Produit scalaire de vecteurs (ci-après dénommé SP). Chers amis! L'examen de mathématiques comprend un groupe de problèmes sur la résolution de vecteurs. Nous avons déjà examiné certains problèmes. Vous pouvez les voir dans la catégorie « Vecteurs ». En général, la théorie des vecteurs n'est pas compliquée, l'essentiel est de l'étudier de manière cohérente. Calculs et opérations avec des vecteurs dans cours scolaire Le calcul est simple, les formules ne sont pas compliquées. Jeter un coup d'œil à. Dans cet article, nous analyserons les problèmes sur SP des vecteurs (inclus dans l'examen d'État unifié). Maintenant « immersion » dans la théorie :
H Pour trouver les coordonnées d'un vecteur, il faut soustraire des coordonnées de sa finles coordonnées correspondantes de son origine
Et plus loin:
*La longueur du vecteur (module) est déterminée comme suit :
Il faut retenir ces formules !!!
Montrons l'angle entre les vecteurs :
Il est clair qu'il peut varier de 0 à 180 0(ou en radians de 0 à Pi).
Nous pouvons tirer quelques conclusions sur le signe produit scalaire. Les longueurs des vecteurs ont une valeur positive, cela est évident. Cela signifie que le signe du produit scalaire dépend de la valeur du cosinus de l'angle entre les vecteurs.
Cas possibles :
1. Si l'angle entre les vecteurs est aigu (de 0 0 à 90 0), alors le cosinus de l'angle aura une valeur positive.
2. Si l'angle entre les vecteurs est obtus (de 90 0 à 180 0), alors le cosinus de l'angle aura une valeur négative.
*À zéro degré, c'est-à-dire lorsque les vecteurs ont la même direction, le cosinus est égal à un et, par conséquent, le résultat sera positif.
A 180°, c'est-à-dire lorsque les vecteurs ont des directions opposées, le cosinus est égal à moins un,et par conséquent le résultat sera négatif.
Maintenant le POINT IMPORTANT !
A 90°, c'est-à-dire lorsque les vecteurs sont perpendiculaires entre eux, le cosinus est égal à zéro, et donc le SP est égal à zéro. Ce fait (conséquence, conclusion) est utilisé pour résoudre de nombreux problèmes dont nous parlons position relative vecteurs, y compris dans les problèmes inclus dans banque ouverte devoirs de mathématiques.
Formulons l'énoncé : le produit scalaire est égal à zéro si et seulement si ces vecteurs se trouvent sur des droites perpendiculaires.
Ainsi, les formules pour les vecteurs SP :
Si les coordonnées des vecteurs ou les coordonnées des points de leurs débuts et fins sont connues, alors on peut toujours trouver l'angle entre les vecteurs :
Considérons les tâches :
27724 Trouvez le produit scalaire des vecteurs a et b.
Nous pouvons trouver le produit scalaire des vecteurs en utilisant l’une des deux formules suivantes :
L'angle entre les vecteurs est inconnu, mais on peut facilement trouver les coordonnées des vecteurs et ensuite utiliser la première formule. Puisque les origines des deux vecteurs coïncident avec l'origine des coordonnées, les coordonnées de ces vecteurs sont égales aux coordonnées de leurs extrémités, c'est-à-dire
Comment trouver les coordonnées d'un vecteur est décrit dans.
On calcule :
Réponse : 40
Trouvons les coordonnées des vecteurs et utilisons la formule :
Pour trouver les coordonnées d'un vecteur, il faut soustraire les coordonnées correspondantes de son début des coordonnées de la fin du vecteur, ce qui signifie
On calcule le produit scalaire :
Réponse : 40
Trouvez l'angle entre les vecteurs a et b. Donnez votre réponse en degrés.
