संक्षेप में मुख्य बात के बारे में

सतह क्षेत्र (2019)

प्रिज्म सतह क्षेत्र

क्या कोई सामान्य सूत्र है? नहीं, सामान्य तौर पर, नहीं. आपको बस पार्श्व फलकों के क्षेत्रों को देखने और उनका योग करने की आवश्यकता है।

के लिए सूत्र लिखा जा सकता है सीधा प्रिज्म:

आधार की परिधि कहां है.

लेकिन अतिरिक्त सूत्रों को याद करने की तुलना में प्रत्येक विशिष्ट मामले में सभी क्षेत्रों को जोड़ना अभी भी बहुत आसान है। उदाहरण के लिए, आइए एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म की कुल सतह की गणना करें।

सभी पार्श्व चेहरे- आयत. मतलब।

वॉल्यूम की गणना करते समय यह पहले से ही दिखाया गया था।

तो हमें मिलता है:

पिरामिड का सतह क्षेत्र

सामान्य नियम पिरामिड पर भी लागू होता है:

आइए अब सबसे लोकप्रिय पिरामिडों के सतह क्षेत्र की गणना करें।

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का सतह क्षेत्र

मान लीजिए कि आधार का किनारा बराबर है और किनारे का किनारा भी बराबर है। हमें खोजने की जरूरत है और.

आइये अब हम उसे याद करें

यह एक नियमित त्रिभुज का क्षेत्रफल है.

और आइए याद रखें कि इस क्षेत्र को कैसे खोजा जाए। हम क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करते हैं:

हमारे लिए, " " यह है, और " " भी यह है, एह।

अब आइए इसे खोजें।

मूल क्षेत्र सूत्र और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम पाते हैं

ध्यान:यदि आपके पास एक नियमित चतुष्फलक (अर्थात) है, तो सूत्र इस प्रकार बनता है:

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का सतह क्षेत्र

मान लीजिए कि आधार का किनारा बराबर है और किनारे का किनारा भी बराबर है।

आधार एक वर्ग है, और इसीलिए।

यह पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करना बाकी है

एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का सतह क्षेत्र।

आधार का किनारा और पार्श्व का किनारा बराबर हो।

कैसे खोजें? एक षट्भुज बिल्कुल छह समान नियमित त्रिभुजों से बना होता है। एक नियमित त्रिभुज के सतह क्षेत्र की गणना करते समय हम पहले से ही एक नियमित त्रिभुज के क्षेत्रफल की तलाश कर चुके हैं। त्रिकोणीय पिरामिड, यहां हम पाए गए सूत्र का उपयोग करते हैं।

खैर, हम पहले ही दो बार साइड फेस के क्षेत्र की तलाश कर चुके हैं।

खैर, बात ख़त्म हो गई. अगर आप ये पंक्तियाँ पढ़ रहे हैं तो इसका मतलब है कि आप बहुत अच्छे हैं।

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एक मनमाना पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल उसके पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर होता है। नियमित पिरामिड के मामले में इस क्षेत्र को व्यक्त करने के लिए एक विशेष सूत्र देना समझ में आता है। तो, आइए हमें एक नियमित पिरामिड दिया जाए, जिसके आधार पर एक नियमित एन-गॉन है जिसकी भुजा a के बराबर है। माना कि पार्श्व फलक की ऊँचाई h है, जिसे h भी कहा जाता है एपोटेमपिरामिड. एक पार्श्व सतह का क्षेत्रफल 1/2ah के बराबर है, और पिरामिड की पूरी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल n/2ha के बराबर है, चूँकि na पिरामिड के आधार की परिधि है, हम पाया गया सूत्र लिख सकते हैं प्रपत्र में:

पार्श्व सतह क्षेत्रएक नियमित पिरामिड का मान उसके एपोथेम और आधार की आधी परिधि के गुणनफल के बराबर होता है।

के बारे में क्षेत्र पूर्ण सतह , फिर हम बस आधार के क्षेत्र को साइड वन में जोड़ते हैं।

अंकित और परिचालित गोला और गेंद. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पिरामिड में अंकित गोले का केंद्र पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमानों के चौराहे पर स्थित है। पिरामिड के पास वर्णित गोले का केंद्र पिरामिड के किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाले और उनके लंबवत विमानों के चौराहे पर स्थित है।

