फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर व्युत्पन्न सकारात्मक कहां है। किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न. व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थ

समस्या B9 एक फ़ंक्शन या व्युत्पन्न का एक ग्राफ़ देती है जिससे आपको निम्नलिखित में से एक मात्रा निर्धारित करने की आवश्यकता होती है:

1. किसी बिंदु पर व्युत्पन्न का मान x 0,
2. अधिकतम या न्यूनतम अंक (चरम बिंदु),
3. बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल (एकरसता के अंतराल)।

इस समस्या में प्रस्तुत फ़ंक्शन और डेरिवेटिव हमेशा निरंतर होते हैं, जिससे समाधान बहुत आसान हो जाता है। इस तथ्य के बावजूद कि कार्य गणितीय विश्लेषण के अनुभाग से संबंधित है, यहां तक ​​कि सबसे कमजोर छात्र भी इसे कर सकते हैं, क्योंकि यहां किसी गहन सैद्धांतिक ज्ञान की आवश्यकता नहीं है।

व्युत्पन्न, चरम बिंदु और एकरसता अंतराल का मान ज्ञात करने के लिए, सरल और सार्वभौमिक एल्गोरिदम हैं - उन सभी पर नीचे चर्चा की जाएगी।

मूर्खतापूर्ण गलतियाँ करने से बचने के लिए समस्या B9 की शर्तों को ध्यान से पढ़ें: कभी-कभी आपको काफी लंबे पाठ देखने को मिलते हैं, लेकिन महत्वपूर्ण शर्तें, जो निर्णय की दिशा को प्रभावित करते हैं, बहुत कम हैं।

व्युत्पन्न मूल्य की गणना. दो बिंदु विधि

यदि समस्या में किसी बिंदु x 0 पर इस ग्राफ़ के स्पर्शरेखा फ़ंक्शन f(x) का ग्राफ़ दिया गया है, और इस बिंदु पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करना आवश्यक है, तो निम्नलिखित एल्गोरिदम लागू किया जाता है:

1. स्पर्शरेखा ग्राफ़ पर दो "पर्याप्त" बिंदु खोजें: उनके निर्देशांक पूर्णांक होने चाहिए। आइए इन बिंदुओं को A (x 1 ; y 1) और B (x 2 ; y 2) के रूप में निरूपित करें। निर्देशांकों को सही ढंग से लिखें - यह समाधान में एक महत्वपूर्ण बिंदु है, और यहां कोई भी गलती गलत उत्तर की ओर ले जाएगी।
2. निर्देशांक को जानने के बाद, तर्क Δx = x 2 - x 1 की वृद्धि और फ़ंक्शन Δy = y 2 - y 1 की वृद्धि की गणना करना आसान है।
3. अंत में, हम व्युत्पन्न D = Δy/Δx का मान ज्ञात करते हैं। दूसरे शब्दों में, आपको फ़ंक्शन की वृद्धि को तर्क की वृद्धि से विभाजित करने की आवश्यकता है - और यही उत्तर होगा।

आइए एक बार फिर से ध्यान दें: बिंदु ए और बी को सटीक रूप से स्पर्शरेखा पर देखा जाना चाहिए, न कि फ़ंक्शन एफ (एक्स) के ग्राफ़ पर, जैसा कि अक्सर होता है। स्पर्शरेखा रेखा में आवश्यक रूप से कम से कम दो ऐसे बिंदु होंगे - अन्यथा समस्या सही ढंग से तैयार नहीं की जाएगी।

बिंदु A (−3; 2) और B (−1; 6) पर विचार करें और वेतन वृद्धि ज्ञात करें:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

आइए अवकलज का मान ज्ञात करें: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

काम। यह चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ़ और भुज x 0 वाले बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु x 0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु A (0; 3) और B (3; 0) पर विचार करें, वेतन वृद्धि ज्ञात करें:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

अब हम अवकलज का मान ज्ञात करते हैं: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

काम। यह चित्र फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ़ और भुज x 0 वाले बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा दिखाता है। बिंदु x 0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

बिंदु A (0; 2) और B (5; 2) पर विचार करें और वेतन वृद्धि ज्ञात करें:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

