समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण.
दिशा सदिश सीधा है. सामान्य वेक्टर

समतल पर एक सीधी रेखा सबसे सरल में से एक है ज्यामितीय आकार, तब से आपसे परिचित हूं कनिष्ठ वर्ग, और आज हम सीखेंगे कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तरीकों का उपयोग करके इससे कैसे निपटा जाए। सामग्री में महारत हासिल करने के लिए, आपको एक सीधी रेखा बनाने में सक्षम होना चाहिए; जानें कि कौन सा समीकरण एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है, विशेष रूप से, निर्देशांक के मूल से गुजरने वाली एक सीधी रेखा और निर्देशांक अक्षों के समानांतर सीधी रेखाएं। यह जानकारीमैनुअल में पाया जा सकता है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण, मैंने इसे मथन के लिए बनाया था, लेकिन रैखिक फ़ंक्शन के बारे में अनुभाग बहुत सफल और विस्तृत निकला। इसलिए, प्रिय चायदानी, पहले वहां गर्म हो जाओ। इसके अलावा, आपको इसके बारे में बुनियादी जानकारी भी होनी चाहिए वैक्टर, अन्यथा सामग्री की समझ अधूरी होगी।

पर यह सबकहम उन तरीकों पर गौर करेंगे जिनसे आप एक समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण बना सकते हैं। मैं व्यावहारिक उदाहरणों की उपेक्षा न करने की सलाह देता हूं (भले ही यह बहुत सरल लगे), क्योंकि मैं उन्हें प्राथमिक और प्रदान करूंगा महत्वपूर्ण तथ्य, तकनीकी तरीके, जिसकी भविष्य में आवश्यकता होगी, जिसमें उच्च गणित के अन्य अनुभाग भी शामिल हैं।

• कोण गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?
• कैसे ?
• एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण का उपयोग करके दिशा वेक्टर कैसे खोजें?
• एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दी गई सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?

और हम शुरू करते हैं:

ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण

सीधी रेखा समीकरण के सुप्रसिद्ध "स्कूल" रूप को कहा जाता है ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण. उदाहरण के लिए, यदि समीकरण द्वारा एक सीधी रेखा दी गई है, तो यह ढलान: . आइए विचार करें ज्यामितीय अर्थइस गुणांक का और इसका मान रेखा के स्थान को कैसे प्रभावित करता है:

ज्यामिति पाठ्यक्रम में यह सिद्ध हो चुका है सीधी रेखा का ढलान बराबर होता है कोण की स्पर्शरेखासकारात्मक अक्ष दिशा के बीचऔर यह पंक्ति: , और कोण वामावर्त "अनस्क्रूज़" करता है।

ड्राइंग को अव्यवस्थित न करने के लिए, मैंने केवल दो सीधी रेखाओं के लिए कोण बनाए। आइए "लाल" रेखा और उसके ढलान पर विचार करें। उपरोक्त के अनुसार: ("अल्फा" कोण एक हरे चाप द्वारा दर्शाया गया है)। कोण गुणांक के साथ "नीली" सीधी रेखा के लिए, समानता सत्य है ("बीटा" कोण भूरे चाप द्वारा इंगित किया गया है)। और यदि कोण की स्पर्शरेखा ज्ञात हो तो आवश्यकता पड़ने पर उसे ज्ञात करना आसान होता है और कोना हीका उपयोग करके उलटा कार्य– आर्कटेंजेंट. जैसा कि वे कहते हैं, आपके हाथ में एक त्रिकोणमिति तालिका या एक माइक्रोकैलकुलेटर। इस प्रकार, कोणीय गुणांक भुज अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव की डिग्री को दर्शाता है.

निम्नलिखित मामले संभव हैं:

1) यदि ढलान ऋणात्मक है: तो मोटे तौर पर कहें तो रेखा ऊपर से नीचे की ओर जाती है। उदाहरण चित्र में "नीली" और "रास्पबेरी" सीधी रेखाएं हैं।

2) यदि ढलान धनात्मक है: तो रेखा नीचे से ऊपर की ओर जाती है। उदाहरण - चित्र में "काली" और "लाल" सीधी रेखाएँ।

3) यदि ढलान शून्य है:, तो समीकरण रूप लेता है, और संबंधित सीधी रेखा अक्ष के समानांतर होती है। एक उदाहरण "पीली" सीधी रेखा है।

4) एक अक्ष के समानांतर रेखाओं के परिवार के लिए (चित्र में अक्ष के अलावा कोई उदाहरण नहीं है), कोणीय गुणांक अस्तित्व में नहीं है (90 डिग्री का स्पर्शरेखा परिभाषित नहीं है).

निरपेक्ष मान में ढलान गुणांक जितना बड़ा होगा, रेखा ग्राफ उतना ही तीव्र होगा।.

उदाहरण के लिए, दो सीधी रेखाओं पर विचार करें। इसलिए, यहां सीधी रेखा का ढलान अधिक है। मैं आपको याद दिला दूं कि मॉड्यूल आपको उस संकेत को अनदेखा करने की अनुमति देता है, जिसमें हम केवल रुचि रखते हैं सम्पूर्ण मूल्यकोणीय गुणांक.

बदले में, एक सीधी रेखा सीधी रेखाओं की तुलना में अधिक तीव्र होती है .

इसके विपरीत: निरपेक्ष मान में ढलान गुणांक जितना छोटा होगा, सीधी रेखा उतनी ही अधिक सपाट होगी.

सीधी रेखाओं के लिए असमानता सत्य है, इस प्रकार सीधी रेखा समतल है। बच्चों की स्लाइड, ताकि खुद को चोट और चोट न लगे।

यह क्यों आवश्यक है?

अपनी पीड़ा को बढ़ाएँ उपरोक्त तथ्यों का ज्ञान आपको तुरंत अपनी गलतियों को देखने की अनुमति देता है, विशेष रूप से, ग्राफ़ बनाते समय त्रुटियाँ - यदि चित्र "स्पष्ट रूप से कुछ गलत" हो जाता है। यह सलाह दी जाती है कि आप सीधेयह स्पष्ट था कि, उदाहरण के लिए, सीधी रेखा बहुत खड़ी होती है और नीचे से ऊपर की ओर जाती है, और सीधी रेखा बहुत सपाट होती है, धुरी के करीब दबती है और ऊपर से नीचे की ओर जाती है।

ज्यामितीय समस्याओं में, कई सीधी रेखाएँ अक्सर दिखाई देती हैं, इसलिए उन्हें किसी तरह नामित करना सुविधाजनक होता है।

पदनाम: सीधी रेखाएँ छोटे लैटिन अक्षरों में निर्दिष्ट हैं:। एक लोकप्रिय विकल्प उन्हें प्राकृतिक उपस्क्रिप्ट के साथ एक ही अक्षर का उपयोग करके नामित करना है। उदाहरण के लिए, जिन पाँच पंक्तियों को हमने अभी देखा, उन्हें इनके द्वारा दर्शाया जा सकता है .

