न्यून कोण की ज्या क्या होती है. साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट: त्रिकोणमिति में परिभाषाएँ, उदाहरण, सूत्र

एक विज्ञान के रूप में त्रिकोणमिति की उत्पत्ति प्राचीन पूर्व में हुई थी। पहला त्रिकोणमितीय अनुपात खगोलविदों द्वारा सितारों द्वारा सटीक कैलेंडर और अभिविन्यास बनाने के लिए प्राप्त किया गया था। ये गणनाएँ गोलाकार त्रिकोणमिति से संबंधित हैं, जबकि स्कूल पाठ्यक्रमएक समतल त्रिभुज की भुजाओं और कोणों के अनुपात का अध्ययन करें।

त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो गुणों से संबंधित है त्रिकोणमितीय कार्यऔर त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों के बीच संबंध।

पहली सहस्राब्दी ईस्वी में संस्कृति और विज्ञान के उत्कर्ष के दौरान, ज्ञान प्राचीन पूर्व से ग्रीस तक फैल गया। लेकिन त्रिकोणमिति की मुख्य खोजें अरब खलीफा के लोगों की योग्यता हैं। विशेष रूप से, तुर्कमेन वैज्ञानिक अल-मरज़वी ने स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट जैसे कार्यों की शुरुआत की, और साइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए मूल्यों की पहली तालिकाएँ संकलित कीं। साइन और कोसाइन की अवधारणाएँ भारतीय वैज्ञानिकों द्वारा प्रस्तुत की गईं। यूक्लिड, आर्किमिडीज़ और एराटोस्थनीज जैसी प्राचीन काल की महान हस्तियों के कार्यों में त्रिकोणमिति पर बहुत ध्यान दिया गया।

त्रिकोणमिति की मूल मात्राएँ

एक संख्यात्मक तर्क के मूल त्रिकोणमितीय कार्य साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट हैं। उनमें से प्रत्येक का अपना ग्राफ है: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट।

इन मात्राओं के मानों की गणना के सूत्र पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित हैं। यह सूत्रीकरण स्कूली बच्चों को बेहतर ज्ञात है: "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं," क्योंकि प्रमाण एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के उदाहरण का उपयोग करके दिया गया है।

साइन, कोसाइन और अन्य निर्भरताएँ किसी भी समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों और भुजाओं के बीच संबंध स्थापित करती हैं। आइए कोण A के लिए इन मात्राओं की गणना के लिए सूत्र प्रस्तुत करें और त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंधों का पता लगाएं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, टीजी और सीटीजी हैं उलटा कार्य. यदि हम पैर ए को पाप ए और कर्ण सी के उत्पाद के रूप में कल्पना करते हैं, और पैर बी को कॉस ए * सी के रूप में कल्पना करते हैं, तो हमें स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होते हैं:

त्रिकोणमितीय वृत्त

ग्राफ़िक रूप से, उल्लिखित मात्राओं के बीच संबंध को निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

परिधि, में इस मामले में, कोण α के सभी संभावित मानों का प्रतिनिधित्व करता है - 0° से 360° तक। जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, प्रत्येक फ़ंक्शन कोण के आधार पर एक नकारात्मक या सकारात्मक मान लेता है। उदाहरण के लिए, यदि α वृत्त की पहली और दूसरी तिमाही से संबंधित है, यानी यह 0° से 180° की सीमा में है, तो पाप α में "+" चिह्न होगा। α के लिए 180° से 360° (III और IV तिमाही) तक, पाप α केवल एक नकारात्मक मान हो सकता है।

आइए निर्माण करने का प्रयास करें त्रिकोणमितीय तालिकाएँविशिष्ट कोणों के लिए और मात्राओं का मान ज्ञात कीजिए।

30°, 45°, 60°, 90°, 180° इत्यादि के बराबर α के मान विशेष मामले कहलाते हैं। उनके लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना की जाती है और विशेष तालिकाओं के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

इन कोणों को यादृच्छिक रूप से नहीं चुना गया था। तालिकाओं में पदनाम π रेडियन के लिए है। रेड वह कोण है जिस पर किसी वृत्त के चाप की लंबाई उसकी त्रिज्या से मेल खाती है। यह मान एक सार्वभौमिक निर्भरता स्थापित करने के लिए पेश किया गया था, जब रेडियन में गणना की जाती है, तो सेमी में त्रिज्या की वास्तविक लंबाई कोई मायने नहीं रखती है।

त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तालिकाओं में कोण रेडियन मानों के अनुरूप होते हैं:

इसलिए, यह अनुमान लगाना कठिन नहीं है कि 2π एक पूर्ण वृत्त या 360° है।

त्रिकोणमितीय फलनों के गुण: ज्या और कोज्या

साइन और कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल गुणों पर विचार करने और तुलना करने के लिए, उनके कार्यों को चित्रित करना आवश्यक है। इसे द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली में स्थित वक्र के रूप में किया जा सकता है।

विचार करना तुलना तालिकासाइन और कोसाइन के गुण:

साइन लहर	कोज्या
y = पाप x	y = क्योंकि x
ओडीजेड [-1; 1]	ओडीजेड [-1; 1]
पाप x = 0, x = πk के लिए, जहाँ k ϵ Z	क्योंकि x = 0, x = π/2 + πk के लिए, जहां k ϵ Z
पाप x = 1, x = π/2 + 2πk के लिए, जहाँ k ϵ Z	cos x = 1, x = 2πk पर, जहां k ϵ Z
पाप x = - 1, x = 3π/2 + 2πk पर, जहाँ k ϵ Z	cos x = - 1, x = π + 2πk के लिए, जहां k ϵ Z
पाप (-x) = - पाप x, अर्थात फलन विषम है	cos (-x) = cos x, अर्थात फलन सम है
	फ़ंक्शन आवधिक है, सबसे छोटी अवधि 2π है
पाप x › 0, x के साथ I और II तिमाही से संबंधित या 0° से 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, x के साथ I और IV क्वार्टर से संबंधित या 270° से 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
पाप x ‹ 0, x के साथ तीसरी और चौथी तिमाही से संबंधित या 180° से 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, x के साथ दूसरी और तीसरी तिमाही से संबंधित या 90° से 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
अंतराल में वृद्धि [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	अंतराल पर बढ़ता है [-π + 2πk, 2πk]
अंतराल पर घटती है [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	अंतराल पर घटता जाता है
व्युत्पन्न (sin x)' = cos x	व्युत्पन्न (cos x)' = - पाप x

यह निर्धारित करना कि कोई फ़ंक्शन सम है या नहीं, बहुत सरल है। कल्पना करना ही काफी है त्रिकोणमितीय वृत्तत्रिकोणमितीय मात्राओं के संकेतों के साथ और मानसिक रूप से OX अक्ष के सापेक्ष ग्राफ़ को "जोड़ें"। यदि चिह्न मेल खाते हैं, तो फलन सम है, अन्यथा विषम है।

रेडियन का परिचय और साइन और कोसाइन तरंगों के मूल गुणों की सूची हमें निम्नलिखित पैटर्न प्रस्तुत करने की अनुमति देती है:

यह सत्यापित करना बहुत आसान है कि सूत्र सही है। उदाहरण के लिए, x = π/2 के लिए, ज्या 1 है, जैसा कि x = 0 की कोज्या है। जाँच तालिकाओं से परामर्श करके या दिए गए मानों के लिए फ़ंक्शन वक्रों का पता लगाकर की जा सकती है।

टैंगेंजेंटोइड्स और कोटेंजेंटोइड्स के गुण

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्यों के ग्राफ़ साइन और कोसाइन फ़ंक्शन से काफी भिन्न होते हैं। मान tg और ctg एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं।

1. वाई = टैन एक्स.
2. स्पर्शरेखा x = π/2 + πk पर y के मानों की ओर प्रवृत्त होती है, लेकिन उन तक कभी नहीं पहुँचती है।
3. स्पर्शरेखा का सबसे छोटा धनात्मक आवर्त π है।
4. Tg (- x) = - tg x, अर्थात फलन विषम है।
5. Tg x = 0, x = πk के लिए।
6. कार्य बढ़ रहा है.
7. टीजी x › 0, x ϵ (πk, π/2 + πk) के लिए।
8. टीजी x ‹ 0, x ϵ के लिए (- π/2 + πk, πk)।
9. व्युत्पन्न (tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

पाठ में नीचे कोटैंजेंटॉइड की ग्राफ़िक छवि पर विचार करें।

कोटैंजेंटोइड्स के मुख्य गुण:

1. वाई = खाट एक्स.
2. साइन और कोसाइन फ़ंक्शंस के विपरीत, स्पर्शरेखा में Y सभी वास्तविक संख्याओं के सेट के मान ले सकता है।
3. कोटैंजेंटॉइड x = πk पर y के मान की ओर प्रवृत्त होता है, लेकिन उन तक कभी नहीं पहुंचता है।
4. कोटैंजेंटॉइड की सबसे छोटी सकारात्मक अवधि π है।
5. सीटीजी (- एक्स) = - सीटीजी एक्स, यानी फ़ंक्शन विषम है।
6. सीटीजी x = 0, x = π/2 + πk के लिए।
7. कार्य कम हो रहा है.
8. सीटीजी x › 0, x ϵ (πk, π/2 + πk) के लिए।
9. सीटीजी x ‹ 0, x ϵ (π/2 + πk, πk) के लिए।
10. व्युत्पन्न (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x सही

त्रिकोणमितीय पहचान- ये समानताएं हैं जो एक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध स्थापित करती हैं, जो आपको इनमें से किसी भी फ़ंक्शन को खोजने की अनुमति देती है, बशर्ते कि कोई अन्य ज्ञात हो।

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

टीजी \अल्फा \सीडॉट सीटीजी \अल्फा = 1

यह पहचान कहती है कि एक कोण की ज्या के वर्ग और एक कोण की कोज्या के वर्ग का योग एक के बराबर होता है, जो व्यवहार में एक कोण की ज्या की गणना करना संभव बनाता है जब इसकी कोज्या ज्ञात होती है और इसके विपरीत .

त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करते समय, इस पहचान का उपयोग अक्सर किया जाता है, जो आपको एक कोण के कोसाइन और साइन के वर्गों के योग को एक के साथ बदलने की अनुमति देता है और रिवर्स ऑर्डर में प्रतिस्थापन ऑपरेशन भी करता है।

साइन और कोसाइन का उपयोग करके स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट ज्ञात करना

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

ये पहचान साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं से बनती हैं। आख़िरकार, यदि आप इसे देखें, तो परिभाषा के अनुसार कोटि y एक ज्या है, और भुज x एक कोज्या है। तब स्पर्शरेखा अनुपात के बराबर होगी \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), और अनुपात \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- एक कोटैंजेंट होगा.