व्युत्पन्न का मान ज्ञात करना बाकी है: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

पिछले उदाहरण से, हम एक नियम बना सकते हैं: यदि स्पर्शरेखा OX अक्ष के समानांतर है, तो स्पर्शरेखा के बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है। इस मामले में, आपको कुछ भी गिनने की ज़रूरत नहीं है - बस ग्राफ़ को देखें।

अधिकतम और न्यूनतम अंक की गणना

कभी-कभी, किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के बजाय, समस्या B9 व्युत्पन्न का ग्राफ़ देता है और फ़ंक्शन के अधिकतम या न्यूनतम बिंदु को खोजने की आवश्यकता होती है। इस स्थिति में, दो-बिंदु विधि बेकार है, लेकिन एक और भी सरल एल्गोरिदम है। सबसे पहले, आइए शब्दावली को परिभाषित करें:

1. बिंदु x 0 को फ़ंक्शन f(x) का अधिकतम बिंदु कहा जाता है यदि इस बिंदु के कुछ पड़ोस में निम्नलिखित असमानता है: f(x 0) ≥ f(x)।
2. बिंदु x 0 को फ़ंक्शन f(x) का न्यूनतम बिंदु कहा जाता है यदि इस बिंदु के कुछ पड़ोस में निम्नलिखित असमानता है: f(x 0) ≤ f(x)।

व्युत्पन्न ग्राफ़ पर अधिकतम और न्यूनतम अंक खोजने के लिए, बस इन चरणों का पालन करें:

1. सभी अनावश्यक जानकारी को हटाते हुए, व्युत्पन्न ग्राफ़ को फिर से बनाएं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, अनावश्यक डेटा केवल निर्णय में हस्तक्षेप करता है। इसलिए, हम निर्देशांक अक्ष पर व्युत्पन्न के शून्य को चिह्नित करते हैं - और बस इतना ही।
2. शून्य के बीच के अंतराल पर अवकलज के चिह्न ज्ञात कीजिए। यदि किसी बिंदु x 0 के लिए यह ज्ञात है कि f'(x 0) ≠ 0, तो केवल दो विकल्प संभव हैं: f'(x 0) ≥ 0 या f'(x 0) ≤ 0. अवकलज का चिह्न है मूल रेखाचित्र से निर्धारित करना आसान है: यदि व्युत्पन्न ग्राफ OX अक्ष के ऊपर स्थित है, तो f'(x) ≥ 0. और इसके विपरीत, यदि व्युत्पन्न ग्राफ OX अक्ष के नीचे स्थित है, तो f'(x) ≤ 0.
3. फिर से हम व्युत्पन्न के शून्य और चिह्नों की जाँच करते हैं। जहां चिह्न ऋण से धन में बदलता है वह न्यूनतम बिंदु है। इसके विपरीत, यदि व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदलता है, तो यह अधिकतम बिंदु है। गिनती सदैव बाएँ से दाएँ की ओर की जाती है।

यह योजना केवल निरंतर कार्यों के लिए काम करती है - समस्या B9 में कोई अन्य नहीं हैं।

काम। यह आंकड़ा अंतराल [−5; पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है; 5]. इस खंड पर फलन f(x) का न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

आइए अनावश्यक जानकारी से छुटकारा पाएं और केवल सीमाएं छोड़ें [−5; 5] और अवकलज x = −3 और x = 2.5 के शून्य। हम संकेतों पर भी ध्यान देते हैं:

जाहिर है, बिंदु x = −3 पर व्युत्पन्न का चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है। यह न्यूनतम बिंदु है.

काम। यह आंकड़ा अंतराल [−3; पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है; 7]. इस खंड पर फलन f(x) का अधिकतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

आइए, केवल सीमाओं को छोड़कर, ग्राफ़ को फिर से बनाएं [−3; 7] और अवकलज x = −1.7 और x = 5 के शून्य। आइए हम परिणामी ग्राफ़ पर अवकलज के चिह्नों पर ध्यान दें। हमारे पास है:

जाहिर है, बिंदु x = 5 पर व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है - यह अधिकतम बिंदु है।

काम। यह आंकड़ा अंतराल [−6; पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है; 4]. खंड [−4;'' से संबंधित फलन f(x) के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए। 3].

