta » du « x » ou de toute autre lettre !
C'est par exemple .
Nous avons donc avancé, horizontalement, de. Si nous comparons la ligne de la route avec le graphique de la fonction, alors comment dénotons-nous la montée ? Certainement, . Autrement dit, à mesure que nous avançons, nous montons plus haut.
La valeur est facile à calculer : si au début nous étions en hauteur, et qu'après le déplacement nous nous retrouvions en hauteur, alors. Si le point final est inférieur au point de départ, il sera négatif - cela signifie que nous ne montons pas, mais descendons.
Revenons à la « raideur » : c'est une valeur qui montre de combien (forte) la hauteur augmente lorsque l'on avance d'une unité de distance :
Regardons maintenant le sommet d'une colline. Si vous prenez le début du tronçon un demi-kilomètre avant le sommet et la fin un demi-kilomètre après, vous constaterez que la hauteur est presque la même.
Autrement dit, selon notre logique, il s'avère que la pente ici est presque égale à zéro, ce qui n'est clairement pas vrai. Sur une distance de quelques kilomètres, beaucoup de choses peuvent changer. Il est nécessaire de considérer des zones plus petites pour une évaluation plus adéquate et plus précise de la pente. Par exemple, si vous mesurez le changement de hauteur lorsque vous vous déplacez d’un mètre, le résultat sera beaucoup plus précis. Mais même cette précision peut ne pas nous suffire - après tout, s'il y a un poteau au milieu de la route, nous pouvons simplement le dépasser. Quelle distance choisir alors ? Centimètre? Millimètre? Moins c'est plus !
DANS la vraie vie Mesurer les distances au millimètre près est largement suffisant. Mais les mathématiciens recherchent toujours la perfection. Le concept a donc été inventé infinitésimal, c’est-à-dire que la valeur absolue est inférieure à n’importe quel nombre que nous pouvons nommer. Par exemple, vous dites : un billionième ! Combien moins ? Et vous divisez ce nombre par - et ce sera encore moins. Et ainsi de suite. Si on veut écrire qu’une quantité est infinitésimale, on écrit ainsi : (on lit « x tend vers zéro »). Il est très important de comprendre que ce nombre n'est pas nul ! Mais très proche. Cela signifie que vous pouvez diviser par cela.
Le concept opposé à infinitésimal est infiniment grand (). Vous l'avez probablement déjà rencontré lorsque vous travailliez sur les inégalités : ce nombre est modulo supérieur à tous les nombres auxquels vous pouvez penser. Si vous obtenez le plus grand nombre possible, multipliez-le simplement par deux et vous obtiendrez un nombre encore plus grand. Et l’infini est encore plus grand que ce qui arrive. En fait, l'infiniment grand et l'infiniment petit sont l'inverse l'un de l'autre, c'est-à-dire at, et vice versa : at.
Revenons maintenant à notre route. La pente idéalement calculée est la pente calculée pour un segment infinitésimal du chemin, soit :
Je constate qu'avec un déplacement infinitésimal, le changement de hauteur sera également infinitésimal. Mais permettez-moi de vous rappeler qu'infinitésimal ne signifie pas égal à zéro. Si vous divisez des nombres infinitésimaux les uns par les autres, vous pouvez obtenir un nombre tout à fait ordinaire, par exemple . Autrement dit, une petite valeur peut être exactement plusieurs fois supérieure à une autre.
A quoi ça sert tout ça ? La route, la pente... Nous ne participons pas à un rallye automobile, mais nous enseignons les mathématiques. Et en mathématiques, tout est exactement pareil, seulement appelé différemment.
Notion de dérivé
La dérivée d'une fonction est le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument pour un incrément infinitésimal de l'argument.
Progressivement en mathématiques, ils appellent le changement. La mesure dans laquelle l'argument () change à mesure qu'il se déplace le long de l'axe est appelée incrément d'argument et est désigné dans quelle mesure la fonction (hauteur) a changé lors du déplacement vers l'avant le long de l'axe d'une distance est appelé. incrément de fonction et est désigné.
Ainsi, la dérivée d’une fonction est le rapport au quand. On note la dérivée par la même lettre que la fonction, seulement avec un nombre premier en haut à droite : ou simplement. Écrivons donc la formule dérivée en utilisant ces notations :
Comme dans l'analogie avec la route, ici lorsque la fonction augmente, la dérivée est positive, et lorsqu'elle diminue, elle est négative.
La dérivée peut-elle être égale à zéro ? Certainement. Par exemple, si nous roulons sur une route horizontale et plate, la pente est nulle. Et c’est vrai, la hauteur ne change pas du tout. Il en est de même de la dérivée : la dérivée d'une fonction constante (constante) est égale à zéro :
puisque l'incrément d'une telle fonction est égal à zéro pour tout.
Rappelons-nous l'exemple du sommet d'une colline. Il s'est avéré qu'il était possible de disposer les extrémités du segment sur les côtés opposés du sommet de manière à ce que la hauteur aux extrémités soit la même, c'est-à-dire que le segment soit parallèle à l'axe :
Mais de grands segments sont le signe d’une mesure inexacte. Nous élèverons notre segment parallèlement à lui-même, puis sa longueur diminuera.
