कोण ABC एक अंकित कोण है। यह अपनी भुजाओं के बीच घिरे चाप AC पर टिका हुआ है (चित्र 330)।

प्रमेय. एक उत्कीर्ण कोण को चाप के आधे भाग से मापा जाता है जिस पर वह झुकता है।

इसे इस प्रकार समझा जाना चाहिए: एक अंकित कोण में उतने ही कोणीय अंश, मिनट और सेकंड होते हैं जितने चाप के आधे हिस्से में, जिस पर वह स्थित होता है, चाप अंश, मिनट और सेकंड होते हैं।

इस प्रमेय को सिद्ध करते समय तीन मामलों पर विचार किया जाना चाहिए।

पहला मामला. वृत्त का केंद्र अंकित कोण के किनारे पर स्थित है (चित्र 331)।

माना कि ∠ABC एक उत्कीर्ण कोण है और वृत्त O का केंद्र भुजा BC पर स्थित है। यह सिद्ध करना आवश्यक है कि इसे आधे चाप AC द्वारा मापा जाता है।

बिंदु A को वृत्त के केंद्र से कनेक्ट करें। हमें एक समद्विबाहु \(\Delta\)AOB प्राप्त होता है, जिसमें AO = OB, समान वृत्त की त्रिज्या के रूप में होता है। इसलिए, ∠A = ∠B.

∠AOC त्रिभुज AOB से बाह्य है, इसलिए ∠AOC = ∠A + ∠B, और चूँकि कोण A और B बराबर हैं, तो ∠B 1/2 ∠AOC है।

लेकिन ∠AOC को चाप AC द्वारा मापा जाता है, इसलिए ∠B को चाप AC के आधे से मापा जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि \(\breve(AC)\) में 60°18' है, तो ∠B में 30°9' है।

दूसरा मामला. वृत्त का केंद्र अंकित कोण की भुजाओं के बीच स्थित है (चित्र 332)।

माना ∠ABD एक अंकित कोण है। वृत्त O का केंद्र इसकी भुजाओं के बीच स्थित है। हमें यह सिद्ध करना होगा कि ∠ABD को चाप AD के आधे भाग से मापा जाता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए हम व्यास BC निकालें। कोण ABD को दो कोणों में विभाजित किया गया है: ∠1 और ∠2।

∠1 को आधे चाप AC द्वारा मापा जाता है, और ∠2 को आधे चाप CD द्वारा मापा जाता है, इसलिए, संपूर्ण ∠ABD को 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve द्वारा मापा जाता है (सीडी)\), यानी आधा चाप एडी।

उदाहरण के लिए, यदि \(\breve(AD)\) में 124° है, तो ∠B में 62° है।

तीसरा मामला. वृत्त का केंद्र अंकित कोण के बाहर स्थित है (चित्र 333)।

माना ∠MAD एक उत्कीर्ण कोण है। वृत्त O का केंद्र कोने के बाहर है। हमें यह सिद्ध करना होगा कि ∠MAD को चाप MD के आधे भाग से मापा जाता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए व्यास AB खींचें। ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. लेकिन ∠MAB का माप 1 / 2 \(\breve(MB)\) है, और ∠DAB का माप 1 / 2 \(\breve(DB)\) है।

इसलिए, ∠MAD का माप 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), यानी 1 / 2 \(\breve(MD)\) है।

उदाहरण के लिए, यदि \(\breve(MD)\) में 48° 38" है, तो ∠MAD में 24° 19' 8" है।

नतीजे
1. एक ही चाप पर अंतरित सभी अंकित कोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं, क्योंकि उन्हें एक ही चाप के आधे हिस्से से मापा जाता है (चित्र 334, ए)।

2. किसी व्यास द्वारा अंतरित एक उत्कीर्ण कोण एक समकोण होता है, क्योंकि यह आधे वृत्त को अंतरित करता है। आधे वृत्त में 180 चाप अंश होते हैं, जिसका अर्थ है कि व्यास पर आधारित कोण में 90 चाप अंश होते हैं (चित्र 334, बी)।

मध्यवर्ती स्तर

वृत्त और अंकित कोण. दृश्य मार्गदर्शक (2019)

मूल शर्तें।

आपको मंडली से जुड़े सभी नाम कितनी अच्छी तरह याद हैं? बस मामले में, आइए हम आपको याद दिलाएं - तस्वीरों को देखें - अपने ज्ञान को ताज़ा करें।

खैर, सबसे पहले - वृत्त का केंद्र एक ऐसा बिंदु है जहां से वृत्त के सभी बिंदुओं की दूरी समान होती है।

दूसरा - RADIUS - केंद्र और वृत्त पर एक बिंदु को जोड़ने वाला एक रेखा खंड।

बहुत सारी त्रिज्याएँ हैं (जितनी वृत्त पर बिंदु हैं), लेकिन सभी त्रिज्याओं की लंबाई समान होती है।

कभी-कभी संक्षेप में RADIUSवे इसे बिल्कुल सही कहते हैं खंड की लंबाई"केंद्र वृत्त पर एक बिंदु है," न कि स्वयं खंड।

और यहीं होता है यदि आप एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ते हैं? एक खंड भी?

तो, इस खंड को कहा जाता है "राग".