कटा हुआ पिरामिड.यदि किसी पिरामिड को उसके आधार के समानान्तर किसी समतल द्वारा काटा जाता है, तो काटने वाले तल और आधार के बीच का भाग कहलाता है छोटा पिरामिड.चित्र में एक पिरामिड दिखाया गया है; काटने वाले तल के ऊपर स्थित उसके हिस्से को हटाने पर, हमें एक छोटा पिरामिड मिलता है। यह स्पष्ट है कि छोड़ा गया छोटा पिरामिड शीर्ष पर समरूपता के केंद्र के साथ बड़े पिरामिड का समरूप है। समानता गुणांक अनुपात के बराबरऊँचाई: k=h 2 /h 1, या पार्श्व किनारे, या दोनों पिरामिडों के अन्य संगत रैखिक आयाम। हम जानते हैं कि समान आकृतियों के क्षेत्रफल रैखिक आयामों के वर्गों की तरह संबंधित होते हैं; इसलिए दोनों पिरामिडों के आधारों का क्षेत्रफल (अर्थात काटे गए पिरामिड के आधारों का क्षेत्रफल) इस प्रकार संबंधित हैं

यहाँ S 1 निचले आधार का क्षेत्र है, और S 2 काटे गए पिरामिड के ऊपरी आधार का क्षेत्र है। पिरामिडों की पार्श्व सतहें समान संबंध में हैं। वॉल्यूम के लिए एक समान नियम मौजूद है।

समान पिंडों के आयतनउनके रैखिक आयामों के घन की तरह संबंधित हैं; उदाहरण के लिए, पिरामिडों के आयतन उनकी ऊँचाई और आधारों के क्षेत्रफल के गुणनफल के रूप में संबंधित हैं, जिससे हमारा नियम तुरंत प्राप्त होता है। यह बिल्कुल है सामान्य चरित्रऔर यह सीधे इस तथ्य से निकलता है कि आयतन में हमेशा लंबाई की तीसरी शक्ति का एक आयाम होता है। इस नियम का उपयोग करके, हम आधारों की ऊंचाई और क्षेत्रफल के माध्यम से एक काटे गए पिरामिड के आयतन को व्यक्त करने वाला एक सूत्र प्राप्त करते हैं।

मान लीजिए ऊँचाई h और आधार क्षेत्रफल S 1 और S 2 वाला एक छोटा पिरामिड दिया गया है। अगर हम कल्पना करें कि यह जारी है पूर्ण पिरामिड, तो पूर्ण पिरामिड और छोटे पिरामिड के बीच समानता गुणांक को अनुपात एस 2 / एस 1 की जड़ के रूप में ढूंढना आसान है। काटे गए पिरामिड की ऊंचाई h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k) के रूप में व्यक्त की जाती है। अब हमारे पास एक काटे गए पिरामिड का आयतन है (V 1 और V 2 पूर्ण और छोटे पिरामिड के आयतन को दर्शाते हैं)

काटे गए पिरामिड के आयतन का सूत्र

आइए आधारों की परिधि पी 1 और पी 2 और एपोथेम ए की लंबाई के माध्यम से एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की पार्श्व सतह के क्षेत्र एस के लिए सूत्र प्राप्त करें। हम ठीक उसी तरह तर्क करते हैं जैसे आयतन का सूत्र निकालते समय करते हैं। पिरामिड का पूरक शीर्ष भाग, हमारे पास P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1 है, जहां k समानता गुणांक है, P 1 और P 2 आधारों की परिधि हैं, और S 1 और S 2 पार्श्व सतहों के क्षेत्र हैं संपूर्ण परिणामी पिरामिड और उसका ऊपरी भाग, क्रमशः। पार्श्व सतह के लिए हम पाते हैं (a 1 और a 2 पिरामिड के एपोथेम हैं, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सूत्र

इस पाठ में:

• समस्या 1. पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल ज्ञात करें
• समस्या 2. एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करें

संबंधित सामग्री भी देखें:
.

