Fournit des données de référence sur la fonction exponentielle : propriétés de base, graphiques et formules. Les problématiques suivantes sont considérées : domaine de définition, ensemble de valeurs, monotonie, fonction inverse, dérivée, intégrale, développement dans série de puissance et représentation à l’aide de nombres complexes.
Définition
Fonction exponentielle
est une généralisation du produit de n nombres égaux à a :
oui (n) = une n = a·a·a···a,
à l'ensemble des nombres réels x :
oui (x) = hache.
Ici a est un nombre réel fixe, appelé base de la fonction exponentielle.
Une fonction exponentielle de base a est également appelée exposant pour baser un.
La généralisation s'effectue comme suit.
Pour naturel x = 1, 2, 3,...
, la fonction exponentielle est le produit de x facteurs :
.
De plus, il possède les propriétés (1,5-8) (), qui découlent des règles de multiplication des nombres. A zéro et valeurs négatives nombres entiers, la fonction exponentielle est déterminée à l'aide des formules (1.9-10). Pour les valeurs fractionnaires x = m/n nombres rationnels, , il est déterminé par la formule (1.11). Pour les réels, la fonction exponentielle est définie comme limite de séquence:
,
où est une séquence arbitraire de nombres rationnels convergeant vers x : .
Avec cette définition, la fonction exponentielle est définie pour tout et satisfait les propriétés (1,5-8), comme pour x naturel.
Une formulation mathématique rigoureuse de la définition d'une fonction exponentielle et de la preuve de ses propriétés est donnée sur la page « Définition et preuve des propriétés d'une fonction exponentielle ».
Propriétés de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle y = a x a les propriétés suivantes sur l'ensemble des nombres réels () :
(1.1)
défini et continu, pour , pour tous ;
(1.2)
pour un ≠ 1
a de nombreuses significations ;
(1.3)
augmente strictement à , diminue strictement à ,
est constant à ;
(1.4)
à ;
à ;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Autres formules utiles.
.
Formule de conversion en fonction exponentielle avec une base d'exposant différente :
Lorsque b = e, on obtient l'expression de la fonction exponentielle par l'exponentielle :
Valeurs privées
, , , , .
La figure montre des graphiques de la fonction exponentielle
oui (x) = hache
pour quatre valeurs bases de diplômes: une = 2
, une = 8
, une = 1/2
et un = 1/8
. 1
On peut voir que pour un > la fonction exponentielle augmente de façon monotone. Plus la base du degré a est grande, plus forte croissance 0
< a < 1
la fonction exponentielle diminue de façon monotone. Plus l’exposant a est petit, plus la diminution est forte.
Ascendant, descendant
La fonction exponentielle est strictement monotone et n’a donc pas d’extrema. Ses principales propriétés sont présentées dans le tableau.
| y = une x , une > 1 | y = hache, 0 < a < 1 | |
| Domaine de définition | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Plage de valeurs | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Monotone | augmente de façon monotone | diminue de façon monotone |
| Des zéros, y = 0 | Non | Non |
| Intercepter les points avec l'axe des ordonnées, x = 0 | y= 1 | y= 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
Fonction inverse
L'inverse d'une fonction exponentielle de base a est le logarithme de base a.
Si, alors
.
Si, alors
.
Différenciation d'une fonction exponentielle
Pour différencier une fonction exponentielle, il faut réduire sa base au nombre e, appliquer la table des dérivées et la règle de différenciation fonction complexe.
Pour ce faire, vous devez utiliser la propriété des logarithmes
et la formule du tableau des dérivées :
.
Soit une fonction exponentielle :
.
On l'amène à la base e :
Appliquons la règle de différenciation des fonctions complexes. Pour ce faire, introduisez la variable
Alors
Du tableau des dérivées nous avons (remplacer la variable x par z) :
.
Puisque est une constante, la dérivée de z par rapport à x est égale à
.
D'après la règle de différenciation d'une fonction complexe :
.
Dérivée d'une fonction exponentielle
.
Dérivée du nième ordre :
.
Formules dérivées > > >
Un exemple de différenciation d'une fonction exponentielle
Trouver la dérivée d'une fonction
y= 3 5 fois
Solution
Exprimons la base de la fonction exponentielle par le nombre e.
3 = e ln 3
Alors
.
Entrez une variable
.
Alors
Du tableau des dérivées on trouve :
.
Depuis 5ln3 est une constante, alors la dérivée de z par rapport à x est égale à :
.
D’après la règle de différenciation d’une fonction complexe, on a :
.
Répondre
Intégral
Expressions utilisant des nombres complexes
Considérons la fonction nombre complexe z:
f (z) = une z
où z = x + iy ; 2 = - 1
.
je
Exprimons la constante complexe a en termes de module r et d'argument φ :
Alors
.
une = r e je φ
φ = φ L'argument φ n'est pas défini de manière unique. En général,
0 + 2 n où n est un entier. Donc la fonction f(z)
.
n'est pas clair non plus. Sa signification principale est souvent considérée
.
Extension de la série
Littérature utilisée :
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.2
Leçon n°
Sujet : Fonction exponentielle, ses propriétés et son graphique. Cible:
Vérifier la qualité de la maîtrise de la notion de « fonction exponentielle » ; développer les compétences et les capacités nécessaires pour reconnaître une fonction exponentielle, utiliser ses propriétés et ses graphiques, apprendre aux étudiants à utiliser des formes analytiques et graphiques pour écrire une fonction exponentielle ; offrir un environnement de travail en classe.Équipement:
tableau, affiches Formulaire de cours
Type de cours: cours pratique
Type de cours: leçon sur les compétences et capacités pédagogiques
Plan de cours
1. Moment organisationnel
2. Travail indépendant et vérifie devoirs
3. Résolution de problèmes
4. Résumé
5. Devoirs
Progression de la leçon.
1. Moment organisationnel :
Bonjour. Ouvrez vos cahiers, notez la date du jour et le sujet de la leçon « Fonction exponentielle ». Aujourd'hui, nous continuerons à étudier la fonction exponentielle, ses propriétés et son graphique.