चूँकि कोई भी सीधी रेखा विशिष्ट रूप से दो बिंदुओं द्वारा निर्धारित होती है, इसे इन बिंदुओं द्वारा दर्शाया जा सकता है: वगैरह। पदनाम से स्पष्ट है कि बिंदु रेखा से संबंधित हैं।

यह थोड़ा गर्म होने का समय है:

कोण गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?

यदि किसी निश्चित रेखा से संबंधित एक बिंदु और इस रेखा का कोणीय गुणांक ज्ञात हो, तो इस रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

उदाहरण 1

कोणीय गुणांक वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें यदि यह ज्ञात हो कि बिंदु इस सीधी रेखा से संबंधित है।

समाधान: आइए सूत्र का उपयोग करके सीधी रेखा का समीकरण बनाएं . में इस मामले में:

उत्तर:

परीक्षासरलता से किया जाता है. सबसे पहले, हम परिणामी समीकरण को देखते हैं और सुनिश्चित करते हैं कि हमारा ढलान सही जगह पर है। दूसरे, बिंदु के निर्देशांक को इस समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। आइए उन्हें समीकरण में जोड़ें:

सही समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है।

निष्कर्ष: समीकरण सही पाया गया.

स्वयं हल करने के लिए एक अधिक पेचीदा उदाहरण:

उदाहरण 2

एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें यदि यह ज्ञात हो कि अक्ष की सकारात्मक दिशा में इसका झुकाव कोण है, और बिंदु इस सीधी रेखा से संबंधित है।

यदि आपको कोई कठिनाई हो तो सैद्धांतिक सामग्री दोबारा पढ़ें। अधिक सटीक, अधिक व्यावहारिक, मैं बहुत सारे साक्ष्य छोड़ देता हूँ।

बजी आखिरी कॉल, स्नातक पार्टी बीत चुकी है, और हमारे मूल विद्यालय के द्वार के बाहर, विश्लेषणात्मक ज्यामिति स्वयं हमारा इंतजार कर रही है। चुटकुले ख़त्म हो गए... या शायद वे अभी शुरुआत कर रहे हैं =)

हम पुरानी यादों में परिचितों की ओर अपनी कलम घुमाते हैं और एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से परिचित होते हैं। क्योंकि विश्लेषणात्मक ज्यामिति में इसका बिल्कुल यही उपयोग किया जाता है:

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण का रूप होता है: , कुछ संख्याएँ कहाँ हैं। उसी समय, गुणांक इसके साथ हीशून्य के बराबर नहीं हैं, क्योंकि समीकरण अपना अर्थ खो देता है।

आइए एक सूट पहनें और ढलान गुणांक के साथ समीकरण जोड़ें। सबसे पहले, आइए सभी शर्तों को बाईं ओर ले जाएँ:

"X" वाले शब्द को पहले स्थान पर रखा जाना चाहिए:

सिद्धांत रूप में, समीकरण का रूप पहले से ही है, लेकिन गणितीय शिष्टाचार के नियमों के अनुसार, पहले पद का गुणांक (इस मामले में) सकारात्मक होना चाहिए। बदलते संकेत:

इस तकनीकी सुविधा को याद रखें!हम पहले गुणांक (अक्सर) को सकारात्मक बनाते हैं!

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, एक सीधी रेखा का समीकरण लगभग हमेशा दिया जाएगा सामान्य फ़ॉर्म. खैर, यदि आवश्यक हो, तो इसे आसानी से कोणीय गुणांक (ऑर्डिनेट अक्ष के समानांतर सीधी रेखाओं के अपवाद के साथ) के साथ "स्कूल" रूप में कम किया जा सकता है।

आइए अपने आप से पूछें कि क्या पर्याप्तक्या आप सीधी रेखा बनाना जानते हैं? दो अंक. लेकिन बचपन की इस घटना के बारे में और अधिक, अब तीरों से चिपकना नियम। प्रत्येक सीधी रेखा में एक बहुत ही विशिष्ट ढलान होता है, जिसे "अनुकूलित" करना आसान होता है। वेक्टर.

एक सदिश जो किसी रेखा के समानांतर होता है, उस रेखा का दिशा सदिश कहलाता है. यह स्पष्ट है कि किसी भी सीधी रेखा में अनंत संख्या में दिशा सदिश होते हैं, और वे सभी संरेख होंगे (कोडायरेक्शनल या नहीं - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता)।

मैं दिशा वेक्टर को इस प्रकार निरूपित करूंगा:।

लेकिन एक वेक्टर एक सीधी रेखा बनाने के लिए पर्याप्त नहीं है, वेक्टर स्वतंत्र है और समतल पर किसी भी बिंदु से बंधा नहीं है। इसलिए, रेखा से संबंधित कुछ बिंदुओं को जानना अतिरिक्त रूप से आवश्यक है।

एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?

यदि किसी रेखा से संबंधित एक निश्चित बिंदु और इस रेखा का दिशा वेक्टर ज्ञात हो, तो इस रेखा का समीकरण सूत्र का उपयोग करके संकलित किया जा सकता है:

कभी-कभी इसे कहा जाता है रेखा का विहित समीकरण .

कब क्या करना है निर्देशांकों में से एकशून्य के बराबर है, हम नीचे व्यावहारिक उदाहरणों में समझेंगे। वैसे कृपया ध्यान दें - दोनों एक साथनिर्देशांक शून्य के बराबर नहीं हो सकते, क्योंकि शून्य वेक्टर कोई विशिष्ट दिशा निर्दिष्ट नहीं करता है।

उदाहरण 3

एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें

समाधान: आइए सूत्र का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण बनाएं। इस मामले में:

अनुपात के गुणों का उपयोग करके हम भिन्नों से छुटकारा पाते हैं:

और हम समीकरण को उसके सामान्य रूप में लाते हैं:

उत्तर:

एक नियम के रूप में, ऐसे उदाहरणों में चित्र बनाने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन समझने के लिए:

चित्र में हम प्रारंभिक बिंदु, मूल दिशा वेक्टर (इसे समतल पर किसी भी बिंदु से आलेखित किया जा सकता है) और निर्मित सीधी रेखा देखते हैं। वैसे, कई मामलों में कोणीय गुणांक वाले समीकरण का उपयोग करके एक सीधी रेखा बनाना सबसे सुविधाजनक होता है। हमारे समीकरण को रूप में बदलना और एक सीधी रेखा बनाने के लिए आसानी से दूसरे बिंदु का चयन करना आसान है।

जैसा कि पैराग्राफ की शुरुआत में बताया गया है, एक सीधी रेखा में अनंत रूप से कई दिशा वैक्टर होते हैं, और वे सभी संरेख होते हैं। उदाहरण के लिए, मैंने तीन ऐसे वेक्टर बनाए: . हम जो भी दिशा वेक्टर चुनें, परिणाम हमेशा एक ही सीधी रेखा समीकरण होगा।

आइए एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण बनाएं:

अनुपात का समाधान:

दोनों पक्षों को -2 से विभाजित करें और परिचित समीकरण प्राप्त करें:

जो लोग रुचि रखते हैं वे उसी तरह से वैक्टर का परीक्षण कर सकते हैं या कोई अन्य संरेख वेक्टर।

आइए अब उलटी समस्या को हल करें:

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण का उपयोग करके दिशा वेक्टर कैसे खोजें?