त्रिज्या के मामले में, व्यास अक्सर एक वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाले और केंद्र से गुजरने वाले खंड की लंबाई होती है। वैसे, व्यास और त्रिज्या कैसे संबंधित हैं? ध्यान से देखें। बिल्कुल त्रिज्या आधे व्यास के बराबर है।

रागों के अतिरिक्त भी हैं सेकेंट्स

सबसे सरल बात याद है?

केंद्रीय कोण दो त्रिज्याओं के बीच का कोण है।

और अब - अंकित कोण

अंकित कोण - दो जीवाओं के बीच का कोण जो एक वृत्त पर एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है.

इस मामले में, वे कहते हैं कि अंकित कोण एक चाप (या एक जीवा पर) पर टिका होता है।

तस्वीर पर देखो:

चापों और कोणों की माप.

परिधि. चाप और कोण को डिग्री और रेडियन में मापा जाता है। सबसे पहले, डिग्री के बारे में. कोणों के लिए कोई समस्या नहीं है - आपको यह सीखना होगा कि चाप को डिग्री में कैसे मापें।

डिग्री माप (चाप आकार) संबंधित केंद्रीय कोण का मान (डिग्री में) है

यहाँ "उचित" शब्द का क्या अर्थ है? आइए ध्यान से देखें:

क्या आप दो चाप और दो केंद्रीय कोण देखते हैं? खैर, एक बड़ा चाप एक बड़े कोण से मेल खाता है (और यह ठीक है कि यह बड़ा है), और एक छोटा चाप एक छोटे कोण से मेल खाता है।

तो, हम सहमत हुए: चाप में संबंधित केंद्रीय कोण के समान डिग्री होती है।

और अब डरावनी चीज़ के बारे में - रेडियंस के बारे में!

यह "रेडियन" किस प्रकार का जानवर है?

कल्पना करना: रेडियन कोणों को मापने का एक तरीका है... त्रिज्या में!

रेडियन मापने वाला कोण इस प्रकार होता है केंद्रीय कोण, चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है।

फिर सवाल उठता है - एक सीधे कोण में कितने रेडियन होते हैं?

दूसरे शब्दों में: आधे वृत्त में कितनी त्रिज्याएँ "फिट" होती हैं? या दूसरे तरीके से: आधे वृत्त की लंबाई त्रिज्या से कितनी गुना अधिक है?

प्राचीन ग्रीस में वैज्ञानिकों ने यह प्रश्न पूछा था।

और इसलिए, एक लंबी खोज के बाद, उन्होंने पाया कि परिधि और त्रिज्या का अनुपात "मानव" संख्याओं जैसे, आदि में व्यक्त नहीं होना चाहता।

और इस भाव को जड़ों के माध्यम से व्यक्त करना भी संभव नहीं है। यानी, यह कहना असंभव है कि आधा वृत्त त्रिज्या से कई गुना बड़ा है! क्या आप कल्पना कर सकते हैं कि लोगों के लिए इसे पहली बार खोजना कितना आश्चर्यजनक था?! आधे वृत्त की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात के लिए, "सामान्य" संख्याएँ पर्याप्त नहीं थीं। मुझे एक पत्र दर्ज करना था.

तो, - यह अर्धवृत्त की लंबाई और त्रिज्या के अनुपात को व्यक्त करने वाली एक संख्या है।

अब हम इस प्रश्न का उत्तर दे सकते हैं: एक सीधे कोण में कितने रेडियन होते हैं? इसमें रेडियन होते हैं। ठीक इसलिए क्योंकि आधा वृत्त त्रिज्या से कई गुना बड़ा है।

सदियों से प्राचीन (और इतने प्राचीन नहीं) लोग (!) इस रहस्यमय संख्या की अधिक सटीक गणना करने की कोशिश की गई, ताकि इसे "सामान्य" संख्याओं के माध्यम से बेहतर ढंग से व्यक्त किया जा सके (कम से कम लगभग)। और अब हम अविश्वसनीय रूप से आलसी हैं - एक व्यस्त दिन के बाद दो संकेत हमारे लिए पर्याप्त हैं, हम इसके आदी हैं

इसके बारे में सोचें, उदाहरण के लिए, इसका मतलब है कि एक त्रिज्या वाले वृत्त की लंबाई लगभग बराबर है, लेकिन इस सटीक लंबाई को "मानव" संख्या के साथ लिखना असंभव है - आपको एक पत्र की आवश्यकता है। और तब यह परिधि बराबर हो जायेगी. और निस्संदेह, त्रिज्या की परिधि बराबर है।

आइए रेडियंस पर वापस जाएं।

हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि एक सीधे कोण में रेडियन होते हैं।

हमारे पास क्या है:

इसका मतलब है कि मैं खुश हूं, यानी मैं खुश हूं। इसी तरह, सबसे लोकप्रिय कोणों वाली एक प्लेट प्राप्त की जाती है।

अंकित और केंद्रीय कोणों के मानों के बीच संबंध।

एक आश्चर्यजनक तथ्य है:

अंकित कोण संगत केंद्रीय कोण का आधा आकार है।

देखिए तस्वीर में यह बयान कैसा दिखता है। एक "संगत" केंद्रीय कोण वह होता है जिसके सिरे अंकित कोण के सिरों से मेल खाते हैं और जिसका शीर्ष केंद्र में होता है। और साथ ही, "संबंधित" केंद्रीय कोण को अंकित कोण के समान तार () पर "देखना" चाहिए।

ऐसा क्यों है? आइए पहले इसका पता लगाएं साधारण मामला. किसी एक तार को केंद्र से गुजरने दें। ऐसा कभी-कभी होता है, है ना?