समस्या की स्थितियों से यह निष्कर्ष निकलता है कि ग्राफ़ के केवल खंड [−4; 3]. इसलिए, हम एक नया ग्राफ़ बनाते हैं जिस पर हम केवल सीमाओं को चिह्नित करते हैं [−4; 3] और इसके अंदर व्युत्पन्न के शून्य। अर्थात्, अंक x = −3.5 और x = 2. हमें मिलता है:

इस ग्राफ़ पर केवल एक अधिकतम बिंदु x = 2 है। यह इस बिंदु पर है कि व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है।

गैर-पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदुओं के बारे में एक छोटा सा नोट। उदाहरण के लिए, पिछली समस्या में बिंदु x = −3.5 पर विचार किया गया था, लेकिन उसी सफलता के साथ हम x = −3.4 ले सकते हैं। यदि समस्या को सही ढंग से संकलित किया गया है, तो ऐसे परिवर्तनों का उत्तर पर कोई प्रभाव नहीं पड़ना चाहिए, क्योंकि "बिना निश्चित निवास स्थान के" बिंदु समस्या को हल करने में सीधे भाग नहीं लेते हैं। बेशक, यह युक्ति पूर्णांक बिंदुओं के साथ काम नहीं करेगी।

बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल ढूँढना

ऐसी समस्या में, अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं की तरह, उन क्षेत्रों को खोजने के लिए व्युत्पन्न ग्राफ़ का उपयोग करने का प्रस्ताव है जिनमें फ़ंक्शन स्वयं बढ़ता या घटता है। सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि वृद्धि और कमी क्या हैं:

1. एक फलन f(x) को एक खंड पर बढ़ता हुआ माना जाता है यदि इस खंड से किन्हीं दो बिंदुओं x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित कथन सत्य है: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . दूसरे शब्दों में, तर्क मान जितना बड़ा होगा, फ़ंक्शन मान उतना ही बड़ा होगा।
2. एक फलन f(x) को किसी खंड पर घटता हुआ कहा जाता है यदि इस खंड से किन्हीं दो बिंदुओं x 1 और x 2 के लिए निम्नलिखित कथन सत्य है: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2)। वे। उच्च मूल्यतर्क फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है।

आइए हम बढ़ने और घटने के लिए पर्याप्त स्थितियाँ तैयार करें:

1. खंड पर निरंतर फ़ंक्शन f(x) को बढ़ाने के लिए, यह पर्याप्त है कि खंड के अंदर इसका व्युत्पन्न सकारात्मक हो, यानी। एफ'(एक्स) ≥ 0.
2. एक सतत फलन f(x) के खंड पर घटने के लिए, यह पर्याप्त है कि खंड के अंदर इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक हो, अर्थात। एफ'(एक्स) ≤ 0.

आइए हम इन बयानों को बिना सबूत के स्वीकार कर लें। इस प्रकार, हम बढ़ते और घटते अंतरालों को खोजने के लिए एक योजना प्राप्त करते हैं, जो कई मायनों में चरम बिंदुओं की गणना के लिए एल्गोरिदम के समान है:

1. सभी अनावश्यक जानकारी हटा दें. व्युत्पन्न के मूल ग्राफ़ में, हम मुख्य रूप से फ़ंक्शन के शून्य में रुचि रखते हैं, इसलिए हम केवल उन्हें छोड़ देंगे।
2. शून्य के बीच के अंतराल पर अवकलज के चिह्न अंकित करें। जहां f'(x) ≥ 0, फ़ंक्शन बढ़ता है, और जहां f'(x) ≤ 0, यह घटता है। यदि समस्या वेरिएबल x पर प्रतिबंध लगाती है, तो हम अतिरिक्त रूप से उन्हें एक नए ग्राफ़ पर चिह्नित करते हैं।
3. अब जब हम फ़ंक्शन के व्यवहार और बाधाओं को जानते हैं, तो समस्या में आवश्यक मात्रा की गणना करना बाकी है।