आइए हम जोड़ते हैं कि केवल ऐसे कोणों \alpha के लिए, जिन पर उनमें शामिल त्रिकोणमितीय फलन अर्थपूर्ण होते हैं, सर्वसमिकाएँ मान्य होंगी, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

उदाहरण के लिए: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)उन कोणों \alpha के लिए मान्य है जो इससे भिन्न हैं \frac(\pi)(2)+\pi z, ए ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z के अलावा किसी अन्य कोण \alpha के लिए, z एक पूर्णांक है।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध

टीजी \alpha \cdot ctg \alpha=1

यह पहचान केवल उन कोणों \alpha के लिए मान्य है जो इससे भिन्न हैं \frac(\pi)(2) z. अन्यथा, कोटैंजेंट या टैन्जेंट निर्धारित नहीं किया जाएगा।

उपरोक्त बिन्दुओं के आधार पर हमें वह प्राप्त होता है tg \alpha = \frac(y)(x), ए ctg \alpha=\frac(x)(y). यह इस प्रकार है कि tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. इस प्रकार, एक ही कोण की स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट, जिस पर वे समझ में आते हैं, परस्पर व्युत्क्रम संख्याएँ हैं।

स्पर्शरेखा और कोज्या, कोटैंजेंट और ज्या के बीच संबंध

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- कोण \alpha और 1 की स्पर्श रेखा के वर्ग का योग इस कोण की कोज्या के व्युत्क्रम वर्ग के बराबर होता है। यह पहचान \alpha के अलावा सभी के लिए मान्य है \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 का योग और कोण \alpha के कोटैंजेंट का वर्ग दिए गए कोण की ज्या के व्युत्क्रम वर्ग के बराबर होता है। यह पहचान \pi z से भिन्न किसी भी \alpha के लिए मान्य है।

त्रिकोणमितीय पहचानों का उपयोग करके समस्याओं के समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

यदि \sin \alpha और tg \alpha खोजें \cos \alpha=-\frac12और \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

समाधान दिखाओ

समाधान

फ़ंक्शन \sin \alpha और \cos \alpha सूत्र द्वारा संबंधित हैं \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. इस सूत्र में प्रतिस्थापित करना \cos \alpha = -\frac12, हम पाते हैं:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

इस समीकरण के 2 समाधान हैं:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

शर्त से \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . दूसरी तिमाही में साइन पॉजिटिव है, इसलिए \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Tan \alpha ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

उदाहरण 2

\cos \alpha और ctg \alpha खोजें यदि और \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

समाधान दिखाओ

समाधान

सूत्र में प्रतिस्थापित करना \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1दिया गया नंबर \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), हम पाते हैं \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. इस समीकरण के दो समाधान हैं \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

शर्त से \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . दूसरी तिमाही में कोज्या ऋणात्मक है, इसलिए \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Ctg \alpha खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). हम संगत मान जानते हैं।

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

हम त्रिकोणमिति का अपना अध्ययन समकोण त्रिभुज से शुरू करेंगे। आइए परिभाषित करें कि साइन और कोसाइन क्या हैं, साथ ही स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट भी तीव्र कोण. यह त्रिकोणमिति की मूल बातें है.

आइए हम उसे याद करें समकोण 90 डिग्री के बराबर एक कोण है. दूसरे शब्दों में, आधा मुड़ा हुआ कोण।

तेज़ कोने- 90 डिग्री से कम.

अधिक कोण- 90 डिग्री से अधिक. ऐसे कोण के संबंध में, "अस्पष्ट" कोई अपमान नहीं है, बल्कि एक गणितीय शब्द है :-)

आओ बनाते हैं सही त्रिकोण. समकोण को आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है। कृपया ध्यान दें कि कोने के विपरीत पक्ष को उसी अक्षर से दर्शाया गया है, केवल छोटा। इस प्रकार, कोण A के विपरीत भुजा को निर्दिष्ट किया गया है।

कोण को संगत ग्रीक अक्षर से दर्शाया जाता है।

कर्णसमकोण त्रिभुज की भुजा समकोण के विपरीत होती है।

पैर- न्यून कोणों के विपरीत स्थित भुजाएँ।

कोण के विपरीत स्थित पैर को कहा जाता है विलोम(कोण के सापेक्ष). दूसरा पैर, जो कोण के एक किनारे पर स्थित होता है, कहलाता है नज़दीक.

साइनसएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण विपरीत भुजा और कर्ण का अनुपात होता है:

कोज्यासमकोण त्रिभुज में तीव्र कोण - आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात:

स्पर्शरेखासमकोण त्रिभुज में न्यून कोण - विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात:

एक और (समतुल्य) परिभाषा: एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा, कोण की ज्या और उसकी कोज्या का अनुपात है:

कोटैंजेंटसमकोण त्रिभुज में न्यून कोण - आसन्न भुजा का विपरीत पक्ष से अनुपात (या, जो समान है, कोज्या से ज्या का अनुपात):

नीचे साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बुनियादी संबंधों पर ध्यान दें। समस्याओं का समाधान करते समय वे हमारे लिए उपयोगी होंगे।

आइये उनमें से कुछ को सिद्ध करें।

ठीक है, हमने परिभाषाएँ दी हैं और सूत्र लिखे हैं। लेकिन हमें अभी भी साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की आवश्यकता क्यों है?

