प्रिज्म सूत्र का पार्श्व किनारा. चश्मे

परिभाषा। चश्मेएक बहुफलक है, जिसके सभी शीर्ष दो समानांतर तलों में स्थित हैं, और इन्हीं दो तलों में प्रिज्म के दो फलक स्थित हैं, जो क्रमशः समान बहुभुज हैं समानांतर भुजाएँ, और इन तलों में न पड़े सभी किनारे समानांतर हैं।

दो समान चेहरेकहा जाता है प्रिज्म आधार(एबीसीडीई, ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1).

प्रिज्म के अन्य सभी फलक कहलाते हैं पार्श्व चेहरे(एए 1 बी 1 बी, बीबी 1 सी 1 सी, सीसी 1 डी 1 डी, डीडी 1 ई 1 ई, ईई 1 ए 1 ए)।

सभी पार्श्व फलक बनते हैं प्रिज्म की पार्श्व सतह .

प्रिज्म के सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज हैं .

वे किनारे जो आधारों पर स्थित नहीं होते, प्रिज्म के पार्श्व किनारे कहलाते हैं ( एए 1, बीबी 1, सीसी 1, डीडी 1, ईई 1).

प्रिज्म विकर्ण एक खंड है जिसके सिरे एक प्रिज्म के दो शीर्ष हैं जो एक ही फलक पर स्थित नहीं हैं (AD 1)।

प्रिज्म के आधारों तथा दोनों आधारों के लंब को एक ही समय में जोड़ने वाले खंड की लंबाई कहलाती है प्रिज्म की ऊंचाई .

पद का नाम:एबीसीडीई ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1. (पहले, ट्रैवर्सल के क्रम में, एक आधार के शीर्षों को दर्शाया जाता है, और फिर, उसी क्रम में, दूसरे के शीर्षों को दर्शाया जाता है; प्रत्येक पार्श्व किनारे के सिरों को समान अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, केवल एक आधार में स्थित शीर्षों को दर्शाया जाता है एक सूचकांक के बिना अक्षरों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है, और दूसरे में - एक सूचकांक के साथ)

प्रिज्म का नाम उसके आधार पर स्थित आकृति में कोणों की संख्या से जुड़ा है, उदाहरण के लिए, चित्र 1 में आधार पर एक पंचकोण है, इसलिए प्रिज्म को कहा जाता है पंचकोणीय प्रिज्म. लेकिन क्योंकि ऐसे प्रिज्म के 7 चेहरे हैं, तो यह हेप्टाहेड्रोन(2 फलक - प्रिज्म के आधार, 5 फलक - समांतर चतुर्भुज, - इसके पार्श्व फलक)

सीधे प्रिज्मों के बीच, एक विशेष प्रकार सामने आता है: नियमित प्रिज्म।

सीधा प्रिज्म कहलाता है सही,यदि इसके आधार नियमित बहुभुज हैं।

समानांतर खात

आयताकार समान्तर चतुर्भुज- एक समकोण चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है।

गुण और प्रमेय:

,

जहाँ d वर्ग का विकर्ण है;
a वर्ग की भुजा है.

प्रिज्म का एक विचार निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

• विभिन्न स्थापत्य संरचनाएँ;
• बच्चों के खिलौने;
• पैकेजिंग बक्से;
• डिजाइनर आइटम, आदि

प्रिज्म की कुल एवं पार्श्व सतह का क्षेत्रफल

एस पूर्ण = एस पक्ष + 2एस मुख्य,

कहाँ एस भरा हुआ- कुल सतह क्षेत्र, एस ओर-पार्श्व सतह क्षेत्र, एस आधार- आधार क्षेत्र

एक सीधे प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है.

