Soustraction de logarithmes avec les mêmes exemples de bases. Logarithme népérien, fonction ln x

13.10.2019

(du grec λόγος - « mot », « relation » et ἀριθμός - « nombre ») b basé sur un(log α b) s'appelle un tel nombre c, Et b= un c, c'est-à-dire enregistre le journal α b=c Et b = unc sont équivalents. Le logarithme a du sens si a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Autrement dit logarithme Nombres b basé sur UN formulé comme un exposant auquel un nombre doit être élevé un pour obtenir le numéro b(le logarithme n'existe que pour les nombres positifs).

De cette formulation il résulte que le calcul x= log α b, équivaut à résoudre l’équation a x = b.

Par exemple:

log 2 8 = 3 car 8 = 2 3 .

Soulignons que la formulation indiquée du logarithme permet de déterminer immédiatement valeur du logarithme, lorsque le nombre sous le signe du logarithme agit comme une puissance de la base. En effet, la formulation du logarithme permet de justifier que si b = un c, puis le logarithme du nombre b basé sur unéquivaut à Avec. Il est également clair que le thème des logarithmes est étroitement lié au thème puissances d'un nombre.

Le calcul du logarithme s'appelle logarithme. Le logarithme est l'opération mathématique consistant à prendre un logarithme. Lors de la prise de logarithmes, les produits de facteurs sont transformés en sommes de termes.

Potentialisation est l'opération mathématique inverse du logarithme. Lors de la potentialisation, une base donnée est élevée jusqu'au degré d'expression sur lequel la potentialisation est effectuée. Dans ce cas, les sommes de termes sont transformées en un produit de facteurs.

Assez souvent, les logarithmes réels sont utilisés avec les bases 2 (binaire), le nombre d'Euler e ≈ 2,718 (logarithme naturel) et 10 (décimal).

A ce stade, il convient de considérer échantillons de logarithme journal 7 2 , dans √ 5, lg0.0001.

Et les entrées lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 n'ont pas de sens, puisque dans la première d'entre elles un nombre négatif est placé sous le signe du logarithme, dans la seconde il y a un nombre négatif dans la base, et dans le troisième il y a un nombre négatif sous le signe du logarithme et l'unité à la base.

Conditions de détermination du logarithme.

Il convient de considérer séparément les conditions a > 0, a ≠ 1, b > 0.sous lesquelles on obtient définition du logarithme. Voyons pourquoi ces restrictions ont été prises. Une égalité de la forme x = log α nous y aidera b, appelée identité logarithmique de base, qui découle directement de la définition du logarithme donnée ci-dessus.

Prenons la condition une≠1. Puisque un à n’importe quelle puissance est égal à un, alors l’égalité x=log α b ne peut exister que lorsque b=1, mais le journal 1 1 sera n'importe quel nombre réel. Pour lever cette ambiguïté, nous prenons une≠1.

Montrons la nécessité de la condition une>0. À une=0 selon la formulation du logarithme, ne peut exister que lorsque b=0. Et en conséquence alors journal 0 0 peut être n'importe quel nombre réel non nul, puisque zéro à toute puissance non nulle est zéro. Cette ambiguïté peut être éliminée par la condition une≠0. Et quand un<0 il faudrait rejeter l'analyse des valeurs rationnelles et irrationnelles du logarithme, puisqu'un degré avec un exposant rationnel et irrationnel n'est défini que pour des bases non négatives. C'est pour cette raison que la condition est stipulée une>0.

Et la dernière condition b>0 découle de l’inégalité une>0, puisque x=log α b, et la valeur du diplôme avec une base positive un toujours positif.

Caractéristiques des logarithmes.

Logarithmes caractérisé par un caractère distinctif caractéristiques, ce qui a conduit à leur utilisation généralisée pour faciliter considérablement les calculs fastidieux. En passant « dans le monde des logarithmes », la multiplication se transforme en une addition beaucoup plus simple, la division se transforme en soustraction, et l'exponentiation et l'extraction de racine se transforment respectivement en multiplication et division par l'exposant.

Formulation de logarithmes et tableau de leurs valeurs (pour fonctions trigonométriques) a été publié pour la première fois en 1614 par le mathématicien écossais John Napier. Les tableaux logarithmiques, élargis et détaillés par d'autres scientifiques, ont été largement utilisés dans les calculs scientifiques et techniques et sont restés pertinents jusqu'à l'utilisation de calculatrices électroniques et d'ordinateurs.