Finalement, lorsque nous serons infiniment proches du sommet, la longueur du segment deviendra infinitésimale. Mais en même temps, il est resté parallèle à l'axe, c'est-à-dire que la différence de hauteur à ses extrémités est égale à zéro (elle ne tend pas vers, mais est égale à). Donc la dérivée
Cela peut être compris ainsi : lorsque nous nous trouvons tout en haut, un petit déplacement vers la gauche ou la droite modifie de manière négligeable notre hauteur.
Il existe aussi une explication purement algébrique : à gauche du sommet la fonction augmente, et à droite elle diminue. Comme nous l’avons découvert précédemment, lorsqu’une fonction augmente, la dérivée est positive, et lorsqu’elle diminue, elle est négative. Mais cela change en douceur, sans sauts (puisque la route ne change brusquement de pente nulle part). Il doit donc y avoir une différence entre les valeurs négatives et positives. Ce sera là où la fonction n'augmente ni ne diminue - au point sommet.
Il en va de même pour le creux (la zone où la fonction à gauche diminue et à droite augmente) :
Un peu plus sur les incréments.
Nous changeons donc l’argument en grandeur. On change à partir de quelle valeur ? Qu’est-il devenu (l’argument) maintenant ? Nous pouvons choisir n'importe quel point, et maintenant nous allons danser à partir de lui.
Considérons un point avec une coordonnée. La valeur de la fonction qu'il contient est égale. Ensuite on fait le même incrément : on augmente la coordonnée de. Quel est l’argument maintenant ? Très simple : . Quelle est la valeur de la fonction maintenant ? Là où va l’argument, la fonction aussi : . Qu'en est-il de l'incrément de fonction ? Rien de nouveau : c'est toujours l'ampleur de l'évolution de la fonction :
Entraînez-vous à trouver des incréments :
- Recherchez l'incrément de la fonction à un point où l'incrément de l'argument est égal à.
- Il en va de même pour la fonction en un point.
Solutions :
DANS différents points avec le même incrément d'argument, l'incrément de fonction sera différent. Cela signifie que la dérivée en chaque point est différente (nous en avons discuté au tout début - la pente de la route est différente en différents points). Ainsi, lorsque l’on écrit une dérivée, il faut indiquer à quel moment :
Fonction de puissance.
Une fonction puissance est une fonction dont l’argument est dans une certaine mesure (logique, n’est-ce pas ?).
De plus - dans une certaine mesure : .
Le cas le plus simple- c'est alors que l'exposant :
Trouvons sa dérivée en un point. Rappelons la définition d'une dérivée :
L’argument change donc de à. Quel est l'incrément de la fonction ?
L'incrément, c'est ça. Mais une fonction est en tout point égale à son argument. C'est pourquoi :
La dérivée est égale à :
La dérivée de est égale à :
b) Considérons maintenant fonction quadratique (): .
Maintenant, rappelons-le. Cela signifie que la valeur de l'incrément peut être négligée, puisqu'elle est infinitésimale, et donc insignifiante par rapport à l'autre terme :
Nous avons donc proposé une autre règle :
c) On continue la série logique : .
Cette expression peut être simplifiée de différentes manières : ouvrez la première parenthèse en utilisant la formule de multiplication abrégée du cube de la somme, ou factorisez l'expression entière en utilisant la formule de différence des cubes. Essayez de le faire vous-même en utilisant l'une des méthodes suggérées.
J'ai donc obtenu ceci :
Et encore une fois, rappelons-le. Cela signifie que l'on peut négliger tous les termes contenant :
On obtient : .
d) Des règles similaires peuvent être obtenues pour les grandes puissances :
e) Il s'avère que cette règle peut être généralisée pour une fonction puissance avec un exposant arbitraire, pas même un entier :
| (2) |
La règle peut être formulée ainsi : « le diplôme est avancé sous forme de coefficient, puis diminué de . »
Nous prouverons cette règle plus tard (presque à la toute fin). Voyons maintenant quelques exemples. Trouvez la dérivée des fonctions :
- (de deux manières : par formule et en utilisant la définition de dérivée - en calculant l'incrément de la fonction) ;
- . Tu ne le croiras pas, mais ça fonction de puissance. Si vous avez des questions comme « Comment ça va ? Où est le diplôme ? », souvenez-vous du sujet « » !
Oui, oui, la racine est aussi un degré, uniquement fractionnaire : .
Alors le nôtre racine carrée- ce n'est qu'un diplôme avec un indicateur :
.
Nous recherchons la dérivée en utilisant la formule récemment apprise :Si à ce stade cela devient à nouveau flou, répétez le sujet « » !!! (environ un degré avec un exposant négatif)
- . Maintenant l'exposant :
Et maintenant à travers la définition (vous avez déjà oublié ?) :
;
.
Maintenant, comme d'habitude, nous négligeons le terme contenant :
. - . Combinaison de cas précédents : .
Fonctions trigonométriques.
Ici, nous utiliserons un fait issu des mathématiques supérieures :
Avec expression.
Vous en apprendrez la preuve dès la première année d'institut (et pour y arriver, vous devez réussir l'examen d'État unifié). Maintenant, je vais juste le montrer graphiquement :
Nous voyons que lorsque la fonction n'existe pas, le point sur le graphique est coupé. Mais plus la valeur est proche, plus la fonction est proche de ce qui « vise ».
De plus, vous pouvez vérifier cette règle à l'aide d'une calculatrice. Oui, oui, ne soyez pas timide, prenez une calculatrice, nous n'en sommes pas encore à l'examen d'État unifié.