हम वह जानते हैं किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग बराबर होता है.

हम बीच के संबंध को जानते हैं दलोंसही त्रिकोण। यह पाइथागोरस प्रमेय है: .

इससे पता चलता है कि एक त्रिभुज में दो कोणों को जानकर, आप तीसरा कोण ज्ञात कर सकते हैं। एक समकोण त्रिभुज की दोनों भुजाओं को जानकर, आप तीसरा ज्ञात कर सकते हैं। इसका मतलब यह है कि कोणों का अपना अनुपात होता है, और भुजाओं का अपना। लेकिन आपको क्या करना चाहिए यदि किसी समकोण त्रिभुज में आपको एक कोण (समकोण को छोड़कर) और एक भुजा पता हो, लेकिन आपको अन्य भुजाएँ खोजने की आवश्यकता हो?

अतीत में लोगों को क्षेत्र और तारों वाले आकाश के नक्शे बनाते समय इसका सामना करना पड़ा था। आख़िरकार, किसी त्रिभुज की सभी भुजाओं को सीधे मापना हमेशा संभव नहीं होता है।

ज्या, कोज्या तथा स्पर्शज्या - इन्हें भी कहा जाता है त्रिकोणमितीय कोण कार्य- बीच संबंध दें दलोंऔर कोनेत्रिकोण. कोण को जानकर, आप विशेष तालिकाओं का उपयोग करके इसके सभी त्रिकोणमितीय फलन पा सकते हैं। और किसी त्रिभुज और उसकी एक भुजा के कोणों की ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखा को जानकर, आप शेष कोण ज्ञात कर सकते हैं।

हम से लेकर "अच्छे" कोणों के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मानों की एक तालिका भी बनाएंगे।

कृपया तालिका में दो लाल डैश नोट करें। उचित कोण मान पर, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट मौजूद नहीं हैं।

आइए FIPI टास्क बैंक से कई त्रिकोणमिति समस्याओं को देखें।

1. एक त्रिभुज में कोण , है। खोजो ।

समस्या चार सेकंड में हल हो जाती है.

क्योंकि , ।

2. एक त्रिभुज में कोण , , , होता है। खोजो ।

आइए इसे पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके खोजें।

समस्या सुलझ गई है।

अक्सर समस्याओं में कोणों और या कोणों वाले त्रिभुज होते हैं। उनके लिए बुनियादी अनुपात दिल से याद रखें!

एक त्रिभुज के लिए जिसके कोण और पैर विपरीत कोण पर बराबर हैं कर्ण का आधा भाग.

एक त्रिभुज जिसके कोण समद्विबाहु हैं। इसमें कर्ण पैर से कई गुना बड़ा होता है।

हमने समकोण त्रिभुजों को हल करने की समस्याओं पर ध्यान दिया - अर्थात, अज्ञात भुजाओं या कोणों को खोजना। लेकिन वह सब नहीं है! में एकीकृत राज्य परीक्षा विकल्पगणित में ऐसी कई समस्याएँ हैं जहाँ त्रिभुज के बाहरी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या या कोटैंजेन्ट दिखाई देती है। अगले लेख में इस पर और अधिक जानकारी।

सबसे पहले, त्रिज्या 1 और केंद्र (0;0) वाले एक वृत्त पर विचार करें। किसी भी αЄR के लिए, त्रिज्या 0A खींची जा सकती है ताकि 0A और 0x अक्ष के बीच के कोण का रेडियन माप α के बराबर हो। वामावर्त दिशा सकारात्मक मानी जाती है। माना त्रिज्या A के अंत में निर्देशांक (a,b) हैं।

साइन की परिभाषा

परिभाषा: वर्णित तरीके से निर्मित इकाई त्रिज्या की कोटि के बराबर संख्या b, synα द्वारा निरूपित की जाती है और इसे कोण α की ज्या कहा जाता है।

उदाहरण: पाप 3π cos3π/2 = 0 0 = 0

कोसाइन की परिभाषा

परिभाषा: वर्णित तरीके से निर्मित इकाई त्रिज्या के अंत के भुज के बराबर संख्या a, cosα द्वारा निरूपित की जाती है और कोण α की कोज्या कहलाती है।

उदाहरण: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2

ये उदाहरण इकाई त्रिज्या और इकाई वृत्त के अंत के निर्देशांक के संदर्भ में कोण की ज्या और कोज्या की परिभाषा का उपयोग करते हैं। अधिक दृश्य प्रतिनिधित्व के लिए, आपको चित्र बनाने की आवश्यकता है इकाई चक्रऔर उस पर संबंधित बिंदुओं को आलेखित करें, और फिर कोज्या की गणना करने के लिए उनके भुजों की गणना करें और ज्या की गणना करने के लिए कोटि की गणना करें।

स्पर्शरेखा परिभाषा

परिभाषा: x≠π/2+πk, kЄZ के लिए फलन tgx=sinx/cosx, कोण x का कोटैंजेंट कहलाता है। फ़ंक्शन tgx की परिभाषा का क्षेत्र x=π/2+πn, nЄZ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

उदाहरण: tg0 tgπ = 0 0 = 0

यह उदाहरण पिछले वाले के समान है. किसी कोण की स्पर्शरेखा की गणना करने के लिए, आपको किसी बिंदु की कोटि को उसके भुज से विभाजित करना होगा।

