Le logarithme d'un nombre positif b en base a (a>0, a n'est pas égal à 1) est un nombre c tel que a c = b : log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Notez que le logarithme d'un nombre non positif n'est pas défini. De plus, la base du logarithme doit être un nombre positif qui n'est pas égal à 1. Par exemple, si on met -2 au carré, on obtient le nombre 4, mais cela ne veut pas dire que le logarithme à la base -2 de 4 est égal à 2.
Identité logarithmique de base
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Il est important que la portée de la définition des côtés droit et gauche de cette formule soit différente. Le côté gauche est défini uniquement pour b>0, a>0 et a ≠ 1. Le côté droit est défini pour tout b et ne dépend pas du tout de a. Ainsi, l’application de « l’identité » logarithmique de base lors de la résolution d’équations et d’inégalités peut conduire à une modification de la DO.
Deux conséquences évidentes de la définition du logarithme
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
En effet, en élevant le nombre a à la puissance premier, on obtient le même nombre, et en l'élevant à la puissance zéro, on obtient un.
Logarithme du produit et logarithme du quotient
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Je voudrais mettre en garde les écoliers contre l'application inconsidérée de ces formules lors de la résolution équations logarithmiques et les inégalités. Lorsqu'on les utilise « de gauche à droite », l'ODZ se rétrécit, et lorsqu'on passe de la somme ou de la différence des logarithmes au logarithme du produit ou du quotient, l'ODZ s'agrandit.
En effet, l'expression log a (f (x) g (x)) est définie dans deux cas : lorsque les deux fonctions sont strictement positives ou lorsque f(x) et g(x) sont tous deux inférieurs à zéro.
En transformant cette expression en somme log a f (x) + log a g (x), on est obligé de se limiter uniquement au cas où f(x)>0 et g(x)>0. Il y a un rétrécissement de la plage des valeurs acceptables, ce qui est catégoriquement inacceptable, car cela peut conduire à une perte de solutions. Un problème similaire existe pour la formule (6).
Le degré peut être retiré du signe du logarithme
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)Et encore une fois, je voudrais appeler à la prudence. Prenons l'exemple suivant :
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Le côté gauche de l’égalité est évidemment défini pour toutes les valeurs de f(x) sauf zéro. Le côté droit est uniquement pour f(x)>0 ! En retirant le degré du logarithme, nous réduisons à nouveau l'ODZ. La procédure inverse conduit à un élargissement de la plage des valeurs acceptables. Toutes ces remarques s’appliquent non seulement à la puissance 2, mais aussi à toute puissance paire.
Formule pour passer à une nouvelle fondation
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Ce cas rare où l'ODZ ne change pas pendant la transformation. Si vous avez judicieusement choisi la base c (positive et non égale à 1), la formule pour passer à une nouvelle base est totalement sûre.
Si l'on choisit le nombre b comme nouvelle base c, on obtient un cas particulier important de formule (8) :
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Quelques exemples simples avec des logarithmes
Exemple 1. Calculez : log2 + log50.
Solution. log2 + log50 = log100 = 2. Nous avons utilisé la formule de la somme des logarithmes (5) et la définition du logarithme décimal.
Exemple 2. Calculez : lg125/lg5.
Solution. log125/log5 = log 5 125 = 3. Nous avons utilisé la formule de déplacement vers une nouvelle base (8).
Tableau des formules liées aux logarithmes
| un journal a b = b (une > 0, une ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log une 1 = 0 (une > 0, une ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
274. Remarques.
UN) Si l'expression que vous souhaitez évaluer contient somme ou différence nombres, alors ils doivent être trouvés sans l'aide de tableaux par addition ou soustraction ordinaire. Par exemple:
log (35 +7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.
b) Sachant logarithmer des expressions, on peut, inversement, par ce résultat utiliser des logarithmes pour trouver l'expression à partir de laquelle ce résultat a été obtenu ; donc si
enregistrer X=journal un+journal b- 3 journaux Avec,
alors il est facile de comprendre que
V) Avant de passer à l'examen de la structure des tableaux logarithmiques, nous indiquerons quelques propriétés des logarithmes décimaux, c'est-à-dire ceux dans lesquels le nombre 10 est pris comme base (seuls ces logarithmes sont utilisés pour les calculs).
Chapitre deux.
Propriétés des logarithmes décimaux.
275 . UN) Puisque 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000, etc., alors log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4, et etc.
Moyens, Le logarithme d'un entier représenté par un et des zéros est un entier positif contenant autant de un qu'il y a de zéros dans la représentation du nombre.
Ainsi: journal 100 000 = 5, enregistrer 1000 000 = 6 , etc.
b) Parce que
journal 0,1 = -l ; journal 0,01 = - 2 ; journal 0,001 == -3 ; journal 0,0001 = - 4, etc.
Moyens, logarithme décimal, représenté par une unité précédée de zéros, est un entier négatif contenant autant d'unités négatives qu'il y a de zéros dans la représentation de la fraction, y compris 0 entiers.
Ainsi: journal 0,00001 = - 5, journal 0,000001 = -6, etc.
V) Prenons par exemple un entier qui n'est pas représenté par un et des zéros. 35, ou un nombre entier avec une fraction, par exemple. 10.7. Le logarithme d'un tel nombre ne peut pas être un nombre entier, puisqu'en élevant 10 à une puissance avec un exposant entier (positif ou négatif), on obtient 1 avec des zéros (après 1, ou le précédant). Supposons maintenant que le logarithme d'un tel nombre soit une fraction un / b . Nous aurions alors l'égalité
Mais ces égalités sont impossibles, car 10UN il y a des 1 avec des zéros, alors que les degrés 35b Et 10,7b par n'importe quelle mesure b ne peut pas donner 1 suivi de zéros. Cela signifie que nous ne pouvons pas permettre journal 35 Et journal 10.7étaient égaux à des fractions. Mais d'après les propriétés de la fonction logarithmique, nous savons () que tout nombre positif a un logarithme ; par conséquent, chacun des nombres 35 et 10,7 a son propre logarithme, et comme il ne peut être ni un nombre entier ni un nombre fractionnaire, c'est un nombre irrationnel et, par conséquent, ne peut être exprimé exactement au moyen de nombres. Les logarithmes irrationnels sont généralement exprimés approximativement sous forme de fraction décimale avec plusieurs décimales. Le nombre entier de cette fraction (même s’il s’agissait de « 0 entiers ») est appelé caractéristique, et la partie fractionnaire est la mantisse du logarithme. Si, par exemple, il existe un logarithme 1,5441 , alors sa caractéristique est égale 1 , et la mantisse est 0,5441 .
