Méthodes de notation de segments de rayons en ligne droite. Ligne droite. Le concept de ligne droite, ses propriétés

28.09.2019

Un point et une ligne droite sont les figures géométriques de base sur un plan.

Le scientifique grec Euclide disait : « un point » est quelque chose qui n’a pas de parties. » Le mot « point » traduit du latin signifie le résultat d'un contact instantané, d'une injection. Un point est la base de la construction de toute figure géométrique.

Une ligne droite ou simplement une ligne droite est une ligne le long de laquelle la distance entre deux points est la plus courte. Une ligne droite est infinie et il est impossible de représenter la ligne droite entière et de la mesurer.

Les points sont désignés par les lettres latines majuscules A, B, C, D, E, etc., et les lignes droites par les mêmes lettres, mais en minuscules a, b, c, d, e, etc. Une ligne droite peut également être désignée par deux lettres correspondant à des points posés sur elle. Par exemple, la droite a peut être désignée AB.

On peut dire que les points AB se trouvent sur la droite a ou appartiennent à la droite a. Et on peut dire que la droite a passe par les points A et B.

Protozoaires figures géométriques sur un plan c'est un segment, un rayon, ligne brisée.

Un segment est une partie d'une ligne composée de tous les points de cette ligne, limités par deux points sélectionnés. Ces points sont les extrémités du segment. Un segment est indiqué en indiquant ses extrémités.

Un rayon ou demi-ligne est une partie d'une ligne composée de tous les points de cette ligne situés d'un côté d'un point donné. Ce point est appelé point de départ de la demi-ligne ou début du rayon. Le faisceau a un point de départ, mais pas de fin.

Les demi-lignes ou rayons sont désignés par deux lettres latines minuscules : l'initiale et toute autre lettre correspondant à un point appartenant à la demi-ligne. Dans ce cas, le point de départ est placé en premier lieu.

Il s'avère que la ligne droite est infinie : elle n'a ni début ni fin ; un rayon n'a qu'un début, mais pas de fin, mais un segment a un début et une fin. On ne peut donc mesurer qu’un segment.

Plusieurs segments connectés séquentiellement les uns aux autres de sorte que les segments (voisins) qui ont un point commun ne soient pas situés sur la même ligne droite représentent une ligne brisée.

Une ligne brisée peut être fermée ou ouverte. Si la fin du dernier segment coïncide avec le début du premier, nous avons une ligne brisée fermée, sinon c'est une ligne ouverte ;

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Dans cet article, nous nous attarderons en détail sur l'un des principaux concepts de la géométrie : le concept de ligne droite sur un plan. Tout d’abord, définissons les termes et désignations de base. Ensuite, nous discuterons de la position relative d'une droite et d'un point, ainsi que de deux droites sur un plan, et présenterons les axiomes nécessaires. En conclusion, nous examinerons les moyens de définir une ligne droite sur un plan et fournirons des illustrations graphiques.

Navigation dans les pages.

Une ligne droite sur un avion est un concept.

Avant de donner la notion de ligne droite sur un avion, vous devez clairement comprendre ce qu'est un avion. Concept d'avion permet d'obtenir, par exemple, une surface plane sur une table ou un mur chez soi. Il convient cependant de garder à l'esprit que les dimensions de la table sont limitées et que le plan s'étend au-delà de ces limites jusqu'à l'infini (comme si nous avions une table arbitrairement grande).

Si nous prenons un crayon bien taillé et touchons sa pointe à la surface de la « table », nous obtiendrons l’image d’un point. C'est ainsi que nous obtenons représentation d'un point sur un plan.

Vous pouvez maintenant passer à le concept d'une ligne droite sur un avion.

Placez une feuille de papier propre sur la surface de la table (sur un avion). Pour tracer une ligne droite, nous devons prendre une règle et tracer une ligne avec un crayon dans la mesure où la taille de la règle et de la feuille de papier que nous utilisons nous permet de le faire. Il convient de noter que de cette manière, nous n'obtiendrons qu'une partie de la ligne. Nous ne pouvons qu’imaginer une ligne droite entière s’étendant jusqu’à l’infini.

La position relative d'une ligne et d'un point.

Il faut commencer par l’axiome : il y a des points sur toute droite et dans chaque plan.

Les points sont généralement désignés par des lettres latines majuscules, par exemple les points A et F. À leur tour, les lignes droites sont désignées par de petites lettres latines, par exemple les lignes droites a et d.