यहाँ क्या होता है? आइए विचार करें. यह समद्विबाहु है - आख़िरकार, और - त्रिज्या। तो, (उन्हें लेबल किया गया)।

अब आइए देखें. यह इसके लिए बाहरी कोना है! हम याद करते हैं कि एक बाहरी कोण दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है जो उससे सटे नहीं होते हैं, और लिखते हैं:

वह है! अप्रत्याशित प्रभाव. लेकिन उत्कीर्णन के लिए एक केन्द्रीय कोण भी होता है।

इसका मतलब यह है कि इस मामले के लिए उन्होंने साबित कर दिया कि केंद्रीय कोण अंकित कोण का दोगुना है। लेकिन यह एक दर्दनाक विशेष मामला है: क्या यह सच नहीं है कि तार हमेशा केंद्र से सीधे नहीं जाता है? लेकिन यह ठीक है, अब यह विशेष मामला हमारी बहुत मदद करेगा। देखो: दूसरा मामला: केंद्र को अंदर रहने दो।

आइए ऐसा करें: व्यास बनाएं। और फिर... हम दो तस्वीरें देखते हैं जिनका पहले मामले में पहले ही विश्लेषण किया जा चुका था। इसलिए वह हमारे पास पहले से ही है

इसका मतलब है (चित्र में, ए)

खैर, मैं रुका आखिरी मामला: कोने के बाहर केंद्र.

हम वही काम करते हैं: बिंदु के माध्यम से व्यास खींचें। सब कुछ वैसा ही है, लेकिन योग के बजाय अंतर है।

इतना ही!

आइए अब इस कथन से दो मुख्य और बहुत महत्वपूर्ण परिणाम निकालें कि अंकित कोण केंद्रीय कोण का आधा है।

परिणाम 1

एक चाप पर आधारित सभी अंकित कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

हम वर्णन करते हैं:

एक ही चाप पर आधारित अनगिनत अंकित कोण होते हैं (हमारे पास यह चाप है), वे पूरी तरह से अलग दिख सकते हैं, लेकिन उन सभी का केंद्रीय कोण एक ही है (), जिसका अर्थ है कि ये सभी अंकित कोण आपस में बराबर हैं।

परिणाम 2

व्यास द्वारा अंतरित कोण समकोण होता है।

देखो: कौन सा कोण केन्द्र में है?

निश्चित रूप से, । लेकिन वह बराबर है! खैर, इसलिए (साथ ही कई और अंकित कोण भी टिके हुए हैं) और बराबर है।

दो जीवाओं और छेदक रेखाओं के बीच का कोण

लेकिन क्या होगा यदि जिस कोण में हम रुचि रखते हैं वह अंकित नहीं है और केंद्रीय नहीं है, लेकिन, उदाहरण के लिए, इस तरह:

या इस तरह?

क्या इसे किसी तरह कुछ केंद्रीय कोणों से व्यक्त करना संभव है? यह पता चला कि यह संभव है. देखिए: हमें दिलचस्पी है.

ए) (बाहरी कोने के रूप में)। लेकिन - खुदा हुआ, चाप पर टिका हुआ -। - खुदा हुआ, चाप पर टिका हुआ - .

सुंदरता के लिए वे कहते हैं:

जीवाओं के बीच का कोण इस कोण में घिरे चापों के कोणीय मानों के आधे योग के बराबर होता है।

वे इसे संक्षिप्तता के लिए लिखते हैं, लेकिन निश्चित रूप से, इस सूत्र का उपयोग करते समय आपको केंद्रीय कोणों को ध्यान में रखना होगा

बी) और अब - "बाहर"! यह कैसे हो सकता है? हाँ, लगभग वैसा ही! केवल अब (फिर से हम बाहरी कोण की संपत्ति को लागू करते हैं)। वह तो अभी है.

और उसका अर्थ यह निकलता है... आइए नोट्स और शब्दों में सुंदरता और संक्षिप्तता लाएं:

छेदक रेखाओं के बीच का कोण इस कोण में घिरे चापों के कोणीय मानों के आधे अंतर के बराबर है।

खैर, अब आप वृत्त से संबंधित कोणों के बारे में सभी बुनियादी ज्ञान से लैस हैं। आगे बढ़ें, चुनौतियों का सामना करें!

वृत्त और अंदरुनी कोण. मध्य स्तर

यहां तक ​​कि पांच साल का बच्चा भी जानता है कि वृत्त क्या है, है ना? हमेशा की तरह, गणितज्ञों के पास इस विषय पर एक गूढ़ परिभाषा है, लेकिन हम इसे नहीं देंगे (देखें), बल्कि आइए याद रखें कि एक वृत्त से जुड़े बिंदुओं, रेखाओं और कोणों को क्या कहा जाता है।

महत्वपूर्ण शर्तें

खैर, सबसे पहले:

वृत्त का केंद्र- वह बिंदु जिससे वृत्त के सभी बिंदु समान दूरी पर हों।

दूसरा:

एक और स्वीकृत अभिव्यक्ति है: "राग चाप को सिकोड़ता है।" यहाँ चित्र में, उदाहरण के लिए, जीवा चाप को अंतरित करती है। और यदि कोई राग अचानक केंद्र से होकर गुजरता है, तो उसका एक विशेष नाम होता है: "व्यास"।

वैसे, व्यास और त्रिज्या कैसे संबंधित हैं? ध्यान से देखें। बिल्कुल

और अब - कोनों के नाम.

