Fournit des données de référence sur la fonction exponentielle : propriétés de base, graphiques et formules. Les problématiques suivantes sont considérées : domaine de définition, ensemble de valeurs, monotonie, fonction inverse, dérivée, intégrale, développement dans série de puissance et représentation à l’aide de nombres complexes.
Définition
Fonction exponentielle
est une généralisation du produit de n nombres égaux à a :
oui (n) = une n = a·a·a···a,
à l'ensemble des nombres réels x :
oui (x) = hache.
Ici a est un nombre réel fixe, appelé base de la fonction exponentielle.
Une fonction exponentielle de base a est également appelée exposant pour baser un.
La généralisation s'effectue comme suit.
Pour naturel x = 1, 2, 3,...
, la fonction exponentielle est le produit de x facteurs :
.
De plus, il possède les propriétés (1,5-8) (), qui découlent des règles de multiplication des nombres. Pour les valeurs nulles et négatives d'entiers, la fonction exponentielle est déterminée à l'aide des formules (1.9-10). Pour les valeurs fractionnaires x = m/n nombres rationnels, , il est déterminé par la formule (1.11). Pour les vrais, la fonction exponentielle est définie comme limite de séquence:
,
où est une séquence arbitraire de nombres rationnels convergeant vers x : .
Avec cette définition, la fonction exponentielle est définie pour tout et satisfait les propriétés (1,5-8), comme pour x naturel.
Une formulation mathématique rigoureuse de la définition d'une fonction exponentielle et de la preuve de ses propriétés est donnée sur la page « Définition et preuve des propriétés d'une fonction exponentielle ».
Propriétés de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle y = a x a les propriétés suivantes sur l'ensemble des nombres réels () :
(1.1)
défini et continu, pour , pour tous ;
(1.2)
pour un ≠ 1
a de nombreuses significations ;
(1.3)
augmente strictement à , diminue strictement à ,
est constant à ;
(1.4)
à ;
à ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Autres formules utiles.
.
Formule de conversion en fonction exponentielle avec une base d'exposant différente :
Lorsque b = e, on obtient l'expression de la fonction exponentielle par l'exponentielle :
Valeurs privées
, , , , .
La figure montre des graphiques de la fonction exponentielle
oui (x) = hache
pour quatre valeurs bases de diplômes: une = 2
, une = 8
, une = 1/2
et un = 1/8
. 1
On peut voir que pour un > la fonction exponentielle augmente de façon monotone. Plus la base du degré a est grande, plus Forte croissance 0
< a < 1
la fonction exponentielle diminue de façon monotone. Plus l’exposant a est petit, plus la diminution est forte.
Ascendant descendant
La fonction exponentielle est strictement monotone et n’a donc pas d’extrema. Ses principales propriétés sont présentées dans le tableau.
| y = une x , une > 1 | y = hache, 0 < a < 1 | |
| Domaine | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Plage de valeurs | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monotone | augmente de façon monotone | diminue de façon monotone |
| Des zéros, y = 0 | Non | Non |
| Intercepter les points avec l'axe des ordonnées, x = 0 | y= 1 | y= 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Fonction inverse
L'inverse d'une fonction exponentielle de base a est le logarithme de base a.
Si donc
.
Si donc
.
Différenciation d'une fonction exponentielle
Pour différencier une fonction exponentielle, il faut réduire sa base au nombre e, appliquer la table des dérivées et la règle de différenciation fonction complexe.
Pour ce faire, vous devez utiliser la propriété des logarithmes
et la formule du tableau des dérivées :
.
Soit une fonction exponentielle :
.
On l'amène à la base e :
Appliquons la règle de différenciation des fonctions complexes. Pour ce faire, introduisez la variable
Alors
Du tableau des dérivées nous avons (remplacer la variable x par z) :
.
Puisque est une constante, la dérivée de z par rapport à x est égale à
.
D'après la règle de différenciation d'une fonction complexe :
.
Dérivée d'une fonction exponentielle
.
Dérivée du nième ordre :
.
Formules dérivées > > >
Un exemple de différenciation d'une fonction exponentielle
Trouver la dérivée d'une fonction
y= 3 5 fois
Solution
Exprimons la base de la fonction exponentielle par le nombre e.
3 = e ln 3
Alors
.
Entrez une variable
.
Alors
Du tableau des dérivées on trouve :
.
Parce que le 5ln3 est une constante, alors la dérivée de z par rapport à x est égale à :
.
D’après la règle de différenciation d’une fonction complexe, on a :
.