Alors, essayons : ;
N'oubliez pas de passer votre calculatrice en mode Radians !
etc. On voit que plus la valeur du rapport est petite, plus la valeur du rapport est proche de.
a) Considérons la fonction. Comme d'habitude, trouvons son incrément :
Transformons la différence des sinus en un produit. Pour ce faire, nous utilisons la formule (rappelez-vous le sujet « ») : .
Maintenant la dérivée :
Faisons un remplacement : . Alors pour infinitésimal c'est aussi infinitésimal : . L'expression pour prend la forme :
Et maintenant, nous nous en souvenons avec l'expression. Et aussi, que se passerait-il si une quantité infinitésimale pouvait être négligée dans la somme (c'est-à-dire at).
On obtient donc la règle suivante : la dérivée du sinus est égale au cosinus:
Ce sont des dérivés basiques (« tabulaires »). Les voici dans une seule liste :
Plus tard, nous leur en ajouterons quelques autres, mais ce sont les plus importants, car ils sont les plus souvent utilisés.
Pratique:
- Trouver la dérivée de la fonction en un point ;
- Trouvez la dérivée de la fonction.
Solutions :
- Tout d’abord, trouvons la dérivée dans vue générale, puis remplacez sa valeur :
;
. - Nous avons ici quelque chose de similaire à une fonction puissance. Essayons de l'amener à
vue normale :
.
Super, vous pouvez maintenant utiliser la formule :
.
. - . Eeeeeee….. Qu'est-ce que c'est ????
Bon, vous avez raison, on ne sait pas encore comment trouver de tels dérivés. Nous avons ici une combinaison de plusieurs types de fonctions. Pour travailler avec eux, vous devez apprendre quelques règles supplémentaires :
Exposant et logarithme népérien.
Il existe une fonction en mathématiques dont la dérivée pour toute valeur est à la fois égale à la valeur de la fonction elle-même. C'est ce qu'on appelle « exposant » et c'est une fonction exponentielle.
La base de cette fonction est une constante - elle est infinie décimal, c'est-à-dire un nombre irrationnel (tel que). On l'appelle le « nombre d'Euler », c'est pourquoi il est désigné par une lettre.
Donc la règle :
Très facile à retenir.
Bon, n'allons pas loin, regardons ça tout de suite fonction inverse. Quelle fonction est l'inverse de la fonction exponentielle ? Logarithme:
Dans notre cas, la base est le nombre :
Un tel logarithme (c'est-à-dire un logarithme avec une base) est appelé « naturel », et nous utilisons pour cela une notation spéciale : nous l'écrivons à la place.
A quoi est-ce égal ? Bien sûr.
La dérivée du logarithme népérien est également très simple :
Exemples :
- Trouvez la dérivée de la fonction.
- Quelle est la dérivée de la fonction ?
Réponses : Exposant et logarithme népérien- les fonctions sont particulièrement simples en termes de dérivées. Les fonctions exponentielles et logarithmiques avec n'importe quelle autre base auront une dérivée différente, que nous analyserons plus tard, après avoir parcouru les règles de différenciation.
Règles de différenciation
Des règles de quoi ? Encore un nouveau terme, encore ?!...
Différenciation est le processus de recherche de la dérivée.
C'est tout. Comment pouvez-vous appeler ce processus en un mot ? Pas dérivé... Les mathématiciens appellent la différentielle le même incrément d'une fonction à. Ce terme vient du latin différentia – différence. Ici.
Lors de la dérivation de toutes ces règles, nous utiliserons deux fonctions, par exemple et. Nous aurons également besoin de formules pour leurs incréments :
Il y a 5 règles au total.
La constante est soustraite du signe dérivé.
Si - certains nombre constant(constant), alors.
Évidemment, cette règle fonctionne aussi pour la différence : .
Prouvons-le. Laissez-le être, ou plus simple.
Exemples.
Trouvez les dérivées des fonctions :
- à un moment donné ;
- à un moment donné ;
- à un moment donné ;
- au point.
Solutions :
- (la dérivée est la même en tous points, puisque c'est une fonction linéaire, vous vous souvenez ?) ;
Dérivé du produit
Tout est similaire ici : introduisons une nouvelle fonction et trouvons son incrément :
Dérivé:
Exemples :
- Trouver les dérivées des fonctions et ;
- Trouvez la dérivée de la fonction en un point.
Solutions :
Dérivée d'une fonction exponentielle
Vos connaissances sont désormais suffisantes pour apprendre à trouver la dérivée de n'importe quelle fonction exponentielle, et pas seulement les exposants (avez-vous déjà oublié ce que c'est ?).
Alors, où est un certain nombre.
Nous connaissons déjà la dérivée de la fonction, essayons donc de réduire notre fonction à une nouvelle base :
Pour ce faire, nous utiliserons une règle simple : . Alors:
Eh bien, ça a fonctionné. Essayez maintenant de trouver la dérivée, et n'oubliez pas que cette fonction est complexe.
Est-ce que ça a marché ?
Ici, vérifiez par vous-même :
La formule s'est avérée très similaire à la dérivée d'un exposant : telle qu'elle était, elle reste la même, seul un facteur est apparu, qui n'est qu'un nombre, mais pas une variable.