कोटैंजेंट की परिभाषा

परिभाषा: x≠πk, kЄZ के लिए फ़ंक्शन ctgx=cosx/sinx को कोण x का कोटैंजेंट कहा जाता है। फ़ंक्शन ctgx = की परिभाषा का क्षेत्र बिंदु x=πk, kЄZ को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

आइए एक नियमित समकोण त्रिभुज का उपयोग करते हुए एक उदाहरण देखें

यह स्पष्ट करने के लिए कि कोसाइन, साइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट क्या हैं। आइए कोण y और भुजाओं a,b,c वाले नियमित समकोण त्रिभुज के एक उदाहरण पर विचार करें। क्रमशः कर्ण c, पाद a और b। कर्ण c और पाद बाय y के बीच का कोण।

परिभाषा:कोण y की ज्या कर्ण के विपरीत भुजा का अनुपात है: syny = a/c

परिभाषा:कोण y की कोज्या निकटवर्ती पाद और कर्ण का अनुपात है: आरामदायक = v/c

परिभाषा:कोण y की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात है: tgy = a/b

परिभाषा:कोण y का कोटैंजेंट आसन्न भुजा और विपरीत भुजा का अनुपात है: ctgy= in/a

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट को त्रिकोणमितीय फलन भी कहा जाता है। प्रत्येक कोण की अपनी ज्या और कोज्या होती है। और लगभग हर किसी की अपनी स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट होती है।

ऐसा माना जाता है कि यदि हमें कोई कोण दिया जाए तो उसकी ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेन्ट हमें ज्ञात हो जाती है! और इसके विपरीत। क्रमशः एक ज्या, या कोई अन्य त्रिकोणमितीय फलन दिए जाने पर, हम कोण जानते हैं। यहां तक ​​कि विशेष तालिकाएं भी बनाई गई हैं जहां प्रत्येक कोण के लिए त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन लिखे गए हैं।

साइन (), कोसाइन (), टेंगेंट (), कोटैंजेंट () की अवधारणाएं कोण की अवधारणा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। पहली नज़र में, जटिल अवधारणाओं (जो कई स्कूली बच्चों में भय की स्थिति का कारण बनती हैं) की अच्छी समझ रखने के लिए, और यह सुनिश्चित करने के लिए कि "शैतान उतना भयानक नहीं है जितना उसे चित्रित किया गया है," आइए शुरुआत करें बहुत शुरुआत और कोण की अवधारणा को समझें।

कोण अवधारणा: रेडियन, डिग्री

आइए तस्वीर देखें. वेक्टर एक निश्चित मात्रा में बिंदु के सापेक्ष "मुड़" गया है। तो प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष इस घूर्णन की माप होगी कोना.

कोण की अवधारणा के बारे में आपको और क्या जानने की आवश्यकता है? खैर, बेशक, कोण इकाइयाँ!

ज्यामिति और त्रिकोणमिति दोनों में कोण को डिग्री और रेडियन में मापा जा सकता है।

(एक डिग्री) का कोण कहलाता है केंद्रीय कोणएक वृत्त में, वृत्त के भाग के बराबर एक वृत्ताकार चाप पर आधारित। इस प्रकार, पूरे वृत्त में वृत्ताकार चापों के "टुकड़े" होते हैं, या वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर होता है।

यानी ऊपर दिया गया चित्र बराबर कोण दिखाता है, यानी यह कोण परिधि के आकार के एक वृत्ताकार चाप पर टिका है।

रेडियन में एक कोण एक वृत्त में केंद्रीय कोण होता है जो एक वृत्ताकार चाप द्वारा अंतरित होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है। अच्छा, क्या आपने इसका पता लगा लिया? यदि नहीं, तो आइए इसे चित्र से समझें।

तो, चित्र एक रेडियन के बराबर कोण दिखाता है, अर्थात यह कोण एक वृत्ताकार चाप पर टिका होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है (लंबाई लंबाई या त्रिज्या के बराबर होती है) लंबाई के बराबरआर्क्स)। इस प्रकार, चाप की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

रेडियन में केन्द्रीय कोण कहाँ होता है?

खैर, यह जानकर, क्या आप उत्तर दे सकते हैं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोण में कितने रेडियन समाहित हैं? हां, इसके लिए आपको परिधि का फॉर्मूला याद रखना होगा. ये रही वो:

खैर, अब आइए इन दोनों सूत्रों को सहसंबंधित करें और पता लगाएं कि वृत्त द्वारा वर्णित कोण बराबर है। अर्थात्, डिग्री और रेडियन में मान को सहसंबंधित करने पर, हमें वह प्राप्त होता है। क्रमश, । जैसा कि आप देख सकते हैं, "डिग्री" के विपरीत, "रेडियन" शब्द हटा दिया गया है, क्योंकि माप की इकाई आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होती है।

कितने रेडियन हैं? यह सही है!

