भुजाओं से होकर गुजरने वाले समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल: गणना कैसे करें, सूत्र

13.10.2019

पिछले वर्ष की एकीकृत राज्य परीक्षा और राज्य परीक्षा के अभ्यास से पता चलता है कि ज्यामिति की समस्याएँ कई स्कूली बच्चों के लिए कठिनाइयाँ पैदा करती हैं। यदि आप सभी आवश्यक सूत्रों को याद रखते हैं और समस्याओं को हल करने का अभ्यास करते हैं तो आप आसानी से उनका सामना कर सकते हैं।

इस लेख में आप समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र, साथ ही समाधान वाली समस्याओं के उदाहरण देखेंगे। प्रमाणन परीक्षाओं के दौरान या ओलंपियाड में आपको केआईएम में ये समान मिल सकते हैं। इसलिए, उनके साथ सावधानी से व्यवहार करें।

ट्रैपेज़ॉइड के बारे में आपको क्या जानने की आवश्यकता है?

आरंभ करने के लिए, आइए इसे याद रखें चतुर्भुजचतुर्भुज को चतुर्भुज कहा जाता है जिसमें दो विपरीत भुजाएँ, जिन्हें आधार भी कहा जाता है, समानांतर होती हैं, और अन्य दो नहीं होती हैं।

एक ट्रेपेज़ॉइड में, ऊँचाई (आधार से लंबवत) को भी कम किया जा सकता है। संचालित मध्य रेखा- यह एक सीधी रेखा है जो आधारों के समानांतर है और उनके योग के आधे के बराबर है। साथ ही विकर्ण जो प्रतिच्छेद कर सकते हैं, न्यून और अधिक कोण बनाते हैं। या, कुछ मामलों में, समकोण पर। इसके अलावा, यदि समलम्बाकार समद्विबाहु है, तो इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। और इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें।

समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र

सबसे पहले, आइए एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के मानक सूत्रों को देखें। हम नीचे समद्विबाहु और वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के तरीकों पर विचार करेंगे।

तो, कल्पना करें कि आपके पास आधार ए और बी के साथ एक ट्रेपेज़ॉइड है, जिसमें ऊंचाई एच को बड़े आधार से कम किया गया है। इस मामले में किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना नाशपाती के गोले जितना आसान है। आपको बस आधारों की लंबाई के योग को दो से विभाजित करना होगा और परिणाम को ऊंचाई से गुणा करना होगा: एस = 1/2(ए + बी)*एच.

चलिए एक और मामला लेते हैं: मान लीजिए कि एक ट्रेपेज़ॉइड में, ऊंचाई के अलावा, एक मध्य रेखा एम है। हम मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र जानते हैं: m = 1/2(a + b)। इसलिए, हम समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र को निम्नलिखित रूप में सरल रूप से सरल बना सकते हैं: एस = एम* एच. दूसरे शब्दों में, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको केंद्र रेखा को ऊँचाई से गुणा करना होगा।

आइए एक अन्य विकल्प पर विचार करें: ट्रेपेज़ॉइड में विकर्ण डी 1 और डी 2 हैं, जो समकोण α पर प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। ऐसे समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको विकर्णों के गुणनफल को दो से विभाजित करना होगा और परिणाम को उनके बीच के कोण के पाप से गुणा करना होगा: एस= 1/2डी 1 डी 2 *sinα.

अब एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र पर विचार करें यदि इसके बारे में इसकी सभी भुजाओं की लंबाई के अलावा कुछ भी ज्ञात नहीं है: ए, बी, सी और डी। यह भारी है और जटिल सूत्र, लेकिन इसे याद रखना आपके लिए उपयोगी होगा, बस इस स्थिति में: एस = 1/2(ए + बी) * √सी 2 - ((1/2(बी - ए)) * ((बी - ए) 2 + सी 2 - डी 2)) 2.

वैसे, उपरोक्त उदाहरण उस स्थिति के लिए भी सत्य हैं जब आपको एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र की आवश्यकता होती है। यह एक समलम्ब चतुर्भुज है, जिसका किनारा समकोण पर आधारों से जुड़ता है।

समद्विबाहु समलम्बाकार

समलम्बाकार, दोनों पक्षजो बराबर होते हैं उन्हें समद्विबाहु कहते हैं। हम समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र के लिए कई विकल्पों पर विचार करेंगे।

पहला विकल्प: उस स्थिति के लिए जब त्रिज्या r वाला एक वृत्त एक समद्विबाहु समलम्बाकार के अंदर अंकित होता है, और पक्ष और बड़ा आधार बनता है तीव्र कोणα. एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, बशर्ते कि उसके आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर हो।

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार की जाती है: अंकित वृत्त की त्रिज्या के वर्ग को चार से गुणा करें और इसे पाप से विभाजित करें: S = 4r 2 /sinα. एक अन्य क्षेत्र सूत्र उस विकल्प के लिए एक विशेष मामला है जब बड़े आधार और किनारे के बीच का कोण 30 0 है: एस = 8आर2.