Possible deux options position relative ligne droite et points sur le plan: soit le point est sur la droite (on dit aussi dans ce cas que la droite passe par le point), soit le point n'est pas sur la droite (on dit aussi que le point n'appartient pas à la droite ou au la ligne ne passe pas par le point).

Pour indiquer qu'un point appartient à une certaine ligne, utilisez le symbole « ». Par exemple, si le point A se trouve sur la ligne a, alors nous pouvons écrire . Si le point A n'appartient pas à la ligne a, alors écrivez .

L’affirmation suivante est vraie : il n’existe qu’une seule ligne droite passant par deux points quelconques.

Cette affirmation est un axiome et doit être acceptée comme un fait. De plus, c'est assez évident : on marque deux points sur du papier, on leur applique une règle et on trace une ligne droite. Une droite passant par deux points donnés (par exemple, passant par les points A et B) peut être désignée par ces deux lettres (dans notre cas, la droite AB ou BA).

Il faut comprendre que sur une droite définie sur un plan il y a une infinité de points différents, et que tous ces points se trouvent dans le même plan. Cet énoncé est établi par l'axiome : si deux points d'une droite se trouvent dans un certain plan, alors tous les points de cette droite se trouvent dans ce plan.

L'ensemble de tous les points situés entre deux points donnés sur une droite, ainsi que ces points, est appelé segment de droite ou simplement segment. Les points limitant le segment sont appelés les extrémités du segment. Un segment est désigné par deux lettres correspondant aux extrémités du segment. Par exemple, supposons que les points A et B soient les extrémités d'un segment, alors ce segment peut être désigné AB ou BA. Veuillez noter que cette désignation d'un segment coïncide avec la désignation d'une ligne droite. Pour éviter toute confusion, nous recommandons d'ajouter le mot « segment » ou « droit » à la désignation.

Pour enregistrer brièvement si un certain point appartient ou non à un certain segment, les mêmes symboles et sont utilisés. Pour montrer qu'un certain segment se trouve ou non sur une ligne, utilisez respectivement les symboles et. Par exemple, si le segment AB appartient à la ligne a, vous pouvez écrire brièvement .

Il faut aussi s'attarder sur le cas où trois points différents appartiennent à la même droite. Dans ce cas, un et un seul point se situe entre les deux autres. Cette affirmation est un autre axiome. Supposons que les points A, B et C se trouvent sur la même ligne et que le point B se situe entre les points A et C. On peut alors dire que les points A et C sont des côtés opposés du point B. On peut aussi dire que les points B et C se trouvent du même côté du point A et que les points A et B se trouvent du même côté du point C.

Pour compléter le tableau, notons que tout point d'une droite divise cette droite en deux parties - deux faisceau. Pour ce cas, un axiome est donné : un point arbitraire O, appartenant à une ligne, divise cette ligne en deux rayons, et deux points quelconques d'un rayon se trouvent du même côté du point O, et deux points quelconques de rayons différents se situent sur les côtés opposés du point O.

La position relative des lignes sur un plan.

Répondons maintenant à la question : « Comment deux droites peuvent-elles être situées sur un plan l’une par rapport à l’autre ?

Premièrement, deux lignes droites sur un plan peuvent coïncider.

Ceci est possible lorsque les lignes ont au moins deux points communs. En effet, en vertu de l’axiome énoncé au paragraphe précédent, il n’existe qu’une seule droite passant par deux points. Autrement dit, si deux droites passent par deux points donnés, alors elles coïncident.

Deuxièmement, deux lignes droites sur un avion peuvent croix.

Dans ce cas, les lignes ont un point commun, appelé point d'intersection des lignes. L'intersection des lignes est désignée par le symbole "", par exemple, l'entrée signifie que les lignes a et b se coupent au point M. Les lignes qui se croisent nous amènent à la notion d’angle entre les lignes qui se croisent. Séparément, il convient de considérer l'emplacement des lignes droites sur un plan lorsque l'angle entre elles est de quatre-vingt-dix degrés. Dans ce cas, les lignes sont appelées perpendiculaire(nous vous recommandons l'article lignes perpendiculaires, perpendiculaire des lignes). Si la ligne a est perpendiculaire à la ligne b, une notation courte peut être utilisée.

Troisièmement, deux droites sur un plan peuvent être parallèles.

D'un point de vue pratique, il est pratique de considérer une droite sur un plan avec des vecteurs. Sens spécial ont des vecteurs non nuls situés sur une ligne donnée ou sur l'une des lignes parallèles, ils sont appelés diriger les vecteurs d'une ligne droite. L'article vecteur directeur d'une ligne droite sur un plan donne des exemples de vecteurs directeurs et montre des options pour leur utilisation dans la résolution de problèmes.