Exemples :
Trouvez les dérivées des fonctions :
Réponses :
Il s'agit simplement d'un nombre qui ne peut pas être calculé sans calculatrice, c'est-à-dire qu'il ne peut plus être écrit. sous forme simple. Par conséquent, nous le laissons sous cette forme dans la réponse.
Dérivée d'une fonction logarithmique
C’est pareil ici : vous connaissez déjà la dérivée du logarithme népérien :
Par conséquent, pour trouver un logarithme arbitraire avec une base différente, par exemple :
Nous devons réduire ce logarithme à la base. Comment changer la base d'un logarithme ? J'espère que vous vous souvenez de cette formule :
Seulement maintenant, nous écrirons à la place :
Le dénominateur est simplement une constante (un nombre constant, sans variable). La dérivée s’obtient très simplement :
Les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques ne sont presque jamais trouvées dans l'examen d'État unifié, mais il ne sera pas superflu de les connaître.
Dérivée d'une fonction complexe.
Ce qui s'est passé " fonction complexe" ? Non, ce n'est pas un logarithme, ni une arctangente. Ces fonctions peuvent être difficiles à comprendre (même si si vous trouvez le logarithme difficile, lisez le sujet « Logarithmes » et tout ira bien), mais d'un point de vue mathématique, le mot « complexe » ne signifie pas « difficile ».
Imaginez un petit tapis roulant : deux personnes sont assises et effectuent des actions avec des objets. Par exemple, le premier enveloppe une barre de chocolat dans un emballage et le second l'attache avec un ruban. Le résultat est un objet composite : une barre de chocolat enveloppée et nouée avec un ruban. Pour manger une barre de chocolat, vous devez effectuer les étapes inverses dans l’ordre inverse.
Créons un pipeline mathématique similaire : nous trouverons d'abord le cosinus d'un nombre, puis nous mettrons au carré le nombre obtenu. Donc, on nous donne un nombre (chocolat), je trouve son cosinus (emballage), et puis vous mettez au carré ce que j'ai obtenu (nouez-le avec un ruban). Ce qui s'est passé? Fonction. Ceci est un exemple de fonction complexe : lorsque, pour trouver sa valeur, on effectue une première action directement avec la variable, puis une deuxième action avec ce qui résulte de la première.
On peut facilement faire les mêmes étapes dans l'ordre inverse : on le met d'abord au carré, et je cherche ensuite le cosinus du nombre obtenu : . Il est facile de deviner que le résultat sera presque toujours différent. Une caractéristique importante des fonctions complexes : lorsque l'ordre des actions change, la fonction change.
Autrement dit, une fonction complexe est une fonction dont l'argument est une autre fonction: .
Pour le premier exemple, .
Deuxième exemple : (même chose). .
L'action que nous faisons en dernier sera appelée fonction "externe", et l'action effectuée en premier - en conséquence fonction "interne"(ce sont des noms informels, je les utilise uniquement pour expliquer le matériel dans un langage simple).
Essayez de déterminer par vous-même quelle fonction est externe et laquelle interne :
Réponses : La séparation des fonctions internes et externes est très similaire à la modification de variables : par exemple, dans une fonction
- Quelle action allons-nous effectuer en premier ? Tout d’abord, calculons le sinus, puis cubez-le seulement. Cela signifie qu’il s’agit d’une fonction interne, mais externe.
Et la fonction originelle est leur composition : . - Interne: ; externe: .
Examen : . - Interne: ; externe: .
Examen : . - Interne: ; externe: .
Examen : . - Interne: ; externe: .
Examen : .
Nous changeons les variables et obtenons une fonction.
Eh bien, maintenant nous allons extraire notre barre de chocolat et chercher le dérivé. La procédure est toujours inversée : on cherche d’abord la dérivée de la fonction externe, puis on multiplie le résultat par la dérivée de la fonction interne. Par rapport à l'exemple original, cela ressemble à ceci :
Autre exemple :
Alors, formulons enfin la règle officielle :
Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :
Cela semble simple, non ?
Vérifions avec des exemples :
Solutions :
1) Interne : ;
Externe: ;
2) Interne : ;
(N’essayez pas de le couper maintenant ! Rien ne sort de sous le cosinus, vous vous souvenez ?)
3) Interne : ;
Externe: ;
Il est immédiatement clair qu'il s'agit d'une fonction complexe à trois niveaux : après tout, c'est déjà une fonction complexe en soi, et nous en extrayons également la racine, c'est-à-dire que nous effectuons la troisième action (mettre le chocolat dans un emballage et avec un ruban dans la mallette). Mais il n'y a aucune raison d'avoir peur : nous allons quand même « déballer » cette fonction dans le même ordre que d'habitude : depuis la fin.
Autrement dit, nous différencions d'abord la racine, puis le cosinus, et ensuite seulement l'expression entre parenthèses. Et puis on multiplie le tout.
Dans de tels cas, il est pratique de numéroter les actions. Autrement dit, imaginons ce que nous savons. Dans quel ordre effectuerons-nous les actions pour calculer la valeur de cette expression ? Regardons un exemple :
Plus l’action est réalisée tardivement, plus la fonction correspondante sera « externe ». La séquence d'actions est la même que précédemment :
Ici, la nidification est généralement à 4 niveaux. Déterminons l'ordre d'action.
