चार संख्याओं की संख्या कैसे ज्ञात करें। संख्याओं का नोड और नोड - कई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक

26.09.2019

परिभाषा।महानतम प्राकृतिक संख्या, जिससे संख्याओं a और b को बिना शेषफल के विभाजित किया जाता है, कहलाती है सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)ये नंबर.

आइए सबसे बड़ा खोजें सामान्य विभाजकसंख्या 24 और 35.
24 की भाजक संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 हैं और 35 की भाजक संख्याएँ 1, 5, 7, 35 हैं।
हम देखते हैं कि संख्या 24 और 35 में केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1। ऐसी संख्याओं को कहा जाता है परस्पर प्रधान.

परिभाषा।प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं परस्पर प्रधान, यदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) 1 है।

महानतम सामान्य भाजक (जीसीडी)इन संख्याओं के सभी भाजक लिखे बिना पाया जा सकता है।

आइए संख्याओं 48 और 36 का गुणनखंड करें और प्राप्त करें:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, हम उन कारकों को हटा देते हैं जो दूसरी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं हैं (यानी, दो दो)।
शेष गुणनखंड 2*2*3 हैं। उनका गुणनफल 12 है। यह संख्या संख्या 48 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी पाया जाता है।

ढूँढ़ने के लिए महत्तम सामान्य भाजक

2) इनमें से किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से उन कारकों को हटा दें जो अन्य संख्याओं के विस्तार में शामिल नहीं हैं;
3) शेष कारकों का उत्पाद ज्ञात करें।

यदि दी गई सभी संख्याएँ उनमें से किसी एक से विभाज्य हैं, तो यह संख्या है महत्तम सामान्य भाजकदिए गए नंबर.
उदाहरण के लिए, संख्या 15, 45, 75 और 180 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक संख्या 15 है, क्योंकि अन्य सभी संख्याएँ इससे विभाज्य हैं: 45, 75 और 180।

लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम)

परिभाषा। लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम)प्राकृतिक संख्या a और b सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो a और b दोनों का गुणज है। संख्या 75 और 60 का लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम) इन संख्याओं के गुणजों को एक पंक्ति में लिखे बिना पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आइए 75 और 60 को भागों में विघटित करें प्रधान कारण: 75 = 3 * 5 * 5, और 60 = 2 * 2 * 3 * 5।
आइए इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखें, और उनमें दूसरी संख्या के विस्तार से गायब कारक 2 और 2 जोड़ें (यानी, हम कारकों को जोड़ते हैं)।
हमें पाँच गुणनखंड 2 * 2 * 3 * 5 * 5 मिलते हैं, जिनका गुणनफल 300 है। यह संख्या संख्या 75 और 60 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

वे तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य भी ज्ञात करते हैं।

को लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिएकई प्राकृतिक संख्याएँ, आपको चाहिए:
1) उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें;
2) किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखिए;
3) शेष संख्याओं के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को उनमें जोड़ें;
4) परिणामी कारकों का उत्पाद ज्ञात करें।

ध्यान दें कि यदि इनमें से एक संख्या अन्य सभी संख्याओं से विभाज्य है, तो यह संख्या इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।
उदाहरण के लिए, संख्या 12, 15, 20 और 60 का लघुत्तम समापवर्तक 60 है क्योंकि यह उन सभी संख्याओं से विभाज्य है।

