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Notation des nombres naturels - Hypermarché du savoir. Entiers. Série de nombres naturels

Où commence l’apprentissage des mathématiques ? Oui, c'est vrai, en étudiant les nombres naturels et les opérations avec eux.Entiers (depuislat. naturel- naturel; nombres naturels) -Nombres qui surviennent naturellement lors du comptage (par exemple, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...). La séquence de tous les nombres naturels classés par ordre croissant est appelée une série naturelle..

Il existe deux approches pour définir les nombres naturels :

  1. compter (numéroter) articles ( d'abord, deuxième, troisième, quatrième, cinquième"…);
  2. les nombres naturels sont des nombres qui apparaissent lorsque désignation de la quantité articles ( 0 articles, 1 article, 2 articles, 3 articles, 4 articles, 5 articles ).

Dans le premier cas, la série de nombres naturels commence par un, dans le second, par zéro. Il n’existe pas de consensus parmi la plupart des mathématiciens quant à savoir si la première ou la deuxième approche est préférable (c’est-à-dire si zéro doit être considéré comme un nombre naturel ou non). L’écrasante majorité des sources russes adoptent traditionnellement la première approche. La deuxième approche, par exemple, est utilisée dans les travauxNicolas Bourbaki , où les nombres naturels sont définis commepouvoir ensembles finis .

Négatif et entier (rationnel , réel ,...) les nombres ne sont pas considérés comme des nombres naturels.

L'ensemble de tous les nombres naturels généralement désigné par le symbole N (delat. naturel- naturel). L’ensemble des nombres naturels est infini, puisque pour tout nombre naturel n, il existe un nombre naturel supérieur à n.

La présence de zéro facilite la formulation et la preuve de nombreux théorèmes en arithmétique des nombres naturels, la première approche introduit donc le concept utile étendu série naturelle , dont zéro. La série étendue est désignée N 0 ou Z 0 .

Àopérations clôturées (les opérations qui ne dérivent pas de résultat de l'ensemble des nombres naturels) sur les nombres naturels comprennent les opérations arithmétiques suivantes :

  • ajout: terme + terme = somme ;
  • multiplication: facteur × facteur = produit ;
  • exponentiation : un b , où a est la base du degré, b est l'exposant. Si a et b sont des nombres naturels, alors le résultat sera un nombre naturel.

De plus, deux autres opérations sont considérées (d'un point de vue formel, ce ne sont pas des opérations sur les nombres naturels, puisqu'elles ne sont pas définies pour touspaires de nombres (parfois existent, parfois non)) :

  • soustraction: minuend - subtrahend = différence. Dans ce cas, le minuend doit être supérieur au soustrahend (ou égal à celui-ci, si l'on considère zéro comme un nombre naturel)
  • division avec reste : dividende / diviseur = (quotient, reste). Le quotient p et le reste r de la division a par b sont définis comme suit : a=p*r+b, avec 0<=r

Il faut savoir que les opérations d’addition et de multiplication sont fondamentales. En particulier,

Les nombres sont un concept abstrait. Ils constituent une caractéristique quantitative des objets et peuvent être réels, rationnels, négatifs, entiers et fractionnaires, ainsi que naturels.

La série naturelle est généralement utilisée lors du comptage, dans laquelle des notations de quantité apparaissent naturellement. La connaissance du comptage commence dès la petite enfance. Quel enfant a évité les comptines amusantes qui utilisaient des éléments de comptage naturel ? "Un, deux, trois, quatre, cinq... Le lapin est sorti se promener !" ou "1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, le roi a décidé de me pendre..."

Pour tout nombre naturel, vous pouvez en trouver un autre supérieur. Cet ensemble est généralement désigné par la lettre N et doit être considéré comme infini dans le sens de l'augmentation. Mais cet ensemble a un début – c’en est un. Bien qu'il existe des nombres naturels français dont l'ensemble comprend également zéro. Mais la principale caractéristique distinctive des deux ensembles est le fait qu’ils n’incluent ni nombres fractionnaires ni nombres négatifs.

La nécessité de compter une variété d’objets est apparue à l’époque préhistorique. Ensuite, le concept de « nombres naturels » aurait été formé. Sa formation s’est produite tout au long du processus de changement de la vision du monde d’une personne et du développement de la science et de la technologie.

Cependant, ils ne pouvaient pas encore penser de manière abstraite. Il leur était difficile de comprendre quel était le point commun des concepts de « trois chasseurs » ou de « trois arbres ». Par conséquent, pour indiquer le nombre de personnes, une définition a été utilisée, et pour indiquer le même nombre d'objets d'un type différent, une définition complètement différente a été utilisée.

Et c'était extrêmement court. Il ne contenait que les chiffres 1 et 2, et le décompte se terminait par les notions de « beaucoup », « troupeau », « foule », « tas ».

Plus tard, un récit plus progressiste et plus large a été formé. Un fait intéressant est qu'il n'y avait que deux nombres - 1 et 2, et les nombres suivants étaient obtenus par addition.

Un exemple en est l'information qui nous est parvenue sur la série numérique de la tribu australienne. Ils avaient 1 pour le mot « Enza » et 2 pour le mot « petcheval ». Le chiffre 3 sonnait donc comme « petcheval-Enza », et le 4 sonnait comme « petcheval-petcheval ».

La plupart des peuples reconnaissaient les doigts comme la norme pour compter. Le développement ultérieur du concept abstrait de « nombres naturels » a suivi la voie de l'utilisation d'encoches sur un bâton. Et puis il est devenu nécessaire d’en désigner une douzaine avec un autre signe. Les peuples anciens ont trouvé notre issue - ils ont commencé à utiliser un autre bâton, sur lequel des encoches étaient faites pour indiquer les dizaines.