बहुत सरल:

यदि आयताकार समन्वय प्रणाली में एक रेखा सामान्य समीकरण द्वारा दी गई है, तो वेक्टर इस रेखा का दिशा वेक्टर है।

सीधी रेखाओं के दिशा सदिश खोजने के उदाहरण:

कथन हमें अनंत संख्या में से केवल एक दिशा वेक्टर खोजने की अनुमति देता है, लेकिन हमें और अधिक की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि कुछ मामलों में दिशा वैक्टर के निर्देशांक को कम करने की सलाह दी जाती है:

इस प्रकार, समीकरण एक सीधी रेखा निर्दिष्ट करता है जो अक्ष के समानांतर है और परिणामी दिशा वेक्टर के निर्देशांक को आसानी से -2 से विभाजित किया जाता है, जिससे दिशा वेक्टर के रूप में बिल्कुल आधार वेक्टर प्राप्त होता है। तार्किक.

इसी प्रकार, समीकरण अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा निर्दिष्ट करता है, और वेक्टर के निर्देशांक को 5 से विभाजित करके, हम इकाई वेक्टर को दिशा वेक्टर के रूप में प्राप्त करते हैं।

अब चलो यह करते हैं जाँच उदाहरण 3. उदाहरण ऊपर चला गया, इसलिए मैं आपको याद दिला दूं कि इसमें हमने एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा के समीकरण को संकलित किया था

पहले तो, सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करके हम इसकी दिशा वेक्टर को पुनर्स्थापित करते हैं: - सब कुछ ठीक है, हमें मूल वेक्टर प्राप्त हो गया है (कुछ मामलों में परिणाम मूल वेक्टर के साथ एक संरेख वेक्टर हो सकता है, और यह आमतौर पर संबंधित निर्देशांक की आनुपातिकता द्वारा नोटिस करना आसान होता है)।

दूसरे, बिंदु के निर्देशांक को समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। हम उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

सही समानता प्राप्त हुई, जिससे हम बहुत खुश हैं।'

निष्कर्ष: कार्य सही ढंग से पूरा हुआ।

उदाहरण 4

एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं। अभी चर्चा किए गए एल्गोरिदम का उपयोग करके जांच करना अत्यधिक उचित है। हमेशा (यदि संभव हो तो) ड्राफ्ट की जांच करने का प्रयास करें। ऐसी गलतियाँ करना मूर्खता है जहाँ उनसे 100% बचा जा सकता है।

इस घटना में कि दिशा वेक्टर का एक निर्देशांक शून्य है, बहुत सरलता से आगे बढ़ें:

उदाहरण 5

समाधान: सूत्र उपयुक्त नहीं है क्योंकि दाहिनी ओर का हर शून्य है। निकलने का एक रास्ता है! अनुपात के गुणों का उपयोग करते हुए, हम सूत्र को फॉर्म में फिर से लिखते हैं, और बाकी को एक गहरी रट के साथ घुमाते हैं:

उत्तर:

परीक्षा:

1) सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर को पुनर्स्थापित करें:
- परिणामी वेक्टर मूल दिशा वेक्टर के संरेख है।

2) बिंदु के निर्देशांक को समीकरण में रखें:

सही समानता प्राप्त होती है

निष्कर्ष: कार्य सही ढंग से पूरा हुआ

सवाल उठता है कि अगर कोई सार्वभौमिक संस्करण है जो किसी भी मामले में काम करेगा तो सूत्र से परेशान क्यों हों? दो कारण हैं. सबसे पहले, सूत्र भिन्न के रूप में होता है बहुत बेहतर ढंग से याद किया गया. और दूसरी बात, सार्वभौमिक सूत्र का नुकसान यह है भ्रमित होने का जोखिम काफी बढ़ जाता हैनिर्देशांक प्रतिस्थापित करते समय।

उदाहरण 6

एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है।

आइए सर्वव्यापी दो बिंदुओं पर वापस लौटें:

दो बिंदुओं का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?

यदि दो बिंदु ज्ञात हैं, तो इन बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण सूत्र का उपयोग करके संकलित किया जा सकता है:

वास्तव में, यह एक प्रकार का सूत्र है और इसका कारण यह है: यदि दो बिंदु ज्ञात हैं, तो वेक्टर दी गई रेखा का दिशा वेक्टर होगा। कक्षा में डमी के लिए वेक्टरहमने माना सबसे सरल कार्य- दो बिंदुओं से एक वेक्टर के निर्देशांक कैसे खोजें। इस समस्या के अनुसार, दिशा वेक्टर के निर्देशांक हैं:

टिप्पणी : बिंदुओं को "स्वैप" किया जा सकता है और सूत्र का उपयोग किया जा सकता है . ऐसा समाधान समतुल्य होगा.

उदाहरण 7

दो बिंदुओं का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें .

समाधान: हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

हरों का संयोजन:

और डेक को फेरें:

अब भिन्नात्मक संख्याओं से छुटकारा पाने का समय आ गया है। इस मामले में, आपको दोनों पक्षों को 6 से गुणा करना होगा:

कोष्ठक खोलें और समीकरण को ध्यान में रखें:

उत्तर:

परीक्षास्पष्ट है - प्रारंभिक बिंदुओं के निर्देशांक को परिणामी समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए:

1) बिंदु के निर्देशांक प्रतिस्थापित करें:

सच्ची समानता.

2) बिंदु के निर्देशांक प्रतिस्थापित करें:

सच्ची समानता.

निष्कर्ष: रेखा का समीकरण सही लिखा गया है।

अगर कम से कम एकअंकों का समीकरण समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है, त्रुटि की तलाश करें।

यह ध्यान देने योग्य है कि इस मामले में ग्राफिकल सत्यापन कठिन है, क्योंकि एक सीधी रेखा बनाएं और देखें कि क्या बिंदु उससे संबंधित हैं , इतना आसान नहीं।

मैं समाधान के कुछ और तकनीकी पहलुओं पर ध्यान दूंगा। शायद इस समस्या में दर्पण सूत्र का उपयोग करना अधिक लाभदायक है और, उन्हीं बिंदुओं पर एक समीकरण बनाएं:

कम अंश. आप चाहें तो समाधान को अंत तक ले जा सकते हैं, परिणाम वही समीकरण होना चाहिए।

दूसरा बिंदु अंतिम उत्तर को देखना और यह पता लगाना है कि क्या इसे और सरल बनाया जा सकता है? उदाहरण के लिए, यदि आपको समीकरण मिलता है, तो इसे दो से कम करने की सलाह दी जाती है: - समीकरण उसी सीधी रेखा को परिभाषित करेगा। हालाँकि, यह पहले से ही चर्चा का विषय है रेखाओं की सापेक्ष स्थिति.