Répondre
Intégral
Expressions utilisant des nombres complexes
Considérons la fonction nombre complexe z:
F (z) = une z
où z = x + iy ; 2 = - 1
.
je
Exprimons la constante complexe a en termes de module r et d'argument φ :
Alors
.
une = r e je φ L'argument φ n'est pas défini de manière unique. DANS
φ = φ vue générale,
0 + 2 n où n est un entier. Donc la fonction f(z)
.
n'est pas clair non plus. Sa signification principale est souvent considérée
.
Extension de la série
Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.
FONCTIONS EXPONENTAIRES ET LOGARITHMIQUES VIII
§ 179 Propriétés de base de la fonction exponentielle
Dans cette section, nous étudierons les propriétés de base de la fonction exponentielle y = une (1)
X Rappelons que sous UN
dans la formule (1), nous entendons tout nombre positif fixe autre que 1. Propriété 1.
Le domaine d’une fonction exponentielle est l’ensemble de tous les nombres réels. Rappelons que sous En fait, avec un positif Rappelons que sous y = une défini pour tout nombre réel X .
Propriété 2. La fonction exponentielle n'accepte que les valeurs positives.
En effet, si X > 0, alors, comme cela a été prouvé au § 176,
Rappelons que sous y = une > 0.
Si X <. 0, то
Rappelons que sous y = une =
Où - X déjà plus que zéro. C'est pourquoi UN - y = une > 0. Mais alors
Rappelons que sous y = une = > 0.
Enfin, quand X = 0
Rappelons que sous y = une = 1.
La 2ème propriété de la fonction exponentielle a une interprétation graphique simple. Cela réside dans le fait que le graphique de cette fonction (voir Fig. 246 et 247) est situé entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.
Propriété 3. Si Rappelons que sous >1, puis quand X > 0 UN y = une > 1, et quand X < 0 Rappelons que sous y = une < 1. Si Rappelons que sous < 1, тoh, au contraire, quand X > 0 UN y = une < 1, et quand X < 0 Rappelons que sous y = une > 1.
Cette propriété de la fonction exponentielle permet également une interprétation géométrique simple. À Rappelons que sous > 1 (Fig. 246) courbes Dans cette section, nous étudierons les propriétés de base de la fonction exponentielle y = une situé au-dessus de la ligne droite à = 1 à X > 0 et en dessous de la ligne droite à = 1 à X < 0.
Si Rappelons que sous < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые Dans cette section, nous étudierons les propriétés de base de la fonction exponentielle y = une situé en dessous de la ligne droite à = 1 à X > 0 et au-dessus de cette ligne à X < 0.
Donnons une preuve rigoureuse de la 3ème propriété. Laisser Rappelons que sous > 1 et X - un nombre positif arbitraire. Montrons que
Rappelons que sous y = une > 1.
Si le numéro X rationnel ( X = m / n ) , Que Rappelons que sous y = une = Rappelons que sous m/ n = n √un m .
Parce que le Rappelons que sous > 1, alors Rappelons que sous m > 1, Mais la racine d'un nombre supérieur à un est évidemment aussi supérieure à 1.
Si X est irrationnel, alors il existe des nombres rationnels positifs X" Et X" , qui servent d'approximations décimales d'un nombre y = une :
X"< х < х" .
Mais alors, par définition d'un degré à exposant irrationnel
Rappelons que sous X" < Rappelons que sous y = une < Rappelons que sous X"" .
Comme indiqué ci-dessus, le nombre Rappelons que sous X" plus d'un. Donc le nombre Rappelons que sous y = une , plus grand que Rappelons que sous X" , doit également être supérieur à 1,
Nous avons donc montré que lorsque un >1 et arbitrairement positif X
Rappelons que sous y = une > 1.
Si le numéro X était négatif, alors nous aurions
Rappelons que sous y = une =
où est le numéro X serait déjà positif. C'est pourquoi UN - y = une > 1. Par conséquent,
Rappelons que sous y = une = < 1.
Ainsi, quand Rappelons que sous > 1 et négatif arbitraire y = une
Rappelons que sous y = une < 1.
Le cas où 0< Rappelons que sous < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.
Propriété 4. Si x = 0, alors indépendamment d'un Rappelons que sous y = une =1.
Cela découle de la définition du degré zéro ; la puissance zéro de tout nombre autre que zéro est égale à 1. Graphiquement, cette propriété s'exprime dans le fait que pour tout Rappelons que sous courbe à = Rappelons que sous y = une (voir Fig. 246 et 247) coupe l'axe à en un point d'ordonnée 1.
