एक पिरामिड जिसके आधार पर एक त्रिभुज है। ज्यामिति की मूल बातें: एक नियमित पिरामिड है

परिभाषा

पिरामिडएक बहुफलक एक बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) और \(n\) त्रिभुजों से बना है, जिसका एक उभयनिष्ठ शीर्ष \(P\) है (बहुभुज के तल में नहीं है) और भुजाएं इसके विपरीत हैं, जो इसके साथ मेल खाती हैं। बहुभुज के किनारे.
पदनाम: \(PA_1A_2...A_n\) .
उदाहरण: पंचकोणीय पिरामिड \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

त्रिभुज \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), आदि। कहा जाता है पार्श्व चेहरेपिरामिड, खंड \(PA_1, PA_2\), आदि। – पार्श्व पसलियाँ, बहुभुज \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – आधार, बिंदु \(P\) - शीर्ष.

ऊंचाईपिरामिड पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक उतरा हुआ एक लंब है।

एक पिरामिड जिसके आधार पर एक त्रिभुज होता है, कहलाता है चतुर्पाश्वीय.

पिरामिड कहा जाता है सही, यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और निम्नलिखित शर्तों में से एक पूरी होती है:

\((ए)\) पार्श्व पसलियाँपिरामिड बराबर हैं;

\((बी)\) पिरामिड की ऊंचाई आधार के निकट परिचालित वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है;

\((c)\) पार्श्व पसलियां आधार के तल पर एक ही कोण पर झुकी हुई हैं।

\((डी)\) पार्श्व चेहरेएक ही कोण पर आधार के तल पर झुका हुआ।

नियमित चतुष्फलकएक त्रिभुजाकार पिरामिड है, जिसके सभी फलक समान समबाहु त्रिभुज हैं।

प्रमेय

स्थितियाँ \((a), (b), (c), (d)\) समतुल्य हैं।

सबूत

आइए पिरामिड \(PH\) की ऊंचाई ज्ञात करें। मान लीजिए \(\alpha\) पिरामिड के आधार का तल है।

1) आइए हम साबित करें कि \((a)\) से यह \((b)\) का अनुसरण करता है। मान लीजिए \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

क्योंकि \(PH\perp \alpha\), तो \(PH\) इस तल में पड़ी किसी भी रेखा पर लंबवत है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज समकोण हैं। इसका मतलब यह है कि ये त्रिभुज उभयनिष्ठ पाद \(PH\) और कर्ण \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) में बराबर हैं। तो, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . इसका मतलब है कि बिंदु \(A_1, A_2, ..., A_n\) बिंदु \(H\) से समान दूरी पर हैं, इसलिए, वे त्रिज्या \(A_1H\) के साथ एक ही वृत्त पर स्थित हैं। परिभाषा के अनुसार, यह वृत्त बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) के चारों ओर परिचालित है।

2) आइए हम साबित करें कि \((b)\) का तात्पर्य \((c)\) है।

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)आयताकार और दो पैरों पर बराबर। इसका मतलब यह है कि उनके कोण भी बराबर हैं, इसलिए, \(\कोण PA_1H=\कोण PA_2H=...=\कोण PA_nH\).

3) आइए हम साबित करें कि \((c)\) का तात्पर्य \((a)\) है।

पहले बिंदु के समान, त्रिकोण \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)आयताकार और पैर के साथ और तेज़ कोने. इसका मतलब है कि उनके कर्ण भी बराबर हैं, यानी, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) ।

4) आइए हम साबित करें कि \((b)\) का तात्पर्य \((d)\) है।

क्योंकि एक नियमित बहुभुज में, परिबद्ध और खुदे हुए वृत्तों के केंद्र संपाती होते हैं (सामान्यतया, इस बिंदु को एक नियमित बहुभुज का केंद्र कहा जाता है), तो \(H\) खुदे हुए वृत्त का केंद्र होता है। आइए बिंदु \(H\) से आधार की भुजाओं पर लंब बनाएं: \(HK_1, HK_2\), आदि। ये अंकित वृत्त की त्रिज्याएँ हैं (परिभाषा के अनुसार)। फिर, टीटीपी के अनुसार (\(PH\) समतल पर लंबवत है, \(HK_1, HK_2\), आदि प्रक्षेपण हैं, पक्षों के लंबवत) तिरछा \(PK_1, PK_2\), आदि। \(A_1A_2, A_2A_3\), आदि भुजाओं के लंबवत। क्रमश। तो, परिभाषा के अनुसार \(\कोण PK_1H, \कोण PK_2H\)पार्श्व फलकों और आधार के बीच के कोण के बराबर। क्योंकि त्रिभुज \(PK_1H, PK_2H, ...\) बराबर हैं (दोनों तरफ आयताकार के रूप में), तो कोण \(\कोण PK_1H, \कोण PK_2H, ...\)बराबर हैं।

5) आइए हम साबित करें कि \((d)\) का तात्पर्य \((b)\) है।

चौथे बिंदु के समान, त्रिकोण \(PK_1H, PK_2H, ...\) बराबर हैं (पैर के साथ आयताकार और तीव्र कोण के रूप में), जिसका अर्थ है कि खंड \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) हैं बराबर। इसका मतलब है, परिभाषा के अनुसार, \(H\) आधार में अंकित वृत्त का केंद्र है। लेकिन क्योंकि नियमित बहुभुजों के लिए, उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र संपाती होते हैं, तो \(H\) परिबद्ध वृत्त का केंद्र होता है। Chtd.

