Instructions
Notez le donné expression logarithmique. Si l'expression utilise le logarithme de 10, alors sa notation est raccourcie et ressemble à ceci : lg b est le logarithme décimal. Si le logarithme a le nombre e comme base, alors écrivez l'expression : ln b – un algorithme naturel. Il est entendu que le résultat de any est la puissance à laquelle le nombre de base doit être élevé pour obtenir le nombre b.
Pour trouver la somme de deux fonctions, il suffit de les différencier une à une et d'additionner les résultats : (u+v)" = u"+v";
Pour trouver la dérivée du produit de deux fonctions, il faut multiplier la dérivée de la première fonction par la seconde et ajouter la dérivée de la deuxième fonction multipliée par la première fonction : (u*v)" = u"*v +v"*u;
Pour trouver la dérivée du quotient de deux fonctions, il faut soustraire du produit de la dérivée du dividende multiplié par la fonction diviseur le produit de la dérivée du diviseur multiplié par la fonction du dividende, et diviser tout cela par la fonction diviseur au carré. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2 ;
Si donné fonction complexe, alors il faut multiplier la dérivée de la fonction interne et la dérivée de la fonction externe. Soit y=u(v(x)), alors y"(x)=y"(u)*v"(x).
En utilisant les résultats obtenus ci-dessus, vous pouvez différencier presque toutes les fonctions. Alors regardons quelques exemples :
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3 ;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Il existe également des problèmes liés au calcul de la dérivée en un point. Soit la fonction y=e^(x^2+6x+5), vous devez trouver la valeur de la fonction au point x=1.
1) Trouvez la dérivée de la fonction : y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Calculer la valeur de la fonction dans point donné y"(1)=8*e^0=8
Vidéo sur le sujet
Apprenez le tableau des dérivées élémentaires. Cela permettra de gagner beaucoup de temps.
Sources:
- dérivée d'une constante
Alors, quelle est la différence entre une équation irrationnelle et une équation rationnelle ? Si la variable inconnue est sous le signe racine carrée, alors l’équation est considérée comme irrationnelle.
Instructions
La principale méthode pour résoudre de telles équations est la méthode de construction des deux côtés équations dans un carré. Cependant. c'est naturel, la première chose à faire est de vous débarrasser du panneau. Cette méthode n’est pas techniquement difficile, mais elle peut parfois entraîner des problèmes. Par exemple, l'équation est v(2x-5)=v(4x-7). En mettant les deux côtés au carré, vous obtenez 2x-5=4x-7. Résoudre une telle équation n’est pas difficile ; x=1. Mais le numéro 1 ne sera pas donné équations. Pourquoi? Remplacez-en un dans l'équation au lieu de la valeur de x et les côtés droit et gauche contiendront des expressions qui n'ont pas de sens, bien sûr. Cette valeur n'est pas valide pour une racine carrée. Par conséquent, 1 est une racine étrangère et cette équation n’a donc pas de racine.
Ainsi, une équation irrationnelle est résolue en utilisant la méthode de la quadrature de ses deux côtés. Et après avoir résolu l'équation, il est nécessaire de couper les racines superflues. Pour ce faire, remplacez les racines trouvées dans l'équation d'origine.
Considérez-en un autre.
2х+vх-3=0
Bien entendu, cette équation peut être résolue en utilisant la même équation que la précédente. Déplacer les composés équations, qui n’ont pas de racine carrée, vers la droite, puis utilisez la méthode de la mise au carré. résoudre l’équation rationnelle et les racines résultantes. Mais aussi un autre, plus élégant. Entrez une nouvelle variable ; vх=y. En conséquence, vous recevrez une équation de la forme 2y2+y-3=0. C'est-à-dire l'habituel équation quadratique. Retrouver ses racines ; y1=1 et y2=-3/2. Ensuite, résolvez deux équations vx=1 ; vх=-3/2. La deuxième équation n’a pas de racines ; à partir de la première, nous trouvons que x=1. N'oubliez pas de vérifier les racines.
Résoudre les identités est assez simple. Pour ce faire, il faut effectuer des transformations identiques jusqu'à ce que l'objectif fixé soit atteint. Ainsi, à l'aide d'opérations arithmétiques simples, le problème posé sera résolu.
Tu auras besoin de
- - papier;
- - stylo.
Instructions
Les plus simples de ces transformations sont les multiplications algébriques abrégées (telles que le carré de la somme (différence), la différence des carrés, la somme (différence), le cube de la somme (différence)). En outre, il existe de nombreux et formules trigonométriques, qui sont essentiellement les mêmes identités.
En effet, le carré de la somme de deux termes est égal au carré du premier plus deux fois le produit du premier par le second et plus le carré du second, soit (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Simplifiez les deux
Principes généraux de la solution
Répétez à partir d'un manuel d'analyse mathématique ou de mathématiques supérieures ce qu'est une intégrale définie. Comme on le sait, la solution Intégrale définie il existe une fonction dont la dérivée donne un intégral. Cette fonction est appelée une primitive. Sur la base de ce principe, les intégrales de base sont construites.Déterminer par la forme de l'intégrande laquelle des intégrales de table correspond dans ce cas. Il n'est pas toujours possible de le déterminer immédiatement. Souvent, la forme tabulaire ne devient perceptible qu'après plusieurs transformations visant à simplifier l'intégrande.
Méthode de remplacement variable
Si la fonction intégrale est fonction trigonométrique, dont l'argument contient un polynôme, essayez ensuite d'utiliser la méthode de remplacement de variable. Pour ce faire, remplacez le polynôme dans l'argument de l'intégrande par une nouvelle variable. Sur la base de la relation entre les nouvelles et anciennes variables, déterminer les nouvelles limites de l'intégration. En différenciant cette expression, trouvez la nouvelle différentielle dans . Vous obtiendrez donc le nouveau genre de l’intégrale précédente, proche ou même correspondant à n’importe quelle intégrale tabulaire.Résolution d'intégrales du deuxième type
Si l'intégrale est une intégrale du deuxième type, une forme vectorielle de l'intégrande, vous devrez alors utiliser les règles pour le passage de ces intégrales aux intégrales scalaires. L’une de ces règles est la relation Ostrogradsky-Gauss. Cette loi permet de passer du flux rotorique d'une certaine fonction vectorielle à l'intégrale triple sur la divergence d'un champ vectoriel donné.Substitution des limites d'intégration
Après avoir trouvé la primitive, il faut substituer les limites d'intégration. Tout d’abord, remplacez la valeur de la limite supérieure dans l’expression de la primitive. Vous obtiendrez un numéro. Ensuite, soustrayez du nombre obtenu un autre nombre obtenu à partir de la limite inférieure dans la primitive. Si l'une des limites de l'intégration est l'infini, alors en la substituant dans la fonction primitive, il faut aller à la limite et trouver vers quoi tend l'expression.Si l'intégrale est bidimensionnelle ou tridimensionnelle, vous devrez alors représenter géométriquement les limites de l'intégration pour comprendre comment évaluer l'intégrale. En effet, dans le cas, par exemple, d'une intégrale tridimensionnelle, les limites de l'intégration peuvent être des plans entiers qui limitent le volume à intégrer.