टिप्पणी . यदि आपको कोई ज्यामिति समस्या हल करनी है जो यहां नहीं है, तो इसके बारे में फोरम में लिखें। कार्यों में "वर्गमूल" चिन्ह के स्थान पर sqrt() फ़ंक्शन का प्रयोग किया जाता है, जिसमें sqrt चिन्ह होता है वर्गमूल, और मूल अभिव्यक्ति को कोष्ठक में दर्शाया गया है। सरल मौलिक अभिव्यक्तियों के लिए, "√" चिह्न का उपयोग किया जा सकता है.

समस्या 1. एक नियमित पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये

एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के आधार की ऊंचाई 3 सेमी है, और पार्श्व सतह और पिरामिड के आधार के बीच का कोण 45 डिग्री है।
पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये

समाधान.

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड के आधार पर स्थित है समान भुजाओं वाला त्रिकोण.
इसलिए, समस्या को हल करने के लिए, हम एक नियमित त्रिभुज के गुणों का उपयोग करेंगे:

हम त्रिभुज की ऊँचाई जानते हैं, जहाँ से हम इसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
एच = √3/2 ए
ए = एच / (√3/2)
ए = 3 / (√3/2)
ए = 6 / √3

जहाँ से आधार का क्षेत्रफल बराबर होगा:
एस = √3/4 ए 2
एस = √3/4 (6 / √3) 2
एस = 3√3

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम ऊँचाई KM की गणना करते हैं। समस्या के अनुसार, कोण OKM 45 डिग्री है।
इस प्रकार:
ओके/एमके = कॉस 45
आइए त्रिकोणमितीय कार्यों और विकल्प के मानों की तालिका का उपयोग करें ज्ञात मूल्य.

ठीक / एमके = √2/2

आइए ध्यान रखें कि ओके अंकित वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। तब
ठीक = √3/6a
ठीक = √3/6 * 6/√3 = 1

तब
ठीक / एमके = √2/2
1/एमके = √2/2
एमके = 2/√2

फिर पार्श्व फलक का क्षेत्रफल त्रिभुज की ऊँचाई और आधार के आधे गुणनफल के बराबर होता है।
साइड = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

इस प्रकार, पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र बराबर होगा
एस = 3√3 + 3 * 6/√6
एस = 3√3 + 18/√6

उत्तर: 3√3 + 18/√6

समस्या 2. एक नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करें

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड में ऊंचाई 10 सेमी और आधार की भुजा 16 सेमी है . पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए .

समाधान.

चूँकि एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आधार एक समबाहु त्रिभुज है, AO आधार के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या है।
(यह इस प्रकार है)

एक समबाहु त्रिभुज के चारों ओर परिचालित वृत्त की त्रिज्या उसके गुणों से ज्ञात की जा सकती है

जहाँ से एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड के किनारों की लंबाई बराबर होगी:
एएम 2 = एमओ 2 + एओ 2
पिरामिड की ऊँचाई स्थिति (10 सेमी), AO = 16√3/3 से ज्ञात होती है
पूर्वाह्न 2 = 100 + 256/3
एएम = √(556/3)

पिरामिड की प्रत्येक भुजा एक समद्विबाहु त्रिभुज है। नीचे प्रस्तुत पहले सूत्र से एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें

एस = 1/2 * 16 वर्ग((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
एस = 8 वर्ग((556/3) - 64)
एस = 8 वर्ग(364/3)
एस = 16 वर्ग(91/3)

चूँकि एक नियमित पिरामिड के तीनों फलक बराबर होते हैं, पार्श्व सतह का क्षेत्रफल बराबर होगा
3एस = 48 √(91/3)

उत्तर: 48 √(91/3)

समस्या 3. एक नियमित पिरामिड का कुल सतह क्षेत्र ज्ञात कीजिए

एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की भुजा 3 सेमी है और पार्श्व फलक और पिरामिड के आधार के बीच का कोण 45 डिग्री है। पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये.