G) Prenons par exemple un nombre entier ou fractionnaire. 623 ou 623,57 . Le logarithme d'un tel nombre se compose d'une caractéristique et d'une mantisse. Il s'avère que les logarithmes décimaux ont l'avantage de nous pouvons toujours trouver leurs caractéristiques par un type de nombre . Pour ce faire, on compte combien de chiffres il y a dans un nombre entier donné, ou dans une partie entière nombre mixte, Dans nos exemples de ces nombres 3 . Donc chacun des nombres 623 Et 623,57 plus de 100 mais moins de 1 000 ; cela signifie que le logarithme de chacun d'eux est plus grand journal 100, c'est-à-dire plus 2 , mais moins journal 1000, c'est-à-dire moins 3 (rappelez-vous qu'un plus grand nombre a également un logarithme plus grand). Ainsi, journal 623 = 2,..., Et journal 623,57 = 2,... (les points remplacent les mantisses inconnues).
De la même manière, nous trouvons :
|
10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 journal 56,7 = 1,... |
1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 journal 8634 = 3,... |
Supposons qu'en général un nombre entier donné, ou une partie entière d'un nombre fractionnaire donné, contienne m Nombres Puisque le plus petit entier contenant m des chiffres, oui 1 Avec m - 1 des zéros à la fin, puis (indiquant ce nombre N) on peut écrire les inégalités :
et donc,
m - 1 < log N < m ,
journal N = ( m- 1) + fraction positive.
Donc la caractéristique logN = m - 1 .
On voit de cette façon que la caractéristique du logarithme d'un nombre entier ou fractionnaire contient autant d'unités positives qu'il y a de chiffres dans la partie entière du nombre moins un.
Ayant remarqué cela, nous pouvons écrire directement :
journal 7,205 = 0,... ; journal 83 = 1,... ; log 720,4 = 2,... et ainsi de suite.
d) Prenons plusieurs fractions décimales plus petites 1 (c'est-à-dire avoir 0 entier): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, et ainsi de suite.
Ainsi, chacun de ces logarithmes est contenu entre deux entiers négatifs qui diffèrent d'une unité ; donc chacun d’eux est égal au plus petit de ces nombres négatifs augmenté d’une fraction positive. Par exemple, log0,0056= -3 + fraction positive. Supposons que cette fraction soit 0,7482. Cela signifie alors :
log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).
Des montants tels que - 3 + 0,7482 , constitué d'un entier négatif et d'une fraction décimale positive, nous avons convenu d'écrire en abrégé comme suit dans les calculs logarithmiques : 3 ,7482 (Ce nombre s'écrit : 3 moins, 7482 dix millièmes.), c'est-à-dire qu'ils mettent un signe moins sur la caractéristique afin de montrer qu'elle concerne uniquement cette caractéristique, et non la mantisse, qui reste positive. Ainsi, d’après le tableau ci-dessus, il ressort clairement que
journal 0,35 == 1 ,....; log 0,07 = 2,.... ; journal 0,0008 = 4 ,....
Laissez du tout 
. il y a une fraction décimale dans laquelle avant le premier chiffre significatif α
frais m
des zéros, dont 0 entiers. Il est alors évident que
- m < log A < - (m- 1).
Depuis à partir de deux entiers : - m Et - (m- 1) il y a moins - m , Que
journal A = - m+ fraction positive,
et donc la caractéristique journal A = - m (avec une mantisse positive).
Ainsi, la caractéristique du logarithme d'une fraction décimale inférieure à 1 contient autant de uns négatifs qu'il y a de zéros dans l'image de la fraction décimale avant le premier chiffre significatif, y compris les entiers nuls ; La mantisse d'un tel logarithme est positive.
e) Multiplions un nombre N(entier ou fractionnaire - peu importe) par 10, par 100 par 1000..., en général par 1 avec des zéros. Voyons comment cela change journal N. Puisque le logarithme du produit égal à la somme logarithmes des facteurs, alors
log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1 ;
log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2 ;
log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3 ; etc.
Quand journal N on ajoute un entier, alors on peut toujours ajouter ce nombre à la caractéristique, et non à la mantisse.
Donc, si log N = 2,7804, alors 2,7804 + 1 = 3,7804 ; 2,7804 + 2 = 4,7801, etc. ;
ou si log N = 3,5649, alors 3,5649 + 1 = 2,5649 ; 3,5649 + 2 = 1,5649, etc.
Lorsqu'un nombre est multiplié par 10, 100, 1000,..., généralement par 1 avec des zéros, la mantisse du logarithme ne change pas, et la caractéristique augmente d'autant d'unités qu'il y a de zéros dans le facteur. .
De même, en tenant compte du fait que le logarithme du quotient est égal au logarithme du dividende sans le logarithme du diviseur, on obtient :
journal N/10 = journal N- journal 10 = journal N -1 ;
log N / 100 = log N- log 100 = log N -2 ;
log N / 1000 = log N- log 1000 = log N -3 ; et ainsi de suite.
Si l'on est d'accord, lors de la soustraction d'un entier d'un logarithme, de toujours soustraire cet entier de la caractéristique et de laisser la mantisse inchangée, alors on peut dire :
Diviser un nombre par 1 avec des zéros ne change pas la mantisse du logarithme, mais la caractéristique diminue d'autant d'unités qu'il y a de zéros dans le diviseur.
276. Conséquences. De la propriété ( e), on peut en déduire les deux corollaires suivants :
UN) La mantisse du logarithme d'un nombre décimal ne change pas lorsqu'elle est déplacée vers un point décimal , car déplacer une virgule décimale équivaut à multiplier ou diviser par 10, 100, 1000, etc. Ainsi, les logarithmes de nombres :
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
ne diffèrent que par leurs caractéristiques, mais pas par leurs mantisses (à condition que toutes les mantisses soient positives).
b) Les mantisses des nombres qui ont la même partie significative, mais ne diffèrent que par des zéros terminaux, sont les mêmes : Ainsi, les logarithmes des nombres : 23, 230, 2300, 23 000 ne diffèrent que par leurs caractéristiques.
Commentaire. D'après les propriétés indiquées des logarithmes décimaux, il est clair que nous pouvons trouver les caractéristiques du logarithme d'un nombre entier et d'une fraction décimale sans l'aide de tableaux (c'est la grande commodité des logarithmes décimaux) ; par conséquent, une seule mantisse est placée dans les tableaux logarithmiques ; de plus, puisque trouver des logarithmes de fractions se réduit à trouver des logarithmes d'entiers (logarithme d'une fraction = logarithme du numérateur sans le logarithme du dénominateur), les mantisses des logarithmes d'entiers uniquement sont placées dans les tableaux.
Chapitre trois.
Conception et utilisation de tableaux à quatre chiffres.
