गणित की उत्पत्ति तब हुई जब मनुष्य स्वयं के प्रति जागरूक हुआ और स्वयं को विश्व की एक स्वायत्त इकाई के रूप में स्थापित करने लगा। आपके चारों ओर जो कुछ भी है उसे मापने, तुलना करने, गिनने की इच्छा - यही वह चीज़ है जो इसका आधार है बुनियादी विज्ञानहमारे दिन। सबसे पहले, ये प्रारंभिक गणित के कण थे, जिससे संख्याओं को उनकी भौतिक अभिव्यक्तियों से जोड़ना संभव हो गया, बाद में निष्कर्ष केवल सैद्धांतिक रूप से प्रस्तुत किए जाने लगे (उनके अमूर्त होने के कारण), लेकिन कुछ समय बाद, जैसा कि एक वैज्ञानिक ने कहा, " गणित जटिलता की चरम सीमा पर पहुँच गया जब उसमें से सभी संख्याएँ गायब हो गईं।" "वर्गमूल" की अवधारणा ऐसे समय में सामने आई जब इसे गणना के स्तर से परे, अनुभवजन्य डेटा द्वारा आसानी से समर्थित किया जा सकता था।
यह सब कहां से शुरू हुआ
जड़ का पहला उल्लेख, जो है इस समय√ के रूप में दर्शाया गया, बेबीलोनियाई गणितज्ञों के कार्यों में दर्ज किया गया था, जिन्होंने आधुनिक अंकगणित की नींव रखी थी। बेशक, वे मौजूदा स्वरूप से बहुत कम समानता रखते थे - उन वर्षों के वैज्ञानिकों ने पहली बार भारी गोलियों का इस्तेमाल किया था। लेकिन दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व में। ई. उन्होंने एक अनुमानित गणना सूत्र निकाला जिसमें दिखाया गया कि वर्गमूल कैसे निकाला जाता है। नीचे दी गई तस्वीर में एक पत्थर दिखाया गया है जिस पर बेबीलोन के वैज्ञानिकों ने √2 निकालने की प्रक्रिया को उकेरा, और यह इतना सही निकला कि उत्तर में विसंगति केवल दशमलव के दसवें स्थान पर पाई गई।
इसके अलावा, यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा ज्ञात करना आवश्यक हो तो मूल का उपयोग किया जाता था, बशर्ते कि अन्य दो ज्ञात हों। खैर, द्विघात समीकरणों को हल करते समय मूल निकालने से कोई बच नहीं सकता।
बेबीलोनियाई कार्यों के साथ-साथ, लेख के उद्देश्य का अध्ययन चीनी कार्य "नौ पुस्तकों में गणित" में भी किया गया था और प्राचीन यूनानी इस निष्कर्ष पर पहुंचे थे कि कोई भी संख्या जिसमें से शेषफल के बिना मूल नहीं निकाला जा सकता है, एक तर्कहीन परिणाम देती है। .
इस शब्द की उत्पत्ति संख्या के अरबी प्रतिनिधित्व से जुड़ी है: प्राचीन वैज्ञानिकों का मानना था कि एक मनमानी संख्या का वर्ग एक पौधे की तरह जड़ से बढ़ता है। लैटिन में, यह शब्द रेडिक्स की तरह लगता है (आप एक पैटर्न का पता लगा सकते हैं - हर चीज जिसका "मूल" अर्थ है वह व्यंजन है, चाहे वह मूली हो या रेडिकुलिटिस)।
बाद की पीढ़ियों के वैज्ञानिकों ने इस विचार को अपनाया और इसे आरएक्स नाम दिया। उदाहरण के लिए, 15वीं शताब्दी में, यह इंगित करने के लिए कि एक मनमानी संख्या a का वर्गमूल लिया गया था, उन्होंने R 2 a लिखा। आधुनिक आँखों से परिचित "टिक", रेने डेसकार्टेस की बदौलत केवल 17वीं शताब्दी में दिखाई दिया।
हमारे दिन
गणितीय शब्दों में, संख्या y का वर्गमूल वह संख्या z है जिसका वर्ग y के बराबर है। दूसरे शब्दों में, z 2 =y, √y=z के बराबर है। तथापि यह परिभाषाकेवल अंकगणितीय मूल के लिए प्रासंगिक है, क्योंकि यह अभिव्यक्ति के गैर-नकारात्मक मान को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, √y=z, जहां z 0 से बड़ा या उसके बराबर है।
सामान्य तौर पर, जो बीजीय मूल निर्धारित करने पर लागू होता है, अभिव्यक्ति का मान या तो सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है। इस प्रकार, इस तथ्य के कारण कि z 2 =y और (-z) 2 =y, हमारे पास है: √y=±z या √y=|z|
इस तथ्य के कारण कि गणित के प्रति प्रेम विज्ञान के विकास के साथ ही बढ़ा है, इसके प्रति स्नेह की विभिन्न अभिव्यक्तियाँ हैं जो शुष्क गणनाओं में व्यक्त नहीं की जाती हैं। उदाहरण के लिए, पाई दिवस जैसी दिलचस्प घटनाओं के साथ-साथ वर्गमूल छुट्टियां भी मनाई जाती हैं। उन्हें हर सौ साल में नौ बार मनाया जाता है, और निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार निर्धारित किया जाता है: दिन और महीने को इंगित करने वाली संख्याएं वर्ष का वर्गमूल होनी चाहिए। तो, अगली बार हम यह छुट्टी 4 अप्रैल 2016 को मनाएंगे।
फ़ील्ड R पर वर्गमूल के गुण
लगभग सभी गणितीय अभिव्यक्तियाँ पर आधारित हैं ज्यामितीय आधार, यह भाग्य √y से बच नहीं सका, जिसे क्षेत्रफल y वाले एक वर्ग की भुजा के रूप में परिभाषित किया गया है।
किसी संख्या का मूल कैसे ज्ञात करें?