परिणाम

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा

किसी नियमित पिरामिड के शीर्ष से खींची गई पार्श्व सतह की ऊँचाई कहलाती है एपोटेम.
एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व चेहरों के एपोथेम एक दूसरे के बराबर होते हैं और मध्यिका और समद्विभाजक भी होते हैं।

महत्वपूर्ण लेख

1. ऊंचाई सही है त्रिकोणीय पिरामिडआधार की ऊंचाई (या समद्विभाजक, या माध्यिका) के प्रतिच्छेदन बिंदु पर पड़ता है (आधार एक नियमित त्रिभुज है)।

2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर पड़ती है (आधार एक वर्ग है)।

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर पड़ती है (आधार एक नियमित षट्भुज है)।

4. पिरामिड की ऊंचाई आधार पर स्थित किसी भी सीधी रेखा के लंबवत होती है।

परिभाषा

पिरामिड कहा जाता है आयताकार, यदि इसका एक पार्श्व किनारा आधार के तल पर लंबवत है।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक आयताकार पिरामिड में, आधार का लंबवत किनारा पिरामिड की ऊंचाई है। अर्थात्, \(SR\) ऊँचाई है।

2. क्योंकि \(SR\) आधार से किसी भी रेखा पर लंबवत है \(\त्रिकोण एसआरएम, \त्रिकोण एसआरपी\)– समकोण त्रिभुज.

3. त्रिकोण \(\त्रिभुज SRN, \त्रिकोण SRK\)- आयताकार भी.
अर्थात् इस किनारे से बना कोई भी त्रिभुज और आधार पर स्थित इस किनारे के शीर्ष से निकलने वाला विकर्ण आयताकार होगा।

\[(\बड़ा(\पाठ(पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र)))\]

प्रमेय

पिरामिड का आयतन आधार के क्षेत्रफल और पिरामिड की ऊंचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर है: \

नतीजे

मान लीजिए \(a\) आधार की भुजा है, \(h\) पिरामिड की ऊंचाई है।

1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(समकोण त्रिभुज.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का आयतन होता है \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. एक नियमित चतुष्फलक का आयतन होता है \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

प्रमेय

एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार और एपोथेम की परिधि के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

\[(\बड़ा(\पाठ(फ्रस्टम)))\]

परिभाषा

एक मनमाना पिरामिड \(PA_1A_2A_3...A_n\) पर विचार करें। आइए हम पिरामिड के पार्श्व किनारे पर स्थित एक निश्चित बिंदु के माध्यम से पिरामिड के आधार के समानांतर एक विमान बनाएं। यह समतल पिरामिड को दो पॉलीहेड्रा में विभाजित करेगा, जिनमें से एक पिरामिड (\(PB_1B_2...B_n\)) है, और दूसरे को पिरामिड कहा जाता है छोटा पिरामिड(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

काटे गए पिरामिड के दो आधार हैं - बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) और \(B_1B_2...B_n\) जो एक दूसरे के समान हैं।

एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई ऊपरी आधार के किसी बिंदु से निचले आधार के तल तक खींची गई एक लंबवत रेखा है।

महत्वपूर्ण लेख

1. काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समलम्ब चतुर्भुज हैं।

2. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड (अर्थात, एक नियमित पिरामिड के क्रॉस-सेक्शन द्वारा प्राप्त पिरामिड) के आधारों के केंद्रों को जोड़ने वाला खंड ऊंचाई है।

परिभाषा। पार्श्व किनारा- यह एक त्रिभुज है जिसमें एक कोण पिरामिड के शीर्ष पर स्थित है, और विपरीत पक्ष आधार (बहुभुज) के पक्ष से मेल खाता है।

परिभाषा। पार्श्व पसलियाँ- ये पार्श्व फलकों की सामान्य भुजाएँ हैं। एक पिरामिड में उतने ही किनारे होते हैं जितने एक बहुभुज के कोण होते हैं।

परिभाषा। पिरामिड की ऊंचाई- यह पिरामिड के ऊपर से आधार तक डाला गया एक लंब है।

परिभाषा। एपोथेम- यह पिरामिड के पार्श्व मुख का लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक उतारा गया है।

परिभाषा। विकर्ण खंड- यह पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।

परिभाषा। सही पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक उतरती है।

पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र

सूत्र. पिरामिड का आयतनआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:

