खुदाचतुर्भुज - एक चतुर्भुज जिसके सभी शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित हों।
जाहिर है, यह सर्कल कहा जाएगा बताया गया हैचतुर्भुज के चारों ओर.
वर्णितएक चतुर्भुज ऐसा होता है जिसकी सभी भुजाएँ एक वृत्त को छूती हैं। इस मामले में वृत्त अंकित कियाएक चतुर्भुज में.
यह चित्र उत्कीर्ण और परिबद्ध चतुर्भुजों और उनके गुणों को दर्शाता है।
आइए देखें कि एकीकृत राज्य परीक्षा समस्याओं को हल करने में इन गुणों का उपयोग कैसे किया जाता है।
1. एक वृत्त में बने चतुर्भुज के दो कोण 82° और 58° हैं। सबसे बड़ा शेष कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।
एक उत्कीर्ण चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। माना कोण A 82° है। फिर इसके विपरीत 98 डिग्री का कोण बनता है. यदि कोण B 58° है, तो कोण D 180° - 58° = 122° है।
उत्तर: 122.
2. एक वृत्त के चारों ओर परिचालित चतुर्भुज की तीनों भुजाओं का अनुपात (अनुक्रमिक क्रम में) 1:2:3 है। इस चतुर्भुज की सबसे लंबी भुजा ज्ञात करें यदि यह ज्ञात हो कि इसका परिमाप 32 है।
मान लीजिए भुजा AB x है, AD 2x है, और DC 3x है। वर्णित चतुर्भुज की संपत्ति के अनुसार, विपरीत पक्षों का योग बराबर है, और इसलिए
x + 3x = BC + 2x.
यह पता चला कि BC 2x के बराबर है। तब चतुर्भुज का परिमाप 8x है। हम पाते हैं कि x = 4 और बड़ी भुजा 12 है।
3. एक वृत्त के चारों ओर एक समलंब का वर्णन किया गया है, जिसका परिमाप 40 है। इसकी मध्य रेखा ज्ञात कीजिए।
हमें वह याद है मध्य पंक्तिसमलंब चतुर्भुज आधारों के योग के आधे के बराबर है। मान लीजिए कि समलम्ब चतुर्भुज का आधार a और c के बराबर है, और दोनों पक्ष- बी और डी. वर्णित चतुर्भुज की संपत्ति के अनुसार,
a + c = b + d, जिसका अर्थ है कि परिधि 2(a + c) है।
हम पाते हैं कि a + c = 20, और मध्य रेखा 10 है।
आइए हम एक बार फिर से एक उत्कीर्ण और परिचालित चतुर्भुज के गुणों को दोहराएँ।
एक चतुर्भुज को एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब इसके सम्मुख कोणों का योग 180° के बराबर हो।
एक चतुर्भुज को एक वृत्त के चारों ओर परिचालित किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब इसकी सम्मुख भुजाओं की लंबाई का योग बराबर हो।
पीछे की ओर आगे की ओर
ध्यान! स्लाइड पूर्वावलोकन केवल सूचनात्मक उद्देश्यों के लिए हैं और प्रस्तुति की सभी विशेषताओं का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं। अगर आपको रुचि हो तो यह काम, कृपया पूर्ण संस्करण डाउनलोड करें।
लक्ष्य।
शैक्षिक.वर्णित चतुर्भुज की अवधारणा, उसके गुणों, विशेषताओं में सफल महारत के लिए परिस्थितियाँ बनाना और उन्हें व्यवहार में लागू करने के कौशल में महारत हासिल करना।
विकासात्मक. गणितीय क्षमताओं का विकास, सामान्यीकरण करने और विचार की आगे और पीछे की प्रक्रिया को लागू करने की क्षमता के लिए परिस्थितियों का निर्माण।
शैक्षिक. चित्रों के सौंदर्यशास्त्र के माध्यम से सुंदरता की भावना पैदा करना, असामान्य पर आश्चर्य करना