जवाब मिल गया उदाहरण 7 में, बस मामले में, मैंने जाँच की कि क्या समीकरण के सभी गुणांक 2, 3 या 7 से विभाज्य हैं। हालाँकि, अक्सर ऐसी कटौती समाधान के दौरान की जाती है।

उदाहरण 8

बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के लिए एक समीकरण लिखें .

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है, जो आपको गणना तकनीकों को बेहतर ढंग से समझने और अभ्यास करने की अनुमति देगा।

पिछले पैराग्राफ के समान: यदि सूत्र में हर में से एक (दिशा वेक्टर का निर्देशांक) शून्य हो जाता है, फिर हम इसे फॉर्म में फिर से लिखते हैं। फिर, ध्यान दें कि वह कितनी अजीब और भ्रमित दिखती है। मुझे व्यावहारिक उदाहरण देने का कोई मतलब नहीं दिखता, क्योंकि हमने वास्तव में इस समस्या को पहले ही हल कर लिया है (देखें क्रमांक 5, 6)।

प्रत्यक्ष सामान्य वेक्टर (सामान्य वेक्टर)

सामान्य क्या है? सरल शब्दों में, सामान्य लंबवत है। अर्थात्, किसी रेखा का सामान्य सदिश किसी दी गई रेखा पर लंबवत होता है। जाहिर है, किसी भी सीधी रेखा में उनकी अनंत संख्या होती है (साथ ही दिशा सदिश भी), और सीधी रेखा के सभी सामान्य सदिश संरेख होंगे (कोडायरेक्शनल या नहीं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता)।

गाइड वैक्टर की तुलना में उनसे निपटना और भी आसान होगा:

यदि आयताकार समन्वय प्रणाली में एक रेखा सामान्य समीकरण द्वारा दी गई है, तो वेक्टर इस रेखा का सामान्य वेक्टर है।

यदि दिशा वेक्टर के निर्देशांक को समीकरण से सावधानीपूर्वक "बाहर निकालना" है, तो सामान्य वेक्टर के निर्देशांक को आसानी से "हटाया" जा सकता है।

सामान्य वेक्टर हमेशा रेखा के दिशा वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल होता है। आइए हम इन वैक्टरों की ऑर्थोगोनैलिटी का उपयोग करके सत्यापित करें डॉट उत्पाद:

मैं दिशा वेक्टर के समान समीकरणों के साथ उदाहरण दूंगा:

क्या एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दिए जाने पर एक सीधी रेखा का समीकरण बनाना संभव है? मैं इसे अपने पेट में महसूस करता हूं, यह संभव है। यदि सामान्य वेक्टर ज्ञात है, तो सीधी रेखा की दिशा स्वयं स्पष्ट रूप से परिभाषित होती है - यह 90 डिग्री के कोण के साथ एक "कठोर संरचना" है।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दी गई सीधी रेखा का समीकरण कैसे लिखें?

यदि किसी रेखा से संबंधित एक निश्चित बिंदु और इस रेखा का सामान्य वेक्टर ज्ञात हो, तो इस रेखा का समीकरण सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:

यहां सब कुछ भिन्न और अन्य आश्चर्यों के बिना ठीक हो गया। यह हमारा सामान्य वेक्टर है. उसे प्यार करें। और सम्मान =)

उदाहरण 9

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दी गई सीधी रेखा का समीकरण लिखें। रेखा का दिशा सदिश ज्ञात कीजिए।

समाधान: हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

सीधी रेखा का सामान्य समीकरण प्राप्त हो गया है, आइए जाँच करें:

1) समीकरण से सामान्य वेक्टर के निर्देशांक "हटाएं": - हाँ, वास्तव में, मूल वेक्टर स्थिति से प्राप्त किया गया था (या एक संरेख वेक्टर प्राप्त किया जाना चाहिए)।

2) आइए जाँच करें कि क्या बिंदु समीकरण को संतुष्ट करता है:

सच्ची समानता.

जब हम आश्वस्त हो जाएं कि समीकरण सही ढंग से बना है, तो हम कार्य का दूसरा, आसान भाग पूरा करेंगे। हम सीधी रेखा का निर्देशन सदिश निकालते हैं:

उत्तर:

चित्र में स्थिति इस प्रकार दिखती है:

प्रशिक्षण उद्देश्यों के लिए, स्वतंत्र रूप से हल करने के लिए एक समान कार्य:

उदाहरण 10

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर दी गई सीधी रेखा का समीकरण लिखें। रेखा का दिशा सदिश ज्ञात कीजिए।

पाठ का अंतिम भाग कम सामान्य लोगों के लिए भी समर्पित होगा महत्वपूर्ण प्रजातियाँएक समतल पर सीधी रेखा के समीकरण

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण.
पैरामीट्रिक रूप में एक रेखा का समीकरण

खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है, जहां गैर-शून्य स्थिरांक होते हैं। कुछ प्रकार के समीकरणों को इस रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष आनुपातिकता (चूंकि मुक्त पद शून्य के बराबर है और किसी को दाईं ओर लाने का कोई तरीका नहीं है)।

यह, लाक्षणिक रूप से, एक "तकनीकी" प्रकार का समीकरण है। एक सामान्य कार्य एक रेखा के सामान्य समीकरण को खंडों में एक रेखा के समीकरण के रूप में प्रस्तुत करना है। यह कैसे सुविधाजनक है? खंडों में एक रेखा का समीकरण आपको एक रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को शीघ्रता से खोजने की अनुमति देता है समन्वय अक्ष, जो उच्च गणित की कुछ समस्याओं में बहुत महत्वपूर्ण हो सकता है।

आइए अक्ष के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। हम "y" को रीसेट करते हैं और समीकरण फॉर्म लेता है। वांछित बिंदु स्वचालित रूप से प्राप्त होता है:।

अक्ष के साथ भी ऐसा ही - वह बिंदु जिस पर सीधी रेखा कोटि अक्ष को काटती है।

गणित में, कार्तीय निर्देशांक तल पर एक रेखा की स्थिति का वर्णन करने वाले मापदंडों में से एक इस रेखा का कोणीय गुणांक है। यह पैरामीटर एब्सिस्सा अक्ष पर सीधी रेखा के ढलान को दर्शाता है। यह समझने के लिए कि ढलान का पता कैसे लगाया जाए, पहले XY समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा के समीकरण के सामान्य रूप को याद करें।