1. Expression radicale. .
2. Racine. .
3. Sinus. .
4. Carré. .
5. Rassembler le tout :
DÉRIVÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES
Dérivée d'une fonction- le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument pour un incrément infinitésimal de l'argument :
Dérivés de base :
Règles de différenciation :
La constante est soustraite du signe dérivé :
Dérivée de la somme :
Dérivé du produit :
Dérivée du quotient :
Dérivée d'une fonction complexe :
Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :
- Nous définissons la fonction « interne » et trouvons sa dérivée.
- Nous définissons la fonction « externe » et trouvons sa dérivée.
- Nous multiplions les résultats des premier et deuxième points.
Définition. Laissez la fonction \(y = f(x) \) être définie dans un certain intervalle contenant le point \(x_0\) en lui-même. Donnons à l'argument un incrément \(\Delta x \) tel qu'il ne quitte pas cet intervalle. Trouvons l'incrément correspondant de la fonction \(\Delta y \) (lors du passage du point \(x_0 \) au point \(x_0 + \Delta x \)) et composons la relation \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). S'il existe une limite à ce rapport à \(\Delta x \rightarrow 0\), alors la limite spécifiée est appelée dérivée d'une fonction\(y=f(x) \) au point \(x_0 \) et notons \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Le symbole y est souvent utilisé pour désigner la dérivée. Notez que y" = f(x) est une nouvelle fonction, mais naturellement liée à la fonction y = f(x), définie en tous les points x auxquels la limite ci-dessus existe. Cette fonction s'appelle ainsi : dérivée de la fonction y = f(x).
Signification géométrique de la dérivée est la suivante. S'il est possible de tracer une tangente au graphique de la fonction y = f(x) au point d'abscisse x=a, qui n'est pas parallèle à l'axe y, alors f(a) exprime la pente de la tangente :
\(k = f"(a)\)
Puisque \(k = tg(a) \), alors l'égalité \(f"(a) = tan(a) \) est vraie.
Interprétons maintenant la définition de la dérivée du point de vue des égalités approximatives. Soit la fonction \(y = f(x)\) avoir une dérivée en un point spécifique \(x\) :
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Cela signifie que près du point x l'égalité approximative \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), c'est-à-dire \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Deltax\). La signification significative de l'égalité approximative résultante est la suivante : l'incrément de la fonction est « presque proportionnel » à l'incrément de l'argument, et le coefficient de proportionnalité est la valeur de la dérivée dans point donné X. Par exemple, pour la fonction \(y = x^2\) l'égalité approximative \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) est valide. Si nous analysons attentivement la définition d'une dérivée, nous constaterons qu'elle contient un algorithme pour la trouver.
Formulons-le.
Comment trouver la dérivée de la fonction y = f(x) ?
1. Corrigez la valeur de \(x\), recherchez \(f(x)\)
2. Donnez à l'argument \(x\) un incrément \(\Delta x\), allez à un nouveau point \(x+ \Delta x \), trouvez \(f(x+ \Delta x) \)
3. Trouvez l'incrément de la fonction : \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Créez la relation \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calculez $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Cette limite est la dérivée de la fonction au point x.
Si une fonction y = f(x) a une dérivée en un point x, alors elle est dite différentiable en un point x. La procédure pour trouver la dérivée de la fonction y = f(x) s'appelle différenciation fonctions y = f(x).
Discutons de la question suivante : comment la continuité et la différentiabilité d'une fonction en un point sont-elles liées l'une à l'autre ?
Soit la fonction y = f(x) être dérivable au point x. Ensuite, une tangente peut être tracée au graphique de la fonction au point M(x; f(x)), et, rappelons-le, le coefficient angulaire de la tangente est égal à f "(x). Un tel graphique ne peut pas « casser » au point M, c'est-à-dire que la fonction doit être continue au point x.
Il s’agissait d’arguments « pratiques ». Donnons un raisonnement plus rigoureux. Si la fonction y = f(x) est dérivable au point x, alors l'égalité approximative \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) est vraie. Si dans cette égalité \(\Delta x \) tend vers zéro, puis \(\Delta y\) tendra vers zéro, et c'est la condition de continuité de la fonction en un point.
Donc, si une fonction est différentiable en un point x, alors elle est continue en ce point.
L’affirmation inverse n’est pas vraie. Par exemple : fonction y = |x| est continue partout, notamment au point x = 0, mais la tangente au graphe de la fonction au « point de jonction » (0 ; 0) n'existe pas. Si, à un moment donné, une tangente ne peut pas être tracée au graphique d’une fonction, alors la dérivée n’existe pas à ce point.
Un autre exemple. La fonction \(y=\sqrt(x)\) est continue sur toute la droite numérique, y compris au point x = 0. Et la tangente au graphique de la fonction existe en tout point, y compris au point x = 0. . Mais à ce stade, la tangente coïncide avec l’axe y, c’est-à-dire qu’elle est perpendiculaire à l’axe des abscisses, son équation a la forme x = 0. Coefficient de pente une telle ligne n'en a pas, ce qui signifie que \(f"(0) \) n'existe pas non plus
Ainsi, nous avons fait connaissance avec une nouvelle propriété d'une fonction : la différentiabilité. Comment peut-on conclure du graphe d’une fonction qu’elle est dérivable ?