Soit les coordonnées des vecteurs sous la forme :
Pour trouver l'angle entre les vecteurs, nous utilisons la formule du produit scalaire des vecteurs :
Cosinus de l'angle entre vecteurs :
Ainsi:
Les coordonnées de ces vecteurs sont égales :
Remplaçons-les dans la formule :
L'angle entre les vecteurs est de 45 degrés.
Réponse : 45
Exemple 1.
Trouvez le produit scalaire des vecteurs a = (1 ; 2) et b = (4 ; 8).
Solution: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.
Exemple 2.
Trouver le produit scalaire des vecteurs a et b si leurs longueurs |a| = 3, |b| = 6, et l'angle entre les vecteurs est de 60˚.
Solution: une · b = |une| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.
Exemple 3.
Trouver le produit scalaire des vecteurs p = a + 3b et q = 5a - 3 b si leurs longueurs |a| = 3, |b| = 2, et l'angle entre les vecteurs a et b est de 60˚.
Solution:
p · q = (a + 3b) · (5a - 3b) = 5 a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b = = 5 |a| 2 + 12 une · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.
Un exemple de calcul du produit scalaire de vecteurs pour des problèmes spatiaux
Exemple 4.
Trouvez le produit scalaire des vecteurs a = (1 ; 2 ; -5) et b = (4 ; 8 ; 1).
Solution: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.
Un exemple de calcul du produit scalaire pour des vecteurs à n dimensions
Exemple 5.
Trouvez le produit scalaire des vecteurs a = (1 ; 2 ; -5 ; 2) et b = (4 ; 8 ; 1 ; -2).
Solution: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.
Ajout vectoriel de vecteurs, puissance.
Déplacement géométrique et physique.
Calcul de l'addition vectorielle basé sur les coordonnées connues des vecteurs multiplicateurs. Produit vectoriel des vecteurs et ses propriétés Le vecteur s'appelle
produit vectoriel
vecteurs non colinéaires et si :
1) sa longueur est égale au produit des longueurs des vecteurs et du sinus de l'angle entre eux : (Fig. 1.42) ;
Le produit vectoriel des vecteurs colinéaires (en particulier si au moins un des facteurs est un vecteur nul) est considéré comme égal au vecteur zéro.
Le produit vectoriel est noté (ou ).
Propriétés algébriques d'un produit vectoriel
Pour tout vecteur , et tout nombre réel :
1. 
;
3. 
.
La première propriété détermine l'antisymétrie du produit vectoriel, les deuxième et troisième - l'additivité et l'homogénéité par rapport au premier facteur. Ces propriétés sont similaires aux propriétés du produit des nombres : la première propriété est « opposée » à la loi de commutativité de multiplication des nombres (loi d'anticommutativité), la deuxième propriété correspond à la loi de distributivité de multiplication des nombres en par rapport à l'addition, le troisième - la loi de la multiplication associative. Par conséquent, l’opération considérée est appelée produit de vecteurs. Puisque son résultat est un vecteur, un tel produit de vecteurs est appelé produit vectoriel.
Démontrons la première propriété, en supposant que les vecteurs et ne sont pas colinéaires (sinon les deux côtés de l'égalité prouvée sont égaux au vecteur zéro). Par définition, les vecteurs et ont des longueurs égales et sont colinéaires (puisque les deux vecteurs sont perpendiculaires au même plan). Par définition, les triplets de vecteurs et sont droitiers, c'est-à-dire le vecteur est orienté de manière à ce que le tour le plus court depuis k se produise dans le sens positif (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre), vu depuis l'extrémité du vecteur, et le vecteur est orienté de manière à ce que le tour le plus court depuis k se produise dans le sens positif, lorsqu'il est vu depuis la fin du vecteur (Fig. 1.43) . Cela signifie que les vecteurs et sont dans des directions opposées. C’est donc ce qu’il fallait prouver. La preuve des propriétés restantes est donnée ci-dessous (voir paragraphe 1 des remarques 1.13).
Produit scalaire de vecteurs.Produit scalaire de vecteurs. Calculateurs en ligne pour le produit scalaire et l'angle entre les vecteurs par coordonnées.