La capacité de reproduire des nombres s’est considérablement développée avec l’avènement de l’écriture. Au début, les chiffres étaient représentés sous forme de lignes sur des tablettes d'argile ou des papyrus, mais peu à peu d'autres icônes d'écriture ont commencé à être utilisées. C'est ainsi qu'apparaissent les chiffres romains.

Beaucoup plus tard, ils sont apparus, ouvrant la possibilité d'écrire des nombres avec un jeu de caractères relativement petit. Aujourd'hui, il n'est pas difficile d'écrire des nombres aussi énormes que la distance entre les planètes et le nombre d'étoiles. Il suffit d'apprendre à utiliser les diplômes.

Euclide au IIIe siècle avant JC dans le livre « Éléments » établit l'infinité de l'ensemble numérique, et Archimède dans « Psamita » révèle les principes de construction des noms de nombres arbitrairement grands. Presque jusqu'au milieu du XIXe siècle, les gens n'étaient pas confrontés à la nécessité d'une formulation claire du concept de « nombres naturels ». La définition s'est imposée avec l'avènement de la méthode mathématique axiomatique.

Et dans les années 70 du 19ème siècle, il a formulé une définition claire des nombres naturels, basée sur le concept d'ensemble. Et aujourd’hui, nous savons déjà que les nombres naturels sont tous des nombres entiers, de 1 à l’infini. Les jeunes enfants, faisant leurs premiers pas dans la connaissance de la reine de toutes les sciences - les mathématiques - commencent à étudier ces mêmes chiffres.

1.1.Définition

Les nombres que les gens utilisent pour compter sont appelés naturel(par exemple, un, deux, trois,..., cent, cent un,..., trois mille deux cent vingt et un,...) Pour écrire les nombres naturels, on utilise des signes spéciaux (symboles), appelé en chiffres.

De nos jours, c'est accepté système de nombres décimaux. Le système (ou méthode) décimal d’écriture des nombres utilise des chiffres arabes. Il s'agit de dix caractères numériques différents : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Moins un nombre naturel est un nombre un, ilécrit en utilisant un nombre décimal - 1. L'entier naturel suivant est obtenu à partir du précédent (sauf un) en ajoutant 1 (un). Cet ajout peut être effectué plusieurs fois (un nombre infini de fois). Cela signifie que Non le meilleur entier naturel. C’est pourquoi on dit que la série des nombres naturels est illimitée ou infinie, puisqu’elle n’a pas de fin. Les nombres naturels s'écrivent en utilisant des chiffres décimaux.

1.2. Chiffre "zéro"

Pour indiquer l'absence de quelque chose, utilisez le numéro " zéro" ou " zéro". Il s'écrit en chiffres 0 (zéro). Par exemple, dans une boîte, toutes les boules sont rouges. Combien d’entre eux sont verts ? - Réponse : zéro . Cela signifie qu’il n’y a pas de boules vertes dans la boîte ! Le chiffre 0 peut signifier que quelque chose est terminé. Par exemple, Masha avait 3 pommes. Elle en a partagé deux avec des amis et en a mangé un elle-même. Alors elle est partie 0 (zéro) pommes, c'est-à-dire il n'en reste plus un. Le chiffre 0 peut signifier que quelque chose ne s’est pas produit. Par exemple, le match de hockey Équipe Russie - Équipe Canada s'est terminé avec le score 3:0 (on lit « trois - zéro ») en faveur de l'équipe russe. Cela signifie que l'équipe russe a marqué 3 buts et que l'équipe canadienne a marqué 0 but et n'a pas pu marquer un seul but. Nous devons nous souvenir que le nombre zéro n'est pas un nombre naturel.

1.3. Écrire des nombres naturels

Dans la manière décimale d’écrire un nombre naturel, chaque chiffre peut représenter un nombre différent. Cela dépend de la place de ce chiffre dans l'enregistrement du numéro. Un certain endroit dans la notation d'un nombre naturel est appelé position. Par conséquent, le système de nombres décimaux est appelé positionnel. Considérons la notation décimale de 7777 sept mille sept cent soixante-dix-sept. Cette entrée contient sept mille sept cents sept dizaines et sept unités.

Chacune des places (positions) dans la notation décimale d'un nombre est appelée décharge. Tous les trois chiffres sont combinés en Classe. Cette fusion se fait de droite à gauche (à partir de la fin de la fiche numéro). Différentes catégories et classes ont leurs propres noms. La gamme de nombres naturels est illimitée. Par conséquent, le nombre de rangs et de classes n'est pas non plus limité ( sans cesse). Regardons les noms des chiffres et des classes en utilisant l'exemple d'un nombre avec notation décimale

38 001 102 987 000 128 425:

Classes et rangs

quintillions

des centaines de quintillions

dizaines de quintillions

quintillions

quadrillions

des centaines de quadrillions

dizaines de quadrillions

quadrillions

des milliards

des centaines de milliards

des dizaines de milliards

des milliards

milliards

des centaines de milliards

des dizaines de milliards

milliards

des millions

des centaines de millions

Des dizaines de millions

des millions

des centaines de milliers

des dizaines de milliers

Ainsi, les classes, en commençant par les plus jeunes, ont des noms : unités, milliers, millions, milliards, billions, quadrillions, quintillions.

