यहां आप पिरामिड और संबंधित सूत्रों और अवधारणाओं के बारे में बुनियादी जानकारी पा सकते हैं। उन सभी का अध्ययन एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी के लिए एक गणित शिक्षक के साथ किया जाता है।

एक समतल, एक बहुभुज पर विचार करें , इसमें पड़ा हुआ है और एक बिंदु S, इसमें नहीं पड़ा हुआ है। आइए S को बहुभुज के सभी शीर्षों से जोड़ें। परिणामी बहुफलक को पिरामिड कहा जाता है। खंडों को पार्श्व पसलियाँ कहा जाता है। बहुभुज को आधार कहा जाता है, और बिंदु S पिरामिड का शीर्ष है। संख्या n के आधार पर, पिरामिड को त्रिकोणीय (n=3), चतुष्कोणीय (n=4), पंचकोणीय (n=5) इत्यादि कहा जाता है। त्रिकोणीय पिरामिड का एक वैकल्पिक नाम है चतुर्पाश्वीय. पिरामिड की ऊंचाई उसके शीर्ष से आधार के तल तक उतरने वाला लंबवत है।

पिरामिड को नियमित यदि कहा जाता है एक नियमित बहुभुज, और पिरामिड की ऊंचाई का आधार (लंबवत का आधार) इसका केंद्र है।

शिक्षक की टिप्पणी:
"नियमित पिरामिड" और "नियमित टेट्राहेड्रोन" की अवधारणाओं को भ्रमित न करें। यू नियमित पिरामिडकिनारे के किनारे आवश्यक रूप से आधार के किनारों के बराबर नहीं होते हैं, लेकिन एक नियमित टेट्राहेड्रोन में सभी 6 किनारे बराबर होते हैं। यही उसकी परिभाषा है. यह सिद्ध करना आसान है कि समानता का अर्थ है कि बहुभुज का केंद्र P संपाती है आधार ऊंचाई के साथ, इसलिए एक नियमित टेट्राहेड्रोन एक नियमित पिरामिड है।

एपोटेम क्या है?
पिरामिड का एपोथेम उसके पार्श्व फलक की ऊँचाई है। यदि पिरामिड नियमित है, तो उसके सभी उपशीर्षक समान हैं। इसका विपरीत सत्य नहीं है.

एक गणित शिक्षक अपनी शब्दावली के बारे में: पिरामिड के साथ 80% काम दो प्रकार के त्रिकोणों के माध्यम से किया जाता है:
1) एपोथेम एसके और ऊंचाई एसपी युक्त
2) पार्श्व किनारे SA और उसके प्रक्षेपण PA से युक्त

इन त्रिभुजों के संदर्भों को सरल बनाने के लिए, गणित शिक्षक के लिए उनमें से पहले को कॉल करना अधिक सुविधाजनक है एपोथेमिक, और दूसरा तटीय. दुर्भाग्य से, आपको यह शब्दावली किसी भी पाठ्यपुस्तक में नहीं मिलेगी, और शिक्षक को इसे एकतरफा पेश करना होगा।

पिरामिड आयतन सूत्र:
1) , पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल कहां है, और पिरामिड की ऊंचाई कहां है
2) , खुदे हुए गोले की त्रिज्या कहां है, और क्षेत्रफल कहां है पूरी सतहपिरामिड.
3) , जहां एमएन किन्हीं दो क्रॉसिंग किनारों के बीच की दूरी है, और शेष चार किनारों के मध्य बिंदुओं द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र है।

पिरामिड की ऊंचाई के आधार की संपत्ति:

बिंदु P (चित्र देखें) पिरामिड के आधार पर अंकित वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है यदि निम्नलिखित में से कोई एक शर्त पूरी होती है:
1) सभी एपोथेम समान हैं
2) सभी पार्श्व फलक आधार की ओर समान रूप से झुके हुए हैं
3) सभी एपोथेम पिरामिड की ऊंचाई पर समान रूप से झुके हुए हैं
4) पिरामिड की ऊंचाई सभी पार्श्व सतहों पर समान रूप से झुकी हुई है