Le produit scalaire des vecteurs est une opération sur deux vecteurs qui aboutit à un nombre (pas un vecteur).
Déterminé Le produit scalaire est généralement le suivant :
En d'autres termes, le produit scalaire des vecteurs est égal au produit des longueurs de ces vecteurs et du cosinus de l'angle qui les sépare. Il convient de noter que l'angle entre deux vecteurs est l'angle qu'ils forment s'ils sont écartés d'un point, c'est-à-dire que les origines des vecteurs doivent coïncider.
Les propriétés les plus simples suivantes découlent directement de la définition :
1. Le produit scalaire d'un vecteur arbitraire a et lui-même (carré scalaire du vecteur a) est toujours non négatif et égal au carré de la longueur de ce vecteur. De plus, le carré scalaire d’un vecteur est égal à zéro si et seulement si vecteur donné- zéro.
2. Le produit scalaire de tous les vecteurs perpendiculaires a et b est égal à zéro.
3. Le produit scalaire de deux vecteurs est nul si et seulement s'ils sont perpendiculaires ou au moins l'un d'eux est nul.
4 . Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est positif si et seulement s'il existe un angle aigu entre eux.
5. Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est négatif si et seulement s'il existe un angle obtus entre eux.
Une définition alternative du produit scalaire, ou calcul du produit scalaire de deux vecteurs compte tenu de leurs coordonnées.
(Calculer les coordonnées d'un vecteur si les coordonnées de son début et de sa fin sont données est très simple -
Soit un vecteur AB, A - le début du vecteur, B - la fin et les coordonnées de ces points
UNE=(une 1,une 2,une 3), B=(b 1,b 2,b 3)
Alors les coordonnées du vecteur AB sont :
UN B=(b 1 -une 1, b 2 -une 2, b 3 -une 3).
De même dans un espace bidimensionnel - il n'y a tout simplement pas de troisièmes coordonnées)
Soit donc deux vecteurs, définis par un ensemble de leurs coordonnées :
a) Dans un espace à deux dimensions (sur un plan).
Leur produit scalaire peut alors être calculé à l'aide de la formule :
b) Dans un espace tridimensionnel
Semblable au cas bidimensionnel, leur produit scalaire est calculé à l’aide de la formule :
Calculez l'angle entre les vecteurs à l'aide du produit scalaire.
L'application mathématique la plus courante du produit scalaire de deux vecteurs consiste à calculer l'angle entre les vecteurs en fonction de leurs coordonnées. Prenons comme exemple le cas tridimensionnel. (Si les vecteurs sont spécifiés sur le plan, c'est-à-dire par deux coordonnées, toutes les formules manquent simplement de troisièmes coordonnées.)
Disons donc que nous avons deux vecteurs :
Et nous devons trouver l'angle entre eux. En utilisant leurs coordonnées, nous trouvons leurs longueurs, puis assimilons simplement les deux formules du produit scalaire. De cette façon, nous obtenons le cosinus de l'angle souhaité.
La longueur du vecteur a est calculée comme la racine de carré scalaire vecteur a, que nous calculons à l'aide de la formule du produit scalaire de vecteurs spécifiés par des coordonnées :
La longueur du vecteur b est calculée de la même manière.
L'angle requis a été trouvé.
Calculateur en ligne pour le produit scalaire de deux vecteurs.
Pour trouver le produit scalaire de deux vecteurs à l'aide de cette calculatrice, vous devez saisir dans l'ordre sur la première ligne les coordonnées du premier vecteur, dans seconde - seconde. Les coordonnées des vecteurs peuvent être calculées à partir des coordonnées de leur début et de leur fin (voir ci-dessus pour une définition alternative du produit scalaire, ou pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs en fonction de leurs coordonnées.)
Si les vecteurs sont spécifiés par deux coordonnées, alors la troisième coordonnée de chaque vecteur doit être remplie par un zéro.