एस ओर= पी बेसिक * एच,

कहाँ एस ओर-सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल,

पी मुख्य - सीधे प्रिज्म के आधार की परिधि,

h सीधे प्रिज्म की ऊंचाई है, जो पार्श्व किनारे के बराबर है।

प्रिज्म आयतन

प्रिज्म का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

समानांतर तलों में स्थित बहुभुज ABCDE और FHKMP को प्रिज्म का आधार कहा जाता है, आधार के किसी भी बिंदु से दूसरे के तल पर डाला गया लंबवत OO 1 प्रिज्म की ऊंचाई कहलाता है। समांतर चतुर्भुज ABHF, BCKH, आदि। प्रिज्म के पार्श्व फलक कहलाते हैं, और आधारों के संगत शीर्षों को जोड़ने वाली उनकी भुजाएँ SC, DM आदि पार्श्व किनारे कहलाती हैं। एक प्रिज्म में, सभी पार्श्व किनारे समानांतर विमानों के बीच घिरे समानांतर सीधी रेखाओं के खंडों के रूप में एक दूसरे के बराबर होते हैं।
प्रिज्म को सीधी रेखा कहा जाता है ( चित्र 282, बी) या तिरछा ( चित्र.282,सी) यह इस पर निर्भर करता है कि इसकी पार्श्व पसलियां आधारों से लंबवत हैं या झुकी हुई हैं। एक सीधे प्रिज्म में आयताकार पार्श्व फलक होते हैं। ऐसे प्रिज्म की ऊँचाई इस प्रकार ली जा सकती है पार्श्व पसली.
एक लंब प्रिज्म को नियमित प्रिज्म कहा जाता है यदि इसका आधार नियमित बहुभुज हो। ऐसे प्रिज्म में, सभी पार्श्व फलक समान आयत होते हैं।
एक जटिल चित्र में एक प्रिज्म को चित्रित करने के लिए, आपको उन तत्वों को जानना और चित्रित करने में सक्षम होना चाहिए जिनमें यह शामिल है (एक बिंदु, एक सीधी रेखा, एक सपाट आकृति)।
और जटिल ड्राइंग में उनकी छवि (चित्र 283, ए - आई)