1.4. Unités de bits

Chacune des classes de la notation des nombres naturels se compose de trois chiffres. Chaque rang a unités numériques. Les nombres suivants sont appelés unités numériques :

1 - chiffre unité d'unités chiffre,

Unité de dizaines à 10 chiffres,

100 - unité de centaines de chiffres,

1 000 - unité de milliers de chiffres,

10 000 est une unité numérique de dizaines de milliers,

100 000 est une unité de lieu pour des centaines de milliers,

1 000 000 est l'unité à un million de chiffres, etc.

Un nombre dans l'un des chiffres indique le nombre d'unités de ce chiffre. Ainsi, le nombre 9, à la place des centaines de milliards, signifie que le nombre 38 001 102 987 000 128 425 comprend neuf milliards (soit 9 fois 1 000 000 000 ou unités à 9 chiffres de la place des milliards). Une place vide de centaines de quintillions signifie qu'il n'y a pas de centaines de quintillions dans le nombre donné ou que leur nombre est nul. Dans ce cas, le numéro 38 001 102 987 000 128 425 peut s'écrire ainsi : 038 001 102 987 000 128 425.

Vous pouvez l'écrire différemment : 000 038 001 102 987 000 128 425. Les zéros au début du nombre indiquent des chiffres de poids fort vides. Habituellement, ils ne sont pas écrits, contrairement aux zéros à l'intérieur de la notation décimale, qui marquent nécessairement les chiffres vides. Ainsi, trois zéros dans la classe des millions signifient que les centaines de millions, les dizaines de millions et les unités de millions sont vides.

1.5. Abréviations pour écrire des nombres

Lors de l'écriture des nombres naturels, des abréviations sont utilisées. Voici quelques exemples:

1 000 = 1 mille (mille)

23 000 000 = 23 millions (vingt-trois millions)

5 000 000 000 = 5 milliards (cinq milliards)

203 000 000 000 000 = 203 000 milliards. (deux cent trois mille milliards)

107 000 000 000 000 000 = 107 mètres carrés. (cent sept quadrillions)

1 000 000 000 000 000 000 = 1 kWt. (un quintillion)

Bloc 1.1. Dictionnaire

Compilez un dictionnaire de nouveaux termes et définitions du §1. Pour ce faire, écrivez les mots de la liste de termes ci-dessous dans les cellules vides. Dans le tableau (en fin de bloc), indiquez pour chaque définition le numéro du terme de la liste.

Bloc 1.2. Auto-préparation

Dans le monde des grands nombres

Économie .

  1. Le budget de la Russie pour l'année prochaine s'élèvera à 6 328 251 684 128 roubles.
  2. Les dépenses prévues pour cette année sont : 5124983252134 roubles.
  3. Les revenus du pays ont dépassé les dépenses de 1 203 268 431 094 roubles.

Questions et tâches

  1. Lisez les trois nombres donnés
  2. Écrivez les chiffres de la classe des millions pour chacun des trois nombres.

  1. À quelle section de chacun des nombres appartient le chiffre situé en septième position à partir de la fin de l’enregistrement du nombre ?
  2. Quel nombre d'unités de chiffres est indiqué par le chiffre 2 dans la saisie du premier nombre ?... dans la saisie du deuxième et du troisième nombre ?
  3. Nommez l'unité numérique pour la huitième position à partir de la fin dans la notation de trois nombres.

Géographie (longueur)

  1. Rayon équatorial de la Terre : 6378245 m
  2. Circonférence de l'équateur : 40075696 m
  3. La plus grande profondeur des océans du monde (fosse des Mariannes dans l'océan Pacifique) 11 500 m

Questions et tâches

  1. Convertissez les trois valeurs en centimètres et lisez les nombres résultants.
  2. Pour le premier nombre (en cm), notez les nombres dans les sections :

des centaines de milliers _______

Des dizaines de millions _______

milliers _______

milliards _______

des centaines de millions _______

  1. Pour le deuxième nombre (en cm), notez les unités numériques correspondant aux nombres 4, 7, 5, 9 dans la notation numérique

  1. Convertissez la troisième valeur en millimètres et lisez le nombre obtenu.
  2. Pour toutes les positions dans la saisie du troisième nombre (en mm), indiquer les chiffres et les unités de chiffres dans le tableau :

Géographie (carré)

  1. La superficie de la surface totale de la Terre est de 510 083 mille kilomètres carrés.
  2. La superficie des sommes sur Terre est de 148 628 mille kilomètres carrés.
  3. La superficie de la surface de l'eau de la Terre est de 361 455 000 kilomètres carrés.

Questions et tâches

  1. Convertissez les trois valeurs en mètres carrés et lisez les nombres résultants.
  2. Nommer les classes et catégories correspondant à des chiffres non nuls dans l'enregistrement de ces nombres (en m²).
  3. En écrivant le troisième nombre (en m²), nommez les unités numériques correspondant aux nombres 1, 3, 4, 6.
  4. Dans deux entrées de la deuxième valeur (en km² et en m²), indiquez à quels chiffres appartient le chiffre 2.
  5. Écrivez les unités de valeur de position pour le chiffre 2 dans les deuxièmes notations de quantité.

Bloc 1.3. Dialogue avec l'ordinateur.

