Définition du logarithme La façon la plus simple de l’écrire mathématiquement est :
La définition du logarithme peut s’écrire d’une autre manière :
Faites attention aux restrictions imposées sur la base du logarithme ( un) et à l'expression sublogarithmique ( X). À l'avenir, ces conditions se transformeront en restrictions importantes pour la DO, qui devront être prises en compte lors de la résolution de toute équation avec des logarithmes. Ainsi, désormais, en plus des conditions standards conduisant à des restrictions sur ODZ (positivité des expressions sous les racines de puissances paires, dénominateur non égal à zéro, etc.), les conditions suivantes doivent également être prises en compte :
- L'expression sublogarithmique ne peut être que positive.
- La base du logarithme ne peut être que positive et non égale à un.
Notez que ni la base du logarithme ni l'expression sous-logarithmique ne peuvent être égales à zéro. Veuillez également noter que la valeur du logarithme elle-même peut prendre toutes les valeurs possibles, c'est-à-dire Le logarithme peut être positif, négatif ou nul. Les logarithmes ont de nombreuses propriétés différentes qui découlent des propriétés des puissances et de la définition d'un logarithme. Listons-les. Ainsi, les propriétés des logarithmes :
Logarithme du produit :
Logarithme d'une fraction :
En sortant le degré du signe du logarithme :
Accorder une attention particulière attention particulièreà celles des dernières propriétés répertoriées dans lesquelles le signe du module apparaît après l'obtention du diplôme. N'oubliez pas que lorsque vous placez une puissance paire en dehors du signe du logarithme, sous le logarithme ou à la base, vous devez laisser le signe du module.
Autre fonctionnalités bénéfiques logarithmes :
Cette dernière propriété est très souvent utilisée dans les équations logarithmiques complexes et les inégalités. Il faut se souvenir de lui comme de tous les autres, même s'il est souvent oublié.
Les équations logarithmiques les plus simples sont :
Et leur solution est donnée par une formule qui découle directement de la définition du logarithme :
D'autres équations logarithmiques simples sont celles qui, en utilisant transformations algébriques et les formules et propriétés des logarithmes ci-dessus peuvent être réduites à la forme :
La solution de telles équations prenant en compte l'ODZ est la suivante :
Quelques autres équations logarithmiques avec une variable à la base peut être réduit à la forme :
Dans de telles équations logarithmiques Forme générale la solution découle également directement de la définition du logarithme. Ce n'est que dans ce cas qu'il existe des restrictions supplémentaires pour DZ qui doivent être prises en compte. En conséquence, pour résoudre une équation logarithmique avec une variable dans la base, vous devez résoudre le système suivant :
Lors de la résolution de problèmes plus complexes équations logarithmiques, qui ne peut être réduit à l'une des équations présentées ci-dessus, est également activement utilisé méthode de remplacement des variables. Comme d'habitude, lorsque vous utilisez cette méthode, vous devez vous rappeler qu'après avoir introduit le remplacement, l'équation doit se simplifier et ne plus contenir l'ancienne inconnue. Vous devez également vous rappeler d'effectuer une substitution inverse des variables.
Parfois, lors de la résolution d'équations logarithmiques, vous devez également utiliser méthode graphique. Cette méthode consiste à construire le plus précisément possible sur un avion coordonné graphiques des fonctions qui se trouvent sur les côtés gauche et droit de l’équation, puis recherchez les coordonnées de leurs points d’intersection dans le dessin. Les racines ainsi obtenues doivent être vérifiées par substitution dans l'équation d'origine.
Lors de la résolution d'équations logarithmiques, il est souvent également utile méthode de regroupement. Lors de l'utilisation de cette méthode, l'essentiel à retenir est que : pour que le produit de plusieurs facteurs soit égal à zéro, il faut qu'au moins l'un d'entre eux soit égal à zéro, et le reste existait. Lorsque les facteurs sont des logarithmes ou des parenthèses avec des logarithmes, et pas seulement des parenthèses avec des variables comme dans les équations rationnelles, de nombreuses erreurs peuvent survenir. Étant donné que les logarithmes ont de nombreuses restrictions quant à la région où ils existent.