गणित शिक्षक की टिप्पणी: कृपया ध्यान दें कि सभी बिंदु एक सामान्य संपत्ति से एकजुट होते हैं: एक तरह से या किसी अन्य, पार्श्व चेहरे हर जगह शामिल होते हैं (एपोटेम्स उनके तत्व हैं)। इसलिए, शिक्षक कम सटीक, लेकिन सीखने के लिए अधिक सुविधाजनक सूत्रीकरण की पेशकश कर सकता है: बिंदु पी, अंकित वृत्त के केंद्र, पिरामिड के आधार के साथ मेल खाता है, अगर इसके पार्श्व चेहरों के बारे में कोई समान जानकारी है। इसे सिद्ध करने के लिए, यह दिखाना पर्याप्त है कि सभी एपोथेम त्रिभुज समान हैं।

यदि तीन स्थितियों में से एक सत्य है, तो बिंदु P पिरामिड के आधार के निकट परिचालित वृत्त के केंद्र के साथ संपाती होता है:
1) सभी पार्श्व किनारे बराबर हैं
2) सभी पार्श्व पसलियाँ आधार की ओर समान रूप से झुकी हुई हैं
3) सभी तरफ की पसलियां ऊंचाई पर समान रूप से झुकी हुई हैं

• एपोटेम- एक नियमित पिरामिड के पार्श्व चेहरे की ऊंचाई, जो इसके शीर्ष से खींची जाती है (इसके अलावा, एपोथेम लंबवत की लंबाई है, जो नियमित बहुभुज के मध्य से उसके एक तरफ तक कम होती है);
• पार्श्व चेहरे (एएसबी, बीएससी, सीएसडी, डीएसए) - त्रिभुज जो शीर्ष पर मिलते हैं;
• पार्श्व पसलियाँ ( जैसा , बी.एस. , सी.एस. , डी.एस. ) — पार्श्व फलकों की सामान्य भुजाएँ;
• पिरामिड के शीर्ष (टी. एस) - एक बिंदु जो पार्श्व पसलियों को जोड़ता है और जो आधार के तल में स्थित नहीं होता है;
• ऊंचाई ( इसलिए ) - पिरामिड के शीर्ष से होकर उसके आधार के तल तक खींचा गया एक लंबवत खंड (ऐसे खंड के सिरे पिरामिड के शीर्ष और लंबवत के आधार होंगे);
• पिरामिड का विकर्ण खंड- पिरामिड का एक भाग जो आधार के शीर्ष और विकर्ण से होकर गुजरता है;
• आधार (ए बी सी डी) - एक बहुभुज जो पिरामिड के शीर्ष से संबंधित नहीं है।

पिरामिड के गुण.

1. जब सभी पार्श्व किनारों का आकार समान हो, तो:

• पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व पसलियां आधार के तल के साथ समान कोण बनाती हैं;
• इसके अलावा, इसका विपरीत भी सत्य है, अर्थात्। जब पार्श्व पसलियाँ आधार के तल के साथ बनती हैं समान कोण, या जब पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा, जिसका अर्थ है कि पिरामिड के सभी किनारे एक ही आकार के हैं।

2. जब पार्श्व फलकों का आधार के तल पर झुकाव का कोण समान मान का हो, तो:

• पिरामिड के आधार के पास एक वृत्त का वर्णन करना आसान है, और पिरामिड के शीर्ष को इस वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाएगा;
• पार्श्व फलकों की ऊंचाई समान लंबाई की है;
• पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार की परिधि और पार्श्व पृष्ठ की ऊंचाई के गुणनफल के ½ के बराबर है।

3. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड के आधार पर एक बहुभुज हो जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सके (एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त)। गोले का केंद्र उन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा जो पिरामिड के लंबवत किनारों के मध्य से होकर गुजरते हैं। इस प्रमेय से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक गोले को किसी भी त्रिकोणीय और किसी भी नियमित पिरामिड के चारों ओर वर्णित किया जा सकता है।

4. यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान पहले बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त) पर प्रतिच्छेद करते हैं तो एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। यह बिंदु गोले का केंद्र बन जाएगा.