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\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Expliquons-le plus simplement. Par exemple, \(\log_(2)(8)\) est égal à la puissance à laquelle \(2\) doit être élevé pour obtenir \(8\). De là, il est clair que \(\log_(2)(8)=3\).

Exemples:	\(\log_(5)(25)=2\)	parce que \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	parce que \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	parce que \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument et base du logarithme

Tout logarithme a l’« anatomie » suivante :

L'argument d'un logarithme est généralement écrit à son niveau, et la base est écrite en indice plus proche du signe du logarithme. Et cette entrée se lit comme ceci : « logarithme de vingt-cinq en base cinq ».

Comment calculer le logarithme ?

Pour calculer le logarithme, il faut répondre à la question : à quelle puissance faut-il élever la base pour obtenir l'argument ?

Par exemple, calculez le logarithme : a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) À quelle puissance faut-il élever \(4\) pour obtenir \(16\) ? Évidemment le deuxième. C'est pourquoi:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) À quelle puissance faut-il élever \(\sqrt(5)\) pour obtenir \(1\) ? Quel pouvoir fait d’un numéro un ? Zéro, bien sûr !

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) À quelle puissance faut-il élever \(\sqrt(7)\) pour obtenir \(\sqrt(7)\) ? Premièrement, tout nombre à la puissance première est égal à lui-même.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) À quelle puissance faut-il élever \(3\) pour obtenir \(\sqrt(3)\) ? D'après nous, c'est une puissance fractionnaire, ce qui signifie Racine carrée est la puissance de \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exemple : Calculer le logarithme \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Solution :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Nous devons trouver la valeur du logarithme, notons-le x. Utilisons maintenant la définition d'un logarithme : \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Qu'est-ce qui relie \(4\sqrt(2)\) et \(8\) ? Deux, car les deux nombres peuvent être représentés par deux : \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		A gauche on utilise les propriétés du degré : \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) et \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Les bases sont égales, on passe à l'égalité des indicateurs
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multipliez les deux côtés de l'équation par \(\frac(2)(5)\)
		La racine résultante est la valeur du logarithme

Répondre : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Pourquoi le logarithme a-t-il été inventé ?

Pour comprendre cela, résolvons l'équation : \(3^(x)=9\). Faites simplement correspondre \(x\) pour que l'égalité fonctionne. Bien sûr, \(x=2\).

Résolvez maintenant l’équation : \(3^(x)=8\). À quoi x est égal ? C'est le but.

Les plus malins diront : « X vaut un peu moins de deux ». Comment écrire exactement ce numéro ? Pour répondre à cette question, le logarithme a été inventé. Grâce à lui, la réponse ici peut s'écrire \(x=\log_(3)(8)\).

Je tiens à souligner que \(\log_(3)(8)\), comme tout logarithme n'est qu'un nombre. Oui, cela semble inhabituel, mais c'est court. Parce que si on voulait l'écrire sous la forme décimal, alors cela ressemblerait à ceci : \(1.892789260714.....\)

Exemple : Résolvez l'équation \(4^(5x-4)=10\)

Solution :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) et \(10\) ne peuvent pas être amenés à la même base. Cela signifie que vous ne pouvez pas vous passer d’un logarithme. Utilisons la définition du logarithme : \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Retournons l'équation pour que X soit à gauche
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Avant nous. Déplaçons \(4\) vers la droite. Et n’ayez pas peur du logarithme, traitez-le comme un nombre ordinaire.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Divisez l'équation par 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		C'est notre racine. Oui, cela semble inhabituel, mais ils ne choisissent pas la réponse.

Répondre : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logarithmes décimaux et naturels

Comme indiqué dans la définition d'un logarithme, sa base peut être n'importe quel nombre positif sauf un \((a>0, a\neq1)\). Et parmi toutes les bases possibles, il y en a deux qui apparaissent si souvent qu'une notation courte spéciale a été inventée pour les logarithmes avec elles :

Logarithme naturel : un logarithme dont la base est le nombre d'Euler \(e\) (égal à environ \(2,7182818…\)), et le logarithme s'écrit \(\ln(a)\).

C'est, \(\ln(a)\) est identique à \(\log_(e)(a)\)

Logarithme décimal : Un logarithme dont la base est 10 s'écrit \(\lg(a)\).

C'est, \(\lg(a)\) est identique à \(\log_(10)(a)\), où \(a\) est un nombre.