2. Travail indépendant et vérification des devoirs .
Sujet : Fonction exponentielle, ses propriétés et son graphique. vérifier la qualité de maîtrise de la notion de « fonction exponentielle » et vérifier la réalisation de la partie théorique du devoir
Méthode: tâche de test, enquête frontale
Comme devoir, on vous a donné des numéros du cahier de problèmes et un paragraphe du manuel. Nous ne vérifierons pas votre exécution des nombres du manuel maintenant, mais vous remettrez vos cahiers à la fin du cours. La théorie va maintenant être testée sous la forme d’un petit test. La tâche est la même pour tout le monde : on vous remet une liste de fonctions, vous devez savoir lesquelles d'entre elles sont indicatives (soulignez-les). Et à côté de la fonction exponentielle, vous devez écrire si elle augmente ou diminue.
Option 1 Répondre B) D) - exponentiel, décroissant | Option 2 Répondre D) - exponentiel, décroissant D) - exponentiel, croissant |
Option 3 Répondre UN) - exponentiel, croissant B) - exponentiel, décroissant | Option 4 Répondre UN) - exponentiel, décroissant DANS) - exponentiel, croissant |
Rappelons maintenant ensemble quelle fonction est appelée exponentielle ?
Une fonction de la forme , où et , est appelée fonction exponentielle.
Quelle est la portée de cette fonction ?
Tous des nombres réels.
Quelle est la portée de la fonction exponentielle ?
Tous les nombres réels positifs.
Diminue si la base de la puissance est supérieure à zéro mais inférieure à un.
Dans quel cas une fonction exponentielle diminue-t-elle dans son domaine de définition ?
Augmente si la base de la puissance est supérieure à un.
3. Résolution de problèmes
Cible: développer des compétences dans la reconnaissance d'une fonction exponentielle, en utilisant ses propriétés et ses graphiques, apprendre aux étudiants à utiliser des formes analytiques et graphiques d'écriture d'une fonction exponentielle
Méthode: démonstration par l'enseignant de la résolution de problèmes typiques, travail oral, travail au tableau, travail sur cahier, conversation entre l'enseignant et les élèves.
Les propriétés de la fonction exponentielle peuvent être utilisées pour comparer 2 nombres ou plus. Par exemple : n° 000. Comparez les valeurs et si a) 
..gif" width="37" height="20 src=">, alors c'est un travail assez difficile : il faudrait extraire racine cubique de 3 et de 9, et comparez-les. Mais nous savons qu'il augmente, cela signifie qu'à mesure que l'argument augmente, la valeur de la fonction augmente, c'est-à-dire qu'il suffit de comparer les valeurs de l'argument et , il est évident que 
(peut être démontré sur une affiche montrant une fonction exponentielle croissante). Et toujours, lors de la résolution de tels exemples, vous déterminez d'abord la base de la fonction exponentielle, la comparez avec 1, déterminez la monotonie et procédez à la comparaison des arguments. Dans le cas d'une fonction décroissante : lorsque l'argument augmente, la valeur de la fonction diminue, on change donc le signe de l'inégalité en passant de l'inégalité des arguments à l'inégalité des fonctions. Ensuite, nous résolvons oralement : b) 
- 
DANS) 
- 
G) 
- 
- N° 000. Comparez les numéros : a) et
Par conséquent, la fonction augmente, alors
Pourquoi ?
Fonction croissante et 
La fonction est donc décroissante, alors 
Les deux fonctions augmentent dans tout leur domaine de définition, puisqu’elles sont exponentielles avec une base de puissance supérieure à un.
Quelle est la signification derrière cela ?
Nous construisons des graphiques :
Quelle fonction augmente plus rapidement lors de l'effort https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Quelle fonction diminue plus rapidement lors de l'effort https://pandia.ru/text/80/379/images/image062_0.gif" width="20 height=25" height="25">
Sur l'intervalle laquelle des fonctions a valeur plus élevéeà un moment précis ?
D), https://pandia.ru/text/80/379/images/image068_0.gif" width="69" height="57 src=">. Tout d'abord, découvrons la portée de la définition de ces fonctions. Est-ce qu'ils coïncident?
Oui, le domaine de ces fonctions est constitué de nombres réels.
Nommez la portée de chacune de ces fonctions.
Les plages de ces fonctions coïncident : tous les nombres réels positifs.
Déterminez le type de monotonie de chaque fonction.
Les trois fonctions diminuent dans tout leur domaine de définition, car elles sont exponentielles avec une base de puissances inférieure à un et supérieure à zéro.
Quel point particulier existe dans le graphique d’une fonction exponentielle ?
Quelle est la signification derrière cela ?
Quelle que soit la base du degré d'une fonction exponentielle, si l'exposant contient 0, alors la valeur de cette fonction est 1.
Nous construisons des graphiques :
Analysons les graphiques. Combien de points d’intersection ont les graphiques de fonctions ?
Quelle fonction diminue plus rapidement lors de l'effort https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">
Quelle fonction augmente plus rapidement lors de l'effort https://pandia.ru/text/80/379/images/image070.gif" width="41 height=57" height="57">
Sur l’intervalle, laquelle des fonctions a la plus grande valeur en un point précis ?
Sur l’intervalle, laquelle des fonctions a la plus grande valeur en un point précis ?
Pourquoi les fonctions exponentielles de bases différentes n’ont-elles qu’un seul point d’intersection ?
Les fonctions exponentielles sont strictement monotones dans tout leur domaine de définition, elles ne peuvent donc se croiser qu'en un seul point.
