आप जानते हैं कि संख्याओं का प्रत्येक क्रमित युग्म एक विशिष्ट बिंदु से मेल खाता है विमान का समन्वय. चूँकि दो चर x और y वाले समीकरण का प्रत्येक समाधान संख्याओं का एक क्रमित युग्म है, इसलिए इसके सभी समाधानों को निर्देशांक तल पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जा सकता है। इन बिंदुओं पर, भुज x चर का मान है, और कोटि y चर का संगत मान है। इसलिए, हमें दो चर वाले समीकरण का एक ग्राफ मिलता है।
याद करना!
दो चर वाले समीकरण का ग्राफ उन सभी बिंदुओं के निर्देशांक तल पर छवि है जिनके निर्देशांक दिए गए समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
चित्र 64 और 65 को देखें। आप समीकरण 0.5 x - y = 2 का एक ग्राफ़ देखते हैं, जहाँ x एक सम एकल अंकीय संख्या है (चित्र 64), और समीकरण x 2 + y 2 = 4 का एक ग्राफ़ देखते हैं (चित्र 65). पहले ग्राफ़ में केवल चार बिंदु हैं क्योंकि चर x और y केवल चार मान ले सकते हैं। दूसरा ग्राफ़ निर्देशांक तल पर एक रेखा है। इसमें कई बिंदु शामिल हैं, क्योंकि वेरिएबल x -2 से 2 तक कोई भी मान ले सकता है और ऐसी कई संख्याएँ हैं। कई संगत मूल्य भी हैं। वे 2 से 2 तक भिन्न होते हैं।
चित्र 66 समीकरण x + y = 4 का ग्राफ दिखाता है। समीकरण x 2 + y 2 = 4 (चित्र 65 देखें) के ग्राफ के विपरीत, इस ग्राफ का प्रत्येक भुज बिंदु एक एकल कोटि से मेल खाता है। इसका मतलब यह है कि चित्र 66 फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है। अपने आप को समझाएं कि चित्र 64 में समीकरण का ग्राफ़ भी एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ है।
कृपया ध्यान
प्रत्येक समीकरण में किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ नहीं होता है, लेकिन किसी फ़ंक्शन का प्रत्येक ग्राफ़ किसी समीकरण का ग्राफ़ होता है।
समीकरण x + y = 4 दो चरों वाला एक रैखिक समीकरण है। इसे y के लिए हल करने पर, हमें मिलता है: y = -x + 4. परिणामी समानता को एक सूत्र के रूप में समझा जा सकता है जो रैखिक फ़ंक्शन y = -x + 4 को परिभाषित करता है। ऐसे फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है। तो, रैखिक समीकरण x + y = 4 का ग्राफ, जो चित्र 66 में दिखाया गया है, एक सीधी रेखा है।
क्या हम कह सकते हैं कि दो चर वाले किसी भी रैखिक समीकरण का ग्राफ एक सीधी रेखा है? नहीं। उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरण 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 संख्याओं के किसी भी जोड़े से संतुष्ट होता है, और इसलिए इस समीकरण के ग्राफ़ में निर्देशांक तल के सभी बिंदु शामिल होते हैं।
आइए जानें कि गुणांक ए, बी और सी के मूल्यों के आधार पर दो चर ax + bу + c = 0 के साथ एक रैखिक समीकरण का ग्राफ क्या है। ऐसे मामले संभव हैं.
मान लीजिए a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0. तब समीकरण ax + by + c = 0 को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:
हमने रैखिक फलन y(x) को परिभाषित करने वाली एक समानता प्राप्त की है। उसका शेड्यूल, और इसलिए शेड्यूल दिया गया समीकरणएक सीधी रेखा है जो निर्देशांक के मूल से होकर नहीं गुजरती (चित्र 67)।
2. माना a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0. तब समीकरण ax + by + c = 0 ax + by + 0 = 0, या y = x का रूप लेता है।
हमने समानता प्राप्त की है, जो y(x) के प्रत्यक्ष आनुपातिकता को निर्दिष्ट करती है। इसका ग्राफ, और इसलिए इस समीकरण का ग्राफ, निर्देशांक की उत्पत्ति से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है (चित्र 68)।
3. माना a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0. तब समीकरण ax + by + c = 0 ax + 0 ∙ y + c = 0, या x = - का रूप लेता है।
प्राप्त समानता y() फ़ंक्शन को निर्दिष्ट नहीं करती है। यह समानता संख्याओं (x; y) के ऐसे युग्मों से संतुष्ट होती है, जिनमें x = , और y कोई संख्या है। निर्देशांक तल पर, ये बिंदु ओए अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा पर स्थित हैं। तो, इस समीकरण का ग्राफ कोटि अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है (चित्र 69)।
4. माना a ≠ 0, b = 0, c = 0. तब समीकरण ax + by + c = 0 ax + 0 ∙ y + 0 = 0, या x = 0 का रूप ले लेता है।
यह समानता संख्याओं (x; y) के ऐसे युग्मों से संतुष्ट होती है, जिनमें x = 0 है, और y कोई संख्या है। निर्देशांक तल पर, ये बिंदु ओए अक्ष पर स्थित हैं। तो, इस समीकरण का ग्राफ कोटि अक्ष के साथ मेल खाने वाली एक सीधी रेखा है।
5. मान लीजिए a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠0. तब समीकरण ax + bу + c = 0, 0 ∙ x + by + c = 0, या y = - का रूप ले लेता है। यह समानता एक फ़ंक्शन y(x) को परिभाषित करती है, जो x के किसी भी मान के लिए समान मान लेती है, अर्थात यह स्थिर है। इसका ग्राफ, और इसलिए इस समीकरण का ग्राफ, भुज अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है (चित्र 70)।
6. मान लीजिए a = 0, b ≠ 0, c = 0. तब समीकरण ax + by + c = 0 0 ∙ x + by + 0 = 0, या b = 0 का रूप लेता है। हमें एक अचर फलन y( x), जिसमें ग्राफ़ का प्रत्येक बिंदु OX अक्ष पर स्थित है। तो, इस समीकरण का ग्राफ भुज अक्ष के साथ मेल खाने वाली एक सीधी रेखा है।
7. माना a = 0, b = 0, c ≠ 0. तब समीकरण ax + by + c = 0 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, या 0 ∙ x + 0 ∙ b = c का रूप ले लेता है। . और ऐसे रैखिक समीकरण का कोई समाधान नहीं होता है, इसलिए इसके ग्राफ़ में निर्देशांक तल पर एक भी बिंदु नहीं होता है।
8. माना a = 0, b = 0, c = 0. तब समीकरण ax + by + c = 0 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0, या 0 ∙ x + 0 ∙ y = 0 का रूप लेता है ऐसे रैखिक समीकरण के कई समाधान होते हैं, इसलिए इसका ग्राफ संपूर्ण निर्देशांक तल होता है।
हम प्राप्त परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत कर सकते हैं।
दो चर ax + bу + с = 0 के साथ एक रैखिक समीकरण का ग्राफ़:
सीधा है यदि a ≠ 0 या b ≠ 0;
क्या संपूर्ण तल है यदि a = 0, b = 0 और c = 0;
यदि a = 0, b = 0 और c ≠ 0 हो तो निर्देशांक तल का एक भी बिंदु शामिल नहीं है।
काम। समीकरण 2x - y - 3 = 0 का ग्राफ़ बनाएं
समाधान. समीकरण 2x - y - 3 = 0 रैखिक है। इसलिए, इसका ग्राफ़ रेखा y = 2x - 3 है। इसे बनाने के लिए, इस रेखा से संबंधित दो बिंदुओं को निर्दिष्ट करना पर्याप्त है। आइए x के दो मनमाने मानों के लिए y मानों की एक तालिका बनाएं, उदाहरण के लिए, x = 0 और x = 2 के लिए (तालिका 27)।
तालिका 27
निर्देशांक तल पर, हम निर्देशांक (0; -3) और (2; 1) वाले बिंदुओं को नामित करते हैं और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं (चित्र 70)। यह सीधी रेखा समीकरण 2x - y - 3 = 0 का वांछित ग्राफ़ है।
क्या दो चर वाले रैखिक समीकरण के ग्राफ़ और दो चर वाले प्रथम-डिग्री समीकरण के ग्राफ़ की पहचान करना संभव है? नहीं, क्योंकि ऐसे रैखिक समीकरण हैं जो पहली डिग्री के समीकरण नहीं हैं। उदाहरण के लिए, ये समीकरण 0 ∙ x + 0 ∙ y + c = 0, 0 ∙ x + 0 ∙ y + 0 = 0 हैं।
कृपया ध्यान दें:
दो चर वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ़ एक सीधी रेखा, संपूर्ण तल हो सकता है, या निर्देशांक तल पर एक भी बिंदु नहीं हो सकता है;
दो चरों में प्रथम डिग्री समीकरण का ग्राफ हमेशा सीधा होता है।
और अधिक जानकारी प्राप्त करें
1. मान लीजिए a ≠ 0. फिर सामान्य समाधानसमीकरणों को इस रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है: X = - y -. हमने एक रैखिक फलन x(y) प्राप्त किया। इसका ग्राफ एक सीधी रेखा है. ऐसा ग्राफ़ बनाने के लिए, आपको निर्देशांक अक्षों को अलग-अलग तरीके से संयोजित करने की आवश्यकता है: सबसे पहले समन्वय अक्ष(स्वतंत्र चर) ऑप-एम्प अक्ष पर विचार करें, और दूसरा (आश्रित चर)
बैल अक्ष. फिर OU अक्ष को क्षैतिज रूप से और OX अक्ष को स्थित करना सुविधाजनक है
लंबवत (चित्र 72)। इस मामले में समीकरण का ग्राफ भी गुणांक बी और सी के अंकन के आधार पर समन्वय विमान पर अलग-अलग रखा जाएगा। इसका अन्वेषण स्वयं करें।
2. निकोलाई निकोलाइविच बोगोलीबोव (1909-1992) - एक उत्कृष्ट घरेलू गणितज्ञ और मैकेनिक, सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी, नॉनलाइनियर यांत्रिकी और सैद्धांतिक भौतिकी में वैज्ञानिक स्कूलों के संस्थापक, यूक्रेनी एसएसआर (1948) के विज्ञान अकादमी और विज्ञान अकादमी के शिक्षाविद यूएसएसआर का (1953 से)। जन्म निज़नी नोवगोरोड रूस का साम्राज्य. 1921 में परिवार कीव चला गया। सात साल के स्कूल से स्नातक होने के बाद, बोगोलीबॉव ने स्वतंत्र रूप से भौतिकी और गणित का अध्ययन किया और 14 साल की उम्र से, शिक्षाविद् डी. ए. ग्रेव के मार्गदर्शन में कीव विश्वविद्यालय के गणितीय भौतिकी विभाग में एक सेमिनार में भाग लिया। 1924 में, 15 साल की उम्र में, बोगोलीबॉव ने अपना पहला वैज्ञानिक कार्य लिखा, और अगले वर्ष उन्हें शिक्षाविदों द्वारा ANURSR के स्नातक विद्यालय में स्वीकार कर लिया गया। एम. क्रायलोव, जहाँ से उन्होंने 1929 में स्नातक की उपाधि प्राप्त की, 20 वर्ष की आयु में गणितीय विज्ञान में डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त की।
1929 में पी. एम.एम. बोगोल्युबोव बन गये रिसर्च फैलोयूक्रेनी विज्ञान अकादमी, 1934 में उन्होंने कीव विश्वविद्यालय में पढ़ाना शुरू किया (1936 से - प्रोफेसर)। XX सदी के उत्तरार्ध से। उसी समय उन्होंने रूस में काम किया। वह संयुक्त परमाणु अनुसंधान संस्थान के निदेशक थे, और बाद में - गणितीय संस्थान के निदेशक थे। मॉस्को में ए. स्टेक्लोवा, मॉस्को में पढ़ाते थे स्टेट यूनिवर्सिटीमिखाइल लोमोनोसोव के नाम पर रखा गया। 1966 में, वह कीव में यूक्रेनी विज्ञान अकादमी के सैद्धांतिक भौतिकी संस्थान के पहले निदेशक बने, जिसे उन्होंने बनाया था, और साथ ही (1963-1988) वह एक शिक्षाविद और गणित विभाग के सचिव थे। यूएसएसआर एकेडमी ऑफ साइंसेज।
एम.एम. बोगोलीबोव - दो बार सोशलिस्ट लेबर के हीरो (1969,1979), लेनिन पुरस्कार (1958), यूएसएसआर का राज्य पुरस्कार (1947.1953,1984), स्वर्ण पदक से सम्मानित। यूएसएसआर के एम. वी. लोमोनोसोव एकेडमी ऑफ साइंसेज (1985)।
21 सितंबर 2009 को, तारास शेवचेंको कीव राष्ट्रीय विश्वविद्यालय की लाल इमारत के सामने, एक स्मारक पट्टिकाप्रतिभाशाली शिक्षाविद निकोलाई बोगोलीबोव को उनके जन्म शताब्दी वर्ष के सम्मान में।
1992 में, यूक्रेन की नेशनल एकेडमी ऑफ साइंसेज ने एन.एम. बोगोलीबोव के नाम पर यूक्रेन पुरस्कार के एनएएस की स्थापना की, जिसे उत्कृष्ट प्रदर्शन के लिए यूक्रेन के एनएएस के गणित विभाग द्वारा सम्मानित किया जाता है। वैज्ञानिक कार्यगणित और सैद्धांतिक भौतिकी में। वैज्ञानिक के सम्मान में छोटे ग्रह का नाम "22616 बोगोलीबॉव" रखा गया।
महत्वपूर्ण बात याद रखें
1. दो चर वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ क्या होता है?
2. किसी भी स्थिति में, दो चर वाले समीकरण का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है; विमान?
3. किस स्थिति में दो चर वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ मूल बिंदु से होकर गुजरता है?
समस्याओं का समाधान
1078 . चित्र 73-74 में से कौन सा चित्र दो चरों में एक रैखिक समीकरण का ग्राफ दिखाता है? अपना उत्तर स्पष्ट करें.
1079 . गुणांक a, b और c के किन मानों पर सीधी रेखा ax + bу + c = 0 है।
1) मूल से होकर गुजरता है;
2) एक्स-अक्ष के समानांतर;
3) कोटि अक्ष के समानांतर;
4) भुज अक्ष के साथ मेल खाता है;
5) कोटि अक्ष के साथ मेल खाता है?
1080 . निर्माण किए बिना, यह निर्धारित करें कि क्या बिंदु दो चर 6x - 2y + 1 = 0 वाले रैखिक समीकरण के ग्राफ़ से संबंधित है:
1)ए(-1;2.5); 2)बी(0;3.5); 3) सी(-2; 5.5); 4)डी(1,5;5).
1081 . निर्माण किए बिना, यह निर्धारित करें कि क्या बिंदु दो चर 3x + 3y - 5 = 0 वाले रैखिक समीकरण के ग्राफ़ से संबंधित है:
1) ए (-1; ); 2) बी (0; 1).
1082
1) 2x + y - 4 = 0 यदि x = 0; 3) 3x + 3y - 1 = 0 यदि x = 2;
2) 4x - 2y + 5 = 0, यदि x = 0; 4) -5x - y + 6 = 0 यदि x = 2।
1083 . दो चर वाले किसी दिए गए रैखिक समीकरण के लिए, y का मान ज्ञात कीजिए मूल्य निर्धारित करेंएक्स:
1)3x - y + 2 = 0 यदि x = 0; 2) 6x - 5y - 7 = 0 यदि x = 2।
1084
1) 2एक्स + वाई - 4 = 0; 4) -x + 2y + 8 = 0; 7) 5x - 10 = 0;
2) 6x - 2y + 12 = 0; 5)-x - 2y + 4 = 0; 8)-2यू + 4 = 0;
3) 5x - 10y = 0; 6)एक्स - वाई = 0; 9) एक्स - वाई = 0.
1085 . दो चरों के साथ एक रैखिक समीकरण आलेखित करें:
1) 4एक्स + वाई - 3 = 0; 4) 10x - 5y - 1 = 0;
2) 9x - 3y + 12 = 0; 5) 2x + 6 = 0;
3) -4x - 8y = 0; 6) वाई - 3 = 0.
1086 . दो चर 2x - 3y - 18 = 0 अक्ष के साथ एक रैखिक समीकरण के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें:
1) धुरी; 2) कुल्हाड़ियाँ।
1087 . दो चर 5x + 4y - 20 = 0 अक्ष के साथ एक रैखिक समीकरण के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें:
1) धुरी; 2) कुल्हाड़ियाँ।
1088 . सीधी रेखा पर, जो समीकरण 0.5 x + 2y - 4 = 0 का ग्राफ है, एक बिंदु दर्शाया गया है। इस बिंदु की कोटि ज्ञात कीजिए यदि इसका भुज है:
5) 4(x - y) = 4 - 4y;
6) 7x - 2y = 2(1 + 3.5 x)।
1094 . दो चरों में एक रैखिक समीकरण का ग्राफ बिंदु A(3; -2) से होकर गुजरता है। समीकरण का अज्ञात गुणांक ज्ञात कीजिए:
1) कुल्हाड़ी + 3y - 3 = 0;
2) 2एक्स - बाय + 8 = 0;
3)-x + 3y - c = 0.
1095 . चतुर्भुज का प्रकार निर्धारित करें जिसके शीर्ष समीकरणों के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
एक्स - वाई + 4 = 0, एक्स - वाई - 4 = 0, -एक्स - वाई + 4 = 0, -एक्स - वाई - 4 = 0
1096 . समीकरण आलेखित करें:
1) ए - 4बी + 1 = 0; 3) 3ए + 0 ∙ बी - 12 = 0;
2) 0 ∙ ए + 2बी + 6 = 0; 4) 0 ∙ ए + 0 ∙ बी + 5 = 0.
इसे व्यवहार में लाओ
1097 . निम्नलिखित डेटा के आधार पर दो चर के साथ एक रैखिक समीकरण बनाएं: 1) 3 किलो मिठाई और 2 किलो कुकीज़ की कीमत 120 UAH है; 2) 2 पेन 5 पेंसिल से 20 UAH अधिक महंगे हैं। आपके द्वारा बनाए गए समीकरण का ग्राफ़ बनाएं.
1098 . समस्या के लिए समीकरण का एक ग्राफ बनाएं: 1) आपकी कक्षा में लड़कियों और लड़कों की संख्या; 2) पंक्तिबद्ध और चौकोर नोटबुक खरीदना।
समस्याओं की समीक्षा करें
1099. एक पर्यटक एक घंटे में 12 किमी चला। एक पर्यटक को समान गति से 20 किमी की दूरी तय करने में कितने घंटे लगेंगे?
1100. नए शेड्यूल के अनुसार ट्रेन की गति कितनी होनी चाहिए ताकि वह दो स्टेशनों के बीच की दूरी 2.5 घंटे में तय कर सके, यदि पुराने शेड्यूल के अनुसार 100 किमी/घंटा की गति से चलते हुए इसे 3 में तय किया जाए घंटे?
§ 1 वास्तविक स्थितियों में समीकरण जड़ों का चयन
आइए इस वास्तविक स्थिति पर विचार करें:
मास्टर और प्रशिक्षु ने मिलकर 400 कस्टम पार्ट्स बनाए। इसके अलावा, मास्टर ने 3 दिन और छात्र ने 2 दिन काम किया। प्रत्येक व्यक्ति ने कितने हिस्से बनाये?
आइए इस स्थिति का एक बीजगणितीय मॉडल बनाएं। मास्टर को 1 दिन में पुर्जे तैयार करने दें। और छात्र विवरण पर है. फिर गुरु 3 दिनों में 3 भाग बनाएगा, और छात्र 2 दिनों में 2 भाग बनाएगा। वे मिलकर 3+2 भाग तैयार करेंगे। चूँकि, शर्त के अनुसार, कुल 400 भागों का निर्माण किया गया था, हमें समीकरण प्राप्त होता है:
परिणामी समीकरण को दो चरों वाला रैखिक समीकरण कहा जाता है। यहां हमें संख्याओं x और y की एक जोड़ी ढूंढनी होगी जिसके लिए समीकरण एक वास्तविक संख्यात्मक समानता का रूप लेगा। ध्यान दें कि यदि x = 90, y = 65, तो हमें समानता मिलती है:
3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400
चूँकि सही संख्यात्मक समानता प्राप्त हो गई है, संख्या 90 और 65 की जोड़ी इस समीकरण का समाधान होगी। लेकिन पाया गया समाधान एकमात्र नहीं है। यदि x = 96 और y = 56, तो हमें समानता प्राप्त होती है:
96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400
यह एक सच्ची संख्यात्मक समानता भी है, जिसका अर्थ है कि संख्या 96 और 56 की जोड़ी भी इस समीकरण का एक समाधान है। लेकिन संख्याओं x = 73 और y = 23 की एक जोड़ी इस समीकरण का हल नहीं होगी। वास्तव में, 3 ∙ 73 + 2 ∙ 23 = 400 हमें गलत संख्यात्मक समानता 265 = 400 देगा। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि हम इस वास्तविक स्थिति के संबंध में समीकरण पर विचार करते हैं, तो संख्याओं के जोड़े होंगे, जो कि इस समीकरण का समाधान, समस्या का समाधान नहीं होगा। उदाहरण के लिए, कुछ संख्याएँ:
x = 200 और y = -100
समीकरण का एक समाधान है, लेकिन छात्र -100 भाग नहीं बना सकता है, और इसलिए संख्याओं की ऐसी जोड़ी समस्या के प्रश्न का उत्तर नहीं हो सकती है। इस प्रकार, प्रत्येक विशिष्ट वास्तविक स्थिति में समीकरण की जड़ों का चयन करने के लिए उचित दृष्टिकोण अपनाना आवश्यक है।
आइए पहले परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:
ax + bу + c = 0 के रूप का समीकरण, जहां a, b, c कोई भी संख्या है, दो चर वाला रैखिक समीकरण कहलाता है।
दो चरों में एक रैखिक समीकरण का समाधान x और y के अनुरूप संख्याओं की एक जोड़ी है, जिसके लिए समीकरण एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल जाता है।
§ 2 एक रैखिक समीकरण का ग्राफ़
जोड़ी (x;y) की रिकॉर्डिंग ही हमें एक समतल पर निर्देशांक xy y वाले एक बिंदु के रूप में चित्रित करने की संभावना के बारे में सोचने के लिए प्रेरित करती है। इसका मतलब है कि हम किसी विशिष्ट स्थिति का एक ज्यामितीय मॉडल प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें:
2x + y - 4 = 0
आइए संख्याओं के कई जोड़े चुनें जो इस समीकरण का समाधान होंगे और पाए गए निर्देशांक के साथ बिंदु बनाएंगे। मान लीजिए ये बिंदु हैं:
ए(0; 4), बी(2; 0), सी(1; 2), डी(-2; 8), ई(- 1; 6)।
ध्यान दें कि सभी बिंदु एक ही रेखा पर स्थित हैं। इस रेखा को दो चर वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ कहा जाता है। यह किसी दिए गए समीकरण का एक ग्राफिकल (या ज्यामितीय) मॉडल है।
यदि संख्याओं का एक युग्म (x;y) समीकरण का एक हल है
ax + vy + c = 0, तो बिंदु M(x;y) समीकरण के ग्राफ से संबंधित है। हम दूसरे तरीके से कह सकते हैं: यदि बिंदु M(x;y) समीकरण ax + y + c = 0 के ग्राफ से संबंधित है, तो संख्याओं की जोड़ी (x;y) इस समीकरण का एक समाधान है।
ज्यामिति पाठ्यक्रम से हम जानते हैं:
एक सीधी रेखा खींचने के लिए, आपको 2 बिंदुओं की आवश्यकता होती है, इसलिए दो चर वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ बनाने के लिए, समाधान के केवल 2 जोड़े जानना पर्याप्त है। लेकिन जड़ों का अनुमान लगाना हमेशा एक सुविधाजनक या तर्कसंगत प्रक्रिया नहीं होती है। आप दूसरे नियम के अनुसार कार्य कर सकते हैं. चूँकि एक बिंदु (चर x) का भुज एक स्वतंत्र चर है, आप इसे कोई भी सुविधाजनक मान दे सकते हैं। इस संख्या को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम चर y का मान ज्ञात करते हैं।
उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि समीकरण दिया गया है:
मान लीजिए x = 0 है, तो हमें 0 - y + 1 = 0 या y = 1 मिलता है। इसका मतलब है कि यदि x = 0 है, तो y = 1. संख्याओं की एक जोड़ी (0;1) इस समीकरण का समाधान है। आइए वेरिएबल x के लिए एक और मान सेट करें: x = 2. तब हमें 2 - y + 1 = 0 या y = 3 मिलता है। संख्याओं का युग्म (2;3) भी इस समीकरण का एक समाधान है। पाए गए दो बिंदुओं का उपयोग करके, समीकरण x - y + 1 = 0 का ग्राफ बनाना पहले से ही संभव है।
आप यह कर सकते हैं: पहले वेरिएबल y के लिए कुछ विशिष्ट मान निर्दिष्ट करें, और उसके बाद ही x के मान की गणना करें।
§ 3 समीकरणों की प्रणाली
दो खोजें प्राकृतिक संख्याजिसका योग 11 तथा अंतर 1 है।
इस समस्या को हल करने के लिए, हम पहले एक गणितीय मॉडल (अर्थात्, एक बीजीय मॉडल) बनाते हैं। माना कि पहली संख्या x और दूसरी संख्या y है। फिर संख्याओं का योग x + y = 11 और संख्याओं का अंतर x - y = 1. चूंकि दोनों समीकरण समान संख्याओं से संबंधित हैं, इसलिए इन शर्तों को एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। आमतौर पर ऐसे मामलों में एक विशेष रिकॉर्ड का उपयोग किया जाता है। समीकरणों को एक के नीचे एक लिखा जाता है और एक घुंघराले ब्रेस के साथ जोड़ा जाता है।
ऐसे रिकार्ड को समीकरणों की प्रणाली कहा जाता है।
आइए अब प्रत्येक समीकरण के लिए समाधानों के सेट का निर्माण करें, अर्थात प्रत्येक समीकरण के ग्राफ़. आइए पहला समीकरण लें:
यदि x = 4, तो y = 7. यदि x = 9, तो y = 2.
आइए बिंदुओं (4;7) और (9;2) से होकर एक सीधी रेखा खींचें।
आइए दूसरा समीकरण x - y = 1 लें। यदि x = 5, तो y = 4. यदि x = 7, तो y = 6. हम बिंदुओं (5;4) और (7;6) से होकर एक सीधी रेखा भी खींचते हैं। ). हमने समस्या का एक ज्यामितीय मॉडल प्राप्त किया। संख्याओं की जिस जोड़ी (x;y) में हमारी रुचि है, वह दोनों समीकरणों का समाधान होनी चाहिए। चित्र में हम एक बिंदु देखते हैं जो दोनों रेखाओं पर स्थित है; यह रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इसके निर्देशांक (6;5) हैं। इसलिए, समस्या का समाधान होगा: पहली आवश्यक संख्या 6 है, दूसरी 5 है।
प्रयुक्त साहित्य की सूची:
- मोर्दकोविच ए.जी., बीजगणित 7वीं कक्षा 2 भागों में, भाग 1, सामान्य शिक्षा संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच. - 10वां संस्करण, संशोधित - मॉस्को, "मेनेमोसिन", 2007
- मोर्दकोविच ए.जी., बीजगणित 7वीं कक्षा 2 भागों में, भाग 2, शैक्षणिक संस्थानों के लिए समस्या पुस्तक / [ए.जी. मोर्दकोविच और अन्य]; ए.जी. द्वारा संपादित मोर्दकोविच - 10वां संस्करण, संशोधित - मॉस्को, "मेनेमोसिन", 2007
- उसकी। तुलचिंस्काया, बीजगणित 7वीं कक्षा। ब्लिट्ज़ सर्वेक्षण: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए एक मैनुअल, चौथा संस्करण, संशोधित और विस्तारित, मॉस्को, "मेनेमोसिन", 2008
- अलेक्जेंड्रोवा एल.ए., बीजगणित 7वीं कक्षा। विषयगत परीक्षण कार्यवी नए रूप मेसामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए, ए.जी. द्वारा संपादित। मोर्दकोविच, मॉस्को, "मेनमोसिन", 2011
- अलेक्जेंड्रोवा एल.ए. बीजगणित 7वीं कक्षा. स्वतंत्र कार्यसामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए, ए.जी. द्वारा संपादित। मोर्दकोविच - छठा संस्करण, स्टीरियोटाइपिकल, मॉस्को, "मेनमोसिन", 2010
रैखिक समीकरणदो चरों के साथ - कोई भी समीकरण जिसका निम्न रूप हो: a*x + b*y =с. यहाँ x और y दो चर हैं, a,b,c कुछ संख्याएँ हैं।
रैखिक समीकरण a*x + b*y = c का समाधान संख्याओं (x,y) का कोई भी युग्म है जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात चर x और y वाले समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदल देता है। एक रैखिक समीकरण में अनंत संख्या में समाधान होते हैं।
यदि संख्याओं के प्रत्येक जोड़े जो दो चरों में एक रैखिक समीकरण के समाधान हैं, को निर्देशांक तल पर बिंदुओं के रूप में दर्शाया गया है, तो ये सभी बिंदु दो चरों में एक रैखिक समीकरण का ग्राफ बनाते हैं। बिंदुओं के निर्देशांक हमारे x और y मान होंगे। इस मामले में, x मान भुज होगा, और y मान कोटि होगा।
दो चर वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ़
दो चर वाले एक रैखिक समीकरण का ग्राफ़ निर्देशांक तल पर सभी संभावित बिंदुओं का समूह है, जिनके निर्देशांक इस रैखिक समीकरण के समाधान होंगे। यह अनुमान लगाना आसान है कि ग्राफ़ एक सीधी रेखा होगी। इसीलिए ऐसे समीकरणों को रैखिक कहा जाता है।
निर्माण एल्गोरिथ्म
दो चरों में एक रैखिक समीकरण आलेखित करने के लिए एल्गोरिदम।
1. निर्देशांक अक्ष बनाएं, उन्हें लेबल करें और इकाई पैमाने को चिह्नित करें।
2. एक रैखिक समीकरण में, x = 0 रखें, और y के लिए परिणामी समीकरण को हल करें। ग्राफ़ पर परिणामी बिंदु को चिह्नित करें।
3. एक रैखिक समीकरण में, संख्या 0 को y के रूप में लें, और x के लिए परिणामी समीकरण को हल करें। ग्राफ़ पर परिणामी बिंदु को चिह्नित करें
4. यदि आवश्यक हो, तो x का एक मनमाना मान लें और y के लिए परिणामी समीकरण को हल करें। ग्राफ़ पर परिणामी बिंदु को चिह्नित करें।
5. परिणामी बिंदुओं को कनेक्ट करें और उनके परे ग्राफ़ को जारी रखें। परिणामी सीधी रेखा पर हस्ताक्षर करें।
उदाहरण:समीकरण 3*x - 2*y =6 का ग्राफ़ बनाएं;
आइए x=0 रखें, फिर - 2*y =6; आप= -3;
आइए y=0 रखें, फिर 3*x = 6; एक्स=2;
हम ग्राफ़ पर प्राप्त बिंदुओं को चिह्नित करते हैं, उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं और उसे लेबल करते हैं। नीचे दिए गए चित्र को देखें, ग्राफ बिल्कुल इस तरह दिखना चाहिए।
हमें अक्सर ax + b = 0 के रूप के समीकरण मिलते हैं, जहां a, b संख्याएं हैं, x एक चर है। उदाहरण के लिए, bx - 8 = 0, x + 4 = O, - 7x - 11 = 0, आदि। संख्याएँ a, b (समीकरण गुणांक) कोई भी हो सकती हैं, उस स्थिति को छोड़कर जब a = 0 हो।
समीकरण ax + b = 0, जहां a, एक चर x वाला एक रैखिक समीकरण (या एक अज्ञात x वाला एक रैखिक समीकरण) कहलाता है। हम इसे हल कर सकते हैं, यानी, x को a और b के माध्यम से व्यक्त कर सकते हैं:
हमने इसे पहले भी अक्सर नोट किया था गणितीय मॉडलवास्तविक स्थिति एक चर वाला एक रैखिक समीकरण या एक समीकरण है, जो परिवर्तनों के बाद, एक रैखिक समीकरण में बदल जाता है। अब आइए इस वास्तविक स्थिति पर नजर डालें।
शहरों A और B से, जिनके बीच की दूरी 500 किमी है, दो ट्रेनें एक-दूसरे की ओर रवाना हुईं, प्रत्येक की अपनी-अपनी ट्रेन थी निरंतर गति. यह ज्ञात है कि पहली ट्रेन दूसरी की तुलना में 2 घंटे पहले रवाना हुई थी। दूसरी ट्रेन छूटने के 3 घंटे बाद उनकी मुलाकात हुई. ट्रेन की गति क्या है?
आइए समस्या का एक गणितीय मॉडल बनाएं। माना कि पहली ट्रेन की गति x किमी/घंटा है, दूसरी ट्रेन की गति y किमी/घंटा है। पहला व्यक्ति 5 घंटे तक सड़क पर था और इसलिए उसने bx किमी की दूरी तय की। दूसरी ट्रेन 3 घंटे यानी 3 घंटे तक रास्ते में थी। 3 किमी की दूरी तय की.
उनकी मुलाकात बिंदु सी पर हुई। चित्र 31 स्थिति का एक ज्यामितीय मॉडल दिखाता है। बीजगणितीय भाषा में इसे इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है:
5x + ज़ू = 500
या
5x + ज़ू - 500 = 0.
इस गणितीय मॉडल को दो चर x, y वाला एक रैखिक समीकरण कहा जाता है।
बिल्कुल भी,
कुल्हाड़ी + द्वारा + सी = 0,
जहाँ a, b, c संख्याएँ हैं, और, रैखिक है समीकरणदो चर x और y के साथ (या दो अज्ञात x और y के साथ)।
आइए समीकरण 5x + 3 = 500 पर वापस लौटें। हम ध्यान दें कि यदि x = 40, y = 100, तो 5 40 + 3 100 = 500 एक सही समानता है। इसका मतलब है कि समस्या के प्रश्न का उत्तर इस प्रकार हो सकता है: पहली ट्रेन की गति 40 किमी/घंटा है, दूसरी ट्रेन की गति 100 किमी/घंटा है। संख्याओं x = 40, y = 100 की एक जोड़ी को समीकरण 5x + 3 = 500 का समाधान कहा जाता है। यह भी कहा जाता है कि मानों की यह जोड़ी (x; y) समीकरण 5x + 3 = 500 को संतुष्ट करती है।
दुर्भाग्य से, यह समाधान एकमात्र नहीं है (हम सभी को निश्चितता और स्पष्टता पसंद है)। वास्तव में, निम्नलिखित विकल्प भी संभव है: x = 64, y = 60; वास्तव में, 5 64 + 3 60 = 500 एक सही समानता है। और यह: x = 70, y = 50 (चूंकि 5 70 + 3 50 = 500 एक सच्ची समानता है)।
लेकिन, मान लीजिए, संख्याओं की एक जोड़ी x = 80, y = 60 समीकरण का समाधान नहीं है, क्योंकि इन मूल्यों के साथ सच्ची समानता काम नहीं करती है:
सामान्य तौर पर, समीकरण ax + by + c = 0 का समाधान संख्याओं (x; y) का कोई भी युग्म है जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात, चर ax + by + c = 0 के साथ समानता को एक वास्तविक संख्यात्मक में बदल देता है। समानता. ऐसे अनगिनत समाधान हैं।
टिप्पणी। आइए एक बार फिर ऊपर चर्चा की गई समस्या में प्राप्त समीकरण 5x + 3 = 500 पर लौटते हैं। इसके समाधानों की अनंत संख्या में, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित हैं: x = 100, y = 0 (वास्तव में, 5 100 + 3 0 = 500 एक सही संख्यात्मक समानता है); x = 118, y = - 30 (चूंकि 5,118 + 3 (-30) = 500 एक सही संख्यात्मक समानता है)। हालाँकि, होना समीकरण का समाधान, ये जोड़े इस समस्या के समाधान के रूप में काम नहीं कर सकते, क्योंकि ट्रेन की गति शून्य के बराबर नहीं हो सकती (तब वह चलती नहीं है, बल्कि स्थिर रहती है); इसके अलावा, ट्रेन की गति नकारात्मक नहीं हो सकती (तब यह दूसरी ट्रेन की ओर नहीं जाती है, जैसा कि समस्या कथन में कहा गया है, लेकिन विपरीत दिशा में)।
उदाहरण 1. xOy निर्देशांक तल में बिंदुओं द्वारा दो चर x + y - 3 = 0 वाले रैखिक समीकरण का समाधान बनाएं।
समाधान। आइए कई समाधान चुनें दिया गया समीकरण, यानी संख्याओं के कई जोड़े जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं: (3; 0), (2; 1), (1; 2) (0; 3), (- 2; 5)।
ए. वी. पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक
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