Propriété 5. À Rappelons que sous >1 fonction exponentielle = Rappelons que sous y = une est croissante de façon monotone, et pour un < 1 - décroissant de façon monotone.
Cette propriété permet également une interprétation géométrique simple.
À Rappelons que sous > 1 (Fig. 246) courbe à = Rappelons que sous y = une avec croissance X monte de plus en plus haut, et quand Rappelons que sous < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.
Donnons une preuve rigoureuse de la 5ème propriété.
Laisser Rappelons que sous > 1 et X 2 > X 1 . Montrons que
Rappelons que sous X 2 > Rappelons que sous X 1
Parce que le X 2 > X 1 ., alors X 2 = X 1 + d , Où d - un nombre positif. C'est pourquoi
Rappelons que sous X 2 - Rappelons que sous X 1 = Rappelons que sous X 1 + d - Rappelons que sous X 1 = Rappelons que sous X 1 (Rappelons que sous d - 1)
Par la 2ème propriété de la fonction exponentielle Rappelons que sous X 1 > 0. Depuis d > 0, puis par la 3ème propriété de la fonction exponentielle Rappelons que sous d > 1. Les deux facteurs dans le produit Rappelons que sous X 1 (Rappelons que sous d - 1) sont positifs, donc ce produit lui-même est positif. Moyens, Rappelons que sous X 2 - Rappelons que sous X 1 > 0, ou Rappelons que sous X 2 > Rappelons que sous X 1, ce qui restait à prouver.
Donc quand un > 1 fonction à = Rappelons que sous y = une est en augmentation monotone. De même, il est prouvé que lorsque Rappelons que sous < 1 функция à = Rappelons que sous y = une est décroissante de façon monotone.
Conséquence. Si deux puissances d’un même nombre positif autre que 1 sont égales, alors leurs exposants sont égaux.
Autrement dit, si
Rappelons que sous b = Rappelons que sous c (Rappelons que sous > 0 et Rappelons que sous =/= 1),
b = c .
En effet, si les chiffres b Et Avec n'étaient pas égaux, alors en raison de la monotonie de la fonction à = Rappelons que sous y = une le plus grand d'entre eux correspondrait à Rappelons que sous >1 de plus, et quand Rappelons que sous < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или Rappelons que sous b > Rappelons que sous c , ou Rappelons que sous b < Rappelons que sous c . Les deux contredisent la condition Rappelons que sous b = Rappelons que sous c . Reste à admettre que b = c .
Propriété 6. Si un > 1, puis avec une augmentation illimitée de l'argument X (X -> ∞ ) valeurs de fonction à = Rappelons que sous y = une grandit aussi indéfiniment (à -> ∞ ). Quand l'argument diminue sans limite X (X -> -∞ ) les valeurs de cette fonction tendent vers zéro tout en restant positives (à->0; à > 0).
Compte tenu de la monotonie de la fonction prouvée ci-dessus à = Rappelons que sous y = une , on peut dire que dans le cas considéré la fonction à = Rappelons que sous y = une augmente de façon monotone de 0 à ∞ .
Si 0 <UN < 1, puis avec une augmentation illimitée de l'argument x (x -> ∞), les valeurs de la fonction y = a x tendent vers zéro, tout en restant positives (à->0; à > 0). Quand l'argument x diminue sans limite (X -> -∞ ) les valeurs de cette fonction croissent de manière illimitée (à -> ∞ ).
En raison de la monotonie de la fonction y = un x on peut dire que dans ce cas la fonction à = Rappelons que sous y = une diminue de façon monotone à partir de ∞ à 0.
La 6ème propriété de la fonction exponentielle est clairement reflétée dans les figures 246 et 247. Nous ne la prouverons pas strictement.
Il suffit d'établir la plage de variation de la fonction exponentielle y = un x (Rappelons que sous > 0, Rappelons que sous =/= 1).
Nous avons prouvé ci-dessus que la fonction y = un x ne prend que des valeurs positives et augmente de manière monotone de 0 à ∞ (à Rappelons que sous > 1), ou diminue de façon monotone à partir de ∞ à 0 (à 0< Rappelons que sous <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = un x Y a-t-il des sauts lors du changement ? Est-ce que cela prend des valeurs positives ? Ce problème est résolu positivement. Si Rappelons que sous > 0 et Rappelons que sous =/= 1, alors quel que soit le nombre positif à 0 sera certainement trouvé X 0 , tel que
Rappelons que sous X 0 = à 0 .