समाधान.
चूँकि पिरामिड नियमित है, इसके आधार पर एक समबाहु त्रिभुज है। अतः आधार का क्षेत्रफल है


तो = 9 * √3/4

पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम ऊँचाई KM की गणना करते हैं। समस्या के अनुसार, कोण OKM 45 डिग्री है।
इस प्रकार:
ओके/एमके = कॉस 45
आइए लाभ उठाएं

गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी करते समय, छात्रों को बीजगणित और ज्यामिति के अपने ज्ञान को व्यवस्थित करना होगा। मैं सभी ज्ञात जानकारी को संयोजित करना चाहूंगा, उदाहरण के लिए, पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें। इसके अलावा, आधार और पार्श्व किनारों से शुरू करके संपूर्ण सतह क्षेत्र तक। यदि पार्श्व फलकों के साथ स्थिति स्पष्ट है, क्योंकि वे त्रिभुज हैं, तो आधार हमेशा भिन्न होता है।

पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

यह बिल्कुल कोई भी आकृति हो सकती है: एक मनमाना त्रिभुज से एक एन-गॉन तक। और यह आधार, कोणों की संख्या में अंतर के अतिरिक्त, एक नियमित आकृति या अनियमित आकृति हो सकता है। एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों में, जिनमें स्कूली बच्चों की रुचि होती है, केवल आधार पर सही आंकड़ों वाले कार्य होते हैं। इसलिए हम उन्हीं के बारे में बात करेंगे.

नियमित त्रिकोण

अर्थात् समबाहु। वह जिसमें सभी भुजाएँ समान हों और अक्षर "ए" द्वारा निर्दिष्ट हों। इस मामले में, पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस = (ए 2 * √3) / 4.

वर्ग

इसके क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र सबसे सरल है, यहाँ "ए" फिर से पक्ष है:

मनमाना नियमित एन-गॉन

बहुभुज के किनारे पर समान अंकन होता है। कोणों की संख्या के लिए लैटिन अक्षर n का प्रयोग किया जाता है।

एस = (एन * ए 2) / (4 * टीजी (180º/एन))।

पार्श्व और कुल सतह क्षेत्र की गणना करते समय क्या करें?

क्योंकि आधार पर झूठ है सही आंकड़ा, तो पिरामिड के सभी फलक बराबर हो जाते हैं। इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक एक समद्विबाहु त्रिभुज है पार्श्व पसलियाँबराबर हैं. फिर गणना करने के लिए पार्श्व क्षेत्रपिरामिड, आपको समान एकपदी के योग से युक्त एक सूत्र की आवश्यकता होगी। पदों की संख्या आधार की भुजाओं की संख्या से निर्धारित होती है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना उस सूत्र द्वारा की जाती है जिसमें आधार के आधे उत्पाद को ऊँचाई से गुणा किया जाता है। पिरामिड में इस ऊँचाई को एपोटेम कहा जाता है। इसका पदनाम "ए" है। पार्श्व सतह क्षेत्र का सामान्य सूत्र है:

एस = ½ पी*ए, जहां पी पिरामिड के आधार की परिधि है।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब आधार की भुजाएँ ज्ञात नहीं होती हैं, लेकिन पार्श्व किनारे (सी) और इसके शीर्ष पर समतल कोण (α) दिए जाते हैं। फिर आपको पिरामिड के पार्श्व क्षेत्र की गणना के लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

S = n/2 * 2 पाप α में .

कार्य क्रमांक 1

स्थिति।पिरामिड का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि इसके आधार की भुजा 4 सेमी है और एपोथेम का मान √3 सेमी है।

समाधान।आपको आधार की परिधि की गणना करके शुरुआत करने की आवश्यकता है। क्योंकि यह नियमित त्रिकोण, तो पी = 3*4 = 12 सेमी चूंकि एपोटेम ज्ञात है, हम तुरंत संपूर्ण पार्श्व सतह के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं: ½*12*√3 = 6√3 सेमी 2।

आधार पर त्रिभुज के लिए, आपको निम्नलिखित क्षेत्र मान मिलता है: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 सेमी 2।

संपूर्ण क्षेत्र निर्धारित करने के लिए, आपको दो परिणामी मान जोड़ने की आवश्यकता होगी: 6√3 + 4√3 = 10√3 सेमी 2।

उत्तर। 10√3 सेमी 2.