Identité logarithmique de base

Les logarithmes ont de nombreuses propriétés. L’une d’elles s’appelle « l’identité logarithmique de base » et ressemble à ceci :

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Cette propriété découle directement de la définition. Voyons exactement comment cette formule est née.

Rappelons une brève notation de la définition du logarithme :

si \(a^(b)=c\), alors \(\log_(a)(c)=b\)

Autrement dit, \(b\) est identique à \(\log_(a)(c)\). On peut alors écrire \(\log_(a)(c)\) au lieu de \(b\) dans la formule \(a^(b)=c\). Il s'est avéré que \(a^(\log_(a)(c))=c\) - l'identité logarithmique principale.

Vous pouvez trouver d’autres propriétés des logarithmes. Avec leur aide, vous pouvez simplifier et calculer les valeurs d'expressions avec des logarithmes, difficiles à calculer directement.

Exemple : Trouver la valeur de l'expression \(36^(\log_(6)(5))\)

Solution :

Répondre : \(25\)

Comment écrire un nombre sous forme de logarithme ?

Comme mentionné ci-dessus, tout logarithme n'est qu'un nombre. L’inverse est également vrai : n’importe quel nombre peut être écrit sous forme de logarithme. Par exemple, nous savons que \(\log_(2)(4)\) est égal à deux. Ensuite, vous pouvez écrire \(\log_(2)(4)\) au lieu de deux.

Mais \(\log_(3)(9)\) est également égal à \(2\), ce qui signifie qu'on peut aussi écrire \(2=\log_(3)(9)\) . De même avec \(\log_(5)(25)\), et avec \(\log_(9)(81)\), etc. Autrement dit, il s'avère

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Ainsi, si nous en avons besoin, nous pouvons écrire deux sous forme de logarithme avec n'importe quelle base n'importe où (que ce soit dans une équation, dans une expression ou dans une inégalité) - nous écrivons simplement la base au carré comme argument.

C'est la même chose avec le triple – il peut être écrit sous la forme \(\log_(2)(8)\), ou sous la forme \(\log_(3)(27)\), ou sous la forme \(\log_(4)( 64) \)... Ici, nous écrivons la base dans le cube comme argument :

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Et avec quatre :

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Et avec moins un :

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Et avec un tiers :

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Tout nombre \(a\) peut être représenté sous forme de logarithme de base \(b\) : \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exemple : Trouver le sens de l'expression \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Solution :

Répondre : \(1\)

propriétés principales.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

motifs identiques

Log6 4 + log6 9.

Maintenant, compliquons un peu la tâche.

Exemples de résolution de logarithmes

Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être soustrait du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Bien entendu, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est respectée : a > 0, a ≠ 1, x >

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Transition vers une nouvelle fondation

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Voir également:

Propriétés de base du logarithme

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L'exposant est 2,718281828…. Pour mémoriser l'exposant, vous pouvez étudier la règle : l'exposant est égal à 2,7 et deux fois l'année de naissance de Léon Nikolaïevitch Tolstoï.

Propriétés de base des logarithmes

Connaissant cette règle, vous saurez et valeur exacte exposants, et la date de naissance de Léon Tolstoï.

Exemples de logarithmes

Expressions logarithmiques

Exemple 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

En utilisant les propriétés 3.5, nous calculons

4. Où .

Exemple 2. Trouver x si

Exemple 3. Soit la valeur des logarithmes

Calculer log(x) si

Propriétés de base des logarithmes

Les logarithmes, comme tous les nombres, peuvent être ajoutés, soustraits et transformés de toutes les manières possibles. Mais comme les logarithmes ne sont pas exactement des nombres ordinaires, il existe ici des règles appelées propriétés principales.

Vous devez absolument connaître ces règles - sans elles, aucun problème logarithmique sérieux ne peut être résolu. De plus, il y en a très peu - on peut tout apprendre en une journée. Alors, commençons.

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : logax et logay. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

Ainsi, la somme des logarithmes est égale au logarithme du produit et la différence est égale au logarithme du quotient. Attention : le point clé ici est motifs identiques. Si les raisons sont différentes, ces règles ne fonctionnent pas !

Ces formules vous aideront à calculer expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas comptées (voir la leçon « Qu'est-ce qu'un logarithme »). Jetez un œil aux exemples et voyez :

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log2 48 − log2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log3 135 − log3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, des nombres tout à fait normaux sont obtenus. Beaucoup sont construits sur ce fait papiers de test. Oui, des expressions de type test sont proposées très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) lors de l'examen d'État unifié.