La réponse est effectivement donnée ci-dessus. Si, à un moment donné, il est possible de tracer une tangente au graphique d'une fonction qui n'est pas perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors à ce stade, la fonction est dérivable. Si à un moment donné la tangente au graphique d'une fonction n'existe pas ou si elle est perpendiculaire à l'axe des abscisses, alors à ce stade la fonction n'est pas dérivable.
Règles de différenciation
L'opération de recherche de la dérivée s'appelle différenciation. Lors de l'exécution de cette opération, vous devez souvent travailler avec des quotients, des sommes, des produits de fonctions, ainsi que des « fonctions de fonctions », c'est-à-dire des fonctions complexes. Sur la base de la définition de la dérivée, nous pouvons dériver des règles de différenciation qui facilitent ce travail. Si C est un nombre constant et f=f(x), g=g(x) sont des fonctions différentiables, alors ce qui suit est vrai règles de différenciation:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Tableau des dérivées de certaines fonctions
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Comment trouver la dérivée, comment prendre la dérivée ? Sur cette leçon nous apprendrons à trouver des dérivées de fonctions. Mais avant d'étudier cette page, je vous recommande fortement de vous familiariser avec matériel méthodologique Des formules chaudes cours scolaire mathématiciens. Le manuel de référence peut être ouvert ou téléchargé sur la page Formules et tableaux mathématiques. À partir de là également, nous aurons besoin Tableau des dérivés, il est préférable de l'imprimer ; vous devrez souvent vous y référer, non seulement maintenant, mais aussi hors ligne.
Manger? Commençons. J'ai deux nouvelles pour vous : une bonne et une très bonne. La bonne nouvelle est la suivante : pour apprendre à trouver des dérivés, vous n’avez pas besoin de savoir et de comprendre ce qu’est un dérivé. De plus, la définition de la dérivée d'une fonction, mathématique, physique, signification géométrique Il est plus approprié d'assimiler la dérivée plus tard, car une élaboration de haute qualité de la théorie nécessite, à mon avis, l'étude d'un certain nombre d'autres sujets, ainsi qu'une certaine expérience pratique.
Et maintenant, notre tâche est de maîtriser techniquement ces mêmes dérivés. La très bonne nouvelle est qu'apprendre à prendre des dérivées n'est pas si difficile : il existe un algorithme assez clair pour résoudre (et expliquer) cette tâche ; les intégrales ou les limites, par exemple, sont plus difficiles à maîtriser ;
Je recommande l'ordre suivant pour étudier le sujet :: Tout d’abord, cet article. Ensuite, vous devez lire la leçon la plus importante Dérivée d'une fonction complexe. Ces deux leçons de base amélioreront vos compétences de zéro complet. Ensuite, vous pourrez vous familiariser avec des dérivés plus complexes dans l'article Dérivés complexes. Dérivée logarithmique. Si la barre est trop haute, lisez d'abord la chose Les problèmes typiques les plus simples avec les dérivés. En plus du nouveau matériel, la leçon couvre d'autres types de dérivés plus simples et constitue une excellente occasion d'améliorer votre technique de différenciation. De plus, dans essais Il existe presque toujours des tâches permettant de trouver des dérivées de fonctions spécifiées implicitement ou paramétriquement. Il y a aussi une telle leçon : Dérivées de fonctions implicites et définies paramétriquement.
Je vais essayer sous une forme accessible, étape par étape, de vous apprendre à trouver des dérivées de fonctions. Toutes les informations sont présentées en détail, avec des mots simples.
En fait, regardons immédiatement un exemple :
Exemple 1
Trouver la dérivée d'une fonction
Solution: 
Ce exemple le plus simple, veuillez le retrouver dans le tableau des dérivées des fonctions élémentaires. Regardons maintenant la solution et analysons ce qui s'est passé ? Et la chose suivante s'est produite : nous avions une fonction qui, suite à la solution, s'est transformée en fonction.
Pour le dire tout simplement, pour trouver la dérivée d'une fonction, il faut la transformer en une autre fonction selon certaines règles. Regardez à nouveau le tableau des dérivées - là, les fonctions se transforment en d'autres fonctions. La seule exception est la fonction exponentielle, qui se transforme en elle-même. L'opération de recherche de la dérivée s'appelle différenciation .
Désignations: La dérivée est notée ou .
ATTENTION, IMPORTANT ! Oublier de mettre un trait (là où c'est nécessaire), ou de dessiner un trait supplémentaire (là où ce n'est pas nécessaire) - GROSSE ERREUR ! Une fonction et sa dérivée sont deux fonctions différentes !
Revenons à notre tableau des dérivées. De ce tableau, il est souhaitable mémoriser: règles de différenciation et dérivées de certaines fonctions élémentaires, notamment :
dérivée de la constante :
, où est un nombre constant ;
dérivée d'une fonction puissance :
, en particulier: , , .
Pourquoi se souvenir ? Cette connaissance est une connaissance de base sur les produits dérivés. Et si vous ne pouvez pas répondre à la question du professeur « Quelle est la dérivée d'un nombre ? », alors vos études à l'université risquent de se terminer pour vous (je connais personnellement deux cas réels de la vie). De plus, ce sont les formules les plus courantes que nous devons utiliser presque chaque fois que nous rencontrons des produits dérivés.
En réalité, les exemples tabulaires simples sont rares ; généralement, lors de la recherche de dérivées, on utilise d'abord des règles de différenciation, puis un tableau de dérivées de fonctions élémentaires.