Vous devez également faire attention aux vecteurs non nuls se trouvant sur l’une des droites perpendiculaires à celle-ci. De tels vecteurs sont appelés vecteurs de lignes normales. L'utilisation de vecteurs lignes normales est décrite dans l'article vecteur ligne normale sur un plan.

Lorsque trois lignes droites ou plus sont données sur un plan, alors un ensemble apparaît diverses options leur position relative. Toutes les lignes peuvent être parallèles, sinon certaines ou toutes se coupent. Dans ce cas, toutes les lignes peuvent se couper en un seul point (voir l'article sur un groupe de lignes), ou elles peuvent avoir différents points d'intersection.

Nous ne nous attarderons pas là-dessus en détail, mais présenterons sans preuve plusieurs faits remarquables et très souvent utilisés :

si deux droites sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles ;
si deux droites sont perpendiculaires à une troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles ;
Si une certaine ligne sur un plan coupe l'une des deux lignes parallèles, elle coupe également la deuxième ligne.

Méthodes pour définir une ligne droite sur un plan.

Nous allons maintenant énumérer les principales manières dont vous pouvez définir une ligne droite spécifique sur un plan. Cette connaissance est très utile d’un point de vue pratique, puisque c’est sur elle que repose la solution de nombreux exemples et problèmes.

Premièrement, une ligne droite peut être définie en spécifiant deux points sur un plan.

En effet, grâce à l’axiome évoqué dans le premier paragraphe de cet article, on sait qu’une droite passe par deux points, et un seul.

Si les coordonnées de deux points divergents sont indiquées dans un système de coordonnées rectangulaires sur un plan, alors il est possible d'écrire l'équation d'une droite passant par deux points donnés.

Deuxièmement, une ligne peut être spécifiée en spécifiant le point par lequel elle passe et la ligne à laquelle elle est parallèle. Cette méthode est juste, puisque par un point donné du plan passe une seule droite parallèle à une droite donnée. La preuve de ce fait a été réalisée dans les cours de géométrie au lycée.

Si une ligne droite sur un plan est ainsi définie par rapport au système de coordonnées cartésiennes rectangulaires introduit, alors il est possible de composer son équation. Ceci est écrit dans l'article équation d'une droite passant par un point donné parallèle à une droite donnée.

Troisièmement, une ligne droite peut être spécifiée en spécifiant le point par lequel elle passe et son vecteur directeur.

Si une ligne droite est donnée de cette manière dans un système de coordonnées rectangulaires, alors il est facile de construire son équation canonique d'une ligne droite sur un plan et ses équations paramétriques d'une ligne droite sur un plan.

La quatrième façon de spécifier une ligne consiste à indiquer le point par lequel elle passe et la ligne à laquelle elle est perpendiculaire. En effet, à travers point donné plan, il n’y a qu’une seule ligne perpendiculaire à la ligne donnée. Laissons ce fait sans preuve.

Enfin, une ligne dans un plan peut être spécifiée en spécifiant le point par lequel elle passe et le vecteur normal de la ligne.

Si les coordonnées d'un point situé sur une ligne donnée et les coordonnées du vecteur normal de la ligne sont connues, alors il est possible d'écrire l'équation générale de la ligne.

Bibliographie.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Géométrie. 7e à 9e années : manuel pour les établissements d'enseignement général.
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Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Mathématiques supérieures. Tome un : éléments d'algèbre linéaire et de géométrie analytique.
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Un point et une ligne droite sont les figures géométriques de base sur un plan.

On peut dire que les points AB se trouvent sur la droite a ou appartiennent à la droite a. Et on peut dire que la droite a passe par les points A et B.

Les figures géométriques les plus simples sur un plan sont un segment, un rayon, une ligne brisée.

Il s'avère que la ligne droite est infinie : elle n'a ni début ni fin ; un rayon n'a qu'un début, mais pas de fin, mais un segment a un début et une fin. On ne peut donc mesurer qu’un segment.

Une ligne brisée peut être fermée ou ouverte. Si la fin du dernier segment coïncide avec le début du premier, nous avons une ligne brisée fermée, sinon c'est une ligne ouverte ;

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Nous examinerons chacun des sujets, et à la fin il y aura des tests sur les sujets.

Point en mathématiques

Qu’est-ce qu’un point en mathématiques ? Un point mathématique n'a pas de dimensions et est désigné par des lettres majuscules : A, B, C, D, F, etc.