दूसरा विकल्प: इस बार हम एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज लेते हैं, जिसमें विकर्ण d 1 और d 2 के अलावा ऊँचाई h भी खींची जाती है। यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो ऊँचाई आधारों के योग की आधी है: h = 1/2(a + b)। यह जानने के बाद, ट्रैपेज़ॉइड के क्षेत्र के लिए सूत्र को इस रूप में बदलना आसान है जो पहले से ही आपसे परिचित है: एस = एच 2.

एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र

आइए यह पता लगाकर शुरू करें कि घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड क्या है। एक समन्वय अक्ष और एक सतत और गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन f के ग्राफ़ की कल्पना करें जो x-अक्ष पर दिए गए खंड के भीतर चिह्न नहीं बदलता है। एक वक्रीय समलम्बाकार फलन y = f(x) के ग्राफ द्वारा बनता है - शीर्ष पर, x अक्ष नीचे (खंड) पर है, और किनारों पर - बिंदु a और b और ग्राफ के बीच खींची गई सीधी रेखाएँ हैं समारोह.

उपरोक्त विधियों का उपयोग करके ऐसी गैर-मानक आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना असंभव है। यहां आपको गणितीय विश्लेषण लागू करने और इंटीग्रल का उपयोग करने की आवश्यकता है। अर्थात्: न्यूटन-लीबनिज सूत्र - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). इस सूत्र में, F चयनित खंड पर हमारे फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन है। और क्षेत्र घुमावदार समलम्बाकारकिसी दिए गए खंड पर प्रतिअवकलन की वृद्धि से मेल खाती है।

नमूना समस्याएँ

इन सभी सूत्रों को आपके दिमाग में समझना आसान बनाने के लिए, यहां समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्याओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। यह सबसे अच्छा होगा यदि आप पहले स्वयं समस्याओं को हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही प्राप्त उत्तर की तुलना तैयार समाधान से करें।

कार्य #1:एक समलम्ब चतुर्भुज दिया गया है। इसका बड़ा आधार 11 सेमी, छोटा 4 सेमी है। ट्रेपेज़ॉइड में विकर्ण हैं, एक 12 सेमी लंबा, दूसरा 9 सेमी।

समाधान: एक समलम्ब चतुर्भुज AMRS का निर्माण करें। शीर्ष P से होकर एक सीधी रेखा РХ खींचिए ताकि वह विकर्ण MC के समानांतर हो और सीधी रेखा AC को बिंदु X पर प्रतिच्छेद करे। आपको एक त्रिभुज APХ मिलेगा।

हम इन जोड़तोड़ों के परिणामस्वरूप प्राप्त दो आंकड़ों पर विचार करेंगे: त्रिभुज APX और समांतर चतुर्भुज CMRX।

समांतर चतुर्भुज के लिए धन्यवाद, हम सीखते हैं कि PX = MC = 12 सेमी और CX = MR = 4 सेमी। जहाँ से हम त्रिभुज ARX की भुजा AX की गणना कर सकते हैं: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 सेमी।

हम यह भी सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज APX समकोण है (ऐसा करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय - AX 2 = AP 2 + PX 2 लागू करें)। और इसके क्षेत्रफल की गणना करें: एस एपीएक्स = 1/2(एपी * पीएक्स) = 1/2(9 * 12) = 54 सेमी 2।

आगे आपको यह साबित करना होगा कि त्रिकोण एएमपी और पीसीएक्स आकार में बराबर हैं। आधार एमआर और सीएक्स (पहले से ही ऊपर सिद्ध) पार्टियों की समानता होगी। और इन किनारों पर आप जो ऊंचाई कम करते हैं - वे एएमआरएस ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई के बराबर हैं।

यह सब आपको यह कहने की अनुमति देगा कि एस एएमपीसी = एस एपीएक्स = 54 सेमी 2।

कार्य #2:समलम्बाकार KRMS दिया गया है। इसके पार्श्व पक्षों पर बिंदु O और E हैं, जबकि OE और KS समानांतर हैं। यह भी ज्ञात है कि समलम्बाकार ORME और OKSE का क्षेत्रफल 1:5 के अनुपात में है। आरएम = ए और केएस = बी। आपको OE ढूंढ़ना होगा.