प्राकृतिक, है ना? कोण की भुजाएँ केंद्र से विस्तारित होती हैं - जिसका अर्थ है कि कोण केंद्रीय है।

यहीं पर कभी-कभी कठिनाइयां उत्पन्न होती हैं। ध्यान देना - वृत्त के अंदर कोई भी कोण अंकित नहीं है,लेकिन केवल वही जिसका शीर्ष वृत्त पर ही "बैठता" है।

आइए तस्वीरों में देखें अंतर:

दूसरे तरीके से वे कहते हैं:

यहाँ एक पेचीदा बिंदु है. "संगत" या "स्वयं" केंद्रीय कोण क्या है? वृत्त के केंद्र पर शीर्ष और चाप के सिरों पर सिरों के साथ बस एक कोण? ज़रूरी नहीं। ड्राइंग को देखो.

हालाँकि, उनमें से एक कोने जैसा भी नहीं दिखता - यह बड़ा है। लेकिन एक त्रिभुज में अधिक कोण नहीं हो सकते, लेकिन एक वृत्त में अधिक कोण हो सकते हैं! तो: छोटा चाप AB छोटे कोण (नारंगी) से मेल खाता है, और बड़ा चाप बड़े कोण से मेल खाता है। बिल्कुल ऐसे ही, है ना?

उत्कीर्ण और केंद्रीय कोणों के परिमाण के बीच संबंध

यह अत्यंत महत्वपूर्ण कथन याद रखें:

पाठ्यपुस्तकों में वे इसी तथ्य को इस तरह लिखना पसंद करते हैं:

क्या यह सच नहीं है कि केंद्रीय कोण के साथ सूत्रीकरण सरल है?

लेकिन फिर भी, आइए दोनों फॉर्मूलेशन के बीच एक पत्राचार ढूंढें, और साथ ही चित्रों में "संबंधित" केंद्रीय कोण और चाप जिस पर अंकित कोण "आराम करता है" ढूंढना सीखें।

देखो: यहाँ एक वृत्त और एक अंकित कोण है:

इसका "संगत" केंद्रीय कोण कहाँ है?

आइए फिर से देखें:

क्या है नियम?

लेकिन! इस मामले में, यह महत्वपूर्ण है कि अंकित और केंद्रीय कोण एक तरफ से चाप पर "देखें"। यहाँ, उदाहरण के लिए:

अजीब बात है, नीला! क्योंकि चाप लंबा है, वृत्त के आधे से भी अधिक लंबा! तो कभी भ्रमित मत होइए!

अंकित कोण के "आधेपन" से क्या परिणाम निकाला जा सकता है?

लेकिन, उदाहरण के लिए:

व्यास द्वारा अंतरित कोण

आप पहले ही देख चुके हैं कि गणितज्ञ उन्हीं चीज़ों के बारे में बात करना पसंद करते हैं। अलग-अलग शब्दों में? उन्हें इसकी आवश्यकता क्यों है? आप देखिए, गणित की भाषा औपचारिक होते हुए भी जीवित है, और इसलिए, सामान्य भाषा की तरह, हर बार आप इसे अधिक सुविधाजनक तरीके से कहना चाहते हैं। खैर, हम पहले ही देख चुके हैं कि "एक कोण एक चाप पर टिका हुआ है" का क्या मतलब है। और कल्पना कीजिए, उसी चित्र को "एक कोण एक तार पर टिका हुआ" कहा जाता है। कौन सा? हाँ, निःसंदेह, उस व्यक्ति के लिए जो इस चाप को कसता है!

चाप की तुलना में जीवा पर भरोसा करना कब अधिक सुविधाजनक होता है?

खैर, विशेष रूप से, जब यह राग एक व्यास है।

ऐसी स्थिति के लिए आश्चर्यजनक रूप से सरल, सुंदर और उपयोगी कथन है!

देखो: यहाँ वृत्त, व्यास और उस पर स्थित कोण है।

वृत्त और अंदरुनी कोण. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

1. बुनियादी अवधारणाएँ।

3. चापों और कोणों की माप.

रेडियन कोण एक केंद्रीय कोण होता है जिसकी चाप की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है।

यह एक संख्या है जो अर्धवृत्त की लंबाई और उसकी त्रिज्या के अनुपात को व्यक्त करती है।

त्रिज्या की परिधि बराबर होती है.

4. उत्कीर्ण और केंद्रीय कोणों के मानों के बीच संबंध।

केन्द्रीय कोणवह कोण है जिसका शीर्ष वृत्त के केंद्र पर है।
अंकित कोण- एक कोण जिसका शीर्ष एक वृत्त पर स्थित होता है और जिसकी भुजाएँ उसे काटती हैं।

चित्र केंद्रीय और अंकित कोणों के साथ-साथ उनके सबसे महत्वपूर्ण गुणों को दर्शाता है।

इसलिए, केंद्रीय कोण का परिमाण उस चाप के कोणीय परिमाण के बराबर होता है जिस पर वह टिका होता है. इसका मतलब यह है कि 90 डिग्री का केंद्रीय कोण 90 डिग्री के बराबर चाप यानी एक वृत्त पर टिका होगा। 60° के बराबर का केन्द्रीय कोण 60° के चाप पर अर्थात् वृत्त के छठे भाग पर टिका होता है।

अंकित कोण का परिमाण उसी चाप के आधार पर केंद्रीय कोण से दो गुना छोटा होता है.