निर्णय, संगठन का गठन, किसी के कार्य के परिणामों के लिए जिम्मेदारी।
1. परिबद्ध चतुर्भुज की परिभाषा का अध्ययन करें।
2. परिबद्ध चतुर्भुज की भुजाओं का गुण सिद्ध करें।
3. अंकित और परिबद्ध चतुर्भुजों की सम्मुख भुजाओं और सम्मुख कोणों के योग के गुणों के द्वंद्व का परिचय दें।
4. समस्याओं को हल करते समय विचारित प्रमेयों के व्यावहारिक अनुप्रयोग में अनुभव प्रदान करना।
5. नई सामग्री को आत्मसात करने के स्तर की प्रारंभिक निगरानी करना।
उपकरण:
- कंप्यूटर, प्रोजेक्टर;
- पाठ्यपुस्तक “ज्यामिति। सामान्य शिक्षा के लिए 10-11 ग्रेड”। संस्थान: बुनियादी और प्रोफ़ाइल। ऑटो स्तर ए.वी. पोगोरेलोव।
सॉफ्टवेयर: माइक्रोसॉफ्ट वर्ड, माइक्रोसॉफ्ट पावर प्वाइंट।
किसी शिक्षक को पाठ के लिए तैयार करते समय कंप्यूटर का उपयोग करना।
एक मानक विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम प्रोग्राम का उपयोग करके, पाठ के लिए निम्नलिखित बनाए गए थे:
- प्रस्तुति।
- टेबल्स।
- ब्लूप्रिंट.
- हैंडआउट.
शिक्षण योजना
कक्षाओं के दौरान
1. संगठनात्मक क्षण. अभिवादन। पाठ का विषय और उद्देश्य बताएं। पाठ की तारीख और विषय को अपनी नोटबुक में रिकॉर्ड करें।
2. होमवर्क जाँचना।
3. नई सामग्री का अध्ययन.
एक परिबद्ध बहुभुज की अवधारणा पर काम करें।
परिभाषा। बहुभुज कहलाता है बताया गया हैएक वृत्त के बारे में, यदि सभी उसके पक्ष चिंता कुछ घेरा.
सवाल। प्रस्तावित बहुभुजों में से कौन सा वर्णित है और कौन सा नहीं और क्यों?
<Презентация. Слайд №2>
परिबद्ध चतुर्भुज के गुणों का प्रमाण।
<Презентация. Слайд №3>
प्रमेय. एक परिबद्ध चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है।
छात्र पाठ्यपुस्तक के साथ काम करते हैं और प्रमेय के सूत्रीकरण को एक नोटबुक में लिखते हैं।
1. प्रमेय का सूत्रीकरण सशर्त वाक्य के रूप में प्रस्तुत करें।
2. प्रमेय की स्थिति क्या है?
3. प्रमेय का निष्कर्ष क्या है?
उत्तर। अगरएक चतुर्भुज एक वृत्त के चारों ओर परिचालित है, वहसम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है।
प्रमाणन किया जाता है, छात्र अपनी नोटबुक में नोट्स बनाते हैं।
<Презентация. Слайд №4>
अध्यापक। टिप्पणी द्वंद्व परिबद्ध और उत्कीर्ण चतुर्भुजों की भुजाओं और कोणों के लिए स्थितियाँ।
अर्जित ज्ञान का समेकन.
कार्य.
उत्तर। 1. 10 मी. 2. 20 मी. 3. 21 मी
परिबद्ध चतुर्भुज की विशेषता का प्रमाण.
व्युत्क्रम प्रमेय बताएं।
उत्तर। यदि किसी चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का योग बराबर हो तो उसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। (स्लाइड 2, चित्र 7 पर लौटें) <Презентация. Слайд №2>
अध्यापक। प्रमेय का सूत्रीकरण स्पष्ट करें।
प्रमेय. यदि विपरीत भुजाओं का योग हो उत्तलचतुर्भुज बराबर हों तो उसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।
पाठ्यपुस्तक के साथ कार्य करना। पाठ्यपुस्तक का उपयोग करके एक परिबद्ध चतुर्भुज के परीक्षण के प्रमाण से परिचित हों।
अर्जित ज्ञान का अनुप्रयोग.