La tâche suivante se concentrera sur l'utilisation de cette propriété. N° 000. Trouvez la valeur la plus grande et la plus petite fonction donnée sur un intervalle donné a) . Rappelons qu'une fonction strictement monotone prend ses valeurs minimale et maximale aux extrémités d'un segment donné. Et si la fonction est croissante, alors son valeur la plus élevée sera à l'extrémité droite du segment, et le plus petit à l'extrémité gauche du segment (démonstration sur l'affiche, en prenant l'exemple d'une fonction exponentielle). Si la fonction est décroissante, alors sa plus grande valeur sera à l'extrémité gauche du segment, et la plus petite à l'extrémité droite du segment (démonstration sur l'affiche, en prenant l'exemple d'une fonction exponentielle). La fonction augmente, car, par conséquent, la plus petite valeur de la fonction sera au point https://pandia.ru/text/80/379/images/image075_0.gif" width="145" height="29" >. Points b ) 
, V) 
d) résolvez les cahiers vous-même, nous les vérifierons oralement.
Les élèves résolvent la tâche dans leurs cahiers
|
Fonction décroissante
|
Fonction décroissante
|
Fonction croissante
|
plus grande valeur de la fonction sur le segment
la plus petite valeur d'une fonction sur un segment
la plus petite valeur d'une fonction sur un segment
plus grande valeur de la fonction sur le segment- N° 000. Trouver la plus grande et la plus petite valeur de la fonction donnée sur l'intervalle donné a) 
. Cette tâche est presque la même que la précédente. Mais ce qui est donné ici n’est pas un segment, mais un rayon. Nous savons que la fonction augmente et qu'elle n'a ni la valeur la plus grande ni la plus petite sur toute la droite numérique https://pandia.ru/text/80/379/images/image063_0.gif" width="68" height = "20">, et tend vers , c'est-à-dire que sur le rayon la fonction at tend vers 0, mais n'a pas de sienne propre valeur la plus basse, mais c'est au point où il a la plus grande valeur 
. Points b) 
, V) 
, G) 
Résolvez vous-même les cahiers, nous les vérifierons oralement.
Décision majoritaire problèmes mathématiques est en quelque sorte lié à la transformation d'expressions numériques, algébriques ou fonctionnelles. Ce qui précède s'applique particulièrement à la décision. Dans les versions de l'Examen d'État unifié en mathématiques, ce type de problème comprend notamment la tâche C3. Apprendre à résoudre des tâches C3 est important non seulement pour réussir réussir l'examen d'État unifié, mais aussi parce que cette compétence sera utile lors de l'étude d'un cours de mathématiques au lycée.
Lorsque vous accomplissez les tâches C3, vous devez décider différents typeséquations et inégalités. Parmi eux figurent des modules rationnels, irrationnels, exponentiels, logarithmiques, trigonométriques, contenant (valeurs absolues), ainsi que des modules combinés. Cet article traite des principaux types d'équations et d'inégalités exponentielles, ainsi que de diverses méthodes pour les résoudre. Découvrez la résolution d'autres types d'équations et d'inégalités dans la section « » des articles consacrés aux méthodes de résolution de problèmes C3 à partir de Options d'examen d'État unifié en mathématiques.
Avant de commencer à analyser spécifiquement équations exponentielles et inégalités, en tant que professeur de mathématiques, je vous suggère de rafraîchir certains supports théoriques dont nous aurons besoin.
Fonction exponentielle
Qu'est-ce qu'une fonction exponentielle ?
Fonction du formulaire oui = un x, Où un> 0 et un≠ 1 est appelé fonction exponentielle.
Basique propriétés de la fonction exponentielle oui = un x:
Graphique d'une fonction exponentielle
Le graphique de la fonction exponentielle est exposant:
Graphiques de fonctions exponentielles (exposants)
Résoudre des équations exponentielles
Indicatif sont appelées équations dans lesquelles la variable inconnue ne se trouve que dans les exposants de certaines puissances.
Pour résoudre équations exponentielles vous devez connaître et être capable d’utiliser le théorème simple suivant :
Théorème 1.Équation exponentielle un f(x) = un g(x) (Où un > 0, un≠ 1) est équivalent à l'équation f(x) = g(x).
De plus, il est utile de rappeler les formules et opérations de base avec degrés :
Title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com">!}
Exemple 1. Résolvez l'équation :
Solution: Nous utilisons les formules et substitutions ci-dessus :
L'équation devient alors :
Discriminant du reçu équation quadratique positif:
Title="(!LANG : Rendu par QuickLaTeX.com">!}
Cela signifie que équation donnée a deux racines. On les retrouve :
En passant à la substitution inverse, on obtient :
La deuxième équation n'a pas de racine, puisque la fonction exponentielle est strictement positive dans tout le domaine de définition. Résolvons le deuxième :
Compte tenu de ce qui a été dit dans le théorème 1, on passe à l'équation équivalente : x= 3. Ce sera la réponse à la tâche.
Répondre: x = 3.
Exemple 2. Résolvez l'équation :
Solution: L'équation n'a aucune restriction sur la plage de valeurs admissibles, puisque l'expression radicale a un sens pour n'importe quelle valeur x(fonction exponentielle oui = 9 4 -x positif et différent de zéro).
On résout l'équation par transformations équivalentes en utilisant les règles de multiplication et de division des puissances :
La dernière transition a été effectuée conformément au théorème 1.
Répondre:x= 6.
Exemple 3. Résolvez l'équation :
Solution: les deux côtés de l'équation originale peuvent être divisés par 0,2 x . Cette transition sera équivalent, puisque cette expression est supérieure à zéro pour toute valeur x(la fonction exponentielle est strictement positive dans son domaine de définition). L’équation prend alors la forme :
Répondre: x = 0.
Exemple 4. Résolvez l'équation :
Solution: nous simplifions l'équation à une équation élémentaire au moyen de transformations équivalentes en utilisant les règles de division et de multiplication des puissances données au début de l'article :
Diviser les deux côtés de l'équation par 4 x, comme dans l'exemple précédent, est une transformation équivalente, puisque cette expression n'est égale à zéro pour aucune valeur x.
Répondre: x = 0.