क) एक प्रिज्म का जटिल चित्रण। प्रिज्म का आधार प्रक्षेपण तल पी 1 पर स्थित है; प्रिज्म का एक पार्श्व फलक प्रक्षेपण तल P2 के समानांतर है।
बी) प्रिज्म DEF के आधार के पास - सपाट आकृति - नियमित त्रिकोण, विमान पी 1 में स्थित; त्रिभुज DE की भुजा x-अक्ष 12 के समानांतर है - क्षैतिज प्रक्षेपण दिए गए आधार के साथ विलीन हो जाता है और इसलिए, इसके प्राकृतिक आकार के बराबर है; ललाट प्रक्षेपण x 12 अक्ष के साथ विलीन हो जाता है और प्रिज्म के आधार के किनारे के बराबर होता है।
ग) एबीसी प्रिज्म का ऊपरी आधार एक सपाट आकृति है - क्षैतिज तल में स्थित एक त्रिकोण। क्षैतिज प्रक्षेपण निचले आधार के प्रक्षेपण के साथ विलीन हो जाता है और इसे ढक देता है, क्योंकि प्रिज्म सीधा है; ललाट प्रक्षेपण - सीधा, x 12 अक्ष के समानांतर, प्रिज्म की ऊंचाई की दूरी पर।
d) ABED प्रिज्म का पार्श्व फलक एक सपाट आकृति है - ललाट तल में स्थित एक आयत। ललाट प्रक्षेपण - चेहरे के प्राकृतिक आकार के बराबर एक आयत; क्षैतिज प्रक्षेपण प्रिज्म के आधार के किनारे के बराबर एक सीधी रेखा है।
ई) और एफ) एसीएफडी और सीबीईएफ प्रिज्म के पार्श्व चेहरे सपाट आंकड़े हैं - प्रक्षेपण विमान पी 2 से 60 डिग्री के कोण पर स्थित क्षैतिज प्रक्षेपण विमानों में स्थित आयताकार। क्षैतिज प्रक्षेपण सीधी रेखाएं हैं, जो x12 अक्ष पर 60° के कोण पर स्थित हैं, और प्रिज्म के आधार के किनारों के प्राकृतिक आकार के बराबर हैं; ललाट प्रक्षेपण आयताकार होते हैं, जिनकी छवि आदमकद से छोटी होती है: प्रत्येक आयत की दो भुजाएँ प्रिज्म की ऊँचाई के बराबर होती हैं।
छ) प्रिज्म का किनारा AD एक सीधी रेखा है, जो प्रक्षेपण तल P 1 के लंबवत है। क्षैतिज प्रक्षेपण - बिंदु; ललाट - सीधा, x 12 अक्ष के लंबवत, प्रिज्म के पार्श्व किनारे (प्रिज्म की ऊंचाई) के बराबर।
ज) ऊपरी आधार की भुजा AB सीधी है, समतल P 1 और P 2 के समानांतर है। क्षैतिज और ललाट प्रक्षेपण सीधे, x 12 अक्ष के समानांतर और प्रिज्म के दिए गए आधार के किनारे के बराबर होते हैं। ललाट प्रक्षेपण प्रिज्म की ऊंचाई के बराबर दूरी पर x-अक्ष 12 से फैला हुआ है।
i) प्रिज्म के शीर्ष. बिंदु E - निचले आधार का शीर्ष समतल P 1 पर स्थित है। क्षैतिज प्रक्षेपण बिंदु के साथ ही मेल खाता है; ललाट - x 12 अक्ष पर स्थित है बिंदु C - ऊपरी आधार का शीर्ष - अंतरिक्ष में स्थित है। क्षैतिज प्रक्षेपण में गहराई होती है; ललाट - इस प्रिज्म की ऊँचाई के बराबर ऊँचाई।
इससे यह निष्कर्ष निकलता है: किसी भी बहुफलक को डिज़ाइन करते समय, आपको इसे मानसिक रूप से इसके घटक तत्वों में विभाजित करने और क्रमिक ग्राफिक संचालन से मिलकर, उनके प्रतिनिधित्व का क्रम निर्धारित करने की आवश्यकता होती है।चित्र 284 और 285 प्रदर्शन करते समय अनुक्रमिक ग्राफिकल संचालन के उदाहरण दिखाते हैं जटिल रेखांकनऔर प्रिज्म का दृश्य प्रतिनिधित्व (एक्सोनोमेट्री)।
(चित्र 284)।