पाइथागोरस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) और उनके छात्रों ने संख्याओं की विभाज्यता के प्रश्न का अध्ययन किया। संख्या, योग के बराबरउन्होंने इसके सभी भाजक (बिना संख्या के) को एक पूर्ण संख्या कहा। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) पूर्ण हैं। अगली पूर्ण संख्याएँ 496, 8128, 33,550,336 हैं। पाइथागोरस केवल पहली तीन पूर्ण संख्याएँ जानते थे। चौथा - 8128 - पहली शताब्दी में ज्ञात हुआ। एन। इ। पाँचवाँ - 33,550,336 - 15वीं शताब्दी में पाया गया था। 1983 तक, 27 पूर्ण संख्याएँ पहले से ही ज्ञात थीं। लेकिन वैज्ञानिक अभी भी यह नहीं जानते हैं कि क्या विषम पूर्ण संख्याएँ होती हैं या क्या कोई सबसे बड़ी पूर्ण संख्या होती है।
अभाज्य संख्याओं में प्राचीन गणितज्ञों की रुचि इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि कोई भी संख्या या तो अभाज्य होती है या उसे उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है प्रमुख संख्या, यानी अभाज्य संख्याएँ ईंटों की तरह होती हैं जिनसे बाकी प्राकृतिक संख्याएँ निर्मित होती हैं।
आपने शायद देखा होगा कि प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला में अभाज्य संख्याएँ असमान रूप से होती हैं - श्रृंखला के कुछ हिस्सों में उनकी संख्या अधिक होती है, अन्य में - कम। लेकिन हम संख्या श्रृंखला में जितना आगे बढ़ते हैं, अभाज्य संख्याएँ उतनी ही कम सामान्य होती जाती हैं। प्रश्न उठता है: क्या कोई अंतिम (सबसे बड़ी) अभाज्य संख्या है? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) ने अपनी पुस्तक "एलिमेंट्स", जो दो हजार वर्षों तक गणित की मुख्य पाठ्यपुस्तक थी, में साबित किया कि अनंत रूप से कई अभाज्य संख्याएँ होती हैं, अर्थात प्रत्येक अभाज्य संख्या के पीछे एक और भी बड़ा अभाज्य होता है। संख्या।
अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए उसी समय के एक अन्य यूनानी गणितज्ञ एराटोस्थनीज ने यह विधि निकाली। उन्होंने 1 से लेकर किसी संख्या तक की सभी संख्याओं को लिखा, और फिर एक को काट दिया, जो न तो अभाज्य है और न ही भाज्य संख्या है, फिर 2 के बाद आने वाली सभी संख्याओं को काट दिया (वे संख्याएँ जो 2 के गुणज हैं, यानी 4, 6 , 8, आदि). 2 के बाद पहली शेष संख्या 3 थी। फिर, दो के बाद, 3 के बाद आने वाली सभी संख्याएँ (वे संख्याएँ जो 3 के गुणज हैं, यानी 6, 9, 12, आदि) काट दी गईं। अंत में केवल अभाज्य संख्याएँ ही अचिह्नित रहीं।

नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम नामक लेख के सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है - लघुत्तम समापवर्तक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध। यहां हम बात करेंगे लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करना, और विशेष ध्यानआइए उदाहरणों को हल करने पर ध्यान दें। सबसे पहले, हम दिखाएंगे कि इन संख्याओं के जीसीडी का उपयोग करके दो संख्याओं के एलसीएम की गणना कैसे की जाती है। इसके बाद, हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने पर विचार करेंगे। इसके बाद हम तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम निकालने पर ध्यान देंगे और ऋणात्मक संख्याओं का एलसीएम निकालने पर भी ध्यान देंगे।

पेज नेविगेशन.

जीसीडी के माध्यम से न्यूनतम सामान्य गुणक (एलसीएम) की गणना

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का एक तरीका एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित है। मौजूदा कनेक्शनएलसीएम और जीसीडी के बीच आपको ज्ञात सबसे बड़े सामान्य विभाजक का उपयोग करके दो सकारात्मक पूर्णांकों के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करने की अनुमति मिलती है। तत्संबंधी सूत्र है एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी) . आइए दिए गए सूत्र का उपयोग करके एलसीएम खोजने के उदाहरण देखें।

उदाहरण।

दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस उदाहरण में a=126 , b=70 . आइए हम सूत्र द्वारा व्यक्त एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध का उपयोग करें एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी). यानी सबसे पहले हमें संख्या 70 और 126 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूंढना होगा, जिसके बाद हम लिखित सूत्र का उपयोग करके इन संख्याओं के एलसीएम की गणना कर सकते हैं।

आइए यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी(126, 70) खोजें: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, इसलिए, जीसीडी(126, 70)=14।

अब हम आवश्यक लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करते हैं: जीसीडी(126, 70)=126·70:जीसीडी(126, 70)= 126·70:14=630.

उत्तर:

एलसीएम(126, 70)=630।

उदाहरण।

LCM(68, 34) किसके बराबर है?

समाधान।

क्योंकि 68, 34 से विभाज्य है, तो GCD(68, 34)=34. अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: जीसीडी(68, 34)=68·34:जीसीडी(68, 34)= 68·34:34=68.

उत्तर:

एलसीएम(68, 34)=68।

ध्यान दें कि पिछला उदाहरण सकारात्मक पूर्णांक ए और बी के लिए एलसीएम खोजने के लिए निम्नलिखित नियम में फिट बैठता है: यदि संख्या ए, बी से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक ए है।

संख्याओं का गुणनखंड करके एलसीएम ज्ञात करना

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का दूसरा तरीका संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने पर आधारित है। यदि आप दी गई संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों से एक उत्पाद बनाते हैं, और फिर इस उत्पाद से दी गई संख्याओं के विस्तार में मौजूद सभी सामान्य अभाज्य कारकों को बाहर कर देते हैं, तो परिणामी उत्पाद दी गई संख्याओं के सबसे छोटे सामान्य गुणक के बराबर होगा। .