समाधान: बिंदु M के माध्यम से RK के समानांतर एक रेखा खींचें, और OE के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को T के रूप में निर्दिष्ट करें। A, आधार KS के साथ RK के समानांतर बिंदु E के माध्यम से खींची गई रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए एक और संकेतन का परिचय दें - OE = x। और त्रिभुज TME के लिए ऊँचाई h 1 और त्रिभुज AEC के लिए ऊँचाई h 2 (आप स्वतंत्र रूप से इन त्रिभुजों की समानता साबित कर सकते हैं)।

हम मान लेंगे कि b > a. समलम्ब चतुर्भुज ORME और OKSE का क्षेत्रफल 1:5 के अनुपात में है, जो हमें निम्नलिखित समीकरण बनाने का अधिकार देता है: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a))।

चूँकि त्रिभुज TME और AEC समरूप हैं, हमारे पास h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x) है। आइए दोनों प्रविष्टियों को संयोजित करें और प्राप्त करें: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

इस प्रकार, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6।

निष्कर्ष

ज्यामिति विज्ञान सबसे आसान नहीं है, लेकिन आप निश्चित रूप से परीक्षा के प्रश्नों का सामना कर सकते हैं। तैयारी में थोड़ी सी दृढ़ता दिखाने के लिए यह काफी है। और, निःसंदेह, सभी आवश्यक सूत्र याद रखें।

हमने समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सभी सूत्रों को एक स्थान पर एकत्रित करने का प्रयास किया ताकि आप परीक्षा की तैयारी करते समय और सामग्री को दोहराते समय उनका उपयोग कर सकें।

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एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल. अभिवादन! इस प्रकाशन में हम इस सूत्र को देखेंगे। आखिर वह ऐसी क्यों है और उसे कैसे समझें। अगर समझ है तो उसे सिखाने की जरूरत नहीं है. यदि आप केवल इस फॉर्मूले को देखना चाहते हैं और तत्काल चाहते हैं, तो आप तुरंत पृष्ठ को नीचे स्क्रॉल कर सकते हैं))

अब विस्तार से और क्रम से.

एक समलंब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है, इस चतुर्भुज की दो भुजाएँ समानांतर हैं, अन्य दो नहीं हैं। जो समानांतर नहीं हैं वे समलम्ब चतुर्भुज के आधार हैं। अन्य दो को भुजाएँ कहा जाता है।

यदि भुजाएँ समान हों, तो समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु कहा जाता है। यदि कोई एक भुजा आधारों पर लंबवत है, तो ऐसे समलम्ब चतुर्भुज को आयताकार कहा जाता है।

अपने क्लासिक रूप में, एक ट्रेपेज़ॉइड को इस प्रकार दर्शाया गया है - बड़ा आधार क्रमशः नीचे है, छोटा आधार शीर्ष पर है। लेकिन कोई भी उसका चित्रण करने से मना नहीं करता और इसके विपरीत भी। यहाँ रेखाचित्र हैं:

अगली महत्वपूर्ण अवधारणा.
ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा एक खंड है जो पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है। मध्य रेखा समलम्ब चतुर्भुज के आधारों के समानांतर और उनके आधे योग के बराबर है।

अब आइए गहराई से जानें। ऐसा क्यों है?

आधारों वाले एक समलम्ब चतुर्भुज पर विचार करें ए और बीऔर मध्य रेखा के साथ एल, और आइए कुछ अतिरिक्त निर्माण करें: आधारों के माध्यम से सीधी रेखाएं खींचें, और मध्य रेखा के सिरों के माध्यम से लंबवत तब तक खींचें जब तक कि वे आधारों के साथ प्रतिच्छेद न करें:

*अनावश्यक पदनामों से बचने के लिए शीर्षों और अन्य बिंदुओं के लिए अक्षर पदनाम जानबूझकर शामिल नहीं किए गए हैं।

देखिए, त्रिभुजों की समानता के दूसरे चिह्न के अनुसार त्रिभुज 1 और 2 बराबर हैं, त्रिभुज 3 और 4 भी समान हैं। त्रिभुजों की समानता से तत्वों की समानता का पता चलता है, अर्थात् पैर (उन्हें क्रमशः नीले और लाल रंग में दर्शाया गया है)।

अब ध्यान दें! यदि हम मानसिक रूप से निचले आधार से नीले और लाल खंडों को "काट" देते हैं, तो हमारे पास मध्य रेखा के बराबर एक खंड (यह आयत का किनारा है) रह जाएगा। इसके बाद, यदि हम कटे हुए नीले और लाल खंडों को ट्रेपेज़ॉइड के ऊपरी आधार पर "गोंद" देते हैं, तो हमें ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा के बराबर एक खंड (यह आयत का पक्ष भी है) मिलेगा।

समझ गया? इससे पता चलता है कि आधारों का योग समलम्ब चतुर्भुज की दो मध्य रेखाओं के बराबर होगा:

एक और स्पष्टीकरण देखें

आइए निम्नलिखित कार्य करें - ट्रेपेज़ॉइड के निचले आधार से गुजरने वाली एक सीधी रेखा बनाएं और एक सीधी रेखा बनाएं जो बिंदु ए और बी से होकर गुजरेगी:

हमें त्रिभुज 1 और 2 मिलते हैं, वे भुजाओं और आसन्न कोणों के अनुदिश बराबर होते हैं (त्रिकोणों की समानता का दूसरा चिह्न)। इसका मतलब यह है कि परिणामी खंड (स्केच में इसे नीले रंग में दर्शाया गया है) ट्रेपेज़ॉइड के ऊपरी आधार के बराबर है।

अब त्रिभुज पर विचार करें:

*इस समलंब की मध्य रेखा और त्रिभुज की मध्य रेखा संपाती हैं।

यह ज्ञात है कि एक त्रिभुज अपने समानांतर आधार के आधे के बराबर होता है, अर्थात:

ठीक है, हमने इसका पता लगा लिया। अब समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बारे में।

समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र:

वे कहते हैं: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है।

अर्थात्, यह पता चलता है कि यह केंद्र रेखा और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर है:

आपने शायद पहले ही नोटिस कर लिया होगा कि यह स्पष्ट है। ज्यामितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: यदि हम मानसिक रूप से त्रिभुज 2 और 4 को समलंब से काट दें और उन्हें क्रमशः त्रिभुज 1 और 3 पर रखें:

तब हमें क्षेत्रफल में एक आयत मिलता है क्षेत्रफल के बराबरहमारा समलम्बाकार. इस आयत का क्षेत्रफल केंद्र रेखा और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होगा, अर्थात हम लिख सकते हैं:

लेकिन बेशक यहां बात लिखने की नहीं, बल्कि समझने की है।

लेख सामग्री को *पीडीएफ प्रारूप में डाउनलोड करें (देखें)।

बस इतना ही। आप सौभाग्यशाली हों!

सादर, अलेक्जेंडर।

निर्देश

दोनों विधियों को अधिक समझने योग्य बनाने के लिए, हम कुछ उदाहरण दे सकते हैं।

उदाहरण 1: समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा की लंबाई 10 सेमी है, इसका क्षेत्रफल 100 सेमी² है। इस समलंब की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, आपको यह करना होगा:

एच = 100/10 = 10 सेमी

उत्तर: इस समलंब की ऊंचाई 10 सेमी है

उदाहरण 2: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 100 सेमी² है, आधारों की लंबाई 8 सेमी और 12 सेमी है। इस समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, आपको निम्नलिखित क्रिया करने की आवश्यकता है:

एच = (2*100)/(8+12) = 200/20 = 10 सेमी

उत्तर: इस समलंब की ऊंचाई 20 सेमी है

कृपया ध्यान

ट्रेपेज़ॉइड कई प्रकार के होते हैं:
समद्विबाहु समलम्ब एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं।
एक समकोण समलम्ब चतुर्भुज एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसका एक आंतरिक कोण 90 डिग्री मापता है।
यह ध्यान देने योग्य है कि एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड में ऊंचाई पक्ष की लंबाई के साथ मेल खाती है समकोण.
आप एक समलम्ब चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त खींच सकते हैं, या इसे किसी दिए गए चित्र के अंदर फिट कर सकते हैं। आप किसी वृत्त को तभी अंकित कर सकते हैं जब उसके आधारों का योग उसकी विपरीत भुजाओं के योग के बराबर हो। एक वृत्त को केवल एक समद्विबाहु समलंब के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है।

उपयोगी सलाह

एक समांतर चतुर्भुज एक समलंब चतुर्भुज का एक विशेष मामला है, क्योंकि एक सम चतुर्भुज की परिभाषा किसी भी तरह से समांतर चतुर्भुज की परिभाषा का खंडन नहीं करती है। समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं। एक समलम्ब चतुर्भुज के लिए, परिभाषा केवल उसकी भुजाओं के एक जोड़े से संबंधित है। इसलिए, कोई भी समांतर चतुर्भुज भी एक समलम्ब चतुर्भुज होता है। उलटा कथन सत्य नहीं है.

स्रोत:

समलम्ब चतुर्भुज सूत्र का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

युक्ति 2: यदि क्षेत्रफल ज्ञात है तो समलम्ब चतुर्भुज की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

समलंब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी चार में से दो भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं। समानांतर भुजाएँये इसके आधार हैं, बाकी दो इसके किनारे हैं ट्रेपेज़ोइड्स. खोजो ऊंचाई ट्रेपेज़ोइड्स, यदि ज्ञात हो वर्ग, यह बहुत आसान होगा.

निर्देश

आपको यह पता लगाना होगा कि गणना कैसे करें वर्गमूल ट्रेपेज़ोइड्स. प्रारंभिक डेटा के आधार पर इसके लिए कई सूत्र हैं: S = ((a+b)*h)/2, जहां a और b आधार हैं ट्रेपेज़ोइड्स, और h इसकी ऊंचाई (ऊंचाई) है ट्रेपेज़ोइड्स- लंबवत, एक आधार से उतारा हुआ ट्रेपेज़ोइड्सदूसरे करने के लिए);
S = m*h, जहाँ m रेखा है ट्रेपेज़ोइड्स(मध्य रेखा आधारों वाला एक खंड है ट्रेपेज़ोइड्सऔर इसकी भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ना)।