Aujourd'hui, nous allons apprendre à résoudre les équations logarithmiques les plus simples, pour lesquelles aucune transformation préalable ni sélection de racines n'est requise. Mais si vous apprenez à résoudre de telles équations, ce sera beaucoup plus facile.
L'équation logarithmique la plus simple est une équation de la forme log a f (x) = b, où a, b sont des nombres (a > 0, a ≠ 1), f (x) est une certaine fonction.
Une caractéristique distinctive de toutes les équations logarithmiques est la présence de la variable x sous le signe du logarithme. Si telle est l’équation initialement donnée dans le problème, elle est dite la plus simple. Toutes les autres équations logarithmiques sont réduites au plus simple par des transformations spéciales (voir « Propriétés de base des logarithmes »). Cependant, de nombreuses subtilités doivent être prises en compte : des racines supplémentaires peuvent apparaître, c'est pourquoi les équations logarithmiques complexes seront considérées séparément.
Comment résoudre de telles équations ? Il suffit de remplacer le nombre à droite du signe égal par un logarithme dans la même base qu'à gauche. Ensuite, vous pouvez vous débarrasser du signe du logarithme. On a:
log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b
Nous avons l'équation habituelle. Ses racines sont les racines de l’équation originale.
Sortir des diplômes
Souvent, les équations logarithmiques, qui semblent complexes et menaçantes, sont résolues littéralement en quelques lignes sans impliquer formules complexes. Aujourd'hui, nous examinerons précisément de tels problèmes, où tout ce qui vous est demandé est de réduire soigneusement la formule à la forme canonique et de ne pas vous tromper lors de la recherche du domaine de définition des logarithmes.
Aujourd'hui, comme vous l'avez probablement deviné d'après le titre, nous allons résoudre des équations logarithmiques à l'aide de formules pour la transition vers la forme canonique. Le principal « truc » de cette leçon vidéo sera de travailler avec des diplômes, ou plutôt de déduire le diplôme à partir de la base et de l'argumentation. Regardons la règle :
De même, vous pouvez déduire le diplôme de la base :
Comme nous pouvons le voir, si lorsque nous supprimons le degré de l'argument du logarithme, nous avons simplement un facteur supplémentaire devant, alors lorsque nous supprimons le degré de la base, nous obtenons non seulement un multiplicateur, mais un facteur inversé. Il faut s'en souvenir.
Enfin, le plus intéressant. Ces formules peuvent être combinées, on obtient alors :
Bien entendu, lors de ces transitions, il existe certains écueils liés à un éventuel élargissement du champ de définition ou, à l'inverse, au rétrécissement du champ de définition. Jugez par vous-même :
journal 3 x 2 = 2 ∙ journal 3 x
Si dans le premier cas x peut être n'importe quel nombre autre que 0, c'est-à-dire l'exigence x ≠ 0, alors dans le second cas nous nous contentons uniquement de x, qui non seulement ne sont pas égaux, mais sont strictement supérieurs à 0, car le domaine de La définition du logarithme est que l'argument soit strictement supérieur à 0. Par conséquent, je vais vous rappeler une merveilleuse formule du cours d'algèbre de 8e à 9e années :
Autrement dit, nous devons écrire notre formule comme suit :
journal 3 x 2 = 2 ∙ journal 3 |x |
Il n’y aura alors aucune réduction du champ de la définition.
Cependant, dans le didacticiel vidéo d'aujourd'hui, il n'y aura pas de carrés. Si vous regardez nos tâches, vous n’en verrez que les racines. Par conséquent, nous n'appliquerons pas cette règle, mais vous devez quand même la garder à l'esprit pour qu'au bon moment, lorsque vous voyez fonction quadratique dans un argument ou une base de logarithme, vous vous souviendrez de cette règle et effectuerez correctement toutes les transformations.
La première équation est donc :
Pour résoudre ce problème, je propose d'examiner attentivement chacun des termes présents dans la formule.
Réécrivons le premier terme comme une puissance avec un exposant rationnel :
Nous regardons le deuxième terme : log 3 (1 − x). Il n’y a rien à faire ici, tout est déjà transformé ici.
Enfin, 0, 5. Comme je l'ai dit dans les leçons précédentes, lors de la résolution d'équations et de formules logarithmiques, je recommande fortement de passer des fractions décimales aux fractions ordinaires. Faisons cela:
0,5 = 5/10 = 1/2
Réécrivons notre formule originale en tenant compte des termes résultants :
journal 3 (1 − x ) = 1
Passons maintenant à la forme canonique :
journal 3 (1 − x ) = journal 3 3
On se débarrasse du signe du logarithme en égalisant les arguments :
1 - X = 3
−x = 2
x = −2
Ça y est, nous avons résolu l'équation. Cependant, jouons toujours la sécurité et trouvons le domaine de définition. Pour ce faire, revenons à la formule originale et voyons :
1 − X > 0
−x > −1
X< 1
Notre racine x = −2 satisfait à cette exigence, donc x = −2 est une solution de l'équation d'origine. Nous avons désormais reçu une justification stricte et claire. Voilà, problème résolu.
Passons à la deuxième tâche :
Examinons chaque terme séparément.
Écrivons le premier :
Nous avons transformé le premier terme. On travaille avec le deuxième terme :
Enfin, le dernier terme, qui se trouve à droite du signe égal :
Nous substituons les expressions résultantes aux termes dans la formule résultante :
journal 3 x = 1
Passons à la forme canonique :
journal 3 x = journal 3 3
On se débarrasse du signe du logarithme, en égalisant les arguments, et on obtient :
x = 3
Encore une fois, par mesure de sécurité, revenons à l’équation originale et jetons un coup d’œil. Dans la formule originale, la variable x n'est présente que dans l'argument, donc
x > 0
Dans le deuxième logarithme, x est sous la racine, mais encore une fois dans l'argument, la racine doit donc être supérieure à 0, c'est-à-dire que l'expression radicale doit être supérieure à 0. Nous regardons notre racine x = 3. Évidemment, elle satisfait à cette exigence. Par conséquent, x = 3 est une solution de l’équation logarithmique originale. Voilà, problème résolu.