On sait que les grands nombres sont souvent utilisés en astronomie. Donnons des exemples. La distance moyenne de la Lune à la Terre est de 384 000 km. La distance de la Terre au Soleil (en moyenne) est de 149 504 000 km, la Terre de Mars est de 55 millions de km. Sur un ordinateur, à l'aide de l'éditeur de texte Word, créez des tableaux de sorte que chaque chiffre de l'entrée des nombres indiqués se trouve dans une cellule (cellule) distincte. Pour ce faire, exécutez les commandes de la barre d'outils : tableau → ajouter un tableau → nombre de lignes (utilisez le curseur pour définir « 1 ») → nombre de colonnes (calculez vous-même). Créez des tableaux pour d'autres nombres (dans le bloc « Auto-préparation »).

Bloc 1.4. Relais des grands nombres


La première ligne du tableau contient un grand nombre. Lis le. Terminez ensuite les tâches : en déplaçant les nombres dans l'enregistrement numérique vers la droite ou la gauche, obtenez les nombres suivants et lisez-les. (Ne déplacez pas les zéros à la fin du numéro !). En classe, le relais peut être effectué en se le passant.

Ligne 2 . Déplacez tous les chiffres du numéro de la première ligne vers la gauche sur deux cellules. Remplacez les chiffres 5 par le numéro suivant. Remplissez les cellules vides avec des zéros. Lisez le numéro.

Ligne 3 . Déplacez tous les chiffres du numéro de la deuxième ligne vers la droite sur trois cellules. Remplacez les chiffres 3 et 4 du nombre par les chiffres suivants. Remplissez les cellules vides avec des zéros. Lisez le numéro.

Ligne 4. Déplacez tous les chiffres du numéro de la ligne 3 d’une cellule vers la gauche. Remplacez le chiffre 6 dans la classe des milliards par le précédent, et dans la classe des milliards par le chiffre suivant. Remplissez les cellules vides avec des zéros. Lisez le nombre obtenu.

Ligne 5 . Déplacez tous les chiffres du numéro de la ligne 4 d’une cellule vers la droite. Remplacez le chiffre 7 dans la catégorie « dizaines de milliers » par le précédent, et dans la catégorie « dizaines de millions » par le suivant. Lisez le nombre obtenu.

Ligne 6 . Déplacez tous les chiffres du numéro de la ligne 5 vers la gauche sur 3 cellules. Remplacez le chiffre 8 à la place des centaines de milliards par le précédent, et le chiffre 6 à la place des centaines de millions par le chiffre suivant. Remplissez les cellules vides avec des zéros. Calculez le nombre obtenu.

Ligne 7 . Déplacez tous les chiffres du numéro de la ligne 6 vers la droite d’une cellule. Échangez les nombres en dizaines de quadrillions et en dizaines de milliards. Lisez le nombre obtenu.

Ligne 8 . Déplacez tous les chiffres du numéro de la ligne 7 vers la gauche dans une cellule. Échangez les nombres entre les quintillions et les quadrillions. Remplissez les cellules vides avec des zéros. Lisez le nombre obtenu.

Ligne 9 . Déplacez tous les chiffres du numéro de la ligne 8 vers la droite sur trois cellules. Échangez deux chiffres adjacents des classes de millions et de milliards dans une droite numérique. Lisez le nombre obtenu.

Ligne 10 . Déplacez tous les chiffres du numéro de la ligne 9 d’une cellule vers la droite. Lisez le nombre obtenu. Sélectionnez les chiffres indiquant l'année de l'Olympiade de Moscou.

Bloc 1.5. Jouons

Allumez la flamme

Le terrain de jeu est un dessin d'un arbre de Noël. Il dispose de 24 ampoules. Mais seulement 12 d’entre eux sont connectés au réseau électrique. Pour sélectionner les lampes connectées, vous devez répondre correctement aux questions par « Oui » ou « Non ». Le même jeu peut être joué sur un ordinateur ; la bonne réponse « allume » l’ampoule.

  1. Est-il vrai que les nombres sont des signes spéciaux pour écrire des nombres naturels ? (1 - oui, 2 - non)
  2. Est-il vrai que 0 est le plus petit nombre naturel ? (3 - oui, 4 - non)
  3. Est-il vrai que dans le système de numérotation positionnelle, le même chiffre peut représenter des nombres différents ? (5 - oui, 6 - non)
  4. Est-il vrai qu'une certaine place dans la notation décimale des nombres est appelée un lieu ? (7 - oui, 8 - non)
  5. Le nombre 543 384 est donné. Est-il vrai que le nombre d'unités à chiffres les plus élevés est 543 et que les chiffres les plus bas sont 384 ? (9 - oui, 10 - non)
  6. Est-il vrai que dans la classe des milliards, l'unité numérique la plus élevée est cent milliards et l'unité numérique la plus basse est un milliard ? (11 - oui, 12 - non)
  7. Le nombre 458 121 est donné. Est-il vrai que la somme du nombre d’unités à chiffres les plus élevés et du nombre d’unités à chiffres les plus bas est de 5 ? (13 - oui, 14 - non)
  8. Est-il vrai que l’unité à chiffres les plus élevés de la classe des billions est un million de fois plus grande que l’unité à chiffres les plus élevés de la classe des millions ? (15 - oui, 16 - non)
  9. Étant donné deux nombres 637 508 et 831. Est-il vrai que l’unité du chiffre le plus élevé du premier nombre est 1 000 fois supérieure à l’unité du chiffre le plus élevé du deuxième nombre ? (17 - oui, 18 - non)
  10. Étant donné le nombre 432. Est-il vrai que le chiffre le plus élevé de ce nombre est 2 fois plus grand que le chiffre le plus bas ? (19 - oui, 20 - non)
  11. Le nombre 100 000 000 est donné. Est-il vrai que le nombre d'unités numériques qui composent 10 000 est égal à 1 000 ? (21 - oui, 22 - non)
  12. Est-il vrai qu’avant la classe des milliards, il y a une classe des quadrillions, et avant cette classe, il y a une classe des quintillions ? (23 - oui, 24 - non)