Exemple 5. Résolvez l'équation :
Solution: fonction oui = 3x, situé sur le côté gauche de l’équation, augmente. Fonction oui = —x Le -2/3 du côté droit de l’équation diminue. Cela signifie que si les graphiques de ces fonctions se croisent, alors au plus un point. DANS dans ce cas il n'est pas difficile de deviner que les graphiques se croisent au point x= -1. Il n'y aura pas d'autres racines.
Répondre: x = -1.
Exemple 6. Résolvez l'équation :
Solution: on simplifie l'équation au moyen de transformations équivalentes, en gardant partout à l'esprit que la fonction exponentielle est strictement supérieure à zéro pour toute valeur x et en utilisant les règles de calcul du produit et du quotient des puissances données en début d'article :
Répondre: x = 2.
Résoudre les inégalités exponentielles
Indicatif sont appelées inégalités dans lesquelles la variable inconnue n'est contenue que dans les exposants de certaines puissances.
Pour résoudre inégalités exponentielles la connaissance du théorème suivant est requise :
Théorème 2. Si un> 1, alors l'inégalité un f(x) > un g(x) équivaut à une inégalité de même sens : f(x) > g(x). Si 0< un < 1, то показательное неравенство un f(x) > un g(x) équivaut à une inégalité de sens opposé : f(x) < g(x).
Exemple 7. Résoudre l'inégalité :
Solution: Présentons l'inégalité originale sous la forme :
Divisons les deux côtés de cette inégalité par 3 2 x, dans ce cas (en raison de la positivité de la fonction oui= 3 2x) le signe de l'inégalité ne changera pas :
Utilisons la substitution :
L’inégalité prendra alors la forme :
Ainsi, la solution de l'inégalité est l'intervalle :
en passant à la substitution inverse, on obtient :
En raison de la positivité de la fonction exponentielle, l’inégalité de gauche est automatiquement satisfaite. En utilisant la propriété bien connue du logarithme, on passe à l'inégalité équivalente :
Puisque la base du degré est un nombre supérieur à un, l'équivalent (d'après le théorème 2) est le passage à l'inégalité suivante :
Nous obtenons donc enfin répondre:
Exemple 8. Résoudre l'inégalité :
Solution: En utilisant les propriétés de multiplication et de division des puissances, on réécrit l'inégalité sous la forme :
Introduisons une nouvelle variable :
Compte tenu de cette substitution, l’inégalité prend la forme :
En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par 7, on obtient l'inégalité équivalente suivante :
L’inégalité est donc satisfaite valeurs suivantes variable t:
Ensuite, en passant à la substitution inverse, on obtient :
Puisque la base du degré est ici supérieure à un, le passage à l'inégalité sera équivalent (d'après le théorème 2) :
Finalement on obtient répondre:
Exemple 9. Résoudre l'inégalité :
Solution:
Nous divisons les deux côtés de l'inégalité par l'expression :
Il est toujours supérieur à zéro (en raison de la positivité de la fonction exponentielle), il n'est donc pas nécessaire de changer le signe de l'inégalité. On obtient :
t situé dans l'intervalle :
En passant à la substitution inverse, nous constatons que l’inégalité initiale se divise en deux cas :
La première inégalité n’a pas de solution en raison de la positivité de la fonction exponentielle. Résolvons le deuxième :
Exemple 10. Résoudre l'inégalité :
Solution:
Branches de parabole oui = 2x+2-x 2 sont dirigés vers le bas, donc il est limité d'en haut par la valeur qu'il atteint à son sommet :
Branches de parabole oui = x 2 -2x Les +2 de l'indicateur sont dirigés vers le haut, ce qui signifie qu'il est limité par le bas par la valeur qu'il atteint à son sommet :
Dans le même temps, la fonction s'avère également délimitée par le bas oui = 3 x 2 -2x+2, qui se trouve du côté droit de l’équation. Elle atteint sa plus petite valeur au même point que la parabole de l'exposant, et cette valeur est 3 1 = 3. Ainsi, l'inégalité originale ne peut être vraie que si la fonction de gauche et la fonction de droite prennent la valeur , égal à 3 (l'intersection des plages de valeurs de ces fonctions n'est que ce nombre). Cette condition est satisfaite en un seul point x = 1.
Répondre: x= 1.
Pour apprendre à décider équations exponentielles et inégalités il est nécessaire de s'entraîner constamment à les résoudre. Diverses choses peuvent vous aider dans cette tâche difficile. manuels méthodologiques, cahiers de problèmes en mathématiques élémentaires, recueils de problèmes de compétition, cours de mathématiques à l'école, ainsi que cours individuels avec un tuteur professionnel. Je vous souhaite sincèrement du succès dans votre préparation et d'excellents résultats à l'examen.
Sergueï Valérievitch
P.S. Chers invités ! Veuillez ne pas écrire de demandes pour résoudre vos équations dans les commentaires. Malheureusement, je n'ai absolument pas le temps pour ça. Ces messages seront supprimés. Veuillez lire l'article. Peut-être y trouverez-vous des réponses à des questions qui ne vous ont pas permis de résoudre votre problème par vous-même.
Fonction exponentielle
Fonction de la forme y = a x , où a est supérieur à zéro et a n'est pas égal à un, on l'appelle une fonction exponentielle. Propriétés de base de la fonction exponentielle :
1. Le domaine de définition de la fonction exponentielle sera l’ensemble des nombres réels.
2. La plage de valeurs de la fonction exponentielle sera l'ensemble de tous les nombres réels positifs. Parfois, cet ensemble est noté R+ par souci de concision.
3. Si dans une fonction exponentielle la base a est supérieure à un, alors la fonction sera croissante sur tout le domaine de définition. Si dans la fonction exponentielle pour la base a la condition suivante est satisfaite 0
4. Toutes les propriétés fondamentales des diplômes seront valables. Les principales propriétés des diplômes sont représentées par les égalités suivantes :
un x *un oui = un (x+y) ;
(un x )/(un oui ) = un (x-y) ;
(un*b) x = (un x )*(un oui );
(a/b) x = un x /b x ;
(un x ) oui = un (x * y) .
Ces égalités seront valables pour toutes les valeurs réelles de x et y.