पिरामिड के गुण

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त खींचा जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिराया गया एक लंब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो वे आधार के तल पर समान कोण पर झुके हुए हैं।

पार्श्व पसलियाँ तब बराबर होती हैं जब वे आधार के तल के साथ बनती हैं समान कोणया यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।

यदि पार्श्व फलक एक ही कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को उसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जा सकता है।

यदि पार्श्व फलक आधार के तल पर एक ही कोण पर झुके हों, तो पार्श्व फलक के एपोथेम बराबर होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के गुण

1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।

2. सभी पार्श्व किनारे बराबर हैं।

3. सभी पार्श्व पसलियाँ आधार से समान कोण पर झुकी हुई हैं।

4. सभी पार्श्व फलकों के अक्षर समान होते हैं।

5. सभी पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल बराबर है।

6. सभी फलकों का डायहेड्रल (सपाट) कोण समान होता है।

7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। परिबद्ध गोले का केंद्र किनारों के मध्य से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

8. आप एक गोले को पिरामिड में फिट कर सकते हैं। अंकित गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

9. यदि उत्कीर्ण गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग π के बराबर है या इसके विपरीत, एक कोण π/n के बराबर है, जहां n संख्या है पिरामिड के आधार पर कोणों की संख्या.

पिरामिड और गोले के बीच संबंध

पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन तब किया जा सकता है जब पिरामिड के आधार पर एक बहुफलक हो जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सके (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

किसी भी त्रिकोणीय या नियमित पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन करना हमेशा संभव होता है।

यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक तल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं (एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त) तो एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा.

एक शंकु के साथ पिरामिड का कनेक्शन

एक शंकु को पिरामिड में अंकित कहा जाता है यदि उनके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में अंकित हो।

एक शंकु को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम एक दूसरे के बराबर हों।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर परिचालित कहा जाता है यदि उनके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिचालित हो।

एक शंकु को पिरामिड के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर हों।

पिरामिड और सिलेंडर के बीच संबंध

एक पिरामिड को सिलेंडर में अंकित कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर स्थित है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार पर अंकित है।

यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, तो पिरामिड के चारों ओर एक सिलेंडर का वर्णन किया जा सकता है।

परिभाषा। काटे गए पिरामिड (पिरामिड प्रिज्म)एक बहुफलक है जो पिरामिड के आधार और आधार के समानांतर खंड तल के बीच स्थित होता है। इस प्रकार पिरामिड का एक बड़ा आधार और एक छोटा आधार होता है जो बड़े पिरामिड के समान होता है। पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं।

परिभाषा। त्रिकोणीय पिरामिड (चतुष्फलक)एक पिरामिड है जिसके तीन फलक और आधार मनमाना त्रिभुज हैं।

एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों में उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं लेकिन वे स्पर्श नहीं करते हैं।

प्रत्येक शीर्ष में तीन फलक और किनारे होते हैं जो बनते हैं त्रिकोणीय कोण.

चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहा जाता है चतुष्फलक का माध्यिका(जीएम).

बिमेडियनविपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड कहा जाता है जो स्पर्श नहीं करते (केएल)।

चतुष्फलक की सभी द्विमध्यरेखाएँ और मध्यिकाएँ एक बिंदु (S) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, द्विमध्यरेखाओं को आधे में विभाजित किया जाता है, और शीर्ष से शुरू करके मध्यिकाओं को 3:1 के अनुपात में विभाजित किया जाता है।

परिभाषा। तिरछा पिरामिडएक पिरामिड है जिसका एक किनारा आधार के साथ एक अधिक कोण (β) बनाता है।

परिभाषा। आयताकार पिरामिडएक पिरामिड है जिसका एक पार्श्व फलक आधार से लंबवत है।

परिभाषा। न्यूनकोण पिरामिड- एक पिरामिड जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से अधिक है।

परिभाषा। कुंठित पिरामिड- एक पिरामिड जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से भी कम है।

परिभाषा। नियमित चतुष्फलक- एक चतुष्फलक जिसके चारों फलक समबाहु त्रिभुज हों। यह पाँच नियमित बहुभुजों में से एक है। एक नियमित चतुष्फलक में, सभी द्विफलकीय कोण (फलकों के बीच) और त्रिफलकीय कोण (शीर्ष पर) बराबर होते हैं।

परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकशीर्ष पर तीन किनारों के बीच समकोण वाला एक चतुष्फलक है (किनारे लंबवत हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिकोणीय कोणऔर फलक समकोण त्रिभुज हैं, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी फलक का एपोटेम आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोथेम गिरता है।