एलसीएम ज्ञात करने का बताया गया नियम समानता से अनुसरण करता है एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी). दरअसल, संख्या ए और बी का उत्पाद संख्या ए और बी के विस्तार में शामिल सभी कारकों के उत्पाद के बराबर है। बदले में, जीसीडी(ए, बी) संख्या ए और बी के विस्तार में एक साथ मौजूद सभी अभाज्य कारकों के उत्पाद के बराबर है (जैसा कि अभाज्य कारकों में संख्याओं के विस्तार का उपयोग करके जीसीडी खोजने के अनुभाग में वर्णित है)।

चलिए एक उदाहरण देते हैं. आइए जानते हैं 75=3·5·5 और 210=2·3·5·7. आइए इन विस्तारों के सभी कारकों से उत्पाद बनाएं: 2·3·3·5·5·5·7। अब इस उत्पाद से हम संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार (ऐसे कारक 3 और 5 हैं) दोनों में मौजूद सभी कारकों को बाहर कर देते हैं, तो उत्पाद 2·3·5·5·7 का रूप लेगा। . इस उत्पाद का मूल्य 75 और 210 के लघुत्तम समापवर्तक के बराबर है, अर्थात, एनओसी(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

उदाहरण।

संख्याओं 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें और इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें।

समाधान।

आइए संख्याओं 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करें:

हमें 441=3·3·7·7 और 700=2·2·5·5·7 मिलते हैं।

आइए अब इन संख्याओं के विस्तार में शामिल सभी कारकों का एक उत्पाद बनाएं: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. आइए इस उत्पाद से उन सभी कारकों को हटा दें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक ही कारक है - यह संख्या 7 है): 2·2·3·3·5·5·7·7. इस प्रकार, एलसीएम(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

उत्तर:

एनओसी(441,700)=44 100।

अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के गुणनखंडन का उपयोग करके एलसीएम खोजने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि संख्या b के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को संख्या a के विस्तार से प्राप्त गुणनखंडों में जोड़ दिया जाए, तो परिणामी उत्पाद का मान संख्याओं a और b के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर होगा।.

उदाहरण के लिए, आइए समान संख्याएँ 75 और 210 लें, अभाज्य गुणनखंडों में उनका अपघटन इस प्रकार है: 75=3·5·5 और 210=2·3·5·7। संख्या 75 के विस्तार से गुणनखंड 3, 5 और 5 में हम संख्या 210 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2·3·5·5·7 प्राप्त होता है, जिसका मान है एलसीएम(75,210) के बराबर।

उदाहरण।

84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।

समाधान।

हम सबसे पहले संख्या 84 और 648 का अभाज्य गुणनखंडों में वियोजन प्राप्त करते हैं। वे 84=2·2·3·7 और 648=2·2·2·3·3·3·3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के विस्तार से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 3 3 3 3 7 प्राप्त होता है, जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, 84 और 648 का वांछित लघुत्तम समापवर्तक 4,536 है।

उत्तर:

एलसीएम(84,648)=4,536।

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

दो संख्याओं का एलसीएम क्रमिक रूप से ज्ञात करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात किया जा सकता है। आइए संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम खोजने का तरीका देता है।

प्रमेय.

मान लीजिए कि धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ a 1 , a 2 , …, a k दी गई हैं, तो इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक m k क्रमिक रूप से m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) की गणना करके ज्ञात किया जाता है। 3) , … , एम के = एलसीएम(एम के−1 , ए के) .

आइए चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण का उपयोग करके इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।

उदाहरण।

चार संख्याओं 140, 9, 54 और 250 का LCM ज्ञात कीजिए।

समाधान।

इस उदाहरण में, ए 1 =140, ए 2 =9, ए 3 =54, ए 4 =250।

पहले हम ढूंढते हैं एम 2 = एलओसी(ए 1 , ए 2) = एलओसी(140, 9). ऐसा करने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके, हम GCD(140, 9) निर्धारित करते हैं, हमारे पास 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, इसलिए, GCD(140, 9)=1 , कहाँ से जीसीडी(140, 9)=140 9:जीसीडी(140, 9)= 140·9:1=1,260. अर्थात्, म 2 =1 260.