सबसे सरल पिरामिड.

कोणों की संख्या के आधार पर, पिरामिड के आधार को त्रिकोणीय, चतुष्कोणीय, इत्यादि में विभाजित किया गया है।

एक पिरामिड होगा त्रिकोणीय, चौकोर, और इसी तरह, जब पिरामिड का आधार एक त्रिकोण, एक चतुर्भुज, और इसी तरह होता है। एक त्रिकोणीय पिरामिड एक चतुष्फलक है - एक चतुष्फलक। चतुष्कोणीय - पंचकोणीय इत्यादि।

पिरामिड अवधारणा

परिभाषा 1

ज्यामितीय आकृति, एक बहुभुज द्वारा निर्मित और एक बिंदु जो इस बहुभुज वाले विमान में नहीं है, बहुभुज के सभी शीर्षों से जुड़ा हुआ है, पिरामिड कहलाता है (चित्र 1)।

जिस बहुभुज से पिरामिड बनाया जाता है, उसे पिरामिड का आधार कहा जाता है; परिणामी त्रिभुज, जब एक बिंदु से जुड़े होते हैं, तो पिरामिड के पार्श्व फलक होते हैं, त्रिभुजों की भुजाएँ पिरामिड की भुजाएँ होती हैं, और बिंदु उभयनिष्ठ होता है। सभी त्रिभुजों में पिरामिड का शीर्ष है।

पिरामिड के प्रकार

पिरामिड के आधार पर कोणों की संख्या के आधार पर, इसे त्रिकोणीय, चतुर्भुज, इत्यादि कहा जा सकता है (चित्र 2)।

चित्र 2।

पिरामिड का एक अन्य प्रकार नियमित पिरामिड है।

आइए हम एक नियमित पिरामिड की संपत्ति का परिचय दें और साबित करें।

प्रमेय 1

एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं जो एक दूसरे के बराबर होते हैं।

सबूत।

एक नियमित $n-$गोनल पिरामिड पर विचार करें जिसके शीर्ष $S$ की ऊंचाई $h=SO$ है। आइए आधार के चारों ओर एक वृत्त बनाएं (चित्र 4)।

चित्र 4.

त्रिभुज $SOA$ पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, हमें मिलता है

जाहिर है, किसी भी किनारे को इस तरह से परिभाषित किया जाएगा। नतीजतन, सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर हैं, अर्थात, सभी पार्श्व फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आइए हम साबित करें कि वे एक दूसरे के बराबर हैं। चूँकि आधार एक नियमित बहुभुज है, इसलिए सभी पार्श्व फलकों के आधार एक दूसरे के बराबर हैं। परिणामस्वरूप, त्रिभुजों की समानता के III मानदंड के अनुसार सभी पार्श्व फलक समान हैं।

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

आइए अब हम नियमित पिरामिड की अवधारणा से संबंधित निम्नलिखित परिभाषा का परिचय दें।

परिभाषा 3

एक नियमित पिरामिड का एपोथेम उसके पार्श्व फलक की ऊँचाई है।

जाहिर है, प्रमेय एक के अनुसार, सभी एपोथेम एक दूसरे के बराबर हैं।

प्रमेय 2

एक नियमित पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र आधार और एपोथेम के अर्ध-परिधि के उत्पाद के रूप में निर्धारित किया जाता है।

सबूत।

आइए हम $n-$गोनल पिरामिड के आधार के किनारे को $a$ से और एपोटेम को $d$ से निरूपित करें। अत: पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर है

चूँकि, प्रमेय 1 के अनुसार, सब कुछ दोनों पक्षतो फिर बराबर हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