समझ गया? फिर आगे बढ़ें और इसे ठीक करें:

कठिनाइयाँ हो रही हैं? फिर देखो जवाब:

समकोण त्रिभुज: ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोण की कोटैंजेंट

तो, हमने एक कोण की अवधारणा को समझ लिया। लेकिन किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या है? आइए इसका पता लगाएं। ऐसा करने में एक समकोण त्रिभुज हमारी सहायता करेगा।

समकोण त्रिभुज की भुजाएँ क्या कहलाती हैं? यह सही है, कर्ण और पैर: कर्ण वह भुजा है जो समकोण के विपरीत स्थित है (हमारे उदाहरण में यह भुजा है); पैर दो शेष भुजाएं हैं और (जो बगल में हैं समकोण), और, यदि हम कोण के सापेक्ष पैरों पर विचार करते हैं, तो पैर आसन्न पैर है, और पैर विपरीत है। तो, अब आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्या हैं?

कोण की ज्या- यह विपरीत (दूर) पैर और कर्ण का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में.

कोण की कोज्या- यह आसन्न (करीबी) पैर और कर्ण का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में.

कोण की स्पर्श रेखा- यह विपरीत (दूर) पक्ष का आसन्न (निकट) पक्ष से अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में.

कोण का कोटैंजेंट- यह आसन्न (करीबी) पैर से विपरीत (दूर) पैर का अनुपात है।

हमारे त्रिकोण में.

ये परिभाषाएँ आवश्यक हैं याद करना! यह याद रखना आसान बनाने के लिए कि किस पैर को किसमें विभाजित करना है, आपको इसे स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है स्पर्शरेखाऔर कोटैंजेंटकेवल पैर बैठते हैं, और कर्ण केवल अंदर दिखाई देता है साइनसऔर कोज्या. और फिर आप संघों की एक श्रृंखला के साथ आ सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह वाला:

कोज्या→स्पर्श→स्पर्श→आसन्न;

कोटैंजेंट→स्पर्श→स्पर्श→आसन्न।

सबसे पहले, आपको यह याद रखना होगा कि किसी त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट इन भुजाओं की लंबाई (एक ही कोण पर) पर निर्भर नहीं करते हैं। विश्वास नहीं करते? फिर चित्र देखकर सुनिश्चित करें:

उदाहरण के लिए, एक कोण की कोज्या पर विचार करें। परिभाषा के अनुसार, एक त्रिभुज से:, लेकिन हम एक त्रिभुज से एक कोण की कोज्या की गणना कर सकते हैं:। आप देखिए, भुजाओं की लंबाई अलग-अलग है, लेकिन एक कोण की कोज्या का मान समान है। इस प्रकार, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट का मान पूरी तरह से कोण के परिमाण पर निर्भर करता है।

यदि आप परिभाषाएँ समझते हैं, तो आगे बढ़ें और उन्हें समेकित करें!

नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए त्रिभुज के लिए, हम पाते हैं।

अच्छा, क्या तुम्हें यह मिल गया? फिर इसे स्वयं आज़माएँ: कोण के लिए समान गणना करें।

इकाई (त्रिकोणमितीय) वृत्त

डिग्री और रेडियन की अवधारणाओं को समझते हुए, हमने बराबर त्रिज्या वाले एक वृत्त पर विचार किया। ऐसे वृत्त को कहते हैं अकेला. त्रिकोणमिति का अध्ययन करते समय यह बहुत उपयोगी होगा। इसलिए, आइए इसे थोड़ा और विस्तार से देखें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इस वृत्त का निर्माण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में किया गया है। वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर है, जबकि वृत्त का केंद्र निर्देशांक के मूल पर स्थित है, त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ तय होती है (हमारे उदाहरण में, यह त्रिज्या है)।

वृत्त पर प्रत्येक बिंदु दो संख्याओं से मेल खाता है: अक्ष निर्देशांक और अक्ष निर्देशांक। ये निर्देशांक संख्याएँ क्या हैं? और सामान्य तौर पर, उनका मौजूदा विषय से क्या लेना-देना है? ऐसा करने के लिए, हमें सुविचारित समकोण त्रिभुज के बारे में याद रखना होगा। उपरोक्त चित्र में, आप दो पूर्ण समकोण त्रिभुज देख सकते हैं। एक त्रिभुज पर विचार करें. यह आयताकार है क्योंकि यह अक्ष के लंबवत है।

त्रिभुज किसके बराबर है? यह सही है। इसके अलावा, हम जानते हैं कि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है, जिसका अर्थ है। आइए इस मान को कोसाइन के हमारे सूत्र में प्रतिस्थापित करें। यहाँ क्या होता है:

त्रिभुज किसके बराबर है? बेशक, ! इस सूत्र में त्रिज्या मान रखें और प्राप्त करें:

तो, क्या आप बता सकते हैं कि वृत्त से संबंधित बिंदु के निर्देशांक क्या हैं? अच्छा, कोई रास्ता नहीं? क्या होगा यदि आपको इसका एहसास हो और आप केवल संख्याएँ हों? यह किस निर्देशांक से मेल खाता है? खैर, बेशक, निर्देशांक! और यह किस समन्वय से मेल खाता है? यह सही है, निर्देशांक! इस प्रकार, अवधि.