5. Le graphique d'une fonction exponentielle passe toujours par le point de coordonnées (0;1)
6. Selon que la fonction exponentielle augmente ou diminue, son graphique aura l'une des deux formes suivantes.
La figure suivante montre un graphique d'une fonction exponentielle croissante : a>0.
La figure suivante montre le graphique d'une fonction exponentielle décroissante : 0
Le graphique d'une fonction exponentielle croissante et le graphique d'une fonction exponentielle décroissante, selon la propriété décrite dans le cinquième paragraphe, passent par le point (0;1).
7. Une fonction exponentielle n'a pas de points extremum, c'est-à-dire qu'elle n'a pas de points minimum et maximum de la fonction. Si nous considérons une fonction sur un segment spécifique, alors la fonction prendra les valeurs minimales et maximales aux extrémités de cet intervalle.
8. La fonction n'est ni paire ni impaire. Une fonction exponentielle est une fonction vue générale. Cela se voit sur les graphiques : aucun d'entre eux n'est symétrique ni par rapport à l'axe Oy, ni par rapport à l'origine des coordonnées.
Logarithme
Les logarithmes ont toujours été considérés comme un sujet difficile dans cours scolaire mathématiques. Il existe de nombreuses définitions différentes du logarithme, mais pour une raison quelconque, la plupart des manuels utilisent les plus complexes et les plus infructueuses d'entre elles.
Nous définirons le logarithme simplement et clairement. Pour ce faire, créons un tableau :
Nous avons donc des puissances de deux. Si vous prenez le nombre de la ligne du bas, vous pouvez facilement trouver la puissance à laquelle vous devrez relancer deux pour obtenir ce nombre. Par exemple, pour obtenir 16, vous devez élever deux à la puissance quatrième. Et pour obtenir 64, il faut élever deux à la puissance sixième. Cela peut être vu sur le tableau.
Et maintenant - en fait, la définition du logarithme :
Définition
Logarithme pour baser un de l'argument x est la puissance à laquelle le nombre doit être élevé un pour obtenir le numéro X.
Désignation
log a x = b
où a est la base, x est l'argument, b - en fait, à quoi est égal le logarithme.
Par exemple, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (le logarithme en base 2 de 8 est trois car 2 3 = 8). Avec le même succès, log 2 64 = 6, puisque 2 6 = 64.
L'opération consistant à trouver le logarithme d'un nombre sur une base donnée s'appellelogarithme . Alors, ajoutons à notre tableau nouvelle ligne:
Malheureusement, tous les logarithmes ne se calculent pas aussi facilement. Par exemple, essayez de trouver le log 2 5. Le nombre 5 n'est pas dans le tableau, mais la logique veut que le logarithme se situe quelque part sur l'intervalle. Parce que 2 2< 5 < 2 3 , а чем plus de diplôme deux, plus le nombre est grand.
De tels nombres sont appelés irrationnels : les nombres après la virgule peuvent être écrits à l'infini et ils ne sont jamais répétés. Si le logarithme s'avère irrationnel, il vaut mieux le laisser ainsi : log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Il est important de comprendre qu’un logarithme est une expression à deux variables (la base et l’argument). Au début, beaucoup de gens confondent où se trouve la base et où se trouve l’argument. Pour éviter des malentendus gênants, il suffit de regarder l'image :
Nous n’avons devant nous rien d’autre que la définition d’un logarithme. N'oubliez pas : le logarithme est une puissance , dans lequel la base doit être construite pour obtenir un argument. C'est la base qui est élevée à une puissance - elle est surlignée en rouge sur la photo. Il s'avère que la base est toujours en bas ! J'enseigne cette merveilleuse règle à mes élèves dès la première leçon - et aucune confusion ne surgit.
Nous avons trouvé la définition - il ne reste plus qu'à apprendre à compter les logarithmes, c'est-à-dire débarrassez-vous du panneau « journal ». Pour commencer, notons que De la définition découlent deux choses faits importants:
L'argument et la base doivent toujours être supérieurs à zéro. Cela découle de la définition d'un degré par un exposant rationnel, à laquelle se réduit la définition d'un logarithme.
La base doit être différente de l'unité, puisque l'unité reste une à quelque degré que ce soit. De ce fait, la question « à quel pouvoir faut-il être élevé pour en obtenir deux » n’a pas de sens. Un tel diplôme n'existe pas !
De telles restrictions sont appelés plage de valeurs acceptables(ODZ). Il s’avère que l’ODZ du logarithme ressemble à ceci : log une x = b ⇒ x > 0, une > 0, une ≠ 1.
Veuillez noter que aucune restriction sur le nombre b (valeur logarithmique) ne se chevauchent pas. Par exemple, le logarithme peut très bien être négatif : log 2 0,5 = −1, car 0,5 = 2 −1.
Cependant, nous ne considérons maintenant que des expressions numériques, pour lesquelles il n'est pas nécessaire de connaître la VA du logarithme. Toutes les restrictions ont déjà été prises en compte par les auteurs des problèmes. Mais lorsque les équations logarithmiques et les inégalités entreront en jeu, les exigences DL deviendront obligatoires. Après tout, la base et l’argumentation peuvent contenir des constructions très fortes qui ne correspondent pas nécessairement aux restrictions ci-dessus.
Maintenant considérer le général schéma de calcul des logarithmes. Il se compose de trois étapes :
Fournir une raison a et argument x sous la forme d'une puissance avec la base minimale possible supérieure à un. En chemin, il vaut mieux se débarrasser des décimales ;
Résoudre par rapport à une variable b équation : x = a b ;
Le nombre résultant b sera la réponse.
C'est ça! Si le logarithme s’avère irrationnel, cela sera visible dès la première étape. L'exigence que la base soit supérieure à un est très importante : cela réduit le risque d'erreur et simplifie grandement les calculs. Pareil avec décimales: si vous les convertissez immédiatement en standards, il y aura beaucoup moins d'erreurs.