277. Systèmes de logarithmes. Un système de logarithmes est un ensemble de logarithmes calculés pour un nombre entier consécutif en utilisant la même base. Deux systèmes sont utilisés : le système des logarithmes ordinaires ou décimaux, dans lequel le nombre est pris comme base 10 , et un système de logarithmes naturels, dans lequel un nombre irrationnel est pris comme base (pour certaines raisons qui sont claires dans d'autres branches des mathématiques) 2,7182818 ... Pour les calculs, des logarithmes décimaux sont utilisés, en raison de la commodité que nous avons indiquée lorsque nous avons répertorié les propriétés de ces logarithmes.
Les logarithmes naturels sont également appelés Neperov, du nom de l'inventeur des logarithmes, un mathématicien écossais. Népera(1550-1617) et logarithmes décimaux - Briggs du nom du professeur Brigga(un contemporain et ami de Napier), qui fut le premier à dresser des tableaux de ces logarithmes.
278. Conversion d'un logarithme négatif en un logarithme dont la mantisse est positive, et transformation inverse. Nous avons vu que les logarithmes des nombres inférieurs à 1 sont négatifs. Cela signifie qu'ils sont constitués d'une caractéristique négative et d'une mantisse négative. De tels logarithmes peuvent toujours être transformés pour que leur mantisse soit positive, mais la caractéristique reste négative. Pour ce faire, il suffit d'ajouter un positif à la mantisse, et un négatif à la caractéristique (ce qui, bien entendu, ne change pas la valeur du logarithme).
Si, par exemple, nous avons un logarithme - 2,0873 , alors vous pouvez écrire :
- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,
ou en abrégé :
À l’inverse, tout logarithme ayant une caractéristique négative et une mantisse positive peut être transformé en un logarithme négatif. Pour ce faire, il suffit d'ajouter un négatif à la mantisse positive, et un positif à la caractéristique négative : ainsi, vous pouvez écrire :
279. Description des tableaux à quatre chiffres. Pour résoudre la plupart des problèmes pratiques, des tableaux à quatre chiffres suffisent amplement, dont la manipulation est très simple. Ces tableaux (avec l'inscription « logarithmes » en haut) sont placés à la fin de ce livre, et une petite partie d'entre eux (pour expliquer la disposition) est imprimée sur cette page. Ils contiennent des mantisses.
Logarithmes.
logarithmes de tous les entiers de 1 avant 9999 inclus, calculé à quatre décimales, le dernier de ces chiffres étant augmenté de 1 dans tous les cas où la 5ème décimale devrait être 5 ou supérieure à 5 ; par conséquent, les tableaux à 4 chiffres donnent des mantisses approximatives jusqu'à 1 / 2 dix millième partie (avec déficit ou excédent).
Puisque l'on peut caractériser directement le logarithme d'un entier ou d'une fraction décimale, à partir des propriétés des logarithmes décimaux, il faut prendre uniquement les mantisses des tableaux ; Dans le même temps, il faut se rappeler que la position du point décimal dans un nombre décimal, ainsi que le nombre de zéros à la fin du nombre, n'affectent pas la valeur de la mantisse. Par conséquent, lors de la recherche de la mantisse par numéro donné nous supprimons la virgule dans ce nombre, ainsi que les zéros à la fin de celui-ci, s'il y en a, et trouvons la mantisse de l'entier formé après cela. Les cas suivants peuvent se présenter.
1) Un entier est composé de 3 chiffres. Par exemple, disons que nous devons trouver la mantisse du logarithme du nombre 536. Les deux premiers chiffres de ce nombre, soit 53, se trouvent dans les tableaux de la première colonne verticale à gauche (voir tableau). Ayant trouvé le nombre 53, on s'en déplace le long d'une ligne horizontale vers la droite jusqu'à ce que cette ligne croise une colonne verticale passant par l'un des nombres 0, 1, 2, 3,... 9, placé en haut (et bas) du tableau, qui est le 3-ème chiffre d'un nombre donné, c'est-à-dire dans notre exemple, le nombre 6. A l'intersection on obtient la mantisse 7292 (soit 0,7292), qui appartient au logarithme du nombre 536. De même , pour le nombre 508 on trouve la mantisse 0,7059, pour le nombre 500 on trouve 0,6990, etc.
2) Un entier est composé de 2 ou 1 chiffres. Ensuite, nous attribuons mentalement un ou deux zéros à ce nombre et trouvons la mantisse du nombre à trois chiffres ainsi formé. Par exemple, nous ajoutons un zéro au nombre 51, à partir duquel nous obtenons 510 et trouvons la mantisse 7070 ; au chiffre 5 on attribue 2 zéros et on trouve la mantisse 6990, etc.
3) Un entier est exprimé sur 4 chiffres. Par exemple, il faut trouver la mantisse du log 5436. Puis on trouve d'abord dans les tableaux, comme vient de l'indiquer, la mantisse du nombre représenté par les 3 premiers chiffres de ce nombre, soit pour 543 (cette mantisse sera 7348) ; puis on passe de la mantisse trouvée le long de la ligne horizontale vers la droite (vers le côté droit du tableau, situé derrière la ligne verticale épaisse) jusqu'à ce qu'elle croise la colonne verticale passant par l'un des nombres : 1, 2 3,. .. 9, situé en haut (et en bas) de cette partie du tableau, qui représente le 4ème chiffre d'un nombre donné, soit, dans notre exemple, le nombre 6. A l'intersection on retrouve la correction (numéro 5), qu'il faut appliquer mentalement à la mantisse de 7348 pour obtenir la mantisse du nombre 5436 ; De cette façon, nous obtenons la mantisse 0,7353.
4) Un entier est exprimé avec 5 chiffres ou plus. Ensuite, nous supprimons tous les chiffres sauf les 4 premiers, prenons un nombre approximatif à quatre chiffres et augmentons le dernier chiffre de ce nombre de 1 dans ce nombre. cas où le 5ème chiffre rejeté du nombre est 5 ou supérieur à 5. Ainsi, au lieu de 57842 nous prenons 5784, au lieu de 30257 nous prenons 3026, au lieu de 583263 nous prenons 5833, etc. Pour ce nombre arrondi à quatre chiffres, on retrouve la mantisse comme on vient de l'expliquer.
Guidé par ces instructions, trouvons, par exemple, les logarithmes des nombres suivants :
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.
Tout d'abord, sans recourir aux tableaux pour l'instant, nous n'inscrirons que les caractéristiques, laissant place aux mantisses, que nous écrirons après :
log 36,5 = 1,.... log 0,00345 = 3,....
log 804,7 = 2,.... log 7,2634 = 0,....
log 0,26 = 1,.... log 3456,86 = 3,....
log 36,5 = 1,5623 ; log 0,00345 = 3,5378 ;
log 804,7 = 2,9057 ; log 7,2634 = 0,8611 ;
log 0,26 = 1,4150 ; journal 3456,86 = 3,5387.