काम। यह आंकड़ा अंतराल [−3; पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है; 7.5]. फलन f(x) के घटने के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में, इन अंतरालों में शामिल पूर्णांकों का योग इंगित करें।

हमेशा की तरह, आइए ग्राफ़ को फिर से बनाएं और सीमाओं को चिह्नित करें [−3; 7.5], साथ ही अवकलज x = −1.5 और x = 5.3 के शून्य भी। फिर हम व्युत्पन्न के चिह्नों पर ध्यान देते हैं। हमारे पास है:

चूँकि अंतराल (− 1.5) पर अवकलज ऋणात्मक है, यह घटते फलन का अंतराल है। इस अंतराल के अंदर मौजूद सभी पूर्णांकों का योग करना बाकी है:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

काम। यह आंकड़ा अंतराल [−10; पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है; 4]. बढ़ते फलन f(x) के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में, उनमें से सबसे बड़े की लंबाई बताएं।

आइए अनावश्यक जानकारी से छुटकारा पाएं। आइए हम केवल सीमाएँ छोड़ दें [−10; 4] और अवकलज के शून्य, जिनमें से इस बार चार थे: x = −8, x = −6, x = −3 और x = 2। आइए अवकलज के चिह्नों को चिह्नित करें और निम्नलिखित चित्र प्राप्त करें:

हम बढ़ते फलन के अंतरालों में रुचि रखते हैं, अर्थात्। ऐसे जहां f'(x) ≥ 0. ग्राफ़ पर ऐसे दो अंतराल हैं: (−8; −6) और (−3; 2)। आइए उनकी लंबाई की गणना करें:
एल 1 = − 6 − (−8) = 2;
एल 2 = 2 − (−3) = 5.

चूँकि हमें सबसे बड़े अंतराल की लंबाई ज्ञात करने की आवश्यकता है, हम उत्तर के रूप में मान l 2 = 5 लिखते हैं।

(चित्र .1)

चित्र 1. व्युत्पन्न ग्राफ़

व्युत्पन्न ग्राफ गुण

1. बढ़ते अंतराल पर, व्युत्पन्न सकारात्मक है। यदि किसी निश्चित अंतराल से किसी निश्चित बिंदु पर व्युत्पन्न का मान धनात्मक हो तो इस अंतराल पर फलन का ग्राफ बढ़ जाता है।
2. घटते अंतराल पर, व्युत्पन्न ऋणात्मक (ऋण चिह्न के साथ) होता है। यदि किसी निश्चित अंतराल से किसी निश्चित बिंदु पर व्युत्पन्न का मान ऋणात्मक हो, तो इस अंतराल पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ घट जाता है।
3. बिंदु x पर व्युत्पन्न उसी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है।
4. फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं पर, व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा OX अक्ष के समानांतर है।

उदाहरण 1

व्युत्पन्न के ग्राफ़ (चित्र 2) का उपयोग करके, खंड पर किस बिंदु पर निर्धारित करें [-3; 5] कार्य अधिकतम है।

चित्र 2. व्युत्पन्न ग्राफ़

समाधान: इस खंड पर, व्युत्पन्न नकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन बाएं से दाएं घटता है, और सबसे बड़ा मान बाईं ओर बिंदु -3 पर है।

उदाहरण 2

व्युत्पन्न के ग्राफ़ (चित्र 3) का उपयोग करके, खंड पर अधिकतम बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें [-11; 3].

चित्र 3. व्युत्पन्न ग्राफ़

समाधान: अधिकतम अंक उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहां व्युत्पन्न का चिह्न सकारात्मक से नकारात्मक में बदल जाता है। इस अंतराल पर, फ़ंक्शन चिह्न को प्लस से माइनस में दो बार बदलता है - बिंदु -10 पर और बिंदु -1 पर। इसका मतलब है कि अधिकतम अंकों की संख्या दो है.

उदाहरण 3

व्युत्पन्न के ग्राफ़ (चित्र 3) का उपयोग करके, खंड में न्यूनतम बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें [-11; -1].