सामान्य तौर पर, किसी भी रेखा को अभिव्यक्ति ax+by=c द्वारा दर्शाया जा सकता है, जहां a, b और c मनमानी वास्तविक संख्याएं हैं, लेकिन a 2 + b 2 ≠ 0।

सरल परिवर्तनों का उपयोग करके, ऐसे समीकरण को y=kx+d के रूप में लाया जा सकता है, जिसमें k और d वास्तविक संख्याएँ हैं। संख्या k ढलान है, और इस प्रकार की रेखा के समीकरण को ढलान वाला समीकरण कहा जाता है। यह पता चला है कि ढलान खोजने के लिए, आपको बस मूल समीकरण को ऊपर बताए गए फॉर्म में कम करना होगा। अधिक संपूर्ण समझ के लिए, एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें:

समस्या: समीकरण 36x - 18y = 108 द्वारा दी गई रेखा का ढलान ज्ञात करें

समाधान: आइए मूल समीकरण को रूपांतरित करें।

उत्तर: इस रेखा का अपेक्षित ढलान 2 है।

यदि, समीकरण के परिवर्तन के दौरान, हमें x = const जैसी अभिव्यक्ति प्राप्त हुई और परिणामस्वरूप हम y को x के एक फ़ंक्शन के रूप में प्रस्तुत नहीं कर सकते हैं, तो हम X अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा के कोणीय गुणांक के साथ काम कर रहे हैं एक सीधी रेखा अनंत के बराबर होती है.

y = const जैसे समीकरण द्वारा व्यक्त रेखाओं के लिए ढलान शून्य है। यह भुज अक्ष के समानांतर सीधी रेखाओं के लिए विशिष्ट है। उदाहरण के लिए:

समस्या: समीकरण 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 द्वारा दी गई रेखा का ढलान ज्ञात करें

समाधान: आइए मूल समीकरण को उसके सामान्य रूप में लाएँ

24x + 12y - 12y + 28 = 4

परिणामी अभिव्यक्ति से y को व्यक्त करना असंभव है, इसलिए इस रेखा का कोणीय गुणांक अनंत के बराबर है, और रेखा स्वयं Y अक्ष के समानांतर होगी।

ज्यामितीय अर्थ

के लिए बेहतर समझआइए चित्र देखें:

चित्र में हम y = kx जैसे किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ देखते हैं। सरल बनाने के लिए, आइए गुणांक c = 0 लें। त्रिभुज OAB में, भुजा BA से AO का अनुपात कोणीय गुणांक k के बराबर होगा। उसी समय, अनुपात VA/AO स्पर्शरेखा है तीव्र कोणα में सही त्रिकोणओएवी. यह पता चला है कि सीधी रेखा का कोणीय गुणांक उस कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है जो यह सीधी रेखा समन्वय ग्रिड के भुज अक्ष के साथ बनाती है।

एक सीधी रेखा का कोणीय गुणांक कैसे ज्ञात किया जाए, इस समस्या को हल करते हुए, हम इसके और समन्वय ग्रिड के एक्स अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा ज्ञात करते हैं। सीमा मामले, जब प्रश्न में रेखा समन्वय अक्षों के समानांतर होती है, तो उपरोक्त की पुष्टि करें। दरअसल, समीकरण y=const द्वारा वर्णित एक सीधी रेखा के लिए, इसके और भुज अक्ष के बीच का कोण शून्य है। शून्य कोण की स्पर्शरेखा भी शून्य होती है और ढलान भी शून्य होता है।

x-अक्ष पर लंबवत और समीकरण x=const द्वारा वर्णित सीधी रेखाओं के लिए, उनके और X-अक्ष के बीच का कोण 90 डिग्री है। स्पर्शरेखा समकोणअनंत के बराबर है, और समान सीधी रेखाओं का कोणीय गुणांक भी अनंत के बराबर है, जो ऊपर लिखी गई बात की पुष्टि करता है।

स्पर्शरेखा ढलान

व्यवहार में अक्सर सामने आने वाला एक सामान्य कार्य किसी निश्चित बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्श रेखा का ढलान ज्ञात करना भी है। स्पर्शरेखा एक सीधी रेखा है, इसलिए ढलान की अवधारणा इस पर भी लागू होती है।

यह जानने के लिए कि स्पर्शरेखा का ढलान कैसे ज्ञात किया जाए, हमें व्युत्पन्न की अवधारणा को याद करना होगा। किसी भी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न संख्यात्मक रूप से एक स्थिरांक होता है स्पर्शरेखा के बराबरइस फ़ंक्शन के ग्राफ़ और भुज अक्ष पर एक निर्दिष्ट बिंदु पर स्पर्शरेखा के बीच बना कोण। यह पता चला है कि बिंदु x 0 पर स्पर्शरेखा के कोणीय गुणांक को निर्धारित करने के लिए, हमें इस बिंदु k = f"(x 0) पर मूल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है। आइए एक उदाहरण देखें:

समस्या: x = 0.1 पर फ़ंक्शन y = 12x 2 + 2xe x की स्पर्श रेखा की ढलान ज्ञात करें।

समाधान: मूल फलन का व्युत्पन्न सामान्य रूप में ज्ञात कीजिए

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

उत्तर: बिंदु x = 0.1 पर आवश्यक ढलान 4.831 है

विषय की निरंतरता, एक समतल पर एक रेखा का समीकरण बीजगणित पाठों से एक सीधी रेखा के अध्ययन पर आधारित है। यह आलेख ढलान के साथ सीधी रेखा के समीकरण के विषय पर सामान्य जानकारी प्रदान करता है। आइए परिभाषाओं पर विचार करें, स्वयं समीकरण प्राप्त करें, और अन्य प्रकार के समीकरणों के साथ संबंध की पहचान करें। समस्या समाधान के उदाहरणों का उपयोग करके हर चीज़ पर चर्चा की जाएगी।

Yandex.RTB R-A-339285-1

ऐसा समीकरण लिखने से पहले, O x अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव के कोण को उनके कोणीय गुणांक के साथ परिभाषित करना आवश्यक है। आइए मान लें कि समतल पर एक कार्तीय निर्देशांक प्रणाली O x दी गई है।

परिभाषा 1

O x अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण,समतल पर कार्तीय समन्वय प्रणाली O x y में स्थित, यह वह कोण है जिसे सकारात्मक दिशा O x से सीधी रेखा वामावर्त में मापा जाता है।

जब रेखा O x के समानांतर होती है या उसमें संपाती होती है, तो झुकाव का कोण 0 होता है। फिर दी गई सीधी रेखा α के झुकाव के कोण को अंतराल [ 0 , π) पर परिभाषित किया जाता है।

परिभाषा 2

सीधी ढलानकिसी दी गई सीधी रेखा के झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा है।

मानक पदनाम k है। परिभाषा से हम पाते हैं कि k = t g α। जब रेखा ऑक्स के समानांतर होती है, तो वे कहते हैं कि ढलान मौजूद नहीं है, क्योंकि यह अनंत तक जाती है।

जब फ़ंक्शन का ग्राफ़ बढ़ता है तो ढलान सकारात्मक होता है और इसके विपरीत। यह आंकड़ा गुणांक के मूल्य के साथ समन्वय प्रणाली के सापेक्ष समकोण के स्थान में विभिन्न भिन्नताएं दिखाता है।

इस कोण को खोजने के लिए, कोणीय गुणांक की परिभाषा को लागू करना और विमान में झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

शर्त से हमारे पास α = 120° है। परिभाषा के अनुसार, ढलान की गणना की जानी चाहिए। आइए इसे सूत्र k = t g α = 120 = - 3 से ज्ञात करें।

उत्तर:के = - 3 .