इसे स्पष्ट करने के लिए, समान समस्याओं पर विचार किया जा सकता है: उदाहरण 1: एक समलम्ब चतुर्भुज दिया गया है वर्ग 68 सेमी², जिसकी मध्य रेखा 8 सेमी है, आपको खोजने की आवश्यकता है ऊंचाईदिया गया ट्रेपेज़ोइड्स. इस समस्या को हल करने के लिए, आपको पहले व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
h = 68/8 = 8.5 सेमी उत्तर: इसकी ऊंचाई ट्रेपेज़ोइड्स 8.5 सेमी है उदाहरण 2: मान लीजिए y ट्रेपेज़ोइड्स वर्गइसके आधारों की लंबाई 120 सेमी² के बराबर है ट्रेपेज़ोइड्सआपको क्रमशः 8 सेमी और 12 सेमी खोजने की आवश्यकता है ऊंचाईयह ट्रेपेज़ोइड्स. ऐसा करने के लिए, आपको व्युत्पन्न सूत्रों में से एक को लागू करना होगा:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 सेमीउत्तर: दी गई ऊंचाई ट्रेपेज़ोइड्स 12 सेमी के बराबर

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कृपया ध्यान

किसी भी ट्रेपेज़ॉइड में कई गुण होते हैं:

एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा उसके आधारों के योग के आधे के बराबर होती है;

वह खंड जो किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों को जोड़ता है, उसके आधारों के आधे अंतर के बराबर होता है;

यदि आधारों के मध्य बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जाती है, तो यह समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु को काटेगी;

एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है यदि समलम्ब चतुर्भुज के आधारों का योग उसकी भुजाओं के योग के बराबर हो।

समस्याओं को हल करते समय इन गुणों का उपयोग करें।

टिप 3: यदि आधार ज्ञात हैं तो समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

द्वारा ज्यामितीय परिभाषासमलंब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी केवल एक जोड़ी भुजाएँ समानांतर होती हैं। ये किनारे उसके हैं कारण. के बीच की दूरी कारणऊंचाई कहलाती है ट्रेपेज़ोइड्स. खोजो वर्ग ट्रेपेज़ोइड्सका उपयोग संभव है ज्यामितीय सूत्र.

निर्देश

आधारों को मापें और ट्रेपेज़ोइड्सए बी सी डी। आमतौर पर इन्हें कार्यों में दिया जाता है. भीतर आएं इस उदाहरण मेंकार्य फाउंडेशन एडी (ए) ट्रेपेज़ोइड्स 10 सेमी के बराबर होगा, आधार बीसी (बी) - 6 सेमी, ऊंचाई ट्रेपेज़ोइड्सबीके (एच) - 8 सेमी क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ज्यामितीय का उपयोग करें ट्रेपेज़ोइड्स, यदि इसके आधारों की लंबाई और ऊंचाई ज्ञात हो - S= 1/2 (a+b)*h, जहां: - a - आधार AD का आकार ट्रेपेज़ोइड्सएबीसीडी, - बी - आधार बीसी का मूल्य, - एच - ऊंचाई बीके का मूल्य।

ट्रैपेज़ॉइड के बारे में आपको क्या जानने की आवश्यकता है?

एक ट्रेपेज़ॉइड में, ऊँचाई (आधार से लंबवत) को भी कम किया जा सकता है। मध्य रेखा खींची गई है - यह एक सीधी रेखा है जो आधारों के समानांतर है और उनके योग के आधे के बराबर है। साथ ही विकर्ण जो प्रतिच्छेद कर सकते हैं, न्यून और अधिक कोण बनाते हैं। या, कुछ मामलों में, समकोण पर। इसके अलावा, यदि समलम्बाकार समद्विबाहु है, तो इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। और इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें।

समलम्ब चतुर्भुज क्षेत्र सूत्र

अब एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र पर विचार करें यदि इसके बारे में इसकी सभी भुजाओं की लंबाई के अलावा कुछ भी ज्ञात नहीं है: ए, बी, सी और डी। यह एक बोझिल और जटिल सूत्र है, लेकिन इसे याद रखना आपके लिए उपयोगी होगा: एस = 1/2(ए + बी) * √सी 2 - ((1/2(बी - ए)) * ((बी - ए) 2 + सी 2 - डी 2)) 2.

समद्विबाहु समलम्बाकार

एक समलम्ब चतुर्भुज जिसकी भुजाएँ बराबर होती हैं, समद्विबाहु कहलाता है। हम समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र के लिए कई विकल्पों पर विचार करेंगे।

पहला विकल्प: उस स्थिति के लिए जब त्रिज्या r वाला एक वृत्त एक समद्विबाहु समलम्बाकार के अंदर अंकित होता है, और पक्ष और बड़ा आधार एक न्यून कोण α बनाते हैं। एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, बशर्ते कि उसके आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर हो।

एक घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र

उपरोक्त विधियों का उपयोग करके ऐसी गैर-मानक आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना असंभव है। यहां आपको गणितीय विश्लेषण लागू करने और इंटीग्रल का उपयोग करने की आवश्यकता है। अर्थात्: न्यूटन-लीबनिज सूत्र - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). इस सूत्र में, F चयनित खंड पर हमारे फ़ंक्शन का प्रतिअवकलन है। और एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र किसी दिए गए खंड पर एंटीडेरिवेटिव की वृद्धि से मेल खाता है।

नमूना समस्याएँ

यह सब आपको यह कहने की अनुमति देगा कि एस एएमपीसी = एस एपीएक्स = 54 सेमी 2।

इस प्रकार, OE = x = √(5a 2 + b 2)/6।

निष्कर्ष

इस लेख के बारे में सोशल नेटवर्क पर अपने सहपाठियों और दोस्तों को अवश्य बताएं। एकीकृत राज्य परीक्षा और राज्य परीक्षाओं के लिए और अधिक अच्छे ग्रेड होने दें!

