द्विघात समीकरणों को एक मूल से हल करना। द्विघातीय समीकरण। विभेदक। समाधान, उदाहरण

कई लोगों के ऐसा न होने के कारण यह विषय पहली बार में कठिन लग सकता है सरल सूत्र. न केवल द्विघात समीकरणों में स्वयं लंबे अंकन होते हैं, बल्कि विवेचक के माध्यम से जड़ें भी पाई जाती हैं। कुल मिलाकर, तीन नए सूत्र प्राप्त होते हैं। याद रखना बहुत आसान नहीं है. ऐसे समीकरणों को बार-बार हल करने पर ही यह संभव है। फिर सारे सूत्र अपने आप याद हो जायेंगे।

द्विघात समीकरण का सामान्य दृश्य

यहां हम उनकी स्पष्ट रिकॉर्डिंग का प्रस्ताव करते हैं, जब सबसे अधिक उच्च डिग्रीपहले लिखा, और फिर घटते क्रम में। अक्सर ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब शर्तें असंगत होती हैं। फिर चर की डिग्री के अवरोही क्रम में समीकरण को फिर से लिखना बेहतर है।

आइए कुछ संकेतन का परिचय दें। उन्हें नीचे दी गई तालिका में प्रस्तुत किया गया है।

यदि हम इन नोटेशनों को स्वीकार करते हैं, तो सभी द्विघात समीकरण निम्नलिखित नोटेशन में कम हो जाते हैं।

इसके अलावा, गुणांक a ≠ 0. मान लीजिए कि इस सूत्र को नंबर एक नामित किया गया है।

जब कोई समीकरण दिया जाता है तो यह स्पष्ट नहीं होता कि उत्तर में कितने मूल होंगे। क्योंकि तीन विकल्पों में से एक हमेशा संभव है:

• समाधान की दो जड़ें होंगी;
• उत्तर एक अंक होगा;
• समीकरण की कोई जड़ नहीं होगी।

और जब तक निर्णय अंतिम नहीं हो जाता, तब तक यह समझना मुश्किल है कि किसी विशेष मामले में कौन सा विकल्प सामने आएगा।

द्विघात समीकरणों की रिकॉर्डिंग के प्रकार

कार्यों में अलग-अलग प्रविष्टियाँ हो सकती हैं। वे हमेशा सामान्य द्विघात समीकरण सूत्र की तरह नहीं दिखेंगे। कभी-कभी इसमें कुछ शर्तें गायब होंगी। ऊपर जो लिखा गया वह पूरा समीकरण है। यदि आप इसमें दूसरा या तीसरा पद हटा दें तो आपको कुछ और मिलता है। इन अभिलेखों को द्विघात समीकरण भी कहा जाता है, जो केवल अधूरे हैं।

इसके अलावा, केवल गुणांक "बी" और "सी" वाले शब्द ही गायब हो सकते हैं। संख्या "ए" किसी भी परिस्थिति में शून्य के बराबर नहीं हो सकती। क्योंकि इस स्थिति में सूत्र बन जाता है रैखिक समीकरण. समीकरणों के अपूर्ण रूप के सूत्र इस प्रकार होंगे:

तो, केवल दो प्रकार के होते हैं; पूर्ण के अलावा, अपूर्ण द्विघात समीकरण भी होते हैं। मान लीजिए पहला सूत्र नंबर दो है, और दूसरा - तीन।

इसके मूल्य पर जड़ों की संख्या का विभेदक और निर्भरता

समीकरण के मूलों की गणना करने के लिए आपको यह संख्या जानना आवश्यक है। इसकी गणना हमेशा की जा सकती है, चाहे द्विघात समीकरण का सूत्र कोई भी हो। विवेचक की गणना करने के लिए, आपको नीचे लिखी समानता का उपयोग करने की आवश्यकता है, जिसमें संख्या चार होगी।

इस सूत्र में गुणांक मानों को प्रतिस्थापित करने के बाद, आप संख्याएँ प्राप्त कर सकते हैं विभिन्न संकेत. यदि उत्तर हाँ है, तो समीकरण का उत्तर दो भिन्न मूल होंगे। यदि संख्या ऋणात्मक है, तो द्विघात समीकरण की कोई जड़ें नहीं होंगी। यदि यह शून्य के बराबर है, तो केवल एक ही उत्तर होगा।

संपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल करें?

दरअसल, इस मसले पर विचार शुरू हो चुका है. क्योंकि सबसे पहले आपको एक विवेचक ढूंढना होगा। यह निर्धारित होने के बाद कि द्विघात समीकरण की जड़ें हैं, और उनकी संख्या ज्ञात है, आपको चर के लिए सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता है। यदि दो जड़ें हैं, तो आपको निम्नलिखित सूत्र लागू करने की आवश्यकता है।

चूँकि इसमें "±" चिन्ह है, इसलिए दो मान होंगे। वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति विभेदक है। इसलिए, सूत्र को अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है।

फॉर्मूला नंबर पांच. उसी रिकॉर्ड से यह स्पष्ट है कि यदि विवेचक शून्य के बराबर है, तो दोनों मूल समान मान लेंगे।

यदि द्विघात समीकरणों को हल करना अभी तक संभव नहीं हो पाया है, तो विभेदक और चर सूत्रों को लागू करने से पहले सभी गुणांकों के मूल्यों को लिख लेना बेहतर है। बाद में यह क्षण कठिनाइयों का कारण नहीं बनेगा। लेकिन शुरुआत में ही भ्रम की स्थिति है.

अपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल करें?

यहां सब कुछ बहुत सरल है. अतिरिक्त फ़ॉर्मूले की भी आवश्यकता नहीं है. और जो पहले से ही विभेदक और अज्ञात के लिए लिखे गए हैं उनकी आवश्यकता नहीं होगी।

आइए पहले विचार करें अधूरा समीकरणदूसरे नंबर पर. इस समानता में अज्ञात मात्रा को कोष्ठक से निकालकर रैखिक समीकरण को हल करना आवश्यक है, जो कोष्ठक में ही रहेगा। उत्तर की दो जड़ें होंगी. पहला आवश्यक रूप से शून्य के बराबर है, क्योंकि चर में ही एक गुणक होता है। दूसरा एक रैखिक समीकरण को हल करके प्राप्त किया जाएगा।

अपूर्ण समीकरण संख्या तीन को संख्या को समानता के बाईं ओर से दाईं ओर ले जाकर हल किया जाता है। फिर आपको अज्ञात का सामना करने वाले गुणांक से विभाजित करने की आवश्यकता है। जो कुछ बचा है वह वर्गमूल निकालना है और इसे विपरीत चिह्नों के साथ दो बार लिखना याद रखें।

नीचे कुछ चरण दिए गए हैं जो आपको यह सीखने में मदद करेंगे कि सभी प्रकार की समानताओं को कैसे हल किया जाए जो द्विघात समीकरणों में बदल जाती हैं। वे छात्र को असावधानी के कारण होने वाली गलतियों से बचने में मदद करेंगे। किसी व्यापक विषय का अध्ययन करते समय ये कमियाँ खराब ग्रेड का कारण बन सकती हैं।" द्विघातीय समीकरण(8वीं कक्षा)।" इसके बाद, इन क्रियाओं को लगातार करने की आवश्यकता नहीं होगी। क्योंकि एक स्थिर कौशल दिखाई देगा.

• सबसे पहले आपको समीकरण को मानक रूप में लिखना होगा। अर्थात्, पहले चर की सबसे बड़ी घात वाला पद, और फिर - बिना घात वाला, और अंतिम - केवल एक संख्या।

• यदि गुणांक "ए" से पहले एक माइनस दिखाई देता है, तो यह द्विघात समीकरणों का अध्ययन करने वाले शुरुआती के लिए काम को जटिल बना सकता है। इससे छुटकारा पाना ही बेहतर है. इस प्रयोजन के लिए, संपूर्ण समानता को "-1" से गुणा किया जाना चाहिए। इसका मतलब यह है कि सभी पद विपरीत दिशा में संकेत बदल देंगे।

• इसी प्रकार भिन्नों से छुटकारा पाने की अनुशंसा की जाती है। बस समीकरण को उचित कारक से गुणा करें ताकि हर रद्द हो जाए।

उदाहरण

निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल करना आवश्यक है:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12एक्स + एक्स 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

पहला समीकरण: x 2 − 7x = 0. यह अधूरा है, इसलिए इसे सूत्र संख्या दो में वर्णित अनुसार हल किया गया है।

कोष्ठक से बाहर निकालने पर यह प्राप्त होता है: x (x - 7) = 0.

पहला मूल मान लेता है: x 1 = 0. दूसरा रैखिक समीकरण से पाया जाएगा: x - 7 = 0. यह देखना आसान है कि x 2 = 7.

दूसरा समीकरण: 5x 2 + 30 = 0. फिर अधूरा। केवल इसे तीसरे सूत्र के अनुसार हल किया गया है।

30 को समीकरण के दाईं ओर ले जाने के बाद: 5x 2 = 30। अब आपको 5 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह निकलता है: x 2 = 6। उत्तर संख्याएं होंगी: x 1 = √6, x 2 = - √6.

तीसरा समीकरण: 15 − 2x − x 2 = 0. यहां और आगे, द्विघात समीकरणों को मानक रूप में फिर से लिखकर हल करना शुरू होगा: − x 2 − 2x + 15 = 0. अब दूसरे का उपयोग करने का समय आ गया है उपयोगी सलाहऔर हर चीज़ को शून्य से एक से गुणा करें। यह x 2 + 2x - 15 = 0 निकला। चौथे सूत्र का उपयोग करके, आपको विवेचक की गणना करने की आवश्यकता है: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64। यह एक सकारात्मक संख्या है। ऊपर जो कहा गया है, उससे यह पता चलता है कि समीकरण की दो जड़ें हैं। उन्हें पांचवें सूत्र का उपयोग करके गणना करने की आवश्यकता है। यह पता चला कि x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. फिर x 1 = 3, x 2 = - 5.

चौथा समीकरण x 2 + 8 + 3x = 0 इस प्रकार परिवर्तित होता है: x 2 + 3x + 8 = 0. इसका विभेदक इस मान के बराबर है: -23. चूँकि यह संख्या ऋणात्मक है, इस कार्य का उत्तर निम्नलिखित प्रविष्टि होगी: "कोई जड़ें नहीं हैं।"

पांचवें समीकरण 12x + x 2 + 36 = 0 को इस प्रकार फिर से लिखा जाना चाहिए: x 2 + 12x + 36 = 0. विवेचक के लिए सूत्र लागू करने के बाद, संख्या शून्य प्राप्त होती है। इसका मतलब है कि इसका एक मूल होगा, अर्थात्: x = -12/ (2 * 1) = -6।

छठे समीकरण (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) में परिवर्तन की आवश्यकता है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि आपको पहले कोष्ठक खोलकर समान पद लाने की आवश्यकता है। पहले के स्थान पर निम्नलिखित अभिव्यक्ति होगी: x 2 + 2x + 1. समानता के बाद, यह प्रविष्टि दिखाई देगी: x 2 + 3x + 2. समान पदों की गणना के बाद, समीकरण रूप लेगा: x 2 - x = 0. यह अधूरा हो गया है. इससे मिलती-जुलती बात पर पहले ही थोड़ा ऊपर चर्चा की जा चुकी है। इसके मूल अंक 0 और 1 होंगे।

द्विघात समीकरण - हल करना आसान! *इसके बाद इसे "केयू" कहा जाएगा।दोस्तों, ऐसा प्रतीत होता है कि गणित में ऐसे समीकरण को हल करने से ज्यादा आसान कुछ नहीं हो सकता। लेकिन किसी चीज़ ने मुझे बताया कि कई लोगों को उससे समस्या है। मैंने यह देखने का निर्णय लिया कि यांडेक्स प्रति माह कितने ऑन-डिमांड इंप्रेशन देता है। यहाँ क्या हुआ, देखिये:

इसका मतलब क्या है? इसका मतलब है कि प्रति माह लगभग 70,000 लोग इसे खोज रहे हैं यह जानकारी, इस गर्मी का इससे क्या लेना-देना है और इनके बीच क्या होगा शैक्षणिक वर्ष- दोगुने अनुरोध होंगे। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि वे लड़के और लड़कियां जो बहुत पहले स्कूल से स्नातक हो चुके हैं और एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी कर रहे हैं, वे इस जानकारी की तलाश में हैं, और स्कूली बच्चे भी अपनी याददाश्त को ताज़ा करने का प्रयास करते हैं।

इस तथ्य के बावजूद कि बहुत सारी साइटें हैं जो आपको बताती हैं कि इस समीकरण को कैसे हल किया जाए, मैंने भी योगदान देने और सामग्री प्रकाशित करने का निर्णय लिया। सबसे पहले, मैं चाहता हूं कि आगंतुक इस अनुरोध के आधार पर मेरी साइट पर आएं; दूसरे, अन्य लेखों में, जब "केयू" का विषय आएगा, तो मैं इस लेख का एक लिंक प्रदान करूंगा; तीसरा, मैं आपको उसके समाधान के बारे में अन्य साइटों की तुलना में थोड़ा और बताऊंगा। आएँ शुरू करें!लेख की सामग्री:

द्विघात समीकरण इस प्रकार का एक समीकरण है:

जहां गुणांक ए,बीऔर c मनमाना संख्याएँ हैं, a≠0 के साथ।

में स्कूल पाठ्यक्रमसामग्री निम्नलिखित रूप में दी गई है - समीकरणों को सशर्त रूप से तीन वर्गों में विभाजित किया गया है:

1. इनकी दो जड़ें होती हैं।

2. *केवल एक ही जड़ हो.

3. उनकी कोई जड़ नहीं है. यहां यह विशेष रूप से ध्यान देने योग्य है कि उनकी वास्तविक जड़ें नहीं हैं

जड़ों की गणना कैसे की जाती है? अभी!

हम विवेचक की गणना करते हैं। इस "भयानक" शब्द के नीचे एक बहुत ही सरल सूत्र निहित है:

मूल सूत्र इस प्रकार हैं:

*आपको इन सूत्रों को याद रखना होगा।

आप तुरंत लिख सकते हैं और हल कर सकते हैं:

उदाहरण:

1. यदि D > 0, तो समीकरण के दो मूल हैं।

2. यदि D = 0 है, तो समीकरण का एक मूल है।

3. यदि डी< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

आइए समीकरण देखें:

इस संबंध में, जब विवेचक शून्य के बराबर होता है, तो स्कूल पाठ्यक्रम कहता है कि एक जड़ प्राप्त होती है, यहाँ यह नौ के बराबर है। सब कुछ सही है, ऐसा है, लेकिन...

यह विचार कुछ हद तक गलत है. वस्तुतः दो जड़ें हैं। हाँ, हाँ, आश्चर्यचकित न हों, आपको दो समान मूल मिलते हैं, और गणितीय रूप से सटीक होने के लिए, उत्तर में दो मूल लिखे जाने चाहिए:

एक्स 1 = 3 एक्स 2 = 3

लेकिन ऐसा है - एक छोटा सा विषयांतर। स्कूल में आप इसे लिख सकते हैं और कह सकते हैं कि जड़ एक है।

अब अगला उदाहरण:

जैसा कि हम जानते हैं, किसी ऋणात्मक संख्या का मूल नहीं निकाला जा सकता, इसलिए समाधान इसमें होता है इस मामले मेंनहीं।

यही पूरी निर्णय प्रक्रिया है.

द्विघात फलन.

इससे पता चलता है कि समाधान ज्यामितीय रूप से कैसा दिखता है। इसे समझना बेहद ज़रूरी है (भविष्य में, एक लेख में हम द्विघात असमानता के समाधान का विस्तार से विश्लेषण करेंगे)।

यह प्रपत्र का एक कार्य है:

जहाँ x और y चर हैं

ए, बी, सी - दी गई संख्याएं, ए ≠ 0 के साथ

ग्राफ़ एक परवलय है:

अर्थात्, यह पता चलता है कि शून्य के बराबर "y" वाले द्विघात समीकरण को हल करके, हम x अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं। इनमें से दो बिंदु हो सकते हैं (विवेचक सकारात्मक है), एक (विवेचक शून्य है) और कोई नहीं (विवेचक नकारात्मक है)। के बारे में विवरण द्विघात कार्य आप देख सकते हैंइन्ना फेल्डमैन का लेख।

आइए उदाहरण देखें:

उदाहरण 1: हल करें 2x 2 +8 एक्स–192=0

a=2 b=8 c= –192

डी=बी 2 -4ac = 8 2 -4∙2∙(-192) = 64+1536 = 1600

उत्तर: x 1 = 8 x 2 = -12

*समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को तुरंत 2 से विभाजित करना, अर्थात इसे सरल बनाना संभव था। गणना आसान हो जाएगी.

उदाहरण 2: तय करना एक्स 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

डी = बी 2 -4एसी =(-22) 2 -4∙1∙121 = 484-484 = 0

हमने पाया कि x 1 = 11 और x 2 = 11

उत्तर में x=11 लिखना अनुमत है।

उत्तर: x = 11

उदाहरण 3: तय करना x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

डी = बी 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

विवेचक नकारात्मक है, वास्तविक संख्याओं में कोई समाधान नहीं है।

उत्तर: कोई समाधान नहीं

विभेदक नकारात्मक है. एक समाधान है!

यहां हम उस स्थिति में समीकरण को हल करने के बारे में बात करेंगे जब एक नकारात्मक विवेचक प्राप्त होता है। क्या आप सम्मिश्र संख्याओं के बारे में कुछ जानते हैं? मैं यहां इस बारे में विस्तार से नहीं बताऊंगा कि वे क्यों और कहां उत्पन्न हुए और गणित में उनकी विशिष्ट भूमिका और आवश्यकता क्या है, यह एक बड़े अलग लेख का विषय है।

सम्मिश्र संख्या की अवधारणा.

थोड़ा सिद्धांत.

एक सम्मिश्र संख्या z रूप की एक संख्या है

z = ए + द्वि

जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, i तथाकथित काल्पनिक इकाई है।

ए+बी - यह एक एकल संख्या है, जोड़ नहीं।

काल्पनिक इकाई शून्य से एक के मूल के बराबर है:

अब समीकरण पर विचार करें:

हमें दो संयुग्मी जड़ें प्राप्त होती हैं।

अपूर्ण द्विघात समीकरण.

आइए विशेष मामलों पर विचार करें, यह तब होता है जब गुणांक "बी" या "सी" शून्य के बराबर होता है (या दोनों शून्य के बराबर होते हैं)। इन्हें बिना किसी भेदभाव के आसानी से हल किया जा सकता है।

केस 1. गुणांक बी = 0.

समीकरण बन जाता है:

आइए परिवर्तन करें:

उदाहरण:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

केस 2. गुणांक सी = 0.

समीकरण बन जाता है:

आइए रूपांतरित करें और गुणनखंड करें:

*जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर हो तो उत्पाद शून्य के बराबर होता है।

उदाहरण:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 या x–5 =0

एक्स 1 = 0 एक्स 2 = 5

केस 3. गुणांक b = 0 और c = 0.

यहाँ यह स्पष्ट है कि समीकरण का हल सदैव x = 0 होगा।

गुणांकों के उपयोगी गुण और पैटर्न।

ऐसे गुण हैं जो आपको बड़े गुणांक वाले समीकरणों को हल करने की अनुमति देते हैं।

एएक्स 2 + बीएक्स+ सी=0 समानता रखती है

ए + बी+ सी = 0,वह

- यदि समीकरण के गुणांकों के लिए एएक्स 2 + बीएक्स+ सी=0 समानता रखती है

ए+ सी =बी, वह

ये गुण निर्णय लेने में मदद करते हैं एक निश्चित प्रकारसमीकरण.

उदाहरण 1: 5001 एक्स 2 –4995 एक्स – 6=0

बाधाओं का योग 5001+ है( – 4995)+(– 6) = 0, जिसका अर्थ है

उदाहरण 2: 2501 एक्स 2 +2507 एक्स+6=0

समानता रखती है ए+ सी =बी, मतलब

गुणांकों की नियमितता.

1. यदि समीकरण ax 2 + bx + c = 0 में गुणांक "b" (a 2 +1) के बराबर है, और गुणांक "c" संख्यात्मक रूप से गुणांक "a" के बराबर है, तो इसकी जड़ें बराबर हैं

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

उदाहरण। समीकरण 6x 2 + 37x + 6 = 0 पर विचार करें।

x 1 = -6 x 2 = -1/6.

2. यदि समीकरण ax 2 - bx + c = 0 में गुणांक "b" (a 2 +1) के बराबर है, और गुणांक "c" संख्यात्मक रूप से गुणांक "a" के बराबर है, तो इसकी जड़ें बराबर हैं

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

उदाहरण। समीकरण 15x 2 –226x +15 = 0 पर विचार करें।

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. यदि समीकरण में।कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स - सी = 0 गुणांक "बी" (ए 2) के बराबर है - 1), और गुणांक "सी" संख्यात्मक रूप से गुणांक "ए" के बराबर है, तो उसकी जड़ें बराबर होती हैं

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

उदाहरण। समीकरण 17x 2 +288x – 17 = 0 पर विचार करें।

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. यदि समीकरण ax 2 - bx - c = 0 में गुणांक "b" (a 2 - 1) के बराबर है, और गुणांक c संख्यात्मक रूप से गुणांक "a" के बराबर है, तो इसकी जड़ें बराबर हैं

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

उदाहरण। समीकरण 10x 2 - 99x -10 = 0 पर विचार करें।

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

विएटा का प्रमेय.

विएटा प्रमेय का नाम प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रेंकोइस विएटा के नाम पर रखा गया है। विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, हम एक मनमाना केयू की जड़ों के योग और उत्पाद को उसके गुणांकों के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं।

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

कुल मिलाकर, संख्या 14 केवल 5 और 9 देती है। ये मूल हैं। एक निश्चित कौशल के साथ, प्रस्तुत प्रमेय का उपयोग करके, आप कई द्विघात समीकरणों को मौखिक रूप से तुरंत हल कर सकते हैं।

इसके अलावा, विएटा का प्रमेय। यह सुविधाजनक है कि द्विघात समीकरण को सामान्य तरीके से (विवेचक के माध्यम से) हल करने के बाद, परिणामी जड़ों की जाँच की जा सकती है। मैं हमेशा ऐसा करने की सलाह देता हूं.

परिवहन विधि

इस विधि के साथ, गुणांक "ए" को मुक्त पद से गुणा किया जाता है, जैसे कि इसे "फेंक दिया" जाता है, यही कारण है कि इसे कहा जाता है "स्थानांतरण" विधि.इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरण की जड़ें आसानी से पाई जा सकती हैं और, सबसे महत्वपूर्ण बात, जब विवेचक एक सटीक वर्ग होता है।

अगर ए± बी+सी≠ 0, तो स्थानांतरण तकनीक का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए:

2एक्स 2 – 11एक्स+ 5 = 0 (1) => एक्स 2 – 11एक्स+ 10 = 0 (2)

समीकरण (2) में विएटा के प्रमेय का उपयोग करके, यह निर्धारित करना आसान है कि x 1 = 10 x 2 = 1

समीकरण की परिणामी जड़ों को 2 से विभाजित किया जाना चाहिए (चूंकि दोनों को x 2 से "फेंक दिया गया" था), हमें मिलता है

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

तर्क क्या है? देखो क्या हो रहा है.

समीकरण (1) और (2) के विभेदक बराबर हैं:

यदि आप समीकरणों की जड़ों को देखते हैं, तो आपको केवल अलग-अलग हर मिलते हैं, और परिणाम सटीक रूप से x 2 के गुणांक पर निर्भर करता है:

दूसरे (संशोधित) की जड़ें 2 गुना बड़ी हैं।

इसलिए, हम परिणाम को 2 से विभाजित करते हैं।

*यदि हम तीनों को दोबारा रोल करते हैं, तो हम परिणाम को 3 से विभाजित कर देंगे, आदि।

उत्तर: x 1 = 5 x 2 = 0.5

वर्ग. यूआर-आईई और एकीकृत राज्य परीक्षा।

मैं आपको इसके महत्व के बारे में संक्षेप में बताऊंगा - आपको जल्दी और बिना सोचे निर्णय लेने में सक्षम होना चाहिए, आपको जड़ों और विभेदकों के सूत्रों को दिल से जानना होगा। एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों में शामिल कई समस्याएं द्विघात समीकरण (ज्यामितीय भी) को हल करने तक सीमित हैं।

ध्यान देने योग्य बात!

1. समीकरण लिखने का रूप "अंतर्निहित" हो सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित प्रविष्टि संभव है:

15+ 9x 2 - 45x = 0 या 15x+42+9x 2 - 45x=0 या 15 -5x+10x 2 = 0.

तुम्हें उसे लाने की जरूरत है मानक दृश्य(ताकि निर्णय लेते समय भ्रमित न हों)।

2. याद रखें कि x एक अज्ञात मात्रा है और इसे किसी अन्य अक्षर - t, q, p, h और अन्य द्वारा दर्शाया जा सकता है।

", अर्थात्, पहली डिग्री के समीकरण। इस पाठ में हम देखेंगे द्विघात समीकरण किसे कहते हैंऔर इसे कैसे हल करें।

द्विघात समीकरण क्या है?

महत्वपूर्ण!

किसी समीकरण की डिग्री उस उच्चतम डिग्री से निर्धारित होती है जिस पर अज्ञात खड़ा होता है।

यदि अधिकतम शक्ति जिसमें अज्ञात "2" है, तो आपके पास एक द्विघात समीकरण है।

द्विघात समीकरणों के उदाहरण

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• एक्स 2 − 8 = 0

महत्वपूर्ण! द्विघात समीकरण का सामान्य रूप इस प्रकार दिखता है:

ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0

"ए", "बी" और "सी" नंबर दिए गए हैं।

• "ए" पहला या उच्चतम गुणांक है;
• "बी" दूसरा गुणांक है;
• "सी" एक स्वतंत्र शब्द है.

"ए", "बी" और "सी" को खोजने के लिए आपको अपने समीकरण की तुलना द्विघात समीकरण "ax 2 + bx + c = 0" के सामान्य रूप से करनी होगी।

आइए द्विघात समीकरणों में गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करने का अभ्यास करें।

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

समीकरण	कठिनाइयाँ
ए = 5 बी = −14 सी = 17
ए = −7 बी = −13 सी = 8

1

3

= 0

• ए = −1
• बी = 1
• सी =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• ए = 1
• बी = 0.25
• सी = 0

एक्स 2 − 8 = 0

• ए = 1
• बी = 0
• सी = −8

द्विघात समीकरणों को कैसे हल करें

रैखिक समीकरणों के विपरीत, द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक विशेष विधि का उपयोग किया जाता है। जड़ें खोजने का सूत्र.

याद करना!

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए आपको चाहिए:

• द्विघात समीकरण को कम करें सामान्य उपस्थिति"ax 2 + bx + c = 0"।
• अर्थात् दाहिनी ओर केवल “0” ही रहना चाहिए;

जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग करें:

आइए एक उदाहरण देखें कि द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग कैसे करें। आइए एक द्विघात समीकरण को हल करें.

एक्स 2 − 3एक्स − 4 = 0 समीकरण "x 2 - 3x - 4 = 0" को पहले ही सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" में घटा दिया गया है और अतिरिक्त सरलीकरण की आवश्यकता नहीं है। इसे हल करने के लिए हमें बस आवेदन करने की जरूरत है.

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र

आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करें।
आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करें।
आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करें।
आइए इस समीकरण के लिए गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करें।

x 1;2 =

इसका उपयोग किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है।
सूत्र "x 1;2 = " में मूल अभिव्यक्ति को अक्सर बदल दिया जाता है

अक्षर "D" के लिए "b 2 − 4ac" को विवेचक कहा जाता है। विवेचक की अवधारणा पर "विभेदक क्या है" पाठ में अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

आइए द्विघात समीकरण का एक और उदाहरण देखें।

x 2 + 9 + x = 7x

इस रूप में, गुणांक "ए", "बी" और "सी" निर्धारित करना काफी कठिन है। आइए सबसे पहले समीकरण को सामान्य रूप "ax 2 + bx + c = 0" तक कम करें।
एक्स 2 + 9 + एक्स = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0

x 2 − 6x + 9 = 0

अब आप जड़ों के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =
एक्स 1;2 =
x 1;2 =

6

2

एक्स =
एक्स = 3

उत्तर: एक्स = 3

ऐसे समय होते हैं जब द्विघात समीकरणों का कोई मूल नहीं होता। यह स्थिति तब होती है जब सूत्र में मूल के अंतर्गत एक ऋणात्मक संख्या होती है।

"समीकरणों को हल करना" विषय को जारी रखते हुए, इस लेख की सामग्री आपको द्विघात समीकरणों से परिचित कराएगी।

आइए सब कुछ विस्तार से देखें: द्विघात समीकरण का सार और अंकन, साथ वाले शब्दों को परिभाषित करें, अपूर्ण और पूर्ण समीकरणों को हल करने की योजना का विश्लेषण करें, मूल और विभेदक के सूत्र से परिचित हों, मूल और गुणांक के बीच संबंध स्थापित करें, और निश्चित रूप से हम व्यावहारिक उदाहरणों का एक दृश्य समाधान देंगे।

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द्विघात समीकरण, इसके प्रकार

परिभाषा 1द्विघात समीकरण एक समीकरण के रूप में लिखा गया है, कहाँ एक्स– चर, ए , बी और सी- कुछ संख्याएँ, जबकि एशून्य नहीं है.

अक्सर, द्विघात समीकरणों को दूसरी डिग्री के समीकरण भी कहा जाता है, क्योंकि संक्षेप में यह एक द्विघात समीकरण होता है बीजगणितीय समीकरणदूसरी डिग्री.

आइए दी गई परिभाषा को स्पष्ट करने के लिए एक उदाहरण दें: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, आदि। ये द्विघात समीकरण हैं.

परिभाषा 2

संख्या ए, बी और सीद्विघात समीकरण के गुणांक हैं एक समीकरण के रूप में लिखा गया है, जबकि गुणांक एपहला, या वरिष्ठ, या x 2 पर गुणांक कहा जाता है, बी - दूसरा गुणांक, या गुणांक पर एक्स, ए सीएक स्वतंत्र सदस्य कहा जाता है.

उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण में 6 x 2 - 2 x - 11 = 0अग्रणी गुणांक 6 है, दूसरा गुणांक है − 2 , और मुक्त पद बराबर है − 11 . आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि जब गुणांक बीऔर/या c नकारात्मक हैं, तो उपयोग करें संक्षिप्त रूपरिकॉर्ड जैसे 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, नहीं 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

आइए हम इस पहलू को भी स्पष्ट करें: यदि गुणांक एऔर/या बीबराबर 1 या − 1 , तो वे द्विघात समीकरण लिखने में स्पष्ट रूप से भाग नहीं ले सकते हैं, जिसे संकेतित संख्यात्मक गुणांक लिखने की विशिष्टताओं द्वारा समझाया गया है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण में y 2 − y + 7 = 0अग्रणी गुणांक 1 है, और दूसरा गुणांक है − 1 .

लघुकृत और अघटीकृत द्विघात समीकरण

पहले गुणांक के मान के आधार पर, द्विघात समीकरणों को कम और कम किए गए में विभाजित किया गया है।

परिभाषा 3

कम किया गया द्विघात समीकरणएक द्विघात समीकरण है जहां अग्रणी गुणांक 1 है। अग्रणी गुणांक के अन्य मानों के लिए, द्विघात समीकरण अप्रमाणित है।

आइए उदाहरण दें: द्विघात समीकरण x 2 - 4 · x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 घटाए गए हैं, जिनमें से प्रत्येक में अग्रणी गुणांक 1 है।

9 x 2 − x − 2 = 0- अप्राप्त द्विघात समीकरण, जहां पहला गुणांक भिन्न है 1 .

किसी भी अघटीकृत द्विघात समीकरण को पहले गुणांक (समतुल्य परिवर्तन) द्वारा दोनों पक्षों को विभाजित करके कम समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है। रूपांतरित समीकरण के मूल वही होंगे जो दिए गए अघटित समीकरण के समान होंगे या फिर उनका कोई मूल ही नहीं होगा।

सोच-विचार ठोस उदाहरणयह हमें एक अघटित द्विघात समीकरण से कम किए गए द्विघात समीकरण में संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करने की अनुमति देगा।

उदाहरण 1

समीकरण 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 दिया गया है . मूल समीकरण को लघु रूप में परिवर्तित करना आवश्यक है।

समाधान

उपरोक्त योजना के अनुसार, हम मूल समीकरण के दोनों पक्षों को अग्रणी गुणांक 6 से विभाजित करते हैं। तब हमें मिलता है: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, और यह वैसा ही है: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0और आगे: (6:6) x 2 + (18:6) x − 7:6 = 0.यहाँ से: एक्स 2 + 3 एक्स - 1 1 6 = 0। इस प्रकार, दिए गए समीकरण के समतुल्य एक समीकरण प्राप्त होता है।

उत्तर: एक्स 2 + 3 एक्स - 1 1 6 = 0।

पूर्ण और अपूर्ण द्विघात समीकरण

आइए द्विघात समीकरण की परिभाषा की ओर मुड़ें। इसमें हमने यह निर्दिष्ट किया है ए ≠ 0. समीकरण के लिए ऐसी ही स्थिति आवश्यक है एक समीकरण के रूप में लिखा गया हैबिल्कुल चौकोर था, चूँकि पर ए = 0यह मूलतः एक रैखिक समीकरण में परिवर्तित हो जाता है बी एक्स + सी = 0.

मामले में जब गुणांक बीऔर सीशून्य के बराबर हैं (जो व्यक्तिगत और संयुक्त रूप से संभव है), द्विघात समीकरण को अपूर्ण कहा जाता है।

परिभाषा 4

अपूर्ण द्विघात समीकरण- ऐसा द्विघात समीकरण ए एक्स 2 + बी एक्स + सी = 0,जहां कम से कम एक गुणांक है बीऔर सी(या दोनों) शून्य है.

पूर्ण द्विघात समीकरण- एक द्विघात समीकरण जिसमें सभी संख्यात्मक गुणांक शून्य के बराबर नहीं होते हैं।

आइए चर्चा करें कि द्विघात समीकरणों के प्रकारों को ये नाम क्यों दिए गए हैं।

जब b = 0, द्विघात समीकरण का रूप लेता है ए एक्स 2 + 0 एक्स + सी = 0, जो वैसा ही है ए एक्स 2 + सी = 0. पर सी = 0द्विघात समीकरण के रूप में लिखा गया है ए एक्स 2 + बी एक्स + 0 = 0, जो समतुल्य है ए एक्स 2 + बी एक्स = 0. पर बी = 0और सी = 0समीकरण रूप ले लेगा ए एक्स 2 = 0. हमने जो समीकरण प्राप्त किए हैं वे पूर्ण द्विघात समीकरण से इस मायने में भिन्न हैं कि उनके बाएँ पक्ष में चर x वाला कोई पद नहीं है, या कोई मुक्त पद नहीं है, या दोनों नहीं हैं। दरअसल, इस तथ्य ने इस प्रकार के समीकरण को नाम दिया - अधूरा।

उदाहरण के लिए, x 2 + 3 x + 4 = 0 और - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 पूर्ण द्विघात समीकरण हैं; एक्स 2 = 0, − 5 एक्स 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , - x 2 - 6 · x = 0 - अपूर्ण द्विघात समीकरण।

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना

ऊपर दी गई परिभाषा निम्नलिखित प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों को अलग करना संभव बनाती है:

• ए एक्स 2 = 0, यह समीकरण गुणांकों से मेल खाता है बी = 0और सी = 0 ;
• ए · एक्स 2 + सी = 0 पर बी = 0 ;
• ए · एक्स 2 + बी · एक्स = 0 पर सी = 0.

आइए हम प्रत्येक प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण के समाधान पर क्रमिक रूप से विचार करें।

समीकरण का हल a x 2 =0

जैसा कि ऊपर बताया गया है, यह समीकरण गुणांकों से मेल खाता है बीऔर सी, शून्य के बराबर. समीकरण ए एक्स 2 = 0समतुल्य समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है एक्स 2 = 0, जो हमें मूल समीकरण के दोनों पक्षों को संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है ए, शून्य के बराबर नहीं. स्पष्ट तथ्य यह है कि समीकरण की जड़ एक्स 2 = 0यह शून्य है क्योंकि 0 2 = 0 . इस समीकरण का कोई अन्य मूल नहीं है, जिसे डिग्री के गुणों द्वारा समझाया जा सके: किसी भी संख्या के लिए पी,शून्य के बराबर नहीं, असमानता सत्य है पी 2 > 0, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि कब पी ≠ 0समानता पी 2 = 0कभी हासिल नहीं होगा.

परिभाषा 5

इस प्रकार, अपूर्ण द्विघात समीकरण a x 2 = 0 के लिए एक अद्वितीय मूल है एक्स = 0.

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, आइए एक अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करें − 3 x 2 = 0. यह समीकरण के समतुल्य है एक्स 2 = 0, इसकी एकमात्र जड़ है एक्स = 0, तो मूल समीकरण का एक ही मूल है - शून्य।

संक्षेप में, समाधान इस प्रकार लिखा गया है:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

समीकरण a x 2 + c = 0 को हल करना

अगली पंक्ति में अपूर्ण द्विघात समीकरणों का समाधान है, जहाँ b = 0, c ≠ 0, अर्थात, रूप के समीकरण ए एक्स 2 + सी = 0. आइए एक पद को समीकरण के एक तरफ से दूसरे तरफ ले जाकर, चिह्न को विपरीत में बदलकर और समीकरण के दोनों पक्षों को एक ऐसी संख्या से विभाजित करके इस समीकरण को रूपांतरित करें जो शून्य के बराबर नहीं है:

• स्थानांतरण सीदाहिनी ओर, जो समीकरण देता है ए · एक्स 2 = − सी;
• समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें ए, हम x = - c a पर समाप्त होते हैं।

हमारे परिवर्तन समतुल्य हैं; तदनुसार, परिणामी समीकरण भी मूल समीकरण के समतुल्य है, और यह तथ्य समीकरण की जड़ों के बारे में निष्कर्ष निकालना संभव बनाता है। मान क्या हैं से एऔर सीअभिव्यक्ति का मान - c a निर्भर करता है: इसमें ऋण चिह्न हो सकता है (उदाहरण के लिए, यदि ए = 1और सी = 2, फिर - सी ए = - 2 1 = - 2) या प्लस चिह्न (उदाहरण के लिए, यदि ए = − 2और सी = 6, फिर - सी ए = - 6 - 2 = 3); यह शून्य नहीं है क्योंकि सी ≠ 0. आइए हम उन स्थितियों पर अधिक विस्तार से ध्यान दें जब - सी ए< 0 и - c a > 0 .

मामले में जब - सी ए< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа पीसमानता p 2 = - c a सत्य नहीं हो सकती।

सब कुछ अलग है जब - c a > 0: वर्गमूल याद रखें, और यह स्पष्ट हो जाएगा कि समीकरण x 2 = - c a का मूल संख्या - c a होगा, क्योंकि - c a 2 = - c a। यह समझना कठिन नहीं है कि संख्या - - c a समीकरण x 2 = - c a का मूल भी है: वास्तव में, - - c a 2 = - c a।

समीकरण का कोई अन्य मूल नहीं होगा. हम इसे विरोधाभास की विधि का उपयोग करके प्रदर्शित कर सकते हैं। आरंभ करने के लिए, आइए ऊपर पाए गए जड़ों के लिए संकेतन को इस प्रकार परिभाषित करें एक्स 1और − x 1. आइए मान लें कि समीकरण x 2 = - c a का भी एक मूल है एक्स 2, जो जड़ों से भिन्न है एक्स 1और − x 1. हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करके जानते हैं एक्सइसकी जड़ें, हम समीकरण को एक निष्पक्ष संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

के लिए एक्स 1और − x 1हम लिखते हैं: x 1 2 = - c a , और के लिए एक्स 2- एक्स 2 2 = - सी ए . संख्यात्मक समानताओं के गुणों के आधार पर, हम एक सही समानता पद को दूसरे पद से घटाते हैं, जो हमें मिलेगा: एक्स 1 2 − एक्स 2 2 = 0. हम अंतिम समानता को फिर से लिखने के लिए संख्याओं के साथ संचालन के गुणों का उपयोग करते हैं (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. यह ज्ञात है कि दो संख्याओं का गुणनफल शून्य होता है यदि और केवल यदि उनमें से कम से कम एक संख्या शून्य हो। उपरोक्त से यह निष्कर्ष निकलता है एक्स 1 − एक्स 2 = 0और/या एक्स 1 + एक्स 2 = 0, जो वही है एक्स 2 = एक्स 1और/या एक्स 2 = − एक्स 1. एक स्पष्ट विरोधाभास उत्पन्न हुआ, क्योंकि सबसे पहले इस बात पर सहमति थी कि समीकरण की जड़ एक्स 2से अलग एक्स 1और − x 1. इसलिए, हमने सिद्ध कर दिया है कि समीकरण का x = - c a और x = - - c a के अलावा कोई मूल नहीं है।

आइए उपरोक्त सभी तर्कों को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

परिभाषा 6

अपूर्ण द्विघात समीकरण ए एक्स 2 + सी = 0समीकरण x 2 = - c a के समतुल्य है, जो:

• -c a पर कोई जड़ नहीं होगी< 0 ;
• - c a > 0 के लिए दो मूल x = - c a और x = - - c a होंगे।

आइए हम समीकरणों को हल करने के उदाहरण दें ए एक्स 2 + सी = 0.

उदाहरण 3

एक द्विघात समीकरण दिया गया है 9 x 2 + 7 = 0.इसका समाधान निकालना जरूरी है.

समाधान

आइए मुक्त पद को समीकरण के दाईं ओर ले जाएँ, फिर समीकरण रूप ले लेगा 9 x 2 = − 7.
आइए परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को इससे विभाजित करें 9 , हम x 2 = - 7 9 पर पहुंचते हैं। दाईं ओर हम ऋण चिह्न के साथ एक संख्या देखते हैं, जिसका अर्थ है: y दिया गया समीकरणकोई जड़ नहीं. फिर मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण 9 x 2 + 7 = 0कोई जड़ नहीं होगी.

उत्तर:समीकरण 9 x 2 + 7 = 0कोई जड़ नहीं है.

उदाहरण 4

समीकरण को हल करने की जरूरत है − x 2 + 36 = 0.

समाधान

आइए 36 को दाहिनी ओर ले जाएँ: − x 2 = − 36.
आइए दोनों भागों को विभाजित करें − 1 , हम पाते हैं x 2 = 36. दाहिनी ओर एक धनात्मक संख्या है, जिससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं एक्स = 36 या एक्स = - 36 .
आइए मूल निकालें और अंतिम परिणाम लिखें: अधूरा द्विघात समीकरण − x 2 + 36 = 0दो जड़ें हैं एक्स=6या एक्स = − 6.

उत्तर: एक्स=6या एक्स = − 6.

समीकरण का हल a x 2 +b x=0

आइए तीसरे प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरणों का विश्लेषण करें, जब सी = 0. अपूर्ण द्विघात समीकरण का हल खोजना ए एक्स 2 + बी एक्स = 0, हम गुणनखंडन विधि का उपयोग करेंगे। आइए सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालते हुए, समीकरण के बाईं ओर मौजूद बहुपद का गुणनखंड करें एक्स. यह कदम मूल अपूर्ण द्विघात समीकरण को उसके समकक्ष में बदलना संभव बना देगा एक्स (ए एक्स + बी) = 0. और यह समीकरण, बदले में, समीकरणों के एक सेट के बराबर है एक्स = 0और ए एक्स + बी = 0. समीकरण ए एक्स + बी = 0रैखिक, और इसकी जड़: एक्स = − बी ए.

परिभाषा 7

इस प्रकार, अपूर्ण द्विघात समीकरण ए एक्स 2 + बी एक्स = 0दो जड़ें होंगी एक्स = 0और एक्स = − बी ए.

आइए एक उदाहरण के साथ सामग्री को सुदृढ़ करें।

उदाहरण 5

समीकरण 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 का हल खोजना आवश्यक है।

समाधान

हम इसे बाहर निकाल लेंगे एक्सकोष्ठक के बाहर हमें समीकरण x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 मिलता है। यह समीकरण समीकरणों के समतुल्य है एक्स = 0और 2 3 x - 2 2 7 = 0. अब आपको परिणामी रैखिक समीकरण को हल करना चाहिए: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3।

समीकरण का हल संक्षेप में इस प्रकार लिखें:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

एक्स = 0 या 2 3 एक्स - 2 2 7 = 0

एक्स = 0 या एक्स = 3 3 7

उत्तर:एक्स = 0, एक्स = 3 3 7.

विवेचक, द्विघात समीकरण के मूलों का सूत्र

द्विघात समीकरणों का समाधान खोजने के लिए, एक मूल सूत्र है:

परिभाषा 8

एक्स = - बी ± डी 2 · ए, कहां डी = बी 2 − 4 ए सी- द्विघात समीकरण का तथाकथित विभेदक।

x = - b ± D 2 · a लिखने का मूलतः मतलब यह है कि x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

यह समझना उपयोगी होगा कि यह सूत्र कैसे प्राप्त हुआ और इसे कैसे लागू किया जाए।

द्विघात समीकरण के मूलों के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

आइए एक द्विघात समीकरण को हल करने के कार्य का सामना करें एक समीकरण के रूप में लिखा गया है. आइए हम अनेक समतुल्य परिवर्तन करें:

• समीकरण के दोनों पक्षों को एक संख्या से विभाजित करें ए, शून्य से भिन्न, हमें निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• आइए उजागर करें पूर्ण वर्गपरिणामी समीकरण के बाईं ओर:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + सी ए
  इसके बाद, समीकरण यह रूप लेगा: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• अब अंतिम दो पदों को दाईं ओर स्थानांतरित करना, चिह्न को विपरीत में बदलना संभव है, जिसके बाद हमें मिलता है: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• अंत में, हम अंतिम समानता के दाईं ओर लिखी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करते हैं:
  बी 2 · ए 2 - सी ए = बी 2 4 · ए 2 - सी ए = बी 2 4 · ए 2 - 4 · ए · सी 4 · ए 2 = बी 2 - 4 · ए · सी 4 · ए 2।

इस प्रकार, हम मूल समीकरण के समतुल्य समीकरण x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 पर पहुंचते हैं। एक समीकरण के रूप में लिखा गया है.

हमने पिछले पैराग्राफ में ऐसे समीकरणों के समाधान की जांच की (अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना)। पहले से ही प्राप्त अनुभव समीकरण x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 की जड़ों के संबंध में निष्कर्ष निकालना संभव बनाता है:

• बी 2 - 4 ए सी 4 ए 2 के साथ< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• जब b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 समीकरण x + b 2 · a 2 = 0 है, तो x + b 2 · a = 0.

यहाँ से एकमात्र मूल x = - b 2 · a स्पष्ट है;

• बी 2 - 4 · ए · सी 4 · ए 2 > 0 के लिए, निम्नलिखित सत्य होगा: एक्स + बी 2 · ए = बी 2 - 4 · ए · सी 4 · ए 2 या एक्स = बी 2 · ए - बी 2 - 4 · ए · सी 4 · ए 2, जो एक्स + - बी 2 · ए = बी 2 - 4 · ए · सी 4 · ए 2 या एक्स = - बी 2 · ए - बी 2 - 4 के समान है · ए · सी 4 · ए 2 , अर्थात्। समीकरण की दो जड़ें हैं.

यह निष्कर्ष निकालना संभव है कि समीकरण x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (और इसलिए मूल समीकरण) की जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति अभिव्यक्ति b के संकेत पर निर्भर करती है दाहिनी ओर 2 - 4 · a · c 4 · a 2 लिखा हुआ है। और इस अभिव्यक्ति का चिह्न अंश, (हर) के चिह्न द्वारा दिया जाता है 4 ए 2सदैव सकारात्मक रहेगा), अर्थात अभिव्यक्ति का संकेत बी 2 − 4 ए सी. यह अभिव्यक्ति बी 2 − 4 ए सीनाम दिया गया है - द्विघात समीकरण का विभेदक और अक्षर D को इसके पदनाम के रूप में परिभाषित किया गया है। यहां आप विवेचक का सार लिख सकते हैं - इसके मूल्य और चिह्न के आधार पर, वे यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि क्या द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ें होंगी, और यदि हां, तो जड़ों की संख्या क्या है - एक या दो।

आइए समीकरण x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 पर वापस लौटें। आइए विभेदक संकेतन का उपयोग करके इसे फिर से लिखें: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2।

आइए हम फिर से अपना निष्कर्ष तैयार करें:

परिभाषा 9

• पर डी< 0 समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं;
• पर डी=0समीकरण का एक ही मूल है x = - b 2 · a ;
• पर डी > 0समीकरण के दो मूल हैं: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 या x = - b 2 · a - D 4 · a 2. मूलांकों के गुणों के आधार पर, इन जड़ों को इस रूप में लिखा जा सकता है: x = - b 2 · a + D 2 · a या - b 2 · a - D 2 · a. और, जब हम मॉड्यूल का विस्तार करते हैं और भिन्नों को कम करते हैं आम विभाजक, हमें मिलता है: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

तो, हमारे तर्क का परिणाम एक द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति था:

एक्स = - बी + डी 2 ए, एक्स = - बी - डी 2 ए, विवेचक डीसूत्र द्वारा गणना की गई डी = बी 2 − 4 ए सी.

जब विवेचक शून्य से अधिक हो तो ये सूत्र दोनों वास्तविक जड़ों को निर्धारित करना संभव बनाते हैं। जब विवेचक शून्य है, तो दोनों सूत्रों को लागू करने से द्विघात समीकरण के एकमात्र समाधान के रूप में वही मूल मिलेगा। ऐसे मामले में जहां विवेचक नकारात्मक है, यदि हम द्विघात समीकरण की जड़ के लिए सूत्र का उपयोग करने का प्रयास करते हैं, तो हमें निकालने की आवश्यकता का सामना करना पड़ेगा वर्गमूलएक ऋणात्मक संख्या से, जो हमें वास्तविक संख्याओं से परे ले जाएगी। एक नकारात्मक विभेदक के साथ, द्विघात समीकरण में वास्तविक जड़ें नहीं होंगी, लेकिन जटिल संयुग्म जड़ों की एक जोड़ी संभव है, जो हमारे द्वारा प्राप्त समान मूल सूत्रों द्वारा निर्धारित की जाती है।

मूल सूत्रों का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम

मूल सूत्र का तुरंत उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करना संभव है, लेकिन यह आम तौर पर तब किया जाता है जब जटिल जड़ों को ढूंढना आवश्यक होता है।

अधिकांश मामलों में, इसका मतलब आमतौर पर जटिल नहीं, बल्कि द्विघात समीकरण की वास्तविक जड़ों की खोज करना होता है। फिर, द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्रों का उपयोग करने से पहले, यह इष्टतम है कि पहले विवेचक को निर्धारित करें और सुनिश्चित करें कि यह नकारात्मक नहीं है (अन्यथा हम यह निष्कर्ष निकालेंगे कि समीकरण की कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं), और फिर गणना करने के लिए आगे बढ़ें जड़ों का मूल्य.

उपरोक्त तर्क द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम तैयार करना संभव बनाता है।

परिभाषा 10

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एक समीकरण के रूप में लिखा गया है, ज़रूरी:

• सूत्र के अनुसार डी = बी 2 − 4 ए सीविभेदक मान ज्ञात करें;
• डी पर< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 के लिए, सूत्र x = - b 2 · a का उपयोग करके समीकरण का एकमात्र मूल ज्ञात करें;
• D > 0 के लिए, सूत्र x = - b ± D 2 · a का उपयोग करके द्विघात समीकरण की दो वास्तविक जड़ें निर्धारित करें।

ध्यान दें कि जब विवेचक शून्य है, तो आप सूत्र x = - b ± D 2 · a का उपयोग कर सकते हैं, यह सूत्र x = - b 2 · a के समान परिणाम देगा।

आइए उदाहरण देखें.

द्विघात समीकरणों को हल करने के उदाहरण

आइए हम उदाहरणों का समाधान दें विभिन्न अर्थविभेदक.

उदाहरण 6

हमें समीकरण की जड़ें खोजने की जरूरत है एक्स 2 + 2 एक्स − 6 = 0.

समाधान

आइए द्विघात समीकरण के संख्यात्मक गुणांक लिखें: a = 1, b = 2 और सी = − 6. आगे हम एल्गोरिथम के अनुसार आगे बढ़ते हैं, यानी। आइए विवेचक की गणना शुरू करें, जिसके लिए हम गुणांक ए, बी को प्रतिस्थापित करेंगे और सीविभेदक सूत्र में: डी = बी 2 - 4 · ए · सी = 2 2 - 4 · 1 · (- 6) = 4 + 24 = 28।

तो हमें D > 0 मिलता है, जिसका अर्थ है कि मूल समीकरण के दो वास्तविक मूल होंगे।
उन्हें खोजने के लिए, हम मूल सूत्र x = - b ± D 2 · a का उपयोग करते हैं और, संबंधित मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें मिलता है: x = - 2 ± 28 2 · 1। आइए मूल चिन्ह से गुणनखंड निकालकर और फिर भिन्न को कम करके परिणामी अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:

एक्स = - 2 ± 2 7 2

एक्स = - 2 + 2 7 2 या एक्स = - 2 - 2 7 2

एक्स = - 1 + 7 या एक्स = - 1 - 7

उत्तर:एक्स = - 1 + 7​, एक्स = - 1 - 7।

उदाहरण 7

द्विघात समीकरण को हल करने की आवश्यकता है − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

समाधान

आइए विभेदक को परिभाषित करें: डी = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. विवेचक के इस मान के साथ, मूल समीकरण में केवल एक मूल होगा, जो सूत्र x = - b 2 · a द्वारा निर्धारित होता है।

एक्स = - 28 2 (- 4) एक्स = 3.5

उत्तर: एक्स = 3.5.

उदाहरण 8

समीकरण को हल करने की जरूरत है 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

समाधान

इस समीकरण के संख्यात्मक गुणांक होंगे: a = 5, b = 6 और c = 2. विवेचक को खोजने के लिए हम इन मानों का उपयोग करते हैं: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4। परिकलित विवेचक ऋणात्मक है, इसलिए मूल द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

ऐसे मामले में जब कार्य जटिल जड़ों को इंगित करना है, हम जटिल संख्याओं के साथ क्रियाएं करते हुए मूल सूत्र लागू करते हैं:

एक्स = - 6 ± - 4 2 5,

एक्स = - 6 + 2 आई 10 या एक्स = - 6 - 2 आई 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i या x = - 3 5 - 1 5 · i.

उत्तर:कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं; जटिल जड़ें इस प्रकार हैं: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

में स्कूल के पाठ्यक्रमजटिल जड़ों को देखने के लिए कोई मानक आवश्यकता नहीं है, इसलिए, यदि समाधान के दौरान विवेचक नकारात्मक निर्धारित किया जाता है, तो उत्तर तुरंत लिखा जाता है कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

सम द्वितीय गुणांक के लिए मूल सूत्र

मूल सूत्र x = - b ± D 2 · a (D = b 2 - 4 · a · c) एक और अधिक सघन सूत्र प्राप्त करना संभव बनाता है, जिससे व्यक्ति को x के सम गुणांक वाले द्विघात समीकरणों का समाधान ढूंढने में मदद मिलती है ( या फॉर्म 2 · एन के गुणांक के साथ, उदाहरण के लिए, 2 3 या 14 एलएन 5 = 2 7 एलएन 5)। आइए दिखाते हैं कि यह सूत्र कैसे प्राप्त होता है।

आइए, हमारे सामने द्विघात समीकरण a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 का हल खोजने का कार्य है। हम एल्गोरिथम के अनुसार आगे बढ़ते हैं: हम विवेचक D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c) निर्धारित करते हैं, और फिर मूल सूत्र का उपयोग करते हैं:

एक्स = - 2 एन ± डी 2 ए, एक्स = - 2 एन ± 4 एन 2 - ए सी 2 ए, एक्स = - 2 एन ± 2 एन 2 - ए सी 2 ए, एक्स = - एन ± एन 2 - ए · सी ए।

मान लीजिए कि अभिव्यक्ति n 2 - a · c को D 1 के रूप में दर्शाया गया है (कभी-कभी इसे D " के रूप में दर्शाया जाता है)। फिर दूसरे गुणांक 2 · n के साथ विचाराधीन द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र रूप लेगा:

एक्स = - एन ± डी 1 ए, जहां डी 1 = एन 2 - ए · सी।

यह देखना आसान है कि डी = 4 · डी 1, या डी 1 = डी 4। दूसरे शब्दों में, डी 1 विवेचक का एक चौथाई है। जाहिर है, डी 1 का चिह्न डी के चिह्न के समान है, जिसका अर्थ है कि डी 1 का चिह्न द्विघात समीकरण की जड़ों की उपस्थिति या अनुपस्थिति के संकेतक के रूप में भी काम कर सकता है।

परिभाषा 11

इस प्रकार, 2 n के दूसरे गुणांक वाले द्विघात समीकरण का समाधान खोजने के लिए, यह आवश्यक है:

• डी 1 = एन 2 - ए · सी खोजें;
• डी 1 पर< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• जब D 1 = 0, सूत्र x = - n a का उपयोग करके समीकरण का एकमात्र मूल निर्धारित करें;
• D 1 > 0 के लिए, सूत्र x = - n ± D 1 a का उपयोग करके दो वास्तविक जड़ें निर्धारित करें।

उदाहरण 9

द्विघात समीकरण 5 x 2 - 6 x - 32 = 0 को हल करना आवश्यक है।

समाधान

हम दिए गए समीकरण के दूसरे गुणांक को 2 · (− 3) के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं। फिर हम दिए गए द्विघात समीकरण को 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0 के रूप में फिर से लिखते हैं, जहां a = 5, n = − 3 और c = − 32 है।

आइए विवेचक के चौथे भाग की गणना करें: डी 1 = एन 2 - ए · सी = (- 3) 2 - 5 · (- 32) = 9 + 160 = 169। परिणामी मान धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं। आइए हम उन्हें संबंधित मूल सूत्र का उपयोग करके निर्धारित करें:

एक्स = - एन ± डी 1 ए, एक्स = - - 3 ± 169 5, एक्स = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 या x = 3 - 13 5

एक्स = 3 1 5 या एक्स = - 2

द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सामान्य सूत्र का उपयोग करके गणना करना संभव होगा, लेकिन इस मामले में समाधान अधिक बोझिल होगा।

उत्तर:एक्स = 3 1 5 या एक्स = - 2।

द्विघात समीकरणों के स्वरूप को सरल बनाना

कभी-कभी मूल समीकरण के रूप को अनुकूलित करना संभव होता है, जो जड़ों की गणना करने की प्रक्रिया को सरल बना देगा।

उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 स्पष्ट रूप से 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 की तुलना में हल करने के लिए अधिक सुविधाजनक है।

अधिकतर, द्विघात समीकरण के रूप का सरलीकरण उसके दोनों पक्षों को एक निश्चित संख्या से गुणा या विभाजित करके किया जाता है। उदाहरण के लिए, ऊपर हमने समीकरण 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 का एक सरलीकृत प्रतिनिधित्व दिखाया, जो दोनों पक्षों को 100 से विभाजित करके प्राप्त किया गया था।

ऐसा परिवर्तन तभी संभव है जब द्विघात समीकरण के गुणांक परस्पर न हों प्रमुख संख्या. फिर हम आम तौर पर समीकरण के दोनों पक्षों को सबसे बड़े से विभाजित करते हैं सामान्य विभाजकइसके गुणांकों का निरपेक्ष मान।

उदाहरण के तौर पर, हम द्विघात समीकरण 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 का उपयोग करते हैं। आइए हम इसके गुणांकों के पूर्ण मूल्यों का जीसीडी निर्धारित करें: जीसीडी (12, 42, 48) = जीसीडी(जीसीडी (12, 42), 48) = जीसीडी (6, 48) = 6। आइए मूल द्विघात समीकरण के दोनों पक्षों को 6 से विभाजित करें और समतुल्य द्विघात समीकरण 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 प्राप्त करें।

द्विघात समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करके, आप आमतौर पर भिन्नात्मक गुणांक से छुटकारा पा लेते हैं। इस मामले में, वे इसके गुणांकों के हर के लघुत्तम समापवर्तक से गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि द्विघात समीकरण 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 के प्रत्येक भाग को LCM (6, 3, 1) = 6 से गुणा किया जाए, तो यह अधिक में लिखा जाएगा सरल रूप मेंएक्स 2 + 4 एक्स - 18 = 0।

अंत में, हम देखते हैं कि हम लगभग हमेशा समीकरण के प्रत्येक पद के चिह्नों को बदलकर द्विघात समीकरण के पहले गुणांक पर ऋण से छुटकारा पा लेते हैं, जो कि दोनों पक्षों को − 1 से गुणा (या विभाजित) करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0 से, आप इसके सरलीकृत संस्करण 2 x 2 + 3 x - 7 = 0 पर जा सकते हैं।

मूलों और गुणांकों के बीच संबंध

द्विघात समीकरणों के मूलों का सूत्र, जो हमें पहले से ज्ञात है, x = - b ± D 2 · a, समीकरण के मूलों को उसके संख्यात्मक गुणांकों के माध्यम से व्यक्त करता है। इस सूत्र के आधार पर, हमारे पास मूलों और गुणांकों के बीच अन्य निर्भरताएँ निर्दिष्ट करने का अवसर है।

विएटा के प्रमेय के सूत्र सबसे प्रसिद्ध और लागू हैं:

एक्स 1 + एक्स 2 = - बी ए और एक्स 2 = सी ए।

विशेष रूप से, दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, मूलों का योग विपरीत चिह्न वाला दूसरा गुणांक होता है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 के रूप को देखकर, यह तुरंत निर्धारित करना संभव है कि इसके मूलों का योग 7 3 है और मूलों का गुणनफल 22 3 है।

आप द्विघात समीकरण के मूलों और गुणांकों के बीच कई अन्य संबंध भी पा सकते हैं। उदाहरण के लिए, किसी द्विघात समीकरण के मूलों के वर्गों का योग गुणांकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2।

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द्विघात समीकरण समस्याओं का अध्ययन स्कूली पाठ्यक्रम और विश्वविद्यालयों दोनों में किया जाता है। उनका मतलब a*x^2 + b*x + c = 0 के रूप के समीकरण हैं, जहां एक्स-चर, ए, बी, सी - स्थिरांक; ए<>0 . कार्य समीकरण की जड़ें ढूंढना है।

द्विघात समीकरण का ज्यामितीय अर्थ

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ जिसे द्विघात समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है वह एक परवलय होता है। द्विघात समीकरण के समाधान (मूल) भुज (x) अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। इससे पता चलता है कि तीन संभावित मामले हैं:
1) परवलय का भुज अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है। इसका मतलब यह है कि यह ऊपरी सतह पर है जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर हैं या नीचे की सतह पर इसकी शाखाएँ नीचे की ओर हैं। ऐसे मामलों में, द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता (इसके दो जटिल मूल होते हैं)।

2) परवलय का ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु एक है। ऐसे बिंदु को परवलय का शीर्ष कहा जाता है, और उस पर द्विघात समीकरण अपना न्यूनतम या अधिकतम मान प्राप्त कर लेता है। इस मामले में, द्विघात समीकरण का एक वास्तविक मूल (या दो समान मूल) होता है।

3) आखिरी मामलाव्यवहार में यह अधिक दिलचस्प है - भुज अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन के दो बिंदु हैं। इसका मतलब है कि समीकरण की दो वास्तविक जड़ें हैं।

चरों की घातों के गुणांकों के विश्लेषण के आधार पर, परवलय की स्थिति के बारे में दिलचस्प निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं।

1) यदि गुणांक शून्य से अधिक है, तो परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, यदि यह ऋणात्मक है, तो परवलय की शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं।

2) यदि गुणांक b शून्य से अधिक है, तो परवलय का शीर्ष बाएं आधे तल में स्थित होता है यदि यह लेता है नकारात्मक मूल्य- फिर दाहिनी ओर।

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति

आइए स्थिरांक को द्विघात समीकरण से स्थानांतरित करें

समान चिह्न के लिए, हमें व्यंजक प्राप्त होता है

दोनों पक्षों को 4a से गुणा करें

बाईं ओर एक पूर्ण वर्ग प्राप्त करने के लिए, दोनों तरफ b^2 जोड़ें और परिवर्तन करें

यहां से हम पाते हैं

द्विघात समीकरण के विभेदक और मूल के लिए सूत्र

विवेचक मूल अभिव्यक्ति का मान है यदि यह सकारात्मक है, तो समीकरण की दो वास्तविक जड़ें हैं, जिनकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है जब विवेचक शून्य होता है, तो द्विघात समीकरण का एक हल (दो संपाती मूल) होता है, जिसे D=0 के लिए उपरोक्त सूत्र से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। जब विवेचक ऋणात्मक होता है, तो समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं होता है। हालाँकि, द्विघात समीकरण के समाधान जटिल तल में पाए जाते हैं, और उनके मान की गणना सूत्र का उपयोग करके की जाती है

विएटा का प्रमेय

आइए एक द्विघात समीकरण की दो जड़ों पर विचार करें और उनके आधार पर एक द्विघात समीकरण का निर्माण करें। विएटा का प्रमेय स्वयं नोटेशन से आसानी से अनुसरण करता है: यदि हमारे पास एक द्विघात समीकरण है तो इसके मूलों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए गुणांक p के बराबर है, और समीकरण के मूलों का गुणनफल मुक्त पद q के बराबर है। उपरोक्त का सूत्रबद्ध निरूपण इस प्रकार दिखेगा यदि किसी शास्त्रीय समीकरण में स्थिरांक a अशून्य है, तो आपको संपूर्ण समीकरण को इससे विभाजित करना होगा, और फिर विएटा के प्रमेय को लागू करना होगा।

गुणनखंडन द्विघात समीकरण अनुसूची

कार्य निर्धारित होने दें: एक द्विघात समीकरण का गुणनखंड करें। ऐसा करने के लिए, हम पहले समीकरण को हल करते हैं (मूल खोजें)। इसके बाद, हम द्विघात समीकरण के विस्तार सूत्र में पाए गए मूलों को प्रतिस्थापित करते हैं, इससे समस्या हल हो जाएगी।

द्विघात समीकरण समस्याएँ

कार्य 1. द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

x^2-26x+120=0 .

समाधान: गुणांकों को लिखें और उन्हें विभेदक सूत्र में प्रतिस्थापित करें

की जड़ दिया गया मूल्य 14 के बराबर है, इसे कैलकुलेटर से ढूंढना आसान है, या लगातार उपयोग के साथ याद रखना आसान है, हालांकि, सुविधा के लिए, लेख के अंत में मैं आपको संख्याओं के वर्गों की एक सूची दूंगा जो अक्सर ऐसी समस्याओं में सामने आ सकती हैं।
हम पाए गए मान को मूल सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं

और हमें मिलता है

कार्य 2. प्रश्न हल करें

2x 2 +x-3=0.

समाधान: हमारे पास एक पूर्ण द्विघात समीकरण है, गुणांक लिखें और विवेचक ज्ञात करें


ज्ञात सूत्रों का उपयोग करके हम द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं

कार्य 3. प्रश्न हल करें

9x 2 -12x+4=0.

समाधान: हमारे पास एक पूर्ण द्विघात समीकरण है। विवेचक का निर्धारण

हमें एक मामला मिला जहां जड़ें मेल खाती हैं। सूत्र का प्रयोग करके मूलों का मान ज्ञात कीजिए

कार्य 4. प्रश्न हल करें

x^2+x-6=0 .

समाधान: ऐसे मामलों में जहां x के लिए छोटे गुणांक हैं, विएटा के प्रमेय को लागू करने की सलाह दी जाती है। इसकी स्थिति से हमें दो समीकरण प्राप्त होते हैं

दूसरी शर्त से हम पाते हैं कि उत्पाद -6 के बराबर होना चाहिए। इसका मतलब है कि जड़ों में से एक नकारात्मक है। हमारे पास समाधानों की निम्नलिखित संभावित जोड़ी है (-3;2), (3;-2) . पहली शर्त को ध्यान में रखते हुए, हम समाधानों की दूसरी जोड़ी को अस्वीकार करते हैं।
समीकरण के मूल बराबर हैं

समस्या 5. एक आयत की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें यदि इसका परिमाप 18 सेमी है और इसका क्षेत्रफल 77 सेमी 2 है।

समाधान: एक आयत का आधा परिमाप उसकी आसन्न भुजाओं के योग के बराबर होता है। आइए x को बड़ी भुजा के रूप में निरूपित करें, फिर 18-x इसकी छोटी भुजा है। आयत का क्षेत्रफल इन लंबाईयों के गुणनफल के बराबर है:
x(18-x)=77;
या
x 2 -18x+77=0.
आइए समीकरण का विवेचक ज्ञात करें

समीकरण की जड़ों की गणना

अगर एक्स=11,वह 18 = 7 ,इसका विपरीत भी सत्य है (यदि x=7, तो 21s=9)।

समस्या 6. द्विघात समीकरण 10x 2 -11x+3=0 का गुणनखंड करें।

समाधान: आइए समीकरण की जड़ों की गणना करें, ऐसा करने के लिए हम विवेचक ढूंढते हैं

हम पाए गए मान को मूल सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं

हम द्विघात समीकरण को मूलों द्वारा विघटित करने का सूत्र लागू करते हैं

कोष्ठक खोलने पर हमें एक पहचान प्राप्त होती है।

पैरामीटर के साथ द्विघात समीकरण

उदाहरण 1. किस पैरामीटर मान पर ए ,क्या समीकरण (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 का एक मूल है?

समाधान: मान a=3 के सीधे प्रतिस्थापन से हम देखते हैं कि इसका कोई समाधान नहीं है। आगे, हम इस तथ्य का उपयोग करेंगे कि शून्य विभेदक के साथ समीकरण में गुणन 2 का एक मूल होता है। आइए विभेदक लिखें

आइए इसे सरल बनाएं और इसे शून्य के बराबर करें

हमने पैरामीटर a के संबंध में एक द्विघात समीकरण प्राप्त किया है, जिसका समाधान Vieta के प्रमेय का उपयोग करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। मूलों का योग 7 है और उनका गुणनफल 12 है। सरल खोज से हम स्थापित करते हैं कि संख्याएँ 3,4 समीकरण की जड़ें होंगी। चूँकि हमने गणना की शुरुआत में ही समाधान a=3 को अस्वीकार कर दिया था, एकमात्र सही समाधान होगा - ए=4.इस प्रकार, जब a=4 समीकरण का एक मूल होता है।

उदाहरण 2. किस पैरामीटर मान पर ए ,समीकरण a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0एक से अधिक जड़ें हैं?

समाधान: आइए पहले एकवचन बिंदुओं पर विचार करें, वे मान a=0 और a=-3 होंगे। जब a=0, समीकरण 6x-9=0 के रूप में सरल हो जाएगा; x=3/2 और एक मूल होगा। a= -3 के लिए हमें सर्वसमिका 0=0 प्राप्त होती है।
आइए विवेचक की गणना करें

और a का वह मान ज्ञात कीजिए जिस पर यह धनात्मक है

पहली शर्त से हमें a>3 प्राप्त होता है। दूसरे के लिए, हम समीकरण के विवेचक और मूल ज्ञात करते हैं


आइए उन अंतरालों को निर्धारित करें जहां फ़ंक्शन सकारात्मक मान लेता है। बिंदु a=0 को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है 3>0 . तो, अंतराल (-3;1/3) के बाहर फ़ंक्शन नकारात्मक है। बात मत भूलिए ए=0,जिसे बाहर रखा जाना चाहिए क्योंकि मूल समीकरण में एक जड़ है।
परिणामस्वरूप, हमें दो अंतराल प्राप्त होते हैं जो समस्या की शर्तों को पूरा करते हैं

व्यवहार में कई समान कार्य होंगे, कार्यों को स्वयं समझने का प्रयास करें और उन स्थितियों को ध्यान में रखना न भूलें जो परस्पर अनन्य हैं। द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सूत्रों का अच्छी तरह से अध्ययन करें, विभिन्न समस्याओं और विज्ञानों में गणना में अक्सर उनकी आवश्यकता होती है।