यदि कोणीय गुणांक ज्ञात है, और भुज अक्ष पर झुकाव का कोण ज्ञात करना आवश्यक है, तो कोणीय गुणांक के मान को ध्यान में रखा जाना चाहिए। यदि k > 0, तो समकोण न्यून कोण है और सूत्र α = a r c t g k द्वारा पाया जाता है। यदि के< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

उदाहरण 2

3 के कोणीय गुणांक के साथ दी गई सीधी रेखा के O x के झुकाव का कोण निर्धारित करें।

समाधान

शर्त से हमारे पास यह है कि कोणीय गुणांक सकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि O x के झुकाव का कोण 90 डिग्री से कम है। गणना सूत्र α = a r c t g k = a r c t g 3 का उपयोग करके की जाती है।

उत्तर: α = a r c t g 3।

उदाहरण 3

यदि ढलान = - 1 3 है तो O x अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण ज्ञात करें।

समाधान

यदि हम अक्षर k को कोणीय गुणांक के पदनाम के रूप में लेते हैं, तो α सकारात्मक दिशा O x में दी गई सीधी रेखा के झुकाव का कोण है। अत: k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - ए आर सी टी जी - 1 3 = π - ए आर सी टी जी 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

उत्तर: 5 π 6 .

y = k x + b के रूप का समीकरण, जहां k ढलान है और b कोई वास्तविक संख्या है, ढलान वाली रेखा का समीकरण कहलाता है। यह समीकरण किसी भी सीधी रेखा के लिए विशिष्ट है जो O y अक्ष के समानांतर नहीं है।

यदि हम एक निश्चित समन्वय प्रणाली में एक विमान पर एक सीधी रेखा पर विस्तार से विचार करते हैं, जो एक कोणीय गुणांक वाले समीकरण द्वारा निर्दिष्ट होती है जिसका रूप y = k x + b होता है। इस मामले में, इसका मतलब है कि समीकरण रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक से मेल खाता है। यदि हम बिंदु M, M 1 (x 1, y 1) के निर्देशांक को समीकरण y = k x + b में प्रतिस्थापित करते हैं, तो इस स्थिति में रेखा इस बिंदु से होकर गुजरेगी, अन्यथा बिंदु रेखा से संबंधित नहीं है।

उदाहरण 4

ढलान y = 1 3 x - 1 के साथ एक सीधी रेखा दी गई है। गणना करें कि क्या बिंदु M 1 (3, 0) और M 2 (2, - 2) दी गई रेखा से संबंधित हैं।

समाधान

दिए गए समीकरण में बिंदु M 1 (3, 0) के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है, तो हमें 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0 मिलता है। समानता सत्य है, जिसका अर्थ है कि बिंदु रेखा से संबंधित है।

यदि हम बिंदु M 2 (2, - 2) के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें फॉर्म की गलत समानता मिलती है - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बिंदु M 2 रेखा से संबंधित नहीं है।

उत्तर:एम 1 लाइन से संबंधित है, लेकिन एम 2 नहीं है।

यह ज्ञात है कि रेखा को समीकरण y = k · x + b द्वारा परिभाषित किया गया है, जो M 1 (0, b) से होकर गुजरती है, प्रतिस्थापन पर हमें फॉर्म b = k · 0 + b ⇔ b = b की समानता प्राप्त होती है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि समतल पर कोणीय गुणांक y = k x + b वाली एक सीधी रेखा का समीकरण एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है जो बिंदु 0, b से होकर गुजरती है। यह O x अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक कोण α बनाता है, जहाँ k = t g α है।

आइए, उदाहरण के तौर पर, y = 3 · x - 1 के रूप में निर्दिष्ट कोणीय गुणांक का उपयोग करके परिभाषित एक सीधी रेखा पर विचार करें। हम पाते हैं कि सीधी रेखा O x अक्ष की सकारात्मक दिशा में α = a r c t g 3 = π 3 रेडियन की ढलान के साथ निर्देशांक 0, - 1 वाले बिंदु से होकर गुजरेगी। इससे पता चलता है कि गुणांक 3 है।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली ढलान वाली सीधी रेखा का समीकरण

किसी समस्या को हल करना आवश्यक है जहाँ बिंदु M 1 (x 1, y 1) से गुजरने वाली दी गई ढलान वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है।

समानता y 1 = k · x + b को वैध माना जा सकता है, क्योंकि रेखा बिंदु M 1 (x 1, y 1) से होकर गुजरती है। संख्या बी को हटाने के लिए, आपको बाईं और दाईं ओर से ढलान वाले समीकरण को घटाना होगा। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि y - y 1 = k · (x - x 1) . इस समानता को दिए गए ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण कहा जाता है, जो बिंदु M 1 (x 1, y 1) के निर्देशांक से होकर गुजरती है।

उदाहरण 5

निर्देशांक (4, - 1) के साथ बिंदु M 1 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण लिखें, जिसका कोणीय गुणांक - 2 के बराबर हो।

समाधान

शर्त के अनुसार हमारे पास x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2 है। यहां से रेखा का समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

उत्तर: y = - 2 x + 7 .

उदाहरण 6

कोणीय गुणांक वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखें जो बिंदु M 1 से निर्देशांक (3, 5) के साथ गुजरती है, सीधी रेखा y = 2 x - 2 के समानांतर।

समाधान

शर्त के अनुसार, हमारे पास यह है कि समानांतर रेखाओं में झुकाव के कोण समान हैं, जिसका अर्थ है कि कोणीय गुणांक बराबर हैं। से ढलान ज्ञात करने के लिए दिया गया समीकरण, आपको इसका मूल सूत्र y = 2 x - 2 याद रखना होगा, यह k = 2 का अनुसरण करता है। हम ढलान गुणांक के साथ एक समीकरण बनाते हैं और प्राप्त करते हैं:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

उत्तर: y = 2 x - 1 .