1.6. De l'histoire des nombres

Depuis l'Antiquité, les hommes sont confrontés à la nécessité de compter le nombre de choses, de comparer les quantités d'objets (par exemple, cinq pommes, sept flèches... ; il y a 20 hommes et trente femmes dans une tribu,... ). Il fallait aussi mettre de l'ordre au sein d'un certain nombre d'objets. Par exemple, lors de la chasse, le chef de la tribu passe en premier, le guerrier le plus fort de la tribu vient en deuxième, etc. Des chiffres ont été utilisés à ces fins. Des noms spéciaux ont été inventés pour eux. Dans le discours, on les appelle des chiffres : un, deux, trois, etc. sont des chiffres cardinaux, et le premier, le deuxième, le troisième sont des chiffres ordinaux. Les nombres étaient écrits à l'aide de caractères spéciaux - des nombres.

Au fil du temps, il est apparu systèmes de numérotation. Ce sont des systèmes qui incluent des moyens d’écrire des nombres et d’effectuer diverses opérations dessus. Les systèmes numériques connus les plus anciens sont les systèmes numériques égyptiens, babyloniens et romains. Dans les temps anciens, en Russie, les lettres de l'alphabet avec un signe spécial ~ (titre) étaient utilisées pour écrire des nombres. Actuellement, le système de nombres décimaux est le plus répandu. Les systèmes de nombres binaires, octaux et hexadécimaux sont largement utilisés, notamment dans le monde informatique.

Ainsi, pour écrire le même nombre, vous pouvez utiliser différents signes - des nombres. Ainsi, le nombre quatre cent vingt-cinq peut être écrit en chiffres égyptiens - hiéroglyphes :

C'est la manière égyptienne d'écrire les nombres. C'est le même nombre en chiffres romains : CDXXVI(Manière romaine d'écrire les nombres) ou chiffres décimaux 425 (système de nombres décimaux). En notation binaire, cela ressemble à ceci : 110101001 (système de nombres binaires ou binaires), et en octal - 651 (système de numérotation octale). Dans le système de nombres hexadécimaux, il s'écrira : 1A9(système de nombres hexadécimaux). Vous pouvez le faire tout simplement : faire, à la manière de Robinson Crusoé, quatre cent vingt-cinq encoches (ou traits) sur un poteau en bois - IIIIIIIII…... III. Ce sont les toutes premières images de nombres naturels.

Ainsi, dans le système décimal d'écriture des nombres (de la manière décimale d'écrire les nombres), des chiffres arabes sont utilisés. Ce sont dix symboles différents - des nombres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . En binaire - deux chiffres binaires : 0, 1 ; en octal - huit chiffres octaux : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ; en hexadécimal - seize chiffres hexadécimaux différents : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F ; en sexagésimal (babylonien) - soixante caractères différents - nombres, etc.)

Les nombres décimaux sont arrivés aux pays européens en provenance du Moyen-Orient et des pays arabes. D'où le nom - chiffres arabes. Mais ils sont arrivés aux Arabes depuis l’Inde, où ils ont été inventés vers le milieu du premier millénaire.

1.7. Système de numérotation romaine

L’un des anciens systèmes numériques utilisés aujourd’hui est le système romain. Nous présentons dans le tableau les principaux nombres du système numérique romain et les nombres correspondants du système décimal.

chiffre romain
C

50 cinquante

500 cinq cents

1000 mille

Le système de numérotation romaine est système d’addition. Dans celui-ci, contrairement aux systèmes positionnels (par exemple décimaux), chaque chiffre représente le même nombre. Oui, enregistre II- désigne le chiffre deux (1 + 1 = 2), notation III- chiffre trois (1 + 1 + 1 = 3), notation XXX- le nombre trente (10 + 10 + 10 = 30), etc. Les règles suivantes s'appliquent à l'écriture des nombres.

  1. Si le nombre inférieur est après plus grand, puis il est ajouté au plus grand : VII- le chiffre sept (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVIIIe- le nombre dix-sept (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL- le nombre mille cent cinquante (1000 + 100 + 50 = 1150).
  2. Si le nombre inférieur est avant plus grand, alors il est soustrait du plus grand : IX- le numéro neuf (9 = 10 - 1), L.M.- le nombre neuf cent cinquante (1000 - 50 = 950).

Pour écrire de grands nombres, il faut utiliser (inventer) de nouveaux symboles : les nombres. Dans le même temps, l'enregistrement des chiffres s'avère fastidieux et il est très difficile d'effectuer des calculs avec des chiffres romains. Ainsi, l'année du lancement du premier satellite artificiel de la Terre (1957) dans les archives romaines a la forme MCMLVI .

Bloc 1. 8. Carte perforée

Lire les nombres naturels

Ces tâches sont vérifiées à l'aide d'une carte avec des cercles. Expliquons son application. Après avoir terminé toutes les tâches et trouvé les bonnes réponses (elles sont indiquées par les lettres A, B, C, etc.), placez une feuille de papier transparent sur la carte. Utilisez les signes « X » pour marquer les bonnes réponses, ainsi que la marque correspondante « + ». Posez ensuite la feuille transparente sur la page de manière à ce que les marques d'enregistrement soient alignées. Si tous les « X » se trouvent dans les cercles gris sur cette page, alors les tâches ont été effectuées correctement.