Il y a deux points clés dans le didacticiel vidéo d'aujourd'hui :
1) n'ayez pas peur de transformer des logarithmes et, en particulier, n'ayez pas peur de retirer des puissances du signe du logarithme, tout en vous rappelant notre formule de base : lorsqu'on supprime une puissance d'un argument, elle est simplement retirée sans modifications comme multiplicateur, et lors de la suppression d'un pouvoir de la base, ce pouvoir est inversé.
2) le deuxième point est lié à la forme canonique elle-même. Nous avons fait le passage à la forme canonique à la toute fin de la transformation de la formule de l'équation logarithmique. Je vous rappelle la formule suivante :
a = journal b b a
Bien entendu, par l'expression « n'importe quel nombre b », j'entends les nombres qui satisfont aux exigences imposées sur la base du logarithme, c'est-à-dire
1 ≠ b > 0
Pour un tel b, et puisque nous connaissons déjà la base, cette condition sera automatiquement remplie. Mais pour un tel b - tout ce qui satisfait cette exigence — cette transition cela peut être fait et nous réussirons Forme canonique, dans lequel vous pouvez vous débarrasser du signe du logarithme.
Élargir le domaine de la définition et des racines supplémentaires
Lors du processus de transformation d'équations logarithmiques, une expansion implicite du domaine de définition peut se produire. Souvent, les étudiants ne le remarquent même pas, ce qui entraîne des erreurs et des réponses incorrectes.
Commençons par les conceptions les plus simples. L'équation logarithmique la plus simple est la suivante :
log une f (x) = b
Notez que x n'est présent que dans un seul argument d'un logarithme. Comment résoudre de telles équations ? Nous utilisons la forme canonique. Pour ce faire, imaginez le nombre b = log a a b, et notre équation sera réécrite comme suit :
log a f (x) = log a a b
Cette entrée est appelée la forme canonique. C’est à cela que vous devez réduire toute équation logarithmique que vous rencontrerez non seulement dans la leçon d’aujourd’hui, mais également dans tout travail indépendant et test.
Comment arriver à la forme canonique et quelles techniques utiliser est une question de pratique. La principale chose à comprendre est que dès que vous recevez un tel enregistrement, vous pouvez considérer le problème comme résolu. Parce que la prochaine étape consiste à écrire :
f (x) = un b
En d’autres termes, nous nous débarrassons du signe du logarithme et assimilons simplement les arguments.
Pourquoi tout ce discours ? Le fait est que la forme canonique est applicable non seulement aux problèmes les plus simples, mais aussi à tous les autres. En particulier, ceux que nous déciderons aujourd'hui. Jetons un coup d'oeil.
Première tâche :
Quel est le problème avec cette équation ? Le fait est que la fonction est en deux logarithmes à la fois. Le problème peut être réduit à sa plus simple expression en soustrayant simplement un logarithme à un autre. Mais des problèmes surviennent avec la zone de définition : des racines supplémentaires peuvent apparaître. Déplaçons donc simplement l'un des logarithmes vers la droite :
Cette entrée ressemble beaucoup plus à la forme canonique. Mais il y a encore une nuance : sous la forme canonique, les arguments doivent être les mêmes. Et à gauche nous avons le logarithme en base 3, et à droite en base 1/3. Il sait que ces bases doivent être ramenées au même nombre. Par exemple, rappelons ce que sont les pouvoirs négatifs :
Et puis nous utiliserons l’exposant « -1 » en dehors du journal comme multiplicateur :
Attention : le degré qui était à la base est retourné et se transforme en fraction. Nous avons obtenu une notation presque canonique en supprimant les différentes bases, mais en retour nous avons obtenu le facteur « −1 » à droite. Prenons en compte ce facteur dans l'argumentation en le transformant en puissance :
Bien sûr, après avoir reçu la forme canonique, nous barrons hardiment le signe du logarithme et assimilons les arguments. En même temps, permettez-moi de vous rappeler que lorsqu'elle est élevée à la puissance « −1 », la fraction est simplement retournée - une proportion est obtenue.
Utilisons la propriété de base de proportion et multiplions-la transversalement :
(x − 4) (2x − 1) = (x − 5) (3x − 4)
2x 2 − x − 8x + 4 = 3x 2 − 4x − 15x + 20
2x 2 − 9x + 4 = 3x 2 − 19x + 20
x 2 − 10x + 16 = 0
Nous avons devant nous l’équation quadratique ci-dessus, nous la résolvons donc en utilisant les formules de Vieta :
(x − 8)(x − 2) = 0
x1 = 8 ; x2 = 2
C'est tout. Pensez-vous que l'équation est résolue ? Non! Pour une telle solution, nous recevrons 0 point, car dans l'équation originale, il y a deux logarithmes avec la variable x. Il est donc nécessaire de prendre en compte le domaine de définition.
Et c'est là que le plaisir commence. La plupart des étudiants sont confus : quel est le domaine de définition d’un logarithme ? Bien entendu, tous les arguments (nous en avons deux) doivent être supérieurs à zéro :
(x − 4)/(3x − 4) > 0
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Chacune de ces inégalités doit être résolue, tracée sur une ligne droite, coupée et ensuite seulement voir quelles racines se trouvent à l'intersection.
Je vais être honnête : cette technique a le droit d'exister, elle est fiable et vous obtiendrez la bonne réponse, mais elle comporte trop d'étapes inutiles. Examinons donc à nouveau notre solution et voyons : où devons-nous exactement appliquer la portée ? En d'autres termes, vous devez comprendre clairement quand exactement des racines supplémentaires apparaissent.
- Au départ, nous avions deux logarithmes. Ensuite, nous avons déplacé l'un d'eux vers la droite, mais cela n'a pas affecté la zone de définition.
- Ensuite, nous retirons la puissance de la base, mais il y a toujours deux logarithmes, et dans chacun d'eux il y a une variable x.
- Enfin, nous barrons les signes du log et obtenons l'équation rationnelle fractionnaire classique.
C'est à la dernière étape que le champ de la définition est élargi ! Dès que nous sommes passés à une équation fractionnaire-rationnelle, en supprimant les signes logarithmiques, les exigences pour la variable x ont radicalement changé !
Par conséquent, le domaine de définition peut être considéré non pas au tout début de la solution, mais seulement à l’étape mentionnée – avant d’assimiler directement les arguments.
C’est là que réside l’opportunité d’optimisation. D’une part, nous devons que les deux arguments soient supérieurs à zéro. D’un autre côté, nous assimilons davantage ces arguments. Ainsi, si au moins l’un d’eux est positif, alors le second le sera également !