Voyons comment ce schéma fonctionne exemples spécifiques:
Calculez le logarithme : log 5 25
Imaginons la base et l'argument comme une puissance de cinq : 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
Créons et résolvons l'équation :
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;
Nous avons reçu la réponse : 2.
Calculez le logarithme :
Imaginons la base et l'argument comme une puissance de trois : 3 = 3 1 ; 1/81 = 81 −1 = (3 4) −1 = 3 −4 ;
Créons et résolvons l'équation :
Nous avons reçu la réponse : −4.
−4
Calculez le logarithme : log 4 64
Imaginons la base et l'argument comme une puissance de deux : 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Créons et résolvons l'équation :
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2 b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
Nous avons reçu la réponse : 3.
Calculez le logarithme : log 16 1
Imaginons la base et l'argument comme une puissance de deux : 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
Créons et résolvons l'équation :
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4 b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
Nous avons reçu la réponse : 0.
Calculez le logarithme : log 7 14
Imaginons la base et l'argument comme une puissance de sept : 7 = 7 1 ; 14 ne peut pas être représenté comme une puissance de sept, puisque 7 1< 14 < 7 2 ;
Il résulte du paragraphe précédent que le logarithme ne compte pas ;
La réponse est aucun changement : log 7 14.
journal 7 14
Une petite note sur le dernier exemple. Comment être sûr qu’un nombre n’est pas la puissance exacte d’un autre nombre ? C'est très simple : il suffit de le décomposer en facteurs premiers. Si l’expansion comporte au moins deux facteurs différents, le nombre n’est pas une puissance exacte.
Découvrez si les nombres sont des puissances exactes : 8 ; 48 ; 81 ; 35 ; 14.
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - degré exact, car il n'y a qu'un seul multiplicateur ;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - n'est pas une puissance exacte, puisqu'il y a deux facteurs : 3 et 2 ;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - degré exact ;
35 = 7 · 5 - encore une fois, ce n'est pas une puissance exacte ;
14 = 7 · 2 - encore une fois, ce n'est pas un degré exact ;
8, 81 - degré exact ; 48, 35, 14 - non.
Notons également que nous-mêmes nombres premiers sont toujours des degrés exacts d'eux-mêmes.
Logarithme décimal
Certains logarithmes sont si courants qu’ils portent un nom et un symbole spéciaux.
Définition
Logarithme décimalà partir de l'argument x est le logarithme en base 10, c'est-à-dire la puissance à laquelle il faut élever le nombre 10 pour obtenir le nombre X.
Désignation
LG X
Par exemple, log 10 = 1 ; journal 100 = 2 ; lg 1000 = 3 - etc.
Désormais, lorsqu'une phrase telle que « Find lg 0.01 » apparaît dans un manuel, sachez qu'il ne s'agit pas d'une faute de frappe. Il s'agit d'un logarithme décimal. Cependant, si vous n’êtes pas familier avec cette notation, vous pouvez toujours la réécrire :
journal x = journal 10 x
Tout ce qui est vrai pour les logarithmes ordinaires l’est également pour les logarithmes décimaux.
Logarithme népérien
Il existe un autre logarithme qui a sa propre désignation. À certains égards, c'est encore plus important que le nombre décimal. Nous parlons du logarithme népérien.
Définition
Logarithme népérienà partir de l'argument x est le logarithme de la base e , c'est-à-dire la puissance à laquelle un nombre doit être élevé e pour obtenir le numéro X.
Désignation
dans x
Beaucoup de gens se demanderont : quel est le nombre e ? C'est un nombre irrationnel, c'est valeur exacte impossible à trouver et à enregistrer. Je ne donnerai que les premiers chiffres :
e = 2,718281828459...
Nous n'entrerons pas dans les détails de ce qu'est ce numéro et pourquoi il est nécessaire. N'oubliez pas que e - base du logarithme népérien :
dans x = journal e x
Ainsi ln e = 1 ; ln e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - etc. En revanche, ln 2 est un nombre irrationnel. En général, le logarithme népérien de tout nombre rationnel est irrationnel. Sauf bien sûr un : ln 1 = 0.
Pour logarithmes naturels toutes les règles vraies pour les logarithmes ordinaires sont valables.
Propriétés de base des logarithmes
Les logarithmes, comme tous les nombres, peuvent être ajoutés, soustraits et transformés de toutes les manières possibles. Mais comme les logarithmes ne sont pas exactement des nombres ordinaires, ils ont leurs propres règles, appelées propriétés de base.
Vous devez absolument connaître ces règles - sans elles, aucun problème logarithmique grave ne peut être résolu. De plus, il y en a très peu - on peut tout apprendre en une journée. Alors commençons.
Additionner et soustraire des logarithmes
Considérons deux logarithmes de mêmes bases : log a x et enregistrez a y . Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :
enregistrer un x +journal un y =journal un ( x · oui );
enregistrer un x − journal un y =journal un ( x : oui ).
Donc, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est égale au logarithme du quotient. Attention : le point clé ici est le même motif. Si les raisons sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !
Ces formules vous aideront à calculer expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas comptées (voir leçon « "). Jetez un œil aux exemples et voyez :
Trouvez la valeur de l'expression : log 6 4 + log 6 9.
Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Trouvez la valeur de l'expression : log 2 48 − log 2 3.
Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48 : 3) = log 2 16 = 4.
Trouvez la valeur de l'expression : log 3 135 − log 3 5.
Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135 : 5) = log 3 27 = 3.
Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, des nombres tout à fait normaux sont obtenus. Beaucoup sont construits sur ce fait essais. Oui, des expressions de type test sont proposées très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) lors de l'examen d'État unifié.
Extraire l'exposant du logarithme
Maintenant, compliquons un peu la tâche. Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Alors l'exposant de ce degré peut être retiré du signe du logarithme selon les règles suivantes :
Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s’en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.
Bien sûr Toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est respecté : a > 0, a ≠ 1, x > 0. Et encore une chose : apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa, c'est-à-dire Vous pouvez saisir les nombres avant le signe du logarithme dans le logarithme lui-même. C'est ce qui est le plus souvent demandé.