Extraire l'exposant du logarithme

Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s'en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Bien sûr, toutes ces règles ont du sens si l'ODZ du logarithme est observé : a > 0, a ≠ 1, x > 0. Et encore une chose : apprenez à appliquer toutes les formules non seulement de gauche à droite, mais aussi vice versa , c'est à dire. Vous pouvez saisir les nombres avant le signe du logarithme dans le logarithme lui-même. C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log7 496.

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 24 ; 49 = 72. On a :

Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment nous travaillons uniquement avec le dénominateur.

Formules de logarithme. Exemples de solutions de logarithmes.

Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Examinons maintenant la fraction principale. Le numérateur et le dénominateur contiennent le même nombre : log2 7. Puisque log2 7 ≠ 0, nous pouvons réduire la fraction - 2/4 resteront au dénominateur. Selon les règles de l'arithmétique, le quatre peut être transféré au numérateur, ce qui a été fait. Le résultat fut la réponse : 2.

Transition vers une nouvelle fondation

En parlant des règles d'addition et de soustraction de logarithmes, j'ai spécifiquement souligné qu'elles ne fonctionnent qu'avec les mêmes bases. Et si les raisons étaient différentes ? Et s’il ne s’agissait pas de puissances exactes du même nombre ?

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

De la deuxième formule, il s'ensuit que la base et l'argument du logarithme peuvent être intervertis, mais dans ce cas, l'expression entière est « retournée », c'est-à-dire le logarithme apparaît au dénominateur.

Ces formules sont rarement trouvées dans les expressions numériques. Il n'est possible d'évaluer leur commodité qu'en décidant équations logarithmiques et les inégalités.

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log5 16 log2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Supprimons les indicateurs : log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ; log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .

En fait, que se passe-t-il si le nombre b est élevé à une puissance telle que le nombre b à cette puissance donne le nombre a ? C'est vrai : le résultat est le même nombre a. Relisez attentivement ce paragraphe – de nombreuses personnes restent bloquées dessus.

Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Notez que log25 64 = log5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

En conclusion, je donnerai deux identités qui peuvent difficilement être qualifiées de propriétés - elles sont plutôt des conséquences de la définition du logarithme. Ils apparaissent constamment dans les problèmes et, étonnamment, créent des problèmes même pour les étudiants « avancés ».

logaa = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
loga 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que a0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

Voir également:

Le logarithme de b en base a désigne l'expression. Calculer le logarithme signifie trouver une puissance x () à laquelle l'égalité est satisfaite

Propriétés de base du logarithme

Il est nécessaire de connaître les propriétés ci-dessus, car presque tous les problèmes et exemples liés aux logarithmes sont résolus sur cette base. Le reste des propriétés exotiques peut être dérivé par des manipulations mathématiques avec ces formules

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Lorsque vous calculez la formule de la somme et de la différence des logarithmes (3.4), vous la rencontrez assez souvent. Le reste est quelque peu complexe, mais dans un certain nombre de tâches, ils sont indispensables pour simplifier des expressions complexes et calculer leurs valeurs.

Cas courants de logarithmes

Certains des logarithmes courants sont ceux dont la base est même dix, exponentielle ou deux.
Le logarithme en base dix est généralement appelé logarithme décimal et est simplement noté lg(x).

Il ressort clairement de l’enregistrement que les bases ne sont pas écrites dans l’enregistrement. Par exemple

Un algorithme naturel est un logarithme avec un exposant comme base (noté ln(x)).

L'exposant est 2,718281828…. Pour mémoriser l'exposant, vous pouvez étudier la règle : l'exposant est égal à 2,7 et deux fois l'année de naissance de Léon Nikolaïevitch Tolstoï. Connaissant cette règle, vous connaîtrez à la fois la valeur exacte de l'exposant et la date de naissance de Léon Tolstoï.

Et un autre logarithme important en base deux est noté

La dérivée du logarithme d'une fonction est égale à un divisé par la variable

Le logarithme intégral ou primitive est déterminé par la relation

Le matériel fourni vous suffit pour résoudre une large classe de problèmes liés aux logarithmes et aux logarithmes. Pour vous aider à comprendre le matériel, je vais donner juste quelques exemples courants de programme scolaire et les universités.

Exemples de logarithmes

Expressions logarithmiques

Exemple 1.
UN). x=10ac^2 (a>0,c>0).