280. Remarque. Dans certains tableaux à quatre chiffres (par exemple, dans les tableaux V. Lorchenko et N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) les corrections pour le 4ème chiffre de ce numéro ne sont pas placées. Lorsqu'on traite de tels tableaux, il faut trouver ces corrections à l'aide d'un calcul simple qui peut être effectué à partir de prochaine vérité: si les nombres dépassent 100 et que les différences entre eux sont inférieures à 1, alors sans erreur sensible, on peut supposer que les différences entre les logarithmes sont proportionnelles aux différences entre les nombres correspondants . Supposons, par exemple, qu'il faille trouver la mantisse correspondant au nombre 5367. Cette mantisse, bien entendu, est la même que pour le nombre 536,7. On retrouve dans les tableaux pour le nombre 536 la mantisse 7292. En comparant cette mantisse avec la mantisse 7300 adjacente à droite, correspondant au nombre 537, on remarque que si le nombre 536 augmente de 1, alors sa mantisse augmentera de 8 dix -millièmes (8 est ce qu'on appelle différence de tableau entre deux mantisses adjacentes) ; si le nombre 536 augmente de 0,7, alors sa mantisse n'augmentera pas de 8 dix millièmes, mais d'un nombre plus petit X dix millièmes, qui, selon la proportionnalité supposée, doivent satisfaire aux proportions :
X :8 = 0,7:1; où X = 8 07 = 5,6,
qui est arrondi à 6 dix millièmes. Cela signifie que la mantisse du nombre 536,7 (et donc du nombre 5367) sera : 7292 + 6 = 7298.
Notez que trouver un nombre intermédiaire à l'aide de deux nombres adjacents dans des tableaux s'appelle interpolation. L'interpolation décrite ici s'appelle proportionnel, puisqu'il repose sur l'hypothèse que la variation du logarithme est proportionnelle à la variation du nombre. On l'appelle aussi linéaire, car il suppose que graphiquement la variation d'une fonction logarithmique est exprimée par une ligne droite.
281. Limite d'erreur du logarithme approximatif. Si le nombre dont on recherche le logarithme est un nombre exact, alors la limite d'erreur de son logarithme trouvée dans les tableaux à 4 chiffres peut, comme nous l'avons dit dans, être prise 1 / 2 dix millième partie. Si ce nombre n’est pas exact, alors à cette limite d’erreur il faut aussi ajouter la limite d’une autre erreur résultant de l’inexactitude du nombre lui-même. Il a été prouvé (nous omettons cette preuve) qu'une telle limite peut être considérée comme le produit
un(d +1) dix millièmes.,
dans lequel UN est la marge d'erreur pour le nombre le plus imprécis, en supposant que sa partie entière contient 3 chiffres, un d différence tabulaire de mantisses correspondant à deux nombres consécutifs à trois chiffres entre lesquels se situe le nombre imprécis donné. Ainsi, la limite de l'erreur finale du logarithme sera alors exprimée par la formule :
1 / 2 + un(d +1) dix millièmes
Exemple. Rechercher le journal π , prenant pour π nombre approximatif 3.14, exact à 1 / 2 centième.
En déplaçant la virgule après le 3ème chiffre du nombre 3.14, en comptant à partir de la gauche, on obtient le nombre à trois chiffres 314, exactement à 1 / 2 unités; Cela signifie que la marge d'erreur pour un nombre inexact, c'est-à-dire ce que nous désignons par la lettre UN , il y a 1 / 2 A partir des tableaux, nous trouvons :
log 3,14 = 0,4969.
Différence de tableau d entre les mantisses des nombres 314 et 315 est égal à 14, donc l'erreur du logarithme trouvé sera moindre
1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 dix millièmes.
Puisque nous ne savons pas si le logarithme 0,4969 est déficient ou excessif, nous pouvons seulement garantir que le logarithme exact π se situe entre 0,4969 - 0,0008 et 0,4969 + 0,0008, soit 0,4961< log π < 0,4977.
282. Trouver un nombre en utilisant un logarithme donné. Pour trouver un nombre à l'aide d'un logarithme donné, les mêmes tables peuvent être utilisées pour trouver les mantisses de nombres donnés ; mais il est plus pratique d'utiliser d'autres tableaux contenant ce qu'on appelle les antilogarithmes, c'est-à-dire les nombres correspondant à ces mantisses. Ces tableaux, signalés par l'inscription en haut « antilogarithmes », sont placés à la fin de ce livre après les tableaux de logarithmes ; une petite partie d'entre eux est placée sur cette page (pour explication).
Supposons que l'on vous donne une mantisse à 4 chiffres 2863 (nous ne prêtons pas attention à la caractéristique) et que vous deviez trouver l'entier correspondant. Ensuite, disposant de tables d'antilogarithmes, il faut les utiliser exactement de la même manière qu'on l'a expliqué précédemment pour trouver la mantisse d'un nombre donné, à savoir : on retrouve les 2 premiers chiffres de la mantisse dans la première colonne de gauche. Ensuite, on se déplace de ces nombres le long de la ligne horizontale vers la droite jusqu'à ce qu'elle croise la colonne verticale provenant du 3ème chiffre de la mantisse, qu'il faut rechercher dans la ligne du haut (ou du bas). A l'intersection on trouve le nombre à quatre chiffres 1932, correspondant à la mantisse 286. Puis à partir de ce numéro on se déplace plus loin le long de la ligne horizontale vers la droite jusqu'à l'intersection avec la colonne verticale provenant du 4ème chiffre de la mantisse, qui doit se retrouve en haut (ou en bas) parmi les nombres 1, 2 qui y sont placés, 3,... 9. A l'intersection on trouve la correction 1, qu'il faut appliquer (dans l'esprit) au nombre 1032 trouvé plus tôt pour que pour obtenir le numéro correspondant à la mantisse 2863.
Ainsi, le numéro sera 1933. Après cela, en faisant attention à la caractéristique, vous devez mettre occupé à la bonne place dans le numéro 1933. Par exemple:
Si enregistrer X = 3,2863, alors X = 1933,
„ enregistrer X = 1,2863, „ X = 19,33,
, enregistrer X = 0,2&63, „ X = 1,933,
„ enregistrer X = 2 ,2863, „ X = 0,01933
Voici d'autres exemples :
enregistrer X = 0,2287, X = 1,693,
enregistrer X = 1 ,7635, X = 0,5801,
enregistrer X = 3,5029, X = 3184,
enregistrer X = 2 ,0436, X = 0,01106.