साथ ही, समस्याओं को हल करने के लिए हमें "कॉर्ड" की अवधारणा की आवश्यकता होगी।

समान केंद्रीय कोण समान जीवाओं को अंतरित करते हैं।

1. वृत्त के व्यास द्वारा अंतरित कोण क्या है? अपना उत्तर डिग्री में दें।

किसी व्यास द्वारा अंतरित एक उत्कीर्ण कोण समकोण होता है।

2. केंद्रीय कोण उसी वृत्ताकार चाप द्वारा अंतरित न्यून कोण से 36° बड़ा होता है। अंकित कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

मान लीजिए कि केंद्रीय कोण x के बराबर है, और उसी चाप द्वारा अंतरित कोण y के बराबर है।

हम जानते हैं कि x = 2y.
अत: 2y = 36 + y,
y = 36.

3. वृत्त की त्रिज्या 1 के बराबर है। जीवा द्वारा अंतरित अधिक कोण का मान ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

माना कि जीवा AB बराबर है। इस जीवा पर आधारित अधिक अंकित कोण को α द्वारा निरूपित किया जाएगा।
त्रिभुज AOB में, भुजा AO और OB 1 के बराबर हैं, भुजा AB बराबर है। हम पहले ही ऐसे त्रिभुजों का सामना कर चुके हैं। जाहिर है, त्रिभुज AOB आयताकार और समद्विबाहु है, यानी कोण AOB 90° का है।
तब चाप ACB 90° के बराबर है, और चाप AKB 360° - 90° = 270° के बराबर है।
अंकित कोण α चाप AKB पर टिका है और इस चाप के आधे कोणीय मान के बराबर है, अर्थात 135°।

उत्तर: 135.

4. जीवा AB वृत्त को दो भागों में विभाजित करती है, जिनके डिग्री मान 5:7 के अनुपात में हैं। यह जीवा बिंदु C से किस कोण पर दिखाई देती है, जो वृत्त के छोटे चाप से संबंधित है? अपना उत्तर डिग्री में दें।

इस कार्य में मुख्य बात परिस्थितियों का सही चित्रण और समझ है। आप इस प्रश्न को कैसे समझते हैं: "बिंदु C से जीवा किस कोण पर दिखाई देती है?"
कल्पना करें कि आप बिंदु C पर बैठे हैं और आपको वह सब कुछ देखना है जो जीवा AB पर हो रहा है। यह ऐसा है मानो कॉर्ड एबी किसी मूवी थियेटर में एक स्क्रीन हो :-)
जाहिर है, आपको कोण एसीबी खोजने की जरूरत है।
दो चापों का योग जिसमें जीवा AB वृत्त को विभाजित करती है, 360° के बराबर है, अर्थात
5x + 7x = 360°
अत: x = 30°, और फिर अंकित कोण ACB 210° के बराबर चाप पर टिका होता है।
अंकित कोण का परिमाण उस चाप के कोणीय परिमाण के आधे के बराबर है जिस पर वह स्थित है, जिसका अर्थ है कि कोण ACB 105° के बराबर है।

अंकित कोण, समस्या का सिद्धांत। दोस्त! इस लेख में हम उन कार्यों के बारे में बात करेंगे जिनके लिए आपको एक अंकित कोण के गुणों को जानना आवश्यक है। यह कार्यों का एक पूरा समूह है, इन्हें एकीकृत राज्य परीक्षा में शामिल किया गया है। उनमें से अधिकांश को बहुत ही सरलता से, एक ही क्रिया में हल किया जा सकता है।

और भी कठिन समस्याएं हैं, लेकिन वे आपके लिए अधिक कठिनाई पेश नहीं करेंगी; आपको एक अंकित कोण के गुणों को जानने की आवश्यकता है। धीरे-धीरे हम कार्यों के सभी प्रोटोटाइप का विश्लेषण करेंगे, मैं आपको ब्लॉग पर आमंत्रित करता हूँ!

अब आवश्यक सिद्धांत. आइए याद रखें कि एक केंद्रीय और खुदा हुआ कोण, एक जीवा, एक चाप क्या होते हैं, जिन पर ये कोण टिके होते हैं:

एक वृत्त में केंद्रीय कोण एक समतल कोण होता हैइसके केंद्र में शीर्ष.

वृत्त का वह भाग जो समतल कोण के अंदर स्थित होता हैवृत्त का चाप कहा जाता है।

किसी वृत्त के चाप की डिग्री माप कहलाती है डिग्री माप संगत केंद्रीय कोण.

एक कोण को वृत्त में अंकित तब कहा जाता है जब कोण का शीर्ष स्थित होएक वृत्त पर, और कोण की भुजाएँ इस वृत्त को काटती हैं।

वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड को कहा जाता हैतार. सबसे बड़ी जीवा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है और कहलाती हैव्यास.