परिभाषा। समफलकीय चतुष्फलकचतुष्फलक कहलाता है जिसके पार्श्व फलक एक दूसरे के बराबर होते हैं और आधार एक नियमित त्रिभुज होता है। ऐसे चतुष्फलक के फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा। ऑर्थोसेंट्रिक टेट्राहेड्रोनचतुष्फलक कहलाता है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक नीचे की ओर गई सभी ऊंचाइयां (लंब) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक कहलाता है जिसका आधार एक तारा है।

परिभाषा। bipyramid- एक बहुफलक जिसमें दो अलग-अलग पिरामिड होते हैं (पिरामिड को काटा भी जा सकता है), जिसका आधार एक समान होता है और शीर्ष तल के विपरीत दिशा में स्थित होते हैं।

एक त्रि-आयामी आकृति जो अक्सर ज्यामितीय समस्याओं में दिखाई देती है वह पिरामिड है। इस वर्ग की सभी आकृतियों में सबसे सरल आकृति त्रिभुजाकार है। इस लेख में हम सही के मूल सूत्रों और गुणों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे

आकृति के बारे में ज्यामितीय विचार

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के गुणों पर विचार करने से पहले, आइए देखें कि हम किस प्रकार की आकृति के बारे में बात कर रहे हैं।

आइए मान लें कि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक मनमाना त्रिभुज है। आइए इस स्थान में किसी ऐसे बिंदु का चयन करें जो त्रिभुज के तल में नहीं है और इसे त्रिभुज के तीन शीर्षों से जोड़ें। हमें एक त्रिकोणीय पिरामिड मिला।

इसमें 4 भुजाएँ हैं, जो सभी त्रिभुज हैं। वे बिंदु जहाँ तीन फलक मिलते हैं, शीर्ष कहलाते हैं। चित्र में भी उनमें से चार हैं। दो चेहरों की प्रतिच्छेदन रेखाएँ किनारे हैं। विचाराधीन पिरामिड में 6 किनारे हैं। नीचे दिया गया चित्र इस आकृति का एक उदाहरण दिखाता है।

चूँकि आकृति चार भुजाओं से बनी है, इसलिए इसे चतुष्फलक भी कहा जाता है।

सही पिरामिड

ऊपर चर्चा की गयी मनमाना आंकड़ात्रिकोणीय आधार के साथ. अब मान लीजिए कि हम पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार तक एक लंबवत खंड खींचते हैं। इस खंड को ऊँचाई कहा जाता है। जाहिर है, आप आकृति के लिए 4 अलग-अलग ऊंचाइयां खींच सकते हैं। यदि ऊंचाई त्रिकोणीय आधार को ज्यामितीय केंद्र पर काटती है, तो ऐसे पिरामिड को सीधा कहा जाता है।

एक सीधा पिरामिड, जिसका आधार एक समबाहु त्रिभुज है, नियमित कहलाता है। उसके लिए, तीनों त्रिभुज बन रहे हैं पार्श्व सतहआकृतियाँ समद्विबाहु और एक दूसरे के बराबर हैं। नियमित पिरामिड का एक विशेष मामला वह स्थिति है जब सभी चार भुजाएँ समबाहु समरूप त्रिभुज होती हैं।

आइए एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के गुणों पर विचार करें और इसके मापदंडों की गणना के लिए संबंधित सूत्र दें।

आधार पक्ष, ऊँचाई, पार्श्व किनारा और एपोथेम

सूचीबद्ध मापदंडों में से कोई भी दो विशिष्ट रूप से शेष दो विशेषताओं को निर्धारित करते हैं। आइए हम ऐसे सूत्र प्रस्तुत करें जो इन मात्राओं से संबंधित हों।

आइए मान लें कि एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आधार की भुजा एक है। इसके पार्श्व किनारे की लंबाई b है। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड और उसके एपोथेम की ऊंचाई क्या होगी?

ऊँचाई h के लिए हमें अभिव्यक्ति मिलती है:

यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय से अनुसरण करता है जिसके लिए पार्श्व किनारा, ऊंचाई और आधार की ऊंचाई का 2/3 है।

पिरामिड का एपोटेम किसी भी भुजा त्रिभुज की ऊंचाई है। एपोथेम a b की लंबाई बराबर है:

ए बी = √(बी 2 - ए 2 /4)

इन सूत्रों से यह स्पष्ट है कि त्रिकोणीय नियमित पिरामिड के आधार का किनारा और उसके पार्श्व किनारे की लंबाई जो भी हो, एपोथेम हमेशा पिरामिड की ऊंचाई से अधिक होगा।

प्रस्तुत दो सूत्रों में प्रश्न में आकृति की सभी चार रैखिक विशेषताएं शामिल हैं। इसलिए, उनमें से ज्ञात दो को देखते हुए, आप लिखित समानता की प्रणाली को हल करके बाकी पा सकते हैं।

चित्रा मात्रा

किसी भी पिरामिड (एक झुके हुए सहित) के लिए, उसके द्वारा सीमित स्थान के आयतन का मान आकृति की ऊंचाई और उसके आधार के क्षेत्रफल को जानकर निर्धारित किया जा सकता है। संबंधित सूत्र है:

इस अभिव्यक्ति को प्रश्न में दिए गए चित्र पर लागू करने पर, हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:

जहां एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई h है और इसका आधार पक्ष a है।

चतुष्फलक के आयतन के लिए एक सूत्र प्राप्त करना कठिन नहीं है जिसमें सभी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर हों और समबाहु त्रिभुजों का प्रतिनिधित्व करें। इस मामले में, आकृति का आयतन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

अर्थात्, यह भुजा a की लंबाई से विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है।

सतह क्षेत्रफल

आइए हम एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के गुणों पर विचार करना जारी रखें। किसी आकृति के सभी फलकों का कुल क्षेत्रफल उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल कहलाता है। उत्तरार्द्ध का संबंधित विकास पर विचार करके आसानी से अध्ययन किया जा सकता है। नीचे दिया गया चित्र दिखाता है कि एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का विकास कैसा दिखता है।

आइए मान लें कि हम आकृति की ऊँचाई h और आधार a की भुजा जानते हैं। तब इसके आधार का क्षेत्रफल बराबर होगा:

प्रत्येक स्कूली बच्चा इस अभिव्यक्ति को प्राप्त कर सकता है यदि उसे याद है कि त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाता है और यह भी ध्यान में रखता है कि ऊँचाई समान भुजाओं वाला त्रिकोणयह एक समद्विभाजक और एक माध्यिका भी है।

तीन समान समद्विबाहु त्रिभुजों द्वारा निर्मित पार्श्व सतह क्षेत्र है:

एस बी = 3/2*√(ए 2 /12+एच 2)*ए

यह समानता आधार की ऊंचाई और लंबाई के संदर्भ में पिरामिड के एपोथेम की अभिव्यक्ति से उत्पन्न होती है।

आकृति का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है:

एस = एस ओ + एस बी = √3/4*ए 2 + 3/2*√(ए 2 /12+एच 2)*ए

ध्यान दें कि एक चतुष्फलक के लिए जिसकी सभी चार भुजाएँ समान समबाहु त्रिभुज हैं, क्षेत्रफल S इसके बराबर होगा:

एक नियमित रूप से काटे गए त्रिकोणीय पिरामिड के गुण

यदि विचारित त्रिकोणीय पिरामिड के शीर्ष को आधार के समान्तर समतल से काट दिया जाए तो शेष निचला भाग कटा हुआ पिरामिड कहलाएगा।

त्रिकोणीय आधार के मामले में, वर्णित अनुभागीय विधि का परिणाम एक नया त्रिकोण है, जो समबाहु भी है, लेकिन इसकी भुजा की लंबाई आधार की भुजा से कम है। एक छोटा त्रिकोणीय पिरामिड नीचे दिखाया गया है।

हम देखते हैं कि यह आंकड़ा पहले से ही दो तक सीमित है त्रिकोणीय आधारऔर तीन समद्विबाहु समलम्बाकार।

आइए मान लें कि परिणामी आकृति की ऊंचाई h के बराबर है, निचले और ऊपरी आधारों की भुजाओं की लंबाई क्रमशः 1 और 2 है, और एपोथेम (ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई) b के बराबर है। फिर काटे गए पिरामिड के सतह क्षेत्र की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

एस = 3/2*(ए 1 +ए 2)*ए बी + √3/4*(ए 1 2 + ए 2 2)

यहां पहला पद पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है, दूसरा पद त्रिकोणीय आधारों का क्षेत्रफल है।

आकृति के आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है:

वी = √3/12*एच*(ए 1 2 + ए 2 2 + ए 1 *ए 2)

एक काटे गए पिरामिड की विशेषताओं को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए, इसके तीन मापदंडों को जानना आवश्यक है, जैसा कि दिए गए सूत्रों द्वारा दर्शाया गया है।

यह वीडियो ट्यूटोरियल उपयोगकर्ताओं को पिरामिड थीम का अंदाजा लगाने में मदद करेगा। सही पिरामिड. इस पाठ में हम पिरामिड की अवधारणा से परिचित होंगे और इसकी परिभाषा देंगे। आइए देखें कि यह क्या है नियमित पिरामिडऔर इसमें क्या गुण हैं। फिर हम एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह के बारे में प्रमेय को सिद्ध करते हैं।

इस पाठ में हम पिरामिड की अवधारणा से परिचित होंगे और इसकी परिभाषा देंगे।

एक बहुभुज पर विचार करें ए 1 ए 2...एक, जो α तल और बिंदु में स्थित है पी, जो α तल में स्थित नहीं है (चित्र 1)। आइए बिंदुओं को जोड़ें पीचोटियों के साथ ए 1, ए 2, ए 3, … एक. हम पाते हैं एनत्रिभुज: ए 1 ए 2 आर, ए 2 ए 3 आरऔर इसी तरह।

परिभाषा. बहुतल आरए 1 ए 2 ...ए एन, से बना एन-वर्ग ए 1 ए 2...एकऔर एनत्रिभुज आरए 1 ए 2, आरए 2 ए 3 …आरए एन ए एन-1 कहा जाता है एन-कोयला पिरामिड. चावल। 1.