(En raison de la monotonie de la fonction y = un x valeur spécifiée X 0 sera bien sûr le seul.)
Prouver ce fait dépasse la portée de notre programme. Son interprétation géométrique est celle pour toute valeur positive à 0 graphique de fonction y = un x va certainement couper avec une ligne droite à = à 0 et, de plus, en un seul point (Fig. 248).
De là, nous pouvons tirer la conclusion suivante, que nous formulons comme propriété 7.
Propriété 7. L'aire de changement de la fonction exponentielle y = a x (Rappelons que sous > 0, Rappelons que sous =/= 1)est l'ensemble de tous les nombres positifs.
Des exercices
1368. Retrouver les domaines de définition des fonctions suivantes :
1369. Lequel de ces nombres est supérieur à 1 et lequel est inférieur à 1 :
1370. Sur la base de quelle propriété de la fonction exponentielle peut-on affirmer que
a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5 ; b) (4 / 3) 1,3 > (4 / 3) 1,2
1371. Quel nombre est le plus grand :
UN) π - √3 ou (1/ π ) - √3 ; c) (2 / 3) 1 + √6 ou (2/3) √2 + √5 ;
b) ( π / 4) 1 + √3 ou ( π / 4) 2 ; d) (√3) √2 - √5 ou (√3) √3 - 2 ?
1372. Les inégalités sont-elles équivalentes :
1373. Que dire des nombres X Et à , Si un x = Andy , Où Rappelons que sous - un nombre positif donné ?
1374. 1) Est-ce possible parmi toutes les valeurs de la fonction à = 2X souligner:
2) Est-ce possible parmi toutes les valeurs de la fonction à = 2 | x| souligner:
UN) valeur la plus élevée; b) la plus petite valeur ?
Concentration de l'attention :
Définition. Fonction l'espèce est appelée fonction exponentielle .
Commentaire. Exclusion des valeurs de base un chiffres 0 ; 1 et valeurs négatives un s'explique par les circonstances suivantes :
L'expression analytique elle-même un x dans ces cas, il conserve son sens et peut être utilisé pour résoudre des problèmes. Par exemple, pour l'expression x y point x = 1 ; oui = 1 se situe dans la plage des valeurs acceptables.
Construire des graphiques de fonctions : et.
 |
 |
| Graphique d'une fonction exponentielle | |
| y= un y = une, une > 1 | y= un y = une , 0< a < 1 |
 |
 |
Propriétés de la fonction exponentielle
| Propriétés de la fonction exponentielle | y= un y = une, une > 1 | y= un y = une , 0< a < 1 |
|
||
| 2. Plage de fonctions | ||
| 3. Intervalles de comparaison avec l'unité | à y = une> 0, un y = une > 1 | à y = une > 0, 0< a y = une < 1 |
| à y = une < 0, 0< a y = une < 1 | à y = une < 0, a y = une > 1 | |
| 4. Pair, impair. | La fonction n'est ni paire ni impaire (une fonction de forme générale). | |
| 5.Monotonie. | augmente de façon monotone de R. | diminue de façon monotone de R. |
| 6. Extrêmes. | La fonction exponentielle n’a pas d’extrema. | |
| 7.Asymptote | Axe O X est une asymptote horizontale. | |
| 8. Pour toutes les valeurs réelles y = une Et oui; |  |
|
Lorsque le tableau est rempli, les tâches sont résolues parallèlement au remplissage.
Tâche n°1. (Trouver le domaine de définition d'une fonction).
Quelles valeurs d'argument sont valables pour les fonctions :
Tâche n°2. (Pour trouver la plage de valeurs d'une fonction).
La figure montre le graphique de la fonction. Précisez le domaine de définition et la plage de valeurs de la fonction :
 |
 |
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 |
Tâche n°3. (Pour indiquer les intervalles de comparaison avec un).
Comparez chacune des puissances suivantes avec une :
Tâche n°4. (Pour étudier la fonction de monotonie).
Comparez les nombres réels par taille m Et n Si:
Tâche n°5. (Pour étudier la fonction de monotonie).
Tirer une conclusion sur la base un, Si:
y(x) = 10x ; f(x) = 6x ; z(x)-4x
Comment sont les graphiques des fonctions exponentielles les unes par rapport aux autres pour x > 0, x = 0, x< 0?
Un avion coordonné des graphiques de fonctions ont été construits :
y(x) = (0,1)x ; f(x) = (0,5)x ; z(x) = (0,8)x .