समाधान: न्यूनतम अंक उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जहां व्युत्पन्न का चिह्न नकारात्मक से सकारात्मक में बदल जाता है। इस खंड पर ऐसा बिंदु केवल -7 है। इसका मतलब यह है कि किसी दिए गए खंड पर न्यूनतम अंकों की संख्या एक है।

उदाहरण 4

व्युत्पन्न के ग्राफ़ (चित्र 3) का उपयोग करके, चरम बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें।

समाधान: चरम बिंदु न्यूनतम और अधिकतम दोनों बिंदु हैं। आइए उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिन पर व्युत्पन्न चिह्न बदलता है।

प्रथम व्युत्पन्न यदि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक निश्चित अंतराल में सकारात्मक (नकारात्मक) है, तो इस अंतराल में फ़ंक्शन नीरस रूप से बढ़ता है (नीरस रूप से घटता है)। यदि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक निश्चित अंतराल में सकारात्मक (नकारात्मक) है, तो इस अंतराल में फ़ंक्शन नीरस रूप से बढ़ता है (नीरस रूप से घटता है)। आगे

परिभाषा एक वक्र को किसी बिंदु पर उत्तल कहा जाता है यदि इस बिंदु के किसी पड़ोस में यह किसी बिंदु पर अपनी स्पर्शरेखा के नीचे स्थित होता है एक वक्र को किसी बिंदु पर अवतल कहा जाता है यदि इस बिंदु के किसी पड़ोस में यह किसी बिंदु पर अपनी स्पर्शरेखा से ऊपर स्थित होता है। एक वक्र को किसी बिंदु पर अवतल कहा जाता है यदि इस बिंदु के किसी पड़ोस में यह किसी बिंदु पर अपनी स्पर्शरेखा से ऊपर स्थित होता है।

अवतलता और उत्तलता का संकेत यदि किसी दिए गए अंतराल में किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो इस अंतराल में वक्र अवतल है, और यदि यह नकारात्मक है, तो इस अंतराल में उत्तल है। यदि किसी दिए गए अंतराल में किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो इस अंतराल में वक्र अवतल है, और यदि यह नकारात्मक है, तो यह इस अंतराल में उत्तल है। परिभाषा

किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करने और उसका ग्राफ़ बनाने की योजना 1. फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र ढूंढें और असंततता बिंदु निर्धारित करें, यदि कोई हो 1. फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र ढूंढें और असंततता बिंदु निर्धारित करें, यदि कोई हो 2. खोजें; यह पता लगाना कि फलन सम है या विषम; इसकी आवधिकता की जांच करें 2. पता लगाएं कि फलन सम है या विषम; इसकी आवधिकता की जाँच करें 3. फ़ंक्शन ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें समायोजन ध्रुव 3. निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें 4. पहली तरह के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें 4. पहली तरह के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें 5. फ़ंक्शन की एकरसता और चरम सीमा के अंतराल निर्धारित करें 5. निर्धारित करें फलन की एकरसता और चरम सीमा के अंतराल 6. उत्तलता और अवतलता के अंतराल निर्धारित करें और विभक्ति बिंदु खोजें 6. उत्तलता और अवतलता के अंतराल निर्धारित करें और विभक्ति बिंदु खोजें 7. अध्ययन के परिणामों का उपयोग करते हुए, प्राप्त बिंदुओं को जोड़ें चिकना वक्र 7. अध्ययन के परिणामों का उपयोग करते हुए, चिकने वक्र के प्राप्त बिंदुओं को कनेक्ट करें

व्युत्पन्न के चिह्न और फ़ंक्शन की एकरसता की प्रकृति के बीच संबंध दिखाना।

कृपया निम्नलिखित के बारे में अत्यधिक सावधान रहें। देखिए, आपको क्या दिया गया है इसका शेड्यूल! कार्य या उसका व्युत्पन्न

यदि व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिया गया है, तो हमें केवल फलन चिन्हों और शून्यों में रुचि होगी। हमें सैद्धांतिक रूप से किसी भी "पहाड़ियों" या "खोखले" में कोई दिलचस्पी नहीं है!