Trouvez la valeur de l'expression : log 7 49 6 .
Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Trouvez le sens de l’expression :
Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Nous avons:
Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment nous travaillons uniquement avec le dénominateur. Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».
Examinons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur contiennent le même nombre : log 2 7. Puisque log 2 7 ≠ 0, on peut réduire la fraction - 2/4 resteront au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, le quatre peut être transféré au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat fut la réponse : 2.
Transition vers une nouvelle fondation
En parlant des règles d'addition et de soustraction de logarithmes, j'ai spécifiquement souligné qu'elles ne fonctionnent qu'avec les mêmes bases. Et si les raisons étaient différentes ? Et s’il ne s’agissait pas de puissances exactes du même nombre ?
Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :
Théorème
Laissez le journal du logarithme être donné un x . Alors pour n'importe quel nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :
En particulier, si l'on pose c = x, on obtient :
De la deuxième formule, il s'ensuit que la base et l'argument du logarithme peuvent être intervertis, mais dans ce cas, l'expression entière est « retournée », c'est-à-dire le logarithme apparaît au dénominateur.
Ces formules sont rarement trouvées dans les expressions numériques. Il n'est possible d'évaluer leur commodité qu'en décidant équations logarithmiques et les inégalités.
Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :
Trouvez la valeur de l'expression : log 5 16 log 2 25.
Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Supprimons les indicateurs : log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2 ; journal 2 25 = journal 2 5 2 = 2 journal 2 5 ;
Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :
Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.
Trouvez la valeur de l'expression : log 9 100 lg 3.
La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :
Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :
Identité logarithmique de base
Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :
Dans le premier cas, le numéro n devient un indicateur du degré de position dans l'argumentation. Nombre n peut être absolument n’importe quoi, car ce n’est qu’une valeur logarithmique.
La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. Voilà comment ça s'appelle :identité logarithmique de base.
En fait, que se passe-t-il si le nombre b est élevé à une puissance telle que le nombre b à cette puissance donne le nombre a ? C'est vrai : le résultat est le même nombre a. Relisez attentivement ce paragraphe – de nombreuses personnes restent bloquées dessus.
Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.
Tâche
Trouvez le sens de l’expression :
Solution
Notez que log 25 64 = log 5 8 - il suffit de prendre le carré de la base et l'argument du logarithme. Considérant les règles de multiplication des pouvoirs avec la même base, on obtient :
200
Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)
Unité logarithmique et zéro logarithmique
En conclusion, je donnerai deux identités qui peuvent difficilement être qualifiées de propriétés - elles sont plutôt des conséquences de la définition du logarithme. Ils apparaissent constamment dans les problèmes et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants « avancés ».
log a a = 1 est unité logarithmique. Rappelez-vous une fois pour toutes : logarithme sur n'importe quelle base un à partir de cette même base est égal à un.
log a 1 = 0 est zéro logarithmique. Baser un peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que un 0 = 1 est une conséquence directe de la définition.
C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique !
FONCTIONS EXPONENTAIRES ET LOGARITHMIQUES VIII
§ 179 Propriétés de base de la fonction exponentielle
Dans cette section, nous étudierons les propriétés de base de la fonction exponentielle
y = une x (1)
Rappelons-nous que sous UN dans la formule (1), nous entendons tout nombre positif fixe autre que 1.
Propriété 1. Le domaine d’une fonction exponentielle est l’ensemble de tous les nombres réels.
En fait, avec un positif UN expression UN x défini pour tout nombre réel X .
Propriété 2. La fonction exponentielle n'accepte que les valeurs positives.
En effet, si X > 0, alors, comme cela a été prouvé au § 176,
UN x > 0.
Si X <. 0, то
UN x =
Où - X déjà plus que zéro. C'est pourquoi UN - x > 0. Mais alors
UN x = > 0.
Enfin, quand X = 0
UN x = 1.
La 2ème propriété de la fonction exponentielle a une interprétation graphique simple. Cela réside dans le fait que le graphique de cette fonction (voir Fig. 246 et 247) est situé entièrement au-dessus de l'axe des abscisses.
Propriété 3. Si UN >1, alors quand X > 0 UN x > 1, et quand X < 0 UN x < 1. Si UN < 1, тoh, au contraire, quand X > 0 UN x < 1, et quand X < 0 UN x > 1.
Cette propriété de la fonction exponentielle permet également une interprétation géométrique simple. À UN > 1 (Fig. 246) courbes y = une x situé au-dessus de la ligne droite à = 1 à X > 0 et en dessous de la ligne droite à = 1 à X < 0.
Si UN < 1 (рис. 247), то, наоборот, кривые y = une x situé en dessous de la ligne droite à = 1 à X > 0 et au-dessus de cette droite à X < 0.
Donnons une preuve rigoureuse de la 3ème propriété. Laisser UN > 1 et X - un nombre positif arbitraire. Montrons que
UN x > 1.
Si le numéro X rationnel ( X = m / n ) , Que UN x = UN m/ n = n √un m .
Depuis UN > 1, alors UN m > 1, Mais la racine d'un nombre supérieur à un est évidemment aussi supérieure à 1.
Si X est irrationnel, alors il existe des nombres rationnels positifs X" Et X" , qui servent d'approximations décimales d'un nombre x :
X"< х < х" .
Mais alors, par définition d'un degré à exposant irrationnel
UN x" < UN x < UN x"" .
Comme indiqué ci-dessus, le nombre UN x" plus d'un. Donc le nombre UN x , supérieur à UN x" , doit également être supérieur à 1,
Nous avons donc montré que lorsque un >1 et arbitrairement positif X
UN x > 1.
Si le numéro X était négatif, alors nous aurions
UN x =
où est le numéro X serait déjà positif. C'est pourquoi UN - x > 1. Par conséquent,
UN x = < 1.
Ainsi, quand UN > 1 et négatif arbitraire x
UN x < 1.
Le cas où 0< UN < 1, легко сводится к уже рассмотренному случаю. Учащимся предлагается убедиться в этом самостоятельно.