3. तैयार चित्रों के आधार पर कार्य।
1. क्या किसी चतुर्भुज में 9 मीटर और 4 मीटर, 10 मीटर और 3 मीटर विपरीत भुजाओं वाला एक वृत्त अंकित करना संभव है?
2. क्या 1 मीटर और 9 मीटर के आधार और 3 मीटर की ऊंचाई वाले एक समद्विबाहु समलंब में एक वृत्त अंकित करना संभव है?
<Презентация. Слайд №6>
नोटबुक में लिखित कार्य
.काम। 6 मीटर और 8 मीटर विकर्णों वाले एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
<Презентация. Слайд № 7>
4. स्वतंत्र कार्य.
1 विकल्प
1. क्या वृत्त अंकित करना संभव है?
1) 7 मीटर और 10 मीटर भुजाओं वाले एक आयत में,
2. एक वृत्त के चारों ओर बने चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ 7 मीटर और 10 मीटर हैं।
चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।
3. 4 मीटर और 16 मीटर आधार वाले एक समबाहु समलंब को एक वृत्त के चारों ओर वर्णित किया गया है।
1) खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या,
विकल्प 2
1. क्या वृत्त अंकित करना संभव है:
1) 6 मीटर और 13 मीटर भुजाओं वाले एक समांतर चतुर्भुज में,
2) चुकता?
2. एक वृत्त के चारों ओर परिचालित चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ 9 मीटर और 11 मीटर हैं। चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।
3. 5 मीटर भुजा वाला एक समबाहु समलंब 2 मीटर त्रिज्या वाले एक वृत्त के चारों ओर परिचालित है।
1) समलम्ब चतुर्भुज का आधार,
2) परिचालित वृत्त की त्रिज्या।
5. गृहकार्य. पी.86, क्रमांक 28, 29, 30.
6. पाठ सारांश. स्वतंत्र कार्य की जाँच की जाती है और ग्रेड दिए जाते हैं।
<Презентация. Слайд № 8>
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प्रमेय 1. चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग होता है 180°.
मान लीजिए कि केंद्र O वाले एक वृत्त में एक चतुर्भुज ABCD अंकित है (चित्र 412)। यह सिद्ध करना आवश्यक है कि ∠A + ∠C = 180° और ∠B + ∠D = 180°।
∠A, जैसा कि वृत्त O में अंकित है, का माप 1 / 2 \(\breve(BCD)\) है।
∠C, जैसा कि एक ही वृत्त में अंकित है, का माप 1/2 \(\breve(BAD)\) है।
नतीजतन, कोण ए और सी का योग चाप बीसीडी और बीएडी के आधे योग से मापा जाता है, ये चाप एक वृत्त बनाते हैं, अर्थात। 360° है.
अत: ∠A + ∠C = 360°: 2 = 180°.
इसी प्रकार यह सिद्ध है कि ∠B + ∠D = 180° है। हालाँकि, इसका अनुमान दूसरे तरीके से भी लगाया जा सकता है। हम जानते हैं कि उत्तल चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग 360° होता है। कोण A और C का योग 180° के बराबर होता है, जिसका अर्थ है कि चतुर्भुज के अन्य दो कोणों का योग भी 180° रहता है।
प्रमेय 2 (विपरीत)। यदि किसी चतुर्भुज में दो सम्मुख कोणों का योग बराबर हो 180° , तो ऐसे चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।
माना चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोणों का योग 180° के बराबर है
∠A + ∠C = 180° और ∠B + ∠D = 180° (चित्र 412)।
आइए हम सिद्ध करें कि ऐसे चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।
सबूत. इस चतुर्भुज के किन्हीं तीन शीर्षों से होकर आप एक वृत्त खींच सकते हैं, उदाहरण के लिए बिंदु A, B और C से होकर। बिंदु D कहाँ स्थित होगा?
बिंदु D केवल निम्नलिखित तीन स्थितियों में से एक ले सकता है: वृत्त के अंदर हो, वृत्त के बाहर हो, वृत्त की परिधि पर हो।
आइए मान लें कि शीर्ष वृत्त के अंदर है और स्थिति D' लेता है (चित्र 413)। फिर चतुर्भुज ABCD' में हमारे पास होगा:
∠B + ∠D' = 2 डी.