Si la mantisse contient 5 chiffres ou plus, alors nous prenons uniquement les 4 premiers chiffres, en supprimant le reste (et en augmentant le 4ème chiffre de 1 si le 5ème chiffre en a cinq ou plus). Par exemple, au lieu de la mantisse 35478 on prend 3548, au lieu de 47562 on prend 4756.
283. Remarque. La correction du 4ème chiffre et des chiffres suivants de la mantisse peut également être trouvée par interpolation. Ainsi, si la mantisse est 84357, alors, après avoir trouvé le nombre 6966, correspondant à la mantisse 843, nous pouvons raisonner en outre comme suit : si la mantisse augmente de 1 (millième), c'est-à-dire qu'elle fait 844, alors le nombre, comme comme le montre les tableaux, augmentera de 16 unités ; si la mantisse n'augmente pas de 1 (millième), mais de 0,57 (millième), alors le nombre augmentera de X unités, et X doit satisfaire aux proportions :
X : 16 = 0,57 : 1, d'où X = 16 0,57 = 9,12.
Cela signifie que le nombre requis sera 6966+ 9,12 = 6975,12 ou (limité à seulement quatre chiffres) 6975.
284. Limite d'erreur du numéro trouvé. Il a été prouvé que dans le cas où dans le nombre trouvé la virgule est après le 3ème chiffre en partant de la gauche, c'est-à-dire lorsque la caractéristique du logarithme est 2, la somme peut être considérée comme limite d'erreur
Où UN est la limite d'erreur du logarithme (exprimé en dix millièmes) par lequel le nombre a été trouvé, et d - la différence entre les mantisses de deux nombres consécutifs à trois chiffres entre lesquels se situe le numéro trouvé (avec une virgule après le 3ème chiffre en partant de la gauche). Lorsque la caractéristique n'est pas 2, mais une autre, alors dans le nombre trouvé, la virgule devra être déplacée vers la gauche ou vers la droite, c'est-à-dire diviser ou multiplier le nombre par une puissance de 10. Dans ce cas, l'erreur du résultat sera également divisé ou multiplié par la même puissance de 10.
Supposons, par exemple, que nous recherchions un nombre en utilisant le logarithme 1,5950 , dont on sait qu'il est précis à 3 dix millièmes près ; ça veut dire alors UN = 3 . Le nombre correspondant à ce logarithme, trouvé dans la table des antilogarithmes, est 39,36 . En déplaçant la virgule après le 3ème chiffre en partant de la gauche, nous avons le numéro 393,6 , composé entre 393 Et 394 . D'après les tables de logarithmes, nous voyons que la différence entre les mantisses correspondant à ces deux nombres est 11 dix millièmes ; Moyens d = 11 . L'erreur du nombre 393.6 sera moindre
Cela signifie que l'erreur dans le numéro 39,36 il y en aura moins 0,05 .
285. Opérations sur les logarithmes à caractéristiques négatives. L'addition et la soustraction de logarithmes ne présentent aucune difficulté, comme le montre exemples suivants:
Il n'y a également aucune difficulté à multiplier le logarithme par un nombre positif, par exemple :
Dans le dernier exemple, la mantisse positive est multipliée séparément par 34, puis caractéristique négativeà 34.
Si le logarithme d'une caractéristique négative et d'une mantisse positive est multiplié par un nombre négatif, alors procédez de deux manières : soit le logarithme donné devient d'abord négatif, soit la mantisse et la caractéristique sont multipliées séparément et les résultats sont combinés, par exemple :
3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;
3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.
Lors du partage, deux cas peuvent se présenter : 1) la caractéristique négative est divisée et 2) n'est pas divisible par un diviseur. Dans le premier cas, la caractéristique et la mantisse sont séparées séparément :
10 ,3784: 5 = 2 ,0757.
Dans le second cas, autant d'unités négatives sont ajoutées à la caractéristique pour que le nombre résultant soit divisé par le diviseur ; le même nombre d'unités positives est ajouté à la mantisse :
3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.
Cette transformation doit se faire dans l’esprit, donc l’action se déroule comme ceci :
286. Remplacement des logarithmes soustraits par des termes. Lors du calcul d'une expression complexe à l'aide de logarithmes, vous devez ajouter certains logarithmes et en soustraire d'autres ; dans ce cas, de la manière habituelle d'effectuer des actions, ils trouvent séparément la somme des logarithmes ajoutés, puis la somme des logarithmes soustraits, et soustraient le second de la première somme. Par exemple, si nous avons :
enregistrer X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,
alors l'exécution habituelle des actions ressemblera à ceci :
Cependant, il est possible de remplacer la soustraction par l’addition. Donc:
Vous pouvez maintenant organiser le calcul comme ceci :
287. Exemples de calculs.
Exemple 1. Évaluer l'expression :
Si A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127 Et D = 7,246.
Prenons un logarithme de cette expression :
enregistrer X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D
Maintenant, pour éviter une perte de temps inutile et réduire les risques d'erreurs, nous allons tout d'abord organiser tous les calculs sans les exécuter pour l'instant et, donc, sans nous référer aux tableaux :
Après cela, nous prenons les tableaux et mettons des logarithmes sur le reste places libres:
Limite d'erreur. Tout d'abord, trouvons la limite d'erreur du nombre X 1 = 194,5 , égal à:
Donc, avant tout, vous devez trouver UN , c'est-à-dire la limite d'erreur du logarithme approximatif, exprimée en dix millièmes. Supposons que ces chiffres A, B, C Et D tous sont exacts. Alors les erreurs dans les logarithmes individuels seront les suivantes (en dix millièmes) :
V logA.......... 1 / 2
V 1/3 bûche A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3
( 1 / 2 ajouté car lors de la division par 3 logarithmes de 1,9146, nous avons arrondi le quotient en supprimant son 5ème chiffre et avons donc commis une erreur encore plus petite 1 / 2 dix millième).
Nous trouvons maintenant la limite d'erreur du logarithme :
UN = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (dix millièmes).
Définissons plus en détail d . Parce que X 1 = 194,5 , puis 2 entiers consécutifs entre lesquels se situe X 1 volonté 194 Et 195 . Différence de tableau d entre les mantisses correspondant à ces nombres est égal à 22 . Cela signifie que la limite d'erreur du nombre est X 1 Il y a:
Parce que X = X 1 : 10, puis la limite d'erreur dans le nombre X équivaut à 0,3:10 = 0,03 . Ainsi, le nombre que nous avons trouvé 19,45 diffère du nombre exact de moins de 0,03 . Puisque nous ne savons pas si notre approximation s'est avérée avec un déficit ou avec un excès, nous ne pouvons que garantir que
19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , c'est à dire.