1.9. Ordre de lecture des nombres naturels

Lors de la lecture d'un nombre naturel, procédez comme suit.

  1. Divisez mentalement le nombre en triplets (classes) de droite à gauche, à partir de la fin du nombre.
  1. En partant de la classe junior, de droite à gauche (à partir de la fin du nombre) notez les noms des classes : unités, milliers, millions, milliards, billions, quadrillions, quintillions.
  2. Ils lisent le numéro à partir du lycée. Dans ce cas, le nombre d'unités binaires et le nom de la classe sont appelés.
  3. Si le bit contient un zéro (le bit est vide), alors il n'est pas appelé. Si les trois chiffres de la classe nommée sont des zéros (les chiffres sont vides), alors cette classe n'est pas appelée.

Lisons (nommons) le nombre écrit dans le tableau (voir §1), selon les étapes 1 à 4. Divisons mentalement le nombre 38001102987000128425 en classes de droite à gauche : 038 001 102 987 000 128 425. Nous indiquons les noms des classes dans ce nombre, en commençant par la fin de ses enregistrements : unités, milliers, millions, milliards, billions, quadrillions, quintillions. Vous pouvez maintenant lire le numéro, en commençant par la classe senior. Nous nommons des nombres à trois chiffres, à deux chiffres et à un chiffre, en ajoutant le nom de la classe correspondante. Nous ne nommons pas les classes vides. On obtient le numéro suivant :

  • 038 - trente-huit quintillions
  • 001 - un quadrillion
  • 102 - cent deux mille milliards
  • 987 - neuf cent quatre vingt sept milliards
  • 000 - nous ne nommons pas (ne lisons pas)
  • 128 - cent vingt huit mille
  • 425 - quatre cent vingt-cinq

En conséquence, on lit l’entier naturel 38 001 102 987 000 128 425 comme suit : "trente-huit quintillions un quadrillion cent deux billions neuf cent quatre-vingt-sept milliards cent vingt-huit mille quatre cent vingt-cinq."

1.9. L'ordre d'écriture des nombres naturels

Les nombres naturels s'écrivent dans l'ordre suivant.

  1. Notez trois chiffres de chaque classe, en commençant par la classe la plus élevée jusqu'à la place correspondante. Dans ce cas, pour la classe senior, il peut y avoir deux ou un chiffres.
  2. Si la classe ou la catégorie n'est pas nommée, alors des zéros sont écrits dans les catégories correspondantes.

Par exemple, le numéro vingt-cinq millions trois cent deuxécrit sous la forme : 25 000 302 (la classe des milliers n'est pas nommée, donc tous les chiffres de la classe des milliers sont écrits avec des zéros).

1.10. Représentation des nombres naturels sous la forme d'une somme de termes numériques

Donnons un exemple : 7 563 429 est la notation décimale d'un nombre sept millions cinq cent soixante-trois mille quatre cent vingt-neuf. Ce nombre contient sept millions cinq cent mille six dix mille trois mille quatre cents deux dizaines et neuf un. Il peut être représenté comme la somme : 7 563 429 = 7 000 000 + 500 000 + 60 000 + + 3 000 + 400 + 20 + 9. Cette notation est appelée représentant un nombre naturel comme une somme de termes numériques.

Bloc 1.11. Jouons

Trésors du donjon

Sur le terrain de jeu se trouve un dessin du conte de fées "Mowgli" de Kipling. Cinq coffres sont dotés de cadenas. Pour les ouvrir, vous devez résoudre des problèmes. En même temps, en ouvrant un coffre en bois, vous gagnez un point. Ouvrir un coffre en étain vous donne deux points, un coffre en cuivre trois points, un coffre en argent quatre points et un coffre en or cinq points. Celui qui ouvre tous les coffres le plus rapidement gagne. Le même jeu peut être joué sur un ordinateur.

  1. Coffre en bois

Trouvez combien d'argent (en milliers de roubles) se trouve dans ce coffre. Pour ce faire, vous devez trouver le nombre total d'unités à chiffres les plus bas de la classe million pour le nombre : 125308453231.

  1. Coffre en étain

Trouvez combien d'argent (en milliers de roubles) se trouve dans ce coffre. Pour ce faire, dans le nombre 12530845323, recherchez le nombre d'unités du chiffre le plus bas de la classe d'unités et le nombre d'unités du chiffre le plus bas de la classe des millions. Trouvez ensuite la somme de ces nombres et ajoutez le nombre se trouvant dans la case des dizaines de millions à droite.

  1. Coffre en cuivre

Pour trouver l'argent dans ce coffre (en milliers de roubles), vous devez trouver dans le nombre 751305432198203 le nombre d'unités binaires les plus basses de la classe des milliards et le nombre d'unités binaires les plus basses de la classe des milliards. Trouvez ensuite la somme de ces nombres et écrivez à droite les nombres naturels de la classe d'unités de ce nombre dans l'ordre de leur emplacement.

  1. Coffre en argent

L'argent dans ce coffre (en millions de roubles) sera représenté par la somme de deux nombres : le nombre d'unités du chiffre le plus bas de la classe des milliers et le nombre d'unités du chiffre moyen de la classe des milliards pour le nombre 481534185491502.

  1. Coffre doré

Le numéro 800123456789123456789 est donné. Si nous multiplions les nombres dans les chiffres les plus élevés de toutes les classes de ce numéro, nous obtenons l'argent de ce coffre en un million de roubles.

Bloc 1.12. Correspondre

Écrire des nombres naturels. Représentation des nombres naturels sous la forme d'une somme de termes numériques

Pour chaque tâche dans la colonne de gauche, sélectionnez une solution dans la colonne de droite. Écrivez la réponse sous la forme : 1a ; 2g ; 3b...