Propriété 4. Si x = 0, alors indépendamment d'un UN x =1.
Cela découle de la définition du degré zéro ; la puissance zéro de tout nombre autre que zéro est égale à 1. Graphiquement, cette propriété s'exprime dans le fait que pour tout UN courbe à = UN x (voir Fig. 246 et 247) coupe l'axe à en un point d'ordonnée 1.
Propriété 5. À UN >1 fonction exponentielle = UN x est croissante de façon monotone, et pour un < 1 - décroissant de façon monotone.
Cette propriété permet également une interprétation géométrique simple.
À UN > 1 (Fig. 246) courbe à = UN x avec croissance X monte de plus en plus haut, et quand UN < 1 (рис. 247) - опускается все ниже и ниже.
Donnons une preuve rigoureuse de la 5ème propriété.
Laisser UN > 1 et X 2 > X 1. Montrons que
UN x 2 > UN x 1
Depuis X 2 > X 1 ., alors X 2 = X 1 + d , Où d - un nombre positif. C'est pourquoi
UN x 2 - UN x 1 = UN x 1 + d - UN x 1 = UN x 1 (UN d - 1)
Par la 2ème propriété de la fonction exponentielle UN x 1 > 0. Depuis d > 0, puis par la 3ème propriété de la fonction exponentielle UN d > 1. Les deux facteurs dans le produit UN x 1 (UN d - 1) sont positifs, donc ce produit lui-même est positif. Moyens, UN x 2 - UN x 1 > 0, ou UN x 2 > UN x 1, ce qui restait à prouver.
Alors, quand un > 1 fonction à = UN x est en augmentation monotone. De même, il est prouvé que lorsque UN < 1 функция à = UN x est décroissante de façon monotone.
Conséquence. Si deux puissances d’un même nombre positif autre que 1 sont égales, alors leurs exposants sont égaux.
Autrement dit, si
UN b = UN c (UN > 0 et UN =/= 1),
b = c .
En effet, si les chiffres b Et Avec n'étaient pas égaux, alors en raison de la monotonie de la fonction à = UN x le plus grand d'entre eux correspondrait à UN >1 de plus, et quand UN < 1 меньшее значение этой функции. Таким образом, было бы или UN b > UN c , ou UN b < UN c . Les deux contredisent la condition UN b = UN c . Reste à admettre que b = c .
Propriété 6. Si un > 1, puis avec une augmentation illimitée de l'argument X (X -> ∞ ) valeurs de fonction à = UN x grandit aussi indéfiniment (à -> ∞ ). Quand l'argument diminue sans limite X (X -> -∞ ) les valeurs de cette fonction tendent vers zéro tout en restant positives (à->0; à > 0).
Compte tenu de la monotonie de la fonction prouvée ci-dessus à = UN x , on peut dire que dans le cas considéré la fonction à = UN x augmente de façon monotone de 0 à ∞ .
Si 0 <UN < 1, puis avec une augmentation illimitée de l'argument x (x -> ∞), les valeurs de la fonction y = a x tendent vers zéro, tout en restant positives (à->0; à > 0). Quand l'argument x diminue sans limite (X -> -∞ ) les valeurs de cette fonction croissent de manière illimitée (à -> ∞ ).
En raison de la monotonie de la fonction y = un x on peut dire que dans ce cas la fonction à = UN x diminue de façon monotone à partir de ∞ à 0.
La 6ème propriété de la fonction exponentielle est clairement reflétée dans les figures 246 et 247. Nous ne la prouverons pas strictement.
Il suffit d'établir la plage de variation de la fonction exponentielle y = un x (UN > 0, UN =/= 1).
Nous avons prouvé ci-dessus que la fonction y = un x ne prend que des valeurs positives et augmente de manière monotone de 0 à ∞ (à UN > 1), ou diminue de façon monotone à partir de ∞ à 0 (à 0< UN <. 1). Однако остался невыясненным следующий вопрос: не претерпевает ли функция y = un x Y a-t-il des sauts lors du changement ? Est-ce que cela prend des valeurs positives ? Ce problème est résolu positivement. Si UN > 0 et UN =/= 1, alors quel que soit le nombre positif à 0 sera certainement trouvé X 0 , tel que
UN x 0 = à 0 .
(En raison de la monotonie de la fonction y = un x valeur spécifiée X 0 sera bien sûr le seul.)
Prouver ce fait dépasse la portée de notre programme. Son interprétation géométrique est celle pour toute valeur positive à 0 graphique de fonction y = un x va certainement couper avec une ligne droite à = à 0 et, de plus, en un seul point (Fig. 248).
De là, nous pouvons tirer la conclusion suivante, que nous formulons comme propriété 7.
Propriété 7. L'aire de changement de la fonction exponentielle y = a x (UN > 0, UN =/= 1)est l'ensemble de tous les nombres positifs.
Exercices
1368. Retrouver les domaines de définition des fonctions suivantes :
1369. Lequel de ces nombres est supérieur à 1 et lequel est inférieur à 1 :
1370. Sur la base de quelle propriété de la fonction exponentielle peut-on affirmer que
a) (5/7) 2,6 > (5/7) 2,5 ; b) (4 / 3) 1,3 > (4 / 3) 1,2
1371. Quel nombre est le plus grand :
UN) π - √3 ou (1/ π ) - √3 ; c) (2 / 3) 1 + √6 ou (2/3) √2 + √5 ;
b) ( π / 4) 1 + √3 ou ( π / 4) 2 ; d) (√3) √2 - √5 ou (√3) √3 - 2 ?
1372. Les inégalités sont-elles équivalentes :
1373. Que dire des nombres X Et à , Si un x = et toi , Où UN - un nombre positif donné ?
1374. 1) Est-ce possible parmi toutes les valeurs de la fonction à = 2x souligner:
2) Est-ce possible parmi toutes les valeurs de la fonction à = 2 | x| souligner:
a) la plus grande valeur ; b) la plus petite valeur ?