कई गणना एल्गोरिदम हैं। सबसे सरल, लेकिन साथ ही काफी बोझिल, सामान्य अंकगणितीय गणना है, जो इस प्रकार है:
1) जिस संख्या के मूल की हमें आवश्यकता होती है, उसमें से विषम संख्याओं को बारी-बारी से घटाया जाता है - जब तक कि आउटपुट पर शेषफल घटाए गए एक से कम या शून्य के बराबर न हो जाए। चालों की संख्या अंततः वांछित संख्या बन जाएगी। उदाहरण के लिए, गणना करना वर्गमूल 25 में से:
अगले विषम संख्या- यह 11 है, शेष इस प्रकार है: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
ऐसे मामलों के लिए टेलर श्रृंखला का विस्तार है:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , जहां n 0 से मान लेता है
+∞, और |y|≤1.
फ़ंक्शन z=√y का ग्राफिक प्रतिनिधित्व
वास्तविक संख्या R के क्षेत्र पर प्राथमिक फ़ंक्शन z=√y पर विचार करें, जहां y शून्य से बड़ा या उसके बराबर है। इसका शेड्यूल इस प्रकार है:
वक्र मूल बिंदु से बढ़ता है और आवश्यक रूप से बिंदु (1; 1) को काटता है।
वास्तविक संख्या R के क्षेत्र पर फ़ंक्शन z=√y के गुण
1. विचाराधीन फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र शून्य से प्लस अनंत तक का अंतराल है (शून्य शामिल है)।
2. विचाराधीन फ़ंक्शन के मानों की सीमा शून्य से प्लस अनंत तक का अंतराल है (शून्य फिर से शामिल है)।
3. फ़ंक्शन अपना न्यूनतम मान (0) केवल बिंदु (0; 0) पर लेता है। कोई अधिकतम मूल्य नहीं है.
4. फलन z=√y न तो सम है और न ही विषम है।
5. फलन z=√y आवर्त नहीं है।
6. समन्वय अक्षों के साथ फ़ंक्शन z=√y के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन का केवल एक बिंदु है: (0; 0)।
7. फ़ंक्शन z=√y के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु भी इस फ़ंक्शन का शून्य है।
8. फलन z=√y लगातार बढ़ रहा है।
9. फ़ंक्शन z=√y केवल सकारात्मक मान लेता है, इसलिए, इसका ग्राफ पहले समन्वय कोण पर है।
फ़ंक्शन z=√y प्रदर्शित करने के विकल्प
गणित में, जटिल अभिव्यक्तियों की गणना को सुविधाजनक बनाने के लिए, कभी-कभी वर्गमूल लिखने के घात रूप का उपयोग किया जाता है: √y=y 1/2। यह विकल्प सुविधाजनक है, उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन को घात तक बढ़ाने में: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. यह विधि एकीकरण के साथ विभेदन के लिए भी एक अच्छा प्रतिनिधित्व है, क्योंकि इसके लिए धन्यवाद वर्गमूल को एक सामान्य शक्ति फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जाता है।
और प्रोग्रामिंग में, प्रतीक √ को प्रतिस्थापित करने पर अक्षरों का संयोजन sqrt होता है।
यह ध्यान देने योग्य है कि इस क्षेत्र में वर्गमूल की काफी मांग है, क्योंकि यह गणना के लिए आवश्यक अधिकांश ज्यामितीय सूत्रों का हिस्सा है। गिनती एल्गोरिथ्म स्वयं काफी जटिल है और रिकर्सन (एक फ़ंक्शन जो स्वयं को कॉल करता है) पर आधारित है।
जटिल क्षेत्र सी में वर्गमूल
कुल मिलाकर, यह इस लेख का विषय था जिसने सम्मिश्र संख्या C के क्षेत्र की खोज को प्रेरित किया, क्योंकि गणितज्ञों को एक ऋणात्मक संख्या का सम मूल प्राप्त करने का प्रश्न सता रहा था। इस तरह से काल्पनिक इकाई आई दिखाई दी, जो एक बहुत ही दिलचस्प संपत्ति की विशेषता है: इसका वर्ग -1 है। इसके लिए धन्यवाद, नकारात्मक विभेदक के साथ भी द्विघात समीकरण हल किए गए। सी में, आर के समान ही गुण वर्गमूल के लिए प्रासंगिक हैं, केवल एक चीज यह है कि मूल अभिव्यक्ति पर प्रतिबंध हटा दिए गए हैं।
निर्देश
मूलांक संख्या के लिए एक गुणक का चयन करें, जिसे नीचे से हटा दें जड़वास्तव में एक अभिव्यक्ति है - अन्यथा ऑपरेशन खो जाएगा। उदाहरण के लिए, यदि साइन के नीचे जड़तीन (घनमूल) के बराबर घातांक के साथ, इसकी लागत होती है संख्या 128, तो आप चिन्ह के नीचे से निकाल सकते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या 5. एक ही समय में, कट्टरपंथी संख्या 128 को 5 घन से विभाजित करना होगा: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. यदि चिन्ह के नीचे भिन्नात्मक संख्या की उपस्थिति हो जड़समस्या की स्थितियों का खंडन नहीं करता है, तो यह इस रूप में संभव है। यदि आपको एक सरल विकल्प की आवश्यकता है, तो पहले मूल अभिव्यक्ति को ऐसे पूर्णांक कारकों में तोड़ें, जिनमें से एक का घनमूल एक पूर्णांक होगा संख्यामी. उदाहरण के लिए: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