Il s’avère donc qu’exiger que deux inégalités soient satisfaites à la fois est exagéré. Il suffit de considérer une seule de ces fractions. Lequel? Celui qui est le plus simple. Par exemple, regardons la fraction de droite :
(x − 5)/(2x − 1) > 0
Il s'agit d'une inégalité rationnelle fractionnaire typique ; nous la résolvons en utilisant la méthode des intervalles :
Comment placer des panneaux ? Prenons un nombre évidemment supérieur à toutes nos racines. Par exemple, 1 milliard et nous substituons sa fraction. Nous obtenons un nombre positif, c'est-à-dire à droite de la racine x = 5, il y aura un signe plus.
Ensuite, les signes alternent, car il n’y a nulle part des racines de même multiplicité. Nous nous intéressons aux intervalles où la fonction est positive. Par conséquent, x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Rappelons maintenant les réponses : x = 8 et x = 2. À proprement parler, ce ne sont pas encore des réponses, mais seulement des candidats à la réponse. Lequel appartient à l’ensemble spécifié ? Bien sûr, x = 8. Mais x = 2 ne nous convient pas quant à son domaine de définition.
Au total, la réponse à la première équation logarithmique sera x = 8. Nous avons maintenant une solution compétente et bien fondée, prenant en compte le domaine de définition.
Passons à la deuxième équation :
log 5 (x − 9) = log 0,5 4 − log 5 (x − 5) + 3
Permettez-moi de vous rappeler que s'il y a une fraction décimale dans l'équation, vous devriez vous en débarrasser. En d’autres termes, réécrivons 0,5 sous forme de fraction commune. On remarque immédiatement que le logarithme contenant cette base se calcule facilement :
C'est un moment très important ! Lorsque nous avons des diplômes à la fois dans la base et dans l'argument, nous pouvons dériver les indicateurs de ces diplômes à l'aide de la formule :
Revenons à notre équation logarithmique originale et réécrivons-la :
log 5 (x − 9) = 1 − log 5 (x − 5)
Nous avons obtenu un design assez proche de la forme canonique. Cependant, nous sommes confus par les termes et le signe moins à droite du signe égal. Représentons-en un comme un logarithme en base 5 :
log 5 (x − 9) = log 5 5 1 − log 5 (x − 5)
Soustrayez les logarithmes de droite (dans ce cas leurs arguments sont divisés) :
log 5 (x − 9) = log 5 5/(x − 5)
Merveilleux. Nous avons donc la forme canonique ! Nous barrons les signes du journal et assimilons les arguments :
(x − 9)/1 = 5/(x − 5)
Il s’agit d’une proportion qui peut facilement être résolue en multipliant transversalement :
(x − 9)(x − 5) = 5 1
x 2 − 9x − 5x + 45 = 5
x 2 − 14x + 40 = 0
Évidemment, nous avons une équation quadratique réduite. Cela peut être facilement résolu en utilisant les formules de Vieta :
(x − 10)(x − 4) = 0
x1 = 10
x2 = 4
Nous avons deux racines. Mais ce ne sont pas des réponses définitives, mais seulement des réponses candidates, car l’équation logarithmique nécessite aussi de vérifier le domaine de définition.
Je vous le rappelle : inutile de chercher quand chaque des arguments sera supérieur à zéro. Il suffit d’exiger qu’un argument – soit x − 9, soit 5/(x − 5) – soit supérieur à zéro. Considérons le premier argument :
x−9 > 0
x > 9
Évidemment, seul x = 10 satisfait à cette exigence. C’est la réponse finale. Tout le problème est résolu.
Encore une fois, les réflexions clés de la leçon d'aujourd'hui :
- Dès que la variable x apparaît dans plusieurs logarithmes, l'équation cesse d'être élémentaire, et son domaine de définition doit être calculé. Sinon, vous pouvez facilement écrire des racines supplémentaires dans la réponse.
- Travailler avec le domaine lui-même peut être considérablement simplifié si nous écrivons l'inégalité non pas immédiatement, mais exactement au moment où nous nous débarrassons des signes de journal. Après tout, lorsque les arguments sont assimilés, il suffit d'exiger qu'un seul d'entre eux soit supérieur à zéro.
Bien sûr, nous choisissons nous-mêmes quel argument utiliser pour former une inégalité, il est donc logique de choisir le plus simple. Par exemple, dans la deuxième équation, nous avons choisi l’argument (x − 9), une fonction linéaire, par opposition au deuxième argument rationnel fractionnaire. D’accord, résoudre l’inégalité x − 9 > 0 est beaucoup plus facile que 5/(x − 5) > 0. Bien que le résultat soit le même.
Cette remarque simplifie grandement la recherche de ODZ, mais attention : on ne peut utiliser une inégalité au lieu de deux que si les arguments sont précisément sont égaux les uns aux autres!
Bien sûr, quelqu’un va maintenant se demander : que se passe-t-il différemment ? Oui, parfois. Par exemple, dans l'étape elle-même, lorsque l'on multiplie deux arguments contenant une variable, il existe un risque d'apparition de racines inutiles.
Jugez par vous-même : il faut d'abord que chacun des arguments soit supérieur à zéro, mais après multiplication il suffit que leur produit soit supérieur à zéro. En conséquence, le cas où chacune de ces fractions est négative est manqué.
Par conséquent, si vous commencez tout juste à comprendre des équations logarithmiques complexes, ne multipliez en aucun cas les logarithmes contenant la variable x - cela conduirait trop souvent à l'apparition de racines inutiles. Il vaut mieux faire un pas supplémentaire, déplacer un terme de l’autre côté et créer une forme canonique.
Eh bien, que faire si vous ne pouvez pas vous passer de multiplier de tels logarithmes, nous en discuterons dans la prochaine leçon vidéo :)
Encore une fois sur les puissances dans l'équation
Aujourd'hui, nous allons examiner un sujet plutôt glissant concernant les équations logarithmiques, ou plus précisément, la suppression des puissances dans les arguments et les bases des logarithmes.
Je dirais même que nous parlerons de la suppression des puissances paires, car c'est avec des puissances paires que surgissent la plupart des difficultés lors de la résolution d'équations logarithmiques réelles.
Commençons par la forme canonique. Disons que nous avons une équation de la forme log a f (x) = b. Dans ce cas, nous réécrivons le nombre b en utilisant la formule b = log a a b . Il s'avère ce qui suit :
log a f (x) = log a a b
Ensuite, nous assimilons les arguments :
f (x) = un b
L’avant-dernière formule est appelée forme canonique. C'est à cela qu'ils tentent de réduire toute équation logarithmique, aussi complexe et effrayante qu'elle puisse paraître à première vue.