पिरामिड का एक अन्य प्रकार छोटा पिरामिड है।

परिभाषा 4

यदि एक साधारण पिरामिड के माध्यम से उसके आधार के समानांतर एक विमान खींचा जाता है, तो इस विमान और आधार के विमान के बीच बनी आकृति को काटे गए पिरामिड कहा जाता है (चित्र 5)।

चित्र 5. कटा हुआ पिरामिड

काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं।

प्रमेय 3

एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र आधारों और एपोथेम के अर्ध-परिधि के योग के उत्पाद के रूप में निर्धारित किया जाता है।

सबूत।

आइए हम $n-$गोनल पिरामिड के आधारों की भुजाओं को क्रमशः $a\ और\ b$ से और एपोटेम को $d$ से निरूपित करें। अत: पार्श्व फलक का क्षेत्रफल बराबर है

चूँकि सभी भुजाएँ समान हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

नमूना कार्य

उदाहरण 1

एक काटे गए त्रिकोणीय पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करें यदि यह आधार भुजा 4 और एपोथेम 5 वाले एक नियमित पिरामिड से पार्श्व फलकों की मध्य रेखा से गुजरने वाले समतल को काटकर प्राप्त किया गया है।

समाधान।

के बारे में प्रमेय द्वारा मध्य रेखाहमने पाया कि काटे गए पिरामिड का ऊपरी आधार $4\cdot \frac(1)(2)=2$ के बराबर है, और एपोटेम $5\cdot \frac(1)(2)=2.5$ के बराबर है।

फिर, प्रमेय 3 से, हम पाते हैं

परिभाषा

पिरामिडएक बहुफलक एक बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) और \(n\) त्रिभुजों से बना है, जिसका एक उभयनिष्ठ शीर्ष \(P\) है (बहुभुज के तल में नहीं है) और भुजाएं इसके विपरीत हैं, जो इसके साथ मेल खाती हैं। बहुभुज के किनारे.
पदनाम: \(PA_1A_2...A_n\) .
उदाहरण: पंचकोणीय पिरामिड \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

त्रिभुज \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), आदि। कहा जाता है पार्श्व चेहरेपिरामिड, खंड \(PA_1, PA_2\), आदि। – पार्श्व पसलियाँ, बहुभुज \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – आधार, बिंदु \(P\) - शीर्ष.

ऊंचाईपिरामिड पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक उतरा हुआ एक लंब है।

एक पिरामिड जिसके आधार पर एक त्रिभुज होता है, कहलाता है चतुर्पाश्वीय.

पिरामिड कहा जाता है सही, यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और निम्नलिखित शर्तों में से एक पूरी होती है:

\((a)\) पिरामिड के पार्श्व किनारे बराबर हैं;

\((बी)\) पिरामिड की ऊंचाई आधार के निकट परिचालित वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है;

\((c)\) पार्श्व पसलियां आधार के तल पर एक ही कोण पर झुकी हुई हैं।

\((d)\) पार्श्व फलक आधार के तल पर एक ही कोण पर झुके हुए हैं।

नियमित चतुष्फलक- यह त्रिकोणीय पिरामिड, जिसके सभी फलक समान समबाहु त्रिभुज हैं।

प्रमेय

स्थितियाँ \((a), (b), (c), (d)\) समतुल्य हैं।

सबूत

आइए पिरामिड \(PH\) की ऊंचाई ज्ञात करें। मान लीजिए \(\alpha\) पिरामिड के आधार का तल है।

1) आइए हम साबित करें कि \((a)\) का तात्पर्य \((b)\) है। मान लीजिए \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

क्योंकि \(PH\perp \alpha\), तो \(PH\) इस तल में पड़ी किसी भी रेखा पर लंबवत है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज समकोण हैं। इसका मतलब यह है कि ये त्रिभुज उभयनिष्ठ पाद \(PH\) और कर्ण \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) में बराबर हैं। इसका मतलब है \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . इसका मतलब है कि बिंदु \(A_1, A_2, ..., A_n\) बिंदु \(H\) से समान दूरी पर हैं, इसलिए, वे त्रिज्या \(A_1H\) के साथ एक ही वृत्त पर स्थित हैं। परिभाषा के अनुसार, यह वृत्त बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) के चारों ओर परिचालित है।

2) आइए हम साबित करें कि \((b)\) का तात्पर्य \((c)\) है।

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)आयताकार और दो पैरों पर बराबर। इसका मतलब यह है कि उनके कोण भी बराबर हैं, इसलिए, \(\कोण PA_1H=\कोण PA_2H=...=\कोण PA_nH\).