चावल। 1

एक चतुर्भुज पिरामिड पर विचार करें पीएबीसीडी(अंक 2)।

आर- पिरामिड का शीर्ष.

ए बी सी डी- पिरामिड का आधार.

आरए- पार्श्व पसली.

अब- आधार पसली.

बिंदु से आरचलो लम्बवत को गिरा दें आर एनआधार तल तक ए बी सी डी. खींचा गया लंब पिरामिड की ऊंचाई है।

चावल। 2

पूर्ण सतहपिरामिड में एक पार्श्व सतह होती है, अर्थात सभी पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल और आधार का क्षेत्रफल:

एस पूर्ण = एस पक्ष + एस मुख्य

एक पिरामिड को सही कहा जाता है यदि:

• इसका आधार एक नियमित बहुभुज है;
• पिरामिड के शीर्ष को आधार के केंद्र से जोड़ने वाला खंड इसकी ऊंचाई है।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके स्पष्टीकरण

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड पर विचार करें पीएबीसीडी(चित्र 3)।

आर- पिरामिड का शीर्ष. पिरामिड का आधार ए बी सी डी- एक नियमित चतुर्भुज, यानी एक वर्ग। डॉट के बारे मेंविकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु, वर्ग का केंद्र है। मतलब, आरओपिरामिड की ऊंचाई है.

चावल। 3

स्पष्टीकरण:सही में एनएक त्रिभुज में, अंकित वृत्त का केंद्र और परिवृत्त का केंद्र संपाती होता है। इस केंद्र को बहुभुज का केंद्र कहा जाता है। कभी-कभी वे कहते हैं कि शीर्ष को केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

किसी नियमित पिरामिड के शीर्ष से खींची गई पार्श्व सतह की ऊँचाई कहलाती है एपोटेमऔर नामित किया गया है हा ए.

1. एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे बराबर होते हैं;

2. पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

हम एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के उदाहरण का उपयोग करके इन गुणों का प्रमाण देंगे।

दिया गया: पीएबीसीडी- नियमित चतुर्भुज पिरामिड,

ए बी सी डी- वर्ग,

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई.

सिद्ध करना:

1. आरए = पीबी = आरएस = पीडी

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP चित्र देखें। 4.

चावल। 4

सबूत.

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई. यानी सीधा आरओविमान के लंबवत एबीसी, और इसलिए प्रत्यक्ष जेएससी, वीओ, एसओऔर करनाउसमें लेटा हुआ. तो त्रिकोण आरओए, आरओवी, आरओएस, रॉड- आयताकार.

एक वर्ग पर विचार करें ए बी सी डी. वर्ग के गुणों से यह निष्कर्ष निकलता है एओ = वीओ = सीओ = करना।

फिर समकोण त्रिभुज आरओए, आरओवी, आरओएस, रॉडटांग आरओ- सामान्य और पैर जेएससी, वीओ, एसओऔर करनाबराबर हैं, जिसका अर्थ है कि ये त्रिभुज दो तरफ बराबर हैं। त्रिभुजों की समानता से खंडों की समानता आती है, आरए = पीबी = आरएस = पीडी।बिंदु 1 सिद्ध हो चुका है.

सेगमेंट अबऔर सूरजबराबर हैं क्योंकि वे एक ही वर्ग की भुजाएँ हैं, आरए = पीबी = आरएस. तो त्रिकोण ए.वी.आरऔर वीएसआर -समद्विबाहु और तीन तरफ बराबर।

इसी प्रकार हम त्रिभुज पाते हैं एबीपी, वीसीपी, सीडीपी, डीएपीसमद्विबाहु और समान हैं, जैसा कि पैराग्राफ 2 में सिद्ध किया जाना आवश्यक है।

एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार और एपोथेम की परिधि के आधे उत्पाद के बराबर है:

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड चुनें।

दिया गया: आरएवीएस- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड.

एबी = बीसी = एसी.

आरओ- ऊंचाई।

सिद्ध करना: . चित्र देखें. 5.

चावल। 5

सबूत।

आरएवीएस- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड. वह है अब= एसी = बीसी. होने देना के बारे में-त्रिभुज का केंद्र एबीसी, तब आरओपिरामिड की ऊंचाई है. पिरामिड के आधार पर एक समबाहु त्रिभुज स्थित है एबीसी. नोटिस जो .

