वेक्टर उदाहरण समाधानों का क्रॉस उत्पाद। वैक्टर, परिभाषा, गुणों का क्रॉस उत्पाद। सदिशों के सदिश गुणनफल के ज्यामितीय गुण

जाहिर है, एक सदिश उत्पाद के मामले में, सदिशों को लेने का क्रम मायने रखता है, इसके अलावा,

इसके अलावा, सीधे परिभाषा से यह पता चलता है कि किसी भी अदिश कारक k (संख्या) के लिए निम्नलिखित सत्य है:

संरेख सदिशों का क्रॉस उत्पाद शून्य सदिश के बराबर होता है। इसके अतिरिक्त, वेक्टर उत्पाददो सदिशों का मान शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि वे संरेख हों। (यदि उनमें से एक शून्य वेक्टर है, तो यह याद रखना आवश्यक है कि परिभाषा के अनुसार एक शून्य वेक्टर किसी भी वेक्टर के संरेख होता है)।

वेक्टर उत्पाद है वितरणात्मक संपत्ति, वह है

सदिश उत्पाद को सदिशों के निर्देशांकों के माध्यम से व्यक्त करना।

मान लीजिए दो सदिश दिए गए हैं

(किसी वेक्टर के आरंभ और अंत के निर्देशांक से उसके निर्देशांक कैसे ज्ञात करें - लेख वेक्टर का डॉट उत्पाद, आइटम डॉट उत्पाद की वैकल्पिक परिभाषा, या उनके निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट दो वैक्टर के डॉट उत्पाद की गणना देखें।)

आपको वेक्टर उत्पाद की आवश्यकता क्यों है?

क्रॉस उत्पाद का उपयोग करने के कई तरीके हैं, उदाहरण के लिए, जैसा कि ऊपर लिखा गया है, दो वैक्टर के क्रॉस उत्पाद की गणना करके आप पता लगा सकते हैं कि वे संरेख हैं या नहीं।

या इसका उपयोग इन वैक्टरों से निर्मित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की गणना करने के तरीके के रूप में किया जा सकता है। परिभाषा के आधार पर, परिणामी वेक्टर की लंबाई दिए गए समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।

भी विशाल राशिअनुप्रयोग विद्युत और चुंबकत्व में मौजूद हैं।

ऑनलाइन वेक्टर उत्पाद कैलकुलेटर।

इस कैलकुलेटर का उपयोग करके दो सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करने के लिए, आपको पहली पंक्ति में पहले सदिश के निर्देशांकों को क्रम में दर्ज करना होगा। दूसरा - दूसरा. सदिशों के निर्देशांकों की गणना उनके आरंभ और अंत के निर्देशांकों से की जा सकती है (लेख देखें)। वैक्टर का डॉट उत्पाद, आइटम डॉट उत्पाद की एक वैकल्पिक परिभाषा, या उनके निर्देशांक द्वारा दिए गए दो वैक्टर के डॉट उत्पाद की गणना।)

दिया गया ऑनलाइन कैलकुलेटरवैक्टर के क्रॉस उत्पाद की गणना करता है। दिया गया विस्तृत समाधान. वैक्टर के क्रॉस उत्पाद की गणना करने के लिए, कोशिकाओं में वैक्टर के निर्देशांक दर्ज करें और "गणना करें" बटन पर क्लिक करें।

×

चेतावनी

सभी कक्ष साफ़ करें?

साफ़ बंद करें

डाटा प्रविष्टि निर्देश.संख्याएँ पूर्णांक (उदाहरण: 487, 5, -7623, आदि), दशमलव (उदा. 67., 102.54, आदि) या भिन्न के रूप में दर्ज की जाती हैं। अंश को ए/बी के रूप में दर्ज किया जाना चाहिए, जहां ए और बी (बी>0) पूर्णांक या दशमलव संख्याएं हैं। उदाहरण 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, आदि।

सदिशों का सदिश गुणनफल

सदिशों के सदिश गुणनफल की परिभाषा पर आगे बढ़ने से पहले, आइए अवधारणाओं पर विचार करें क्रमित सदिश त्रिक, बायां सदिश त्रिक, दायां सदिश त्रिक.