Alors essayons. Commençons par la première tâche :
Note préliminaire : comme je l'ai dit, tout décimales dans une équation logarithmique, il est préférable de la convertir en équations ordinaires :
0,5 = 5/10 = 1/2
Réécrivons notre équation en tenant compte de ce fait. Notez que 1/1000 et 100 sont des puissances de dix, puis supprimons les puissances où qu'elles se trouvent : à partir d'arguments et même de la base de logarithmes :
Et ici, de nombreux étudiants se posent une question : « D'où vient le module de droite ? En effet, pourquoi ne pas simplement écrire (x − 1) ? Bien sûr, nous allons maintenant écrire (x − 1), mais la prise en compte du domaine de définition nous donne droit à une telle notation. Après tout, un autre logarithme contient déjà (x − 1), et cette expression doit être supérieure à zéro.
Mais quand on enlève le carré de la base du logarithme, il faut laisser exactement le module à la base. Laissez-moi vous expliquer pourquoi.
Le fait est que d’un point de vue mathématique, obtenir un diplôme équivaut à prendre racine. En particulier, lorsque nous mettons au carré l’expression (x − 1) 2, nous prenons essentiellement la deuxième racine. Mais la racine carrée n’est rien d’autre qu’un module. Exactement module, car même si l'expression x − 1 est négative, une fois au carré, le « moins » s'éteindra toujours. Une extraction plus poussée de la racine nous donnera un nombre positif - sans aucun inconvénient.
De manière générale, afin d'éviter de commettre des erreurs offensantes, rappelez-vous une fois pour toutes :
La racine d'une puissance paire de toute fonction élevée à la même puissance n'est pas égale à la fonction elle-même, mais à son module :
Revenons à notre équation logarithmique. En parlant du module, j'ai soutenu que nous pouvons le supprimer sans douleur. C'est vrai. Maintenant, je vais vous expliquer pourquoi. À proprement parler, nous avons dû envisager deux options :
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
- x−1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Chacune de ces options devra être examinée. Mais il y a un hic : la formule originale contient déjà la fonction (x − 1) sans aucun module. Et en suivant le domaine de définition des logarithmes, on a le droit d'écrire immédiatement que x − 1 > 0.
Cette exigence doit être satisfaite quels que soient les modules et autres transformations que nous effectuons dans le processus de solution. Par conséquent, il ne sert à rien d’envisager la deuxième option – elle ne se posera jamais. Même si nous obtenons des chiffres en résolvant cette branche d’inégalité, ils ne seront toujours pas inclus dans la réponse finale.
Nous sommes désormais littéralement à un pas de la forme canonique de l’équation logarithmique. Représentons l'unité comme suit :
1 = journal x − 1 (x − 1) 1
De plus, nous introduisons le facteur −4, qui se trouve à droite, dans l'argument :
log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)
Nous avons devant nous la forme canonique de l'équation logarithmique. On se débarrasse du signe du logarithme :
10 −4 = x − 1
Mais comme la base était une fonction (et non un nombre premier), nous exigeons en plus que cette fonction soit supérieure à zéro et non égale à un. Le système résultant sera :
Puisque l’exigence x − 1 > 0 est automatiquement satisfaite (après tout, x − 1 = 10 −4), l’une des inégalités peut être supprimée de notre système. La deuxième condition peut également être barrée, car x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0,0001 = 1,0001
C'est la seule racine qui satisfait automatiquement à toutes les exigences du domaine de définition du logarithme (cependant, toutes les exigences ont été éliminées comme étant évidemment remplies dans les conditions de notre problème).
Donc la deuxième équation :
3 journal 3 x x = 2 journal 9 x x 2
En quoi cette équation est-elle fondamentalement différente de la précédente ? Ne serait-ce que parce que les bases des logarithmes - 3x et 9x - ne sont pas des puissances naturelles les unes des autres. La transition que nous avons utilisée dans la solution précédente n’est donc pas possible.
Débarrassons-nous au moins des diplômes. Dans notre cas, le seul degré est dans le deuxième argument :
3 journal 3 x x = 2 ∙ 2 journal 9 x |x |
Cependant, le signe du module peut être supprimé, car la variable x est également à la base, c'est-à-dire x > 0 ⇒ |x| = X. Réécrivons notre équation logarithmique :
3 bûches 3 x x = 4 bûches 9 x x
Nous avons obtenu des logarithmes dans lesquels les arguments sont les mêmes, mais les bases sont différentes. Que faire ensuite? Il existe de nombreuses options ici, mais nous n'en considérerons que deux, qui sont les plus logiques et, surtout, ce sont des techniques rapides et compréhensibles pour la plupart des étudiants.
Nous avons déjà envisagé la première option : dans toute situation peu claire, convertir des logarithmes à base variable en une base constante. Par exemple, à deux. La formule de transition est simple :
Bien entendu, le rôle de la variable c devrait être un nombre normal : 1 ≠ c > 0. Soit dans notre cas c = 2. Nous avons maintenant devant nous une équation rationnelle fractionnaire ordinaire. On rassemble tous les éléments de gauche :
Évidemment, il est préférable de supprimer le facteur log 2 x, puisqu'il est présent à la fois dans la première et dans la deuxième fraction.
journal 2 x = 0 ;
3 bûches 2 9x = 4 bûches 2 3x
Nous divisons chaque journal en deux termes :
journal 2 9x = journal 2 9 + journal 2 x = 2 journal 2 3 + journal 2 x ;
journal 2 3x = journal 2 3 + journal 2 x
Réécrivons les deux côtés de l'égalité en tenant compte de ces faits :
3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )
6 bûche 2 3 + 3 bûche 2 x = 4 bûche 2 3 + 4 bûche 2 x
2 bûche 2 3 = bûche 2 x
Il ne reste plus qu'à saisir un deux sous le signe du logarithme (il se transformera en puissance : 3 2 = 9) :
journal 2 9 = journal 2 x
Nous avons devant nous la forme canonique classique, on se débarrasse du signe du logarithme et on obtient :
Comme prévu, cette racine s’est avérée supérieure à zéro. Reste à vérifier le domaine de définition. Voyons les raisons :
Mais la racine x = 9 satisfait à ces exigences. C’est donc la décision finale.
La conclusion de cette solution est simple : n’ayez pas peur des longs calculs ! C'est juste qu'au tout début, nous avons choisi une nouvelle base au hasard - et cela a considérablement compliqué le processus.
Mais alors la question se pose : quelle est la base optimale? J'en parlerai dans la deuxième méthode.