अब हम पाते हैं एम 3 = एलओसी (एम 2, ए 3) = एलओसी (1 260, 54). आइए इसकी गणना जीसीडी(1 260, 54) के माध्यम से करें, जिसे हम यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके भी निर्धारित करते हैं: 1 260=54·23+18, 54=18·3। फिर gcd(1,260, 54)=18, जिससे gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. अर्थात्, म 3 =3 780.

जो कुछ बचा है उसे ढूंढना है एम 4 = एलओसी(एम 3, ए 4) = एलओसी(3 780, 250). ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी(3,780, 250) पाते हैं: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3। इसलिए, GCM(3,780, 250)=10, जहां से GCM(3,780, 250)= 3 780 250: जीसीडी(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. अर्थात्, मी 4 =94,500।

अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94,500 है।

उत्तर:

एलसीएम(140, 9, 54, 250)=94,500.

कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना सुविधाजनक होता है। ऐसे में आपको निम्नलिखित नियम का पालन करना चाहिए। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य गुणनफल के बराबर होता है, जिसकी रचना इस प्रकार होती है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी कारकों में जोड़ा जाता है, दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ा जाता है। परिणामी कारकों में तीसरी संख्या जोड़ी जाती है, इत्यादि।

आइए अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का एक उदाहरण देखें।

उदाहरण।

पाँच संख्याओं 84, 6, 48, 7, 143 में से लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।

समाधान।

सबसे पहले, हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 एक अभाज्य संख्या है, यह संपाती है अभाज्य गुणनखंडों में इसके अपघटन के साथ) और 143=11·13।

इन संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2, 2, 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में, आपको दूसरी संख्या 6 के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के अपघटन में लुप्त कारक शामिल नहीं हैं, क्योंकि पहली संख्या 84 के अपघटन में 2 और 3 दोनों पहले से ही मौजूद हैं। इसके बाद, गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं, हमें गुणनखंड 2, 2, 2, 2, 3 और 7 का एक सेट मिलता है। अगले चरण में इस सेट में गुणक जोड़ने की आवश्यकता नहीं होगी, क्योंकि इसमें 7 पहले से ही समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2, 2, 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2·2·2·2·3·7·11·13 प्राप्त होता है, जो 48,048 के बराबर है।

आइए लघुत्तम समापवर्त्य के बारे में बातचीत जारी रखें, जिसे हमने "एलसीएम - लघुत्तम समापवर्त्य, परिभाषा, उदाहरण" खंड में शुरू किया था। इस विषय में, हम तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के तरीकों पर गौर करेंगे, और हम इस प्रश्न पर भी गौर करेंगे कि किसी ऋणात्मक संख्या का एलसीएम कैसे खोजा जाए।

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जीसीडी के माध्यम से न्यूनतम सामान्य गुणक (एलसीएम) की गणना

हम पहले ही लघुत्तम समापवर्त्य और सबसे बड़े समापवर्तक के बीच संबंध स्थापित कर चुके हैं। आइए अब सीखें कि जीसीडी के माध्यम से एलसीएम कैसे निर्धारित करें। सबसे पहले, आइए जानें कि सकारात्मक संख्याओं के लिए यह कैसे करें।

परिभाषा 1

आप सूत्र एलसीएम (ए, बी) = ए · बी: जीसीडी (ए, बी) का उपयोग करके सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से सबसे छोटा सामान्य गुणक पा सकते हैं।

उदाहरण 1

आपको संख्या 126 और 70 का एलसीएम ज्ञात करना होगा।

समाधान

आइए a = 126, b = 70 लें। आइए सबसे बड़े सामान्य भाजक एलसीएम (ए, बी) = ए · बी: जीसीडी (ए, बी) के माध्यम से सबसे छोटे सामान्य गुणक की गणना के लिए सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें।

संख्या 70 और 126 की जीसीडी ढूँढता है। इसके लिए हमें यूक्लिडियन एल्गोरिदम की आवश्यकता है: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, इसलिए जीसीडी (126 , 70) = 14 .

आइए एलसीएम की गणना करें: एलसीडी (126, 70) = 126 70: जीसीडी (126, 70) = 126 70: 14 = 630।

उत्तर:एलसीएम(126, 70) = 630.

उदाहरण 2

संख्या 68 और 34 ज्ञात कीजिए।

समाधान

जीसीडी में इस मामले मेंयह कठिन नहीं है, क्योंकि 68, 34 से विभाज्य है। आइए सूत्र का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करें: एलसीएम (68, 34) = 68 34: जीसीडी (68, 34) = 68 34: 34 = 68।

उत्तर:एलसीएम(68, 34) = 68.