En utilisant les propriétés 3.5, nous calculons

2.
Par la propriété de différence des logarithmes on a

3.
En utilisant les propriétés 3.5, nous trouvons

4. Où .

Une expression apparemment complexe est simplifiée pour être formée à l'aide d'un certain nombre de règles

Trouver des valeurs de logarithme

Exemple 2. Trouver x si

Solution. Pour le calcul, on applique aux derniers termes 5 et 13 les propriétés

Nous l'enregistrons et pleurons

Puisque les bases sont égales, on assimile les expressions

Logarithmes. Premier niveau.

Soit la valeur des logarithmes

Calculer log(x) si

Solution : Prenons un logarithme de la variable pour écrire le logarithme à travers la somme de ses termes

Ce n'est que le début de notre connaissance des logarithmes et de leurs propriétés. Entraînez-vous aux calculs, enrichissez vos compétences pratiques - vous aurez bientôt besoin des connaissances acquises pour résoudre des équations logarithmiques. Après avoir étudié les méthodes de base pour résoudre de telles équations, nous élargirons vos connaissances à un autre sujet tout aussi important : les inégalités logarithmiques...

Propriétés de base des logarithmes

Additionner et soustraire des logarithmes

Considérons deux logarithmes avec les mêmes bases : logax et logay. Ensuite, ils peuvent être ajoutés et soustraits, et :

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x : y).

Ces formules vous aideront à calculer une expression logarithmique même lorsque ses parties individuelles ne sont pas prises en compte (voir la leçon « Qu'est-ce qu'un logarithme »). Jetez un œil aux exemples et voyez :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log6 4 + log6 9.

Puisque les logarithmes ont les mêmes bases, nous utilisons la formule de somme :
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log2 48 − log2 3.

Les bases sont les mêmes, on utilise la formule de différence :
log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log3 135 − log3 5.

Là encore les bases sont les mêmes, on a donc :
log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

Comme vous pouvez le constater, les expressions originales sont constituées de « mauvais » logarithmes, qui ne sont pas calculés séparément. Mais après les transformations, des nombres tout à fait normaux sont obtenus. De nombreux tests sont basés sur ce fait. Oui, des expressions de type test sont proposées très sérieusement (parfois avec pratiquement aucun changement) lors de l'examen d'État unifié.

Extraire l'exposant du logarithme

Maintenant, compliquons un peu la tâche. Et si la base ou l’argument d’un logarithme était une puissance ? Ensuite, l'exposant de ce degré peut être soustrait du signe du logarithme selon les règles suivantes :

Il est facile de voir que la dernière règle suit les deux premières. Mais il vaut quand même mieux s'en souvenir - dans certains cas, cela réduira considérablement le nombre de calculs.

Comment résoudre des logarithmes

C'est ce qui est le plus souvent demandé.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log7 496.

Débarrassons-nous du degré dans l'argument en utilisant la première formule :
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Notez que le dénominateur contient un logarithme dont la base et l'argument sont des puissances exactes : 16 = 24 ; 49 = 72. On a :

Je pense que le dernier exemple nécessite quelques éclaircissements. Où sont passés les logarithmes ? Jusqu'au tout dernier moment, nous travaillons uniquement avec le dénominateur. Nous avons présenté la base et l'argument du logarithme sous forme de puissances et avons retiré les exposants - nous avons obtenu une fraction « à trois étages ».

Transition vers une nouvelle fondation

Les formules de transition vers une nouvelle fondation viennent à la rescousse. Formulons-les sous la forme d'un théorème :

Soit le logarithme logax. Alors pour tout nombre c tel que c > 0 et c ≠ 1, l'égalité est vraie :

En particulier, si on pose c = x, on obtient :

Ces formules se retrouvent rarement dans les expressions numériques ordinaires. Il est possible d'évaluer leur commodité uniquement lors de la résolution d'équations logarithmiques et d'inégalités.

Cependant, il existe des problèmes qui ne peuvent être résolus qu’en passant à une nouvelle fondation. Examinons-en quelques-uns :

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log5 16 log2 25.

Notez que les arguments des deux logarithmes contiennent des puissances exactes. Supprimons les indicateurs : log5 16 = log5 24 = 4log5 2 ; log2 25 = log2 52 = 2log2 5 ;

Maintenant, « inversons » le deuxième logarithme :

Étant donné que le produit ne change pas lors de la réorganisation des facteurs, nous avons calmement multiplié quatre par deux, puis nous sommes occupés des logarithmes.

Tâche. Trouvez la valeur de l'expression : log9 100 lg 3.

