प्राकृतिक संख्याओं का अंकन - नॉलेज हाइपरमार्केट। प्राकृतिक संख्याएँ और उनके गुण

प्राकृतिक और अप्राकृतिक क्या हैं? प्राकृतिक संख्या? किसी बच्चे को, या शायद बच्चे को नहीं, कैसे समझाएँ कि उनके बीच क्या अंतर हैं? आइए इसका पता लगाएं। जहां तक ​​हम जानते हैं, 5वीं कक्षा में गैर-प्राकृतिक और प्राकृतिक संख्याओं का अध्ययन किया जाता है, और हमारा लक्ष्य छात्रों को समझाना है ताकि वे वास्तव में समझें और सीखें कि क्या और कैसे।

कहानी

प्राकृतिक संख्याएँ सबसे पुरानी अवधारणाओं में से एक हैं। बहुत समय पहले, जब लोग गिनती करना नहीं जानते थे और संख्याओं के बारे में भी कुछ नहीं जानते थे, जब उन्हें कुछ गिनने की ज़रूरत होती थी, उदाहरण के लिए, मछली, जानवर, तो वे विभिन्न वस्तुओं पर बिंदु या डैश काट देते थे, जैसा कि पुरातत्वविदों को बाद में पता चला। . उस समय उनके लिए जीवन बहुत कठिन था, लेकिन सभ्यता का विकास पहले रोमन संख्या प्रणाली और फिर दशमलव संख्या प्रणाली तक हुआ। आजकल लगभग सभी लोग अरबी अंकों का प्रयोग करते हैं

प्राकृतिक संख्याओं के बारे में सब कुछ

प्राकृतिक संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम अपने दैनिक जीवन में वस्तुओं की मात्रा और क्रम निर्धारित करने के लिए गिनने के लिए करते हैं। वर्तमान में, हम संख्याएँ लिखने के लिए दशमलव संख्या प्रणाली का उपयोग करते हैं। किसी भी संख्या को लिखने के लिए हम दस अंकों का उपयोग करते हैं - शून्य से नौ तक।

प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनका उपयोग हम वस्तुओं की गिनती करते समय या किसी चीज़ की क्रम संख्या दर्शाते समय करते हैं। उदाहरण: 5, 368, 99, 3684।

संख्या श्रृंखला उन प्राकृतिक संख्याओं को संदर्भित करती है जो आरोही क्रम में व्यवस्थित होती हैं, अर्थात। एक से अनंत तक. ऐसी श्रृंखला सबसे छोटी संख्या - 1 से शुरू होती है, और कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है, क्योंकि संख्याओं की श्रृंखला बस अनंत है।

सामान्य तौर पर, शून्य को प्राकृतिक संख्या नहीं माना जाता है, क्योंकि इसका मतलब किसी चीज़ की अनुपस्थिति है, और वस्तुओं की कोई गिनती भी नहीं है

अरबी संख्या प्रणाली है आधुनिक प्रणालीजिसका उपयोग हम प्रतिदिन करते हैं। यह भारतीय (दशमलव) का एक प्रकार है।

यह संख्या प्रणाली संख्या 0 के कारण आधुनिक बन गई, जिसका आविष्कार अरबों ने किया था। इससे पहले में भारतीय प्रणालीवह अनुपस्थित थी.

अप्राकृतिक संख्याएँ. यह क्या है?

प्राकृतिक संख्याओं में ऋणात्मक संख्याएँ या गैर-पूर्णांक शामिल नहीं होते हैं। इसका मतलब यह है कि वे - अप्राकृतिक संख्याएँ हैं

नीचे उदाहरण हैं.

अप्राकृतिक संख्याएँ हैं:

• नकारात्मक संख्याएँ, उदाहरण के लिए: -1, -5, -36.. इत्यादि।
• परिमेय संख्याएँ जिन्हें दशमलव के रूप में व्यक्त किया जाता है: 4.5, -67, 44.6।
• एक साधारण भिन्न के रूप में: 1 /2, 40 2 /7, आदि।

अपरिमेय संख्याएँ जैसे e = 2.71828, √2 = 1.41421 और इसी तरह।

हमें आशा है कि हमने आपको गैर-प्राकृतिक और प्राकृतिक संख्याओं को समझने में काफी मदद की है। अब आपके लिए अपने बच्चे को यह विषय समझाना आसान हो जाएगा और वह इसे महान गणितज्ञों की तरह सीख लेगा!

प्राकृतिक संख्याएँ मनुष्य के लिए परिचित और सहज हैं, क्योंकि वे बचपन से ही हमें घेरे रहती हैं। नीचे दिए गए लेख में हम प्राकृतिक संख्याओं के अर्थ की बुनियादी समझ देंगे और उन्हें लिखने और पढ़ने के बुनियादी कौशल का वर्णन करेंगे। संपूर्ण सैद्धांतिक भाग उदाहरणों के साथ होगा।

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प्राकृतिक संख्याओं की सामान्य समझ

मानव जाति के विकास के एक निश्चित चरण में, कुछ वस्तुओं को गिनने और उनकी मात्रा निर्दिष्ट करने का कार्य उत्पन्न हुआ, जिसके परिणामस्वरूप, इस समस्या को हल करने के लिए एक उपकरण खोजने की आवश्यकता हुई। प्राकृतिक संख्याएँ एक ऐसा उपकरण बन गईं। यह भी स्पष्ट है कि प्राकृतिक संख्याओं का मुख्य उद्देश्य वस्तुओं की संख्या या किसी विशिष्ट वस्तु की क्रम संख्या का अंदाजा देना है, अगर हम किसी सेट के बारे में बात कर रहे हैं।

यह तर्कसंगत है कि किसी व्यक्ति को प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करने के लिए, उन्हें समझने और पुन: उत्पन्न करने का एक तरीका होना आवश्यक है। इस प्रकार, एक प्राकृतिक संख्या को आवाज दी जा सकती है या चित्रित किया जा सकता है, जो सूचना प्रसारित करने के प्राकृतिक तरीके हैं।

आइए प्राकृतिक संख्याओं को व्यक्त करने (पढ़ने) और दर्शाने (लिखने) के बुनियादी कौशल पर नजर डालें।

किसी प्राकृतिक संख्या का दशमलव अंकन

आइए याद रखें कि निम्नलिखित वर्णों का प्रतिनिधित्व कैसे किया जाता है (हम उन्हें अल्पविराम से अलग करके इंगित करेंगे): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . इन चिन्हों को हम नंबर कहते हैं।

अब इसे एक नियम के रूप में लें कि किसी भी प्राकृतिक संख्या को चित्रित (रिकॉर्ड) करते समय, किसी अन्य प्रतीकों की भागीदारी के बिना केवल संकेतित संख्याओं का उपयोग किया जाता है। मान लीजिए कि किसी प्राकृतिक संख्या को लिखते समय अंकों की ऊंचाई समान होती है, एक पंक्ति में एक के बाद एक लिखे जाते हैं और बाईं ओर हमेशा शून्य के अलावा एक अंक होता है।

आइए हम प्राकृतिक संख्याओं की सही रिकॉर्डिंग के उदाहरण बताएं: 703, 881, 13, 333, 1,023, 7, 500,001। संख्याओं के बीच का अंतर हमेशा एक जैसा नहीं होता है, संख्याओं के वर्गों का अध्ययन करते समय इस पर नीचे अधिक विस्तार से चर्चा की जाएगी। दिए गए उदाहरणों से पता चलता है कि एक प्राकृतिक संख्या लिखते समय, उपरोक्त श्रृंखला के सभी अंकों का मौजूद होना ज़रूरी नहीं है। उनमें से कुछ या सभी को दोहराया जा सकता है।

परिभाषा 1

फॉर्म के रिकॉर्ड: 065, 0, 003, 0791 प्राकृतिक संख्याओं के रिकॉर्ड नहीं हैं, क्योंकि बाईं ओर संख्या 0 है.

सभी वर्णित आवश्यकताओं को ध्यान में रखते हुए की गई किसी प्राकृतिक संख्या की सही रिकॉर्डिंग कहलाती है किसी प्राकृतिक संख्या का दशमलव अंकन.

प्राकृतिक संख्याओं का मात्रात्मक अर्थ

जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, अन्य बातों के अलावा, प्राकृतिक संख्याएँ शुरू में एक मात्रात्मक अर्थ रखती हैं। प्राकृतिक संख्याओं की तुलना करने के विषय में एक क्रमांकन उपकरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं पर चर्चा की गई है।

आइए प्राकृतिक संख्याओं की ओर आगे बढ़ें, जिनकी प्रविष्टियाँ अंकों की प्रविष्टियों से मेल खाती हैं, अर्थात: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

आइए एक निश्चित वस्तु की कल्पना करें, उदाहरण के लिए, इस तरह: Ψ। हम जो देखते हैं उसे लिख सकते हैं 1 वस्तु। प्राकृत संख्या 1 को "एक" या "एक" के रूप में पढ़ा जाता है। "इकाई" शब्द का एक और अर्थ भी है: कुछ ऐसा जिसे एक संपूर्ण के रूप में माना जा सकता है। यदि कोई समुच्चय है तो उसके किसी भी अवयव को एक के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, चूहों के एक समूह में से, कोई भी चूहा एक है; फूलों के समूह में से कोई भी फूल एक है।

अब कल्पना करें: Ψ Ψ . हम एक वस्तु को दूसरी वस्तु देखते हैं, अर्थात्। रिकॉर्डिंग में यह 2 आइटम होंगे। प्राकृत संख्या 2 को "दो" पढ़ा जाता है।

इसके अलावा, सादृश्य द्वारा: Ψ Ψ Ψ - 3 आइटम ("तीन"), Ψ Ψ Ψ Ψ - 4 ("चार"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 5 ("पांच"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 6 ("छह"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 7 ("सात"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 8 ("आठ"), Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ - 9 (" नौ")।

संकेतित स्थिति से, प्राकृतिक संख्या का कार्य इंगित करना है मात्रासामान।

परिभाषा 1

यदि किसी संख्या का रिकार्ड संख्या 0 के रिकार्ड से मेल खाता है तो ऐसी संख्या कहलाती है "शून्य"।शून्य कोई प्राकृत संख्या नहीं है, बल्कि इसे अन्य प्राकृत संख्याओं के साथ ही माना जाता है। शून्य अनुपस्थिति को दर्शाता है, अर्थात शून्य आइटम का मतलब कोई नहीं है।

एकल अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ

यह एक स्पष्ट तथ्य है कि ऊपर चर्चा की गई प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) को लिखते समय हम एक चिह्न - एक अंक का उपयोग करते हैं।

परिभाषा 2

एकल अंकीय प्राकृतिक संख्या- एक प्राकृतिक संख्या, जो एक चिह्न - एक अंक का उपयोग करके लिखी जाती है।

नौ एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9।

दो अंकों और तीन अंकों की प्राकृतिक संख्याएँ

परिभाषा 3

दो अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ- प्राकृतिक संख्याएँ, जिन्हें लिखते समय दो चिह्नों का प्रयोग किया जाता है - दो अंक। इस मामले में, उपयोग की गई संख्याएँ समान या भिन्न हो सकती हैं।

उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याएँ 71, 64, 11 दो अंकों वाली हैं।

आइए विचार करें कि दो अंकों की संख्याओं में क्या अर्थ निहित है। हम एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं के मात्रात्मक अर्थ पर भरोसा करेंगे जो हमें पहले से ही ज्ञात है।

आइए हम "दस" जैसी अवधारणा का परिचय दें।

आइए वस्तुओं के एक समूह की कल्पना करें जिसमें नौ और एक और शामिल है। इस मामले में, हम 1 दस ("एक दर्जन") वस्तुओं के बारे में बात कर सकते हैं। यदि आप एक दहाई और एक अधिक की कल्पना करते हैं, तो हम 2 दहाई ("दो दहाई") के बारे में बात कर रहे हैं। दो दहाई में एक और जोड़ने पर हमें तीन दहाई प्राप्त होती हैं। और इसी तरह: एक बार में एक दस जोड़ने पर, हमें चार दहाई, पांच दहाई, छह दहाई, सात दहाई, आठ दहाई और अंत में, नौ दहाई मिलेंगे।

आइए देखें दो अंकों की संख्या, एकल-अंकीय संख्याओं के एक सेट के रूप में, जिनमें से एक दाईं ओर लिखा जाता है, दूसरा बाईं ओर। बाईं ओर की संख्या एक प्राकृतिक संख्या में दहाई की संख्या को इंगित करेगी, और दाईं ओर की संख्या इकाइयों की संख्या को इंगित करेगी। ऐसे मामले में जहां संख्या 0 दाईं ओर स्थित है, तो हम इकाइयों की अनुपस्थिति के बारे में बात कर रहे हैं। उपरोक्त दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं का मात्रात्मक अर्थ है। उनमें से कुल 90 हैं।

परिभाषा 4

तीन अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ– प्राकृतिक संख्याएँ, जिन्हें लिखते समय तीन चिन्हों का प्रयोग किया जाता है – तीन अंक। संख्याएँ किसी भी संयोजन में भिन्न या दोहराई जा सकती हैं।

उदाहरण के लिए, 413, 222, 818, 750 तीन अंकों की प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं के मात्रात्मक अर्थ को समझने के लिए, हम अवधारणा का परिचय देते हैं "सौ"।

परिभाषा 5

एक सौ (1 सौ)दस दहाइयों का एक समुच्चय है। एक सौ और दूसरा सौ मिलकर दो शतक बनाते हैं। एक और शतक जोड़ें और 3 शतक प्राप्त करें। धीरे-धीरे एक बार में सौ जोड़ने पर हमें मिलता है: चार सौ, पांच सौ, छह सौ, सात सौ, आठ सौ, नौ सौ।

आइए तीन-अंकीय संख्या के अंकन पर ही विचार करें: इसमें शामिल एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ एक के बाद एक बाएँ से दाएँ लिखी जाती हैं। सबसे दाहिनी एकल अंक संख्या इकाइयों की संख्या को इंगित करती है; बायीं ओर अगली एकल-अंकीय संख्या दहाई की संख्या से है; सबसे बाईं एकल अंकीय संख्या सैकड़ों की संख्या में है। यदि प्रविष्टि में संख्या 0 है, तो यह इकाइयों और/या दहाई की अनुपस्थिति को इंगित करता है।

इस प्रकार, तीन अंकों की प्राकृतिक संख्या 402 का अर्थ है: 2 इकाइयाँ, 0 दहाई (ऐसी कोई दहाई नहीं है जो सैकड़ों में संयुक्त न हो) और 4 सैकड़ों।

सादृश्य द्वारा, चार-अंकीय, पाँच-अंकीय, इत्यादि प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा दी गई है।

बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ

उपरोक्त सभी से, अब बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा पर आगे बढ़ना संभव है।

परिभाषा 6

बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ– प्राकृतिक संख्याएँ, जिन्हें लिखते समय दो या दो से अधिक वर्णों का उपयोग किया जाता है। बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ दो-अंकीय, तीन-अंकीय, इत्यादि संख्याएँ होती हैं।

एक हजार एक ऐसा समुच्चय है जिसमें दस सौ शामिल हैं; एक मिलियन में एक हजार हजार होते हैं; एक अरब - एक हजार करोड़; एक ट्रिलियन - एक हजार अरब. यहां तक ​​कि बड़े सेटों के भी नाम होते हैं, लेकिन उनका उपयोग दुर्लभ है।

उपरोक्त सिद्धांत के समान, हम किसी भी बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या को एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं के समूह के रूप में मान सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक, एक निश्चित स्थान पर होने पर, इकाइयों, दहाई, सैकड़ों, हजारों, दहाई की उपस्थिति और संख्या को इंगित करता है। हजारों, सैकड़ों हजारों, लाखों, दसियों लाखों, सैकड़ों लाखों, अरबों और इसी तरह (क्रमशः दाएं से बाएं)।

उदाहरण के लिए, बहु-अंकीय संख्या 4,912,305 में शामिल हैं: 5 इकाई, 0 दहाई, तीन सैकड़ा, 2 हजार, 1 दस हजार, 9 सौ हजार और 4 मिलियन।

संक्षेप में, हमने इकाइयों को विभिन्न सेटों (दसियों, सैकड़ों, आदि) में समूहीकृत करने के कौशल को देखा और देखा कि बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या के अंकन में संख्याएँ ऐसे प्रत्येक सेट में इकाइयों की संख्या को दर्शाती हैं।

प्राकृतिक संख्याएँ, कक्षाएं पढ़ना

उपरोक्त सिद्धांत में, हमने प्राकृतिक संख्याओं के नामों का संकेत दिया है। तालिका 1 में हम बताते हैं कि भाषण और पत्र लेखन में एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं के नामों का सही ढंग से उपयोग कैसे करें:

संख्या	मदार्ना	स्त्री	नपुंसक लिंग
1 2 3 4 5 6 7 8 9	एक दो तीन चार पाँच छह सात आठ नौ	एक दो तीन चार पाँच छह सात आठ नौ	एक दो तीन चार पाँच छह सात आठ नौ

संख्या	नाममात्र का मामला	संबंधकारक	संप्रदान कारक	अभियोगात्मक मामला	वाद्य मामला	संबंधबोधक पूर्वसर्ग-संबंधी
1 2 3 4 5 6 7 8 9	एक दो तीन चार पाँच छह सात आठ नौ	एक दो तीन चार पाँच छह अर्द्ध आठ नौ	अकेला दो तीन चार पाँच छह अर्द्ध आठ नौ	एक दो तीन चार पाँच छह सात आठ नौ	एक दो तीन चार पाँच छह परिवार आठ नौ	एक बात के बारे में लगभग दो तीन के बारे में लगभग चार दोबारा लगभग छह लगभग सात लगभग आठ लगभग नौ

दो अंकों की संख्याओं को सही ढंग से पढ़ने और लिखने के लिए, आपको तालिका 2 में डेटा याद रखना होगा:

संख्या	पुल्लिंग, स्त्रीलिंग और नपुंसक लिंग
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस चालीस पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे

संख्या	नाममात्र का मामला	संबंधकारक	संप्रदान कारक	अभियोगात्मक मामला	वाद्य मामला	संबंधबोधक पूर्वसर्ग-संबंधी
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 40 50 60 70 80 90	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस चालीस पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस अधेला पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस अधेला पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस चालीस पचास साठ सत्तर अस्सी नब्बे	दस ग्यारह बारह तेरह चौदह पंद्रह सोलह सत्रह अठारह उन्नीस बीस तीस अधेला पचास साठ सत्तर अस्सी उन्नीस	लगभग दस करीब ग्यारह बजे लगभग बारह लगभग तेरह लगभग चौदह लगभग पन्द्रह लगभग सोलह लगभग सत्रह लगभग अठारह लगभग उन्नीस बीस के बारे में लगभग तीस ओह मैगपाई पचास के करीब लगभग साठ लगभग सत्तर लगभग अस्सी अरे नब्बे!

अन्य दो अंकों की प्राकृतिक संख्याओं को पढ़ने के लिए, हम दोनों तालिकाओं के डेटा का उपयोग करेंगे, हम इस पर एक उदाहरण के साथ विचार करेंगे। मान लीजिए कि हमें दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्या 21 को पढ़ने की जरूरत है। इस संख्या में 1 इकाई और 2 दहाई हैं, अर्थात। 20 और 1. तालिकाओं की ओर मुड़ते हुए, हम संकेतित संख्या को "इक्कीस" के रूप में पढ़ते हैं, जबकि शब्दों के बीच संयोजन "और" का उच्चारण करने की आवश्यकता नहीं है। मान लीजिए कि हमें एक निश्चित वाक्य में निर्दिष्ट संख्या 21 का उपयोग करने की आवश्यकता है, जो वस्तुओं की संख्या को दर्शाता है सम्बन्ध कारक स्थिति: "वहां 21 सेब नहीं हैं।" ध्वनि अंदर इस मामले मेंउच्चारण इस प्रकार होगा: "इक्कीस सेब नहीं हैं।"

आइए हम स्पष्टता के लिए एक और उदाहरण दें: संख्या 76, जिसे "छहत्तर" के रूप में पढ़ा जाता है और, उदाहरण के लिए, "छहत्तर टन।"

संख्या	कतार्कारक	संबंधकारक	संप्रदान कारक	अभियोगात्मक मामला	वाद्य मामला	संबंधबोधक पूर्वसर्ग-संबंधी
100 200 300 400 500 600 700 800 900	एक सौ दो सौ तीन सौ चार सौ पांच सौ छः सौ सात सौ आठ सौ नौ सौ	सौ दो सौ तीन सौ चार सौ पांच सौ छः सौ सात सौ आठ सौ नौ सौ	सौ दो सौ तीन सौ चार सौ पांच सौ छः सौ सेमिस्टम आठ सौ नौ सौ	एक सौ दो सौ तीन सौ चार सौ पांच सौ छः सौ सात सौ आठ सौ नौ सौ	सौ दो सौ तीन सौ चार सौ पांच सौ छः सौ सात सौ आठ सौ नौ सौ	अरे सौ! लगभग दो सौ लगभग तीन सौ लगभग चार सौ लगभग पांच सौ लगभग छह सौ लगभग सात सौ लगभग आठ सौ लगभग नौ सौ

तीन अंकों की संख्या को पूरी तरह से पढ़ने के लिए, हम सभी निर्दिष्ट तालिकाओं के डेटा का भी उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्या 305 दी गई है। यह नंबर 5 इकाइयाँ, 0 दहाई और 3 सैकड़े से मेल खाता है: 300 और 5। तालिका को आधार मानकर, हम पढ़ते हैं: "तीन सौ पांच" या मामले के अनुसार गिरावट में, उदाहरण के लिए, इस तरह: "तीन सौ पांच मीटर।"

आइए एक और संख्या पढ़ें: 543. तालिकाओं के नियमों के अनुसार, संकेतित संख्या इस तरह सुनाई देगी: "पांच सौ तैंतालीस" या मामलों के अनुसार गिरावट में, उदाहरण के लिए, इस तरह: "पांच सौ तैंतालीस रूबल नहीं हैं।"

चलिए आगे बढ़ते हैं सामान्य सिद्धांतबहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं को पढ़ना: एक बहु-अंकीय संख्या को पढ़ने के लिए, आपको इसे दाएं से बाएं तीन अंकों के समूहों में विभाजित करना होगा, और सबसे बाएं समूह में 1, 2 या 3 अंक हो सकते हैं। ऐसे समूहों को वर्ग कहा जाता है।

सबसे दाहिना वर्ग इकाइयों का वर्ग है; फिर अगली कक्षा, बाईं ओर - हजारों की कक्षा; आगे - लाखों का वर्ग; फिर अरबों का वर्ग आता है, उसके बाद खरबों का वर्ग आता है। निम्नलिखित वर्गों का भी एक नाम है, लेकिन बड़ी संख्या में वर्णों (16, 17 और अधिक) से युक्त प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग पढ़ने में शायद ही कभी किया जाता है, और उन्हें कान से समझना काफी कठिन होता है।

रिकॉर्डिंग को पढ़ने में आसान बनाने के लिए, कक्षाओं को एक छोटे से इंडेंटेशन द्वारा एक दूसरे से अलग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 31,013,736, 134,678, 23,476,009,434, 2,533,467,001,222।

कक्षा खरब	कक्षा अरबों	कक्षा लाखों	हज़ारों का वर्ग	इकाई वर्ग
			134	678
		31	013	736
	23	476	009	434
2	533	467	001	222

एक बहु-अंकीय संख्या को पढ़ने के लिए, हम उन संख्याओं को एक-एक करके कहते हैं जो इसे बनाती हैं (वर्ग के अनुसार बाएँ से दाएँ, वर्ग का नाम जोड़ते हुए)। इकाइयों के वर्ग के नाम का उच्चारण नहीं किया जाता है, और उन वर्गों का भी उच्चारण नहीं किया जाता है जो तीन अंक 0 बनाते हैं। यदि किसी कक्षा में बायीं ओर एक या दो अंक हों तो पढ़ते समय उनका किसी भी प्रकार उपयोग नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, 054 को "चौवन" या 001 को "एक" के रूप में पढ़ा जाएगा।

उदाहरण 1

आइए संख्या 2,533,467,001,222 की रीडिंग को विस्तार से देखें:

हम संख्या 2 को खरबों के वर्ग के एक घटक के रूप में पढ़ते हैं - "दो";

वर्ग का नाम जोड़ने पर, हमें मिलता है: "दो ट्रिलियन";

हम संबंधित वर्ग का नाम जोड़ते हुए अगली संख्या पढ़ते हैं: "पांच सौ तैंतीस अरब";

हम सादृश्य द्वारा आगे बढ़ते हैं, अगली कक्षा को दाईं ओर पढ़ते हैं: "चार सौ सड़सठ मिलियन";

अगली कक्षा में हम बाईं ओर स्थित दो अंक 0 देखते हैं। उपरोक्त पढ़ने के नियमों के अनुसार, अंक 0 को हटा दिया जाता है और रिकॉर्ड को पढ़ने में भाग नहीं लेते हैं। तब हमें मिलता है: "एक हजार";

हम इकाइयों के अंतिम वर्ग को उसका नाम जोड़े बिना पढ़ते हैं - "दो सौ बाईस"।

इस प्रकार, संख्या 2 533 467 001 222 इस तरह सुनाई देगी: दो ट्रिलियन पांच सौ तैंतीस अरब चार सौ सड़सठ मिलियन एक हजार दो सौ बाईस। इस सिद्धांत का उपयोग करते हुए, हम अन्य दी गई संख्याओं को पढ़ेंगे:

31,013,736 - इकतीस लाख तेरह हजार सात सौ छत्तीस;

134 678 - एक सौ चौंतीस हजार छह सौ अठहत्तर;

23 476 009 434 - तेईस अरब चार सौ छिहत्तर करोड़ नौ हजार चार सौ चौंतीस।

इस प्रकार, सही पढ़ने का आधार बहु-अंकीय संख्याएँएक बहु-अंकीय संख्या को वर्गों में विभाजित करने का कौशल, संबंधित नामों का ज्ञान और दो- और तीन-अंकीय संख्याओं को पढ़ने के सिद्धांत की समझ है।

जैसा कि उपरोक्त सभी से पहले ही स्पष्ट है, इसका मान उस स्थिति पर निर्भर करता है जिस पर अंक किसी संख्या के अंकन में दिखाई देता है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्या 314 में संख्या 3 सैकड़ों की संख्या को इंगित करती है, अर्थात् 3 सैकड़ों। संख्या 2 दहाई की संख्या (1 दस) है, और संख्या 4 इकाइयों की संख्या (4 इकाई) है। इस स्थिति में, हम कहेंगे कि संख्या 4 इकाई के स्थान पर है और दी गई संख्या में इकाई के स्थान का मान है। संख्या 1 दहाई के स्थान पर है और दहाई के स्थान के मान के रूप में कार्य करती है। अंक 3 सैकड़े के स्थान पर स्थित है और सैकड़े के स्थान का मान है।

परिभाषा 7

स्राव होना- यह एक प्राकृतिक संख्या के अंकन में एक अंक की स्थिति है, साथ ही इस अंक का मान भी है, जो किसी दिए गए संख्या में इसकी स्थिति से निर्धारित होता है।

श्रेणियों के अपने-अपने नाम हैं, हम उनका उपयोग पहले ही ऊपर कर चुके हैं। दाएँ से बाएँ अंक हैं: इकाइयाँ, दहाई, सैकड़ों, हज़ार, दसियों हज़ार, आदि।

याद रखने में आसानी के लिए, आप निम्न तालिका का उपयोग कर सकते हैं (हम 15 अंक दर्शाते हैं):

आइए इस विवरण को स्पष्ट करें: किसी दिए गए बहु-अंकीय संख्या में अंकों की संख्या संख्या के अंकन में वर्णों की संख्या के समान होती है। उदाहरण के लिए, इस तालिका में 15 अंकों वाली संख्या के सभी अंकों के नाम शामिल हैं। बाद के निर्वहनों के भी नाम हैं, लेकिन इनका प्रयोग बहुत ही कम होता है और सुनने में बहुत असुविधाजनक होता है।

ऐसी तालिका की सहायता से किसी दी गई प्राकृतिक संख्या को तालिका में लिखकर अंक निर्धारित करने का कौशल विकसित करना संभव है ताकि इकाई अंक में सबसे दाहिना अंक लिखा जाए और फिर प्रत्येक अंक में एक-एक करके लिखा जाए। उदाहरण के लिए, आइए बहु-अंकीय प्राकृत संख्या 56,402,513,674 को इस प्रकार लिखें:

दसियों लाख अंक में स्थित संख्या 0 पर ध्यान दें - इसका अर्थ है इस अंक की इकाइयों की अनुपस्थिति।

आइए हम बहु-अंकीय संख्या के न्यूनतम और उच्चतम अंकों की अवधारणाओं से भी परिचित कराएं।

परिभाषा 8

सबसे निचली (जूनियर) रैंककिसी भी बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या का - इकाई अंक।

उच्चतम (वरिष्ठ) श्रेणीकिसी भी बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या का - किसी दी गई संख्या के अंकन में सबसे बाएं अंक के अनुरूप अंक।

इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्या 41,781 में: सबसे निचला अंक इकाई का अंक है; सर्वोच्च पद दसियों हज़ार का पद है।

तार्किक रूप से यह इस प्रकार है कि एक दूसरे के सापेक्ष अंकों की वरिष्ठता के बारे में बात करना संभव है। बाएं से दाएं जाने पर प्रत्येक अगला अंक पिछले वाले की तुलना में कम (छोटा) होता है। और इसके विपरीत: दाएं से बाएं जाने पर, प्रत्येक अगला अंक पिछले वाले की तुलना में अधिक (पुराना) होता है। उदाहरण के लिए, हजारों का स्थान सैकड़ों के स्थान से पुराना है, लेकिन लाखों के स्थान से छोटा है।

आइए स्पष्ट करें कि कुछ व्यावहारिक उदाहरणों को हल करते समय, प्राकृतिक संख्या का उपयोग नहीं किया जाता है, बल्कि किसी दी गई संख्या के अंक पदों का योग होता है।

दशमलव संख्या प्रणाली के बारे में संक्षेप में

परिभाषा 9

नोटेशन- चिन्हों का उपयोग करके संख्याएँ लिखने की एक विधि।

स्थितीय संख्या प्रणाली- वे जिनमें किसी संख्या में किसी अंक का मान संख्या के अंकन में उसकी स्थिति पर निर्भर करता है।

के अनुसार यह परिभाषा, हम कह सकते हैं कि, प्राकृतिक संख्याओं का अध्ययन करते समय और जिस तरह से उन्हें ऊपर लिखा गया है, हमने स्थितीय संख्या प्रणाली का उपयोग किया। 10 नंबर यहां एक विशेष स्थान रखता है। हम दहाई में गिनते हैं: दस इकाइयाँ मिलकर दस बनती हैं, दस दहाई मिलकर सौ बनेंगी, इत्यादि। संख्या 10 इस संख्या प्रणाली के आधार के रूप में कार्य करती है, और इस प्रणाली को ही दशमलव भी कहा जाता है।

इसके अतिरिक्त अन्य संख्या प्रणालियाँ भी हैं। उदाहरण के लिए, कंप्यूटर विज्ञान बाइनरी सिस्टम का उपयोग करता है। जब हम समय का ध्यान रखते हैं, तो हम सेक्सजेसिमल संख्या प्रणाली का उपयोग करते हैं।

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परिभाषा

प्राकृतिक संख्याएँ वस्तुओं को गिनने के लिए बनाई गई संख्याएँ हैं। प्राकृतिक संख्याओं को रिकॉर्ड करने के लिए, 10 अरबी अंकों (0-9) का उपयोग किया जाता है, जो गणितीय गणनाओं के लिए आम तौर पर स्वीकृत दशमलव संख्या प्रणाली का आधार बनते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं का क्रम

प्राकृतिक संख्याएँ 1 से प्रारंभ होकर सभी धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय को कवर करते हुए एक श्रृंखला बनाती हैं। इस क्रम में संख्याएँ 1,2,3,.... शामिल हैं। इसका मतलब है कि प्राकृतिक श्रृंखला में:

1. खाओ सबसे छोटी संख्याऔर कोई महानतम नहीं है.
2. प्रत्येक अगली संख्या पिछली संख्या से 1 अधिक है (इकाई को छोड़कर)।
3. जैसे-जैसे संख्याएँ अनंत की ओर बढ़ती हैं, वे बिना किसी सीमा के बढ़ती हैं।

कभी-कभी 0 को प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला में पेश किया जाता है, यह स्वीकार्य है, और फिर वे बात करते हैं विस्तारप्राकृतिक श्रृंखला.

प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग

प्राकृतिक संख्या का प्रत्येक अंक एक निश्चित अंक को व्यक्त करता है। अंतिम इकाई हमेशा संख्या में इकाइयों की संख्या होती है, इससे पहले वाली इकाई दसियों की संख्या होती है, अंत से तीसरी इकाई सैकड़ों की संख्या होती है, चौथी संख्या हजारों की संख्या होती है, इत्यादि।

• संख्या 276 में: 2 शतक, 7 दहाई, 6 इकाई
• संख्या 1098 में: 1 हजार, 9 दहाई, 8 वाले; यहां सैकड़ा का स्थान गायब है क्योंकि इसे शून्य के रूप में व्यक्त किया गया है।

बड़ी और बहुत बड़ी संख्याओं के लिए, आप एक स्थिर प्रवृत्ति देख सकते हैं (यदि आप संख्या को दाएं से बाएं, यानी अंतिम अंक से पहले तक जांचते हैं):

• संख्या में अंतिम तीन अंक इकाई, दहाई और सैकड़ों हैं;
• पिछले तीन इकाइयाँ, दसियों और सैकड़ों हज़ार हैं;
• उनके सामने के तीन (अर्थात संख्या के 7वें, 8वें और 9वें अंक, अंत से गिनने पर) इकाई, दहाई और सैकड़ों लाखों आदि हैं।

यानी, हर बार हम तीन अंकों, यानी इकाइयों, दहाई और सैकड़ों से बड़े नाम के साथ काम कर रहे होते हैं। ऐसे समूह वर्ग बनाते हैं। और यदि पहली तीन कक्षाओं के साथ रोजमर्रा की जिंदगीकम या ज्यादा बार निपटना पड़ता है, तो दूसरों की सूची बनानी चाहिए, क्योंकि हर किसी को अपना नाम दिल से याद नहीं रहता।

• लाखों के वर्ग के बाद और 10-12 अंकों की संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले चौथे वर्ग को बिलियन (या बिलियन) कहा जाता है;
• 5वीं कक्षा - ट्रिलियन;
• छठी कक्षा - क्वाड्रिलियन;
• सातवीं कक्षा - क्विंटिलियन;
• आठवीं कक्षा - सेक्स्टिलियन;
• 9वीं कक्षा - सेप्टिलियन।

प्राकृत संख्याओं का योग

प्राकृतिक संख्याओं का जोड़ एक अंकगणितीय ऑपरेशन है जो आपको एक ऐसी संख्या प्राप्त करने की अनुमति देता है जिसमें इकाइयों की उतनी ही संख्या होती है जितनी एक साथ जोड़ी जाने वाली संख्याओं में होती है।

अतिरिक्त चिन्ह "+" चिन्ह है। जोड़ी गई संख्याओं को जोड़ कहा जाता है, और परिणामी परिणाम को योग कहा जाता है।

छोटी-छोटी संख्याओं को मौखिक रूप से जोड़ा (संक्षेपित) किया जाता है, ऐसी क्रियाओं को एक पंक्ति में लिखा जाता है;

बहु-अंकीय संख्याएँ जिन्हें आपके दिमाग में जोड़ना मुश्किल होता है, आमतौर पर एक कॉलम में जोड़ दी जाती हैं। ऐसा करने के लिए, संख्याओं को एक के नीचे एक लिखा जाता है, अंतिम अंक से संरेखित किया जाता है, अर्थात, वे इकाई के स्थान को इकाई के स्थान पर, सैकड़े के स्थान को सैकड़े के स्थान के नीचे लिखते हैं, इत्यादि। इसके बाद आपको अंकों को जोड़े में जोड़ना होगा। यदि अंकों का जोड़ दस के माध्यम से संक्रमण के साथ होता है, तो इस दस को बाईं ओर के अंक के ऊपर एक इकाई के रूप में तय किया जाता है (अर्थात, अगला) और इस अंक के अंकों के साथ जोड़ दिया जाता है।

यदि कॉलम 2 नहीं, बल्कि जोड़ता है अधिक संख्या, तो किसी स्थान के अंकों का योग करते समय, 1 दहाई नहीं, बल्कि कई अनावश्यक हो सकते हैं। इस स्थिति में, ऐसे दहाई की संख्या अगले अंक में स्थानांतरित हो जाती है।

प्राकृतिक संख्याओं को घटाना

घटाव एक अंकगणितीय संक्रिया है, जोड़ का व्युत्क्रम, जो इस तथ्य पर आधारित है कि उपलब्ध योग और एक पद का उपयोग करके, आपको दूसरा - एक अज्ञात शब्द खोजने की आवश्यकता है। जिस संख्या से इसे घटाया जाता है उसे मीनुएंड कहा जाता है; जो संख्या घटाई जा रही है वह घटाई जा सकने वाली है। घटाने के परिणाम को अंतर कहा जाता है। घटाने की क्रिया को दर्शाने के लिए प्रयुक्त चिन्ह “-” है।

जब जोड़ की ओर बढ़ते हैं, तो घटाव और अंतर जोड़ में बदल जाते हैं, और घटाव योग में बदल जाता है। जोड़ का उपयोग आमतौर पर घटाव की शुद्धता की जांच करने के लिए किया जाता है, और इसके विपरीत।

यहां 74 लघुअंत है, 18 उपअंत है, 56 अंतर है।

प्राकृत संख्याओं को घटाने के लिए एक शर्त निम्नलिखित है: मीनूएंड सबट्रेंड से बड़ा होना चाहिए। केवल इस मामले में परिणामी अंतर भी एक प्राकृतिक संख्या होगी। यदि घटाव की क्रिया विस्तारित के लिए की जाती है प्राकृतिक श्रृंखला, तो यह अनुमति दी जाती है कि मीनूएंड सबट्रेंड के बराबर है। और इस स्थिति में घटाने का परिणाम 0 होगा।

ध्यान दें: यदि सबट्रेंड शून्य के बराबर है, तो घटाव ऑपरेशन मीनूएंड के मान को नहीं बदलता है।

बहु-अंकीय संख्याओं का घटाव आमतौर पर एक कॉलम में किया जाता है। संख्याओं को जोड़ के समान ही लिखा जाता है। संगत अंकों के लिए घटाव किया जाता है। यदि यह पता चलता है कि न्यूनतम सबट्रेंड से कम है, तो वे पिछले (बाईं ओर स्थित) अंक से एक लेते हैं, जो स्थानांतरण के बाद, स्वाभाविक रूप से 10 में बदल जाता है। इस दस को दिए गए अंक की संख्या के साथ जोड़ा जाता है खनन किया जा रहा है और फिर घटाव किया जाता है। फिर अगला अंक घटाते समय इस बात का अवश्य ध्यान रखें कि जो कम हो रहा है वह 1 कम हो गया है।

प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल

प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल (या गुणन) एक अंकगणितीय संक्रिया है जो समान पदों की एक मनमानी संख्या का योग ज्ञात करने का प्रतिनिधित्व करता है। गुणन क्रिया लिखने के लिए, चिह्न "·" (कभी-कभी "×" या "*") का उपयोग करें। उदाहरण के लिए: 3·5=15.

जब जोड़ना आवश्यक हो तो गुणन की क्रिया अपरिहार्य है। बड़ी संख्याशर्तें। उदाहरण के लिए, यदि आपको संख्या 4 को 7 बार जोड़ने की आवश्यकता है, तो 4 को 7 से गुणा करना निम्नलिखित जोड़ करने की तुलना में आसान है: 4+4+4+4+4+4+4।

जिन संख्याओं को गुणा किया जाता है उन्हें गुणनखंड कहा जाता है, गुणन के परिणाम को गुणनफल कहा जाता है। तदनुसार, "उत्पाद" शब्द, संदर्भ के आधार पर, गुणन की प्रक्रिया और उसके परिणाम दोनों को व्यक्त कर सकता है।

बहु-अंकीय संख्याओं को एक कॉलम में गुणा किया जाता है। इसके लिए जोड़ और घटाव की तरह ही संख्याएँ लिखी जाती हैं। पहले (ऊपर) 2 संख्याओं में से सबसे लंबी संख्या लिखने की अनुशंसा की जाती है। इस मामले में, गुणन प्रक्रिया सरल होगी और इसलिए, अधिक तर्कसंगत होगी।

किसी कॉलम में गुणा करते समय, दूसरी संख्या के प्रत्येक अंक के अंकों को उसके अंत से शुरू करके, पहली संख्या के अंकों से क्रमिक रूप से गुणा किया जाता है। ऐसा पहला उत्पाद मिलने के बाद, इकाई अंक लिख लें और दहाई अंक को ध्यान में रखें। दूसरी संख्या के अंक को पहली संख्या के अगले अंक से गुणा करने पर जो अंक ध्यान में रखा जाता है उसे गुणनफल में जोड़ दिया जाता है। और फिर, प्राप्त परिणाम की इकाई संख्या लिखें, और दहाई संख्या याद रखें। पहली संख्या के अंतिम अंक से गुणा करने पर इस प्रकार प्राप्त संख्या पूरी लिखी जाती है।

दूसरे नंबर के दूसरे अंक के अंक को गुणा करने के परिणाम को दूसरी पंक्ति में 1 सेल दाईं ओर स्थानांतरित करके लिखा जाता है। और इसी तरह। परिणामस्वरूप, एक "सीढ़ी" प्राप्त होगी। संख्याओं की सभी परिणामी पंक्तियों को जोड़ा जाना चाहिए (स्तंभ जोड़ के नियम के अनुसार)। खाली कोशिकाओं को शून्य से भरा हुआ माना जाना चाहिए। परिणामी योग अंतिम उत्पाद है।

टिप्पणी

1. किसी भी प्राकृत संख्या का गुणनफल 1 (या किसी संख्या का 1) उस संख्या के बराबर होता है। उदाहरण के लिए: 376·1=376; 1·86=86.
2. जब कारकों में से एक या दोनों कारक 0 के बराबर होते हैं, तो उत्पाद 0 के बराबर होता है। उदाहरण के लिए: 32·0=0; 0·845=845; 0·0=0.

प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन

भाग एक अंकगणितीय ऑपरेशन है जिसका उपयोग किया जाता है प्रसिद्ध कार्यऔर कारकों में से एक को दूसरा - अज्ञात - कारक मिल सकता है। भाग गुणन का व्युत्क्रम है और इसका उपयोग यह जांचने के लिए किया जाता है कि गुणन सही ढंग से किया गया है (और इसके विपरीत)।

जो संख्या विभाजित होती है उसे लाभांश कहते हैं; जिस संख्या से विभाजित किया जा रहा है वह भाजक है; विभाजन के परिणाम को भागफल कहा जाता है। विभाजन चिन्ह ":" है (कभी-कभी, कम सामान्यतः, "÷")।

यहां 48 लाभांश है, 6 भाजक है, 8 भागफल है।

सभी प्राकृत संख्याओं को आपस में विभाजित नहीं किया जा सकता। इस स्थिति में, शेषफल से भाग दें। इसमें यह तथ्य शामिल है कि भाजक के लिए एक कारक का चयन किया जाता है जैसे कि भाजक द्वारा इसका उत्पाद एक ऐसी संख्या होगी जो लाभांश के मूल्य के जितना करीब हो सके, लेकिन उससे कम हो। भाजक को इस कारक से गुणा किया जाता है और लाभांश से घटाया जाता है। अंतर विभाजन का शेष भाग होगा। भाजक और गुणनखंड के गुणनफल को अपूर्ण भागफल कहा जाता है। ध्यान दें: शेष राशि चयनित गुणक से कम होनी चाहिए! यदि शेष अधिक है, तो इसका मतलब है कि गुणक गलत तरीके से चुना गया है और इसे बढ़ाया जाना चाहिए।

हम 7 के लिए एक गुणनखंड चुनते हैं। इस मामले में, यह संख्या 5 है। हम अपूर्ण भागफल पाते हैं: 7·5=35। हम शेषफल की गणना करते हैं: 38-35=3. 3 से<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

बहु-अंकीय संख्याओं को एक कॉलम में विभाजित किया गया है। ऐसा करने के लिए, लाभांश और भाजक को एक साथ लिखा जाता है, भाजक को एक ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखा से अलग किया जाता है। लाभांश में, पहला अंक या पहले कुछ अंक (दाहिनी ओर) अलग-थलग होते हैं, जो एक ऐसी संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं जो भाजक द्वारा विभाजित करने के लिए न्यूनतम पर्याप्त हो (अर्थात, यह संख्या भाजक से अधिक होनी चाहिए)। इस संख्या के लिए, एक अपूर्ण भागफल का चयन किया जाता है, जैसा कि शेषफल के साथ विभाजन के नियम में वर्णित है। आंशिक भागफल ज्ञात करने के लिए प्रयुक्त गुणक का अंक भाजक के नीचे लिखा जाता है। अपूर्ण भागफल को विभाजित की जाने वाली संख्या के नीचे दाईं ओर संरेखित करके लिखा जाता है। उनका अंतर ज्ञात कीजिए। लाभांश का अगला अंक इस अंतर के आगे लिखकर निकाल लें। परिणामी संख्या के लिए, भाजक के नीचे पिछले गुणक के बगल में चयनित गुणक के अंक को लिखकर आंशिक भागफल फिर से पाया जाता है। और इसी तरह। ऐसी कार्रवाइयां तब तक की जाती हैं जब तक कि लाभांश के अंक समाप्त न हो जाएं। इसके बाद विभाजन पूरा माना जाता है. यदि लाभांश और भाजक को पूर्ण (शेषफल के बिना) से विभाजित किया जाता है, तो अंतिम अंतर शून्य देगा। अन्यथा शेष अंक प्राप्त होगा।

घातांक

घातांक एक गणितीय संक्रिया है जिसमें समान संख्याओं की एक मनमानी संख्या को गुणा करना शामिल है। उदाहरण के लिए: 2·2·2·2.

ऐसे भाव इस प्रकार लिखे गए हैं: एक एक्स,

कहाँ ए- एक संख्या को स्वयं से गुणा किया गया, एक्स– ऐसे कारकों की संख्या.

अभाज्य और समग्र प्राकृतिक संख्याएँ

1 को छोड़कर प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को कम से कम 2 संख्याओं में विभाजित किया जा सकता है - एक और स्वयं। इस मानदंड के आधार पर, प्राकृतिक संख्याओं को अभाज्य और समग्र में विभाजित किया गया है।

अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य होती हैं। वे संख्याएँ जो इन 2 संख्याओं से अधिक से विभाज्य होती हैं, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। केवल अपने आप से विभाज्य इकाई न तो सरल होती है और न ही समग्र।

अभाज्य संख्याएँ हैं: 2,3,5,7,11,13,17,19, आदि। भाज्य संख्याओं के उदाहरण: 4 (1,2,4 से विभाज्य), 6 (1,2,3,6 से विभाज्य), 20 (1,2,4,5,10,20 से विभाज्य)।

प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है। अभाज्य गुणनखंड से हमारा तात्पर्य इसके भाजक से है, जो अभाज्य संख्याएँ हैं।

अभाज्य गुणनखंडन का उदाहरण:

प्राकृत संख्याओं के भाजक

भाजक वह संख्या है जिससे किसी दी गई संख्या को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जा सकता है।

इस परिभाषा के अनुसार, अभाज्य प्राकृतिक संख्याओं में 2 भाजक होते हैं, भाज्य संख्याओं में 2 से अधिक भाजक होते हैं।

कई संख्याओं में सामान्य गुणनखंड होते हैं। उभयनिष्ठ भाजक वह संख्या होती है जो दी गई संख्याओं को बिना कोई शेष छोड़े विभाजित कर देती है।

• संख्या 12 और 15 का उभयनिष्ठ भाजक 3 है
• संख्या 20 और 30 में उभयनिष्ठ भाजक 2,5,10 हैं

विशेष महत्व का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) है। यह संख्या, विशेष रूप से, कम करने वाली भिन्नों को खोजने में सक्षम होने के लिए उपयोगी है। इसे खोजने के लिए, आपको दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करना होगा और इसे उनकी सबसे छोटी घातों में लिए गए उनके सामान्य अभाज्य गुणनखंडों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत करना होगा।

आपको संख्या 36 और 48 की जीसीडी ढूंढनी होगी।

प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता

आंखों से यह निर्धारित करना हमेशा संभव नहीं होता है कि एक संख्या बिना किसी शेषफल के दूसरी संख्या से विभाज्य है या नहीं। ऐसे मामलों में, विभाज्यता का संगत परीक्षण उपयोगी साबित होता है, अर्थात, एक नियम जिसके द्वारा कुछ ही सेकंड में आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जा सकता है या नहीं। विभाज्यता को दर्शाने के लिए "" चिन्ह का प्रयोग किया जाता है।

न्यूनतम समापवर्तक

यह मात्रा (एलओसी द्वारा दर्शाया गया) सबसे छोटी संख्या है जो दिए गए प्रत्येक से विभाज्य है। प्राकृतिक संख्याओं के मनमाने सेट के लिए एलसीएम पाया जा सकता है।

जीसीडी की तरह एनओसी का भी महत्वपूर्ण व्यावहारिक अर्थ है। तो, यह एलसीएम है जिसे सामान्य भिन्नों को एक सामान्य हर में लाकर खोजने की आवश्यकता है।

एलसीएम दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके निर्धारित किया जाता है। इसे बनाने के लिए, प्रत्येक घटित होने वाले (कम से कम 1 संख्या के लिए) अभाज्य कारकों से युक्त एक उत्पाद लें, जो अधिकतम डिग्री तक दर्शाया गया हो।

आपको संख्या 14 और 24 का एलसीएम ज्ञात करना होगा।

अंकगणित औसत

प्राकृतिक संख्याओं की एक मनमानी (लेकिन सीमित) संख्या का अंकगणितीय माध्य इन सभी संख्याओं के योग को पदों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

अंकगणितीय माध्य किसी संख्यात्मक सेट के लिए कुछ औसत मान है।

दी गई संख्याएँ 2,84,53,176,17,28 हैं। आपको उनका अंकगणितीय माध्य ज्ञात करना होगा।

प्राकृतिक संख्यावे हमारे लिए बहुत परिचित और स्वाभाविक हैं। और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि उनके साथ परिचित होना हमारे जीवन के पहले वर्षों से सहज स्तर पर शुरू होता है।

इस लेख में दी गई जानकारी प्राकृतिक संख्याओं की बुनियादी समझ पैदा करती है, उनके उद्देश्य को प्रकट करती है, और प्राकृतिक संख्याओं को लिखने और पढ़ने का कौशल पैदा करती है। सामग्री को बेहतर ढंग से समझने के लिए आवश्यक उदाहरण और चित्र दिए गए हैं।

पेज नेविगेशन.

प्राकृतिक संख्याएँ - सामान्य प्रतिनिधित्व।

निम्नलिखित राय ठोस तर्क के बिना नहीं है: वस्तुओं को गिनने के कार्य (पहली, दूसरी, तीसरी वस्तु, आदि) और वस्तुओं की संख्या (एक, दो, तीन वस्तुओं, आदि) को इंगित करने के कार्य के उद्भव के कारण इसे हल करने के लिए एक उपकरण का निर्माण, ये थे उपकरण प्राकृतिक संख्या.

इस वाक्य से यह स्पष्ट है प्राकृतिक संख्याओं का मुख्य उद्देश्य- विचाराधीन वस्तुओं के सेट में किसी आइटम की संख्या या किसी दिए गए आइटम की क्रम संख्या के बारे में जानकारी रखें।

किसी व्यक्ति को प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करने के लिए, उन्हें किसी तरह से धारणा और पुनरुत्पादन दोनों के लिए सुलभ होना चाहिए। यदि आप प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को आवाज देते हैं, तो यह कानों द्वारा समझ में आ जाएगी, और यदि आप एक प्राकृतिक संख्या का चित्रण करते हैं, तो इसे देखा जा सकता है। ये प्राकृतिक संख्याओं को व्यक्त करने और समझने के सबसे प्राकृतिक तरीके हैं।

तो आइए, प्राकृतिक संख्याओं का अर्थ सीखते हुए उन्हें चित्रित करने (लिखने) और बोलने (पढ़ने) का कौशल हासिल करना शुरू करें।

किसी प्राकृतिक संख्या का दशमलव अंकन.

सबसे पहले हमें यह तय करना होगा कि प्राकृत संख्याएँ लिखते समय हम किससे शुरुआत करेंगे।

आइए निम्नलिखित पात्रों की छवियों को याद रखें (हम उन्हें अल्पविराम से अलग करके दिखाएंगे): 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . दिखाए गए चित्र तथाकथित की रिकॉर्डिंग हैं नंबर. आइए तुरंत इस बात पर सहमत हों कि रिकॉर्डिंग करते समय संख्याओं को पलटें, झुकाएं या अन्यथा विकृत न करें।

अब मान लेते हैं कि किसी भी प्राकृत संख्या के अंकन में केवल संकेतित अंक ही मौजूद हो सकते हैं और कोई अन्य प्रतीक मौजूद नहीं हो सकते। आइए इस बात पर भी सहमत हों कि किसी प्राकृतिक संख्या के अंकन में अंकों की ऊंचाई समान होती है, वे एक के बाद एक पंक्ति में व्यवस्थित होते हैं (लगभग कोई इंडेंटेशन नहीं) और बाईं ओर अंक के अलावा एक अंक होता है 0 .

यहां प्राकृतिक संख्याओं के सही लेखन के कुछ उदाहरण दिए गए हैं: 604 , 777 277 , 81 , 4 444 , 1 001 902 203, 5 , 900 000 (कृपया ध्यान दें: संख्याओं के बीच इंडेंट हमेशा समान नहीं होते हैं, समीक्षा करते समय इसके बारे में अधिक चर्चा की जाएगी)। उपरोक्त उदाहरणों से यह स्पष्ट है कि किसी प्राकृतिक संख्या के अंकन में आवश्यक रूप से सभी अंक शामिल नहीं होते हैं 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; किसी प्राकृतिक संख्या को लिखने में शामिल कुछ या सभी अंकों को दोहराया जा सकता है।

पदों 014 , 0005 , 0 , 0209 ये प्राकृतिक संख्याओं के रिकॉर्ड नहीं हैं, क्योंकि बायीं ओर एक अंक है 0 .

इस पैराग्राफ में वर्णित सभी आवश्यकताओं को ध्यान में रखते हुए बनाई गई एक प्राकृतिक संख्या को लिखना कहा जाता है किसी प्राकृतिक संख्या का दशमलव अंकन.

इसके अलावा हम प्राकृतिक संख्याओं और उनके लेखन के बीच अंतर नहीं करेंगे। आइए इसे समझाएं: आगे पाठ में हम "एक प्राकृतिक संख्या दी गई" जैसे वाक्यांशों का उपयोग करेंगे 582 ", जिसका अर्थ होगा कि एक प्राकृतिक संख्या दी गई है, जिसके अंकन का रूप है 582 .

वस्तुओं की संख्या के अर्थ में प्राकृतिक संख्याएँ।

लिखित प्राकृतिक संख्या के मात्रात्मक अर्थ को समझने का समय आ गया है। वस्तुओं की संख्या के संदर्भ में प्राकृतिक संख्याओं के अर्थ पर प्राकृतिक संख्याओं की तुलना लेख में चर्चा की गई है।

आइए प्राकृतिक संख्याओं से शुरू करें, जिनकी प्रविष्टियाँ अंकों की प्रविष्टियों, अर्थात् संख्याओं के साथ मेल खाती हैं 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 और 9 .

आइए कल्पना करें कि हमने अपनी आँखें खोलीं और कोई वस्तु देखी, उदाहरण के लिए, इस तरह। इस मामले में, हम जो देखते हैं उसे लिख सकते हैं 1 वस्तु। प्राकृतिक संख्या 1 को इस प्रकार पढ़ा जाता है " एक"(अंक "एक", साथ ही अन्य अंकों की गिरावट, हम पैराग्राफ में देंगे), संख्या के लिए 1 एक और नाम अपनाया गया है - " इकाई».

हालाँकि, प्राकृतिक संख्या के अलावा, "इकाई" शब्द बहु-मूल्यवान है 1 , समग्र रूप से मानी जाने वाली किसी चीज़ को कॉल करें। उदाहरण के लिए, उनकी अनेक वस्तुओं में से किसी एक वस्तु को एक इकाई कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, सेबों के समूह में से कोई भी सेब एक इकाई है, पक्षियों के समूह में से पक्षियों का कोई झुंड भी एक इकाई है, आदि।

अब हम अपनी आँखें खोलते हैं और देखते हैं: . अर्थात् हम एक वस्तु को दूसरी वस्तु देखते हैं। इस मामले में, हम जो देखते हैं उसे लिख सकते हैं 2 विषय। प्राकृतिक संख्या 2 , पढ़ता है " दो».

वैसे ही, - 3 विषय (पढ़ें " तीन" विषय), - 4 (« चार") विषय, - 5 (« पाँच»), - 6 (« छह»), - 7 (« सात»), - 8 (« आठ»), - 9 (« नौ") सामान।

तो, विचारित स्थिति से, प्राकृतिक संख्याएँ 1 , 2 , 3 , …, 9 संकेत देना मात्रासामान।

वह संख्या जिसका अंकन किसी अंक के अंकन से मेल खाता हो 0 , बुलाया " शून्य" संख्या शून्य एक प्राकृतिक संख्या नहीं है, हालाँकि, इसे आमतौर पर प्राकृतिक संख्याओं के साथ माना जाता है। याद रखें: शून्य का अर्थ है किसी चीज़ का अभाव। उदाहरण के लिए, शून्य आइटम कोई एकल आइटम नहीं है.

लेख के निम्नलिखित पैराग्राफों में हम मात्राओं को इंगित करने के संदर्भ में प्राकृतिक संख्याओं के अर्थ को प्रकट करना जारी रखेंगे।

एकल अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ।

जाहिर है, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या की रिकॉर्डिंग 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 एक अक्षर - एक संख्या से मिलकर बनता है।

परिभाषा।

एकल अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ– ये प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जिनकी वर्तनी में एक चिह्न - एक अंक होता है।

आइए सभी एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं को सूचीबद्ध करें: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . कुल मिलाकर नौ एकल-अंकीय प्राकृत संख्याएँ हैं।

दो अंकों और तीन अंकों की प्राकृतिक संख्याएँ।

सबसे पहले, आइए दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं को परिभाषित करें।

परिभाषा।

दो अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ– ये प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जिनकी रिकॉर्डिंग में दो चिह्न होते हैं - दो अंक (अलग-अलग या समान)।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक संख्या 45 – दो अंकों की संख्या 10 , 77 , 82 भी दो अंक, और 5 490 , 832 , 90 037 – दो अंकीय नहीं.

आइए जानें कि दो-अंकीय संख्याओं का क्या अर्थ है, जबकि हम एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं के मात्रात्मक अर्थ पर निर्माण करेंगे जो हम पहले से ही जानते हैं।

आरंभ करने के लिए, आइए अवधारणा का परिचय दें दस.

आइए इस स्थिति की कल्पना करें - हमने अपनी आँखें खोलीं और एक सेट देखा जिसमें नौ वस्तुएँ और एक अन्य वस्तु थी। ऐसे में वे बात करते हैं 1 दस (एक दर्जन) आइटम। यदि एक दस और दूसरे दस को एक साथ माना जाए तो वे बोलते हैं 2 दसियों (दो दर्जन)। यदि हम दो दहाई में दस और जोड़ दें, तो हमारे पास तीन दहाई होंगी। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हमें चार दहाई, पाँच दहाई, छह दहाई, सात दहाई, आठ दहाई और अंततः नौ दहाई प्राप्त होंगे।

अब हम दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं के सार की ओर आगे बढ़ सकते हैं।

ऐसा करने के लिए, आइए दो-अंकीय संख्या को दो एकल-अंकीय संख्याओं के रूप में देखें - एक दो-अंकीय संख्या के अंकन में बाईं ओर है, दूसरा दाईं ओर है। बाईं ओर की संख्या दहाई की संख्या को इंगित करती है, और दाईं ओर की संख्या इकाइयों की संख्या को इंगित करती है। इसके अलावा, यदि दो अंकों की संख्या के दाईं ओर एक अंक है 0 , तो इसका मतलब इकाइयों की अनुपस्थिति है। मात्राओं को इंगित करने के संदर्भ में यह दो अंकों की प्राकृतिक संख्याओं का संपूर्ण बिंदु है।

उदाहरण के लिए, दो अंकों की प्राकृतिक संख्या 72 मेल खाती है 7 दर्जनों और 2 इकाइयाँ (अर्थात्, 72 सेब सात दर्जन सेबों और दो अन्य सेबों का एक सेट है), और संख्या 30 जवाब 3 दर्जनों और 0 ऐसी कोई इकाइयाँ नहीं हैं, अर्थात् ऐसी इकाइयाँ जो दहाई में संयोजित न हों।

आइए इस प्रश्न का उत्तर दें: "दो अंकों वाली कितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं?" उन्हें जवाब 90 .

आइए तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा पर आगे बढ़ें।

परिभाषा।

प्राकृतिक संख्याएँ जिनके अंकन में शामिल हैं 3 संकेत - 3 संख्याएँ (अलग-अलग या दोहराई जाने वाली) कहलाती हैं तीन अंकों.

प्राकृतिक तीन अंकीय संख्याओं के उदाहरण हैं 372 , 990 , 717 , 222 . प्राकृतिक संख्या 7 390 , 10 011 , 987 654 321 234 567 तीन अंकीय नहीं हैं.

तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं में निहित अर्थ को समझने के लिए हमें इस अवधारणा की आवश्यकता है सैकड़ों.

दस दहाई का समुच्चय है 1 सौ (एक सौ). एक सौ और एक सौ है 2 सैकड़ों. दो सौ और दूसरा सौ तीन सौ है। और इसी तरह, हमारे पास चार सौ, पांच सौ, छह सौ, सात सौ, आठ सौ और अंततः नौ सौ हैं।

आइए अब तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्या को तीन एकल अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं के रूप में देखें, जो तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्या के संकेतन में दाएं से बाएं ओर एक-दूसरे का अनुसरण करती हैं। दाईं ओर की संख्या इकाइयों की संख्या को इंगित करती है, अगली संख्या दहाई की संख्या को इंगित करती है, और अगली संख्या सैकड़ों की संख्या को इंगित करती है। नंबर 0 तीन अंकों की संख्या लिखने में दहाई और (या) इकाइयों की अनुपस्थिति का मतलब है।

इस प्रकार, तीन अंकों की एक प्राकृतिक संख्या 812 मेल खाती है 8 सैकड़ों, 1 दस और 2 इकाइयाँ; संख्या 305 - तीन सौ ( 0 दहाई, अर्थात्, ऐसा कोई दहाई नहीं है जो सैकड़ों में संयुक्त न हो) और 5 इकाइयाँ; संख्या 470 - चार सैकड़ा और सात दहाई (ऐसी कोई इकाई नहीं है जो दहाई में संयुक्त न हो); संख्या 500 - पाँच सैकड़े (ऐसी कोई इकाई नहीं है जो सैकड़ों में न जोड़ी गई हो, और ऐसी कोई इकाई नहीं है जो दहाई में न जोड़ी गई हो)।

इसी प्रकार, कोई चार-अंकीय, पाँच-अंकीय, छह-अंकीय आदि को परिभाषित कर सकता है। प्राकृतिक संख्या।

बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ।

तो, आइए बहु-मूल्यवान प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा पर आगे बढ़ें।

परिभाषा।

बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ- ये प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जिनके अंकन में दो या तीन या चार आदि होते हैं। संकेत. दूसरे शब्दों में, बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याएँ दो-अंकीय, तीन-अंकीय, चार-अंकीय आदि होती हैं। नंबर.

आइए तुरंत कहें कि एक सेट जिसमें दस सौ शामिल हैं एक हजार, एक हजार हजार है एक करोड़, एक हजार करोड़ है एक अरब, एक हजार अरब है एक ट्रिलियन. एक हजार ट्रिलियन, एक हजार हजार ट्रिलियन इत्यादि को भी अपना नाम दिया जा सकता है, लेकिन इसकी कोई विशेष आवश्यकता नहीं है।

तो बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं के पीछे क्या अर्थ है?

आइए एक बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या को एकल-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं के रूप में देखें जो दाएँ से बाएँ एक के बाद एक चलती हैं। दाईं ओर की संख्या इकाइयों की संख्या को इंगित करती है, अगली संख्या दहाई की संख्या है, अगली संख्या सैकड़ों की संख्या है, फिर हजारों की संख्या है, फिर दसियों हजार की संख्या है, फिर सैकड़ों हजारों की संख्या है, फिर संख्या है लाखों, फिर दसियों लाख की संख्या, फिर सैकड़ों लाखों, फिर - अरबों की संख्या, फिर - दसियों अरबों की संख्या, फिर - सैकड़ों अरब, फिर - खरब, फिर - दसियों खरब, फिर - सैकड़ों ट्रिलियन इत्यादि।

उदाहरण के लिए, एक बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या 7 580 521 मेल खाती है 1 इकाई, 2 दर्जनों, 5 सैकड़ों, 0 हजारों, 8 हजारों की संख्या में, 5 सैकड़ों हजारों और 7 लाखों.

इस प्रकार, हमने इकाइयों को दहाई में, दहाई को सैकड़ों में, सैकड़ों को हजारों में, हजारों को दसियों हजार में, इत्यादि में समूहित करना सीखा, और पाया कि बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या के अंकन में संख्याएँ संबंधित संख्या को दर्शाती हैं। उपरोक्त समूह.

प्राकृतिक संख्याएँ, कक्षाएं पढ़ना।

हम पहले ही बता चुके हैं कि एकल-अंकीय प्राकृत संख्याएँ कैसे पढ़ी जाती हैं। आइए निम्नलिखित तालिकाओं की सामग्री को याद करें।

शेष दो अंकों की संख्याएँ कैसे पढ़ी जाती हैं?

चलिए एक उदाहरण से समझाते हैं. आइए प्राकृतिक संख्या पढ़ें 74 . जैसा कि हमने ऊपर पाया, यह संख्या मेल खाती है 7 दर्जनों और 4 इकाइयाँ, अर्थात्, 70 और 4 . हम उन तालिकाओं की ओर मुड़ते हैं जिन्हें हमने अभी दर्ज किया है, और संख्या 74 हम इसे इस प्रकार पढ़ते हैं: "सत्तर-चार" (हम संयोजन "और" का उच्चारण नहीं करते हैं)। यदि आपको कोई संख्या पढ़ने की आवश्यकता है 74 वाक्य में: "नहीं 74 सेब" (जननात्मक मामला), तो यह इस तरह सुनाई देगा: "कोई चौहत्तर सेब नहीं हैं।" एक और उदाहरण. संख्या 88 - यह 80 और 8 , इसलिए, हम पढ़ते हैं: "अट्ठासी।" और यहां एक वाक्य का उदाहरण दिया गया है: "वह अट्ठासी रूबल के बारे में सोच रहा है।"

आइए तीन अंकों वाली प्राकृत संख्याओं को पढ़ने की ओर आगे बढ़ें।

ऐसा करने के लिए हमें कुछ और नये शब्द सीखने होंगे।

यह दिखाना बाकी है कि शेष तीन अंकों की प्राकृतिक संख्याएँ कैसे पढ़ी जाती हैं। इस मामले में, हम एकल-अंकीय और दोहरे-अंकीय संख्याओं को पढ़ने में पहले से हासिल किए गए कौशल का उपयोग करेंगे।

आइए एक उदाहरण देखें. आइए पढ़ते हैं नंबर 107 . यह संख्या मेल खाती है 1 सौ और 7 इकाइयाँ, अर्थात्, 100 और 7 . मेजों की ओर मुड़ते हुए, हम पढ़ते हैं: "एक सौ सात।" अब संख्या बताते हैं 217 . यह संख्या है 200 और 17 , इसलिए, हम पढ़ते हैं: "दो सौ सत्रह।" वैसे ही, 888 - यह 800 (आठ सौ) और 88 (अट्ठासी आठ), हम पढ़ते हैं: "आठ सौ अट्ठासी।"

आइए बहु-अंकीय संख्याओं को पढ़ने के लिए आगे बढ़ें।

पढ़ने के लिए, एक बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या के रिकॉर्ड को, दाईं ओर से शुरू करके, तीन अंकों के समूहों में विभाजित किया जाता है, और सबसे बाईं ओर ऐसे समूह में से कोई भी हो सकता है 1 , या 2 , या 3 नंबर. इन समूहों को कहा जाता है कक्षाओं. दाईं ओर की कक्षा कहलाती है इकाइयों का वर्ग. इसके बाद वाला वर्ग (दाएँ से बाएँ) कहलाता है हजारों की कक्षा, अगली कक्षा - मिलियन वर्ग, अगला - अरब वर्ग, अगला आता है खरब वर्ग. आप निम्नलिखित वर्गों के नाम दे सकते हैं, लेकिन प्राकृतिक संख्याएँ, जिनमें से अंकन शामिल हैं 16 , 17 , 18 वगैरह। संकेत आमतौर पर पढ़े नहीं जाते, क्योंकि उन्हें कान से समझना बहुत मुश्किल होता है।

बहु-अंकीय संख्याओं को वर्गों में विभाजित करने के उदाहरण देखें (स्पष्टता के लिए, वर्गों को एक छोटे इंडेंट द्वारा एक दूसरे से अलग किया जाता है): 489 002 , 10 000 501 , 1 789 090 221 214 .

आइए नीचे लिखी प्राकृतिक संख्याओं को एक तालिका में रखें जिससे उन्हें पढ़ना सीखना आसान हो जाए।

किसी प्राकृत संख्या को पढ़ने के लिए, हम उसके घटक संख्याओं को बाएँ से दाएँ वर्ग के अनुसार बुलाते हैं और वर्ग का नाम जोड़ते हैं। साथ ही, हम इकाइयों के वर्ग के नाम का उच्चारण नहीं करते हैं, और उन वर्गों को भी छोड़ देते हैं जो तीन अंक बनाते हैं 0 . यदि कक्षा प्रविष्टि में बाईं ओर एक संख्या है 0 या दो अंक 0 , तो हम इन नंबरों को नजरअंदाज कर देते हैं 0 और इन संख्याओं को हटाकर प्राप्त संख्या को पढ़ें 0 . उदाहरण के लिए, 002 "दो" के रूप में पढ़ें, और 025 - जैसा कि "पच्चीस" में है।

आइए पढ़ते हैं नंबर 489 002 दिए गए नियमों के अनुसार.

हम बाएँ से दाएँ पढ़ते हैं,

• संख्या पढ़ें 489 , हज़ारों के वर्ग का प्रतिनिधित्व करते हुए, "चार सौ अस्सी-नौ" है;
• वर्ग का नाम जोड़ें, हमें "चार सौ उन्यासी हजार" मिलता है;
• आगे इकाइयों के वर्ग में हम देखते हैं 002 , बाईं ओर शून्य हैं, इसलिए हम उन्हें अनदेखा कर देते हैं 002 "दो" के रूप में पढ़ें;
• इकाई वर्ग का नाम जोड़ने की कोई आवश्यकता नहीं है;
• अंत में हमारे पास है 489 002 - "चार सौ उन्यासी हजार दो।"

आइए संख्या पढ़ना शुरू करें 10 000 501 .

• लाखों की श्रेणी में बायीं ओर हमें संख्या दिखाई देती है 10 , "दस" पढ़ें;
• वर्ग का नाम जोड़ें, हमारे पास "दस मिलियन" हैं;
• फिर हम प्रविष्टि देखते हैं 000 हज़ार वर्ग में, चूँकि सभी तीन अंक अंक हैं 0 , फिर हम इस कक्षा को छोड़ देते हैं और अगली कक्षा में चले जाते हैं;
• इकाइयों का वर्ग संख्या को दर्शाता है 501 , जिसे हम "पांच सौ एक" पढ़ते हैं;
• इस प्रकार, 10 000 501 - दस करोड़ पांच सौ एक.

आइए विस्तृत विवरण के बिना ऐसा करें: 1 789 090 221 214 - "एक ट्रिलियन सात सौ उन्यासी अरब नब्बे मिलियन दो सौ इक्कीस हजार दो सौ चौदह।"

तो, बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्याओं को पढ़ने के कौशल का आधार बहु-अंकीय संख्याओं को वर्गों में विभाजित करने की क्षमता, वर्गों के नामों का ज्ञान और तीन-अंकीय संख्याओं को पढ़ने की क्षमता है।

किसी प्राकृत संख्या के अंक, अंक का मान।

किसी प्राकृत संख्या को लिखने में प्रत्येक अंक का अर्थ उसकी स्थिति पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक संख्या 539 मेल खाती है 5 सैकड़ों, 3 दर्जनों और 9 इकाइयाँ, इसलिए, आंकड़ा 5 संख्या लिखने में 539 सैकड़ों की संख्या, अंक निर्धारित करता है 3 - दहाई की संख्या और अंक 9 - इकाइयों की संख्या. साथ ही उनका कहना है कि आंकड़ा 9 में लागत इकाई अंकऔर संख्या 9 है इकाई अंक मान, संख्या 3 में लागत दहाई का स्थानऔर संख्या 3 है दहाई का स्थानीय मान, और आंकड़ा 5 - वी सैकड़ों स्थानऔर संख्या 5 है सैकड़ा स्थानीय मान.

इस प्रकार, स्राव होना- एक ओर, यह एक प्राकृतिक संख्या के अंकन में एक अंक की स्थिति है, और दूसरी ओर, इस अंक का मान, इसकी स्थिति से निर्धारित होता है।

श्रेणियों को नाम दिए गए हैं. यदि आप किसी प्राकृतिक संख्या के अंकन में संख्याओं को दाएँ से बाएँ देखते हैं, तो वे निम्नलिखित अंकों के अनुरूप होंगे: इकाइयाँ, दहाई, सैकड़ों, हज़ार, दसियों हज़ार, सैकड़ों हज़ार, लाखों, दसियों लाखों, और जल्द ही।

जब श्रेणियों को तालिका के रूप में प्रस्तुत किया जाता है तो उनके नाम याद रखना सुविधाजनक होता है। आइए एक तालिका लिखें जिसमें 15 श्रेणियों के नाम हों।

ध्यान दें कि किसी दी गई प्राकृतिक संख्या के अंकों की संख्या इस संख्या को लिखने में शामिल वर्णों की संख्या के बराबर होती है। इस प्रकार, रिकॉर्ड की गई तालिका में सभी प्राकृतिक संख्याओं के अंकों के नाम होते हैं, जिनकी रिकॉर्डिंग में 15 अक्षर तक होते हैं। निम्नलिखित रैंकों के भी अपने नाम हैं, लेकिन उनका उपयोग बहुत कम किया जाता है, इसलिए उनका उल्लेख करने का कोई मतलब नहीं है।

अंकों की तालिका का उपयोग करके किसी दी गई प्राकृतिक संख्या के अंक निर्धारित करना सुविधाजनक है। ऐसा करने के लिए, आपको इस प्राकृतिक संख्या को इस तालिका में लिखना होगा ताकि प्रत्येक अंक में एक अंक हो, और सबसे दाहिना अंक इकाई अंक में हो।

चलिए एक उदाहरण देते हैं. आइए एक प्राकृत संख्या लिखें 67 922 003 942 तालिका में, और इन अंकों के अंक और अर्थ स्पष्ट रूप से दिखाई देने लगेंगे।

इस संख्या में संख्या है 2 इकाई स्थान, अंक में खड़ा है 4 – दहाई के स्थान पर, अंक 9 - सैकड़ों स्थान पर, आदि। आपको संख्याओं पर ध्यान देना चाहिए 0 , हजारों और सैकड़ों हजारों श्रेणियों में स्थित है। नंबर 0 इन अंकों में इन अंकों की इकाइयों का अभाव है।

यह बहु-अंकीय प्राकृतिक संख्या के तथाकथित निम्नतम (कनिष्ठ) और उच्चतम (सबसे महत्वपूर्ण) अंक का उल्लेख करने योग्य भी है। सबसे निचली (जूनियर) रैंककिसी भी बहुअंकीय प्राकृतिक संख्या का इकाई अंक होता है। किसी प्राकृतिक संख्या का उच्चतम (सबसे महत्वपूर्ण) अंकइस संख्या की रिकॉर्डिंग में सबसे दाहिने अंक के अनुरूप अंक है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्या 23,004 का निम्न-क्रम अंक इकाई अंक है, और उच्चतम अंक दसियों हजार अंक है। यदि किसी प्राकृत संख्या के अंकन में हम बायीं से दायीं ओर अंकों द्वारा चलते हैं, तो प्रत्येक आगामी अंक निचला (छोटा)पिछला वाला. उदाहरण के लिए, हज़ारों की रैंक दसियों हज़ारों की रैंक से कम है, और इससे भी अधिक हज़ारों की रैंक सैकड़ों हज़ारों, लाखों, लाखों, आदि की रैंक से कम है। यदि किसी प्राकृत संख्या के अंकन में हम दाएँ से बाएँ अंकों की ओर बढ़ते हैं, तो प्रत्येक आगामी अंक लंबा (पुराना)पिछला वाला. उदाहरण के लिए, सैकड़े का अंक दहाई के अंक से पुराना है, और इससे भी अधिक, इकाई के अंक से भी पुराना है।

कुछ मामलों में (उदाहरण के लिए, जोड़ या घटाव करते समय), प्राकृतिक संख्या का उपयोग नहीं किया जाता है, बल्कि इस प्राकृतिक संख्या के अंकों के योग का उपयोग किया जाता है।

दशमलव संख्या प्रणाली के बारे में संक्षेप में।

तो, हम प्राकृतिक संख्याओं, उनमें निहित अर्थ और दस अंकों का उपयोग करके प्राकृतिक संख्याओं को लिखने के तरीके से परिचित हुए।

सामान्यतः चिन्हों का प्रयोग करके संख्याएँ लिखने की विधि कहलाती है संख्या प्रणाली. किसी संख्या अंकन में किसी अंक का अर्थ उसकी स्थिति पर निर्भर हो भी सकता है और नहीं भी। वे संख्या प्रणालियाँ जिनमें किसी संख्या में किसी अंक का मान उसकी स्थिति पर निर्भर करता है, कहलाती है अवस्था का.

इस प्रकार, जिन प्राकृतिक संख्याओं की हमने जांच की और उन्हें लिखने की विधि से संकेत मिलता है कि हम एक स्थितीय संख्या प्रणाली का उपयोग करते हैं। ज्ञात हो कि इस संख्या प्रणाली में अंक का एक विशेष स्थान होता है 10 . वास्तव में, गिनती दहाई में की जाती है: दस को मिलाकर दस बनाया जाता है, एक दर्जन दहाई को एक सौ में जोड़ा जाता है, एक दर्जन सैकड़ों को एक हजार में जोड़ा जाता है, इत्यादि। संख्या 10 बुलाया आधारदी गई संख्या प्रणाली, और संख्या प्रणाली को ही कहा जाता है दशमलव.

दशमलव संख्या प्रणाली के अलावा, अन्य भी हैं, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर विज्ञान में बाइनरी पोजिशनल संख्या प्रणाली का उपयोग किया जाता है, और जब समय मापने की बात आती है तो हम सेक्सजेसिमल प्रणाली का सामना करते हैं।

सन्दर्भ.

• अंक शास्त्र। सामान्य शिक्षा संस्थानों की 5वीं कक्षा के लिए कोई पाठ्यपुस्तक।

प्राकृतिक संख्या

प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा धनात्मक पूर्णांक हैं। प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग वस्तुओं को गिनने और कई अन्य उद्देश्यों के लिए किया जाता है। ये संख्याएँ हैं:

यह संख्याओं की एक प्राकृतिक श्रृंखला है।
क्या शून्य एक प्राकृतिक संख्या है? नहीं, शून्य कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है.
प्राकृतिक संख्याएँ कितनी हैं? प्राकृतिक संख्याओं की संख्या अनंत है।
सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या कौन सी है? एक सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है.
सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या कौन सी है? इसे इंगित करना असंभव है, क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं की संख्या अनंत है।

प्राकृतिक संख्याओं का योग एक प्राकृतिक संख्या है। तो, प्राकृत संख्याओं a और b को जोड़ने पर:

प्राकृत संख्याओं का गुणनफल एक प्राकृत संख्या है। तो, प्राकृतिक संख्याओं a और b का गुणनफल:

c सदैव एक प्राकृतिक संख्या है.

प्राकृत संख्याओं का अंतर सदैव कोई प्राकृत संख्या नहीं होती। यदि लघुअंत उपट्रेंड से अधिक है, तो प्राकृतिक संख्याओं का अंतर एक प्राकृतिक संख्या है, अन्यथा यह नहीं है।

प्राकृत संख्याओं का भागफल सदैव प्राकृत संख्या नहीं होता। यदि प्राकृत संख्याओं a और b के लिए

जहाँ c एक प्राकृतिक संख्या है, इसका मतलब है कि a, b से विभाज्य है। इस उदाहरण में, a लाभांश है, b भाजक है, c भागफल है।

किसी प्राकृत संख्या का भाजक वह प्राकृत संख्या होती है जिससे पहली संख्या पूर्णांक से विभाज्य होती है।

प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एक और स्वयं से विभाज्य होती है।

अभाज्य प्राकृतिक संख्याएँ केवल एक और स्वयं से विभाज्य होती हैं। यहां हमारा तात्पर्य पूरी तरह विभाजित से है। उदाहरण, संख्या 2; 3; 5; 7 केवल एक और स्वयं से विभाज्य है। ये सरल प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

एक को अभाज्य संख्या नहीं माना जाता है।

वे संख्याएँ जो एक से बड़ी हैं और जो अभाज्य नहीं हैं, भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। भाज्य संख्याओं के उदाहरण:

एक को भाज्य संख्या नहीं माना जाता है।

प्राकृत संख्याओं का समुच्चय एक है, प्रमुख संख्याऔर भाज्य संख्याएँ।

प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को लैटिन अक्षर N द्वारा निरूपित किया जाता है।

प्राकृत संख्याओं के योग और गुणन के गुण:

जोड़ का क्रमविनिमेय गुण

जोड़ की साहचर्य संपत्ति

(ए + बी) + सी = ए + (बी + सी);

गुणन का क्रमविनिमेय गुण

गुणन का साहचर्य गुण

(एबी)सी = ए(बीसी);

गुणन की वितरणात्मक संपत्ति

ए (बी + सी) = एबी + एसी;

पूर्णांकों

पूर्णांक प्राकृतिक संख्याएँ, शून्य और प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत हैं।

प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत ऋणात्मक पूर्णांक होते हैं, उदाहरण के लिए:

1; -2; -3; -4;...

पूर्णांकों के समुच्चय को लैटिन अक्षर Z द्वारा दर्शाया जाता है।

भिन्नात्मक संख्याएं

परिमेय संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ और भिन्न होती हैं।

किसी भी परिमेय संख्या को आवर्त भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

उदाहरणों से यह स्पष्ट है कि कोई भी पूर्णांक आवर्त शून्य वाला एक आवर्त भिन्न होता है।

किसी भी परिमेय संख्या को भिन्न m/n के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृतिक संख्या है। आइए पिछले उदाहरण से संख्या 3,(6) की ऐसे भिन्न के रूप में कल्पना करें।