À cet égard, nous passons à l’examen règles de différenciation:
1) Un nombre constant peut (et doit) être retiré du signe dérivé
Où est un nombre constant (constant)
Exemple 2
Trouver la dérivée d'une fonction
Regardons le tableau des dérivés. La dérivée du cosinus est là, mais nous avons .
Il est temps d'utiliser la règle, on retire le facteur constant du signe de la dérivée :
Maintenant, nous convertissons notre cosinus selon le tableau :
Eh bien, il est conseillé de « peigner » un peu le résultat - mettez le signe moins en premier, tout en supprimant les parenthèses :
2) La dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées
Exemple 3
Trouver la dérivée d'une fonction
Décidons. Comme vous l'avez probablement déjà remarqué, la première étape qui est toujours effectuée lors de la recherche d'une dérivée est de mettre l'expression entière entre parenthèses et de mettre un nombre premier en haut à droite :
Appliquons la deuxième règle :
Veuillez noter que pour la différenciation, toutes les racines et tous les degrés doivent être représentés sous la forme, et s'ils sont au dénominateur, déplacez-les vers le haut. Comment procéder est expliqué dans mon matériel pédagogique.
Rappelons maintenant la première règle de différenciation : nous prenons les facteurs constants (nombres) en dehors du signe dérivé :
Habituellement, lors de la résolution, ces deux règles sont appliquées simultanément (afin de ne pas réécrire une expression longue).
Toutes les fonctions situées sous les traits sont des fonctions de tableau élémentaires ; à l'aide du tableau on effectue la transformation :
Vous pouvez tout laisser tel quel, puisqu'il n'y a plus de traits et que la dérivée a été trouvée. Cependant, des expressions comme celle-ci simplifient généralement :
Il est conseillé de représenter à nouveau toutes les puissances du type sous forme de racines ; les puissances avec des exposants négatifs doivent être remises au dénominateur. Même si vous n’êtes pas obligé de le faire, ce ne sera pas une erreur.
Exemple 4
Trouver la dérivée d'une fonction 
Essayez de résoudre cet exemple de manière autonome (réponse à la fin de la leçon). Les personnes intéressées peuvent également utiliser cours intensif au format pdf, ce qui est particulièrement pertinent si vous disposez de très peu de temps.
3) Dérivée du produit de fonctions
Il semble que l'analogie suggère la formule ...., mais la surprise est que :
C'est une règle inhabituelle (comme d'ailleurs d'autres) découle de définitions dérivées. Mais nous nous attarderons sur la théorie pour l’instant – il est désormais plus important d’apprendre à résoudre :
Exemple 5
Trouver la dérivée d'une fonction
Nous avons ici le produit de deux fonctions dépendant de .
Nous appliquons d’abord notre étrange règle, puis nous transformons les fonctions à l’aide de la table dérivée :
Difficile? Pas du tout, tout à fait accessible même pour une théière.
Exemple 6
Trouver la dérivée d'une fonction 
Cette fonction contient la somme et le produit de deux fonctions - trinôme quadratique et logarithme. De l'école on retient que la multiplication et la division ont priorité sur l'addition et la soustraction.
C'est la même chose ici. D'ABORD nous utilisons la règle de différenciation des produits :
Maintenant, pour le support, nous utilisons les deux premières règles :
Du fait de l'application des règles de différenciation sous les traits, on se retrouve avec uniquement des fonctions élémentaires à l'aide du tableau des dérivées, on les transforme en d'autres fonctions :
Prêt.
Avec une certaine expérience dans la recherche de dérivées, les dérivées simples ne semblent pas avoir besoin d’être décrites avec autant de détails. En général, elles sont décidées oralement et il est immédiatement écrit que 
.
Exemple 7
Trouver la dérivée d'une fonction 
Ceci est un exemple à résoudre par vous-même (réponse à la fin de la leçon)
4) Dérivée des fonctions quotient
Une trappe ouverte au plafond, ne vous inquiétez pas, c'est un bug.
Mais voici la dure réalité : 
Exemple 8
Trouver la dérivée d'une fonction
Ce qui manque ici – somme, différence, produit, fraction…. Par où commencer ?! Il y a des doutes, il n'y a pas de doutes, mais, DE TOUTE FAÇON Tout d'abord, nous dessinons des parenthèses et mettons un trait en haut à droite :
Examinons maintenant l’expression entre parenthèses, comment pouvons-nous la simplifier ? DANS dans ce cas on remarque un facteur qui, selon la première règle, il convient de retirer le signe de la dérivée.
Le problème de trouver la dérivée de fonction donnée est l'un des principaux cours de mathématiques lycée et en supérieur établissements d'enseignement. Il est impossible d’explorer pleinement une fonction et de construire son graphe sans prendre sa dérivée. La dérivée d'une fonction peut être facilement trouvée si vous connaissez les règles de base de différenciation, ainsi que le tableau des dérivées des fonctions de base. Voyons comment trouver la dérivée d'une fonction.
La dérivée d'une fonction est la limite du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument lorsque l'incrément de l'argument tend vers zéro.
Comprendre cette définition est assez difficile, car la notion de limite n'est pas entièrement étudiée à l'école. Mais pour trouver des dérivés diverses fonctions, il n’est pas nécessaire de comprendre la définition, laissons le soin aux mathématiciens et passons directement à la recherche de la dérivée.