समस्या क्रमांक 2

स्थिति. यहाँ एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड है। आधार पक्ष की लंबाई 7 मिमी है, पार्श्व किनारा 16 मिमी है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान।चूँकि बहुफलक चतुष्कोणीय और नियमित है, इसका आधार एक वर्ग है। एक बार जब आप आधार और पार्श्व फलकों का क्षेत्रफल जान लेंगे, तो आप पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना करने में सक्षम होंगे। वर्ग का सूत्र ऊपर दिया गया है। और पार्श्व फलकों के लिए, त्रिभुज की सभी भुजाएँ ज्ञात हैं। इसलिए, आप उनके क्षेत्रफल की गणना के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

पहली गणना सरल है और निम्नलिखित संख्या तक ले जाती है: 49 मिमी 2। दूसरे मान के लिए, आपको अर्ध-परिधि की गणना करने की आवश्यकता होगी: (7 + 16*2): 2 = 19.5 मिमी। अब आप एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 मिमी 2। ऐसे केवल चार त्रिभुज हैं, इसलिए अंतिम संख्या की गणना करते समय आपको इसे 4 से गुणा करना होगा।

यह निकला: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 मिमी 2।

उत्तर. वांछित मान 267.576 मिमी 2 है।

समस्या क्रमांक 3

स्थिति. सही चतुर्भुज पिरामिडआपको क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है. वर्ग की भुजा 6 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी ज्ञात होती है।

समाधान।सबसे आसान तरीका परिधि और एपोथेम के गुणनफल के साथ सूत्र का उपयोग करना है। पहला मान ढूँढना आसान है. दूसरा थोड़ा अधिक जटिल है.

हमें पाइथागोरस प्रमेय को याद रखना होगा और विचार करना होगा कि यह पिरामिड की ऊंचाई और एपोथेम, जो कि कर्ण है, से बनता है। दूसरा पैर वर्ग की आधी भुजा के बराबर है, क्योंकि बहुफलक की ऊंचाई इसके मध्य में पड़ती है।

आवश्यक एपोटेम (एक समकोण त्रिभुज का कर्ण) √(3 2 + 4 2) = 5 (सेमी) के बराबर है।

अब आप आवश्यक मान की गणना कर सकते हैं: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (सेमी 2)।

उत्तर। 96 सेमी 2.

समस्या क्रमांक 4

स्थिति।दाना सही पक्षइसके आधार 22 मिमी, पार्श्व पसलियाँ 61 मिमी हैं। इस बहुफलक का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है?

समाधान।इसमें तर्क वही है जो कार्य संख्या 2 में वर्णित है। केवल वहाँ आधार पर एक वर्ग के साथ एक पिरामिड दिया गया था, और अब यह एक षट्भुज है।

सबसे पहले, आधार क्षेत्र की गणना उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके की जाती है: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 सेमी 2।

अब आपको एक समद्विबाहु त्रिभुज का अर्ध-परिधि ज्ञात करना होगा, जो पार्श्व फलक है। (22+61*2):2 = 72 सेमी। ऐसे प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करना बाकी है, और फिर इसे छह से गुणा करें और इसे आधार के लिए प्राप्त एक में जोड़ें।

हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके गणना: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 सेमी 2. गणना जो पार्श्व सतह क्षेत्र देगी: 660 * 6 = 3960 सेमी 2। पूरी सतह का पता लगाने के लिए उन्हें जोड़ना बाकी है: 5217.47≈5217 सेमी 2।

उत्तर।आधार 726√3 सेमी 2 है, पार्श्व सतह 3960 सेमी 2 है, संपूर्ण क्षेत्रफल 5217 सेमी 2 है।

पिरामिड का सतह क्षेत्र. इस लेख में हम नियमित पिरामिड से जुड़ी समस्याओं पर गौर करेंगे। मैं आपको याद दिला दूं कि एक नियमित पिरामिड एक पिरामिड होता है जिसका आधार एक नियमित बहुभुज होता है, पिरामिड का शीर्ष इस बहुभुज के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

ऐसे पिरामिड का पार्श्व फलक एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है।एक नियमित पिरामिड के शीर्ष से खींचे गए इस त्रिभुज की ऊंचाई को एपोथेम कहा जाता है, एसएफ - एपोथेम:

नीचे प्रस्तुत समस्या के प्रकार में, आपको संपूर्ण पिरामिड का सतह क्षेत्र या उसकी पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा। ब्लॉग ने पहले ही नियमित पिरामिडों के साथ कई समस्याओं पर चर्चा की है, जहां तत्वों (ऊंचाई, आधार किनारा, पार्श्व किनारा) को खोजने का सवाल उठाया गया था।

में एकीकृत राज्य परीक्षा असाइनमेंटएक नियम के रूप में, नियमित त्रिकोणीय, चतुर्भुज और षट्कोणीय पिरामिड माने जाते हैं। मैंने नियमित पंचकोणीय और सप्तकोणीय पिरामिडों के साथ कोई समस्या नहीं देखी है।

संपूर्ण सतह के क्षेत्रफल का सूत्र सरल है - आपको पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल और उसकी पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का योग ज्ञात करना होगा:

आइए कार्यों पर विचार करें:

एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार की भुजाएँ 72 हैं, पार्श्व किनारे 164 हैं। इस पिरामिड का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

पिरामिड का सतह क्षेत्र पार्श्व सतह और आधार के क्षेत्रों के योग के बराबर है:

*पार्श्व सतह में समान क्षेत्रफल के चार त्रिभुज होते हैं। पिरामिड का आधार एक वर्ग है।

हम इसका उपयोग करके पिरामिड के किनारे के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं:

इस प्रकार, पिरामिड का सतह क्षेत्र है:

उत्तर: 28224

एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड के आधार की भुजाएँ 22 के बराबर होती हैं, पार्श्व किनारे 61 के बराबर होते हैं। इस पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का आधार एक नियमित षट्भुज होता है।

इस पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र में 61,61 और 22 भुजाओं वाले समान त्रिभुजों के छह क्षेत्र शामिल हैं:

आइए हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

इस प्रकार, पार्श्व सतह क्षेत्र है:

उत्तर: 3240

*ऊपर प्रस्तुत समस्याओं में, पार्श्व फलक का क्षेत्रफल किसी अन्य त्रिभुज सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है, लेकिन इसके लिए आपको एपोथेम की गणना करने की आवश्यकता है।

27155. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का सतह क्षेत्र ज्ञात करें जिसकी आधार भुजाएँ 6 हैं और जिसकी ऊँचाई 4 है।

पिरामिड का सतह क्षेत्र ज्ञात करने के लिए, हमें आधार का क्षेत्रफल और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल जानना होगा:

आधार का क्षेत्रफल 36 है क्योंकि यह भुजा 6 वाला एक वर्ग है।

पार्श्व सतह में चार फलक होते हैं, जो हैं समान त्रिकोण. ऐसे त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसका आधार और ऊंचाई (एपोटेम) जानना होगा:

*एक त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार के आधे गुणनफल और इस आधार पर खींची गई ऊँचाई के बराबर होता है।

आधार ज्ञात है, यह छह के बराबर है। आइए ऊँचाई ज्ञात करें। आइए विचार करें सही त्रिकोण(यह पीले रंग में हाइलाइट किया गया है):

एक पैर 4 के बराबर है, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है, दूसरा 3 के बराबर है, क्योंकि यह आधार के आधे किनारे के बराबर है। हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण ज्ञात कर सकते हैं:

इसका मतलब है कि पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है:

इस प्रकार, पूरे पिरामिड का सतह क्षेत्र है:

उत्तर: 96

27069. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के आधार की भुजाएँ 10 के बराबर हैं, पार्श्व किनारे 13 के बराबर हैं। इस पिरामिड का सतह क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

27070. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड के आधार की भुजाएँ 10 के बराबर होती हैं, पार्श्व किनारे 13 के बराबर होते हैं। इस पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात कीजिए।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए भी सूत्र हैं। एक नियमित पिरामिड में, आधार पार्श्व सतह का एक ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है, इसलिए:

पी- आधार परिधि, एल- पिरामिड का एपोटेम

*यह सूत्र त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र पर आधारित है।

यदि आप इस बारे में अधिक जानना चाहते हैं कि ये सूत्र कैसे प्राप्त होते हैं, तो इसे न चूकें, लेखों के प्रकाशन का अनुसरण करें।बस इतना ही। आप सौभाग्यशाली हों!

सादर, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख।

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।