19,48 > X > 19,42 ,
et donc, si nous acceptons X =19,4 , alors nous aurons une approximation avec un désavantage avec une précision allant jusqu'à 0,1.
Exemple 2. Calculer:
X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .
Puisque les nombres négatifs n’ont pas de logarithme, on trouve d’abord :
X" = (2,31) 3 5 √72
par décomposition :
enregistrer X"= 3 log 2,31 + 1/5 log72.
Après calcul, il s'avère :
X" = 28,99 ;
ainsi,
X = - 28,99 .
Exemple 3. Calculer:
La logarithmisation continue ne peut pas être utilisée ici, puisque le signe de la racine est c u m m a. DANS cas similaires calculer la formule par parties.
On trouve d'abord N = 5 √8 , Alors N 1 = 4 √3 ; puis par simple addition on détermine N+ N 1 , et enfin on calcule 3 √N+ N 1 ; il s'avère:
N=1,514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .
enregistrer X= journal 3 √ 2,830 = 1 / 3 journal 2.830 = 0,1506 ;
X = 1,415 .
Chapitre quatre.
Équations exponentielles et logarithmiques.
288. Les équations exponentielles sont celles dans lesquelles l'inconnue est incluse dans l'exposant, et logarithmique- celles dans lesquelles l'inconnu entre sous le signe enregistrer. De telles équations ne peuvent être résolues que dans des cas particuliers, et il faut s'appuyer sur les propriétés des logarithmes et sur le principe selon lequel si les nombres sont égaux, alors leurs logarithmes sont égaux et, à l'inverse, si les logarithmes sont égaux, alors le correspondant les nombres sont égaux.
Exemple 1. Résous l'équation: 2 X = 1024 .
Logarithmonons les deux côtés de l'équation :
Exemple 2. Résous l'équation: un 2x - un X = 1 . En mettant un X = à , on a équation quadratique:
oui 2 - à - 1 = 0 ,
Parce que 1-√5 < 0 , alors la dernière équation est impossible (fonction un X il y a toujours un nombre positif), et le premier donne :
Exemple 3. Résous l'équation:
enregistrer( une + x) + journal ( b + x) = journal ( c + x) .
L'équation peut s'écrire ainsi :
enregistrer [( une + x) (b + x)] = journal ( c + x) .
De l'égalité des logarithmes nous concluons que les nombres sont égaux :
(une + x) (b + x) = c + x .
Il s’agit d’une équation quadratique dont la solution n’est pas difficile.
Chapitre cinq.
Intérêts composés, paiements à terme et paiements à terme.
289. Problème fondamental des intérêts composés. A combien va se transformer le capital ? UN roubles, donnés en croissance à R. intérêts composés, après t années ( t - entier) ?
On dit que le capital est payé avec des intérêts composés si l'on prend en compte ce que l'on appelle les « intérêts sur les intérêts », c'est-à-dire si l'argent des intérêts dus sur le capital est ajouté au capital à la fin de chaque année afin d'augmenter avec intérêts les années suivantes.
Chaque rouble de capital distribué R. %, apportera des bénéfices d'ici un an p / 100 rouble, et, par conséquent, chaque rouble de capital en 1 an se transformera en 1 + p / 100 rouble (par exemple, si le capital est donné à 5 %, alors chaque rouble en un an se transformera en 1 + 5 / 100 , c'est-à-dire dans 1,05 rouble).
Par souci de concision, désignant la fraction p / 100 avec une lettre, par exemple, r , on peut dire que chaque rouble de capital en un an se transformera en 1 + r roubles; ainsi, UN les roubles seront restitués dans 1 an à UN (1 + r ) frotter. Après un an supplémentaire, c'est-à-dire 2 ans après le début de la croissance, chaque rouble de ces UN (1 + r ) frotter. je recontacterai 1 + r frotter.; Cela signifie que tout le capital se transformera en UN (1 + r ) 2 frotter. De la même manière, nous constatons qu'au bout de trois ans, le capital sera UN (1 + r ) 3 , dans quatre ans ce sera UN (1 + r ) 4 ,... généralement par t années si t est un entier, il deviendra UN (1 + r ) t frotter. Ainsi, désignant par UN capital final, nous aurons la formule d’intérêts composés suivante :
UN = UN (1 + r ) t Où r = p / 100 .
Exemple. Laisser un =2 300 roubles, p = 4, t=20 années; alors la formule donne :
r = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2 300 (1,04) 20.
Calculer UN, nous utilisons des logarithmes :
enregistrer un = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.
A = 5031 rouble.
Commentaire. Dans cet exemple, nous avons dû journal 1.04 multiplier par 20 . Depuis le numéro 0,0170 il y a une valeur approximative journal 1.04 jusqu'à 1 / 2 dix millième partie, puis le produit de ce nombre par 20 ce ne sera certainement que jusqu'à 1 / 2 20, soit jusqu'à 10 dix millièmes = 1 millième. Donc au total 3,7017 Nous ne pouvons pas garantir non seulement le nombre de dix millièmes, mais aussi le nombre de millièmes. Afin d'obtenir une plus grande précision dans de tels cas, il est préférable que le nombre 1 + r prendre des logarithmes non pas à 4 chiffres, mais avec un grand nombre des chiffres, par ex. 7 chiffres. A cet effet, nous présentons ici un petit tableau dans lequel sont écrits des logarithmes à 7 chiffres pour les valeurs les plus courantes. R. .
290. La tâche principale concerne les paiements urgents. Quelqu'un a pris UN roubles par R. % avec la condition de rembourser la dette, majorée des intérêts dus, en t années, en payant le même montant à la fin de chaque année. Quel devrait être ce montant ?
Somme X , payé annuellement dans de telles conditions, est appelé paiement urgent. Désignons à nouveau par la lettre r l'argent des intérêts annuels à partir de 1 rub., c'est-à-dire le nombre p / 100 . Puis, à la fin de la première année, la dette UN augmente à UN (1 + r ), paiement de base X ça coûtera des roubles UN (1 + r )-X .