यदि आपके दिमाग में किसी संख्या की शक्तियों की गणना करना संभव नहीं है, तो मूल संख्या के कारकों का चयन करने के लिए इसका उपयोग करें। यह विशेष रूप से सच है जड़दो से अधिक घातांक वाला मी। यदि आपके पास इंटरनेट तक पहुंच है, तो आप Google और निगमा खोज इंजन में निर्मित कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपको सबसे बड़ा पूर्णांक गुणनखंड ढूंढना है जिसे घन चिह्न के नीचे से निकाला जा सके जड़संख्या 250 के लिए, फिर Google वेबसाइट पर जाएं और यह जांचने के लिए क्वेरी "6^3" दर्ज करें कि क्या इसे चिह्न के नीचे से हटाना संभव है जड़छह। खोज इंजन 216 के बराबर परिणाम दिखाएगा। अफ़सोस, 250 को इससे शेषफल के बिना विभाजित नहीं किया जा सकता संख्या. फिर क्वेरी 5^3 दर्ज करें। परिणाम 125 होगा, और यह आपको 250 को 125 और 2 के गुणनखंडों में विभाजित करने की अनुमति देता है, जिसका अर्थ है इसे चिह्न से बाहर निकालना जड़ संख्या 5, वहां से निकल रहा हूं संख्या 2.
स्रोत:
- इसे जड़ों के नीचे से कैसे निकाला जाए
- उत्पाद का वर्गमूल
इसे नीचे से बाहर निकालो जड़उन स्थितियों में कारकों में से एक आवश्यक है जहां आपको गणितीय अभिव्यक्ति को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। ऐसे समय होते हैं जब कैलकुलेटर का उपयोग करके आवश्यक गणना करना असंभव होता है। उदाहरण के लिए, यदि संख्याओं के स्थान पर चरों के लिए अक्षर पदनामों का उपयोग किया जाता है।
निर्देश
मौलिक अभिव्यक्ति को सरल कारकों में तोड़ें। देखें कि संकेतकों में दर्शाए गए कौन से कारकों को समान संख्या में दोहराया जाता है जड़, या अधिक। उदाहरण के लिए, आपको a का चौथा मूल लेना होगा। इस मामले में, संख्या को a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3 के रूप में दर्शाया जा सकता है। सूचक जड़इस मामले में यह इसके अनुरूप होगा कारकए3. इसे साइन से बाहर निकालने की जरूरत है.
जहां संभव हो परिणामी रेडिकल्स की जड़ को अलग से निकालें। निष्कर्षण जड़घातांक के विपरीत बीजीय संक्रिया है। निष्कर्षण जड़किसी संख्या में से एक ऐसी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे इस मनमानी घात तक बढ़ाए जाने पर दी गई संख्या प्राप्त होगी। यदि निष्कर्षण जड़उत्पन्न नहीं किया जा सकता, मूल अभिव्यक्ति को चिह्न के नीचे छोड़ दें जड़जैसे ये है। उपरोक्त कार्यों के परिणामस्वरूप, आपको नीचे से हटा दिया जाएगा संकेत जड़.
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कृपया ध्यान
मूल अभिव्यक्तियों को कारकों के रूप में लिखते समय सावधान रहें - इस स्तर पर एक त्रुटि गलत परिणाम देगी।
उपयोगी सलाह
जड़ें निकालते समय, विशेष तालिकाओं या लघुगणकीय जड़ों की तालिकाओं का उपयोग करना सुविधाजनक होता है - इससे सही समाधान खोजने में लगने वाला समय काफी कम हो जाएगा।
स्रोत:
- 2019 में जड़ निष्कर्षण संकेत
गणित के कई क्षेत्रों में बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का सरलीकरण आवश्यक है, जिसमें उच्च-क्रम समीकरणों को हल करना, विभेदन और एकीकरण शामिल है। गुणनखंडन सहित कई विधियों का उपयोग किया जाता है। इस पद्धति को लागू करने के लिए, आपको एक सामान्य खोजने और बनाने की आवश्यकता है कारकके लिए कोष्ठक.
निर्देश
कुल गुणक को क्रियान्वित करना कोष्ठक- अपघटन के सबसे सामान्य तरीकों में से एक। इस तकनीक का उपयोग लंबी बीजीय अभिव्यक्तियों की संरचना को सरल बनाने के लिए किया जाता है, अर्थात। बहुपद. सामान्य संख्या एक संख्या, एकपदी या द्विपद हो सकती है और इसे ज्ञात करने के लिए गुणन के वितरण गुण का उपयोग किया जाता है।
संख्या। प्रत्येक बहुपद के गुणांकों को ध्यान से देखें कि क्या उन्हें एक ही संख्या से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति 12 z³ + 16 z² – 4 में यह स्पष्ट है कारक 4. परिवर्तन के बाद, आपको 4 (3 z³ + 4 z² - 1) मिलता है। दूसरे शब्दों में, यह संख्या सभी गुणांकों का सबसे छोटा सामान्य पूर्णांक भाजक है।
एकपद। निर्धारित करें कि क्या बहुपद के प्रत्येक पद में समान चर है। यह मानते हुए कि यह मामला है, अब पिछले मामले की तरह गुणांकों को देखें। उदाहरण: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.