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बहु-पक्षीय समलम्बाकार... यह मनमाना, समद्विबाहु या आयताकार हो सकता है। और प्रत्येक मामले में आपको यह जानना होगा कि समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। बेशक, सबसे आसान तरीका बुनियादी सूत्रों को याद रखना है। लेकिन कभी-कभी किसी विशेष ज्यामितीय आकृति की सभी विशेषताओं को ध्यान में रखकर बनाई गई आकृति का उपयोग करना आसान होता है।

समलम्ब चतुर्भुज और उसके तत्वों के बारे में कुछ शब्द

कोई भी चतुर्भुज जिसकी दोनों भुजाएँ समानांतर हों, समलम्ब चतुर्भुज कहलाता है। सामान्य तौर पर, वे समान नहीं होते हैं और आधार कहलाते हैं। बड़ा वाला निचला वाला है, और दूसरा ऊपरी वाला है।

अन्य दो पक्ष पार्श्विक हो जाते हैं। एक मनमाने समलम्ब चतुर्भुज में उनकी अलग-अलग लंबाई होती है। यदि वे बराबर हैं, तो आकृति समद्विबाहु बन जाती है।

यदि अचानक किसी भुजा और आधार के बीच का कोण 90 डिग्री के बराबर हो जाए, तो समलंब आयताकार होता है।

ये सभी सुविधाएँ किसी समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या को हल करने में मदद कर सकती हैं।

आकृति के उन तत्वों में से जो समस्याओं को हल करने में अपरिहार्य हो सकते हैं, हम निम्नलिखित पर प्रकाश डाल सकते हैं:

ऊँचाई, अर्थात्, दोनों आधारों पर लंबवत एक खंड;
मध्य रेखा, जिसके सिरे पर पार्श्व भुजाओं के मध्यबिंदु होते हैं।

यदि आधार और ऊंचाई ज्ञात हो तो क्षेत्रफल की गणना के लिए किस सूत्र का उपयोग किया जा सकता है?

यह अभिव्यक्ति बुनियादी रूप में दी गई है क्योंकि अक्सर कोई इन मात्राओं को तब भी पहचान सकता है जब वे स्पष्ट रूप से नहीं दी गई हों। तो, यह समझने के लिए कि समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए, आपको दोनों आधारों को जोड़ना होगा और उन्हें दो से विभाजित करना होगा। फिर परिणामी मान को ऊंचाई मान से गुणा करें।

यदि हम आधारों को 1 और 2 के रूप में और ऊंचाई को n के रूप में नामित करते हैं, तो क्षेत्र का सूत्र इस तरह दिखेगा:

एस = ((ए 1 + ए 2)/2)*एन।

यदि इसकी ऊंचाई और केंद्र रेखा दी गई है तो क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र

यदि आप पिछले सूत्र को ध्यान से देखें, तो यह नोटिस करना आसान है कि इसमें स्पष्ट रूप से मध्य रेखा का मान शामिल है। अर्थात्, आधारों के योग को दो से विभाजित किया जाता है। मान लीजिए कि मध्य रेखा को अक्षर l द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, तो क्षेत्रफल का सूत्र बन जाता है:

एस = एल * एन.

विकर्णों का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात करने की क्षमता

यदि उनके द्वारा बनाया गया कोण ज्ञात हो तो यह विधि मदद करेगी। मान लीजिए कि विकर्णों को अक्षर d 1 और d 2 द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, और उनके बीच के कोण α और β हैं। फिर समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें इसका सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा:

एस = ((डी 1 * डी 2)/2) * पाप α।

आप इस अभिव्यक्ति में α को β से आसानी से बदल सकते हैं। नतीजा नहीं बदलेगा.

यदि आकृति की सभी भुजाएँ ज्ञात हों तो क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

ऐसी स्थितियाँ भी होती हैं जब इस आकृति के बिल्कुल किनारे ज्ञात होते हैं। यह सूत्र बोझिल है और याद रखना कठिन है। लेकिन यह संभव है. मान लीजिए कि पक्षों का पदनाम है: a 1 और a 2, आधार a 1, a 2 से बड़ा है। तब क्षेत्रफल सूत्र निम्नलिखित रूप लेगा:

एस = ((ए 1 + ए 2) / 2) * √ (1 2 में - [(ए 1 - ए 2) 2 + 1 2 में - 2 2 में) / (2 * (ए 1 - ए 2)) ] 2 ).

समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने की विधियाँ

पहला इस तथ्य के कारण है कि इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। और, इसकी त्रिज्या (इसे अक्षर r द्वारा निरूपित किया जाता है), साथ ही आधार पर कोण - γ को जानकर, आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

एस = (4 * आर 2) / पाप γ।

अंतिम सामान्य सूत्र, जो आकृति के सभी पक्षों के ज्ञान पर आधारित है, इस तथ्य के कारण काफी सरल हो जाएगा कि पक्षों का अर्थ समान है:

एस = ((ए 1 + ए 2) / 2) * √ (2 में - [(ए 1 - ए 2) 2 / (2 * (ए 1 - ए 2))] 2 ).

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने की विधियाँ

यह स्पष्ट है कि उपरोक्त में से कोई भी इसके लिए उपयुक्त होगा कोई भी आंकड़ा. लेकिन कभी-कभी ऐसे ट्रेपेज़ॉइड की एक विशेषता के बारे में जानना उपयोगी होता है। यह इस तथ्य में निहित है कि विकर्णों की लंबाई के वर्गों के बीच का अंतर आधारों के वर्गों से बने अंतर के बराबर है।

अक्सर समलम्ब चतुर्भुज के सूत्र भूल जाते हैं, जबकि आयत और त्रिभुज के क्षेत्रफलों के भाव याद रहते हैं। फिर आप एक सरल विधि का उपयोग कर सकते हैं. ट्रेपेज़ॉइड को दो आकारों में विभाजित करें, यदि यह आयताकार है, या तीन। एक निश्चित रूप से एक आयत होगा, और दूसरा, या शेष दो, त्रिकोण होंगे। इन आंकड़ों के क्षेत्रफल की गणना करने के बाद, जो कुछ बचता है वह उन्हें जोड़ना है।

आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का यह काफी सरल तरीका है।

यदि समलम्ब चतुर्भुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात हों तो क्या होगा?

इस मामले में, आपको एक अभिव्यक्ति का उपयोग करने की आवश्यकता होगी जो आपको बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने की अनुमति देती है। इसे तीन बार लागू किया जा सकता है: दोनों आधारों और एक ऊंचाई का पता लगाने के लिए। और फिर बस पहला सूत्र लागू करें, जिसका वर्णन थोड़ा ऊपर किया गया है।

इस विधि को स्पष्ट करने के लिए निम्नलिखित उदाहरण दिया जा सकता है। निर्देशांक A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1) के साथ शीर्ष दिए गए हैं। आपको आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा।

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने से पहले, आपको निर्देशांक से आधारों की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है। आपको निम्नलिखित सूत्र की आवश्यकता होगी:

खंड की लंबाई = √((अंकों के पहले निर्देशांक का अंतर) 2 + (अंकों के दूसरे निर्देशांक का अंतर) 2 ).

ऊपरी आधार को AB नामित किया गया है, जिसका अर्थ है कि इसकी लंबाई √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3 के बराबर होगी। निचला आधार CD = √ ((10-1) है 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

अब आपको ऊपर से आधार तक ऊंचाई खींचने की जरूरत है। मान लीजिए इसकी शुरुआत बिंदु A पर होती है। खंड का अंत निर्देशांक (5; 1) वाले बिंदु पर निचले आधार पर होगा, मान लीजिए यह बिंदु H है। खंड AN की लंबाई √((5) के बराबर होगी -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

जो कुछ बचा है वह परिणामी मानों को एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्र के सूत्र में प्रतिस्थापित करना है:

एस = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36।

समस्या को माप की इकाइयों के बिना हल किया गया था, क्योंकि समन्वय ग्रिड का पैमाना निर्दिष्ट नहीं किया गया था। यह या तो एक मिलीमीटर या एक मीटर हो सकता है।

नमूना समस्याएँ

नंबर 1. शर्त.एक मनमाने समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के बीच का कोण 30 डिग्री के बराबर होता है। छोटे विकर्ण का मान 3 डीएम है, और दूसरा 2 गुना बड़ा है। समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है।

समाधान।सबसे पहले आपको दूसरे विकर्ण की लंबाई ज्ञात करनी होगी, क्योंकि इसके बिना उत्तर की गणना करना संभव नहीं होगा। गणना करना कठिन नहीं है, 3 * 2 = 6 (डीएम)।

अब आपको क्षेत्रफल के लिए उपयुक्त सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

एस = ((3 * 6) / 2) * पाप 30º = 18/2 * ½ = 4.5 (डीएम 2)। समस्या हल हो गई है.

उत्तर:समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 4.5 dm2 है।

नंबर 2. शर्त.समलम्ब चतुर्भुज ABCD में, आधार खंड AD और BC हैं। बिंदु E, SD पक्ष का मध्य है। इससे सीधी रेखा AB पर एक लंब खींचा जाता है, इस खंड का अंत अक्षर H द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। यह ज्ञात है कि लंबाई AB और EH क्रमशः 5 और 4 सेमी के बराबर हैं, क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है समलम्बाकार का.