À la fin de la deuxième année, chaque rouble de ce montant redeviendra 1 + r roubles, et donc la dette sera [ UN (1 + r )-X ](1 + r ) = UN (1 + r ) 2 - X (1 + r ), et pour le paiement X les roubles seront : UN (1 + r ) 2 - X (1 + r ) - X . De la même manière, nous veillerons à ce qu'à la fin de la 3ème année la dette soit
UN (1 + r ) 3 - X (1 + r ) 2 - X (1 + r ) - X ,
et en général et la fin t année ce sera :
UN (1 + r ) t - X (1 + r ) t-1 - X (1 + r ) t-2 ... - X (1 + r ) - X , ou
UN (1 + r ) t - X [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t-2 + (1 + r ) t-1 ]
Le polynôme entre parenthèses représente la somme des termes d'une progression géométrique ; qui a le premier membre 1 , dernier ( 1 + r ) t-1, et le dénominateur ( 1 + r ). En utilisant la formule de la somme des termes d'une progression géométrique (Section 10 Chapitre 3 § 249) on trouve :
et le montant de la dette après t -le paiement sera :
Selon les conditions du problème, la dette est à terme t -ème année doit être égale à 0 ; C'est pourquoi:
où
Lors du calcul de cela formules de paiement urgent en utilisant des logarithmes, nous devons d'abord trouver le nombre auxiliaire N = (1 + r ) t par logarithme : journal N= t journal(1+ r) ; avoir trouvé N, soustrayez-en 1, nous obtenons alors le dénominateur de la formule pour X, après quoi on trouve par logarithme secondaire :
enregistrer X=journal un+ log N + log r - log (N - 1).
291. La tâche principale des cotisations à terme. Quelqu’un dépose le même montant à la banque au début de chaque année. UN frotter. Déterminer quel capital sera constitué à partir de ces apports après t ans si la banque paie R. intérêts composés.
Désigné par r argent d'intérêt annuel à partir de 1 rouble, c'est-à-dire p / 100 , on raisonne ainsi : à la fin de la première année, le capital sera UN (1 + r );
au début de la 2ème année s'ajoutera à ce montant UN roubles; cela signifie qu'à ce moment-là, le capital sera UN (1 + r ) + un . A la fin de la 2ème année, il sera UN (1 + r ) 2 + un (1 + r );
au début de la 3ème année il est réinscrit UN roubles; cela signifie qu'à ce moment il y aura du capital UN (1 + r ) 2 + un (1 + r ) + UN ; à la fin du 3, il sera UN (1 + r ) 3 + un (1 + r ) 2 + un (1 + r ) En poursuivant ces arguments, nous constatons qu'à la fin t année le capital requis UN volonté:
Il s'agit de la formule pour les cotisations à terme versées au début de chaque année.
La même formule peut être obtenue par le raisonnement suivant : acompte à UN roubles à la banque t années, se transformera, selon la formule des intérêts composés, en UN (1 + r ) t frotter. Le deuxième versement étant en banque pendant un an de moins, c'est-à-dire t - 1 ans, contactez UN (1 + r ) t-1 frotter. De même, le troisième versement donnera UN (1 + r ) t-2 etc., et enfin le dernier versement, étant en banque depuis seulement 1 an, ira à UN (1 + r ) frotter. Cela signifie le capital final UN frotter. volonté:
UN= UN (1 + r ) t + UN (1 + r ) t-1 + UN (1 + r ) t-2 + . . . + UN (1 + r ),
ce qui, après simplification, donne la formule trouvée ci-dessus.
Lors du calcul à l'aide des logarithmes de cette formule, vous devez procéder de la même manière que lors du calcul de la formule des paiements urgents, c'est-à-dire trouver d'abord le nombre N = ( 1 + r ) t par son logarithme : journal N= t enregistrer(1 + r ), puis le numéro N-1 puis prenons un logarithme de la formule :
journal A = journal un+journal(1+ r) + journal (N - 1) - 1оgr
Commentaire. Si une contribution urgente à UN frotter. n'a pas été effectué au début, mais à la fin de chaque année (comme, par exemple, un paiement urgent est effectué X pour rembourser la dette), puis, en raisonnant de manière similaire au précédent, on constate qu'à la fin t année le capital requis UN" frotter. sera (y compris le dernier versement UN frotter., ne portant pas intérêt) :
UN"= UN (1 + r ) t-1 + UN (1 + r ) t-2 + . . . + UN (1 + r ) + UN
qui est égal à :
c'est à dire. UN" se termine dans ( 1 + r ) fois moins UN, ce à quoi il fallait s'attendre, puisque chaque rouble de capital UN" reste en banque pendant un an de moins que le rouble correspondant du capital UN.
Instructions
Écrivez l'expression logarithmique donnée. Si l'expression utilise le logarithme de 10, alors sa notation est raccourcie et ressemble à ceci : lg b est le logarithme décimal. Si le logarithme a le nombre e comme base, alors écrivez l'expression : ln b – un algorithme naturel. Il est entendu que le résultat de any est la puissance à laquelle le nombre de base doit être élevé pour obtenir le nombre b.
Pour trouver la somme de deux fonctions, il suffit de les différencier une à une et d'additionner les résultats : (u+v)" = u"+v";
Pour trouver la dérivée du produit de deux fonctions, il faut multiplier la dérivée de la première fonction par la seconde et ajouter la dérivée de la deuxième fonction multipliée par la première fonction : (u*v)" = u"*v +v"*u;
Pour trouver la dérivée du quotient de deux fonctions, il faut soustraire du produit de la dérivée du dividende multiplié par la fonction diviseur le produit de la dérivée du diviseur multiplié par la fonction du dividende, et diviser tout cela par la fonction diviseur au carré. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2 ;
Si donné fonction complexe, alors il faut multiplier la dérivée de la fonction interne et la dérivée de la fonction externe. Soit y=u(v(x)), alors y"(x)=y"(u)*v"(x).
En utilisant les résultats obtenus ci-dessus, vous pouvez différencier presque toutes les fonctions. Voyons donc quelques exemples :
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3 ;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Il existe également des problèmes liés au calcul de la dérivée en un point. Soit la fonction y=e^(x^2+6x+5), vous devez trouver la valeur de la fonction au point x=1.
1) Trouvez la dérivée de la fonction : y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Calculer la valeur de la fonction dans point donné y"(1)=8*e^0=8
Vidéo sur le sujet
Apprenez le tableau des dérivées élémentaires. Cela permettra de gagner beaucoup de temps.
Sources:
- dérivée d'une constante
Alors, quelle est la différence entre une équation irrationnelle et une équation rationnelle ? Si la variable inconnue est sous le signe racine carrée, alors l’équation est considérée comme irrationnelle.
Instructions
La principale méthode pour résoudre de telles équations est la méthode de construction des deux côtés équations dans un carré. Cependant. c'est naturel, la première chose à faire est de vous débarrasser du panneau. Cette méthode n’est pas techniquement difficile, mais elle peut parfois entraîner des problèmes. Par exemple, l'équation est v(2x-5)=v(4x-7). En mettant les deux côtés au carré, vous obtenez 2x-5=4x-7. Résoudre une telle équation n’est pas difficile ; x=1. Mais le numéro 1 ne sera pas donné équations. Pourquoi? Remplacez-en un dans l'équation au lieu de la valeur de x et les côtés droit et gauche contiendront des expressions qui n'ont pas de sens, bien sûr. Cette valeur n'est pas valide pour une racine carrée. Donc 1 est une racine étrangère, et donc équation donnée n'a pas de racines.