3) आइए हम साबित करें कि \((c)\) का तात्पर्य \((a)\) है।

पहले बिंदु के समान, त्रिकोण \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)आयताकार और पैर के साथ और तेज़ कोने. इसका मतलब है कि उनके कर्ण भी बराबर हैं, यानी, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) ।

4) आइए हम साबित करें कि \((b)\) से यह \((d)\) का अनुसरण करता है।

क्योंकि एक नियमित बहुभुज में, परिबद्ध और खुदे हुए वृत्तों के केंद्र संपाती होते हैं (सामान्यतया, इस बिंदु को एक नियमित बहुभुज का केंद्र कहा जाता है), तो \(H\) खुदे हुए वृत्त का केंद्र होता है। आइए बिंदु \(H\) से आधार की भुजाओं पर लंब बनाएं: \(HK_1, HK_2\), आदि। ये अंकित वृत्त की त्रिज्याएँ हैं (परिभाषा के अनुसार)। फिर, टीटीपी के अनुसार (\(PH\) समतल पर लंबवत है, \(HK_1, HK_2\), आदि प्रक्षेपण हैं, पक्षों के लंबवत) तिरछा \(PK_1, PK_2\), आदि। \(A_1A_2, A_2A_3\), आदि भुजाओं के लंबवत। क्रमश। तो, परिभाषा के अनुसार \(\कोण PK_1H, \कोण PK_2H\)पार्श्व फलकों और आधार के बीच के कोण के बराबर। क्योंकि त्रिभुज \(PK_1H, PK_2H, ...\) बराबर हैं (दोनों तरफ आयताकार के रूप में), तो कोण \(\कोण PK_1H, \कोण PK_2H, ...\)बराबर हैं।

5) आइए हम साबित करें कि \((d)\) का तात्पर्य \((b)\) है।

चौथे बिंदु के समान, त्रिकोण \(PK_1H, PK_2H, ...\) बराबर हैं (पैर के साथ आयताकार और तीव्र कोण के रूप में), जिसका अर्थ है कि खंड \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) हैं बराबर। इसका मतलब है, परिभाषा के अनुसार, \(H\) आधार में अंकित वृत्त का केंद्र है। लेकिन क्योंकि नियमित बहुभुजों के लिए, उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र संपाती होते हैं, तो \(H\) परिबद्ध वृत्त का केंद्र होता है। Chtd.

परिणाम

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा

किसी नियमित पिरामिड के शीर्ष से खींची गई पार्श्व सतह की ऊँचाई कहलाती है एपोटेम.
एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व चेहरों के एपोथेम एक दूसरे के बराबर होते हैं और मध्यिका और समद्विभाजक भी होते हैं।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड की ऊँचाई आधार की ऊँचाइयों (या समद्विभाजक, या माध्यिका) के प्रतिच्छेदन बिंदु पर पड़ती है (आधार एक नियमित त्रिभुज है)।

2. ऊंचाई सही है चतुर्भुज पिरामिडआधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर पड़ता है (आधार एक वर्ग है)।

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड की ऊंचाई आधार के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर पड़ती है (आधार एक नियमित षट्भुज है)।

4. पिरामिड की ऊंचाई आधार पर स्थित किसी भी सीधी रेखा के लंबवत होती है।

परिभाषा

पिरामिड कहा जाता है आयताकार, यदि इसका एक पार्श्व किनारा आधार के तल पर लंबवत है।

महत्वपूर्ण लेख

1. एक आयताकार पिरामिड में, आधार का लंबवत किनारा पिरामिड की ऊंचाई है। अर्थात्, \(SR\) ऊँचाई है।

2. क्योंकि \(SR\) आधार से किसी भी रेखा पर लंबवत है \(\त्रिकोण एसआरएम, \त्रिकोण एसआरपी\)– समकोण त्रिभुज.