Sur la figure, vous pouvez voir une image des points A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Segment en mathématiques

Qu'est-ce qu'un segment en mathématiques ? Dans les cours de mathématiques, vous pouvez entendre l'explication suivante : un segment mathématique a une longueur et des extrémités. Un segment en mathématiques est l'ensemble de tous les points situés sur une ligne droite entre les extrémités du segment. Les extrémités du segment sont deux points limites.

Sur la figure, nous voyons les segments suivants : les segments ,,, et , ainsi que deux points B et S.

Direct en mathématiques

Qu'est-ce qu'une ligne droite en mathématiques ? La définition d’une ligne droite en mathématiques est qu’une ligne droite n’a pas de fin et peut continuer indéfiniment dans les deux directions. En mathématiques, une droite est représentée par deux points quelconques sur une droite. Pour expliquer le concept de ligne droite à un élève, on peut dire qu'une ligne droite est un segment qui n'a pas deux extrémités.

La figure montre deux droites : CD et EF.

Faisceau en mathématiques

Qu'est-ce qu'un rayon ? Définition d'un rayon en mathématiques : un rayon est une partie d'une ligne qui a un début et pas de fin. Le nom de la poutre contient deux lettres, par exemple DC. De plus, la première lettre indique toujours le point de départ du faisceau, les lettres ne peuvent donc pas être échangées.

La figure montre les rayons : DC, KC, EF, MT, MS. Les poutres KC et KD ne forment qu'une seule poutre, car ils ont une origine commune.

Droite numérique en mathématiques

Définition d'une droite numérique en mathématiques : une droite dont les points marquent des nombres est appelée une droite numérique.

La figure montre la droite numérique, ainsi que les rayons OD et ED

Un point est un objet abstrait qui n'a aucune caractéristique de mesure : ni hauteur, ni longueur, ni rayon. Dans le cadre de la tâche, seul son emplacement est important

Le point est indiqué par un chiffre ou une lettre latine majuscule (majuscule). Plusieurs points - nombres différents ou en différentes lettres pour qu'on puisse les distinguer

point A, point B, point C

ABC

point 1, point 2, point 3

1 2 3

Vous pouvez dessiner trois points « A » sur une feuille de papier et inviter l'enfant à tracer une ligne passant par les deux points « A ». Mais comment comprendre à travers lesquels ?

A A A

Une ligne est un ensemble de points. Seule la longueur est mesurée. Il n'a ni largeur ni épaisseur

Indiqué par des lettres latines minuscules (petites)

ligne a, ligne b, ligne c

abc

La ligne peut être
fermé si son début et sa fin sont au même point,

ouvert si son début et sa fin ne sont pas connectés

lignes fermées

lignes ouvertes

Vous avez quitté l'appartement, acheté du pain au magasin et êtes retourné à l'appartement. Quelle ligne as-tu eu ? C'est vrai, fermé. Vous revenez à votre point de départ. Vous avez quitté l'appartement, acheté du pain au magasin, êtes entré dans l'entrée et avez commencé à discuter avec votre voisin. Quelle ligne as-tu eu ? Ouvrir. Vous n'êtes pas revenu à votre point de départ. Vous avez quitté l'appartement et acheté du pain au magasin. Quelle ligne as-tu eu ? Ouvrir. Vous n'êtes pas revenu à votre point de départ.
auto-intersection

sans auto-intersections

lignes qui se croisent

lignes sans auto-intersections
droit
cassé

courbé

lignes droites

lignes brisées

lignes courbes

Une ligne droite est une ligne qui n'est pas courbe, qui n'a ni début ni fin, elle peut se poursuivre à l'infini dans les deux sens.

Même lorsqu'une petite section d'une ligne droite est visible, on suppose qu'elle continue indéfiniment dans les deux directions.

Indiqué par une (petite) lettre latine minuscule. Ou deux lettres latines majuscules (majuscules) - points situés sur une ligne droite

ligne droite a

un

droite AB

B.A.

Direct peut être
- se croisant s'ils ont un point commun. Deux lignes ne peuvent se croiser qu'en un seul point.
perpendiculaires s’ils se coupent à angle droit (90°).

Les parallèles, s’ils ne se croisent pas, n’ont pas de point commun.

lignes parallèles

Lignes d'intersection

les lignes perpendiculaire

Un rayon est une partie d'une ligne droite qui a un début mais pas de fin et qui peut se poursuivre indéfiniment dans une seule direction ;

Le rayon de lumière sur l’image a pour point de départ le soleil.