Revenons à notre équation originale :
3 bûches 3x x = 2 bûches 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| =x
3 bûches 3 x x = 4 bûches 9 x x
Réfléchissons maintenant un peu : quel nombre ou quelle fonction serait la base optimale ? Il est évident que la meilleure option il y aura c = x - ce qui est déjà dans les arguments. Dans ce cas, la formule log a b = log c b /log c a prendra la forme :
Autrement dit, l’expression est simplement inversée. Dans ce cas, l’argument et le fondement changent de place.
Cette formule est très utile et est très souvent utilisée pour résoudre des équations logarithmiques complexes. Cependant, l’utilisation de cette formule présente un écueil très sérieux. Si nous substituons la variable x à la place de la base, alors des restrictions lui sont imposées qui n'étaient pas observées auparavant :
Il n’y avait pas une telle limitation dans l’équation originale. Par conséquent, nous devrions vérifier séparément le cas où x = 1. Remplacez cette valeur dans notre équation :
3 bûches 3 1 = 4 bûches 9 1
Nous obtenons l'égalité numérique correcte. Donc x = 1 est une racine. Nous avons trouvé exactement la même racine dans la méthode précédente au tout début de la solution.
Mais maintenant que nous avons considéré séparément ce cas particulier, nous supposons en toute sécurité que x ≠ 1. Alors notre équation logarithmique sera réécrite sous la forme suivante :
3 bûches x 9x = 4 bûches x 3x
Nous développons les deux logarithmes en utilisant la même formule que précédemment. Notez que log x x = 1 :
3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )
3 bûches x 9 + 3 = 4 bûches x 3 + 4
3 log x 3 2 − 4 log x 3 = 4 − 3
2 bûches x 3 = 1
Nous sommes donc arrivés à la forme canonique :
journal x 9 = journal x x 1
x=9
Nous avons la deuxième racine. Il satisfait à l’exigence x ≠ 1. Par conséquent, x = 9 avec x = 1 est la réponse finale.
Comme vous pouvez le constater, le volume des calculs a légèrement diminué. Mais lors de la résolution d’une équation logarithmique réelle, le nombre d’étapes sera également bien moindre car vous n’êtes pas obligé de décrire chaque étape avec autant de détails.
La règle clé de la leçon d'aujourd'hui est la suivante : si le problème contient un degré pair, à partir duquel la racine du même degré est extraite, alors le résultat sera un module. Cependant, ce module peut être supprimé si vous faites attention au domaine de définition des logarithmes.
Mais attention : après ce cours, la plupart des élèves pensent avoir tout compris. Mais lorsqu’ils résolvent des problèmes réels, ils ne peuvent pas reproduire toute la chaîne logique. En conséquence, l'équation acquiert des racines inutiles et la réponse s'avère incorrecte.
Algèbre 11e année
Sujet : « Méthodes de résolution d'équations logarithmiques »
Objectifs de la leçon:
pédagogique : formation de connaissances sur en différentes manières résoudre des équations logarithmiques, la capacité de les appliquer dans chaque situation spécifique et de choisir n'importe quelle méthode de résolution ;
développer : développer les compétences pour observer, comparer, appliquer des connaissances dans une situation nouvelle, identifier des modèles, généraliser ; développer des compétences de contrôle mutuel et de maîtrise de soi ;
pédagogique : favoriser une attitude responsable envers le travail éducatif, une perception attentive du matériel de la leçon et une prise de notes minutieuse.
Type de cours: leçon sur l'introduction de nouveau matériel.
"L'invention des logarithmes, tout en réduisant le travail de l'astronome, prolongea sa vie."
Mathématicien et astronome français P.S. Laplace
Pendant les cours
I. Fixer l'objectif de la leçon
La définition étudiée du logarithme, des propriétés des logarithmes et de la fonction logarithmique nous permettra de résoudre des équations logarithmiques. Toutes les équations logarithmiques, aussi complexes soient-elles, sont résolues à l'aide d'algorithmes uniformes. Nous examinerons ces algorithmes dans la leçon d'aujourd'hui. Il n'y en a pas beaucoup. Si vous les maîtrisez, alors n'importe quelle équation avec des logarithmes sera réalisable pour chacun de vous.
Notez le sujet de la leçon dans votre cahier : « Méthodes de résolution d'équations logarithmiques ». J'invite tout le monde à coopérer.
II. Actualisation des connaissances de référence
Préparons-nous à étudier le sujet de la leçon. Vous résolvez chaque tâche et notez la réponse ; vous n’avez pas besoin d’écrire la condition. Travailler en équipe de deux.
1) Pour quelles valeurs de x la fonction a-t-elle un sens :
(Les réponses sont vérifiées pour chaque diapositive et les erreurs sont triées)
2) Les graphiques des fonctions coïncident-ils ?
3) Réécrivez les égalités sous forme d'égalités logarithmiques :
4) Écrivez les nombres sous forme de logarithmes en base 2 :
5) Calculez :
6) Essayez de restaurer ou de compléter les éléments manquants dans ces égalités.
III. Introduction au nouveau matériel
La déclaration suivante s'affiche à l'écran :
"L'équation est la clé d'or qui ouvre tous les sésames mathématiques."
Mathématicien polonais moderne S. Kowal
Essayez de formuler la définition d'une équation logarithmique. (Une équation contenant une inconnue sous le signe du logarithme).
Considérons l'équation logarithmique la plus simple :enregistrerUNx = b(où a>0, a ≠ 1). Puisque la fonction logarithmique augmente (ou diminue) sur l'ensemble des nombres positifs et prend toutes les valeurs réelles, alors d'après le théorème racine, il s'ensuit que pour tout b cette équation n'a qu'une seule solution, et une positive.
Rappelez-vous la définition du logarithme. (Le logarithme d'un nombre x à la base a est un indicateur de la puissance à laquelle il faut élever la base a pour obtenir le nombre x). De la définition du logarithme, il résulte immédiatement que UNV est une telle solution.
Notez le titre : Méthodes de résolution d'équations logarithmiques
1. Par définition du logarithme.
C'est ainsi que sont résolues les équations les plus simples de la forme.
Considérons N° 514(a)): Résous l'équation
Comment proposez-vous de le résoudre ? (Par définition du logarithme)
Solution. , D'où 2x - 4 = 4 ; x = 4.
Dans cette tâche, 2x - 4 > 0, puisque > 0, donc aucune racine étrangère ne peut apparaître et il n'est pas nécessaire de vérifier. La condition 2x - 4 > 0 n'a pas besoin d'être écrite dans cette tâche.