3. त्रिकोण \(\त्रिभुज SRN, \त्रिकोण SRK\)- आयताकार भी.
अर्थात् इस किनारे से बना कोई भी त्रिभुज और आधार पर स्थित इस किनारे के शीर्ष से निकलने वाला विकर्ण आयताकार होगा।

\[(\बड़ा(\पाठ(पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र)))\]

प्रमेय

पिरामिड का आयतन आधार के क्षेत्रफल और पिरामिड की ऊंचाई के गुणनफल के एक तिहाई के बराबर है: \

नतीजे

मान लीजिए \(a\) आधार की भुजा है, \(h\) पिरामिड की ऊंचाई है।

1. एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(समकोण त्रिभुज.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड का आयतन है \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड का आयतन होता है \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. एक नियमित चतुष्फलक का आयतन होता है \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

प्रमेय

एक नियमित पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल आधार और एपोथेम की परिधि के आधे उत्पाद के बराबर होता है।

\[(\बड़ा(\पाठ(फ्रस्टम)))\]

परिभाषा

एक मनमाना पिरामिड \(PA_1A_2A_3...A_n\) पर विचार करें। आइए हम पिरामिड के पार्श्व किनारे पर स्थित एक निश्चित बिंदु के माध्यम से पिरामिड के आधार के समानांतर एक विमान बनाएं। यह समतल पिरामिड को दो पॉलीहेड्रा में विभाजित करेगा, जिनमें से एक पिरामिड (\(PB_1B_2...B_n\)) है, और दूसरे को पिरामिड कहा जाता है छोटा पिरामिड(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

काटे गए पिरामिड के दो आधार हैं - बहुभुज \(A_1A_2...A_n\) और \(B_1B_2...B_n\) जो एक दूसरे के समान हैं।

एक काटे गए पिरामिड की ऊंचाई ऊपरी आधार के किसी बिंदु से निचले आधार के तल तक खींची गई एक लंबवत रेखा है।

महत्वपूर्ण लेख

1. काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलक समलम्ब चतुर्भुज हैं।

2. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड (अर्थात, एक नियमित पिरामिड के क्रॉस-सेक्शन द्वारा प्राप्त पिरामिड) के आधारों के केंद्रों को जोड़ने वाला खंड ऊंचाई है।

पिरामिड. कटा हुआ पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक है, जिसका एक फलक बहुभुज है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( पार्श्व चेहरे ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है (चित्र 16)। वह त्रिभुजाकार पिरामिड कहलाता है जिसके सभी किनारे बराबर हों चतुर्पाश्वीय .

पार्श्व पसलीपिरामिड के पार्श्व फलक का वह भाग होता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है ऊंचाई पिरामिड इसके शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी है। एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। शीर्ष से खींचे गए नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊँचाई कहलाती है एपोटेम . विकर्ण खंड पिरामिड का एक खंड दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले एक विमान द्वारा कहा जाता है जो एक ही चेहरे से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग है। कुल सतह क्षेत्रफल इसे सभी पार्श्व फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिचालित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारे हों समान लंबाई, फिर पिरामिड के शीर्ष को आधार के निकट परिचालित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

3. यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाने पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सही सूत्र है:

कहाँ वी- आयतन;

एस आधार- आधार क्षेत्र;

एच-पिरामिड की ऊंचाई.

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सही हैं:

कहाँ पी- आधार परिधि;

हा ए– एपोटेम;

एच- ऊंचाई;

एस भरा हुआ

एस ओर

एस आधार- आधार क्षेत्र;

वी– एक नियमित पिरामिड का आयतन.