वृत्त में अंकित कोणों से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए,आपको निम्नलिखित गुण जानने की आवश्यकता है:

1. अंकित कोण समान चाप के आधार पर, केंद्रीय कोण के आधे के बराबर होता है।

2. एक ही चाप पर अंतरित सभी अंकित कोण बराबर होते हैं।

3. एक ही जीवा पर आधारित सभी अंकित कोण और जिनके शीर्ष इस जीवा के एक ही ओर स्थित हों, बराबर होते हैं।

4. एक ही जीवा पर आधारित कोणों का कोई भी जोड़ा, जिसके शीर्ष जीवा के विपरीत दिशाओं में स्थित हों, का योग 180° होता है।

उपफल: एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

5. किसी व्यास द्वारा अंतरित सभी अंकित कोण समकोण होते हैं।

सामान्य तौर पर, यह संपत्ति संपत्ति (1) का परिणाम है; यह इसका विशेष मामला है। देखिए - केंद्रीय कोण 180 डिग्री के बराबर है (और यह खुला कोण एक व्यास से अधिक कुछ नहीं है), जिसका अर्थ है, पहली संपत्ति के अनुसार, अंकित कोण सी इसके आधे के बराबर है, यानी 90 डिग्री।

इस गुण को जानने से कई समस्याओं को हल करने में मदद मिलती है और अक्सर आप अनावश्यक गणनाओं से बच जाते हैं। इसमें अच्छी तरह से महारत हासिल करने के बाद, आप इस प्रकार की आधी से अधिक समस्याओं को मौखिक रूप से हल करने में सक्षम होंगे। दो निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

उपफल 1: यदि एक वृत्त में एक त्रिभुज अंकित है और उसकी एक भुजा इस वृत्त के व्यास से मेल खाती है, तो त्रिभुज समकोण (शीर्ष) है समकोणवृत्त पर स्थित है)।

परिणाम 2: के बारे में वर्णित का केंद्र सही त्रिकोणवृत्त अपने कर्ण के मध्य से मेल खाता है।

इस संपत्ति और इन परिणामों का उपयोग करके स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं के कई प्रोटोटाइप भी हल किए जाते हैं। तथ्य को स्वयं याद रखें: यदि किसी वृत्त का व्यास एक अंकित त्रिभुज की एक भुजा है, तो यह त्रिभुज समकोण है (व्यास के विपरीत कोण 90 डिग्री है)। आप अन्य सभी निष्कर्ष और परिणाम स्वयं निकाल सकते हैं, आपको उन्हें सिखाने की आवश्यकता नहीं है।

एक नियम के रूप में, एक अंकित कोण पर आधी समस्याएं एक रेखाचित्र के साथ दी जाती हैं, लेकिन प्रतीकों के बिना। समस्याओं को हल करते समय तर्क प्रक्रिया को समझने के लिए (लेख में नीचे), शीर्षों (कोणों) के लिए नोटेशन पेश किए गए हैं। आपको एकीकृत राज्य परीक्षा में ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है।आइए कार्यों पर विचार करें:

वृत्त की त्रिज्या के बराबर एक जीवा द्वारा बनाए गए न्यून कोण का मान क्या होता है? अपना उत्तर डिग्री में दें।

आइए किसी दिए गए खुदे हुए कोण के लिए एक केंद्रीय कोण बनाएं और शीर्षों को नामित करें:

वृत्त में अंकित कोण के गुण के अनुसार:

कोण AOB 60 0 के बराबर है, क्योंकि त्रिभुज AOB समबाहु है, और में समान भुजाओं वाला त्रिकोणसभी कोण 60 0 के बराबर हैं। त्रिभुज की भुजाएँ बराबर हैं, क्योंकि शर्त कहती है कि जीवा त्रिज्या के बराबर है।

इस प्रकार, अंकित कोण ACB 30 0 के बराबर है।

उत्तर: 30

त्रिज्या 3 के एक वृत्त में अंकित 30 0 के कोण द्वारा समर्थित जीवा ज्ञात कीजिए।

यह मूलतः (पिछली समस्या की) उलटी समस्या है। आइए केंद्रीय कोण का निर्माण करें।

यह खुदे हुए से दोगुना बड़ा है, यानी कोण AOB 60 0 के बराबर है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्रिभुज AOB समबाहु है। इस प्रकार, जीवा त्रिज्या के बराबर है, अर्थात तीन।

उत्तर: 3

वृत्त की त्रिज्या 1 है। दो के मूल के बराबर जीवा द्वारा बनाए गए अधिक कोण का परिमाण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

आइए केंद्रीय कोण का निर्माण करें:

त्रिज्या और जीवा को जानकर, हम केंद्रीय कोण ASV ज्ञात कर सकते हैं। यह कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके किया जा सकता है। केंद्रीय कोण को जानकर हम अंकित कोण ACB को आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

कोसाइन प्रमेय: त्रिभुज की किसी भी भुजा को वर्गाकार करें योग के बराबरअन्य दो भुजाओं का वर्ग, उनके बीच के कोण की कोज्या से इन भुजाओं के गुणनफल को दोगुना किए बिना।

इसलिए, दूसरा केंद्रीय कोण 360 0 है – 90 0 = 270 0 .

कोण एसीबी, अंकित कोण के गुण से, उसके आधे के बराबर होता है, अर्थात 135 डिग्री।

उत्तर: 135

तीन के मूल त्रिज्या वाले एक वृत्त में बने 120 डिग्री के कोण द्वारा अंतरित जीवा ज्ञात कीजिए।

बिंदु A और B को वृत्त के केंद्र से जोड़ें। आइए इसे O के रूप में निरूपित करें:

हम त्रिज्या और अंकित कोण ASV जानते हैं। हम केंद्रीय कोण AOB (180 डिग्री से अधिक) ज्ञात कर सकते हैं, फिर त्रिभुज AOB में कोण AOB ज्ञात कर सकते हैं। और फिर, कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके, AB की गणना करें।

अंकित कोण के गुण के अनुसार केंद्रीय कोण AOB (जो 180 डिग्री से अधिक है) अंकित कोण के दोगुने अर्थात 240 डिग्री के बराबर होगा। इसका मतलब है कि त्रिभुज AOB में कोण AOB 360 0 - 240 0 = 120 0 के बराबर है।

कोसाइन प्रमेय के अनुसार:

उत्तर:3

एक चाप द्वारा अंतरित कोण ज्ञात कीजिए जो वृत्त का 20% है। अपना उत्तर डिग्री में दें।

अंकित कोण के गुण के अनुसार यह उसी चाप के आधार पर केन्द्रीय कोण के आधे आकार का होता है इस मामले मेंहम बात कर रहे हैं आर्क एबी की.

ऐसा कहा जाता है कि चाप AB परिधि का 20 प्रतिशत है। इसका मतलब है कि केंद्रीय कोण AOB भी 360 0 का 20 प्रतिशत है।*एक वृत्त 360 डिग्री का कोण होता है. मतलब,

इस प्रकार, अंकित कोण ACB 36 डिग्री है।

उत्तर: 36

एक वृत्त का चाप ए.सी., जिसमें कोई बिंदु नहीं है बी, 200 डिग्री है. और एक वृत्त BC का चाप, जिसमें कोई बिंदु नहीं है ए, 80 डिग्री है. अंकित कोण ACB ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

स्पष्टता के लिए, आइए हम उन चापों को निरूपित करें जिनके कोणीय माप दिए गए हैं। 200 डिग्री के अनुरूप चाप - नीला, 80 डिग्री के अनुरूप चाप लाल है, वृत्त का शेष भाग है पीला.

इस प्रकार, चाप AB (पीला) की डिग्री माप, और इसलिए केंद्रीय कोण AOB है: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

अंकित कोण ACB केंद्रीय कोण AOB का आधा आकार है, अर्थात 40 डिग्री के बराबर है।

उत्तर: 40

वृत्त के व्यास द्वारा अंतरित कोण क्या है? अपना उत्तर डिग्री में दें।

आज हम दूसरी प्रकार की समस्याओं 6 पर गौर करेंगे - इस बार एक वृत्त के साथ। कई छात्र उन्हें पसंद नहीं करते और उन्हें कठिन पाते हैं। और पूरी तरह से व्यर्थ, क्योंकि ऐसी समस्याएं हल हो जाती हैं प्राथमिक, यदि आप कुछ प्रमेय जानते हैं। या यदि आप उन्हें नहीं जानते तो वे बिल्कुल भी हिम्मत नहीं करते।

मुख्य गुणों के बारे में बात करने से पहले, मैं आपको परिभाषा याद दिला दूं:

एक उत्कीर्ण कोण वह होता है जिसका शीर्ष वृत्त पर ही स्थित होता है, और जिसकी भुजाएँ इस वृत्त पर एक जीवा काटती हैं।

केंद्रीय कोण वह कोण होता है जिसका शीर्ष वृत्त के केंद्र में होता है। इसकी भुजाएँ भी इस वृत्त को काटती हैं और उस पर एक राग बनाती हैं।

तो, उत्कीर्ण और केंद्रीय कोणों की अवधारणाएं वृत्त और उसके अंदर की जीवाओं के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। और अब मुख्य कथन:

प्रमेय. एक ही चाप के आधार पर, केंद्रीय कोण सदैव अंकित कोण का दोगुना होता है।

कथन की सरलता के बावजूद, समस्याओं 6 की एक पूरी श्रेणी है जिसे इसका उपयोग करके हल किया जा सकता है - और कुछ नहीं।

काम। वृत्त की त्रिज्या के बराबर एक जीवा द्वारा बनाया गया न्यून कोण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए AB विचाराधीन जीवा है, O वृत्त का केंद्र है। अतिरिक्त निर्माण: OA और OB वृत्त की त्रिज्याएँ हैं। हम पाते हैं:

त्रिभुज ABO पर विचार करें। इसमें AB = OA = OB - सभी भुजाएँ वृत्त की त्रिज्या के बराबर हैं। इसलिए, त्रिभुज ABO समबाहु है, और इसमें सभी कोण 60° हैं।

मान लीजिए M अंकित कोण का शीर्ष है। चूँकि कोण O और M एक ही चाप AB पर स्थित हैं, अंकित कोण M केंद्रीय कोण O से 2 गुना छोटा है। हमारे पास है:

एम = ओ: 2 = 60: 2 = 30

काम। केंद्रीय कोण एक वृत्त के समान चाप द्वारा अंतरित कोण से 36° बड़ा होता है। अंकित कोण ज्ञात कीजिए।

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें:

1. AB वृत्त की जीवा है;
2. बिंदु O वृत्त का केंद्र है, इसलिए कोण AOB केंद्रीय कोण है;
3. बिंदु C अंकित कोण ACB का शीर्ष है।

चूँकि हम अंकित कोण ACB की तलाश कर रहे हैं, आइए इसे ACB = x निरूपित करें। तब केंद्रीय कोण AOB x + 36 है। दूसरी ओर, केंद्रीय कोण अंकित कोण का 2 गुना है। हमारे पास है:

एओबी = 2 · एसीबी ;
एक्स + 36 = 2 एक्स ;
एक्स = 36.

तो हमें अंकित कोण AOB मिला - यह 36° के बराबर है।

एक वृत्त 360° का कोण होता है

उपशीर्षक पढ़ने के बाद, जानकार पाठक शायद अब कहेंगे: "उह!" दरअसल, एक वृत्त की तुलना एक कोण से करना पूरी तरह से सही नहीं है। यह समझने के लिए कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं, क्लासिक त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक नज़र डालें:

यह चित्र किस लिए है? और इसके अलावा, एक पूर्ण घूर्णन 360 डिग्री का कोण है। और यदि आप इसे विभाजित करते हैं, मान लीजिए, 20 बराबर भागों में, तो उनमें से प्रत्येक का आकार 360: 20 = 18 डिग्री होगा। समस्या B8 को हल करने के लिए बिल्कुल यही आवश्यक है।

बिंदु A, B और C वृत्त पर स्थित हैं और इसे तीन चापों में विभाजित करते हैं, जिनकी डिग्री माप 1: 3: 5 के अनुपात में हैं। त्रिभुज ABC का बड़ा कोण ज्ञात कीजिए।

सबसे पहले, आइए प्रत्येक चाप का डिग्री माप ज्ञात करें। माना छोटा वाला x है। चित्र में इस चाप को AB नामित किया गया है। फिर शेष चाप - BC और AC - को AB के पदों में व्यक्त किया जा सकता है: चाप BC = 3x; एसी = 5x. कुल मिलाकर, ये चाप 360 डिग्री देते हैं:

एबी + बीसी + एसी = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
एक्स = 40.

अब एक बड़े चाप AC पर विचार करें जिसमें बिंदु B नहीं है। यह चाप, संगत केंद्रीय कोण AOC की तरह, 5x = 5 40 = 200 डिग्री है।

त्रिभुज के सभी कोणों में कोण ABC सबसे बड़ा होता है। यह केंद्रीय कोण AOC के समान चाप द्वारा अंतरित एक उत्कीर्ण कोण है। इसका मतलब है कि कोण ABC, AOC से 2 गुना छोटा है। हमारे पास है:

एबीसी = एओसी: 2 = 200: 2 = 100

यह त्रिभुज ABC में बड़े कोण का डिग्री माप होगा।

एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त

बहुत से लोग इस प्रमेय को भूल जाते हैं। लेकिन व्यर्थ, क्योंकि कुछ B8 समस्याओं को इसके बिना बिल्कुल भी हल नहीं किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, उन्हें हल किया जाता है, लेकिन गणनाओं की इतनी मात्रा के साथ कि आप उत्तर तक पहुंचने के बजाय सो जाना पसंद करेंगे।

प्रमेय. एक समकोण त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होता है।

इस प्रमेय से क्या निष्कर्ष निकलता है?

1. कर्ण का मध्यबिंदु त्रिभुज के सभी शीर्षों से समान दूरी पर होता है। यह प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है;
2. कर्ण पर खींची गई माध्यिका मूल त्रिभुज को दो समद्विबाहु त्रिभुजों में विभाजित करती है। समस्या B8 को हल करने के लिए बिल्कुल यही आवश्यक है।

त्रिभुज ABC में हम माध्यिका CD खींचते हैं। कोण C 90° है और कोण B 60° है। कोण ACD ज्ञात कीजिए।

चूँकि कोण C 90° है, त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है। इससे पता चलता है कि सीडी कर्ण पर खींची गई माध्यिका है। इसका मतलब है कि त्रिभुज ADC और BDC समद्विबाहु हैं।

विशेष रूप से, त्रिभुज ADC पर विचार करें। इसमें AD=CD है। लेकिन एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर बने कोण बराबर होते हैं - देखें "समस्या B8: त्रिभुजों में रेखाखंड और कोण।" इसलिए, वांछित कोण ACD = A.

तो, यह पता लगाना बाकी है कि कोण A किसके बराबर है। ऐसा करने के लिए, आइए फिर से मूल त्रिभुज ABC की ओर मुड़ें। आइए कोण A = x को निरूपित करें। चूँकि किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है, हमारे पास है:

ए + बी + बीसीए = 180;
x + 60 + 90 = 180;
एक्स = 30.

बेशक, आखिरी समस्या को अलग तरीके से हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह साबित करना आसान है कि त्रिभुज बीसीडी सिर्फ समद्विबाहु नहीं है, बल्कि समबाहु है। अतः कोण BCD 60 डिग्री है। अतः कोण ACD 90 − 60 = 30 डिग्री है। जैसा कि आप देख सकते हैं, आप विभिन्न समद्विबाहु त्रिभुजों का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन उत्तर हमेशा एक ही होगा।