Écrivez le nombre en chiffres : cinq millions vingt cinq mille

Écrivez le nombre en chiffres : cinq milliards vingt-cinq millions

Écrivez le nombre en chiffres : cinq mille milliards vingt-cinq

Écrivez le nombre en chiffres : soixante-dix-sept millions soixante-dix-sept mille sept cent soixante-dix-sept

Écrivez le nombre en chiffres : soixante-dix-sept billions sept cent soixante-dix-sept mille sept

Écrivez le nombre en chiffres : soixante-dix-sept millions sept cent soixante-dix-sept mille sept

Écrivez le nombre en chiffres : cent vingt-trois milliards quatre cent cinquante-six millions sept cent quatre-vingt-neuf mille

Écrivez le nombre en chiffres : cent vingt-trois millions quatre cent cinquante-six mille sept cent quatre-vingt-neuf

Écrivez le nombre en chiffres : trois milliards onze

Écrivez le nombre en chiffres : trois milliards onze millions

Option 2

trente-deux milliards cent soixante-quinze millions deux cent quatre-vingt-dix-huit mille trois cent quarante et un

100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1

Présentez le nombre comme une somme de termes numériques : trois cent vingt et un millions quarante et un

30000000000 + 2000000000 +

100000000 + 70000000 + 5000000 +

200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1

Présentez le nombre comme une somme de termes numériques : 321000175298341

Présentez le nombre comme une somme de termes numériques : 101010101

Présentez le nombre comme une somme de termes numériques : 11111

300000000 + 20000000 + 1000000 +

5000000 + 300000 + 20000 + 1000

Écrivez en notation décimale le nombre présenté comme une somme de termes numériques : 5000000 + 300 + 20 + 1

30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1

Écrivez en notation décimale le nombre présenté comme une somme de termes numériques :

10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9

Écrivez en notation décimale le nombre présenté comme une somme de termes numériques :

10000000000 + 2000000000 + 100000000 +

10000000 + 9000000

Écrivez en notation décimale le nombre présenté comme une somme de termes numériques : 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9

10000 + 1000 + 100 + 10 + 1

Bloc 1.13. Test de facettes

Le nom du test vient du mot « œil composé d’insecte ». Il s’agit d’un œil complexe constitué d’« ocelles » individuels. Les tâches de test de facettes sont formées d'éléments individuels indiqués par des chiffres. En règle générale, les tests de facettes contiennent un grand nombre de tâches. Mais dans ce test, il n'y a que quatre tâches, mais elles sont constituées d'un grand nombre d'éléments. Ceci est conçu pour vous apprendre à « assembler » des problèmes de test. Si vous pouvez les créer, vous pouvez facilement faire face à d'autres tests de facettes.

Expliquons comment les tâches sont composées en utilisant l'exemple de la troisième tâche. Il est composé d'éléments de test numérotés : 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

« Si» 1) prendre des nombres (chiffres) du tableau ; 4) 7; 7) placez-le dans une catégorie ; 11) des milliards ; 1) prenez un numéro sur la table ; 5) 8; 7) placez-le en catégories ; 9) Des dizaines de millions; 10) des centaines de millions; 16) des centaines de milliers; 17) des dizaines de milliers; 22) Placez les nombres 9 et 6 aux milliers et aux centaines. 21) remplissez les bits restants avec des zéros ; " QUE» 26) on obtient un nombre égal au temps (période) de révolution de la planète Pluton autour du Soleil en secondes (s) ; " Ce nombre est égal à" : 7880889600p. Dans les réponses, il est indiqué par la lettre "V".

Lorsque vous résolvez des problèmes, utilisez un crayon pour écrire les nombres dans les cellules du tableau.

Test de facettes. Inventez un numéro

Le tableau contient les chiffres :

Si

1) prenez le(s) nombre(s) du tableau :

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) placer ce(s) chiffre(s) dans le(s) chiffre(s) ;

8) des centaines de quadrillions et des dizaines de quadrillions ;

9) des dizaines de millions ;

10) des centaines de millions ;

11) milliards ;

12) quintillions ;

13) dizaines de quintillions ;

14) des centaines de quintillions ;

15) mille milliards ;

16) des centaines de milliers ;

17) des dizaines de milliers ;

18) en remplir la ou les classes ;

19) quintillions ;

20) milliards ;

21) remplir les bits restants avec des zéros ;

22) placer les nombres 9 et 6 aux places des milliers et des centaines ;

23) on obtient un nombre égal à la masse de la Terre en dizaines de tonnes ;

24) on obtient un nombre approximativement égal au volume de la Terre en mètres cubes ;

25) nous obtenons un nombre égal à la distance (en mètres) du Soleil à la planète la plus éloignée du système solaire, Pluton ;

26) on obtient un nombre égal au temps (période) de révolution de la planète Pluton autour du Soleil en secondes (s) ;

Ce nombre est égal à :

a) 5929000000000

b) 9999900000000000000000

d) 5980000000000000000000

Résoudre des problèmes:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

Réponses

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - g

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 -b

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 pouces

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - un

Les nombres naturels sont l'un des concepts mathématiques les plus anciens.

Dans un passé lointain, les gens ne connaissaient pas les chiffres et lorsqu’ils avaient besoin de compter des objets (animaux, poissons, etc.), ils le faisaient différemment de nous aujourd’hui.