इस बहुपद के प्रत्येक तत्व में एक चर z होता है। इसके अलावा, सभी गुणांक संख्याएँ हैं जो 3 के गुणज हैं। इसलिए, सामान्य गुणनखंड एकपदी 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1) होगा।
द्विपद.के लिये कोष्ठकसामान्य कारकदो में से एक चर और एक संख्या, जो एक सामान्य बहुपद है। इसलिए, यदि कारक-द्विपद स्पष्ट नहीं है, तो आपको कम से कम एक मूल खोजने की आवश्यकता है। बहुपद का मुक्त पद चुनें, यह एक चर रहित गुणांक है। अब प्रतिस्थापन की विधि को मुक्त पद के सभी पूर्णांक विभाजकों की सामान्य अभिव्यक्ति में लागू करें।
विचार करें: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. जांचें कि क्या 4 का कोई पूर्णांक गुणनखंड z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0 है। सरल प्रतिस्थापन द्वारा, z1 = 1 खोजें और z2 = 2, जिसका अर्थ है के लिए कोष्ठकहम द्विपद (z - 1) और (z - 2) को हटा सकते हैं। शेष व्यंजक ज्ञात करने के लिए अनुक्रमिक दीर्घ विभाजन का उपयोग करें।
गणित और भौतिकी पाठ्यक्रम से विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, विद्यार्थियों और छात्रों को अक्सर दूसरी, तीसरी या एनवीं डिग्री की जड़ें निकालने की आवश्यकता का सामना करना पड़ता है। बेशक, सूचना प्रौद्योगिकी के युग में कैलकुलेटर का उपयोग करके ऐसी समस्या को हल करना मुश्किल नहीं होगा। हालाँकि, ऐसी स्थितियाँ उत्पन्न होती हैं जब इलेक्ट्रॉनिक सहायक का उपयोग करना असंभव होता है।
उदाहरण के लिए, कई परीक्षाएं आपको इलेक्ट्रॉनिक्स लाने की अनुमति नहीं देती हैं। इसके अलावा, हो सकता है कि आपके पास कैलकुलेटर न हो। ऐसे मामलों में, मैन्युअल रूप से रेडिकल की गणना करने के लिए कम से कम कुछ तरीकों को जानना उपयोगी है।
जड़ों की गणना करने का सबसे सरल तरीका है एक विशेष तालिका का उपयोग करना. यह क्या है और इसका सही उपयोग कैसे करें?
तालिका का उपयोग करके, आप 10 से 99 तक किसी भी संख्या का वर्ग ज्ञात कर सकते हैं। तालिका की पंक्तियों में दहाई का मान होता है, और स्तंभों में इकाइयों का मान होता है। पंक्ति और स्तंभ के प्रतिच्छेदन वाले कक्ष में दो अंकों की संख्या का वर्ग होता है। 63 के वर्ग की गणना करने के लिए, आपको 6 मान वाली एक पंक्ति और 3 मान वाला एक स्तंभ ढूंढना होगा। चौराहे पर हमें संख्या 3969 वाला एक सेल मिलेगा।
चूंकि मूल निकालना वर्ग बनाने की विपरीत क्रिया है, इस क्रिया को करने के लिए आपको इसका विपरीत करना होगा: पहले उस संख्या के साथ सेल ढूंढें जिसके रेडिकल की आप गणना करना चाहते हैं, फिर उत्तर निर्धारित करने के लिए कॉलम और पंक्ति के मानों का उपयोग करें . उदाहरण के तौर पर, 169 के वर्गमूल की गणना करने पर विचार करें।
हम तालिका में इस संख्या के साथ एक सेल पाते हैं, क्षैतिज रूप से हम दहाई - 1 निर्धारित करते हैं, लंबवत रूप से हम इकाइयाँ पाते हैं - 3। उत्तर: √169 = 13।
इसी प्रकार, आप उपयुक्त तालिकाओं का उपयोग करके घन और nवें मूल की गणना कर सकते हैं।
विधि का लाभ इसकी सादगी और अतिरिक्त गणनाओं की अनुपस्थिति है। नुकसान स्पष्ट हैं: विधि का उपयोग केवल सीमित संख्याओं के लिए किया जा सकता है (जिस संख्या के लिए मूल पाया जाता है वह 100 से 9801 तक की सीमा में होना चाहिए)। इसके अलावा, यदि दी गई संख्या तालिका में नहीं है तो यह काम नहीं करेगा।
मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया
यदि वर्गों की तालिका हाथ में नहीं है या उसकी सहायता से मूल ज्ञात करना असंभव है, तो आप प्रयास कर सकते हैं मूल के अंतर्गत संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें. अभाज्य गुणनखंड वे होते हैं जो पूरी तरह से (शेषफल के बिना) केवल स्वयं या एक से विभाज्य हो सकते हैं। उदाहरण 2, 3, 5, 7, 11, 13 आदि हो सकते हैं।
आइए एक उदाहरण के रूप में √576 का उपयोग करके मूल की गणना देखें। आइए इसे प्रमुख कारकों में विभाजित करें। हमें निम्नलिखित परिणाम मिलता है: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3²। जड़ों की मूल संपत्ति √a² = a का उपयोग करके, हम जड़ों और वर्गों से छुटकारा पा लेंगे, और फिर उत्तर की गणना करेंगे: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24।
यदि किसी गुणक का अपना युग्म न हो तो क्या करें? उदाहरण के लिए, √54 की गणना पर विचार करें। गुणनखंडन के बाद, हम परिणाम को निम्नलिखित रूप में प्राप्त करते हैं: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6। गैर-हटाने योग्य भाग को जड़ के नीचे छोड़ा जा सकता है। अधिकांश ज्यामिति और बीजगणित समस्याओं के लिए, इसे अंतिम उत्तर माना जाएगा। लेकिन अगर अनुमानित मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है, तो आप उन तरीकों का उपयोग कर सकते हैं जिनकी चर्चा नीचे की जाएगी।
बगुले की विधि
जब आपको कम से कम लगभग यह जानने की आवश्यकता हो कि निकाली गई जड़ किसके बराबर है (यदि पूर्णांक मान प्राप्त करना असंभव है) तो क्या करें? हेरोन विधि का उपयोग करके एक त्वरित और काफी सटीक परिणाम प्राप्त किया जाता है. इसका सार एक अनुमानित सूत्र का उपयोग करना है:
√R = √a + (R - a) / 2√a,
जहाँ R वह संख्या है जिसके मूल की गणना करने की आवश्यकता है, a निकटतम संख्या है जिसका मूल मान ज्ञात है।
आइए देखें कि यह विधि व्यवहार में कैसे काम करती है और मूल्यांकन करें कि यह कितनी सटीक है। आइए गणना करें कि √111 किसके बराबर है। 111 के निकटतम संख्या, जिसका मूल ज्ञात है, 121 है। इस प्रकार, आर = 111, ए = 121। मानों को सूत्र में रखें:
√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.
आइए अब विधि की सटीकता की जाँच करें:
10.55² = 111.3025.
विधि की त्रुटि लगभग 0.3 थी। यदि विधि की सटीकता में सुधार की आवश्यकता है, तो आप पहले वर्णित चरणों को दोहरा सकते हैं:
√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
आइए गणना की सटीकता की जाँच करें:
10.536² = 111.0073.
सूत्र को दोबारा लागू करने के बाद, त्रुटि पूरी तरह से महत्वहीन हो गई।
दीर्घ विभाजन द्वारा मूल की गणना करना
वर्गमूल मान ज्ञात करने की यह विधि पिछली विधियों की तुलना में थोड़ी अधिक जटिल है। हालाँकि, यह कैलकुलेटर के बिना अन्य गणना विधियों में सबसे सटीक है.
मान लीजिए कि आपको दशमलव के 4 स्थानों तक सटीक वर्गमूल ज्ञात करने की आवश्यकता है। आइए एक मनमानी संख्या 1308.1912 के उदाहरण का उपयोग करके गणना एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें।
- कागज की शीट को एक ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ 2 भागों में विभाजित करें, और फिर उसमें से दाईं ओर, शीर्ष किनारे से थोड़ा नीचे एक और रेखा खींचें। आइए संख्या को बाईं ओर लिखें, इसे 2 अंकों के समूहों में विभाजित करें, दशमलव बिंदु के दाईं और बाईं ओर ले जाएं। बायीं ओर का पहला अंक बिना जोड़े का हो सकता है। यदि संख्या के दाईं ओर चिह्न गायब है, तो आपको 0 जोड़ना चाहिए। हमारे मामले में, परिणाम 13 08.19 12 होगा।
- आइए सबसे बड़ी संख्या चुनें जिसका वर्ग अंकों के पहले समूह से कम या उसके बराबर हो। हमारे मामले में यह 3 है। आइए इसे ऊपर दाईं ओर लिखें; 3 परिणाम का पहला अंक है. नीचे दाईं ओर हम 3×3 = 9 दर्शाते हैं; बाद की गणनाओं के लिए इसकी आवश्यकता होगी। कॉलम में 13 से हम 9 घटाते हैं, हमें 4 शेष बचता है।
- आइए शेष 4 को संख्याओं का अगला युग्म निर्दिष्ट करें; हमें 408 मिलता है।
- ऊपर दाईं ओर की संख्या को 2 से गुणा करें और नीचे दाईं ओर _ x _ = जोड़कर लिख लें। हमें 6_ x _ = प्राप्त होता है।
- डैश के बजाय, आपको वही संख्या, 408 से कम या उसके बराबर, प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है। हमें 66 × 6 = 396 मिलता है। हम ऊपर दाईं ओर से 6 लिखते हैं, क्योंकि यह परिणाम का दूसरा अंक है। 408 में से 396 घटाने पर 12 प्राप्त होता है।
- चलिए चरण 3-6 दोहराएँ। चूँकि नीचे खिसकाए गए अंक संख्या के भिन्नात्मक भाग में हैं, इसलिए 6 के बाद शीर्ष दाईं ओर एक दशमलव बिंदु रखना आवश्यक है। आइए दोहरे परिणाम को डैश के साथ लिखें: 72_ x _ =। एक उपयुक्त संख्या 1: 721×1 = 721 होगी। आइए इसे उत्तर के रूप में लिखें। आइए 1219 - 721 = 498 घटाएं।
- आइए आवश्यक दशमलव स्थानों की संख्या प्राप्त करने के लिए पिछले पैराग्राफ में दी गई क्रियाओं के क्रम को तीन बार और निष्पादित करें। यदि आगे की गणना के लिए पर्याप्त अक्षर नहीं हैं, तो आपको बाईं ओर की वर्तमान संख्या में दो शून्य जोड़ने होंगे।
परिणामस्वरूप, हमें उत्तर मिलता है: √1308.1912 ≈ 36.1689। यदि आप कैलकुलेटर का उपयोग करके कार्रवाई की जांच करते हैं, तो आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि सभी संकेतों की सही पहचान की गई है।
बिटवाइज़ वर्गमूल गणना
विधि अत्यधिक सटीक है. इसके अलावा, यह काफी समझने योग्य है और इसमें सूत्रों को याद रखने या क्रियाओं के जटिल एल्गोरिदम की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि विधि का सार सही परिणाम का चयन करना है।
आइए संख्या 781 का मूल निकालें। आइए क्रियाओं के क्रम को विस्तार से देखें।
- आइए जानें कि वर्गमूल मान का कौन सा अंक सबसे महत्वपूर्ण होगा। ऐसा करने के लिए, आइए 0, 10, 100, 1000 आदि का वर्ग करें और पता लगाएं कि उनमें से किसके बीच मूलांक स्थित है। हमें वह 10² मिलता है< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
- आइए दहाई का मान चुनें. ऐसा करने के लिए, हम बारी-बारी से 10, 20, ..., 90 की घात तक बढ़ाएंगे जब तक कि हमें 781 से अधिक संख्या न मिल जाए। हमारे मामले के लिए, हमें 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 मिलता है। परिणाम n का मान 20 के भीतर होगा< n <30.
- पिछले चरण के समान, इकाई अंक का मान चुना जाता है। आइए एक-एक करके 21.22, ..., 29 का वर्ग करें: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784। हम पाते हैं कि 27< n < 28.
- प्रत्येक अगले अंक (दसवां, सौवां, आदि) की गणना उसी तरह की जाती है जैसे ऊपर दिखाया गया है। आवश्यक सटीकता प्राप्त होने तक गणनाएँ की जाती हैं।
बिना कैलकुलेटर के वर्गमूल की गणना करने की कई विधियाँ हैं।
किसी संख्या का मूल कैसे ज्ञात करें - 1 तरीका
- एक विधि मूल के अंतर्गत संख्या का गुणनखंड करना है। गुणा करने पर ये घटक एक मौलिक मूल्य बनाते हैं। परिणाम की सटीकता जड़ के नीचे की संख्या पर निर्भर करती है।
- उदाहरण के लिए, यदि आप संख्या 1,600 लेते हैं और उसका गुणनखंड करना शुरू करते हैं, तो तर्क इस प्रकार संरचित होगा: यह संख्या 100 का गुणज है, जिसका अर्थ है कि इसे 25 से विभाजित किया जा सकता है; चूँकि संख्या 25 का मूल लिया गया है, संख्या वर्गाकार है और आगे की गणना के लिए उपयुक्त है; विभाजित करने पर हमें एक और संख्या प्राप्त होती है - 64। यह संख्या भी वर्गाकार है, इसलिए मूल अच्छी तरह से निकाला जा सकता है; इन गणनाओं के बाद, मूल के नीचे, आप संख्या 1600 को 25 और 64 के गुणनफल के रूप में लिख सकते हैं।
- जड़ निकालने के नियमों में से एक में कहा गया है कि गुणनखंडों के उत्पाद का मूल उस संख्या के बराबर होता है जो प्रत्येक गुणनखंड की जड़ों को गुणा करने पर प्राप्त होती है। इसका मतलब है कि: √(25*64) = √25 * √64. यदि हम 25 और 64 से मूल लेते हैं, तो हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है: 5 * 8 = 40। अर्थात, संख्या 1600 का वर्गमूल 40 है।
- लेकिन ऐसा होता है कि जड़ के नीचे की संख्या को दो कारकों में विघटित नहीं किया जा सकता है, जिससे पूरी जड़ निकाली जाती है। आमतौर पर यह केवल गुणकों में से किसी एक के लिए ही किया जा सकता है। इसलिए, अक्सर ऐसे समीकरण में बिल्कुल सटीक उत्तर ढूंढना संभव नहीं होता है।
- इस मामले में, केवल अनुमानित मूल्य की गणना की जा सकती है। इसलिए, आपको गुणक का मूल लेने की आवश्यकता है, जो एक वर्ग संख्या है। फिर इस मान को दूसरी संख्या के मूल से गुणा किया जाता है जो समीकरण का वर्ग पद नहीं है।
- यह इस तरह दिखता है, उदाहरण के लिए, आइए संख्या 320 लें। इसे 64 और 5 में विघटित किया जा सकता है। आप 64 से पूरी जड़ निकाल सकते हैं, लेकिन 5 से नहीं। इसलिए, अभिव्यक्ति इस तरह दिखेगी: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
- यदि आवश्यक हो तो आप गणना करके इस परिणाम का अनुमानित मूल्य ज्ञात कर सकते हैं
√5 ≈ 2.236, इसलिए √320 = 8 * 2.236 = 17.88 ≈ 18. - साथ ही, मूल के नीचे की संख्या को कई अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जा सकता है, और उसके नीचे से वही संख्या निकाली जा सकती है। उदाहरण: √75 = √(5*5*3) = 5√3 ≈ 8.66 ≈ 9.
किसी संख्या का मूल कैसे ज्ञात करें - विधि 2
- दूसरा तरीका है लंबा विभाजन करना. विभाजन इसी तरह से होता है, लेकिन आपको केवल वर्ग संख्याओं की तलाश करनी होती है, जिससे आप मूल निकाल सकते हैं।
- इस मामले में, हम शीर्ष पर वर्ग संख्या लिखते हैं और इसे बाईं ओर घटाते हैं, और निकाले गए मूल को नीचे से घटाते हैं।
- अब दूसरे मान को दोगुना करके नीचे दाईं ओर से इस रूप में लिखना होगा: number_x_=. रिक्त स्थान को उस संख्या से भरा जाना चाहिए जो बाईं ओर आवश्यक मान से कम या उसके बराबर हो - सामान्य विभाजन की तरह।
- यदि आवश्यक हो, तो यह परिणाम फिर से बाईं ओर से घटा दिया जाता है। परिणाम प्राप्त होने तक ऐसी गणनाएँ जारी रहती हैं। आप दशमलव स्थानों की वांछित संख्या तक पहुंचने तक शून्य भी जोड़ सकते हैं।
क्या आप गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में अच्छा प्रदर्शन करना चाहते हैं? फिर आपको जल्दी, सही ढंग से और बिना कैलकुलेटर के गिनने में सक्षम होना होगा। आख़िरकार, गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में अंक खोने का मुख्य कारण कम्प्यूटेशनल त्रुटियाँ हैं।
एकीकृत राज्य परीक्षा के नियमों के अनुसार, गणित की परीक्षा के दौरान कैलकुलेटर का उपयोग करना निषिद्ध है। कीमत बहुत अधिक हो सकती है - परीक्षा से हटाया जाना।
वास्तव में, गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए कैलकुलेटर की आवश्यकता नहीं होती है। इसके बिना सभी समस्याएं हल हो जाती हैं। मुख्य बात है ध्यान, सटीकता और कुछ गुप्त तकनीकें, जिनके बारे में हम आपको बताएंगे।
आइए मुख्य नियम से शुरू करें। यदि किसी गणना को सरल बनाया जा सकता है, तो उसे सरल बनाएं।
उदाहरण के लिए, यहाँ "शैतानी समीकरण" है:
सत्तर प्रतिशत स्नातक इसे सीधे हल करते हैं। वे सूत्र का उपयोग करके विवेचक की गणना करते हैं, जिसके बाद वे कहते हैं कि कैलकुलेटर के बिना मूल नहीं निकाला जा सकता है। लेकिन आप समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को विभाजित कर सकते हैं। हो जाएगा
कौन सा रास्ता आसान है? :-)
कई स्कूली बच्चों को स्तंभ गुणन पसंद नहीं है। किसी को भी चौथी कक्षा में उबाऊ "उदाहरण" हल करना पसंद नहीं आया। हालाँकि, कई मामलों में बिना किसी "कॉलम" के संख्याओं को एक पंक्ति में गुणा करना संभव है। यह बहुत तेज़ है.
कृपया ध्यान दें कि हम छोटे अंकों से नहीं, बल्कि बड़े अंकों से शुरुआत करते हैं। यह आसान है।
अब - विभाजन. "कॉलम में" को विभाजित करना आसान नहीं है। लेकिन याद रखें कि विभाजन चिन्ह: और भिन्नात्मक बार एक ही चीज़ हैं। आइए इसे भिन्न के रूप में लिखें और भिन्न को कम करें:
एक और उदाहरण.
दो अंकों की संख्या को बिना किसी कॉलम के जल्दी से वर्ग कैसे करें? हम संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू करते हैं:
कभी-कभी किसी अन्य सूत्र का उपयोग करना सुविधाजनक होता है:
से समाप्त होने वाली संख्याओं का तुरंत वर्ग कर दिया जाता है।
मान लीजिए कि हमें किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करना है (- आवश्यक रूप से एक संख्या नहीं, बल्कि कोई प्राकृतिक संख्या)। हम गुणा करते हैं और परिणाम में जोड़ते हैं। सभी!
उदाहरण के लिए: (और जिम्मेदार)।
(और जिम्मेदार ठहराया गया)।
(और जिम्मेदार ठहराया गया)।
यह विधि न केवल वर्ग करने के लिए उपयोगी है, बल्कि पर समाप्त होने वाली संख्याओं का वर्गमूल निकालने के लिए भी उपयोगी है।
बिना कैलकुलेटर के आप वर्गमूल कैसे निकाल सकते हैं? हम आपको दो तरीके दिखाएंगे.
पहली विधि मूल अभिव्यक्ति को गुणनखंडित करना है।
उदाहरण के लिए, आइए खोजें
एक संख्या विभाज्य होती है (क्योंकि उसके अंकों का योग ) से विभाज्य होता है। आइए गुणनखंड करें:
आइए इसे खोजें. यह संख्या से विभाज्य है। इसे भी विभाजित किया गया है। आइए इसे स्पष्ट करें।
एक और उदाहरण.
एक दूसरा तरीका भी है. यह सुविधाजनक है यदि जिस संख्या से आपको मूल निकालना है उसे गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आपको ढूंढना होगा। मूल के नीचे की संख्या विषम है, यह किससे विभाज्य नहीं है, किससे विभाज्य नहीं है, किससे विभाज्य है... आप यह देखना जारी रख सकते हैं कि यह किससे विभाज्य है, या आप इसे आसान कर सकते हैं - इस मूल को चयन द्वारा खोजें .
जाहिर है, दो अंकों की संख्या का वर्ग किया गया था, जो संख्याओं के बीच है और, चूंकि, और संख्या उनके बीच है। हम उत्तर में पहला अंक पहले से ही जानते हैं, यह है।
संख्या का अंतिम अंक है. चूँकि , , उत्तर में अंतिम अंक या तो , या है । की जाँच करें:
. इसने काम किया!
आइए इसे खोजें.
इसका मतलब यह है कि उत्तर में पहला अंक पाँच है।
संख्या का अंतिम अंक नौ है। , . इसका मतलब यह है कि उत्तर में अंतिम अंक या तो है, या है।
की जाँच करें:
जिस संख्या से आपको वर्गमूल निकालना है यदि वह संख्या या में समाप्त होती है, तो उसका वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या होगी। क्योंकि कोई भी पूर्णांक वर्ग या में समाप्त नहीं होता है। याद रखें कि गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की कुछ समस्याओं में, उत्तर पूर्णांक या अंतिम दशमलव अंश के रूप में लिखा जाना चाहिए, यानी यह एक तर्कसंगत संख्या होनी चाहिए।
हम एकीकृत राज्य परीक्षा की समस्याओं और वेरिएंट के साथ-साथ भागों में द्विघात समीकरणों का सामना करते हैं। उन्हें विवेचक को गिनना होगा और फिर उसमें से मूल निकालना होगा। और पाँच-अंकीय संख्याओं के मूलों की तलाश करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है। कई मामलों में, विवेचक को कारक बनाया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, Eq में.
एक अन्य स्थिति जिसमें मूल के अंतर्गत अभिव्यक्ति को गुणनखंडित किया जा सकता है, समस्या से ली गई है।
एक समकोण त्रिभुज का कर्ण बराबर है, एक पैर बराबर है, दूसरा पैर ज्ञात कीजिए।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, यह बराबर है। आप एक कॉलम में लंबे समय तक गिनती कर सकते हैं, लेकिन संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग करना आसान है।
और अब हम आपको सबसे दिलचस्प बात बताएंगे - स्नातक एकीकृत राज्य परीक्षा में कीमती अंक क्यों खो देते हैं। आख़िरकार, गणना में त्रुटियाँ यूं ही नहीं होतीं।
1. अंक खोने का एक निश्चित तरीका टेढ़ी-मेढ़ी गणना है जिसमें कुछ सुधार किया जाता है, काट दिया जाता है, या एक संख्या को दूसरे के ऊपर लिख दिया जाता है। अपने ड्राफ्ट देखें. शायद वे एक जैसे दिखते हैं? :-)
स्पष्ट रूप से लिखें! कागज मत बचाओ. यदि कुछ ग़लत है तो एक संख्या को दूसरी संख्या से ठीक न करें, उसे दोबारा लिखना बेहतर है।
2. किसी कारण से, कई स्कूली बच्चे, एक कॉलम में गिनती करते समय, इसे 1) बहुत, बहुत जल्दी, 2) बहुत कम संख्या में, अपनी नोटबुक के कोने में, और 3) एक पेंसिल से करने का प्रयास करते हैं। परिणाम यह है:
कुछ भी कहना असंभव है. तो क्या यह कोई आश्चर्य की बात है कि एकीकृत राज्य परीक्षा का स्कोर अपेक्षा से कम है?
3. कई स्कूली बच्चे अभिव्यक्ति में कोष्ठक को अनदेखा करने के आदी हैं। कभी-कभी ऐसा होता है:
याद रखें कि समान चिह्न केवल कहीं भी नहीं रखा जाता है, बल्कि केवल समान मूल्यों के बीच रखा जाता है। ड्राफ्ट फॉर्म में भी सक्षमता से लिखें।
4. बड़ी संख्या में कम्प्यूटेशनल त्रुटियों में भिन्न शामिल होते हैं। यदि आप भिन्न को भिन्न से विभाजित कर रहे हैं, तो किसका उपयोग करें
यहां एक "हैमबर्गर" खींचा गया है, यानी एक बहुमंजिला अंश। इस पद्धति का उपयोग करके सही उत्तर प्राप्त करना अत्यंत कठिन है।
आइए संक्षेप करें.
गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा प्रोफ़ाइल के पहले भाग के कार्यों की जाँच स्वचालित है। यहां कोई "लगभग सही" उत्तर नहीं है। या तो वह सही है या वह नहीं है. एक कम्प्यूटेशनल त्रुटि - और नमस्ते, कार्य की गणना नहीं की जाती है। इसलिए, जल्दी, सही ढंग से और बिना कैलकुलेटर के गिनती करना सीखना आपके हित में है।
गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा प्रोफ़ाइल के दूसरे भाग के कार्यों की जाँच एक विशेषज्ञ द्वारा की जाती है। उसका ध्यान रखना! उसे आपकी लिखावट और निर्णय का तर्क दोनों समझने दें।