कटा हुआ पिरामिडपिरामिड के आधार और आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरे पिरामिड के भाग को कहा जाता है (चित्र 17)। नियमित रूप से काटे गए पिरामिड यह एक नियमित पिरामिड का हिस्सा है जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरा होता है।

मैदानकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। पार्श्व चेहरे - ट्रेपेज़ोइड्स। ऊंचाई एक काटे गए पिरामिड की दूरी उसके आधारों के बीच की दूरी है। विकर्ण एक कटा हुआ पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही सतह पर नहीं होते हैं। विकर्ण खंड एक विमान द्वारा काटे गए पिरामिड का एक खंड दो पार्श्व किनारों से होकर गुजरता है जो एक ही सतह से संबंधित नहीं हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ एस 1 , एस 2 - ऊपरी और निचले आधारों के क्षेत्र;

एस भरा हुआ- कुल सतह क्षेत्रफल;

एस ओर- पार्श्व सतह क्षेत्र;

एच- ऊंचाई;

वी- एक काटे गए पिरामिड का आयतन।

नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए सूत्र सही है:

कहाँ पी 1 , पी 2 - आधारों की परिधि;

हा ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोटेम।

उदाहरण 1।एक नियमित त्रिकोणीय पिरामिड में, आधार पर डायहेड्रल कोण 60º होता है। झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा ज्ञात कीजिए पार्श्व पसलीआधार तल तक.

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड सही है, जिसका अर्थ आधार है समान भुजाओं वाला त्रिकोणऔर सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व पृष्ठ और आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण ही कोण है एदो लंबों के बीच: आदि। पिरामिड का शीर्ष त्रिभुज के केंद्र (परिवृत्त का केंद्र और त्रिभुज का अंकित वृत्त) पर प्रक्षेपित है एबीसी). पार्श्व किनारे के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए)। एस.बी.) किनारे और आधार के तल पर उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। पसली के लिए एस.बी.यह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्शरेखा ज्ञात करने के लिए आपको पाद जानने की आवश्यकता है इसलिएऔर ओ.बी.. चलो खंड की लंबाई बी.डी 3 के बराबर है ए. डॉट के बारे मेंरेखा खंड बी.डीभागों में विभाजित है: तथा से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 2.एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात करें यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी के बराबर हैं, और इसकी ऊंचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानते हुए, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी के बराबर हैं। इसका अर्थ है आधारों का क्षेत्रफल और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड के आयतन की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी 3.

उदाहरण 3.एक नियमित त्रिभुजाकार काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके आधारों की भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व फलक एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको आधार और ऊँचाई जानने की आवश्यकता है। आधार शर्त के अनुसार दिये गये हैं, केवल ऊँचाई अज्ञात रहती है। हम उसे कहां से ढूंढेंगे ए 1 इएक बिंदु से लंबवत ए 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी– से लंबवत ए 1 प्रति एसी. ए 1 इ= 2 सेमी, चूँकि यह पिरामिड की ऊँचाई है। ढूँढ़ने के लिए डेआइए शीर्ष दृश्य दिखाते हुए एक अतिरिक्त चित्र बनाएं (चित्र 20)। डॉट के बारे में- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीक है– वृत्त में अंकित त्रिज्या तथा ओम– एक वृत्त में अंकित त्रिज्या:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण 4.पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलंब है, जिसके आधार हैं एऔर बी (ए> बी). प्रत्येक पार्श्व फलक पिरामिड के आधार के तल के बराबर एक कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीक्षेत्रफलों के योग और समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर ए बी सी डी.

आइए इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी चेहरे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। डॉट के बारे में- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर. त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेआधार के तल तक. ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय द्वारा सपाट आकृतिहम पाते हैं:

वैसे ही इसका मतलब है इस प्रकार, समस्या समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने तक सीमित रह गई ए बी सी डी. आइए एक समलम्ब चतुर्भुज बनाएं ए बी सी डीअलग से (चित्र 22)। डॉट के बारे में- एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित वृत्त का केंद्र।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो या पाइथागोरस प्रमेय से हमारे पास है