ढलान के साथ एक सीधी रेखा समीकरण से अन्य प्रकार की सीधी रेखा समीकरणों और पीछे की ओर संक्रमण

यह समीकरण हमेशा समस्याओं को हल करने के लिए लागू नहीं होता है, क्योंकि इसे लिखना पूरी तरह सुविधाजनक नहीं है। ऐसा करने के लिए, आपको इसे एक अलग रूप में प्रस्तुत करना होगा। उदाहरण के लिए, y = k · x + b रूप का एक समीकरण हमें एक सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के निर्देशांक या एक सामान्य वेक्टर के निर्देशांक लिखने की अनुमति नहीं देता है। ऐसा करने के लिए, आपको विभिन्न प्रकार के समीकरणों के साथ प्रतिनिधित्व करना सीखना होगा।

हम पा सकते हैं विहित समीकरणढलान वाली रेखा के समीकरण का उपयोग करके एक समतल पर रेखा। हमें x - x 1 a x = y - y 1 a y मिलता है। शब्द b को बाईं ओर ले जाना और परिणामी असमानता की अभिव्यक्ति से विभाजित करना आवश्यक है। तब हमें y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k के रूप का एक समीकरण मिलता है।

ढलान वाली रेखा का समीकरण इस रेखा का विहित समीकरण बन गया है।

उदाहरण 7

कोणीय गुणांक y = - 3 x + 12 वाली सीधी रेखा के समीकरण को विहित रूप में लाएँ।

समाधान

आइए हम इसकी गणना करें और इसे एक सीधी रेखा के विहित समीकरण के रूप में प्रस्तुत करें। हमें इस रूप का एक समीकरण मिलता है:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

उत्तर: x 1 = y - 12 - 3.

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण y = k · x + b से प्राप्त करना सबसे आसान है, लेकिन इसके लिए परिवर्तन करना आवश्यक है: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. से एक संक्रमण बनता है सामान्य समीकरणअन्य प्रकार के समीकरणों के लिए सीधी रेखा।

उदाहरण 8

y = 1 7 x - 2 के रूप का एक सीधी रेखा समीकरण दिया गया है। पता लगाएँ कि क्या निर्देशांक a → = (- 1, 7) वाला वेक्टर एक सामान्य रेखा वेक्टर है?

समाधान

इसे हल करने के लिए इस समीकरण के दूसरे रूप की ओर जाना आवश्यक है, इसके लिए हम लिखते हैं:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

चर के सामने के गुणांक रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं। आइए इसे इस तरह लिखें: n → = 1 7, - 1, इसलिए 1 7 x - y - 2 = 0. यह स्पष्ट है कि सदिश a → = (- 1, 7) सदिश n → = 1 7, - 1 के संरेख है, क्योंकि हमारे पास उचित संबंध a → = - 7 · n → है। इसका तात्पर्य यह है कि मूल वेक्टर a → = - 1, 7 रेखा 1 7 x - y - 2 = 0 का एक सामान्य वेक्टर है, जिसका अर्थ है कि इसे रेखा y = 1 7 x - 2 के लिए एक सामान्य वेक्टर माना जाता है।

उत्तर:है

आइए इसकी उलटी समस्या को हल करें।

से स्थानांतरित करने की आवश्यकता है सामान्य रूप से देखेंसमीकरण A x + B y + C = 0, जहां B ≠ 0, ढलान वाले समीकरण के लिए। ऐसा करने के लिए, हम y के समीकरण को हल करते हैं। हमें A x + B y + C = 0 ⇔ - A B x - C B मिलता है।

परिणाम - A B के बराबर ढलान वाला एक समीकरण है।

उदाहरण 9

2 3 x - 4 y + 1 = 0 के रूप का एक सीधी रेखा समीकरण दिया गया है। कोणीय गुणांक के साथ दी गई रेखा का समीकरण प्राप्त करें।

समाधान

शर्त के आधार पर, y को हल करना आवश्यक है, फिर हमें फॉर्म का एक समीकरण प्राप्त होता है:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4।

उत्तर: y = 1 6 x + 1 4 .

x a + y b = 1 के रूप का एक समीकरण इसी प्रकार हल किया जाता है, जिसे खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण कहा जाता है, या विहित प्रकारएक्स - एक्स 1 ए एक्स = वाई - वाई 1 ए वाई। हमें इसे y के लिए हल करने की आवश्यकता है, तभी हमें ढलान के साथ एक समीकरण मिलता है:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

विहित समीकरण को कोणीय गुणांक वाले रूप में घटाया जा सकता है। यह करने के लिए:

एक्स - एक्स 1 ए एक्स = वाई - वाई 1 ए वाई ⇔ ए वाई · (एक्स - एक्स 1) = ए एक्स · (वाई - वाई 1) ⇔ ⇔ ए एक्स · वाई = ए वाई · एक्स - ए वाई · एक्स 1 + ए एक्स · वाई 1 ⇔ वाई = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

उदाहरण 10

एक सीधी रेखा है समीकरण द्वारा दिया गयाएक्स 2 + वाई - 3 = 1. कोणीय गुणांक वाले समीकरण के रूप में घटाएँ।

समाधान।

स्थिति के आधार पर, परिवर्तन करना आवश्यक है, फिर हमें _सूत्र_ के रूप का एक समीकरण प्राप्त होता है। आवश्यक ढलान समीकरण प्राप्त करने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों को - 3 से गुणा किया जाना चाहिए। परिवर्तन करते हुए, हमें मिलता है:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

उत्तर: y = 3 2 x - 3 .

उदाहरण 11

x - 2 2 = y + 1 5 के रूप के सरल रेखा समीकरण को कोणीय गुणांक वाले रूप में घटाएँ।

समाधान

अनुपात के रूप में अभिव्यक्ति x - 2 2 = y + 1 5 की गणना करना आवश्यक है। हम पाते हैं कि 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . अब आपको ऐसा करने के लिए इसे पूरी तरह से सक्षम करने की आवश्यकता है:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

उत्तर: y = 5 2 x - 6 .

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ रूप की रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों को रेखा के विहित समीकरण में घटाया जाना चाहिए, इसके बाद ही कोई समीकरण के साथ आगे बढ़ सकता है ढलान गुणांक.

उदाहरण 12

यदि रेखा पैरामीट्रिक समीकरण x = λ y = - 1 + 2 · λ द्वारा दी गई है तो रेखा का ढलान ज्ञात करें।

समाधान

पैरामीट्रिक दृश्य से ढलान की ओर संक्रमण करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम दिए गए पैरामीट्रिक से विहित समीकरण पाते हैं:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2।

अब कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करने के लिए y के संबंध में इस समानता को हल करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आइए इसे इस प्रकार लिखें:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि रेखा का ढलान 2 है। इसे k = 2 के रूप में लिखा जाता है।

उत्तर:के = 2.