तो फिर क्या हैं और किसके बराबर हैं? यह सही है, आइए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की संबंधित परिभाषाओं का उपयोग करें और प्राप्त करें, ए।

यदि कोण बड़ा हो तो क्या होगा? उदाहरण के लिए, जैसे इस चित्र में:

में क्या बदलाव आया है इस उदाहरण में? आइए इसका पता लगाएं। ऐसा करने के लिए, आइए फिर से एक समकोण त्रिभुज की ओर मुड़ें। एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें: कोण (एक कोण के आसन्न के रूप में)। किसी कोण के लिए ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान क्या हैं? यह सही है, हम त्रिकोणमितीय फलनों की संगत परिभाषाओं का पालन करते हैं:

खैर, जैसा कि आप देख सकते हैं, कोण की ज्या का मान अभी भी निर्देशांक से मेल खाता है; कोण की कोज्या का मान - निर्देशांक; और संबंधित अनुपातों के स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान। इस प्रकार, ये संबंध त्रिज्या वेक्टर के किसी भी घूर्णन पर लागू होते हैं।

यह पहले ही उल्लेख किया जा चुका है कि त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति अक्ष की सकारात्मक दिशा के अनुदिश होती है। अब तक हमने इस वेक्टर को वामावर्त घुमाया है, लेकिन अगर हम इसे दक्षिणावर्त घुमाएं तो क्या होगा? कुछ भी असाधारण नहीं, आपको एक निश्चित मूल्य का कोण भी मिलेगा, लेकिन वह केवल नकारात्मक होगा। इस प्रकार, त्रिज्या वेक्टर को वामावर्त घुमाने पर, हमें मिलता है सकारात्मक कोण, और जब दक्षिणावर्त घुमाते हैं - नकारात्मक।

तो, हम जानते हैं कि एक वृत्त के चारों ओर त्रिज्या वेक्टर की एक संपूर्ण क्रांति है या। क्या त्रिज्या सदिश को इधर-उधर घुमाना संभव है? खैर, बेशक आप कर सकते हैं! इसलिए, पहले मामले में, त्रिज्या वेक्टर एक पूर्ण क्रांति करेगा और स्थिति पर रुक जाएगा।

दूसरे मामले में, अर्थात्, त्रिज्या वेक्टर तीन पूर्ण चक्कर लगाएगा और स्थिति पर रुक जाएगा।

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरणों से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जो कोण या (जहां कोई पूर्णांक है) से भिन्न होते हैं, वे त्रिज्या वेक्टर की समान स्थिति के अनुरूप होते हैं।

नीचे दिया गया चित्र एक कोण दिखाता है। वही छवि कोने आदि से मेल खाती है। यह सूची अनिश्चित काल तक जारी रखी जा सकती है। इन सभी कोणों को सामान्य सूत्र या (कोई पूर्णांक कहां है) द्वारा लिखा जा सकता है

अब, बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को जानकर और इकाई वृत्त का उपयोग करके, उत्तर देने का प्रयास करें कि मान क्या हैं:

आपकी सहायता के लिए यहां एक यूनिट सर्कल है:

कठिनाइयाँ हो रही हैं? तो चलिए इसका पता लगाते हैं। तो हम जानते हैं कि:

यहां से, हम कुछ कोण मापों के अनुरूप बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। ठीक है, आइए क्रम से शुरू करें: कोण निर्देशांक वाले एक बिंदु से मेल खाता है, इसलिए:

मौजूद नहीं होना;

इसके अलावा, उसी तर्क का पालन करते हुए, हम पाते हैं कि कोने क्रमशः निर्देशांक वाले बिंदुओं के अनुरूप हैं। इसे जानने से संबंधित बिंदुओं पर त्रिकोणमितीय फलनों का मान निर्धारित करना आसान होता है। पहले इसे स्वयं आज़माएँ, और फिर उत्तरों की जाँच करें।

उत्तर:

मौजूद नहीं

मौजूद नहीं

मौजूद नहीं

मौजूद नहीं

इस प्रकार, हम निम्नलिखित तालिका बना सकते हैं:

इन सभी मूल्यों को याद रखने की कोई जरूरत नहीं है. यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के निर्देशांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों के बीच पत्राचार को याद रखना पर्याप्त है:

लेकिन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मान नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं, याद रखना चाहिए:

डरिए मत, अब हम आपको एक उदाहरण दिखाएंगे संबंधित मूल्यों को याद रखना काफी सरल है:

इस विधि का उपयोग करने के लिए, कोण () के सभी तीन मापों के लिए साइन के मान, साथ ही कोण के स्पर्शरेखा के मान को याद रखना महत्वपूर्ण है। इन मानों को जानने के बाद, संपूर्ण तालिका को पुनर्स्थापित करना काफी सरल है - कोसाइन मान तीरों के अनुसार स्थानांतरित किए जाते हैं, अर्थात:

यह जानकर, आप मानों को पुनर्स्थापित कर सकते हैं। अंश " " मेल खाएगा और हर " " मेल खाएगा। कोटैंजेंट मान चित्र में दर्शाए गए तीरों के अनुसार स्थानांतरित किए जाते हैं। यदि आप इसे समझते हैं और तीरों के साथ आरेख को याद रखते हैं, तो यह तालिका से सभी मानों को याद रखने के लिए पर्याप्त होगा।

वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक

क्या किसी वृत्त पर एक बिंदु (इसके निर्देशांक) खोजना संभव है, वृत्त के केंद्र के निर्देशांक, उसकी त्रिज्या और घूर्णन कोण को जानना?

खैर, बेशक आप कर सकते हैं! आइए इसे बाहर निकालें किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने का सामान्य सूत्र.