La base et l'argument du premier logarithme sont des puissances exactes. Écrivons cela et débarrassons-nous des indicateurs :

Débarrassons-nous maintenant du logarithme décimal en passant à une nouvelle base :

Identité logarithmique de base

Souvent, dans le processus de résolution, il est nécessaire de représenter un nombre sous forme de logarithme sur une base donnée. Dans ce cas, les formules suivantes nous aideront :

Dans le premier cas, le nombre n devient l’exposant de l’argument. Le nombre n peut être absolument n'importe quoi, car il s'agit simplement d'une valeur logarithmique.

La deuxième formule est en fait une définition paraphrasée. C'est comme ça que ça s'appelle : .

Comme les formules pour passer à une nouvelle base, l’identité logarithmique de base est parfois la seule solution possible.

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Notez que log25 64 = log5 8 - prend simplement le carré de la base et l'argument du logarithme. En tenant compte des règles de multiplication des puissances de même base, on obtient :

Si quelqu'un ne le sait pas, c'était une véritable tâche de l'examen d'État unifié :)

Unité logarithmique et zéro logarithmique

logaa = 1 est. Rappelez-vous une fois pour toutes : le logarithme de n’importe quelle base a de cette base elle-même est égal à un.
loga 1 = 0 est. La base a peut être n'importe quoi, mais si l'argument en contient un, le logarithme est égal à zéro ! Parce que a0 = 1 est une conséquence directe de la définition.

C'est toutes les propriétés. Assurez-vous de vous entraîner à les mettre en pratique ! Téléchargez l'aide-mémoire au début de la leçon, imprimez-la et résolvez les problèmes.

Les propriétés de base du logarithme népérien, du graphique, du domaine de définition, de l'ensemble de valeurs, des formules de base, de la dérivée, de l'intégrale, du développement en série de puissance et représentation de la fonction ln x à l'aide de nombres complexes.

Définition

Un algorithme naturel est la fonction y = dans x, l'inverse de l'exponentielle, x = e y, et est le logarithme à la base du nombre e : ln x = log e x.

Le logarithme népérien est largement utilisé en mathématiques car sa dérivée a la forme la plus simple : (lnx)′ = 1/x.

Basé définitions, la base du logarithme népérien est le nombre e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graphique de la fonction y = dans x.

Graphique du logarithme népérien (fonctions y = dans x) est obtenu à partir du graphe exponentiel image miroir par rapport à la droite y = x.

Le logarithme népérien est défini pour les valeurs positives de la variable x.

Il augmente de façon monotone dans son domaine de définition. 0 À x →

la limite du logarithme népérien est moins l'infini (-∞). Comme x → + ∞, la limite du logarithme népérien est plus l'infini (+ ∞). Pour x grand, le logarithme augmente assez lentement. N'importe lequel fonction de puissance

x a avec un exposant positif a croît plus vite que le logarithme.

Propriétés du logarithme népérien

Domaine de définition, ensemble de valeurs, extrema, augmentation, diminution

Le logarithme népérien est une fonction croissante de façon monotone, il n’a donc pas d’extrema. Les principales propriétés du logarithme népérien sont présentées dans le tableau.

valeurs ln x

ln 1 = 0

Formules de base pour les logarithmes naturels

Formules issues de la définition de la fonction inverse :

La propriété principale des logarithmes et ses conséquences

Formule de remplacement de base

Tout logarithme peut être exprimé en termes de logarithmes naturels en utilisant la formule de substitution de base :

Des preuves de ces formules sont présentées dans la section "Logarithme".

Fonction inverse

L'inverse du logarithme népérien est l'exposant.

Si donc

Si donc.

Dérivée ln x
.
Dérivée du logarithme népérien :
.
Dérivée du logarithme népérien du module x :
.
Formules dérivées > > >

Intégral

L'intégrale est calculée par intégration par parties :
.
Donc,

Expressions utilisant des nombres complexes

Considérons la fonction de la variable complexe z :
.
Exprimons la variable complexe z par module r et argumentation φ :
.
En utilisant les propriétés du logarithme, on a :
.
Ou
.
L'argument φ n'est pas défini de manière unique. Si tu mets
, où n est un nombre entier,
ce sera le même numéro pour différents n.

Par conséquent, le logarithme népérien, en fonction d’une variable complexe, n’est pas une fonction à valeur unique.

Extension de la série de puissance

Lorsque l’agrandissement a lieu :

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.