2. Potentisation(passage du logarithme d'une expression donnée à cette expression elle-même).
Considérons N° 519(g) : log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2
Quelle fonctionnalité avez-vous remarquée ? (Les bases sont les mêmes et les logarithmes des deux expressions sont égaux.) Ce qui peut être fait? (Potentiser).
Il faut tenir compte du fait que toute solution est contenue parmi tous les x dont les expressions logarithmiques sont positives.
Solution : ODZ :
X2+8>0 est une inégalité inutile
log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)
log5(x2+8)= log5 (8x+8)
Potentialisons l'équation originale
on obtient l'équation x2+8= 8x+8
Résolvons-le : x2-8x=0
Réponse : 0 ; 8
DANS vue générale transition vers un système équivalent:
L'équation
(Le système contient une condition redondante : il n’est pas nécessaire de prendre en compte l’une des inégalités).
Question pour la classe: Laquelle de ces trois solutions avez-vous préféré ? (Discussion des méthodes).
Vous avez le droit de décider de quelque manière que ce soit.
3. Introduction d'une nouvelle variable.
Considérons N° 520(g). .
Qu'avez-vous remarqué ? (Il s'agit d'une équation quadratique par rapport à log3x) Des suggestions ? (Introduire une nouvelle variable)
Solution. ODZ : x > 0.
Soit , alors l'équation prend la forme :. Discriminant D > 0. Racines selon le théorème de Vieta :.
Revenons au remplacement : ou.
Après avoir résolu les équations logarithmiques les plus simples, nous obtenons :
Réponse : 27 ;
4. Logarithme des deux côtés de l'équation.
Résous l'équation:.
Solution : ODZ : x>0, prendre le logarithme des deux côtés de l'équation en base 10 :
Appliquons la propriété du logarithme d'une puissance :
(logx + 3) logx = 4
Soit logx = y, alors (y + 3)y = 4
, (D > 0) racines selon le théorème de Vieta : y1 = -4 et y2 = 1.
Revenons au remplacement, on obtient : lgx = -4,; lgx = 1, .
Réponse : 0,0001 ; dix.
5. Réduction à une base.
N° 523(c). Résous l'équation:
Solution : ODZ : x>0. Passons à la base 3.
6. Méthode fonctionnelle-graphique.
№ 509(d). Résolvez l'équation graphiquement : = 3 - x.
Comment proposez-vous de résoudre ? (Construisez des graphiques de deux fonctions y = log2x et y = 3 - x en utilisant des points et recherchez l'abscisse des points d'intersection des graphiques).
Regardez votre solution sur la diapositive.
Il existe un moyen d'éviter de faire des graphiques . C'est comme suit : si une des fonctions y = f(x) augmente, et l'autre y = g(x) diminue sur l'intervalle X, alors l'équation f(x)=g(x) a au plus une racine sur l'intervalle X.
S'il y a une racine, on peut la deviner.
Dans notre cas, la fonction augmente pour x>0, et la fonction y = 3 - x diminue pour toutes les valeurs de x, y compris pour x>0, ce qui signifie que l'équation n'a pas plus d'une racine. Notez qu'à x = 2, l'équation se transforme en une vraie égalité, puisque .
« L’application correcte des méthodes peut s’apprendre en
seulement en les appliquant à divers exemples».
Historien danois des mathématiques G. G. Zeiten
jeV. Devoirs
P. 39, considérons l'exemple 3, résolvez le n° 514(b), le n° 529(b), le n° 520(b), le n° 523(b)
V. Résumer la leçon
Quelles méthodes de résolution d’équations logarithmiques avons-nous examinées en classe ?
Dans les prochaines leçons, nous examinerons des équations plus complexes. Pour les résoudre, les méthodes étudiées seront utiles.
Dernière diapositive affichée :
« Qu’y a-t-il de plus que tout au monde ?
Espace.
Quelle est la chose la plus sage ?
Temps.
Quelle est la meilleure partie ?
Réalisez ce que vous voulez.
Thalès
Je souhaite à chacun de réaliser ce qu’il veut. Merci pour votre coopération et votre compréhension.
Tout le monde sait pourquoi les mathématiques sont nécessaires. Cependant, de nombreuses personnes ont besoin d’aide pour décider problèmes mathématiques et les équations. Avant de vous expliquer comment résoudre des équations logarithmiques, vous devez comprendre de quoi il s’agit. Les équations qui contiennent une inconnue à la base du logarithme ou sous son signe sont appelées équations logarithmiques. Les équations qui ont la forme : logaX = b, ou celles qui peuvent se réduire à cette forme, sont considérées comme les équations logarithmiques les plus simples.
Bonne solution
Pour la bonne décision de telles équations, il faut rappeler les propriétés de toute fonction logarithmique :
- ensemble de nombres réels (plage)
- ensemble de nombres positifs (domaine)
- dans le cas où « a » est supérieur à 1, la fonction logarithmique augmente strictement ; si elle est inférieure, la fonction logarithmique diminue ;
- avec les paramètres donnés : loga "a" est égal à 1, et également loga 1 est égal à zéro, vous devez tenir compte du fait que "a" ne sera pas égal à 1, mais sera supérieur à 0.
La solution correcte des équations logarithmiques dépend directement de la compréhension du logarithme lui-même. Prenons un exemple : 5x=11. X est le nombre auquel il faut élever 5 pour faire 11. Ce nombre est appelé logarithme de 11 en base 5 et s'écrit comme suit : x = log511. Ainsi, nous avons pu résoudre l’équation exponentielle : 5x=11, obtenant la réponse : x=log511.
Équations logarithmiques
Une équation comportant des logarithmes est appelée équation logarithmique. Dans cette équation, les variables inconnues, ainsi que les expressions qui les accompagnent, sont situées à l'intérieur des logarithmes eux-mêmes. Et nulle part ailleurs ! Exemples d'équations logarithmiques : log2x=16, log5(x3-7)=log5(3x), log3(x+3)+20=15log(x+5), etc. N'oubliez pas que diverses expressions avec x ne peuvent être que dans un logarithme donné.
Se débarrasser des logarithmes
Les méthodes de résolution d'équations logarithmiques sont appliquées en fonction du problème à résoudre, et le processus de résolution lui-même dans son ensemble est une tâche très difficile. Commençons par les équations élémentaires. Les équations logarithmiques les plus simples ont la forme suivante :
- logx-21=11
- log5 (70x-1)=2
- log5x=25
Résoudre une équation logarithmique implique de passer d’une équation avec des logarithmes à une équation dans laquelle il n’y en a pas. Et dans les équations les plus simples, cela peut être réalisé en une seule étape. C’est pour cette raison qu’on les appelle protozoaires. Par exemple, nous devons résoudre l’équation suivante : log5x = log52. Pour cela, nous n'avons pas besoin de connaissances particulières. DANS dans cet exemple nous devons nous débarrasser des logarithmes, qui gâchent l’ensemble du tableau pour nous. On supprime les logarithmes et on obtient : x=2. Ainsi, à l’avenir, il sera nécessaire de supprimer, si possible, les logarithmes inutiles. Après tout, c'est précisément cette séquence qui permet de décider inégalités logarithmiques et les équations. En mathématiques, de telles actions sont généralement appelées potentialisation. Mais se débarrasser des logarithmes de cette manière a ses propres règles. Si les logarithmes n'ont pas de coefficients (c'est-à-dire qu'ils sont spécifiés par eux-mêmes), et aussi s'ils ont la même base numérique, les logarithmes peuvent être supprimés.
N'oubliez pas qu'après avoir éliminé les logarithmes, nous nous retrouvons avec une équation simplifiée. Résolvons un autre exemple :
log9 (5x-4)-log9x. On potentialise et on obtient :
- 5x-4=x
- 5x=x+4
Comme vous pouvez le constater, en supprimant les logarithmes, on obtient l'équation habituelle, qui n'est plus difficile à résoudre. Vous pouvez maintenant passer à autre chose exemples complexes: log9 (60x-1)=2. Il faut se référer au logarithme (le nombre auquel la base est élevée, dans notre cas 9) pour obtenir l'expression sublogarithmique (60x-1). Notre logarithme est égal à 2. Donc : 92 = 60x-1. Il n'y a plus de logarithme. Nous résolvons l'équation résultante : 60x-1=59, x = 1.
Nous avons résolu cet exemple selon la signification du logarithme. Il convient de noter qu'à partir de n'importe quel nombre donné, vous pouvez créer un logarithme de la forme requise. Cette méthode est très utile pour résoudre des inégalités et des équations logarithmiques. Si vous avez besoin de trouver la racine de l'équation, voyons comment cela peut être fait : log5(18 – x) = log55
Si dans notre équation les deux côtés de l'équation ont des logarithmes qui ont la même base, alors nous pouvons assimiler les expressions qui apparaissent sous les signes de nos logarithmes. On supprime la base commune : log5. Nous obtenons une équation simple : 18 – x = 5, x = 13.
En fait, résoudre des équations logarithmiques n’est pas si difficile. Même en tenant compte du fait que les propriétés des équations logarithmiques peuvent différer considérablement, il n'y a tout de même pas de tâches insolubles. Il est nécessaire de connaître les propriétés du logarithme lui-même et de pouvoir les appliquer correctement. Il n'est pas nécessaire de se précipiter : nous nous souvenons des instructions ci-dessus et commençons à résoudre les tâches. Il ne faut en aucun cas avoir peur équation complexe, Vous disposez de toutes les connaissances et ressources nécessaires pour faire face facilement à chacun d’entre eux.
Sur Cette leçon Nous répéterons les faits théoriques de base sur les logarithmes et envisagerons de résoudre les équations logarithmiques les plus simples.
Rappelons la définition centrale - la définition d'un logarithme. C'est lié à la décision équation exponentielle. Cette équation a une racine unique, on l'appelle le logarithme de b en base a :
Définition:
Le logarithme de b en base a est l'exposant auquel la base a doit être élevée pour obtenir b.
Laissez-nous vous rappeler identité logarithmique de base.
L'expression (expression 1) est la racine de l'équation (expression 2). Remplacez la valeur x de l'expression 1 au lieu de x par l'expression 2 et obtenez l'identité logarithmique principale :
On voit donc que chaque valeur est associée à une valeur. On note b par x(), c par y, et obtenons ainsi une fonction logarithmique :
Par exemple: 
Rappelons les propriétés fondamentales de la fonction logarithmique.
Faisons encore une fois attention, ici, puisque sous le logarithme il peut y avoir une expression strictement positive, comme base du logarithme.
Riz. 1. Graphique d'une fonction logarithmique dans différentes bases
Le graphique de la fonction at est représenté en noir. Riz. 1. Si l'argument augmente de zéro à l'infini, la fonction augmente de moins à plus l'infini.
Le graphique de la fonction at est affiché en rouge. Riz. 1.
Propriétés de cette fonction :
Domaine: ;
Plage de valeurs : ;
La fonction est monotone dans tout son domaine de définition. Lorsque augmente de manière monotone (strictement), valeur plus élevée l'argument correspond à la plus grande valeur de la fonction. Lorsque la diminution est monotone (stricte), une valeur plus grande de l'argument correspond à une valeur plus petite de la fonction.
Les propriétés de la fonction logarithmique sont la clé pour résoudre diverses équations logarithmiques.
Considérons l'équation logarithmique la plus simple ; toutes les autres équations logarithmiques sont généralement réduites à cette forme.
Puisque les bases des logarithmes et les logarithmes eux-mêmes sont égales, les fonctions sous le logarithme sont également égales, mais il ne faut pas manquer le domaine de définition. Seul un nombre positif peut apparaître sous le logarithme, on a :
Nous avons découvert que les fonctions f et g sont égales, il suffit donc de choisir n'importe quelle inégalité pour respecter l'ODZ.
On a donc un système mixte dans lequel il y a une équation et une inégalité :
En règle générale, il n'est pas nécessaire de résoudre une inégalité ; il suffit de résoudre l'équation et de substituer les racines trouvées dans l'inégalité, effectuant ainsi une vérification.
Formulons une méthode pour résoudre les équations logarithmiques les plus simples :
Égaliser les bases des logarithmes ;
Fonctions sublogarithmiques égales ;
Effectuer une vérification.
Regardons des exemples spécifiques.
Exemple 1 - résoudre l'équation :
Les bases des logarithmes sont initialement égales, on a le droit d'assimiler les expressions sublogarithmiques, n'oubliez pas l'ODZ, on choisit le premier logarithme pour composer l'inégalité :
Exemple 2 - résoudre l'équation :
Cette équation diffère de la précédente en ce que les bases des logarithmes sont inférieures à un, mais cela n'affecte en rien la solution :
Trouvons la racine et substituons-la dans l'inégalité :
Nous avons reçu une inégalité incorrecte, ce qui signifie que la racine trouvée ne satisfait pas à l'ODZ.
Exemple 3 - résoudre l'équation :
Les bases des logarithmes sont initialement égales, on a le droit d'assimiler les expressions sublogarithmiques, n'oubliez pas l'ODZ, on choisit le deuxième logarithme pour composer l'inégalité :
Trouvons la racine et substituons-la dans l'inégalité :
Évidemment, seule la racine première satisfait le DD.