परिभाषा 1. तीन सदिश कहलाते हैं ट्रिपल का आदेश दिया(या ट्रिपल), यदि यह इंगित किया जाए कि इनमें से कौन सा वेक्टर पहला है, कौन सा दूसरा है और कौन सा तीसरा है।

अभिलेख सीबीए- का अर्थ है - पहला एक वेक्टर है सी, दूसरा वेक्टर है बीऔर तीसरा वेक्टर है ए.

परिभाषा 2. गैर-समतलीय सदिशों का त्रिगुण एबीसीदाएँ (बाएँ) कहा जाता है यदि, जब कम किया जाए सामान्य शुरुआत, ये वैक्टर उसी तरह स्थित हैं जैसे दाएं (बाएं) हाथ की बड़ी, बिना मुड़ी हुई तर्जनी और मध्यमा उंगलियां क्रमशः स्थित होती हैं।

परिभाषा 2 को अलग ढंग से तैयार किया जा सकता है।

परिभाषा 2"। गैर-समतलीय सदिशों का त्रिगुण एबीसीदाएँ (बाएँ) कहा जाता है यदि, जब एक सामान्य मूल में घटाया जाता है, तो वेक्टर सीसदिशों द्वारा परिभाषित तल के दूसरी ओर स्थित है एऔर बी, सबसे छोटा मोड़ कहाँ से है एको बीवामावर्त (घड़ी की दिशा में) प्रदर्शन किया।

सदिशों की तिकड़ी एबीसी, चित्र में दिखाया गया है। 1 सही है, और तीन एबीसीचित्र में दिखाया गया है 2 बायां है.

यदि सदिशों के दो त्रिक दाएँ या बाएँ हैं, तो उन्हें एक ही दिशा वाला कहा जाता है। अन्यथा उन्हें विपरीत दिशा वाला कहा जाता है।

परिभाषा 3. एक कार्टेशियन या एफ़िन समन्वय प्रणाली को दाएं (बाएं) कहा जाता है यदि तीन आधार वैक्टर दाएं (बाएं) ट्रिपल बनाते हैं।

निश्चितता के लिए, निम्नलिखित में हम केवल दाएँ हाथ की समन्वय प्रणालियों पर विचार करेंगे।

परिभाषा 4. वेक्टर कलाकृतिवेक्टर एवेक्टर के लिए बीवेक्टर कहा जाता है साथ, प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है सी=[अब] (या सी=[ए,बी], या सी=ए×बी) और निम्नलिखित तीन आवश्यकताओं को पूरा करना:

• वेक्टर लंबाई साथसदिश लंबाई के गुणनफल के बराबर एऔर बीकोण की ज्या द्वारा φ उन दोनों के बीच:

|सी|=|[अब]|=|ए||बी|पापφ;

(1)

• वेक्टर साथप्रत्येक सदिश के लिए ओर्थोगोनल एऔर बी;
• वेक्टर सीनिर्देशित किया ताकि तीन एबीसीसही है।

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद में निम्नलिखित गुण होते हैं:

• [अब]=−[बी ० ए] (विरोधी क्रमपरिवर्तनशीलताकारक);
• [(λa)बी]=λ [अब] (संयोजनसंख्यात्मक कारक के सापेक्ष);
• [(ए+बी)सी]=[एसी]+[बीसी] (वितरणशीलतासदिशों के योग के सापेक्ष);
• [आ]=0 किसी भी वेक्टर के लिए ए.

सदिशों के सदिश गुणनफल के ज्यामितीय गुण

प्रमेय 1. दो सदिशों के संरेख होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनका सदिश गुणनफल शून्य के बराबर हो।

सबूत। आवश्यकता. वैक्टर चलो एऔर बीसंरेख. तब उनके बीच का कोण 0 या 180° और होता है पापφ=पाप180=पाप 0=0. इसलिए, अभिव्यक्ति (1) को ध्यान में रखते हुए, वेक्टर की लंबाई सीशून्य के बराबर. तब सीशून्य सदिश.

पर्याप्तता. मान लीजिए सदिशों का सदिश गुणनफल एऔर बीस्पष्ट रूप से शून्य: [ अब]=0. आइए हम सिद्ध करें कि सदिश एऔर बीसंरेख. यदि कम से कम एक वेक्टर एऔर बीशून्य, तो ये सदिश संरेख होते हैं (चूंकि शून्य सदिश की दिशा अनिश्चित होती है और इसे किसी भी सदिश के संरेख माना जा सकता है)।

यदि दोनों सदिश एऔर बीगैर-शून्य, फिर | ए|>0, |बी|>0. फिर से [ अब]=0 और (1) से यह इस प्रकार है पापφ=0. इसलिए सदिश एऔर बीसंरेख.

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 2. वेक्टर उत्पाद की लंबाई (मापांक) [ अब] क्षेत्रफल के बराबर है एससदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज एक सामान्य मूल तक कम हो गया एऔर बी.

सबूत। जैसा कि आप जानते हैं, एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल इस समांतर चतुर्भुज की आसन्न भुजाओं और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर होता है। इस तरह:

तब इन सदिशों के सदिश गुणनफल का रूप इस प्रकार होता है:

पहली पंक्ति के तत्वों पर निर्धारक का विस्तार करते हुए, हम वेक्टर का अपघटन प्राप्त करते हैं ए×बीआधार से मैं, जे, के, जो सूत्र (3) के बराबर है।

प्रमेय 3 का प्रमाण। आइए आधार सदिशों के सभी संभावित जोड़े बनाएं मैं, जे, केऔर उनके वेक्टर उत्पाद की गणना करें। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि आधार वैक्टर परस्पर ऑर्थोगोनल होते हैं, दाएं हाथ के त्रिक का निर्माण करते हैं और उनकी लंबाई इकाई होती है (दूसरे शब्दों में, हम मान सकते हैं कि मैं={1, 0, 0}, जे={0, 1, 0}, के=(0, 0, 1)). तब हमारे पास है:

अंतिम समानता और संबंध (4) से, हम प्राप्त करते हैं:

आइए एक 3x3 मैट्रिक्स बनाएं, जिसकी पहली पंक्ति आधार वेक्टर है मैं, जे, के,और शेष रेखाएँ सदिश तत्वों से भरी हैं एऔर बी:

इस प्रकार, सदिशों के सदिश गुणनफल का परिणाम एऔर बीएक वेक्टर होगा:

.

उदाहरण 2. सदिशों का सदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए [ अब], वेक्टर कहां है एदो बिंदुओं द्वारा दर्शाया गया। वेक्टर का प्रारंभिक बिंदु a: , वेक्टर का अंतिम बिंदु ए: , वेक्टर बीकी तरह लगता है .

समाधान: पहले वेक्टर को मूल बिंदु पर ले जाएँ। ऐसा करने के लिए, प्रारंभिक बिंदु के निर्देशांक को अंतिम बिंदु के संगत निर्देशांक से घटाएं:

आइए इस मैट्रिक्स को पहली पंक्ति के साथ विस्तारित करके इसके निर्धारक की गणना करें। इन गणनाओं का परिणाम सदिशों का सदिश गुणनफल है एऔर बी.

वेक्टर कलाकृतिदो कारकों से निर्मित एक विमान के लिए लंबवत एक छद्मवेक्टर है, जो त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वैक्टर पर बाइनरी ऑपरेशन "वेक्टर गुणन" का परिणाम है। वेक्टर उत्पाद में क्रमविनिमेयता और साहचर्यता के गुण नहीं होते हैं (यह एंटीकम्यूटेटिव है) और, वैक्टर के अदिश उत्पाद के विपरीत, एक वेक्टर है। कई इंजीनियरिंग और भौतिकी अनुप्रयोगों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, कोणीय गति और लोरेंत्ज़ बल को गणितीय रूप से एक वेक्टर उत्पाद के रूप में लिखा जाता है। क्रॉस उत्पाद वैक्टर की लंबवतता को "मापने" के लिए उपयोगी है - दो वैक्टर के क्रॉस उत्पाद का मापांक उनके मॉड्यूल के उत्पाद के बराबर होता है यदि वे लंबवत हैं, और यदि वेक्टर समानांतर या एंटीपैरलल हैं तो शून्य हो जाता है।

वेक्टर उत्पाद को अलग-अलग तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, और सैद्धांतिक रूप से, किसी भी आयाम n के स्थान में, कोई n-1 वैक्टर के उत्पाद की गणना कर सकता है, जिससे उन सभी के लिए लंबवत एक एकल वेक्टर प्राप्त हो सकता है। लेकिन यदि उत्पाद वेक्टर परिणामों के साथ गैर-तुच्छ बाइनरी उत्पादों तक सीमित है, तो पारंपरिक वेक्टर उत्पाद केवल त्रि-आयामी और सात-आयामी स्थानों में परिभाषित किया गया है। एक सदिश उत्पाद का परिणाम, एक अदिश उत्पाद की तरह, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के मीट्रिक पर निर्भर करता है।

त्रि-आयामी आयताकार समन्वय प्रणाली में निर्देशांक से स्केलर उत्पाद वैक्टर की गणना करने के सूत्र के विपरीत, क्रॉस उत्पाद का सूत्र आयताकार समन्वय प्रणाली के अभिविन्यास पर निर्भर करता है, या, दूसरे शब्दों में, इसकी "चिरालिटी"।

परिभाषा:
अंतरिक्ष R3 में वेक्टर a और वेक्टर b का वेक्टर उत्पाद एक वेक्टर c है जो निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करता है:
वेक्टर c की लंबाई वेक्टर a और b की लंबाई और उनके बीच के कोण की ज्या के गुणनफल के बराबर है:
|c|=|a||b|sin φ;
वेक्टर c प्रत्येक वेक्टर a और b के लिए ओर्थोगोनल है;
वेक्टर c को निर्देशित किया गया है ताकि वेक्टर abc का त्रिक दाएं हाथ का हो;
अंतरिक्ष R7 के मामले में, सदिशों a, b, c के त्रिगुण की साहचर्यता आवश्यक है।
पद का नाम:
सी===ए × बी

चावल। 1. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल सदिश गुणनफल के मापांक के बराबर होता है

एक क्रॉस उत्पाद के ज्यामितीय गुण:
दो अशून्य सदिशों की संरेखता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनका सदिश गुणनफल शून्य के बराबर हो।

क्रॉस उत्पाद मॉड्यूल क्षेत्र के बराबर है एससदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज एक सामान्य मूल तक कम हो गया एऔर बी(चित्र 1 देखें)।

अगर ई- सदिशों के लिए इकाई सदिश ओर्थोगोनल एऔर बीऔर इसलिए चुना कि तीन ए, बी, ई- ठीक है, और एसउन पर निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है (एक सामान्य मूल से कम), तो वेक्टर उत्पाद का सूत्र मान्य है:
=एस ई

अंक 2। सदिश और सदिशों के अदिश गुणनफल का उपयोग करके एक समांतर चतुर्भुज का आयतन; बिंदीदार रेखाएँवेक्टर सी का ए × बी पर और वेक्टर ए का बी × सी पर प्रक्षेपण दिखाएं, पहला कदम अदिश उत्पादों को ढूंढना है

अगर सी- कुछ वेक्टर, π - इस वेक्टर वाला कोई भी विमान, ई- विमान में पड़ा यूनिट वेक्टर π और ओर्थोगोनल को सी,जी- विमान के लिए यूनिट वेक्टर ऑर्थोगोनल π और निर्देशित किया ताकि वैक्टर का त्रिगुण ईसीजीसही है, फिर विमान में पड़े किसी भी व्यक्ति के लिए π वेक्टर एसूत्र सही है:
=पीआर ई ए |सी|जी
जहां P e a वेक्टर e का a पर प्रक्षेपण है
|सी|-वेक्टर सी का मापांक

वेक्टर और अदिश उत्पादों का उपयोग करते समय, आप एक सामान्य मूल में कम किए गए वैक्टर पर निर्मित समानांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना कर सकते हैं ए, बीऔर सी. तीन सदिशों के ऐसे गुणनफल को मिश्रित कहा जाता है।
V=|a (b×c)|
चित्र से पता चलता है कि यह आयतन दो तरीकों से पाया जा सकता है: ज्यामितीय परिणाम तब भी संरक्षित रहता है जब "स्केलर" और "वेक्टर" उत्पादों की अदला-बदली की जाती है:
V=a×b c=a b×c

क्रॉस उत्पाद का परिमाण मूल वैक्टर के बीच के कोण की साइन पर निर्भर करता है, इसलिए क्रॉस उत्पाद को वैक्टर की "लंबवतता" की डिग्री के रूप में माना जा सकता है, जैसे स्केलर उत्पाद को "समानांतरता" की डिग्री के रूप में देखा जा सकता है ”। यदि मूल वेक्टर लंबवत हैं तो दो यूनिट वैक्टर का वेक्टर उत्पाद 1 (यूनिट वेक्टर) के बराबर होता है, और यदि वेक्टर समानांतर या एंटीपैरलल होते हैं तो 0 (शून्य वेक्टर) के बराबर होता है।

कार्टेशियन निर्देशांक में क्रॉस उत्पाद के लिए अभिव्यक्ति
यदि दो वेक्टर एऔर बीउनके आयताकार कार्टेशियन निर्देशांक द्वारा परिभाषित, या अधिक सटीक रूप से, एक ऑर्थोनॉर्मल आधार पर दर्शाया गया है
a=(a x ,a y ,a z)
बी = (बी एक्स, बी वाई, बी जेड)
और समन्वय प्रणाली दाएं हाथ की है, तो उनके वेक्टर उत्पाद का रूप होता है
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y bx)
इस सूत्र को याद रखने के लिए:
i =∑ε ijk a j b k
कहाँ ε ijk- लेवी-सिविटा का प्रतीक।

डॉट उत्पाद के गुण

डॉट उत्पादवैक्टर, परिभाषा, गुण

सदिशों पर रैखिक संक्रियाएँ।

वेक्टर, बुनियादी अवधारणाएँ, परिभाषाएँ, उन पर रैखिक संचालन

एक समतल पर एक वेक्टर अपने बिंदुओं का एक क्रमित युग्म होता है, जिसमें पहले बिंदु को शुरुआत कहा जाता है और दूसरे बिंदु को वेक्टर का अंत कहा जाता है।

दो सदिश समान कहलाते हैं यदि वे समान और सह-दिशात्मक हों।

एक ही रेखा पर स्थित सदिशों को सह-दिशात्मक कहा जाता है यदि वे सह-दिशात्मक हों और समान सदिशों में से कुछ इस रेखा पर न हों।

एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित सदिशों को संरेख कहा जाता है, और संरेख लेकिन सहदिशात्मक नहीं, विपरीत दिशा वाले कहलाते हैं।

लंबवत रेखाओं पर स्थित सदिशों को ऑर्थोगोनल कहा जाता है।

परिभाषा 5.4. मात्रा ए+बी वैक्टर ए और बी वेक्टर के आरंभ से आने वाला वेक्टर कहलाता है ए वेक्टर के अंत तक बी , यदि वेक्टर की शुरुआत बी वेक्टर के अंत के साथ मेल खाता है ए .

परिभाषा 5.5. अंतर से ए - बी वैक्टर ए और बी ऐसे वेक्टर को कहा जाता है साथ , जो वेक्टर के साथ योग करता है बी एक वेक्टर देता है ए .

परिभाषा 5.6. कामके ए वेक्टर ए प्रति संख्या केवेक्टर कहा जाता है बी , वेक्टर के संरेख ए , जिसका मापांक | के बराबर है के||ए |, और दिशा दिशा से मेल खाती है ए पर के>0 और इसके विपरीत ए पर के<0.

किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने के गुण:

संपत्ति 1. क(ए+बी ) = के ए+के बी.

संपत्ति 2. (के + एम)ए = क ए+एम ए.

संपत्ति 3. के(एम ए) = (किमी)ए .

परिणाम। यदि गैर-शून्य सदिश ए और बी संरेख हैं, तो ऐसी संख्या होती है के, क्या बी = के ए.

दो गैर-शून्य सदिशों का अदिश गुणनफल एऔर बीइन सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण φ की कोज्या के गुणनफल के बराबर एक संख्या (अदिश) है। डॉट उत्पाद को विभिन्न तरीकों से दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए अब, ए · बी, (ए , बी), (ए · बी). तो डॉट उत्पाद है:

ए · बी = |ए| · | बी| cosφ

यदि सदिशों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है, तो अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है।

· क्रमपरिवर्तन संपत्ति: ए · बी = बी · ए(अदिश गुणनफल कारकों को पुनर्व्यवस्थित करने से नहीं बदलता है);

· वितरण संपत्ति: ए · ( बी · सी) = (ए · बी) · सी(परिणाम गुणन के क्रम पर निर्भर नहीं करता है);

· संयोजन संपत्ति (अदिश कारक के संबंध में): (λ ए) · बी = λ ( ए · बी).

· ऑर्थोगोनैलिटी (लंबवतता) की संपत्ति: यदि वेक्टर एऔर बीगैर-शून्य हैं, तो उनका अदिश उत्पाद शून्य के बराबर होता है, जब ये वेक्टर ऑर्थोगोनल (एक दूसरे के लंबवत) होते हैं ए ┴ बी;

· एक वर्ग की संपत्ति: ए · ए = ए 2 = |ए| 2 (किसी सदिश का अदिश गुणनफल उसके मापांक के वर्ग के बराबर होता है);

· यदि सदिशों के निर्देशांक ए=(x 1, y 1, z 1) और बी=(x 2 , y 2 , z 2 ), तो अदिश गुणनफल बराबर है ए · बी= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2।

वेक्टर होल्डिंग वेक्टर. परिभाषा: दो सदिशों का सदिश गुणनफल एक सदिश है जिसके लिए:

मॉड्यूल इन वैक्टरों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर है, अर्थात। , सदिशों और के बीच का कोण कहां है

यह सदिश गुणा किए जाने वाले सदिशों के लंबवत है, अर्थात।

यदि सदिश असंरेखी हैं, तो वे सदिशों का दाहिना हाथ त्रिक बनाते हैं।

एक क्रॉस उत्पाद के गुण:

1. कारकों के क्रम को बदलते समय, वेक्टर उत्पाद मापांक को संरक्षित करते हुए, अपने चिह्न को विपरीत में बदल देता है, अर्थात।

2 .वेक्टर वर्ग शून्य वेक्टर के बराबर है, अर्थात।

3 .अदिश गुणनखंड को सदिश गुणनफल के चिह्न से निकाला जा सकता है, अर्थात।

4 .किन्हीं तीन सदिशों के लिए समानता सत्य है

5 .दो सदिशों की संरेखता के लिए आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त तथा :