Comment sont les graphiques des fonctions exponentielles les unes par rapport aux autres pour x > 0, x = 0, x< 0?
| Nombre
l'une des constantes les plus importantes en mathématiques. Par définition, il égal à la limite de la suite
avec illimité
croissant m
. Désignation e entré
Léonard Euler
en 1736. Il calcula les 23 premiers chiffres de ce nombre en notation décimale, et le nombre lui-même fut nommé en l'honneur de Napier le « nombre non-Pierre ». Désignation Nombre pièces rôle spécial en analyse mathématique. Fonction exponentielle Désignation, appelé exposant et est désigné y = ex. Premiers signes Nombres Désignation facile à retenir: deux, virgule, sept, année de naissance de Léon Tolstoï - deux fois, quarante-cinq, quatre-vingt-dix, quarante-cinq. |
 |
Devoirs:
Kolmogorov, paragraphe 35 ; n° 445-447 ; 451 ; 453.
Répétez l'algorithme de construction de graphiques de fonctions contenant une variable sous le signe du module.
1. Une fonction exponentielle est une fonction de la forme y(x) = a x, dépendant de l'exposant x, de valeur constante de la base du degré a, où a > 0, a ≠ 0, xϵR (R est le ensemble de nombres réels).
Considérons graphique de la fonction si la base ne satisfait pas à la condition : a>0
a) un< 0
Si un< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
une = -2
Si a = 0, la fonction y = est définie et a une valeur constante de 0
c) une =1
Si a = 1, la fonction y = est définie et a une valeur constante de 1
Domaine de fonction (DOF) Plage de valeurs de fonction autorisées (APV) 3. Zéros de la fonction (y = 0) 4. Points d'intersection avec l'axe des ordonnées oy (x = 0) 5. Fonctions croissantes et décroissantes Si , alors la fonction f(x) augmente 6. Fonction paire et impaire La fonction y = n'est pas symétrique par rapport à l'axe 0y et par rapport à l'origine, elle n'est donc ni paire ni impaire. (Fonction générale) 7. La fonction y = n'a pas d'extrema 8. Propriétés d'un degré avec un exposant réel : Soit a > 0 ; une≠1 Alors pour xϵR ; yϵR : Propriétés de monotonie du degré : si donc Si a> 0, alors . 9. Position relative de la fonction Plus la base a est grande, plus les axes x et oy sont proches une > 1, une = 20 Exemple 1. Trouvons la valeur de l'expression pour différentes valeurs rationnelles de la variable x=2 ; 0 ; -3 ; - Notez que quel que soit le nombre que nous substituons à la variable x, nous pouvons toujours trouver la valeur de cette expression. Cela signifie que nous considérons une fonction exponentielle (E est égal à trois puissance x), définie sur l'ensemble des nombres rationnels : . Construisons un graphique de cette fonction en compilant un tableau de ses valeurs. Traçons une ligne lisse passant par ces points (Figure 1) A l’aide du graphique de cette fonction, considérons ses propriétés : 3.Augmente dans toute la zone de définition. 8. La fonction est convexe vers le bas. Si nous construisons des graphiques de fonctions dans un système de coordonnées ; y=(y est égal à deux à la puissance x, y est égal à cinq à la puissance x, y est égal à sept à la puissance x), alors vous pouvez voir qu'ils ont les mêmes propriétés que y= (y est égal à trois à la puissance x) (Fig. .2), c'est-à-dire que toutes les fonctions de la forme y = (a est égal à a à la puissance x, pour a supérieur à un) auront de telles propriétés Traçons la fonction : 1. Compilation d'un tableau de ses valeurs. Marquons les points obtenus sur le plan de coordonnées. Traçons une ligne lisse passant par ces points (Figure 3). A l'aide du graphique de cette fonction, nous indiquons ses propriétés : 1. Le domaine de définition est l’ensemble de tous les nombres réels. 2. N'est ni pair ni impair. 3.Diminue dans tout le domaine de définition. 4. N'a ni la plus grande ni la plus petite valeur. 5. Limité ci-dessous, mais non limité ci-dessus. 6.Continu dans tout le domaine de définition. 7. plage de valeurs de zéro à plus l'infini. 