बिंदु E पर वृत्त के साथ प्रतिच्छेदन तक भुजा AD' को जारी रखते हुए और बिंदु E और C को जोड़ते हुए, हम चक्रीय चतुर्भुज ABCE प्राप्त करते हैं, जिसमें, प्रत्यक्ष प्रमेय द्वारा
∠B + ∠E = 2 डी.
इन दो समानताओं से यह निष्कर्ष निकलता है:
∠D' = 2 डी- ∠बी;
∠E = 2 डी- ∠बी;
लेकिन ऐसा नहीं हो सकता, क्योंकि ∠D', त्रिभुज CD'E के सापेक्ष बाहरी होने के कारण, कोण E से बड़ा होना चाहिए। इसलिए, बिंदु D वृत्त के अंदर नहीं हो सकता।
यह भी सिद्ध है कि शीर्ष D वृत्त के बाहर स्थिति D" नहीं ले सकता (चित्र 414)।
यह मानना बाकी है कि शीर्ष D को वृत्त की परिधि पर स्थित होना चाहिए, अर्थात, बिंदु E के साथ संपाती होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि चतुर्भुज ABCD के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।
नतीजे।
1. किसी भी आयत के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।
2. एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।
दोनों स्थितियों में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
प्रमेय 3. परिबद्ध चतुर्भुज में सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है। मान लीजिए चतुर्भुज ABCD को एक वृत्त के बारे में वर्णित किया गया है (चित्र 415), अर्थात इसकी भुजाएँ AB, BC, CD और DA इस वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं।
यह सिद्ध करना आवश्यक है कि AB + CD = AD + BC. आइए हम स्पर्शरेखा के बिंदुओं को M, N, K, P अक्षरों से निरूपित करें। एक बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शरेखाओं के गुणों के आधार पर, हमारे पास है:
आइए हम इन समानताओं को शब्द दर शब्द जोड़ें। हम पाते हैं:
एआर + बीपी + डीएन + सीएन = एके + वीएम + डीके + एसएम,
अर्थात AB + CD = AD + BC, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।
अन्य सामग्रीएक त्रिभुज के लिए, एक खुदा हुआ वृत्त और एक परिवृत्त दोनों हमेशा संभव होते हैं।
एक चतुर्भुज के लिए, एक वृत्त तभी अंकित किया जा सकता है जब उसकी सम्मुख भुजाओं का योग समान हो। सभी समांतर चतुर्भुजों में से केवल एक समचतुर्भुज और एक वर्ग को एक वृत्त के साथ अंकित किया जा सकता है। इसका केंद्र विकर्णों के प्रतिच्छेदन पर स्थित है।
एक चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त तभी वर्णित किया जा सकता है जब सम्मुख कोणों का योग 180° हो। सभी समांतर चतुर्भुजों में से केवल एक आयत और एक वर्ग को ही एक वृत्त के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इसका केंद्र विकर्णों के प्रतिच्छेदन पर स्थित है।
एक समलम्ब चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना संभव है, या यदि समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु है तो एक वृत्त को समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है।
circumcenter
प्रमेय. किसी त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।
किसी बहुभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त का केंद्र इस बहुभुज की भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है।
केंद्र अंकित वृत्त
परिभाषा. उत्तल बहुभुज में अंकित एक वृत्त एक ऐसा वृत्त होता है जो इस बहुभुज की सभी भुजाओं को स्पर्श करता है (अर्थात्, बहुभुज की प्रत्येक भुजा वृत्त की स्पर्श रेखा होती है)।
अंकित वृत्त का केंद्र बहुभुज के अंदर स्थित है।
एक बहुभुज जिसमें एक वृत्त अंकित होता है, परिबद्ध कहलाता है।
उत्तल बहुभुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है यदिइसके सभी आंतरिक कोणों के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।
बहुभुज में अंकित वृत्त का केंद्र- इसके समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु।