दिया गया:
1. आधार प्रक्षेपण तल P 1 पर स्थित है।
2. आधार का कोई भी पक्ष x-अक्ष 12 के समानांतर नहीं है।
I. जटिल ड्राइंग।
मैं, ए.
हम समतल P1 में स्थित स्थिति के अनुसार निचले आधार - एक बहुभुज को डिज़ाइन करते हैं।
मैं, बी.
हम ऊपरी आधार को डिज़ाइन करते हैं - निचले आधार के बराबर एक बहुभुज जिसकी भुजाएं निचले आधार के समानांतर होती हैं, जो दिए गए प्रिज्म की ऊंचाई एच द्वारा निचले आधार से दूरी पर होती है।
मैं सी। हम प्रिज्म के पार्श्व किनारों को डिज़ाइन करते हैं - समानांतर में स्थित खंड; उनके क्षैतिज प्रक्षेपण आधारों के शीर्षों के प्रक्षेपण के साथ विलय करने वाले बिंदु हैं; ललाट - समान नाम के आधारों के शीर्षों के प्रक्षेपणों को सीधी रेखाओं से जोड़ने से प्राप्त खंड (समानांतर)। निचले आधार के शीर्ष बी और सी के प्रक्षेपण से खींची गई पसलियों के ललाट प्रक्षेपण को धराशायी रेखाओं से दर्शाया गया है, जैसे कि वे अदृश्य थे।
मैं, जी. दिया गया है: ऊपरी आधार पर बिंदु F का क्षैतिज प्रक्षेपण F 1 और पार्श्व फलक पर बिंदु K का ललाट प्रक्षेपण K 2। उनके दूसरे प्रक्षेपण के स्थान निर्धारित करना आवश्यक है।
बिंदु F के लिए. बिंदु F का दूसरा (ललाट) प्रक्षेपण F 2 ऊपरी आधार के प्रक्षेपण के साथ मेल खाएगा, इस आधार के तल में स्थित एक बिंदु के रूप में; इसका स्थान ऊर्ध्वाधर संचार लाइन द्वारा निर्धारित होता है।बिंदु K के लिए - बिंदु K का दूसरा (क्षैतिज) प्रक्षेपण K 1, पार्श्व चेहरे के क्षैतिज प्रक्षेपण के साथ मेल खाएगा, चेहरे के तल में स्थित एक बिंदु के रूप में; इसका स्थान ऊर्ध्वाधर संचार लाइन द्वारा निर्धारित होता है।
द्वितीय. प्रिज्म सतह विकास - पार्श्व फलकों से बनी एक सपाट आकृति - आयत, जिसमें दो भुजाएँ प्रिज्म की ऊँचाई के बराबर होती हैं, और अन्य दो आधार की संगत भुजाओं के बराबर होती हैं, और दो आधारों से एक दूसरे के बराबर - अनियमित बहुभुज .विकास के निर्माण के लिए आवश्यक चेहरों के आधारों और किनारों के प्राकृतिक आयाम अनुमानों पर प्रकट होते हैं; हम उन पर निर्माण करते हैं; एक सीधी रेखा पर हम बहुभुज की भुजाओं AB, BC, CD, DE और EA को क्रमिक रूप से आलेखित करते हैं - प्रिज्म के आधार से लिया गया
क्षैतिज प्रक्षेपण
. बिंदु A, B, C, D, E और A से खींचे गए लंबों पर, हम ललाट प्रक्षेपण से ली गई इस प्रिज्म की ऊंचाई H को आलेखित करते हैं और निशानों के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं। परिणामस्वरूप, हमें प्रिज्म के पार्श्व फलकों का स्कैन प्राप्त होता है।
तृतीय. डिमेट्री में एक प्रिज्म का दृश्य प्रतिनिधित्व।
तृतीय, ए.
हम बिंदु A, B, C, D और E के निर्देशांक के अनुसार प्रिज्म के निचले आधार को चित्रित करते हैं (चित्र 284 I, a)।
तृतीय, बी.
हम ऊपरी आधार को निचले आधार के समानांतर दर्शाते हैं, जो प्रिज्म की ऊंचाई एच से दूरी पर है।
तृतीय, सी.
हम आधारों के संगत शीर्षों को सीधी रेखाओं से जोड़कर पार्श्व किनारों को चित्रित करते हैं। हम प्रिज्म के दृश्य और अदृश्य तत्वों को निर्धारित करते हैं और उन्हें संबंधित रेखाओं से रेखांकित करते हैं,