समाधान।सबसे पहले आपको एक ड्राइंग बनाने की आवश्यकता है। चूँकि लम्ब का मान उस तरफ से कम है जिस तरफ इसे खींचा गया है, ट्रेपेज़ॉइड थोड़ा ऊपर की ओर लम्बा होगा। तो EH आकृति के अंदर होगा।

समस्या के समाधान की प्रगति को स्पष्ट रूप से देखने के लिए, आपको अतिरिक्त निर्माण करने की आवश्यकता होगी। अर्थात्, एक सीधी रेखा खींचिए जो भुजा AB के समानांतर होगी। AD के साथ इस रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु P हैं, और BC की निरंतरता के साथ X हैं। परिणामी आकृति VHRA एक समांतर चतुर्भुज है। इसके अलावा, इसका क्षेत्रफल आवश्यक क्षेत्रफल के बराबर है। यह इस तथ्य के कारण है कि अतिरिक्त निर्माण के दौरान प्राप्त त्रिकोण बराबर हैं। यह भुजा और उससे सटे दो कोणों की समानता से होता है, एक ऊर्ध्वाधर, दूसरा आड़ा पड़ा हुआ।

आप एक सूत्र का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं जिसमें भुजा का गुणनफल और उस पर नीचे की ऊँचाई शामिल होती है।

इस प्रकार, समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 5 * 4 = 20 सेमी 2 है।

उत्तर:एस = 20 सेमी 2.

क्रमांक 3. शर्त.एक समद्विबाहु समलम्बाकार के तत्वों में निम्नलिखित मान होते हैं: निचला आधार - 14 सेमी, ऊपरी - 4 सेमी, न्यून कोण - 45º। आपको इसके क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है।

समाधान।मान लीजिए कि छोटे आधार को BC नामित किया गया है। बिंदु B से खींची गई ऊँचाई VH कहलाएगी। चूँकि कोण 45º है, त्रिभुज ABH आयताकार और समद्विबाहु होगा। तो एएन=वीएन. इसके अलावा, एएन को ढूंढना बहुत आसान है। यह आधारों के अंतर के आधे के बराबर है। अर्थात् (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (सेमी)।

आधार ज्ञात हैं, ऊँचाई की गणना की जाती है। आप पहले सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, जिस पर यहां एक मनमाने समलम्ब चतुर्भुज के लिए चर्चा की गई थी।

एस = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (सेमी 2)।

उत्तर:आवश्यक क्षेत्रफल 45 सेमी 2 है।

क्रमांक 4. शर्त.एक मनमाना समलम्बाकार ABCD है। इसके पार्श्व पक्षों पर बिंदु O और E लिए गए हैं, ताकि OE AD के आधार के समानांतर हो। एओईडी ट्रैपेज़ॉइड का क्षेत्रफल ओवीएसई से पांच गुना बड़ा है। यदि आधारों की लंबाई ज्ञात हो तो OE मान की गणना करें।

समाधान।आपको दो समानांतर रेखाएँ AB खींचने की आवश्यकता होगी: पहली बिंदु C से होकर, OE - बिंदु T के साथ इसका प्रतिच्छेदन; E से दूसरा और AD के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु M होगा।

माना अज्ञात OE=x. छोटे ट्रेपेज़ॉइड OVSE की ऊंचाई n 1 है, बड़े AOED की ऊंचाई n 2 है।

चूँकि इन दोनों समलम्ब चतुर्भुजों का क्षेत्रफल 1 से 5 के रूप में संबंधित है, हम निम्नलिखित समानता लिख सकते हैं:

(एक्स + ए 2) * एन 1 = 1/5 (एक्स + ए 1) * एन 2

एन 1 / एन 2 = (एक्स + ए 1) / (5 (एक्स + ए 2))।

त्रिभुजों की ऊँचाई और भुजाएँ निर्माण के अनुसार आनुपातिक होती हैं। इसलिए, हम एक और समानता लिख सकते हैं:

एन 1 / एन 2 = (एक्स - ए 2) / (ए 1 - एक्स)।

बाईं ओर की अंतिम दो प्रविष्टियों में समान मान हैं, जिसका अर्थ है कि हम लिख सकते हैं कि (x + a 1) / (5(x + a 2)) (x - a 2) / (a ) के बराबर है 1 - एक्स).

यहां अनेक परिवर्तनों की आवश्यकता है। सबसे पहले आड़े-तिरछे गुणा करें। वर्गों के अंतर को दर्शाने के लिए कोष्ठक दिखाई देंगे, इस सूत्र को लागू करने के बाद आपको एक संक्षिप्त समीकरण मिलेगा।

इसमें आपको कोष्ठक खोलने और अज्ञात "x" वाले सभी शब्दों को स्थानांतरित करने की आवश्यकता है बाईं तरफ, और फिर वर्गमूल लें।

उत्तर: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).