Le processus de recherche de la dérivée est appelé différenciation. En différenciant une fonction, nous obtiendrons une nouvelle fonction.
Pour les désigner on utilisera les lettres latines f, g, etc.
Il existe de nombreuses notations différentes pour les dérivés. Nous utiliserons un trait. Par exemple, écrire g" signifie que l'on trouvera la dérivée de la fonction g.
Tableau des dérivés
Afin de répondre à la question de savoir comment trouver la dérivée, il est nécessaire de fournir un tableau des dérivées des principales fonctions. Pour calculer les dérivées de fonctions élémentaires, il n’est pas nécessaire d’effectuer des calculs complexes. Il suffit de regarder sa valeur dans le tableau des dérivés.
- (péché x)"=cos x
- (cos x)"= – péché x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)"=e x
- (lnx)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tgx)"=1/cos 2x
- (ctg x)"= – 1/péché 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Exemple 1. Trouvez la dérivée de la fonction y=500.
On voit que c'est une constante. D'après le tableau des dérivées, on sait que la dérivée d'une constante est égale à zéro (formule 1).
Exemple 2. Trouvez la dérivée de la fonction y=x 100.
Il s'agit d'une fonction puissance dont l'exposant est 100, et pour trouver sa dérivée, vous devez multiplier la fonction par l'exposant et la réduire de 1 (formule 3).
(x100)"=100x99
Exemple 3. Trouver la dérivée de la fonction y=5 x
Ce fonction exponentielle, calculons sa dérivée en utilisant la formule 4.
Exemple 4. Trouver la dérivée de la fonction y= log 4 x
On trouve la dérivée du logarithme à l'aide de la formule 7.
(log 4 x)"=1/x ln 4
Règles de différenciation
Voyons maintenant comment trouver la dérivée d'une fonction si elle n'est pas dans le tableau. La plupart des fonctions étudiées ne sont pas élémentaires, mais sont des combinaisons de fonctions élémentaires utilisant des opérations simples (addition, soustraction, multiplication, division et multiplication par un nombre). Pour trouver leurs dérivées, il faut connaître les règles de différenciation. Ci-dessous, les lettres f et g désignent des fonctions et C est une constante.
1. Le coefficient constant peut être soustrait du signe de la dérivée
Exemple 5. Trouver la dérivée de la fonction y= 6*x 8
Nous retirons un facteur constant de 6 et ne différencions que x 4. Il s'agit d'une fonction puissance dont la dérivée se trouve à l'aide de la formule 3 du tableau des dérivées.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. La dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées
(f + g)"=f" + g"
Exemple 6. Trouver la dérivée de la fonction y= x 100 +sin x
Une fonction est la somme de deux fonctions dont on peut retrouver les dérivées dans le tableau. Puisque (x 100)"=100 x 99 et (sin x)"=cos x. La dérivée de la somme sera égale à la somme de ces dérivées :
(x 100 + péché x)"= 100 x 99 + cos x
3. La dérivée de la différence est égale à la différence des dérivées
(f – g)"=f" – g"
Exemple 7. Trouver la dérivée de la fonction y= x 100 – cos x
Cette fonction est la différence de deux fonctions dont on peut également retrouver les dérivées dans le tableau. Alors la dérivée de la différence est égale à la différence des dérivées et n'oubliez pas de changer le signe, puisque (cos x)"= – sin x.
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + péché x
Exemple 8. Trouver la dérivée de la fonction y=e x +tg x– x 2.
Cette fonction a à la fois une somme et une différence ; trouvons les dérivées de chaque terme :
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Alors la dérivée de la fonction d'origine est égale à :
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Dérivé du produit
(f * g)"=f" * g + f * g"
Exemple 9. Trouver la dérivée de la fonction y= cos x *e x
Pour ce faire, on trouve d'abord la dérivée de chaque facteur (cos x)"=–sin x et (e x)"=e x. Maintenant, remplaçons tout dans la formule du produit. On multiplie la dérivée de la première fonction par la seconde et on ajoute le produit de la première fonction par la dérivée de la seconde.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x * péché x
5. Dérivée du quotient
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
Exemple 10. Trouver la dérivée de la fonction y= x 50 /sin x
Pour trouver la dérivée d'un quotient, on trouve d'abord la dérivée du numérateur et du dénominateur séparément : (x 50)"=50 x 49 et (sin x)"= cos x. En substituant la dérivée du quotient dans la formule, on obtient :
(x 50 / péché x)"= 50x 49 * péché x – x 50 * cos x/ péché 2 x
Dérivée d'une fonction complexe
Une fonction complexe est une fonction représentée par une composition de plusieurs fonctions. Il existe également une règle pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :
(u (v))"=u"(v)*v"
Voyons comment trouver la dérivée d'une telle fonction. Soit y= u(v(x)) une fonction complexe. Appelons la fonction u externe et v - interne.
Par exemple:
y=sin (x 3) est une fonction complexe.
Alors y=sin(t) est une fonction externe
t=x 3 - interne.
Essayons de calculer la dérivée de cette fonction. Selon la formule, vous devez multiplier les dérivées des fonctions internes et externes.
(sin t)"=cos (t) - dérivée de la fonction externe (où t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - dérivée de la fonction interne
Alors (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 est la dérivée d'une fonction complexe.