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पिछले अध्याय में यह दिखाया गया था कि समतल पर एक निश्चित समन्वय प्रणाली चुनकर हम यह कर सकते हैं ज्यामितीय गुण, जो विचाराधीन रेखा के बिंदुओं को दर्शाता है, वर्तमान निर्देशांक के बीच एक समीकरण द्वारा विश्लेषणात्मक रूप से व्यक्त किया जाता है। इस प्रकार हमें रेखा का समीकरण प्राप्त होता है। यह अध्याय सीधी रेखा समीकरणों पर गौर करेगा।

कार्टेशियन निर्देशांक में एक सीधी रेखा के लिए एक समीकरण बनाने के लिए, आपको किसी तरह ऐसी स्थितियाँ निर्धारित करने की आवश्यकता है जो निर्देशांक अक्षों के सापेक्ष इसकी स्थिति निर्धारित करती हैं।

सबसे पहले, हम एक रेखा के कोणीय गुणांक की अवधारणा का परिचय देंगे, जो एक समतल पर एक रेखा की स्थिति को दर्शाने वाली मात्राओं में से एक है।

आइए ऑक्स अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव के कोण को वह कोण कहते हैं जिससे ऑक्स अक्ष को घुमाने की आवश्यकता होती है ताकि यह दी गई रेखा के साथ मेल खाए (या इसके समानांतर हो)। हमेशा की तरह, हम चिह्न को ध्यान में रखते हुए कोण पर विचार करेंगे (चिह्न घूर्णन की दिशा से निर्धारित होता है: वामावर्त या दक्षिणावर्त)। चूँकि 180° के कोण के माध्यम से ऑक्स अक्ष का एक अतिरिक्त घुमाव इसे फिर से सीधी रेखा के साथ संरेखित करेगा, अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव के कोण को स्पष्ट रूप से नहीं चुना जा सकता है (एक पद के भीतर, एक से अधिक)।

इस कोण की स्पर्शरेखा विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती है (क्योंकि कोण बदलने से इसकी स्पर्शरेखा नहीं बदलती है)।

ऑक्स अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव कोण के स्पर्शरेखा को सीधी रेखा का कोणीय गुणांक कहा जाता है।

कोणीय गुणांक सीधी रेखा की दिशा को दर्शाता है (हम यहां सीधी रेखा की दो परस्पर विपरीत दिशाओं के बीच अंतर नहीं करते हैं)। यदि किसी रेखा का ढलान शून्य है, तो रेखा x-अक्ष के समानांतर होती है। एक सकारात्मक कोणीय गुणांक के साथ, ऑक्स अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण तीव्र होगा (हम यहां झुकाव कोण के सबसे छोटे सकारात्मक मूल्य पर विचार कर रहे हैं) (छवि 39); इसके अलावा, कोणीय गुणांक जितना अधिक होगा, ऑक्स अक्ष पर इसके झुकाव का कोण उतना ही अधिक होगा। यदि कोणीय गुणांक ऋणात्मक है, तो ऑक्स अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव का कोण अधिक होगा (चित्र 40)। ध्यान दें कि ऑक्स अक्ष पर लंबवत एक सीधी रेखा में कोणीय गुणांक नहीं होता है (कोण का स्पर्शरेखा मौजूद नहीं होता है)।

फ़ंक्शंस के डेरिवेटिव लेना सीखें।व्युत्पन्न इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्थित एक निश्चित बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। इस स्थिति में, ग्राफ़ या तो सीधी या घुमावदार रेखा हो सकता है। अर्थात्, व्युत्पन्न समय में एक विशिष्ट बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। याद करना सामान्य नियम, जिसके द्वारा डेरिवेटिव लिया जाता है, और उसके बाद ही अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं।

• लेख पढ़ो।
• सरलतम व्युत्पन्न कैसे लें, उदाहरण के लिए, व्युत्पन्न घातीय समीकरण, वर्णित. निम्नलिखित चरणों में प्रस्तुत गणनाएँ उसमें वर्णित विधियों पर आधारित होंगी।

उन समस्याओं में अंतर करना सीखें जिनमें किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के माध्यम से ढलान गुणांक की गणना करने की आवश्यकता होती है।समस्याएँ हमेशा आपसे किसी फ़ंक्शन का ढलान या व्युत्पन्न खोजने के लिए नहीं कहती हैं। उदाहरण के लिए, आपसे बिंदु A(x,y) पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए कहा जा सकता है। आपसे बिंदु A(x,y) पर स्पर्श रेखा का ढलान ज्ञात करने के लिए भी कहा जा सकता है। दोनों ही मामलों में फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेना आवश्यक है।

आपको दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लें।यहां ग्राफ़ बनाने की कोई आवश्यकता नहीं है - आपको केवल फ़ंक्शन के समीकरण की आवश्यकता है। हमारे उदाहरण में, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लें। ऊपर उल्लिखित लेख में उल्लिखित विधियों के अनुसार व्युत्पन्न लें:

• व्युत्पन्न:

ढलान की गणना करने के लिए आपको दिए गए बिंदु के निर्देशांक को पाए गए व्युत्पन्न में रखें।किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक निश्चित बिंदु पर ढलान के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, f"(x) किसी भी बिंदु (x,f(x)) पर फ़ंक्शन का ढलान है। हमारे उदाहरण में:

• फ़ंक्शन का ढलान ज्ञात करें f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x)बिंदु A(4,2) पर।
• फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:
  • f ' (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f'(x)=4x+6)
• इस बिंदु के "x" निर्देशांक का मान रखें:
  • f ' (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f'(x)=4(4)+6)
• ढलान ज्ञात करें:
• ढलान समारोह f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x)बिंदु A(4,2) पर 22 के बराबर है।

यदि संभव हो तो अपने उत्तर को एक ग्राफ़ पर जाँचें।याद रखें कि ढलान की गणना हर बिंदु पर नहीं की जा सकती। डिफरेंशियल कैलकुलस जांच करता है जटिल कार्यऔर जटिल ग्राफ़, जहां प्रत्येक बिंदु पर ढलान की गणना नहीं की जा सकती है, और कुछ मामलों में बिंदु ग्राफ़ पर बिल्कुल भी नहीं होते हैं। यदि संभव हो, तो यह जांचने के लिए ग्राफ़िंग कैलकुलेटर का उपयोग करें कि आपके द्वारा दिए गए फ़ंक्शन का ढलान सही है। अन्यथा, आपको दिए गए बिंदु पर ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं और सोचें कि क्या आपको जो ढलान मान मिला है वह ग्राफ़ पर आपके द्वारा देखे गए से मेल खाता है या नहीं।

• किसी निश्चित बिंदु पर स्पर्शरेखा का ढलान फ़ंक्शन के ग्राफ़ के समान होगा। किसी दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा खींचने के लिए, एक्स अक्ष पर बाएं/दाएं जाएं (हमारे उदाहरण में, दाईं ओर 22 मान), और फिर वाई अक्ष पर एक बिंदु को चिह्नित करें, और फिर इसे से कनेक्ट करें आपको बिंदु दिया गया. हमारे उदाहरण में, बिंदुओं को निर्देशांक (4,2) और (26,3) से जोड़ें।