Le nombre d'objets a été comparé à des parties du corps, par exemple avec les doigts d'une main, et ils ont dit : « J'ai autant de noix que de doigts sur ma main.

Au fil du temps, les gens se sont rendu compte que cinq noix, cinq chèvres et cinq lièvres avaient une propriété commune - leur nombre est égal à cinq.

Souviens-toi!

Entiers- ce sont des nombres, à partir de 1, obtenus en comptant des objets.

1, 2, 3, 4, 5…

Le plus petit nombre naturel — 1 .

Le plus grand nombre naturel n'existe pas.

Lors du comptage, le nombre zéro n'est pas utilisé. Par conséquent, zéro n’est pas considéré comme un nombre naturel.

Les gens ont appris à écrire les nombres bien plus tard qu’à compter. Tout d'abord, ils ont commencé à en représenter un avec un bâton, puis avec deux bâtons - le chiffre 2, avec trois - le chiffre 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Ensuite, des signes spéciaux sont apparus pour indiquer les nombres - les prédécesseurs des nombres modernes. Les chiffres que nous utilisons pour écrire les nombres sont originaires de l’Inde il y a environ 1 500 ans. Les Arabes les ont amenés en Europe, c'est pourquoi on les appelle chiffres arabes.

Il y a dix nombres au total : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. En utilisant ces nombres, vous pouvez écrire n’importe quel nombre naturel.

Souviens-toi!

Série naturelle est une séquence de tous les nombres naturels :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Dans la série naturelle, chaque nombre est supérieur de 1 au précédent.

La série naturelle est infinie ; elle ne contient pas de plus grand nombre naturel.

Le système de comptage que nous utilisons s'appelle position décimale.

Décimal car 10 unités de chaque chiffre forment 1 unité du chiffre le plus élevé. Positionnel car la signification d'un chiffre dépend de sa place dans l'enregistrement numérique, c'est-à-dire du chiffre dans lequel il est écrit.

Important!

Les classes qui suivent le milliard sont nommées d'après les noms latins des nombres. Chaque unité suivante contient mille unités précédentes.

  • 1 000 milliards = 1 000 000 000 000 = 1 billion (« trois » signifie « trois » en latin)
  • 1 000 billions = 1 000 000 000 000 000 = 1 quadrillion (« quadra » signifie « quatre » en latin)
  • 1 000 quadrillions = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 quintillion (« quinta » signifie « cinq » en latin)

Cependant, les physiciens ont découvert un nombre qui dépasse le nombre de tous les atomes (les plus petites particules de matière) de l'Univers entier.

Ce numéro a reçu un nom spécial - google. Googol est un nombre avec 100 zéros.

Entiers– les nombres naturels sont des nombres utilisés pour compter des objets. L'ensemble de tous les nombres naturels est parfois appelé la série naturelle : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, etc. .

Pour écrire des nombres naturels, dix chiffres sont utilisés : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. En les utilisant, vous pouvez écrire n'importe quel nombre naturel. Cette notation des nombres est appelée décimale.

La série naturelle de nombres peut se poursuivre indéfiniment. Il n'existe pas de nombre qui serait le dernier, car vous pouvez toujours en ajouter un au dernier nombre et vous obtiendrez un nombre déjà supérieur à celui que vous recherchez. Dans ce cas, on dit qu’il n’y a pas de plus grand nombre dans la série naturelle.

Lieux des nombres naturels

Lors de l'écriture d'un nombre à l'aide de chiffres, l'endroit où le chiffre apparaît dans le nombre est critique. Par exemple, le chiffre 3 signifie : 3 unités, s'il apparaît à la dernière place du chiffre ; 3 dizaines, si elle est à l'avant-dernière place du nombre ; 4 cents si elle est à la troisième place dès la fin.

Le dernier chiffre signifie la place des unités, l'avant-dernier chiffre signifie la place des dizaines et le 3 à partir de la fin signifie la place des centaines.

Numéros à un ou plusieurs chiffres

Si l'un des chiffres d'un nombre contient le chiffre 0, cela signifie qu'il n'y a aucune unité dans ce chiffre.

Le chiffre 0 est utilisé pour désigner le chiffre zéro. Zéro n’est « pas un ».

Zéro n'est pas un nombre naturel. Bien que certains mathématiciens pensent différemment.

Si un nombre est constitué d'un chiffre, il est appelé à un chiffre, s'il est composé de deux, il est appelé à deux chiffres, s'il est composé de trois, il est appelé à trois chiffres, etc.

Les nombres qui ne sont pas à un chiffre sont également appelés à plusieurs chiffres.

Classes de chiffres pour lire les grands nombres naturels

Pour lire les grands nombres naturels, le nombre est divisé en groupes de trois chiffres, en commençant par le bord droit. Ces groupes sont appelés classes.

Les trois premiers chiffres sur le côté droit constituent la classe des unités, les trois suivants sont la classe des milliers et les trois suivants sont la classe des millions.

Million – mille mille ; l’abréviation million est utilisée pour enregistrer 1 million = 1 000 000.

Un milliard = mille millions. Pour l'enregistrement, utilisez l'abréviation milliard 1 milliard = 1 000 000 000.

Exemple d'écriture et de lecture

Ce nombre comprend 15 unités dans la catégorie des milliards, 389 unités dans la catégorie des millions, zéro unité dans la catégorie des milliers et 286 unités dans la catégorie des unités.

Ce nombre se lit ainsi : 15 milliards 389 millions 286.

Lisez les nombres de gauche à droite. Appelez à tour de rôle le nombre d’unités de chaque classe, puis ajoutez le nom de la classe.