कार्य 1।

यह चित्र अंतराल पर परिभाषित किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। उन पूर्णांक बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नकारात्मक है।

समाधान:

चित्र में, घटते फ़ंक्शन के क्षेत्रों को रंग में हाइलाइट किया गया है:

फ़ंक्शन के इन घटते क्षेत्रों में 4 पूर्णांक मान होते हैं।

कार्य 2.

यह चित्र अंतराल पर परिभाषित किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिन पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा रेखा के समानांतर या संपाती है।

समाधान:

एक बार किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा के समानांतर (या संपाती) होती है (या, जो एक ही चीज़ है), होने पर ढलान , शून्य के बराबर, तो स्पर्शरेखा का एक कोणीय गुणांक होता है।

बदले में इसका मतलब है कि स्पर्शरेखा अक्ष के समानांतर है, क्योंकि ढलान अक्ष के स्पर्शरेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा है।

इसलिए, हम ग्राफ़ पर चरम बिंदु (अधिकतम और न्यूनतम बिंदु) पाते हैं - यह इन बिंदुओं पर है कि ग्राफ़ के स्पर्शरेखा वाले कार्य अक्ष के समानांतर होंगे।

ऐसे 4 बिंदु हैं.

कार्य 3.

यह आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जिन पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा रेखा के समानांतर या संपाती है।

समाधान:

चूँकि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा उस रेखा के समानांतर (या संपाती) होती है जिसका ढलान होता है, तो स्पर्श रेखा का भी ढलान होता है।

बदले में इसका मतलब है कि स्पर्श बिंदुओं पर।

इसलिए, हम देखते हैं कि ग्राफ़ पर कितने बिंदुओं की कोटि बराबर है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसे चार बिंदु हैं।

कार्य 4.

यह चित्र अंतराल पर परिभाषित किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जिन पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न 0 है।

समाधान:

चरम बिंदुओं पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। हमारे पास उनमें से 4 हैं:

कार्य 5.

चित्र एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ और x-अक्ष पर ग्यारह बिंदु दिखाता है:। इनमें से कितने बिंदुओं पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न नकारात्मक है?

समाधान:

घटते फलन के अंतराल पर इसका व्युत्पन्न होता है नकारात्मक मान. तथा बिन्दुओं पर फलन घटता जाता है। ऐसे 4 बिंदु हैं.

कार्य 6.

यह चित्र अंतराल पर परिभाषित किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। फ़ंक्शन के चरम बिंदुओं का योग ज्ञात करें।

समाधान:

चरम बिंदु– ये अधिकतम अंक (-3, -1, 1) और न्यूनतम अंक (-2, 0, 3) हैं।

चरम बिंदुओं का योग: -3-1+1-2+0+3=-2.

कार्य 7.

यह आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। फलन की वृद्धि के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में, इन अंतरालों में शामिल पूर्णांक बिंदुओं का योग इंगित करें।

समाधान:

यह आंकड़ा उन अंतरालों को उजागर करता है जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न गैर-नकारात्मक है।

छोटे बढ़ते अंतराल पर कोई पूर्णांक बिंदु नहीं हैं; बढ़ते अंतराल पर चार पूर्णांक मान हैं: , , और ।

उनका योग:

कार्य 8.

यह आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। फलन की वृद्धि के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में, उनमें से सबसे बड़े की लंबाई बताएं।

समाधान:

चित्र में, सभी अंतराल जिन पर व्युत्पन्न सकारात्मक है, रंग में हाइलाइट किए गए हैं, जिसका अर्थ है कि इन अंतरालों पर फ़ंक्शन स्वयं बढ़ता है।

इनमें से सबसे बड़े की लंबाई 6 है.

कार्य 9.

यह आंकड़ा अंतराल पर परिभाषित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। खंड पर किस बिंदु पर यह सबसे बड़ा मूल्य लेता है?

समाधान:

आइए देखें कि ग्राफ़ उस खंड पर कैसा व्यवहार करता है, जिसमें हमारी रुचि है केवल व्युत्पन्न का चिह्न .

व्युत्पन्न का चिह्न ऋणात्मक है, क्योंकि इस खंड पर ग्राफ़ अक्ष के नीचे है।