8. La fonction est convexe vers le bas. De même, si nous construisons des graphiques de fonctions dans un système de coordonnées ; y = (y est égal à la moitié de la puissance x, y est égal à un cinquième de la puissance x, y est égal à un septième de la puissance x), alors vous pouvez remarquer qu'ils ont les mêmes propriétés que y = (y est égal à un tiers de la puissance x (Fig. 4), c'est-à-dire toutes les fonctions de la forme y = (le y est égal à un divisé par a à la puissance x, avec un supérieur à zéro mais inférieur à un) aura de telles propriétés. Construisons des graphiques de fonctions dans un système de coordonnées Cela signifie que les graphiques des fonctions y=y= seront également symétriques (y est égal à a à la puissance x et y est égal à un divisé par a à la puissance x) pour la même valeur de a. Résumons ce qui a été dit en définissant la fonction exponentielle et en indiquant ses principales propriétés : Définition: Une fonction de la forme y=, où (a est égal à a à la puissance x, où a est positif et différent de un), est appelée fonction exponentielle. Il faut rappeler les différences entre la fonction exponentielle y= et la fonction puissance y=, a=2,3,4,…. à la fois auditivement et visuellement. La fonction exponentielle X est un diplôme, et fonction de puissance X est la base. Exemple 1 : Résolvez l'équation (trois à la puissance x est égal à neuf) (Y est égal à trois à la puissance X et Y est égal à neuf) Fig. 7 Notez qu'ils ont un point commun M (2;9) (em de coordonnées deux; neuf), ce qui signifie que l'abscisse du point sera la racine équation donnée. Autrement dit, l’équation a une seule racine x = 2. Exemple 2 : Résoudre l'équation Dans un système de coordonnées, nous construirons deux graphiques de la fonction y= (le y est égal à cinq à la puissance x et le y est égal à un vingt-cinquième) Fig. 8. Les graphiques se croisent en un point T (-2 ; (te avec les coordonnées moins deux ; un vingt-cinquième). Cela signifie que la racine de l'équation est x = -2 (le nombre moins deux). Exemple 3 : Résoudre l'inégalité Dans un système de coordonnées, nous construirons deux graphiques de la fonction y= (Y est égal à trois à la puissance X et Y est égal à vingt-sept). Fig.9 Le graphique de la fonction est situé au dessus du graphique de la fonction y=at x Par conséquent, la solution de l'inégalité est l'intervalle (de moins l'infini à trois) Exemple 4 : Résoudre l'inégalité Dans un système de coordonnées, nous construirons deux graphiques de la fonction y= (le y est égal à un quart de la puissance x et le y est égal à seize). (Fig. 10). Les graphiques se croisent en un point K (-2;16). Cela signifie que la solution de l'inégalité est l'intervalle (-2; (de moins deux à plus l'infini), puisque le graphique de la fonction y= est situé en dessous du graphique de la fonction en x Notre raisonnement nous permet de vérifier la validité des théorèmes suivants : Thème 1 : Si vrai si et seulement si m=n. Théorème 2 : Si est vrai si et seulement si, l'inégalité est vraie si et seulement si (Fig. *) Théorème 4 : Si vrai si et seulement si (Fig.**), l'inégalité est vraie si et seulement si. Théorème 3 : Si vrai si et seulement si m=n. Exemple 5 : Représenter graphiquement la fonction y= Modifions la fonction en appliquant la propriété de degré y= Construisons un système de coordonnées supplémentaire et dans nouveau système coordonnées, nous allons construire un graphique de la fonction y = (le y est égal à deux à la puissance x) Fig. 11. Exemple 6 : Résoudre l'équation Dans un système de coordonnées, nous construirons deux graphiques de la fonction y= (Y est égal à sept à la puissance X et Y est égal à huit moins X) Fig. 12. Les graphiques se croisent en un point E (1; (e avec les coordonnées un; sept). Cela signifie que la racine de l'équation est x = 1 (x égal à un). Exemple 7 : Résoudre l'inégalité Dans un système de coordonnées, nous construirons deux graphiques de la fonction y= (Y est égal au quart de la puissance X et Y est égal à X plus cinq). Le graphique de la fonction y=est situé en dessous du graphique de la fonction y=x+5 lorsque la solution de l'inégalité est l'intervalle x (de moins un à plus l'infini).
2. Examinons de plus près la fonction exponentielle :
0
Si , alors la fonction f(x) diminue
Fonction y= , à 0
Cela découle des propriétés de monotonie d’une puissance à exposant réel.
b> 0 ; b≠1
Par exemple:
La fonction exponentielle est continue en tout point ϵ R.
Si a0, alors la fonction exponentielle prend une forme proche de y = 0.
Si a1, alors plus loin des axes ox et oy et le graphique prend une forme proche de la fonction y = 1.
Construire un graphique de y =