उदाहरण के लिए, यहाँ हमारे सामने एक वृत्त है:

हमें दिया गया है कि बिंदु वृत्त का केंद्र है। वृत्त की त्रिज्या बराबर है. किसी बिंदु को डिग्री द्वारा घुमाने पर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, बिंदु का निर्देशांक खंड की लंबाई से मेल खाता है। खंड की लंबाई वृत्त के केंद्र के निर्देशांक से मेल खाती है, अर्थात यह बराबर है। किसी खंड की लंबाई कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करके व्यक्त की जा सकती है:

फिर हमारे पास बिंदु समन्वय के लिए वह है।

उसी तर्क का उपयोग करते हुए, हम बिंदु के लिए y निर्देशांक मान पाते हैं। इस प्रकार,

तो, में सामान्य रूप से देखेंबिंदुओं के निर्देशांक सूत्रों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

वृत्त के केंद्र के निर्देशांक,

वृत्त त्रिज्या,

वेक्टर त्रिज्या का घूर्णन कोण.

जैसा कि आप देख सकते हैं, जिस इकाई वृत्त पर हम विचार कर रहे हैं, उसके लिए ये सूत्र काफी कम हो गए हैं, क्योंकि केंद्र के निर्देशांक शून्य के बराबर हैं और त्रिज्या एक के बराबर है:

खैर, आइए एक वृत्त पर बिंदु खोजने का अभ्यास करके इन सूत्रों को आज़माएँ?

1. बिंदु को घुमाने पर प्राप्त इकाई वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

2. इकाई वृत्त पर बिंदु को घुमाने पर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

3. इकाई वृत्त पर बिंदु को घुमाने पर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

4. बिंदु वृत्त का केंद्र है. वृत्त की त्रिज्या बराबर है. प्रारंभिक त्रिज्या सदिश को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

5. बिंदु वृत्त का केंद्र है. वृत्त की त्रिज्या बराबर है. प्रारंभिक त्रिज्या सदिश को घुमाकर प्राप्त बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

क्या आपको वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक ढूंढने में परेशानी हो रही है?

इन पांच उदाहरणों को हल करें (या उन्हें हल करने में कुशल हो जाएं) और आप उन्हें ढूंढना सीख जाएंगे!

1.

आप इसे नोटिस कर सकते हैं. लेकिन हम जानते हैं कि शुरुआती बिंदु की पूर्ण क्रांति से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जैसे कि मुड़ते समय। इसे जानकर, हम बिंदु के आवश्यक निर्देशांक पाते हैं:

2. इकाई वृत्त एक बिंदु पर केन्द्रित है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

आप इसे नोटिस कर सकते हैं. हम जानते हैं कि प्रारंभिक बिंदु के दो पूर्ण चक्करों से क्या मेल खाता है। इस प्रकार, वांछित बिंदु उसी स्थिति में होगा जैसे कि मुड़ते समय। इसे जानकर, हम बिंदु के आवश्यक निर्देशांक पाते हैं:

साइन और कोसाइन तालिका मान हैं। हम उनके अर्थ याद करते हैं और पाते हैं:

इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।

3. इकाई वृत्त एक बिंदु पर केन्द्रित है, जिसका अर्थ है कि हम सरलीकृत सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं:

आप इसे नोटिस कर सकते हैं. आइए चित्र में प्रश्न में उदाहरण को चित्रित करें:

त्रिज्या अक्ष के साथ और उसके बराबर कोण बनाती है। यह जानते हुए कि कोसाइन और साइन के तालिका मान बराबर हैं, और यह निर्धारित किया है कि यहां कोसाइन लेता है नकारात्मक अर्थ, और साइन सकारात्मक है, हमारे पास है:

विषय में त्रिकोणमितीय कार्यों को कम करने के सूत्रों का अध्ययन करते समय ऐसे उदाहरणों पर अधिक विस्तार से चर्चा की जाती है।

इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।

4.

वेक्टर की त्रिज्या के घूर्णन का कोण (शर्त के अनुसार)

ज्या और कोज्या के संगत चिह्न निर्धारित करने के लिए, हम एक इकाई वृत्त और कोण बनाते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, मान, यानी, सकारात्मक है, और मूल्य, यानी, नकारात्मक है। संबंधित त्रिकोणमितीय कार्यों के सारणीबद्ध मानों को जानने पर, हम यह प्राप्त करते हैं:

आइए प्राप्त मूल्यों को हमारे सूत्र में प्रतिस्थापित करें और निर्देशांक खोजें:

इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।

5. इस समस्या को हल करने के लिए, हम सामान्य रूप में सूत्रों का उपयोग करते हैं, जहाँ

वृत्त के केंद्र के निर्देशांक (हमारे उदाहरण में,

वृत्त त्रिज्या (शर्त के अनुसार)

वेक्टर की त्रिज्या के घूर्णन का कोण (शर्त के अनुसार)।

आइए सभी मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें और प्राप्त करें:

और - तालिका मान. आइए याद रखें और उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

इस प्रकार, वांछित बिंदु के निर्देशांक हैं।

सारांश और बुनियादी सूत्र

किसी कोण की ज्या विपरीत (दूर) पैर और कर्ण का अनुपात है।

किसी कोण की कोज्या आसन्न (निकट) पैर और कर्ण का अनुपात है।

किसी कोण की स्पर्शरेखा विपरीत (दूर) भुजा और आसन्न (नज़दीकी) भुजा का अनुपात है।

किसी कोण का कोटैंजेंट आसन्न (निकट) पक्ष और विपरीत (दूर) पक्ष का अनुपात होता है।