Soleil

Un point divise une ligne droite en deux parties - deux rayons A A

Le faisceau est désigné par une lettre latine minuscule (petite). Ou deux lettres latines majuscules (majuscules), où la première est le point à partir duquel commence le rayon, et la seconde est le point situé sur le rayon

ligne droite a

rayon un

droite AB

poutre AB

Les rayons coïncident si
situé sur la même ligne droite
commencer à un moment donné

dirigé dans une seule direction

les rayons AB et AC coïncident

les rayons CB et CA coïncident

Un segment est une partie d'une ligne limitée par deux points, c'est-à-dire qu'il a à la fois un début et une fin, ce qui signifie que sa longueur peut être mesurée. La longueur d'un segment est la distance entre ses points de départ et d'arrivée

À travers un point, vous pouvez tracer n'importe quel nombre de lignes, y compris des lignes droites.

Par deux points - un nombre illimité de courbes, mais une seule ligne droite

lignes courbes passant par deux points

B.A.

un

droite AB

Un morceau a été « coupé » de la ligne droite et un segment est resté. Dans l’exemple ci-dessus, vous pouvez voir que sa longueur est la distance la plus courte entre deux points.

✂ BA ✂

Un segment est désigné par deux lettres latines majuscules (majuscules), où la première est le point auquel le segment commence et la seconde est le point où le segment se termine

droite AB

segment AB

Problème : où est la droite, le rayon, le segment, la courbe ?

Une ligne brisée est une ligne composée de segments connectés consécutivement et ne formant pas un angle de 180°.

Un segment long a été « divisé » en plusieurs segments courts

Les maillons d'une ligne brisée (semblables aux maillons d'une chaîne) sont les segments qui composent la ligne brisée. Les liens adjacents sont des liens dans lesquels la fin d’un lien est le début d’un autre. Les liens adjacents ne doivent pas se trouver sur la même ligne droite.

Les sommets d'une ligne brisée (semblables aux sommets des montagnes) sont le point à partir duquel commence la ligne brisée, les points auxquels les segments qui forment la ligne brisée sont connectés et le point où se termine la ligne brisée.

Une ligne brisée est désignée en listant tous ses sommets.

ligne brisée ABCDE

sommet de la polyligne A, sommet de la polyligne B, sommet de la polyligne C, sommet de la polyligne D, sommet de la polyligne E

lien rompu AB, lien rompu BC, lien rompu CD, lien rompu DE

le lien AB et le lien BC sont adjacents

le lien BC et le lien CD sont adjacents

le lien CD et le lien DE sont adjacents

A B C D E 64 62 127 52

La longueur d'une ligne brisée est la somme des longueurs de ses liens : ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305 Tâche: quelle ligne brisée est la plus longue , UN qui a plus de sommets

? La première ligne comporte tous les maillons de même longueur, soit 13 cm. La deuxième ligne comporte tous les maillons de même longueur, soit 49 cm. La troisième ligne comporte tous les maillons de même longueur, soit 41 cm.

Un polygone est une polyligne fermée

Les côtés du polygone (les expressions vous aideront à mémoriser : « va dans les quatre directions », « cours vers la maison », « de quel côté de la table vas-tu t'asseoir ? ») sont les liens d'une ligne brisée. Les côtés adjacents d'un polygone sont les liens adjacents d'une ligne brisée.

Les sommets d'un polygone sont les sommets d'une ligne brisée. Les sommets adjacents sont les extrémités d'un côté du polygone.

polyligne fermée sans auto-intersection, ABCDEF

polygone ABCDEF

sommet du polygone A, sommet du polygone B, sommet du polygone C, sommet du polygone D, sommet du polygone E, sommet du polygone F

le sommet A et le sommet B sont adjacents

le sommet B et le sommet C sont adjacents

le sommet C et le sommet D sont adjacents

le sommet D et le sommet E sont adjacents

le sommet E et le sommet F sont adjacents

le sommet F et le sommet A sont adjacents

côté du polygone AB, côté du polygone BC, côté du polygone CD, côté du polygone DE, côté du polygone EF

le côté AB et le côté BC sont adjacents

le côté BC et le côté CD sont adjacents

Le côté CD et le côté DE sont adjacents

le côté DE et le côté EF sont adjacents

le côté EF et le côté FA sont adjacents

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Le périmètre d'un polygone est la longueur de la ligne brisée : P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Un polygone à trois sommets s'appelle un triangle, avec quatre - un quadrilatère, avec cinq - un pentagone, etc.