दिया गया:
III, d. हम प्रिज्म की सतह पर बिंदु F और K निर्धारित करते हैं - बिंदु F - ऊपरी आधार पर आयाम i और e का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है; बिंदु K - i 1 और H का उपयोग करते हुए पार्श्व फलक पर"।
प्रिज्म की एक सममितीय छवि के लिए और बिंदु F और K के स्थान निर्धारित करने के लिए, उसी क्रम का पालन किया जाना चाहिए।
चित्र.285).
I. जटिल ड्राइंग।
1. आधार समतल P 1 पर स्थित है।
2. पार्श्व पसलियां पी 2 तल के समानांतर हैं।
3. आधार का कोई भी पक्ष x 12 अक्ष के समानांतर नहीं है
मैं, ए.
हम इस स्थिति के अनुसार डिज़ाइन करते हैं: निचला आधार P1 विमान में स्थित एक बहुभुज है, और पार्श्व किनारा P2 विमान के समानांतर एक खंड है और P1 विमान की ओर झुका हुआ है।
मैं, बी.
हम शेष पार्श्व किनारों को डिज़ाइन करते हैं - पहले किनारे एसई के बराबर और समानांतर खंड।
मैं सी। हम प्रिज्म के ऊपरी आधार को एक बहुभुज के रूप में डिजाइन करते हैं, जो निचले आधार के बराबर और समानांतर होता है, और प्रिज्म का एक जटिल चित्र प्राप्त करते हैं।
ए) बिंदु ए 2, बी 2, डी 2 से। . . ई 2 (आधारों के शीर्षों के ललाट प्रक्षेपण) हम पसलियों के प्रक्षेपणों के लंबवत सहायक सीधी रेखाएँ खींचते हैं;
बी) त्रिज्या आर ( पक्ष के बराबरआधार सीडी) हम बिंदु डी2 से खींची गई सहायक रेखा पर बिंदु डी पर एक पायदान बनाते हैं; सीधे बिंदुओं C 2 और D को जोड़कर और E 2 C 2 और C 2 D के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचकर, हम पार्श्व फलक CEFD प्राप्त करते हैं;
ग) फिर, निम्नलिखित पार्श्व फलकों को इसी प्रकार व्यवस्थित करके, हम प्रिज्म के पार्श्व फलकों का विकास प्राप्त करते हैं। इस प्रिज्म की सतह का पूर्ण विकास प्राप्त करने के लिए, हम इसे आधार के संगत चेहरों से जोड़ते हैं।
तृतीय. आइसोमेट्री में एक प्रिज्म का दृश्य प्रतिनिधित्व।
तृतीय, ए.

हम (के अनुसार निर्देशांक का उपयोग करते हुए, प्रिज्म के निचले आधार और किनारे CE को दर्शाते हैं)

सीधे प्रिज्म के बारे में सामान्य जानकारी प्रिज्म की पार्श्व सतह (अधिक सटीक रूप से, पार्श्व सतह क्षेत्र) कहलाती हैजोड़ पार्श्व चेहरों के क्षेत्र.पूर्ण सतह

प्रिज्म पार्श्व सतह और आधारों के क्षेत्रफल के योग के बराबर है।

प्रमेय 19.1. एक सीधे प्रिज्म की पार्श्व सतह आधार की परिधि और प्रिज्म की ऊंचाई, यानी पार्श्व किनारे की लंबाई के उत्पाद के बराबर होती है। सबूत। एक सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयत होते हैं। इन आयतों के आधार प्रिज्म के आधार पर स्थित बहुभुज की भुजाएँ हैं, और ऊँचाई पार्श्व किनारों की लंबाई के बराबर है। यह उसी का अनुसरण करता हैपार्श्व सतह

प्रिज्म बराबर है

एस = ए 1 एल + ए 2 एल + ... + ए एन एल = पीएल,

जहां a 1 और n आधार किनारों की लंबाई हैं, p प्रिज्म के आधार की परिधि है, और I पार्श्व किनारों की लंबाई है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

व्यावहारिक कार्य समस्या (22) . इसे एक झुके हुए प्रिज्म में किया जाता हैअनुभाग

, पार्श्व पसलियों के लंबवत और सभी पार्श्व पसलियों को काटते हुए। प्रिज्म की पार्श्व सतह ज्ञात करें यदि अनुप्रस्थ काट की परिधि p के बराबर है और पार्श्व किनारे l के बराबर हैं।

समाधान। खींचे गए खंड का तल प्रिज्म को दो भागों में विभाजित करता है (चित्र 411)। आइए उनमें से एक को प्रिज्म के आधारों को मिलाकर समानांतर अनुवाद के अधीन करें। इस मामले में, हमें एक सीधा प्रिज्म मिलता है, जिसका आधार मूल प्रिज्म का क्रॉस-सेक्शन है, और साइड किनारे एल के बराबर हैं। इस प्रिज्म की पार्श्व सतह मूल प्रिज्म के समान ही है। इस प्रकार, मूल प्रिज्म की पार्श्व सतह pl के बराबर है।