Au moment de décider systèmes d'équations logarithmiques le plus souvent, vous devez utiliser soit la méthode de substitution, soit la méthode de remplacement de variable. S'il existe une telle possibilité, alors lors de la résolution de systèmes d'équations logarithmiques, il faut s'efforcer de faire en sorte que chacune des équations du système soit amenée individuellement à une forme dans laquelle il sera possible de passer d'une équation logarithmique à une rationnel.
Les inégalités logarithmiques les plus simples sont résolues à peu près de la même manière que des équations similaires. Premièrement, en utilisant des transformations algébriques et les propriétés des logarithmes, nous devons essayer de les amener à une forme où les logarithmes des côtés gauche et droit de l'inégalité auront les mêmes bases, c'est-à-dire obtenir une inégalité de la forme :
Après quoi il faut passer à une inégalité rationnelle, en tenant compte du fait que cette transition doit s'effectuer comme suit : si la base du logarithme est supérieure à un, alors le signe de l'inégalité n'a pas besoin d'être changé, et si le la base du logarithme est inférieure à un, alors vous devez changer le signe de l'inégalité en l'opposé (cela signifie changer « moins » en « plus » ou vice versa). Dans ce cas, il n'est pas nécessaire de remplacer les signes moins par des plus, en contournant les règles précédemment apprises. Écrivons mathématiquement ce que nous obtenons en effectuant une telle transition. Si la base est supérieure à un, on obtient :
Si la base du logarithme est inférieure à un, on change le signe de l'inégalité et on obtient le système suivant :
Comme on le voit, lors de la résolution des inégalités logarithmiques, comme d'habitude, l'ODZ est également pris en compte (c'est la troisième condition dans les systèmes ci-dessus). De plus, dans ce cas, il est possible de ne pas exiger la positivité des deux expressions sublogarithmiques, mais plutôt d’exiger uniquement la positivité de la plus petite d’entre elles.
Au moment de décider inégalités logarithmiques avec une variable à la base logarithme, il est nécessaire de considérer indépendamment les deux options (lorsque la base est inférieure à un et supérieure à un) et de combiner les solutions de ces cas dans un ensemble. En même temps, il ne faut pas oublier DL, c'est-à-dire sur le fait que la base et toutes les expressions sublogarithmiques doivent être positives. Ainsi, lors de la résolution d’une inégalité de la forme :
On obtient l’ensemble de systèmes suivant :
Des inégalités logarithmiques plus complexes peuvent également être résolues en utilisant des changements de variables. Certaines autres inégalités logarithmiques (ainsi que les équations logarithmiques) nécessitent la procédure consistant à prendre le logarithme des deux côtés de l'inégalité ou de l'équation à résoudre. même base. Ainsi, lorsqu'on effectue une telle procédure avec des inégalités logarithmiques, il y a une subtilité. Veuillez noter que lorsque vous prenez des logarithmes à une base supérieure à un, le signe d'inégalité ne change pas, mais si la base est inférieure à un, alors le signe d'inégalité est inversé.
Si une inégalité logarithmique ne peut être réduite à une inégalité rationnelle ou résolue par substitution, alors dans ce cas il faut utiliser méthode d'intervalle généralisée, qui est le suivant :
- Définir DL ;
- Transformez l'inégalité pour qu'il y ait un zéro du côté droit (du côté gauche, si possible, réduisez à dénominateur commun, factoriser, etc.);
- Trouvez toutes les racines du numérateur et du dénominateur et tracez-les sur l'axe des nombres, et si l'inégalité n'est pas stricte, peignez les racines du numérateur, mais dans tous les cas laissez les racines du dénominateur en pointillés ;
- Trouvez le signe de l'expression entière sur chacun des intervalles en substituant un nombre d'un intervalle donné dans l'inégalité transformée. Dans ce cas, il n'est plus possible d'alterner de quelque manière que ce soit les panneaux lors du passage par des points sur l'axe. Il faut déterminer le signe d'une expression sur chaque intervalle en substituant la valeur de l'intervalle dans cette expression, et ainsi de suite pour chaque intervalle. Ce n'est plus possible (c'est en gros la différence entre la méthode des intervalles généralisés et la méthode habituelle) ;
- Trouvez l'intersection de l'ODZ et des intervalles qui satisfont l'inégalité, mais ne perdez pas les points individuels qui satisfont l'inégalité (les racines du numérateur dans les inégalités non strictes), et n'oubliez pas d'exclure de la réponse toutes les racines du dénominateur de toutes les inégalités.
- Dos
- Avant
Comment réussir sa préparation au CT en physique et mathématiques ?
Afin de réussir la préparation au CT en physique et en mathématiques, entre autres, il est nécessaire de remplir trois conditions les plus importantes :
- Étudiez tous les sujets et complétez tous les tests et devoirs donnés dans le matériel pédagogique de ce site. Pour ce faire, vous n'avez besoin de rien du tout, à savoir : consacrer trois à quatre heures chaque jour à préparer le CT en physique et mathématiques, à étudier la théorie et à résoudre des problèmes. Le fait est que CT est un examen où il ne suffit pas de connaître la physique ou les mathématiques, il faut aussi être capable de le résoudre rapidement et sans échec. un grand nombre de tâches pour différents sujets et de complexité variable. Cette dernière ne peut être apprise qu’en résolvant des milliers de problèmes.
- Apprenez toutes les formules et lois de la physique, ainsi que les formules et méthodes des mathématiques. En fait, c’est aussi très simple à faire ; il n’existe qu’environ 200 formules nécessaires en physique, et même un peu moins en mathématiques. Dans chacune de ces matières, il existe environ une douzaine de méthodes standards pour résoudre des problèmes d'un niveau de complexité de base, qui peuvent également être apprises, et ainsi, de manière entièrement automatique et sans difficulté, résoudre la plupart des CT au bon moment. Après cela, vous n’aurez plus qu’à penser aux tâches les plus difficiles.
- Assistez aux trois étapes des tests de répétition en physique et en mathématiques. Chaque RT peut être visité deux fois pour décider des deux options. Encore une fois, sur le CT, en plus de la capacité à résoudre rapidement et efficacement des problèmes et de la connaissance des formules et des méthodes, vous devez également être capable de bien planifier le temps, de répartir les forces et, surtout, de remplir correctement le formulaire de réponse, sans confondre les nombres de réponses et de problèmes, ou votre propre nom de famille. De plus, pendant la RT, il est important de s'habituer au style de pose de questions dans les problèmes, qui peut sembler très inhabituel à une personne non préparée au DT.
La mise en œuvre réussie, assidue et responsable de ces trois points vous permettra de montrer un excellent résultat au CT, le maximum de ce dont vous êtes capable.
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Une inégalité est dite logarithmique si elle contient une fonction logarithmique.
Les méthodes de résolution des inégalités logarithmiques ne diffèrent pas de celles-ci, à l'exception de deux choses.
Premièrement, lorsqu'on passe de l'inégalité logarithmique à l'inégalité des fonctions sublogarithmiques, il faut suivre le signe de l'inégalité résultante. Il obéit à la règle suivante.
Si la base de la fonction logarithmique est supérieure à 1$, alors lors du passage de l'inégalité logarithmique à l'inégalité des fonctions sous-logarithmiques, le signe de l'inégalité est conservé, mais s'il est inférieur à 1$, alors il change à l'opposé .
Deuxièmement, la solution de toute inégalité est un intervalle, et, par conséquent, à la fin de la résolution de l'inégalité des fonctions sous-logarithmiques, il est nécessaire de créer un système de deux inégalités : la première inégalité de ce système sera l'inégalité des fonctions sous-logarithmiques, et le second sera l'intervalle du domaine de définition des fonctions logarithmiques incluses dans l'inégalité logarithmique.
Pratique.
Résolvons les inégalités :
1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$
$D(y) : \x+3>0.$
$x \in (-3;+\infty)$
La base du logarithme est $2>1$, donc le signe ne change pas. En utilisant la définition du logarithme, on obtient :
$x+3 \geq 2^(3),$
$x \in )