त्रिभुज आरएवी, आरवीएस, आरएसए- समान समद्विबाहु त्रिभुज (संपत्ति द्वारा)। एक त्रिकोणीय पिरामिड के तीन पार्श्व फलक होते हैं: आरएवी, आरवीएस, आरएसए. इसका मतलब है कि पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है:

एस साइड = 3एस रॉ

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार पर अंकित वृत्त की त्रिज्या 3 मीटर है, पिरामिड की ऊंचाई 4 मीटर है। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

दिया गया: नियमित चतुर्भुज पिरामिड ए बी सी डी,

ए बी सी डी- वर्ग,

आर= 3 मीटर,

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई,

आरओ= 4 मी.

खोजो: एस साइड. चित्र देखें. 6.

चावल। 6

समाधान.

सिद्ध प्रमेय के अनुसार,.

आइए सबसे पहले आधार का किनारा खोजें अब. हम जानते हैं कि एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार पर अंकित वृत्त की त्रिज्या 3 मीटर है।

फिर, एम.

वर्ग का परिमाप ज्ञात कीजिये ए बी सी डी 6 मीटर की भुजा के साथ:

एक त्रिभुज पर विचार करें बीसीडी. होने देना एम- किनारे के बीच में डीसी. क्योंकि के बारे में- मध्य बी.डी, वह (एम)।

त्रिकोण डीपीसी- समद्विबाहु. एम- मध्य डीसी. वह है, आर एम- माध्यिका, और इसलिए त्रिभुज में ऊँचाई डीपीसी. तब आर एम- पिरामिड का एपोटेम।

आरओ- पिरामिड की ऊंचाई. फिर, सीधे आरओविमान के लंबवत एबीसी, और इसलिए प्रत्यक्ष ॐ, उसमें लेटा हुआ। आइए एपोथेम खोजें आर एमएक समकोण त्रिभुज से ROM.

अब हम पिरामिड की पार्श्व सतह ज्ञात कर सकते हैं:

उत्तर: 60 एम2.

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या m के बराबर है, पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 18 m 2 है। एपोथेम की लंबाई ज्ञात कीजिए।

दिया गया: एबीसीपी- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड,

एबी = बीसी = एसए,

आर= एम,

S भुजा = 18 m2.

खोजो: . चित्र देखें. 7.

चावल। 7

समाधान.

एक समकोण त्रिभुज में एबीसीपरिबद्ध वृत्त की त्रिज्या दी गई है। आइए एक पक्ष खोजें अबयह त्रिभुज ज्या के नियम का उपयोग करता है।

एक नियमित त्रिभुज (m) की भुजा जानने पर, हम उसका परिमाप ज्ञात करते हैं।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र पर प्रमेय द्वारा, जहां हा ए- पिरामिड का एपोटेम। तब:

उत्तर: 4 मी.

तो, हमने देखा कि पिरामिड क्या है, नियमित पिरामिड क्या है, और हमने नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह के बारे में प्रमेय को सिद्ध किया। अगले पाठ में हम काटे गए पिरामिड से परिचित होंगे।

ग्रन्थसूची

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2. इंटरनेट पोर्टल "शैक्षिक विचारों का त्योहार "सितंबर का पहला" ()
3. इंटरनेट पोर्टल "स्लाइडशेयर.नेट" ()

गृहकार्य

1. क्या एक नियमित बहुभुज एक अनियमित पिरामिड का आधार हो सकता है?
2. सिद्ध कीजिए कि एक नियमित पिरामिड के असंयुक्त किनारे लंबवत होते हैं।
3. यदि पिरामिड का एपोथेम उसके आधार की भुजा के बराबर है, तो एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार के किनारे पर डायहेड्रल कोण का मान ज्ञात करें।
4. आरएवीएस- नियमित त्रिकोणीय पिरामिड. पिरामिड के आधार पर डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण की रचना करें।

त्रिकोणीय पिरामिड एक ऐसा पिरामिड है जिसके आधार पर एक त्रिकोण होता है। इस पिरामिड की ऊँचाई वह लम्ब है जो पिरामिड के शीर्ष से उसके आधार तक उतारा जाता है।

पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करना

पिरामिड की ऊंचाई कैसे पता करें? बहुत सरल! किसी भी त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, आप आयतन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: V = (1/3)Sh, जहां S आधार का क्षेत्रफल है, V पिरामिड का आयतन है, h इसकी ऊंचाई है। इस सूत्र से, ऊँचाई का सूत्र प्राप्त करें: त्रिकोणीय पिरामिड की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए, आपको पिरामिड के आयतन को 3 से गुणा करना होगा, और फिर परिणामी मान को आधार के क्षेत्रफल से विभाजित करना होगा, यह होगा: h = (3वी)/एस. चूँकि त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार एक त्रिभुज है, आप त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यदि हम जानते हैं: त्रिभुज S और उसकी भुजा z का क्षेत्रफल, तो क्षेत्रफल सूत्र S=(1/2)γh के अनुसार: h = (2S)/γ, जहां h पिरामिड की ऊंचाई है, γ त्रिभुज का किनारा है; त्रिभुज की भुजाओं और दोनों भुजाओं के बीच का कोण, फिर निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके: S = (1/2)γφsinQ, जहाँ γ, φ त्रिभुज की भुजाएँ हैं, हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं। कोण Q की ज्या का मान ज्या की तालिका में देखने की जरूरत है, जो इंटरनेट पर उपलब्ध है। इसके बाद, हम क्षेत्र मान को ऊंचाई सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: h = (2S)/γ। यदि कार्य में त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई की गणना करने की आवश्यकता है, तो पिरामिड का आयतन पहले से ही ज्ञात है।