कवर किए गए विषय का सारांश

आइए अब प्रिज्म के बारे में हमने जो विषय कवर किया है उसे संक्षेप में प्रस्तुत करने का प्रयास करें और याद रखें कि प्रिज्म में क्या गुण हैं।

प्रिज्म गुण
सबसे पहले, एक प्रिज्म के सभी आधार समान बहुभुज के रूप में होते हैं;
दूसरे, एक प्रिज्म में उसके सभी पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं;

साथ ही, यह याद रखना चाहिए कि प्रिज्म जैसे पॉलीहेड्रा सीधे या झुके हुए हो सकते हैं।

किस प्रिज्म को सीधा प्रिज्म कहा जाता है?

यदि किसी प्रिज्म का पार्श्व किनारा उसके आधार के तल के लंबवत स्थित है, तो ऐसे प्रिज्म को सीधा प्रिज्म कहा जाता है।

यह स्मरण करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा कि एक सीधे प्रिज्म के पार्श्व फलक आयत होते हैं।

किस प्रकार के प्रिज्म को तिरछा कहा जाता है?

लेकिन यदि किसी प्रिज्म का पार्श्व किनारा उसके आधार के तल के लंबवत स्थित नहीं है, तो हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि यह एक झुका हुआ प्रिज्म है।

किस प्रिज्म को सही कहा जाता है?

यदि एक नियमित बहुभुज एक सीधे प्रिज्म के आधार पर स्थित है, तो ऐसा प्रिज्म नियमित होता है।

आइए अब उन गुणों को याद करें जो एक नियमित प्रिज्म में होते हैं।

एक नियमित प्रिज्म के गुण

सबसे पहले, नियमित बहुभुज हमेशा एक नियमित प्रिज्म के आधार के रूप में काम करते हैं;
दूसरे, यदि हम एक नियमित प्रिज्म के पार्श्व फलकों पर विचार करें, तो वे हमेशा समान आयत होते हैं;
तीसरा, यदि आप पार्श्व पसलियों के आकार की तुलना करते हैं, तो एक नियमित प्रिज्म में वे हमेशा बराबर होते हैं।
चौथा, एक सही प्रिज्म हमेशा सीधा होता है;
पांचवां, यदि किसी नियमित प्रिज्म में पार्श्व फलकों का आकार वर्गों जैसा हो, तो ऐसी आकृति को आमतौर पर अर्ध-नियमित बहुभुज कहा जाता है।

प्रिज्म क्रॉस सेक्शन

आइए अब प्रिज्म के क्रॉस सेक्शन को देखें:

गृहकार्य

आइए अब समस्याओं को हल करके सीखे गए विषय को समेकित करने का प्रयास करें।

आइए एक तिरछा चित्र बनाएं त्रिकोणीय प्रिज्म, जिसमें इसके किनारों के बीच की दूरी बराबर होगी: 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी, और इस प्रिज्म की पार्श्व सतह 60 सेमी2 के बराबर होगी। इन मापदंडों को ध्यान में रखते हुए, इस प्रिज्म का पार्श्व किनारा खोजें।

क्या आप यह जानते हैं ज्यामितीय आकारन केवल ज्यामिति पाठों में, बल्कि अंदर भी हमें लगातार घेरते रहते हैं रोजमर्रा की जिंदगीऐसी वस्तुएं हैं जो किसी न किसी ज्यामितीय आकृति से मिलती जुलती हैं।

प्रत्येक घर, स्कूल या कार्यस्थल पर एक कंप्यूटर होता है जिसकी सिस्टम यूनिट एक सीधे प्रिज्म के आकार की होती है।

यदि आप एक साधारण पेंसिल उठाएंगे तो आप देखेंगे कि पेंसिल का मुख्य भाग एक प्रिज्म है।

साथ चलना मुख्य मार्गशहर, हम देखते हैं कि हमारे पैरों के नीचे एक टाइल पड़ी है जिसका आकार षटकोणीय प्रिज्म जैसा है।

ए. वी. पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक