गॉसियन विधि का उपयोग करके हल करने के लिए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है। गाऊसी विधि (अज्ञात का क्रमिक उन्मूलन)। डमी के लिए समाधान के उदाहरण

यह ऑनलाइन कैलकुलेटर सिस्टम का समाधान ढूंढता है रेखीय समीकरण(एसएलएन) गॉसियन विधि द्वारा। विस्तृत समाधान दिया गया है. गणना करने के लिए, चरों की संख्या और समीकरणों की संख्या का चयन करें। फिर कोशिकाओं में डेटा दर्ज करें और "गणना करें" बटन पर क्लिक करें।

एक्स 1 +एक्स 2 +एक्स 3 एक्स 1 +एक्स 2 +एक्स 3 एक्स 1 +एक्स 2 +एक्स 3 = = =

संख्या प्रतिनिधित्व:

पूर्ण संख्याएँ और/या सामान्य भिन्न
पूर्ण संख्याएँ और/या दशमलव

दशमलव विभाजक के बाद स्थानों की संख्या

×

चेतावनी

सभी कक्ष साफ़ करें?

साफ़ बंद करें

डेटा प्रविष्टि निर्देश.संख्याएँ पूर्णांक (उदाहरण: 487, 5, -7623, आदि), दशमलव (उदा. 67., 102.54, आदि) या भिन्न के रूप में दर्ज की जाती हैं। भिन्न को a/b के रूप में दर्ज किया जाना चाहिए, जहाँ a और b (b>0) पूर्णांक या दशमलव हैं। उदाहरण 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, आदि।

गॉस विधि

गॉस विधि रैखिक समीकरणों की मूल प्रणाली (समकक्ष परिवर्तनों का उपयोग करके) से एक ऐसी प्रणाली में संक्रमण की एक विधि है जिसे मूल प्रणाली की तुलना में हल करना आसान है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के समतुल्य परिवर्तन हैं:

• सिस्टम में दो समीकरणों की अदला-बदली,
• सिस्टम में किसी भी समीकरण को गैर-शून्य वास्तविक संख्या से गुणा करना,
• एक समीकरण में दूसरे समीकरण को जोड़ने पर एक मनमानी संख्या से गुणा किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:

(1)

आइए सिस्टम (1) को मैट्रिक्स रूप में लिखें:

कुल्हाड़ी=बी

(2)

(3)

ए- सिस्टम का गुणांक मैट्रिक्स कहा जाता है, बी− प्रतिबंधों का दाहिना भाग, एक्स- पाए जाने वाले चरों का सदिश। चलो रैंक( ए)=पी.

समतुल्य परिवर्तन गुणांक मैट्रिक्स की रैंक और सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक को नहीं बदलते हैं। समतुल्य परिवर्तनों के तहत सिस्टम के समाधानों का सेट भी नहीं बदलता है। गॉस विधि का सार गुणांकों के मैट्रिक्स को कम करना है एविकर्ण या चरणबद्ध करना।

आइए सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं:

अगले चरण में, हम तत्व के नीचे, कॉलम 2 के सभी तत्वों को रीसेट करते हैं। यदि यह तत्व शून्य है, तो इस पंक्ति को इस पंक्ति के नीचे वाली पंक्ति से बदल दिया जाता है और दूसरे कॉलम में एक गैर-शून्य तत्व होता है। इसके बाद, प्रमुख तत्व के नीचे कॉलम 2 के सभी तत्वों को रीसेट करें ए 22. ऐसा करने के लिए, पंक्तियाँ 3 जोड़ें,... एमस्ट्रिंग 2 को - से गुणा करके ए 32 /ए 22 , ..., −एएम2/ एक्रमशः 22. प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हमें विकर्ण या चरणबद्ध रूप का एक मैट्रिक्स प्राप्त होता है। मान लीजिए कि परिणामी विस्तारित मैट्रिक्स का रूप इस प्रकार है:

(7)

क्योंकि रंगअ=रंग(ए|बी), तो समाधान का सेट (7) है ( n−p)− विविधता. इस तरह n−pअज्ञात को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। सिस्टम (7) से शेष अज्ञात की गणना निम्नानुसार की जाती है। अंतिम समीकरण से हम व्यक्त करते हैं एक्सशेष चर के माध्यम से पी और पिछले अभिव्यक्तियों में डालें। आगे, अंतिम समीकरण से हम व्यक्त करते हैं एक्सशेष चरों के माध्यम से p−1 डालें और पिछले भावों आदि में डालें। गॉसियन पद्धति पर विचार करें विशिष्ट उदाहरण.

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 1. खोजें सामान्य समाधानगॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणालियाँ:

आइए हम इसे निरूपित करें एआईजे तत्व मैं-वीं पंक्ति और जेवां स्तंभ.

ए 11 । ऐसा करने के लिए, पंक्ति 2,3 को पंक्ति 1 के साथ जोड़ें, क्रमशः -2/3,-1/2 से गुणा करें:

मैट्रिक्स दृश्यप्रविष्टियाँ: कुल्हाड़ी=बी, कहाँ

आइए हम इसे निरूपित करें एआईजे तत्व मैं-वीं पंक्ति और जेवां स्तंभ.

आइए तत्व के नीचे मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों को बाहर करें ए 11। ऐसा करने के लिए, पंक्ति 2,3 को पंक्ति 1 के साथ जोड़ें, क्रमशः -1/5,-6/5 से गुणा करें:

हम मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति को संबंधित अग्रणी तत्व से विभाजित करते हैं (यदि अग्रणी तत्व मौजूद है):

कहाँ एक्स 3 , एक्स

ऊपरी भावों को निचले भावों में प्रतिस्थापित करने पर, हमें समाधान प्राप्त होता है।

तब वेक्टर समाधानइस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

कहाँ एक्स 3 , एक्स 4 मनमानी वास्तविक संख्याएँ हैं।

हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार करना जारी रखते हैं। यह पाठ इस विषय पर तीसरा है। यदि आपके पास एक अस्पष्ट विचार है कि सामान्य रूप से रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली क्या है, यदि आप एक चायदानी की तरह महसूस करते हैं, तो मैं अगले पृष्ठ पर मूल बातें शुरू करने की सलाह देता हूं, पाठ का अध्ययन करना उपयोगी है।

गाऊसी विधि आसान है!क्यों? प्रसिद्ध जर्मन गणितज्ञ जोहान कार्ल फ्रेडरिक गॉस को अपने जीवनकाल के दौरान सर्वकालिक महान गणितज्ञ, प्रतिभाशाली और यहां तक ​​कि "गणित के राजा" उपनाम से मान्यता मिली। और जैसा कि आप जानते हैं, हर सरल चीज़ सरल है!वैसे, न केवल मूर्खों को पैसा मिलता है, बल्कि प्रतिभाओं को भी मिलता है - गॉस का चित्र 10 Deutschmark बैंकनोट (यूरो की शुरूआत से पहले) पर था, और गॉस अभी भी साधारण डाक टिकटों से जर्मनों को रहस्यमय ढंग से मुस्कुराते हैं।

गॉस विधि इस मायने में सरल है कि पांचवीं कक्षा के छात्र का ज्ञान इसमें महारत हासिल करने के लिए पर्याप्त है। आपको जोड़ना और गुणा करना आना चाहिए!यह कोई संयोग नहीं है कि शिक्षक अक्सर स्कूली गणित ऐच्छिक में अज्ञात के क्रमिक बहिष्करण की विधि पर विचार करते हैं। यह एक विरोधाभास है, लेकिन छात्रों को गाऊसी पद्धति सबसे कठिन लगती है। आश्चर्य की कोई बात नहीं - यह सब कार्यप्रणाली के बारे में है, और मैं विधि के एल्गोरिदम के बारे में सुलभ रूप में बात करने की कोशिश करूंगा।

सबसे पहले, आइए रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के बारे में थोड़ा ज्ञान व्यवस्थित करें। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली यह कर सकती है:

1) एक अनोखा समाधान रखें। 2) अनंत रूप से अनेक समाधान हों। 3) कोई समाधान नहीं है (होना गैर संयुक्त).

समाधान खोजने के लिए गॉस विधि सबसे शक्तिशाली और सार्वभौमिक उपकरण है कोईरैखिक समीकरणों की प्रणाली. जैसा कि हमें याद है, क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधिऐसे मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम में असीमित रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। और अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि फिर भीहमें उत्तर तक ले जाएगा! पर यह सबकहम फिर से केस नंबर 1 (सिस्टम का एकमात्र समाधान) के लिए गॉस विधि पर विचार करेंगे, एक लेख बिंदु नंबर 2-3 की स्थितियों के लिए समर्पित है। मैं ध्यान देता हूं कि विधि का एल्गोरिदम स्वयं तीनों मामलों में समान काम करता है।

आइए पाठ से सबसे सरल प्रणाली पर वापस लौटें रैखिक समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?और इसे गॉसियन विधि का उपयोग करके हल करें।

पहला कदम लिखना है विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स: . मुझे लगता है कि हर कोई देख सकता है कि गुणांक किस सिद्धांत से लिखे गए हैं। मैट्रिक्स के अंदर की ऊर्ध्वाधर रेखा का कोई गणितीय अर्थ नहीं है - यह केवल डिज़ाइन की आसानी के लिए एक स्ट्राइकथ्रू है।

संदर्भ : मेरा सुझाव है कि आप याद रखें शर्तें लीनियर अलजेब्रा। सिस्टम मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जो केवल अज्ञात के गुणांकों से बना है, इस उदाहरण में सिस्टम का मैट्रिक्स: . विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स - इस मामले में, यह सिस्टम का वही मैट्रिक्स और मुफ़्त शब्दों का एक कॉलम है: . संक्षिप्तता के लिए, किसी भी मैट्रिक्स को केवल मैट्रिक्स कहा जा सकता है।

विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स लिखे जाने के बाद, इसके साथ कुछ क्रियाएं करना आवश्यक है, जिन्हें भी कहा जाता है प्राथमिक परिवर्तन.

निम्नलिखित प्राथमिक परिवर्तन मौजूद हैं:

1) स्ट्रिंग्समैट्रिक्स कर सकना को पुनर्व्यवस्थितकुछ स्थानों पर. उदाहरण के लिए, विचाराधीन मैट्रिक्स में, आप पहली और दूसरी पंक्तियों को दर्द रहित तरीके से पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (विशेष मामले के रूप में - समान) पंक्तियाँ हैं (या दिखाई दी हैं), तो आपको यह करना चाहिए मिटानामैट्रिक्स से एक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें . इस मैट्रिक्स में, अंतिम तीन पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, इसलिए उनमें से केवल एक को छोड़ना पर्याप्त है: .

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो यह भी होनी चाहिए मिटाना. बेशक, मैं नहीं खींचूंगा, शून्य रेखा वह रेखा है जिसमें सभी शून्य.

4) मैट्रिक्स पंक्ति हो सकती है गुणा करना (विभाजित करना)किसी भी संख्या में शून्येतर. उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स पर विचार करें। यहां पहली पंक्ति को -3 से विभाजित करने और दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करने की सलाह दी जाती है: . यह क्रिया बहुत उपयोगी है क्योंकि यह मैट्रिक्स के आगे के परिवर्तनों को सरल बनाती है।

5) यह परिवर्तन सबसे अधिक कठिनाइयों का कारण बनता है, लेकिन वास्तव में इसमें कुछ भी जटिल नहीं है। एक मैट्रिक्स की एक पंक्ति के लिए आप कर सकते हैं किसी संख्या से गुणा करके एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न। आइए एक व्यावहारिक उदाहरण से हमारे मैट्रिक्स को देखें:। सबसे पहले मैं परिवर्तन का विस्तार से वर्णन करूँगा। पहली पंक्ति को -2 से गुणा करें: , और दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ते हैं: . अब पहली पंक्ति को "वापस" -2: से विभाजित किया जा सकता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, जो लाइन ADD है ली – नहीं बदला है. हमेशाजिस पंक्ति में जोड़ा गया है वह बदल जाती है केन्द्र शासित प्रदेशों.

व्यवहार में, बेशक, वे इसे इतने विस्तार से नहीं लिखते हैं, लेकिन इसे संक्षेप में लिखते हैं: एक बार फिर: दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ा गया. एक पंक्ति को आमतौर पर मौखिक रूप से या ड्राफ्ट पर गुणा किया जाता है, जिसमें मानसिक गणना प्रक्रिया कुछ इस तरह होती है:

"मैं मैट्रिक्स को फिर से लिखता हूं और पहली पंक्ति को फिर से लिखता हूं: »

“पहला कॉलम. सबसे नीचे मुझे शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है। इसलिए, मैं शीर्ष पर वाले को -2: से गुणा करता हूं, और पहले वाले को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 2 + (-2) = 0. मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

“अब दूसरा कॉलम. शीर्ष पर, मैं -1 को -2 से गुणा करता हूँ:। मैं पहली को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: 1 + 2 = 3। मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

“और तीसरा कॉलम। शीर्ष पर मैं -5 को -2 से गुणा करता हूं:। मैं पहली को दूसरी पंक्ति में जोड़ता हूं: -7 + 10 = 3। मैं परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखता हूं: »

कृपया इस उदाहरण को ध्यान से समझें और अनुक्रमिक गणना एल्गोरिदम को समझें, यदि आप इसे समझते हैं, तो गाऊसी विधि व्यावहारिक रूप से आपकी जेब में है। लेकिन, निश्चित रूप से, हम अभी भी इस परिवर्तन पर काम करेंगे।

प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं

! ध्यान: जोड़-तोड़ पर विचार किया गया उपयोग नहीं किया जा सकता, यदि आपको एक कार्य की पेशकश की जाती है जहां मैट्रिक्स "स्वयं द्वारा" दिए जाते हैं। उदाहरण के लिए, "शास्त्रीय" के साथ मैट्रिक्स के साथ संचालनकिसी भी परिस्थिति में आपको मैट्रिक्स के अंदर कुछ भी पुनर्व्यवस्थित नहीं करना चाहिए! आइए अपने सिस्टम पर वापस लौटें। इसे व्यावहारिक रूप से टुकड़ों में ले जाया जाता है।

आइए हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे कम करें चरणबद्ध दृश्य:

(1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया। और फिर: हम पहली पंक्ति को -2 से गुणा क्यों करते हैं? नीचे शून्य प्राप्त करने के लिए, जिसका अर्थ है दूसरी पंक्ति में एक चर से छुटकारा पाना।

(2) दूसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्राथमिक परिवर्तनों का उद्देश्य – मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में कम करें: . कार्य के डिज़ाइन में, वे बस एक साधारण पेंसिल से "सीढ़ियों" को चिह्नित करते हैं, और "कदमों" पर स्थित संख्याओं पर भी गोला बनाते हैं। शब्द "स्टेप्ड व्यू" अपने आप में पूरी तरह से सैद्धांतिक नहीं है, वैज्ञानिक और शैक्षणिक साहित्यइसे अक्सर कहा जाता है समलम्बाकार दृश्यया त्रिकोणीय दृश्य.

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमने प्राप्त किया समकक्षसमीकरणों की मूल प्रणाली:

अब सिस्टम को विपरीत दिशा में "अनवाइंड" करने की आवश्यकता है - नीचे से ऊपर तक, इस प्रक्रिया को कहा जाता है गाऊसी पद्धति का उलटा.

निचले समीकरण में हमारे पास पहले से ही तैयार परिणाम है:।

आइए सिस्टम के पहले समीकरण पर विचार करें और इसमें "y" के पहले से ज्ञात मान को प्रतिस्थापित करें:

आइए सबसे आम स्थिति पर विचार करें, जब गाऊसी विधि को तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 1

गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

आइए सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स लिखें:

अब मैं तुरंत वह परिणाम निकालूंगा जो हम समाधान के दौरान प्राप्त करेंगे: और मैं दोहराता हूं, हमारा लक्ष्य प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में लाना है। कहां से शुरू करें?

सबसे पहले, शीर्ष बाएँ नंबर को देखें: लगभग हमेशा यहीं रहना चाहिए इकाई. आम तौर पर कहें तो, -1 (और कभी-कभी अन्य संख्याएं) भी काम करेंगी, लेकिन पारंपरिक रूप से ऐसा होता आया है कि आमतौर पर एक को वहां रखा जाता है। किसी इकाई को कैसे व्यवस्थित करें? हम पहले कॉलम को देखते हैं - हमारे पास एक तैयार इकाई है! परिवर्तन एक: पहली और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करें:

अब पहली पंक्ति समाधान के अंत तक अपरिवर्तित रहेगी. यह पहले से आसान है.

ऊपरी बाएँ कोने में इकाई व्यवस्थित है। अब आपको इन स्थानों पर शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है:

हमें "कठिन" परिवर्तन का उपयोग करके शून्य मिलते हैं। पहले हम दूसरी पंक्ति (2, -1, 3, 13) से निपटते हैं। शून्य को प्रथम स्थान पर लाने के लिए क्या करना होगा? करने की जरूरत है दूसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ें. मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर, पहली पंक्ति को -2 से गुणा करें: (-2, -4, 2, -18)। और हम लगातार (फिर से मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर) जोड़-तोड़ करते हैं, दूसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे पहले से ही -2 से गुणा किया गया है:

हम परिणाम को दूसरी पंक्ति में लिखते हैं:

हम तीसरी पंक्ति (3, 2, -5, -1) से भी इसी तरह निपटते हैं। प्रथम स्थान पर शून्य प्राप्त करने के लिए, आपको चाहिए तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके जोड़ें. मानसिक रूप से या ड्राफ्ट पर, पहली पंक्ति को -3 से गुणा करें: (-3, -6, 3, -27)। और तीसरी पंक्ति में हम पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके जोड़ते हैं:

हम परिणाम को तीसरी पंक्ति में लिखते हैं:

व्यवहार में, ये क्रियाएं आमतौर पर मौखिक रूप से की जाती हैं और एक चरण में लिखी जाती हैं:

हर चीज़ को एक बार में और एक ही समय में गिनने की ज़रूरत नहीं है. गणनाओं का क्रम और परिणामों को "लिखना"। सुसंगतऔर आमतौर पर यह इस तरह होता है: पहले हम पहली पंक्ति को फिर से लिखते हैं, और धीरे-धीरे खुद पर कश लगाते हैं - लगातार और ध्यानपूर्वक:
और गणनाओं की मानसिक प्रक्रिया पर मैं पहले ही ऊपर चर्चा कर चुका हूँ।

में इस उदाहरण मेंऐसा करना आसान है, दूसरी पंक्ति को -5 से विभाजित करें (क्योंकि वहां सभी संख्याएं बिना किसी शेषफल के 5 से विभाज्य हैं)। साथ ही, हम तीसरी पंक्ति को -2 से विभाजित करते हैं, क्योंकि संख्याएँ जितनी छोटी होंगी, समाधान उतना ही सरल होगा:

प्रारंभिक परिवर्तनों के अंतिम चरण में, आपको यहां एक और शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है:

इसके लिए तीसरी पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति को -2 से गुणा करके जोड़ते हैं:
इस क्रिया को स्वयं समझने का प्रयास करें - मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -2 से गुणा करें और जोड़ करें।

अंतिम क्रिया परिणाम का केश विन्यास है, तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित करें।

प्रारंभिक परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, रैखिक समीकरणों की एक समतुल्य प्रणाली प्राप्त हुई: ठंडा।

अब गाऊसी पद्धति का उल्टा चलन में आता है। समीकरण नीचे से ऊपर तक "खुलते" हैं।

तीसरे समीकरण में हमारे पास पहले से ही तैयार परिणाम है:

आइए दूसरे समीकरण पर नजर डालें: . "ज़ेट" का अर्थ पहले से ही ज्ञात है, इस प्रकार:

और अंत में, पहला समीकरण: . "इग्रेक" और "ज़ेट" ज्ञात हैं, यह केवल छोटी-छोटी बातों की बात है:

उत्तर:

जैसा कि बार-बार उल्लेख किया गया है, समीकरणों की किसी भी प्रणाली के लिए पाए गए समाधान की जांच करना संभव और आवश्यक है, सौभाग्य से, यह आसान और त्वरित है।

उदाहरण 2

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण, अंतिम डिज़ाइन का एक नमूना और पाठ के अंत में एक उत्तर है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि आपका निर्णय की प्रगतिहो सकता है कि यह मेरी निर्णय प्रक्रिया से मेल न खाए, और यह गॉस विधि की एक विशेषता है. लेकिन उत्तर वही होने चाहिए!

उदाहरण 3

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। हमारे पास वहां एक होना चाहिए. समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई इकाइयाँ ही नहीं हैं, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करने से कुछ भी हल नहीं होगा। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। मैंने यह किया: (1) पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -1 से गुणा किया जाता है. यानी, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ दिया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन" है, जो हमारे लिए काफी उपयुक्त है। जो कोई भी +1 प्राप्त करना चाहता है वह एक अतिरिक्त गतिविधि कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (उसका चिह्न बदलें)।

(2) पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(3) पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और इसे दूसरे स्थान पर ले जाया गया, ताकि दूसरे "चरण" पर हमारे पास आवश्यक इकाई हो।

(4) दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

(5) तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया था।

एक बुरा संकेत जो गणना में त्रुटि का संकेत देता है (अधिक दुर्लभ रूप से, एक टाइपो) एक "खराब" निचली रेखा है। यानी, अगर हमें नीचे जैसा कुछ मिलता है, और, तदनुसार, , तो उच्च संभावना के साथ हम कह सकते हैं कि प्रारंभिक परिवर्तनों के दौरान एक त्रुटि हुई थी।

हम इसके विपरीत चार्ज करते हैं, उदाहरणों के डिज़ाइन में वे अक्सर सिस्टम को फिर से नहीं लिखते हैं, लेकिन समीकरण "सीधे दिए गए मैट्रिक्स से लिए जाते हैं।" मैं आपको याद दिला दूं कि रिवर्स स्ट्रोक नीचे से ऊपर की ओर काम करता है। हाँ, यहाँ एक उपहार है:

उत्तर: .

उदाहरण 4

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है, यह कुछ हद तक अधिक जटिल है। अगर कोई भ्रमित हो जाए तो कोई बात नहीं. पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और नमूना डिज़ाइन। आपका समाधान मेरे समाधान से भिन्न हो सकता है.

अंतिम भाग में हम गॉसियन एल्गोरिथम की कुछ विशेषताओं को देखेंगे। पहली विशेषता यह है कि कभी-कभी सिस्टम समीकरणों से कुछ चर गायब होते हैं, उदाहरण के लिए: विस्तारित सिस्टम मैट्रिक्स को सही ढंग से कैसे लिखें? मैंने पहले ही कक्षा में इस बिंदु के बारे में बात की थी। क्रैमर का नियम. मैट्रिक्स विधि. सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स में, हम लुप्त चर के स्थान पर शून्य डालते हैं: वैसे, यह एक काफी आसान उदाहरण है, क्योंकि पहले कॉलम में पहले से ही एक शून्य है, और प्रदर्शन करने के लिए कम प्राथमिक परिवर्तन हैं।

दूसरी विशेषता यह है. विचार किए गए सभी उदाहरणों में, हमने "चरणों" पर या तो -1 या +1 रखा है। क्या वहां अन्य संख्याएं भी हो सकती हैं? कुछ मामलों में वे कर सकते हैं. सिस्टम पर विचार करें: .

यहां ऊपर बाईं ओर "चरण" में दो हैं। लेकिन हम इस तथ्य पर ध्यान देते हैं कि पहले कॉलम की सभी संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 2 से विभाज्य हैं - और दूसरे में दो और छह हैं। और ऊपर बाईं ओर के दो हमारे लिए उपयुक्त होंगे! पहले चरण में, आपको निम्नलिखित परिवर्तन करने होंगे: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ें; तीसरी पंक्ति में पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके जोड़ें। तो हम पाते हैं आवश्यक शून्यपहले कॉलम में.

या कोई अन्य पारंपरिक उदाहरण: . यहां दूसरे "चरण" पर तीन भी हमारे लिए उपयुक्त है, क्योंकि 12 (वह स्थान जहां हमें शून्य प्राप्त करने की आवश्यकता है) शेषफल के बिना 3 से विभाज्य है। निम्नलिखित परिवर्तन करना आवश्यक है: दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ें, -4 से गुणा करें, जिसके परिणामस्वरूप हमें आवश्यक शून्य प्राप्त होगा।

गॉस की विधि सार्वभौमिक है, लेकिन एक विशिष्टता भी है। आप आत्मविश्वास से पहली बार अन्य तरीकों (क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि) का उपयोग करके सिस्टम को हल करना सीख सकते हैं - उनके पास एक बहुत ही सख्त एल्गोरिदम है। लेकिन गॉसियन पद्धति में आत्मविश्वास महसूस करने के लिए, आपको "अपने दाँत लगाने चाहिए" और कम से कम 5-10 दस प्रणालियों को हल करना चाहिए। इसलिए, सबसे पहले गणना में भ्रम और त्रुटियां हो सकती हैं, और इसमें कुछ भी असामान्य या दुखद नहीं है।

खिड़की के बाहर बरसाती शरद ऋतु का मौसम.... इसलिए, उन सभी के लिए जो अधिक चाहते हैं जटिल उदाहरणस्वतंत्र समाधान के लिए:

उदाहरण 5

गॉस विधि का उपयोग करके चार अज्ञात के साथ 4 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें।

व्यवहार में ऐसा कार्य इतना दुर्लभ नहीं है। मुझे लगता है कि यहां तक ​​कि एक चायदानी जिसने इस पृष्ठ का पूरी तरह से अध्ययन किया है वह ऐसी प्रणाली को हल करने के लिए एल्गोरिदम को सहजता से समझ जाएगा। मौलिक रूप से, सब कुछ समान है - बस अधिक क्रियाएं हैं।

ऐसे मामले जब सिस्टम में कोई समाधान नहीं है (असंगत) या असीमित कई समाधान हैं, तो पाठ में चर्चा की गई है एक समान समाधान के साथ असंगत प्रणालियाँ और प्रणालियाँ. वहां आप गॉसियन विधि के सुविचारित एल्गोरिदम को ठीक कर सकते हैं।

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: समाधान : आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं।
प्राथमिक परिवर्तन किए गए: (1) पहली पंक्ति को दूसरी पंक्ति में -2 से गुणा करके जोड़ा गया। पहली पंक्ति को -1 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। ध्यान! यहां आप तीसरी पंक्ति से पहली को घटाने के लिए प्रलोभित हो सकते हैं; मैं अत्यधिक अनुशंसा करता हूं कि इसे न घटाएं - त्रुटि का जोखिम बहुत बढ़ जाता है। बस इसे मोड़ो! (2) दूसरी पंक्ति का चिह्न बदल दिया गया (-1 से गुणा किया गया)। दूसरी और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली कर दी गई है। कृपया ध्यान , कि "कदमों" पर हम न केवल एक से संतुष्ट हैं, बल्कि -1 से भी संतुष्ट हैं, जो और भी सुविधाजनक है। (3) दूसरी पंक्ति को 5 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। (4) दूसरी पंक्ति का चिह्न बदल दिया गया (-1 से गुणा किया गया)। तीसरी पंक्ति को 14 से विभाजित किया गया था।

रिवर्स:

उत्तर : .

उदाहरण 4: समाधान : आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:

किए गए रूपांतरण: (1) पहली पंक्ति में एक दूसरी पंक्ति जोड़ी गई। इस प्रकार, वांछित इकाई ऊपरी बाएँ "चरण" पर व्यवस्थित होती है। (2) पहली पंक्ति को 7 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 6 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

दूसरे "कदम" से सब कुछ खराब हो जाता है , इसके लिए "उम्मीदवार" संख्या 17 और 23 हैं, और हमें या तो एक या -1 की आवश्यकता है। परिवर्तन (3) और (4) का उद्देश्य वांछित इकाई प्राप्त करना होगा (3) दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। (4) तीसरी पंक्ति को -3 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। दूसरे चरण पर आवश्यक वस्तु प्राप्त हो गई है . (5) दूसरी पंक्ति को 6 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। (6) दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया गया, तीसरी पंक्ति को -83 से विभाजित किया गया।

रिवर्स:

उत्तर :

उदाहरण 5: समाधान : आइए सिस्टम के मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:

किए गए रूपांतरण: (1) पहली और दूसरी पंक्तियों की अदला-बदली कर दी गई है। (2) पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को -2 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को -3 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया। (3) दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया, 4 से गुणा किया गया। दूसरी पंक्ति को चौथी पंक्ति में जोड़ा गया, -1 से गुणा किया गया। (4) दूसरी पंक्ति का चिन्ह बदल दिया गया। चौथी पंक्ति को 3 से विभाजित करके तीसरी पंक्ति के स्थान पर रखा गया। (5) तीसरी पंक्ति को -5 से गुणा करके चौथी पंक्ति में जोड़ा गया।

रिवर्स:

उत्तर :

चलो रैखिक की एक प्रणाली बीजगणितीय समीकरण, जिसे हल करने की आवश्यकता है (अज्ञात xi के ऐसे मान खोजें जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को समानता में बदल दें)।

हम जानते हैं कि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली यह कर सकती है:

1) कोई समाधान नहीं है (होना गैर संयुक्त).
2) अनंत रूप से अनेक समाधान हों।
3) एक ही समाधान रखें.

जैसा कि हमें याद है, क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधि उन मामलों में उपयुक्त नहीं है जहां सिस्टम में असीमित कई समाधान हैं या असंगत हैं। गॉस विधि – रैखिक समीकरणों की किसी भी प्रणाली का समाधान खोजने के लिए सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण, कौन हर मामले मेंहमें उत्तर तक ले जाएगा! विधि एल्गोरिथ्म स्वयं तीनों मामलों में समान कार्य करता है। यदि क्रैमर और मैट्रिक्स विधियों के लिए निर्धारकों के ज्ञान की आवश्यकता होती है, तो गॉस विधि को लागू करने के लिए आपको केवल अंकगणितीय संचालन के ज्ञान की आवश्यकता होती है, जो इसे प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए भी सुलभ बनाता है।

संवर्धित मैट्रिक्स परिवर्तन ( यह सिस्टम का मैट्रिक्स है - एक मैट्रिक्स जो केवल अज्ञात के गुणांकों से बना है, साथ ही मुक्त शब्दों का एक कॉलम है)गॉस विधि में रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियाँ:

1) साथ ट्रॉकीमैट्रिक्स कर सकना को पुनर्व्यवस्थितकुछ स्थानों पर.

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (एक विशेष मामले के रूप में - समान) पंक्तियाँ दिखाई देती हैं (या मौजूद हैं), तो आपको ऐसा करना चाहिए मिटानाएक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ मैट्रिक्स से हैं।

3) यदि परिवर्तनों के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो यह भी होनी चाहिए मिटाना.

4) मैट्रिक्स की एक पंक्ति हो सकती है गुणा करना (विभाजित करना)शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या के लिए.

5) मैट्रिक्स की एक पंक्ति में आप कर सकते हैं किसी संख्या से गुणा करके एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न।

गॉस विधि में, प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं।

गॉस विधि में दो चरण होते हैं:

1. "प्रत्यक्ष चाल" - प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स को "त्रिकोणीय" चरण के रूप में लाएं: मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित विस्तारित मैट्रिक्स के तत्व शून्य (ऊपर से नीचे की चाल) के बराबर हैं। उदाहरण के लिए, इस प्रकार के लिए:

ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित चरण निष्पादित करें:

1) आइए रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के पहले समीकरण पर विचार करें और x 1 का गुणांक K के बराबर है। दूसरा, तीसरा, आदि। हम समीकरणों को इस प्रकार बदलते हैं: हम प्रत्येक समीकरण (अज्ञात के लिए गुणांक, मुक्त पदों सहित) को अज्ञात x 1 के गुणांक से विभाजित करते हैं, जो प्रत्येक समीकरण में है, और K से गुणा करते हैं। इसके बाद, हम पहले को दूसरे से घटाते हैं समीकरण (अज्ञात और मुक्त पदों के लिए गुणांक)। दूसरे समीकरण में x 1 के लिए हमें गुणांक 0 प्राप्त होता है। तीसरे रूपांतरित समीकरण से हम पहले समीकरण को तब तक घटाते हैं जब तक कि अज्ञात x 1 के लिए पहले को छोड़कर सभी समीकरणों का गुणांक 0 न हो जाए।

2) आइए अगले समीकरण पर चलते हैं। मान लीजिए कि यह दूसरा समीकरण है और x 2 का गुणांक M के बराबर है। हम ऊपर वर्णित सभी "निचले" समीकरणों के साथ आगे बढ़ते हैं। इस प्रकार, अज्ञात x 2 के "अंडर" सभी समीकरणों में शून्य होंगे।

3) अगले समीकरण पर आगे बढ़ें और इसी तरह जब तक एक अंतिम अज्ञात और रूपांतरित मुक्त पद शेष न रह जाए।

1. गॉस विधि की "रिवर्स चाल" रैखिक बीजगणितीय समीकरणों ("नीचे-ऊपर" चाल) की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करना है।

अंतिम "निचले" समीकरण से हमें एक पहला समाधान प्राप्त होता है - अज्ञात x n। ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक समीकरण A * x n = B को हल करते हैं। ऊपर दिए गए उदाहरण में, x 3 = 4. हम पाए गए मान को "ऊपरी" अगले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के संबंध में हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 – 4 = 1, अर्थात्। x 2 = 5. और इसी तरह जब तक हमें सभी अज्ञात नहीं मिल जाते।

उदाहरण।

आइए गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें, जैसा कि कुछ लेखक सलाह देते हैं:

आइए सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखें और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे चरणबद्ध रूप में लाएं:
हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। हमारे पास वहां एक होना चाहिए. समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई इकाइयाँ ही नहीं हैं, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करने से कुछ भी हल नहीं होगा। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। आओ इसे करें: . पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -1 से गुणा किया जाता है। यानी, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ दिया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन" है, जो हमारे लिए काफी उपयुक्त है। जो कोई भी +1 प्राप्त करना चाहता है वह एक अतिरिक्त कार्रवाई कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (उसका चिह्न बदलें)।

चरण दो . पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

चरण 3 . पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और इसे दूसरे स्थान पर ले जाया गया, ताकि दूसरे "चरण" पर हमारे पास आवश्यक इकाई हो।

चरण 4 . तीसरी पंक्ति को दूसरी पंक्ति में 2 से गुणा करके जोड़ा गया।

चरण 5 . तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया था।

एक संकेत जो गणना में त्रुटि दर्शाता है (अधिक दुर्लभ रूप से, एक टाइपो) एक "खराब" निचली रेखा है। अर्थात्, यदि हमें नीचे (0 0 11 |23) जैसा कुछ मिलता है, और, तदनुसार, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, तो उच्च संभावना के साथ हम कह सकते हैं कि प्रारंभिक के दौरान एक त्रुटि हुई थी परिवर्तन.

आइए इसके विपरीत करें; उदाहरणों के डिज़ाइन में, सिस्टम को अक्सर दोबारा नहीं लिखा जाता है, लेकिन समीकरण "सीधे दिए गए मैट्रिक्स से लिए जाते हैं।" मैं आपको याद दिला दूं कि उल्टी चाल नीचे से ऊपर की ओर काम करती है। इस उदाहरण में, परिणाम एक उपहार था:

एक्स 3 = 1
एक्स 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, इसलिए x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

उत्तर:x 1 = -1, x 2 = 3, x 3 = 1.

आइए प्रस्तावित एल्गोरिथम का उपयोग करके उसी प्रणाली को हल करें। हम पाते हैं

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

दूसरे समीकरण को 5 से और तीसरे को 3 से विभाजित करें। हमें मिलता है:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

दूसरे और तीसरे समीकरण को 4 से गुणा करने पर, हमें मिलता है:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

पहले समीकरण को दूसरे और तीसरे समीकरण से घटाएँ, हमारे पास है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

तीसरे समीकरण को 0.64 से विभाजित करें:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

तीसरे समीकरण को 0.4 से गुणा करें

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

तीसरे समीकरण से दूसरे को घटाने पर, हमें एक "स्टेप्ड" विस्तारित मैट्रिक्स प्राप्त होता है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

इस प्रकार, गणना के दौरान जमा हुई त्रुटि के बाद, हमें x 3 = 0.96 या लगभग 1 प्राप्त होता है।

x 2 = 3 और x 1 = -1.

इस प्रकार हल करने से आप कभी भी गणना में भ्रमित नहीं होंगे और गणना में त्रुटि होने पर भी आपको परिणाम प्राप्त होगा।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने की यह विधि प्रोग्राम करना आसान है और इसमें ध्यान नहीं दिया जाता है विशिष्ट लक्षणअज्ञात के लिए गुणांक, क्योंकि व्यवहार में (आर्थिक और तकनीकी गणना में) किसी को गैर-पूर्णांक गुणांक से निपटना पड़ता है।

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं! कक्षा में मिलते हैं! कोई विषय पढ़ाना।

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गॉस विधिरैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की प्रणालियों को हल करने के लिए बिल्कुल सही। अन्य तरीकों की तुलना में इसके कई फायदे हैं:

• सबसे पहले, स्थिरता के लिए समीकरणों की प्रणाली की पहले जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है;
• दूसरे, गॉस विधि न केवल SLAE को हल कर सकती है जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात चर की संख्या के साथ मेल खाती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गैर-एकवचन है, बल्कि समीकरणों की प्रणाली भी जिसमें समीकरणों की संख्या मेल नहीं खाती है अज्ञात चर या मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक की संख्या शून्य के बराबर है;
• तीसरा, गॉसियन विधि अपेक्षाकृत कम संख्या में कम्प्यूटेशनल संचालन के साथ परिणाम देती है।

लेख का संक्षिप्त अवलोकन.

सबसे पहले, हम आवश्यक परिभाषाएँ देते हैं और संकेतन प्रस्तुत करते हैं।

इसके बाद, हम सबसे सरल मामले के लिए गॉस विधि के एल्गोरिदम का वर्णन करेंगे, यानी, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों के लिए, समीकरणों की संख्या जिसमें अज्ञात चर की संख्या और सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के निर्धारक के साथ मेल खाता है शून्य के बराबर नहीं. समीकरणों की ऐसी प्रणालियों को हल करते समय, गॉस विधि का सार सबसे स्पष्ट रूप से दिखाई देता है, जो अज्ञात चर का क्रमिक उन्मूलन है। इसलिए, गॉसियन विधि को अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि भी कहा जाता है। हम तुम्हें दिखाएंगे विस्तृत समाधानअनेक उदाहरण.

अंत में, हम रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों के गॉस विधि द्वारा समाधान पर विचार करेंगे, जिसका मुख्य मैट्रिक्स या तो आयताकार या एकवचन है। ऐसी प्रणालियों के समाधान में कुछ विशेषताएं हैं, जिन्हें हम उदाहरणों का उपयोग करके विस्तार से जांचेंगे।

पेज नेविगेशन.

बुनियादी परिभाषाएँ और संकेतन.

n अज्ञात के साथ p रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें (p, n के बराबर हो सकता है):

अज्ञात चर कहां हैं, संख्याएं (वास्तविक या जटिल) हैं, और स्वतंत्र पद हैं।

अगर , तो रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली कहलाती है सजातीय, अन्यथा - विजातीय.

अज्ञात चरों के मानों का वह समुच्चय जिसके लिए सिस्टम के सभी समीकरण पहचान बन जाते हैं, कहलाते हैं एसएलएयू का निर्णय.

यदि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का कम से कम एक समाधान है, तो इसे कहा जाता है संयुक्त, अन्यथा - गैर संयुक्त.

यदि किसी SLAE के पास कोई अद्वितीय समाधान है, तो उसे कॉल किया जाता है निश्चित. यदि एक से अधिक समाधान हैं, तो सिस्टम को कॉल किया जाता है ढुलमुल.

उनका कहना है कि सिस्टम में लिखा हुआ है समन्वय प्रपत्र, यदि इसका स्वरूप है
.

इस प्रणाली में मैट्रिक्स फॉर्मअभिलेखों का रूप है, जहाँ - SLAE का मुख्य मैट्रिक्स, - अज्ञात चर के स्तंभ का मैट्रिक्स, - मुक्त पदों का मैट्रिक्स।

यदि हम मैट्रिक्स A में (n+1)वें कॉलम के रूप में मुक्त पदों का एक मैट्रिक्स-कॉलम जोड़ते हैं, तो हमें तथाकथित मिलता है विस्तारित मैट्रिक्सरैखिक समीकरणों की प्रणाली. आमतौर पर, एक विस्तारित मैट्रिक्स को अक्षर टी द्वारा दर्शाया जाता है, और मुक्त शब्दों के कॉलम को शेष कॉलम से एक ऊर्ध्वाधर रेखा द्वारा अलग किया जाता है, अर्थात,

वर्ग मैट्रिक्स A को कहा जाता है पतित, यदि इसका सारणिक शून्य है। यदि, तो मैट्रिक्स ए कहा जाता है गैर पतित.

निम्नलिखित बिंदु पर ध्यान दिया जाना चाहिए.

यदि आप रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के साथ निम्नलिखित क्रियाएं करते हैं

• दो समीकरण बदलें,
• किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को एक मनमाना और गैर-शून्य वास्तविक (या जटिल) संख्या k से गुणा करें,
• किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों में दूसरे समीकरण के संगत भागों को जोड़ें, एक मनमानी संख्या k से गुणा करें,

तब आपको एक समतुल्य प्रणाली मिलती है जिसमें समान समाधान होते हैं (या, मूल प्रणाली की तरह, कोई समाधान नहीं होता है)।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स के लिए, इन क्रियाओं का अर्थ पंक्तियों के साथ प्रारंभिक परिवर्तन करना होगा:

• दो पंक्तियों की अदला-बदली,
• मैट्रिक्स T की किसी भी पंक्ति के सभी तत्वों को एक गैर-शून्य संख्या k से गुणा करना,
• मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति के तत्वों में दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को जोड़कर, एक मनमानी संख्या k से गुणा किया जाता है।

अब हम गॉस विधि के विवरण के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

गॉसियन विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करना, जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स गैर-एकवचन होता है।

यदि हमें समीकरणों की एक प्रणाली का हल खोजने का काम दिया जाए तो हम स्कूल में क्या करेंगे? .

कुछ लोग ऐसा करेंगे.

ध्यान दें कि पहले समीकरण के बाएँ पक्ष को दूसरे समीकरण के बाएँ पक्ष में और दाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष में जोड़कर, आप अज्ञात चर x 2 और x 3 से छुटकारा पा सकते हैं और तुरंत x 1 पा सकते हैं:

हम सिस्टम के पहले और तीसरे समीकरण में पाए गए मान x 1 =1 को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि हम सिस्टम के तीसरे समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करते हैं और उन्हें पहले समीकरण के संगत भागों में जोड़ते हैं, तो हम अज्ञात चर x 3 से छुटकारा पाते हैं और x 2 पा सकते हैं:

हम परिणामी मान x 2 = 2 को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और शेष अज्ञात चर x 3 पाते हैं:

दूसरों ने अलग तरीके से काम किया होगा.

आइए हम अज्ञात चर x 1 के संबंध में सिस्टम के पहले समीकरण को हल करें और इस चर को उनमें से बाहर करने के लिए परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

आइए अब x 2 के लिए सिस्टम के दूसरे समीकरण को हल करें और अज्ञात चर x 2 को हटाने के लिए प्राप्त परिणाम को तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

निकाय के तीसरे समीकरण से यह स्पष्ट है कि x 3 =3. दूसरे समीकरण से हम पाते हैं , और पहले समीकरण से हमें मिलता है .

परिचित समाधान, सही?

यहां सबसे दिलचस्प बात यह है कि दूसरी समाधान विधि अनिवार्य रूप से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि है, यानी गाऊसी विधि। जब हमने अज्ञात चरों को व्यक्त किया (पहले x 1, अगले चरण x 2 पर) और उन्हें सिस्टम के शेष समीकरणों में प्रतिस्थापित किया, तो हमने उन्हें बाहर कर दिया। हमने तब तक उन्मूलन किया जब तक कि अंतिम समीकरण में केवल एक अज्ञात चर नहीं बचा। अज्ञात को क्रमिक रूप से समाप्त करने की प्रक्रिया कहलाती है प्रत्यक्ष गाऊसी विधि. आगे की चाल पूरी करने के बाद, हमारे पास अंतिम समीकरण में पाए गए अज्ञात चर की गणना करने का अवसर है। इसकी मदद से, हम अंतिम समीकरण से अगला अज्ञात चर ढूंढते हैं, इत्यादि। अंतिम समीकरण से पहले समीकरण की ओर बढ़ते हुए अज्ञात चरों को क्रमिक रूप से खोजने की प्रक्रिया कहलाती है गाऊसी पद्धति का उलटा.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब हम पहले समीकरण में x 1 को x 2 और x 3 के संदर्भ में व्यक्त करते हैं, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति को दूसरे और तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो निम्नलिखित क्रियाएं समान परिणाम देती हैं:

दरअसल, ऐसी प्रक्रिया सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात चर x 1 को खत्म करना भी संभव बनाती है:

गॉसियन विधि का उपयोग करके अज्ञात चर के उन्मूलन के साथ बारीकियां तब उत्पन्न होती हैं जब सिस्टम समीकरणों में कुछ चर शामिल नहीं होते हैं।

उदाहरण के लिए, SLAU में पहले समीकरण में कोई अज्ञात चर x 1 नहीं है (दूसरे शब्दों में, इसके सामने गुणांक शून्य है)। इसलिए, हम शेष समीकरणों से इस अज्ञात चर को हटाने के लिए x 1 के लिए सिस्टम के पहले समीकरण को हल नहीं कर सकते हैं। इस स्थिति से बाहर निकलने का रास्ता सिस्टम के समीकरणों को बदलना है। चूँकि हम रैखिक समीकरणों की प्रणालियों पर विचार कर रहे हैं जिनके मुख्य आव्यूहों के निर्धारक शून्य से भिन्न हैं, हमेशा एक समीकरण होता है जिसमें हमें जिस चर की आवश्यकता होती है वह मौजूद होता है, और हम इस समीकरण को उस स्थिति में पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है। हमारे उदाहरण के लिए, सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरण को स्वैप करना पर्याप्त है , तो आप x 1 के लिए पहले समीकरण को हल कर सकते हैं और इसे सिस्टम के शेष समीकरणों से बाहर कर सकते हैं (हालाँकि x 1 अब दूसरे समीकरण में मौजूद नहीं है)।

हमें आशा है कि आपको सार समझ आ गया होगा।

चलिए वर्णन करते हैं गाऊसी विधि एल्गोरिथ्म.

मान लीजिए हमें n अज्ञात के साथ n रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है प्रपत्र के चर , और मान लीजिए कि इसके मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य से भिन्न है।

हम यह मान लेंगे, क्योंकि हम सिस्टम के समीकरणों को आपस में बदलकर इसे हमेशा प्राप्त कर सकते हैं। आइए दूसरे से शुरू करते हुए, सिस्टम के सभी समीकरणों से अज्ञात चर x 1 को हटा दें। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के दूसरे समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, से गुणा करते हैं, तीसरे समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा करते हैं, और इसी तरह, nवें समीकरण में हम पहले को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा करते हैं। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी

और कहां .

यदि हमने सिस्टम के पहले समीकरण में अन्य अज्ञात चर के संदर्भ में x 1 को व्यक्त किया होता और परिणामी अभिव्यक्ति को अन्य सभी समीकरणों में प्रतिस्थापित किया होता तो हम उसी परिणाम पर पहुंचते। इस प्रकार, चर x 1 को दूसरे से शुरू करके सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

आगे, हम इसी तरह आगे बढ़ते हैं, लेकिन केवल परिणामी प्रणाली के हिस्से के साथ, जो चित्र में चिह्नित है

ऐसा करने के लिए, सिस्टम के तीसरे समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है, चौथे समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है, और इसी तरह, nवें समीकरण में हम दूसरे को जोड़ते हैं, जिसे से गुणा किया जाता है। ऐसे परिवर्तनों के बाद समीकरणों की प्रणाली का रूप ले लेगी

और कहां . इस प्रकार, चर x 2 को तीसरे से शुरू करके सभी समीकरणों से बाहर रखा गया है।

इसके बाद, हम अज्ञात x 3 को खत्म करने के लिए आगे बढ़ते हैं, जबकि हम चित्र में चिह्नित सिस्टम के हिस्से के साथ भी इसी तरह कार्य करते हैं

इसलिए हम गॉसियन पद्धति की सीधी प्रगति तब तक जारी रखते हैं जब तक कि सिस्टम आकार नहीं ले लेता

इस क्षण से हम गॉसियन विधि का उलटा शुरू करते हैं: हम अंतिम समीकरण से x n की गणना करते हैं, x n के प्राप्त मान का उपयोग करके हम अंतिम समीकरण से x n-1 पाते हैं, और इसी तरह, हम पहले समीकरण से x 1 पाते हैं .

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके एल्गोरिदम को देखें।

अंतिम "निचले" समीकरण से हमें एक पहला समाधान प्राप्त होता है - अज्ञात x n। ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक समीकरण A * x n = B को हल करते हैं। ऊपर दिए गए उदाहरण में, x 3 = 4. हम पाए गए मान को "ऊपरी" अगले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के संबंध में हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 – 4 = 1, अर्थात्। x 2 = 5. और इसी तरह जब तक हमें सभी अज्ञात नहीं मिल जाते।

गॉस विधि.

समाधान।

गुणांक 11 गैर-शून्य है, तो आइए गॉसियन विधि की प्रत्यक्ष प्रगति पर आगे बढ़ें, यानी, पहले को छोड़कर सिस्टम के सभी समीकरणों से अज्ञात चर x 1 को बाहर करना। ऐसा करने के लिए, दूसरे, तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में, पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को क्रमशः से गुणा करके जोड़ें। और :

अज्ञात चर x 1 को हटा दिया गया है, चलिए x 2 को हटाने की ओर बढ़ते हैं। सिस्टम के तीसरे और चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में हम दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को क्रमशः गुणा करके जोड़ते हैं और :

गॉसियन विधि की आगे की प्रगति को पूरा करने के लिए, हमें सिस्टम के अंतिम समीकरण से अज्ञात चर x 3 को हटाने की आवश्यकता है। आइए चौथे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को क्रमशः तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों से गुणा करके जोड़ें :

आप गाऊसी पद्धति का उल्टा प्रारंभ कर सकते हैं।

पिछले समीकरण से हमारे पास है ,
तीसरे समीकरण से हमें प्राप्त होता है,
दूसरे से,
पहले वाले से.

जाँच करने के लिए, आप अज्ञात चर के प्राप्त मूल्यों को समीकरणों की मूल प्रणाली में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। सभी समीकरण पहचान में बदल जाते हैं, जो इंगित करता है कि गॉस विधि का उपयोग करके समाधान सही पाया गया था।

उत्तर:

आइए अब मैट्रिक्स नोटेशन में गॉसियन विधि का उपयोग करके उसी उदाहरण का समाधान दें।

अंतिम "निचले" समीकरण से हमें एक पहला समाधान प्राप्त होता है - अज्ञात x n। ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक समीकरण A * x n = B को हल करते हैं। ऊपर दिए गए उदाहरण में, x 3 = 4. हम पाए गए मान को "ऊपरी" अगले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के संबंध में हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 – 4 = 1, अर्थात्। x 2 = 5. और इसी तरह जब तक हमें सभी अज्ञात नहीं मिल जाते।

समीकरणों की प्रणाली का हल खोजें गॉस विधि.

समाधान।

सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स का रूप है . प्रत्येक कॉलम के शीर्ष पर अज्ञात चर हैं जो मैट्रिक्स के तत्वों के अनुरूप हैं।

यहां गॉसियन पद्धति के प्रत्यक्ष दृष्टिकोण में प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को एक ट्रैपेज़ॉइडल रूप में कम करना शामिल है। यह प्रक्रिया अज्ञात चरों के उन्मूलन के समान है जो हमने समन्वय रूप में सिस्टम के साथ किया था। अब आप ये देखेंगे.

आइए मैट्रिक्स को रूपांतरित करें ताकि पहले कॉलम के सभी तत्व, दूसरे से शुरू होकर, शून्य हो जाएं। ऐसा करने के लिए, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में हम पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं। और तदनुसार:

इसके बाद, हम परिणामी मैट्रिक्स को बदल देते हैं ताकि दूसरे कॉलम में तीसरे से शुरू होने वाले सभी तत्व शून्य हो जाएं। यह अज्ञात चर x 2 को ख़त्म करने के अनुरूप होगा। ऐसा करने के लिए, तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों में हम मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को क्रमशः गुणा करके जोड़ते हैं और :

सिस्टम के अंतिम समीकरण से अज्ञात चर x 3 को बाहर करना बाकी है। ऐसा करने के लिए, परिणामी मैट्रिक्स की अंतिम पंक्ति के तत्वों में हम अंतिम पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं :

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली से मेल खाता है

जो पहले आगे बढ़ने के बाद प्राप्त किया गया था।

अब वापस मुड़ने का समय आ गया है. मैट्रिक्स नोटेशन में, गॉसियन विधि के व्युत्क्रम में परिणामी मैट्रिक्स को इस तरह से बदलना शामिल है कि मैट्रिक्स चित्र में चिह्नित हो

विकर्ण हो गया अर्थात् रूप धारण कर लिया

कुछ संख्याएँ कहाँ हैं.

ये परिवर्तन गॉसियन विधि के अग्रवर्ती परिवर्तनों के समान हैं, लेकिन पहली पंक्ति से अंतिम तक नहीं, बल्कि अंतिम से पहली तक किए जाते हैं।

तीसरी, दूसरी और पहली पंक्ति के तत्वों में अंतिम पंक्ति के संगत तत्वों को गुणा करके जोड़ें , इत्यादि क्रमश:

अब दूसरी और पहली पंक्ति के तत्वों में तीसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को क्रमशः और से गुणा करके जोड़ें:

रिवर्स गॉसियन विधि के अंतिम चरण में, पहली पंक्ति के तत्वों में हम दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को गुणा करके जोड़ते हैं:

परिणामी मैट्रिक्स समीकरणों की प्रणाली से मेल खाता है , जहां से हमें अज्ञात चर मिलते हैं।

उत्तर:

कृपया ध्यान दें।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए गॉस विधि का उपयोग करते समय, अनुमानित गणनाओं से बचा जाना चाहिए, क्योंकि इससे पूरी तरह से गलत परिणाम हो सकते हैं। हम दशमलव को पूर्णांकित न करने की सलाह देते हैं। से बेहतर दशमलवसाधारण भिन्नों की ओर बढ़ें।

अंतिम "निचले" समीकरण से हमें एक पहला समाधान प्राप्त होता है - अज्ञात x n। ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक समीकरण A * x n = B को हल करते हैं। ऊपर दिए गए उदाहरण में, x 3 = 4. हम पाए गए मान को "ऊपरी" अगले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के संबंध में हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 – 4 = 1, अर्थात्। x 2 = 5. और इसी तरह जब तक हमें सभी अज्ञात नहीं मिल जाते।

गॉस विधि का उपयोग करके तीन समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें .

समाधान।

ध्यान दें कि इस उदाहरण में अज्ञात चर का एक अलग पदनाम है (x 1, x 2, x 3 नहीं, बल्कि x, y, z)। आइए सामान्य भिन्नों की ओर चलें:

आइए हम सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात x को बाहर करें:

परिणामी प्रणाली में, अज्ञात चर y दूसरे समीकरण में अनुपस्थित है, लेकिन y तीसरे समीकरण में मौजूद है, इसलिए, आइए दूसरे और तीसरे समीकरण को स्वैप करें:

यह गॉस विधि की सीधी प्रगति को पूरा करता है (तीसरे समीकरण से y को बाहर करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि यह अज्ञात चर अब मौजूद नहीं है)।

चलिए उल्टी चाल शुरू करते हैं.

अंतिम समीकरण से हम पाते हैं ,
अंतिम से


हमारे पास पहले समीकरण से

उत्तर:

एक्स = 10, वाई = 5, जेड = -20।

गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली को हल करना जिसमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है या सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स एकवचन है।

समीकरणों की प्रणाली, जिसका मुख्य मैट्रिक्स आयताकार या वर्गाकार एकवचन है, का कोई समाधान नहीं हो सकता है, एक ही समाधान हो सकता है, या अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं।

अब हम समझेंगे कि कैसे गॉस विधि हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली की अनुकूलता या असंगतता स्थापित करने की अनुमति देती है, और इसकी अनुकूलता के मामले में, सभी समाधान (या एक एकल समाधान) निर्धारित करती है।

सिद्धांत रूप में, ऐसे SLAE के मामले में अज्ञात चर को समाप्त करने की प्रक्रिया समान रहती है। हालाँकि, उत्पन्न होने वाली कुछ स्थितियों के बारे में विस्तार से जाना उचित है।

आइए सबसे महत्वपूर्ण चरण पर चलते हैं।

तो, आइए मान लें कि गॉस विधि की आगे की प्रगति को पूरा करने के बाद रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली, रूप लेती है और एक भी समीकरण कम नहीं किया गया (इस मामले में हम यह निष्कर्ष निकालेंगे कि सिस्टम असंगत है)। उमड़ती तार्किक प्रश्न: "आगे क्या करना है"?

आइए हम उन अज्ञात चरों को लिखें जो परिणामी प्रणाली के सभी समीकरणों में सबसे पहले आते हैं:

हमारे उदाहरण में ये x 1, x 4 और x 5 हैं। सिस्टम के समीकरणों के बाईं ओर हम केवल उन्हीं पदों को छोड़ते हैं जिनमें लिखित अज्ञात चर x 1, x 4 और x 5 होते हैं, शेष पदों को विपरीत चिह्न के साथ समीकरणों के दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है:

आइए उन अज्ञात चरों को दें जो समीकरणों के दाईं ओर मनमाना मान हैं, जहां - मनमानी संख्याएँ:

इसके बाद, हमारे SLAE के सभी समीकरणों के दाएँ हाथ में संख्याएँ होती हैं और हम गाऊसी विधि के विपरीत आगे बढ़ सकते हैं।

सिस्टम के अंतिम समीकरण से, अंतिम समीकरण से हम पाते हैं, पहले समीकरण से हमें प्राप्त होता है

समीकरणों की प्रणाली का समाधान अज्ञात चर के मानों का एक सेट है

नंबर दे रहे हैं विभिन्न अर्थ, हम समीकरणों की प्रणाली के विभिन्न समाधान प्राप्त करेंगे। अर्थात्, हमारी समीकरण प्रणाली के अपरिमित रूप से अनेक समाधान हैं।

उत्तर:

कहाँ - मनमानी संख्या.

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम कई और उदाहरणों के समाधानों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

अंतिम "निचले" समीकरण से हमें एक पहला समाधान प्राप्त होता है - अज्ञात x n। ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक समीकरण A * x n = B को हल करते हैं। ऊपर दिए गए उदाहरण में, x 3 = 4. हम पाए गए मान को "ऊपरी" अगले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के संबंध में हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 – 4 = 1, अर्थात्। x 2 = 5. और इसी तरह जब तक हमें सभी अज्ञात नहीं मिल जाते।

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली को हल करें गॉस विधि.

समाधान।

आइए हम सिस्टम के दूसरे और तीसरे समीकरण से अज्ञात चर x को बाहर कर दें। ऐसा करने के लिए, दूसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में, हम क्रमशः, पहले समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को गुणा करके जोड़ते हैं, और तीसरे समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों में, हम बाएँ और जोड़ते हैं। पहले समीकरण के दाएं पक्षों को इससे गुणा किया जाता है:

आइए अब समीकरणों की परिणामी प्रणाली के तीसरे समीकरण से y को बाहर करें:

परिणामी SLAE सिस्टम के समतुल्य है .

हम सिस्टम समीकरणों के बाईं ओर केवल अज्ञात चर x और y वाले पदों को छोड़ते हैं, और अज्ञात चर z वाले पदों को दाईं ओर ले जाते हैं:

इस आलेख में, विधि को रैखिक समीकरणों (एसएलएई) की प्रणालियों को हल करने की एक विधि के रूप में माना जाता है। यह विधि विश्लेषणात्मक है, अर्थात यह आपको समाधान एल्गोरिदम लिखने की अनुमति देती है सामान्य रूप से देखें, और फिर वहां विशिष्ट उदाहरणों से मानों को प्रतिस्थापित करें। मैट्रिक्स विधि या क्रैमर के सूत्रों के विपरीत, गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, आप उन लोगों के साथ भी काम कर सकते हैं जिनके पास अनंत संख्या में समाधान हैं। या फिर उनके पास ये है ही नहीं.

गॉसियन विधि का उपयोग करके हल करने का क्या मतलब है?

सबसे पहले, हमें अपने समीकरणों की प्रणाली को लिखना होगा। यह इस तरह दिखता है। सिस्टम लें:

गुणांकों को एक तालिका के रूप में लिखा जाता है, और मुक्त पदों को दाईं ओर एक अलग कॉलम में लिखा जाता है। मुफ़्त सदस्यों वाले कॉलम को सुविधा के लिए अलग किया जाता है। जिस मैट्रिक्स में यह कॉलम शामिल होता है उसे विस्तारित कहा जाता है।

इसके बाद, गुणांक वाले मुख्य मैट्रिक्स को ऊपरी त्रिकोणीय रूप में घटाया जाना चाहिए। गाऊसी विधि का उपयोग करके प्रणाली को हल करने का यह मुख्य बिंदु है। सीधे शब्दों में कहें तो, कुछ जोड़तोड़ के बाद मैट्रिक्स को ऐसा दिखना चाहिए कि उसके निचले बाएँ भाग में केवल शून्य हों:

फिर, यदि आप नए मैट्रिक्स को फिर से समीकरणों की प्रणाली के रूप में लिखते हैं, तो आप देखेंगे कि अंतिम पंक्ति में पहले से ही जड़ों में से एक का मान शामिल है, जिसे बाद में उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, एक और रूट पाया जाता है, और इसी तरह।

यह अधिकांशतः गॉसियन विधि द्वारा समाधान का विवरण है सामान्य रूपरेखा. यदि अचानक सिस्टम के पास कोई समाधान न हो तो क्या होगा? अथवा उनमें से अनन्त संख्या में हैं? इन और कई अन्य प्रश्नों का उत्तर देने के लिए, गॉसियन विधि को हल करने में उपयोग किए गए सभी तत्वों पर अलग से विचार करना आवश्यक है।

मैट्रिक्स, उनके गुण

कोई नहीं छिपे अर्थमैट्रिक्स में नहीं. यह सरल है सुविधाजनक तरीकाउनके साथ बाद के संचालन के लिए डेटा रिकॉर्ड करना। स्कूली बच्चों को भी इनसे डरने की जरूरत नहीं है.

मैट्रिक्स हमेशा आयताकार होता है, क्योंकि यह अधिक सुविधाजनक होता है। यहां तक ​​कि गॉस विधि में, जहां सब कुछ त्रिकोणीय रूप के मैट्रिक्स के निर्माण के लिए आता है, प्रविष्टि में एक आयत दिखाई देता है, केवल उस स्थान पर शून्य के साथ जहां कोई संख्या नहीं है। शून्य लिखे नहीं जा सकते, लेकिन वे निहित हैं।

मैट्रिक्स का एक आकार होता है. इसकी "चौड़ाई" पंक्तियों की संख्या (एम) है, "लंबाई" स्तंभों की संख्या (एन) है। फिर मैट्रिक्स A का आकार (बड़े लैटिन अक्षरों का उपयोग आमतौर पर उन्हें दर्शाने के लिए किया जाता है) को A m×n के रूप में दर्शाया जाएगा। यदि m=n, तो यह मैट्रिक्स वर्ग है, और m=n इसका क्रम है। तदनुसार, मैट्रिक्स A के किसी भी तत्व को उसकी पंक्ति और स्तंभ संख्याओं द्वारा दर्शाया जा सकता है: a xy ; x - पंक्ति संख्या, परिवर्तन, y - स्तंभ संख्या, परिवर्तन।

बी निर्णय का मुख्य बिंदु नहीं है. सिद्धांत रूप में, सभी ऑपरेशन सीधे समीकरणों के साथ ही किए जा सकते हैं, लेकिन अंकन बहुत अधिक बोझिल होगा, और इसमें भ्रमित होना बहुत आसान होगा।

सिद्ध

मैट्रिक्स का एक निर्धारक भी होता है। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण विशेषता है. अब इसका अर्थ जानने की कोई आवश्यकता नहीं है; आप बस यह दिखा सकते हैं कि इसकी गणना कैसे की जाती है, और फिर यह बताएं कि यह मैट्रिक्स के कौन से गुण निर्धारित करता है। सारणिक ज्ञात करने का सबसे आसान तरीका विकर्णों के माध्यम से है। मैट्रिक्स में काल्पनिक विकर्ण खींचे जाते हैं; उनमें से प्रत्येक पर स्थित तत्वों को गुणा किया जाता है, और फिर परिणामी उत्पादों को जोड़ा जाता है: दाईं ओर ढलान वाले विकर्ण - प्लस चिह्न के साथ, बाईं ओर ढलान के साथ - ऋण चिह्न के साथ।

यह ध्यान रखना अत्यंत महत्वपूर्ण है कि निर्धारक की गणना केवल एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए की जा सकती है। एक आयताकार मैट्रिक्स के लिए, आप निम्न कार्य कर सकते हैं: पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या में से सबसे छोटा चुनें (इसे k होने दें), और फिर मैट्रिक्स में k स्तंभों और k पंक्तियों को यादृच्छिक रूप से चिह्नित करें। चयनित स्तंभों और पंक्तियों के प्रतिच्छेदन पर मौजूद तत्व एक नया वर्ग मैट्रिक्स बनाएंगे। यदि ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक एक गैर-शून्य संख्या है, तो इसे मूल आयताकार मैट्रिक्स का आधार लघु कहा जाता है।

इससे पहले कि आप गॉसियन विधि का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल करना शुरू करें, निर्धारक की गणना करने में कोई हर्ज नहीं है। यदि यह शून्य हो जाता है, तो हम तुरंत कह सकते हैं कि मैट्रिक्स में या तो अनंत संख्या में समाधान हैं या कोई भी नहीं है। ऐसे दुखद मामले में, आपको आगे जाकर मैट्रिक्स की रैंक के बारे में पता लगाना होगा।

सिस्टम वर्गीकरण

मैट्रिक्स की रैंक जैसी कोई चीज़ होती है। यह इसके गैर-शून्य निर्धारक का अधिकतम क्रम है (यदि हमें आधार नाबालिग के बारे में याद है, तो हम कह सकते हैं कि मैट्रिक्स की रैंक आधार नाबालिग का क्रम है)।

रैंक की स्थिति के आधार पर, SLAE को इसमें विभाजित किया जा सकता है:

• संयुक्त। यूसंयुक्त प्रणालियों में, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक (केवल गुणांकों से मिलकर) विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक (मुक्त शर्तों के एक कॉलम के साथ) के साथ मेल खाती है। ऐसी प्रणालियों के पास एक समाधान है, लेकिन जरूरी नहीं कि एक ही हो, इसलिए इसके अतिरिक्त भी संयुक्त प्रणालियाँमें बांटें:
• - निश्चित- एक ही समाधान होना। कुछ प्रणालियों में, मैट्रिक्स की रैंक और अज्ञात की संख्या (या स्तंभों की संख्या, जो एक ही चीज़ है) बराबर हैं;
• - अपरिभाषित -समाधानों की अनंत संख्या के साथ. ऐसी प्रणालियों में मैट्रिक्स की रैंक अज्ञात की संख्या से कम होती है।
• असंगत. यूऐसी प्रणालियों में, मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक मेल नहीं खाती है। असंगत प्रणालियों का कोई समाधान नहीं है.

गॉस विधि अच्छी है क्योंकि समाधान के दौरान यह या तो सिस्टम की असंगतता का एक स्पष्ट प्रमाण प्राप्त करने की अनुमति देता है (बड़े मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना किए बिना), या अनंत संख्या में समाधान वाले सिस्टम के लिए सामान्य रूप में एक समाधान प्राप्त करने की अनुमति देता है।

प्राथमिक परिवर्तन

सिस्टम को हल करने के लिए सीधे आगे बढ़ने से पहले, आप इसे कम बोझिल और गणना के लिए अधिक सुविधाजनक बना सकते हैं। यह प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से प्राप्त किया जाता है - जैसे कि उनका कार्यान्वयन किसी भी तरह से अंतिम उत्तर को नहीं बदलता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दिए गए कुछ प्राथमिक परिवर्तन केवल उन मैट्रिक्स के लिए मान्य हैं जिनके लिए SLAE ने स्रोत के रूप में कार्य किया है। यहां इन परिवर्तनों की एक सूची दी गई है:

1. पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करना. जाहिर है, यदि आप सिस्टम रिकॉर्ड में समीकरणों का क्रम बदलते हैं, तो यह किसी भी तरह से समाधान को प्रभावित नहीं करेगा। नतीजतन, इस प्रणाली के मैट्रिक्स में पंक्तियों को भी स्वैप किया जा सकता है, बिना भूले, निश्चित रूप से, मुक्त शब्दों के कॉलम को।
2. किसी स्ट्रिंग के सभी तत्वों को एक निश्चित गुणांक से गुणा करना। बहुत उपयोगी! इसका उपयोग छोटा करने के लिए किया जा सकता है बड़ी संख्यामैट्रिक्स में या शून्य हटा दें। कई निर्णय, हमेशा की तरह, नहीं बदलेंगे, लेकिन आगे के संचालन अधिक सुविधाजनक हो जाएंगे। मुख्य बात यह है कि गुणांक शून्य के बराबर नहीं है.
3. आनुपातिक कारकों वाली पंक्तियाँ हटाना. यह आंशिक रूप से पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। यदि किसी मैट्रिक्स में दो या दो से अधिक पंक्तियों में आनुपातिक गुणांक होते हैं, तो जब पंक्तियों में से एक को आनुपातिकता गुणांक से गुणा/विभाजित किया जाता है, तो दो (या, फिर से, अधिक) बिल्कुल समान पंक्तियाँ प्राप्त होती हैं, और अतिरिक्त पंक्तियों को हटाया जा सकता है, छोड़कर केवल एक।
4. एक शून्य रेखा हटाना. यदि, परिवर्तन के दौरान, कहीं एक पंक्ति प्राप्त होती है जिसमें मुक्त सदस्य सहित सभी तत्व शून्य हैं, तो ऐसी पंक्ति को शून्य कहा जा सकता है और मैट्रिक्स से बाहर निकाला जा सकता है।
5. एक पंक्ति के तत्वों को दूसरे के तत्वों (संबंधित कॉलम में) जोड़कर, एक निश्चित गुणांक से गुणा किया जाता है। सभी में से सबसे स्पष्ट और सबसे महत्वपूर्ण परिवर्तन। इस पर अधिक विस्तार से ध्यान देना उचित है।

एक स्ट्रिंग को एक कारक से गुणा करके जोड़ना

समझने में आसानी के लिए, इस प्रक्रिया को चरण दर चरण तोड़ना उचित है। मैट्रिक्स से दो पंक्तियाँ ली गई हैं:

ए 11 ए 12 ... ए 1एन | बी 1

ए 21 ए 22 ... ए 2 एन | बी 2

मान लीजिए कि आपको पहले को दूसरे में जोड़ना होगा, गुणांक "-2" से गुणा करना होगा।

ए" 21 = ए 21 + -2×ए 11

ए" 22 = ए 22 + -2×ए 12

ए" 2एन = ए 2एन + -2×ए 1एन

फिर मैट्रिक्स में दूसरी पंक्ति को एक नई पंक्ति से बदल दिया जाता है, और पहली पंक्ति अपरिवर्तित रहती है।

ए 11 ए 12 ... ए 1एन | बी 1

ए" 21 ए" 22 ...ए" 2एन | बी 2

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गुणन गुणांक को इस तरह से चुना जा सकता है कि, दो पंक्तियों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, तत्वों में से एक नई लाइनशून्य के बराबर था. इसलिए, ऐसी प्रणाली में एक समीकरण प्राप्त करना संभव है जहां एक कम अज्ञात होगा। और यदि आपको ऐसे दो समीकरण मिलते हैं, तो ऑपरेशन दोबारा किया जा सकता है और एक समीकरण प्राप्त किया जा सकता है जिसमें दो कम अज्ञात होंगे। और यदि हर बार आप मूल पंक्ति के नीचे की सभी पंक्तियों के लिए एक गुणांक को शून्य में बदल देते हैं, तो आप सीढ़ियों की तरह, मैट्रिक्स के बहुत नीचे तक जा सकते हैं और एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। इसे गॉसियन पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना कहा जाता है।

सामान्य तौर पर

एक व्यवस्था बने. इसमें m समीकरण और n अज्ञात मूल हैं। आप इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

मुख्य मैट्रिक्स सिस्टम गुणांकों से संकलित किया गया है। विस्तारित मैट्रिक्स में मुक्त शब्दों का एक कॉलम जोड़ा जाता है और, सुविधा के लिए, एक पंक्ति द्वारा अलग किया जाता है।

• मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को गुणांक k = (-a 21 /a 11) से गुणा किया जाता है;
• मैट्रिक्स की पहली संशोधित पंक्ति और दूसरी पंक्ति जोड़ी जाती है;
• दूसरी पंक्ति के बजाय, पिछले पैराग्राफ से जोड़ का परिणाम मैट्रिक्स में डाला गया है;
• अब नई दूसरी पंक्ति में पहला गुणांक 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 है।

अब परिवर्तनों की वही श्रृंखला निष्पादित की गई है, केवल पहली और तीसरी पंक्तियाँ शामिल हैं। तदनुसार, एल्गोरिथम के प्रत्येक चरण में, तत्व 21 को 31 से बदल दिया जाता है। फिर सब कुछ 41, ... एम1 के लिए दोहराया जाता है। परिणाम एक मैट्रिक्स है जहां पंक्तियों में पहला तत्व शून्य है। अब आपको लाइन नंबर एक के बारे में भूलने और लाइन दो से शुरू करके वही एल्गोरिदम निष्पादित करने की आवश्यकता है:

• गुणांक k = (-a 32 /a 22);
• दूसरी संशोधित पंक्ति को "वर्तमान" पंक्ति में जोड़ा गया है;
• जोड़ के परिणाम को तीसरी, चौथी, इत्यादि पंक्तियों में प्रतिस्थापित किया जाता है, जबकि पहला और दूसरा अपरिवर्तित रहता है;
• मैट्रिक्स की पंक्तियों में पहले दो तत्व पहले से ही शून्य के बराबर हैं।

एल्गोरिथ्म को तब तक दोहराया जाना चाहिए जब तक कि गुणांक k = (-a m,m-1 /a मिमी) प्रकट न हो जाए। इसका मतलब यह है कि में पिछली बारएल्गोरिथ्म केवल निम्न समीकरण के लिए निष्पादित किया गया था। अब मैट्रिक्स एक त्रिकोण जैसा दिखता है, या एक चरणबद्ध आकार है। निचली पंक्ति में समानता a mn × x n = b m है। गुणांक और मुक्त पद ज्ञात हैं, और मूल उनके माध्यम से व्यक्त किया जाता है: x n = b m /a mn। परिणामी मूल को x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 खोजने के लिए शीर्ष पंक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है। और इसी तरह सादृश्य द्वारा: प्रत्येक अगली पंक्ति में एक नई जड़ होती है, और, सिस्टम के "शीर्ष" पर पहुंचकर, आप कई समाधान पा सकते हैं। यह एकमात्र होगा.

जब कोई समाधान न हो

यदि मैट्रिक्स पंक्तियों में से किसी एक में मुक्त पद को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो इस पंक्ति से संबंधित समीकरण 0 = बी जैसा दिखता है। इसका कोई समाधान नहीं है. और चूंकि इस तरह के समीकरण को सिस्टम में शामिल किया गया है, तो पूरे सिस्टम के समाधान का सेट खाली है, यानी यह पतित है।

जब समाधानों की संख्या अनंत हो

ऐसा हो सकता है कि दिए गए त्रिकोणीय मैट्रिक्स में समीकरण के एक गुणांक तत्व और एक मुक्त पद वाली कोई पंक्तियाँ न हों। केवल ऐसी पंक्तियाँ हैं, जिन्हें दोबारा लिखे जाने पर, दो या दो से अधिक चर वाले समीकरण की तरह दिखाई देंगी। इसका मतलब यह है कि सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं। इस मामले में, उत्तर एक सामान्य समाधान के रूप में दिया जा सकता है। यह कैसे करें?

मैट्रिक्स में सभी चर मूल और मुक्त में विभाजित हैं। बुनियादी वे हैं जो चरण मैट्रिक्स में पंक्तियों के "किनारे पर" खड़े हैं। बाकी सब मुफ़्त हैं. सामान्य समाधान में, मूल चर मुक्त चर के माध्यम से लिखे जाते हैं।

सुविधा के लिए, मैट्रिक्स को पहले समीकरणों की प्रणाली में फिर से लिखा जाता है। फिर उनमें से आखिरी में, जहां वास्तव में केवल एक मूल चर बचा है, वह एक तरफ रहता है, और बाकी सब कुछ दूसरी तरफ स्थानांतरित हो जाता है। यह एक मूल चर वाले प्रत्येक समीकरण के लिए किया जाता है। फिर, शेष समीकरणों में, जहां संभव हो, मूल चर के स्थान पर इसके लिए प्राप्त अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित किया जाता है। यदि परिणाम फिर से एक अभिव्यक्ति है जिसमें केवल एक मूल चर होता है, तो इसे फिर से वहां से व्यक्त किया जाता है, और इसी तरह, जब तक कि प्रत्येक मूल चर को मुक्त चर के साथ अभिव्यक्ति के रूप में नहीं लिखा जाता है। यह SLAE का सामान्य समाधान है.

आप सिस्टम का मूल समाधान भी पा सकते हैं - मुक्त चर को कोई भी मान दें, और फिर इस विशिष्ट मामले के लिए मूल चर के मानों की गणना करें। ऐसे अनंत संख्या में विशेष समाधान हैं जो दिए जा सकते हैं।

विशिष्ट उदाहरणों के साथ समाधान

यहाँ समीकरणों की एक प्रणाली है.

सुविधा के लिए तुरंत इसका मैट्रिक्स बनाना बेहतर है

यह ज्ञात है कि जब गाऊसी विधि द्वारा हल किया जाता है, तो परिवर्तनों के अंत में पहली पंक्ति के अनुरूप समीकरण अपरिवर्तित रहेगा। इसलिए, यह अधिक लाभदायक होगा यदि मैट्रिक्स का ऊपरी बायां तत्व सबसे छोटा है - तो संचालन के बाद शेष पंक्तियों के पहले तत्व शून्य हो जाएंगे। इसका मतलब यह है कि संकलित मैट्रिक्स में पहली पंक्ति के स्थान पर दूसरी पंक्ति रखना फायदेमंद होगा।

दूसरी पंक्ति: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

ए" 21 = ए 21 + के×ए 11 = 3 + (-3)×1 = 0

ए" 22 = ए 22 + के×ए 12 = -1 + (-3)×2 = -7

ए" 23 = ए 23 + के×ए 13 = 1 + (-3)×4 = -11

बी" 2 = बी 2 + के×बी 1 = 12 + (-3)×12 = -24

तीसरी पंक्ति: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

ए" 3 1 = ए 3 1 + के×ए 11 = 5 + (-5)×1 = 0

ए" 3 2 = ए 3 2 + के×ए 12 = 1 + (-5)×2 = -9

ए" 3 3 = ए 33 + के×ए 13 = 2 + (-5)×4 = -18

बी" 3 = बी 3 + के×बी 1 = 3 + (-5)×12 = -57

अब, भ्रमित न होने के लिए, आपको परिवर्तनों के मध्यवर्ती परिणामों के साथ एक मैट्रिक्स लिखने की आवश्यकता है।

जाहिर है, ऐसे मैट्रिक्स को कुछ परिचालनों का उपयोग करके धारणा के लिए अधिक सुविधाजनक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप प्रत्येक तत्व को "-1" से गुणा करके दूसरी पंक्ति से सभी "माइनस" हटा सकते हैं।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि तीसरी पंक्ति में सभी तत्व तीन के गुणज हैं। फिर आप इस संख्या से पंक्ति को छोटा कर सकते हैं, प्रत्येक तत्व को "-1/3" (शून्य से - एक ही समय में, हटाने के लिए) से गुणा कर सकते हैं नकारात्मक मान).

बहुत अच्छा लग रहा है. अब हमें पहली पंक्ति को अकेला छोड़ना होगा और दूसरी और तीसरी के साथ काम करना होगा। कार्य दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ना है, जिसे ऐसे गुणांक से गुणा किया जाता है कि तत्व 32 शून्य के बराबर हो जाता है।

के = (-ए 32 /ए 22) = (-3/7) = -3/7 (यदि कुछ परिवर्तनों के दौरान उत्तर पूर्णांक नहीं बनता है, तो गणना की सटीकता बनाए रखने की सिफारिश की जाती है यह "जैसा है" रूप में है सामान्य अंश, और उसके बाद ही, जब उत्तर प्राप्त हो जाएं, तो तय करें कि क्या गोल करना है और रिकॉर्डिंग के किसी अन्य रूप में परिवर्तित करना है)

ए" 32 = ए 32 + के×ए 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

ए" 33 = ए 33 + के×ए 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

बी" 3 = बी 3 + के×बी 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

मैट्रिक्स को नए मानों के साथ फिर से लिखा जाता है।

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामी मैट्रिक्स का पहले से ही एक चरणबद्ध रूप है। इसलिए, गॉसियन पद्धति का उपयोग करके सिस्टम में और परिवर्तन की आवश्यकता नहीं है। आप यहां जो कर सकते हैं वह तीसरी पंक्ति से समग्र गुणांक "-1/7" को हटा देना है।

अब सब कुछ सुंदर है. बस इतना करना बाकी है कि समीकरणों की प्रणाली के रूप में मैट्रिक्स को फिर से लिखें और जड़ों की गणना करें

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

वह एल्गोरिथ्म जिसके द्वारा अब जड़ें पाई जाएंगी, गॉसियन विधि में रिवर्स मूव कहलाती है। समीकरण (3) में z मान शामिल है:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

और पहला समीकरण हमें x खोजने की अनुमति देता है:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

हमें ऐसी प्रणाली को संयुक्त या यहां तक ​​कि निश्चित भी कहने का अधिकार है, अर्थात इसका एक अनूठा समाधान है। उत्तर निम्नलिखित रूप में लिखा गया है:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9।

अनिश्चित प्रणाली का एक उदाहरण

गॉस विधि का उपयोग करके एक निश्चित प्रणाली को हल करने के प्रकार का विश्लेषण किया गया है, अब इस मामले पर विचार करना आवश्यक है यदि प्रणाली अनिश्चित है, अर्थात, इसके लिए अनंत रूप से कई समाधान पाए जा सकते हैं।

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

सिस्टम की उपस्थिति पहले से ही चिंताजनक है, क्योंकि अज्ञात की संख्या n = 5 है, और सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक पहले से ही इस संख्या से बिल्कुल कम है, क्योंकि पंक्तियों की संख्या m = 4 है, अर्थात, निर्धारक-वर्ग का उच्चतम क्रम 4 है। इसका मतलब है कि समाधानों की अनंत संख्या है, और आपको इसके सामान्य स्वरूप को देखने की आवश्यकता है। रैखिक समीकरणों के लिए गॉस विधि आपको ऐसा करने की अनुमति देती है।

सबसे पहले, हमेशा की तरह, एक विस्तारित मैट्रिक्स संकलित किया जाता है।

दूसरी पंक्ति: गुणांक k = (-a 21 /a 11) = -3. तीसरी पंक्ति में, पहला तत्व परिवर्तनों से पहले है, इसलिए आपको कुछ भी छूने की ज़रूरत नहीं है, आपको इसे वैसे ही छोड़ने की ज़रूरत है। चौथी पंक्ति: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

पहली पंक्ति के तत्वों को उनके प्रत्येक गुणांक द्वारा बारी-बारी से गुणा करके और उन्हें आवश्यक पंक्तियों में जोड़कर, हम निम्नलिखित रूप का एक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में एक दूसरे के समानुपाती तत्व शामिल हैं। दूसरी और चौथी आम तौर पर समान होती हैं, इसलिए उनमें से एक को तुरंत हटाया जा सकता है, और शेष को गुणांक "-1" से गुणा किया जा सकता है और पंक्ति संख्या 3 प्राप्त की जा सकती है। और फिर, दो समान रेखाओं में से, एक को छोड़ दें।

परिणाम इस प्रकार एक मैट्रिक्स है. हालाँकि सिस्टम अभी तक लिखा नहीं गया है, यहां बुनियादी चर निर्धारित करना आवश्यक है - जो गुणांक 11 = 1 और 22 = 1 पर खड़े हैं, और मुक्त वाले - बाकी सभी।

दूसरे समीकरण में केवल एक मूल चर है - x 2। इसका मतलब यह है कि इसे वहां से वेरिएबल x 3, x 4, x 5 के माध्यम से लिखकर व्यक्त किया जा सकता है, जो मुफ़्त हैं।

हम परिणामी अभिव्यक्ति को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

परिणाम एक समीकरण है जिसमें एकमात्र मूल चर x 1 है। आइए इसके साथ भी वैसा ही करें जैसा x 2 के साथ करते हैं।

सभी बुनियादी चर, जिनमें से दो हैं, तीन मुक्त चर के रूप में व्यक्त किए गए हैं, अब हम उत्तर को सामान्य रूप में लिख सकते हैं।

आप सिस्टम के किसी विशेष समाधान को भी निर्दिष्ट कर सकते हैं। ऐसे मामलों के लिए, शून्य को आमतौर पर मुक्त चर के मान के रूप में चुना जाता है। तो उत्तर होगा:

16, 23, 0, 0, 0.

असहयोगी व्यवस्था का उदाहरण

गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों की असंगत प्रणालियों को हल करना सबसे तेज़ है। जैसे ही किसी चरण पर कोई ऐसा समीकरण प्राप्त होता है जिसका कोई हल नहीं है, यह तुरंत समाप्त हो जाता है। यानी जड़ों की गणना करने का चरण, जो काफी लंबा और थकाऊ होता है, समाप्त हो जाता है। निम्नलिखित प्रणाली पर विचार किया जाता है:

एक्स + वाई - जेड = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

हमेशा की तरह, मैट्रिक्स संकलित है:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

और इसे चरणबद्ध रूप में घटाया गया है:

के 1 = -2के 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

पहले परिवर्तन के बाद, तीसरी पंक्ति में फॉर्म का एक समीकरण होता है

बिना समाधान के. नतीजतन, सिस्टम असंगत है, और उत्तर खाली सेट होगा।

विधि के फायदे और नुकसान

यदि आप कागज पर पेन से SLAE को हल करने की कौन सी विधि चुनते हैं, तो इस लेख में जिस विधि पर चर्चा की गई थी वह सबसे आकर्षक लगती है। यदि आपको किसी निर्धारक या कुछ पेचीदा व्युत्क्रम मैट्रिक्स को मैन्युअल रूप से खोजना पड़े तो प्राथमिक परिवर्तनों में भ्रमित होना कहीं अधिक कठिन है। हालाँकि, यदि आप इस प्रकार के डेटा के साथ काम करने के लिए प्रोग्राम का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, स्प्रेडशीट, तो यह पता चलता है कि ऐसे प्रोग्राम में पहले से ही मैट्रिक्स के मुख्य मापदंडों की गणना के लिए एल्गोरिदम होते हैं - निर्धारक, लघु, व्युत्क्रम, और इसी तरह। और यदि आप आश्वस्त हैं कि मशीन इन मानों की गणना स्वयं करेगी और कोई गलती नहीं करेगी, तो मैट्रिक्स विधि या क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करना अधिक उचित है, क्योंकि उनका उपयोग निर्धारकों और व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के साथ शुरू और समाप्त होता है।

आवेदन

चूँकि गॉसियन समाधान एक एल्गोरिथ्म है, और मैट्रिक्स वास्तव में एक द्वि-आयामी सरणी है, इसका उपयोग प्रोग्रामिंग में किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लेख खुद को "डमीज़ के लिए" एक मार्गदर्शक के रूप में रखता है, इसलिए यह कहा जाना चाहिए कि विधि को डालने का सबसे आसान स्थान स्प्रेडशीट है, उदाहरण के लिए, एक्सेल। फिर, मैट्रिक्स के रूप में तालिका में दर्ज किए गए किसी भी SLAE को एक्सेल द्वारा दो-आयामी सरणी के रूप में माना जाएगा। और उनके साथ संचालन के लिए कई अच्छे कमांड हैं: जोड़ (आप केवल एक ही आकार के मैट्रिक्स जोड़ सकते हैं!), एक संख्या से गुणा, मैट्रिक्स का गुणा (कुछ प्रतिबंधों के साथ भी), व्युत्क्रम और ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स ढूंढना और, सबसे महत्वपूर्ण बात , निर्धारक की गणना। यदि इस समय लेने वाले कार्य को एकल कमांड द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो मैट्रिक्स की रैंक को अधिक तेज़ी से निर्धारित करना संभव है और इसलिए, इसकी अनुकूलता या असंगति स्थापित करना संभव है।