नियमित त्रिकोणीय पिरामिड

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई ज्ञात करें, यानी, एक पिरामिड जिसमें सभी चेहरे समबाहु त्रिकोण हैं, किनारे का आकार γ जानते हुए। इस मामले में, पिरामिड के किनारे समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ हैं। एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड की ऊंचाई होगी: h = γ√(2/3), जहां γ समबाहु त्रिभुज का किनारा है, h पिरामिड की ऊंचाई है। यदि आधार (एस) का क्षेत्र अज्ञात है, और केवल किनारे की लंबाई (γ) और पॉलीहेड्रॉन की मात्रा (वी) दी गई है, तो पिछले चरण से सूत्र में आवश्यक चर को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए इसके समतुल्य द्वारा, जिसे किनारे की लंबाई के रूप में व्यक्त किया जाता है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल (नियमित) 3 के वर्गमूल द्वारा वर्गित इस त्रिभुज की भुजा की लंबाई के गुणनफल के 1/4 के बराबर है। हम पिछले में आधार के क्षेत्रफल के बजाय इस सूत्र को प्रतिस्थापित करते हैं सूत्र, और हमें निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3)। टेट्राहेड्रोन का आयतन उसके किनारे की लंबाई के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, फिर किसी आकृति की ऊंचाई की गणना करने के सूत्र से, आप सभी चर हटा सकते हैं और आकृति के त्रिकोणीय चेहरे के केवल किनारे को छोड़ सकते हैं। ऐसे पिरामिड के आयतन की गणना उसके फलक की घन लंबाई के गुणनफल को 2 के वर्गमूल से विभाजित करके 12 से विभाजित करके की जा सकती है।

इस अभिव्यक्ति को पिछले सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. सही भी है त्रिकोणीय प्रिज्मएक गोले में अंकित किया जा सकता है, और केवल गोले की त्रिज्या (R) जानकर ही चतुष्फलक की ऊंचाई ज्ञात की जा सकती है। चतुष्फलक के किनारे की लंबाई है: γ = 4R/√6. हम पिछले सूत्र में इस अभिव्यक्ति के साथ चर γ को प्रतिस्थापित करते हैं और सूत्र प्राप्त करते हैं: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3। चतुष्फलक में अंकित वृत्त की त्रिज्या (R) जानकर वही सूत्र प्राप्त किया जा सकता है। इस स्थिति में, त्रिभुज के किनारे की लंबाई बीच के 12 अनुपातों के बराबर होगी वर्गमूल 6 और त्रिज्या का. हम इस अभिव्यक्ति को पिछले सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और हमारे पास है: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R।

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें

पिरामिड की ऊंचाई की लंबाई कैसे ज्ञात करें, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको यह जानना होगा कि एक नियमित पिरामिड क्या है। चतुष्कोणीय पिरामिडएक पिरामिड है जिसके आधार पर एक चतुर्भुज है। यदि समस्या की स्थितियों में हमारे पास है: पिरामिड का आयतन (V) और आधार का क्षेत्रफल (S), तो पॉलीहेड्रॉन (h) की ऊंचाई की गणना करने का सूत्र इस प्रकार होगा - विभाजित करें आयतन को क्षेत्रफल S से 3 गुणा किया गया: h = (3V)/S। दिए गए आयतन (V) और भुजा की लंबाई γ के साथ पिरामिड के वर्गाकार आधार को देखते हुए, पिछले सूत्र में क्षेत्रफल (S) को भुजा की लंबाई के वर्ग से बदलें: S = γ 2; एच = 3V/γ2. एक नियमित पिरामिड की ऊँचाई h = SO आधार के निकट परिचालित वृत्त के ठीक केंद्र से होकर गुजरती है। चूँकि इस पिरामिड का आधार एक वर्ग है, बिंदु O विकर्ण AD और BC का प्रतिच्छेदन बिंदु है। हमारे पास है: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6। अगला, हम अंदर हैं सही त्रिकोणहम SOC पाते हैं (पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके): SO = √(SC 2 -OC 2)। अब आप जानते हैं कि एक नियमित पिरामिड की ऊंचाई कैसे ज्ञात करें।