Ainsi, une équation irrationnelle est résolue en utilisant la méthode de la quadrature de ses deux côtés. Et après avoir résolu l'équation, il est nécessaire de couper les racines superflues. Pour ce faire, remplacez les racines trouvées dans l'équation d'origine.
Considérez-en un autre.
2х+vх-3=0
Bien entendu, cette équation peut être résolue en utilisant la même équation que la précédente. Déplacer les composés équations, qui n’ont pas de racine carrée, vers la droite, puis utilisez la méthode de la mise au carré. résoudre l’équation rationnelle et les racines résultantes. Mais aussi un autre, plus élégant. Entrez une nouvelle variable ; vх=y. En conséquence, vous recevrez une équation de la forme 2y2+y-3=0. C'est-à-dire une équation quadratique ordinaire. Retrouver ses racines ; y1=1 et y2=-3/2. Ensuite, résolvez deux équations vx=1 ; vх=-3/2. La deuxième équation n’a pas de racines ; à partir de la première, nous trouvons que x=1. N'oubliez pas de vérifier les racines.
Résoudre les identités est assez simple. Pour ce faire, il faut effectuer des transformations identiques jusqu'à ce que l'objectif soit atteint. Ainsi, à l'aide d'opérations arithmétiques simples, le problème posé sera résolu.
Tu auras besoin de
- - papier;
- - stylo.
Instructions
Les plus simples de ces transformations sont les multiplications algébriques abrégées (telles que le carré de la somme (différence), la différence des carrés, la somme (différence), le cube de la somme (différence)). En outre, il existe de nombreux et formules trigonométriques, qui sont essentiellement les mêmes identités.
En effet, le carré de la somme de deux termes est égal au carré du premier plus deux fois le produit du premier par le second et plus le carré du second, soit (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Simplifiez les deux
Principes généraux de la solution
Répétez à partir d'un manuel d'analyse mathématique ou de mathématiques supérieures ce qu'est une intégrale définie. Comme on le sait, la solution Intégrale définie il existe une fonction dont la dérivée donne un intégral. Cette fonction est appelée une primitive. Sur la base de ce principe, les principales intégrales sont construites.Déterminer par la forme de l'intégrande laquelle des intégrales de table correspond dans ce cas. Il n'est pas toujours possible de le déterminer immédiatement. Souvent, la forme tabulaire ne devient perceptible qu'après plusieurs transformations visant à simplifier l'intégrande.
Méthode de remplacement variable
Si la fonction intégrale est fonction trigonométrique, dont l'argument contient un polynôme, essayez ensuite d'utiliser la méthode de remplacement de variable. Pour ce faire, remplacez le polynôme dans l'argument de l'intégrande par une nouvelle variable. Sur la base de la relation entre les nouvelles et anciennes variables, déterminer les nouvelles limites de l'intégration. En différenciant cette expression, trouvez la nouvelle différentielle dans . Vous obtiendrez donc le nouveau genre de l’intégrale précédente, proche ou même correspondant à n’importe quelle intégrale tabulaire.Résolution d'intégrales du deuxième type
Si l'intégrale est une intégrale du deuxième type, une forme vectorielle de l'intégrande, vous devrez alors utiliser les règles pour le passage de ces intégrales aux intégrales scalaires. L’une de ces règles est la relation Ostrogradsky-Gauss. Cette loi permet de passer du flux rotorique d'une certaine fonction vectorielle à l'intégrale triple sur la divergence d'un champ vectoriel donné.Substitution des limites d'intégration
Après avoir trouvé la primitive, il faut substituer les limites d'intégration. Tout d’abord, remplacez la valeur de la limite supérieure dans l’expression de la primitive. Vous obtiendrez un numéro. Ensuite, soustrayez du nombre obtenu un autre nombre obtenu à partir de la limite inférieure dans la primitive. Si l'une des limites de l'intégration est l'infini, alors en la substituant dans la fonction primitive, il faut aller à la limite et trouver vers quoi tend l'expression.Si l'intégrale est bidimensionnelle ou tridimensionnelle, vous devrez alors tracer géométriquement les limites de l'intégration pour comprendre comment évaluer l'intégrale. En effet, dans le cas, par exemple, d'une intégrale tridimensionnelle, les limites de l'intégration peuvent être des plans entiers qui limitent le volume à intégrer.
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Expressions logarithmiques, résolution d'exemples. Dans cet article, nous examinerons les problèmes liés à la résolution de logarithmes. Les tâches posent la question de trouver le sens d'une expression. Il convient de noter que le concept de logarithme est utilisé dans de nombreuses tâches et qu’il est extrêmement important d’en comprendre la signification. Quant à l'examen d'État unifié, le logarithme est utilisé lors de la résolution d'équations, dans des problèmes appliqués, ainsi que dans des tâches liées à l'étude des fonctions.
Donnons des exemples pour comprendre le sens même du logarithme :
Identité logarithmique de base :
Propriétés des logarithmes qu'il faut toujours retenir :
*Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs.
* * *
*Le logarithme d'un quotient (fraction) est égal à la différence entre les logarithmes des facteurs.
* * *
*Le logarithme d'un exposant est égal au produit de l'exposant par le logarithme de sa base.
* * *
*Transition vers une nouvelle fondation
* * *
Plus de propriétés :
* * *
Le calcul des logarithmes est étroitement lié à l'utilisation des propriétés des exposants.
Citons-en quelques-uns :
L'essence de cette propriété est que lorsque le numérateur est transféré au dénominateur et vice versa, le signe de l'exposant change à l'opposé. Par exemple:
Un corollaire de cette propriété :
* * *
Lorsqu'on élève une puissance à une puissance, la base reste la même, mais les exposants sont multipliés.
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Comme vous l’avez vu, le concept de logarithme en lui-même est simple. L'essentiel est que vous ayez besoin d'une bonne pratique, qui vous confère une certaine compétence. Bien entendu, la connaissance des formules est requise. Si les compétences nécessaires à la conversion de logarithmes élémentaires n'ont pas été développées, vous pouvez facilement commettre une erreur lors de la résolution de tâches simples.
Entraînez-vous, résolvez d'abord les exemples les plus simples du cours de mathématiques, puis passez aux exemples plus complexes. À l'avenir, je montrerai certainement comment les logarithmes « moches » sont résolus ; ceux-ci n'apparaîtront pas à l'examen d'État unifié, mais ils sont intéressants, ne les manquez pas !
C'est tout! Bonne chance à toi!
Cordialement, Alexandre Krutitskikh
P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.