अंकित वृत्त का केंद्र बहुभुज की भुजाओं से समान दूरी पर है। केंद्र से किसी भी ओर की दूरी अंकित वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है, एक बिंदु से खींची गई स्पर्शरेखाओं के गुण के अनुसार, परिबद्ध बहुभुज का कोई भी शीर्ष इस शीर्ष से फैली हुई भुजाओं पर स्थित स्पर्शरेखा बिंदुओं से समान दूरी पर होता है।
किसी भी त्रिभुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। किसी त्रिभुज में अंकित वृत्त के केंद्र को अंत:केंद्र कहा जाता है।
एक वृत्त को उत्तल चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब इसकी विपरीत भुजाओं की लंबाई का योग बराबर हो। विशेष रूप से, एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है यदि उसके आधारों का योग उसकी भुजाओं के योग के बराबर हो।
किसी भी नियमित बहुभुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। आप किसी नियमित बहुभुज के चारों ओर एक वृत्त का भी वर्णन कर सकते हैं। अंतवृत्त और परिवृत्त का केंद्र एक नियमित बहुभुज के केंद्र पर स्थित होता है।
किसी भी परिबद्ध बहुभुज के लिए, अंकित वृत्त की त्रिज्या सूत्र का उपयोग करके पाई जा सकती है
जहाँ S बहुभुज का क्षेत्रफल है, p उसका अर्ध-परिधि है।
नियमित एन-गॉन - सूत्र
नियमित एन-गॉन की भुजा की लंबाई के लिए सूत्र
1. अंकित वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में एक नियमित एन-गॉन की भुजा के लिए सूत्र:
2. परिचालित वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में एक नियमित एन-गॉन की भुजा के लिए सूत्र:
एक नियमित एन-गॉन के अंतःवृत्त त्रिज्या के लिए सूत्र
पक्ष की लंबाई का उपयोग करके एन-गॉन के अंकित वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र:
4. खतना त्रिज्या सूत्र नियमित त्रिकोणपार्श्व लंबाई के माध्यम से:
6. अंकित वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में एक नियमित त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र: S = r 2 3√3
7. परिचालित वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में एक नियमित त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र:
4. भुजा की लंबाई के संदर्भ में एक नियमित चतुर्भुज की परित्रिज्या का सूत्र:
2. परित्रिज्या के संदर्भ में एक नियमित षट्भुज की भुजा के लिए सूत्र: a = R
3. भुजा की लंबाई के संदर्भ में एक नियमित षट्भुज के अंकित वृत्त की त्रिज्या का सूत्र:
6. अंकित वृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में एक नियमित षट्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र: S = r 2 2√3
7. परिवृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में एक नियमित षट्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र:
| एस= | आर 2 3√3 |
8. एक नियमित षट्भुज की भुजाओं के बीच का कोण: α = 120°
संख्या का अर्थ(उच्चारण "पाई") - गणितीय स्थिरांक, अनुपात के बराबर
किसी वृत्त की परिधि को उसके व्यास की लंबाई तक, इसे अनंत दशमलव अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है।
ग्रीक वर्णमाला के अक्षर "pi" से दर्शाया जाता है। पाई किसके बराबर है?में साधारण मामलेपहले 3 संकेतों (3.14) को जानना ही काफी है।
53. n° के केंद्रीय कोण के संगत R त्रिज्या वाले वृत्त के चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए
एक चाप द्वारा अंतरित केंद्रीय कोण जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है, 1 रेडियन का कोण कहलाता है।
1 रेडियन के कोण का डिग्री माप है:
चाप की लंबाई के बाद से π
आर (अर्धवृत्त), घटाता है केंद्रीय कोण 180 पर °
, तो लंबाई R का एक चाप कोण को अंतरित करता है π
गुना छोटा, यानी 
और इसके विपरीत
क्योंकि π = 3.14, फिर 1 रेड = 57.3°
यदि कोण में शामिल है एरेडियन, फिर यह डिग्री मापके बराबर 
और इसके विपरीत 
आमतौर पर, किसी कोण की माप को रेडियन में दर्शाते समय, "रेड" नाम छोड़ दिया जाता है।
उदाहरण के लिए, 360° = 2π रेड, वे लिखते हैं 360° = 2π
तालिका सबसे आम दिखाती है कोण डिग्री और रेडियन में.