इस उदाहरण में, हमने धनात्मक पूर्णांक a और b का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए नियम का उपयोग किया: यदि पहली संख्या दूसरी से विभाज्य है, तो उन संख्याओं का LCM पहली संख्या के बराबर होगा।

संख्याओं का गुणनखंड करके एलसीएम ज्ञात करना

आइए अब एलसीएम ज्ञात करने की विधि देखें, जो संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने पर आधारित है।

परिभाषा 2

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, हमें कई सरल कदम उठाने होंगे:

हम उन संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं जिनके लिए हमें एलसीएम खोजने की आवश्यकता होती है;
हम परिणामी उत्पादों से सभी प्रमुख कारकों को बाहर कर देते हैं;
सामान्य अभाज्य गुणनखंडों को हटाने के बाद प्राप्त उत्पाद दी गई संख्याओं के एलसीएम के बराबर होगा।

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने की यह विधि समानता एलसीएम (ए, बी) = ए · बी: जीसीडी (ए, बी) पर आधारित है। यदि आप सूत्र को देखें, तो यह स्पष्ट हो जाएगा: संख्याओं a और b का गुणनफल उन सभी कारकों के गुणनफल के बराबर है जो इन दो संख्याओं के अपघटन में भाग लेते हैं। इस मामले में, दो संख्याओं की जीसीडी उन सभी अभाज्य कारकों के उत्पाद के बराबर है जो इन दो संख्याओं के गुणनखंडों में एक साथ मौजूद हैं।

उदाहरण 3

हमारे पास दो संख्याएँ 75 और 210 हैं। हम उन्हें इस प्रकार कारक बना सकते हैं: 75 = 3 5 5और 210 = 2 3 5 7. यदि आप दो मूल संख्याओं के सभी गुणनखंडों का गुणनफल बनाते हैं, तो आपको मिलता है: 2 3 3 5 5 5 7.

यदि हम संख्या 3 और 5 दोनों के लिए सामान्य कारकों को हटा दें, तो हमें निम्नलिखित रूप का उत्पाद मिलता है: 2 3 5 5 7 = 1050. यह उत्पाद संख्या 75 और 210 के लिए हमारा एलसीएम होगा।

उदाहरण 4

संख्याओं का LCM ज्ञात करें 441 और 700 , दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना।

समाधान

आइए शर्त में दी गई संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

हमें संख्याओं की दो शृंखलाएँ मिलती हैं: 441 = 3 3 7 7 और 700 = 2 2 5 5 7।

इन संख्याओं के अपघटन में भाग लेने वाले सभी कारकों का उत्पाद इस प्रकार होगा: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. आइए सामान्य कारक खोजें। यह संख्या 7 है. चलो उसे बाहर कर दें कुल उत्पाद: 2 2 3 3 5 5 7 7. पता चला कि एन.ओ.सी (441, 700) = 2 2 3 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

उत्तर:एलओसी(441,700) = 44,100।

आइए हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करके एलसीएम ज्ञात करने की विधि का एक और सूत्रीकरण दें।

परिभाषा 3

पहले, हमने दोनों संख्याओं में समान कारकों की कुल संख्या को बाहर रखा था। अब हम इसे अलग तरीके से करेंगे:

आइए दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें:
पहली संख्या के अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल में दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
हम उत्पाद प्राप्त करते हैं, जो दो संख्याओं का वांछित एलसीएम होगा।

उदाहरण 5

आइए संख्या 75 और 210 पर वापस लौटें, जिसके लिए हम पहले ही पिछले उदाहरणों में से एक में एलसीएम की तलाश कर चुके हैं। आइए उन्हें सरल कारकों में विभाजित करें: 75 = 3 5 5और 210 = 2 3 5 7. कारक 3, 5 और के उत्पाद के लिए 5 संख्या 75 लुप्त गुणनखंडों को जोड़ती है 2 और 7 संख्या 210. हम पाते हैं: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .यह संख्या 75 और 210 का LCM है।

उदाहरण 6

संख्या 84 और 648 के एलसीएम की गणना करना आवश्यक है।

समाधान

आइए स्थिति से संख्याओं को सरल गुणनखंडों में विभाजित करें: 84 = 2 2 3 7और 648 = 2 2 2 3 3 3 3. आइए गुणनखंड 2, 2, 3 और को गुणनफल में जोड़ें 7 संख्या 84 लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और
3 संख्या 648. हमें उत्पाद मिलता है 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.यह 84 और 648 का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

उत्तर:एलसीएम(84,648) = 4,536.

तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना

भले ही हम कितनी भी संख्याओं के साथ काम कर रहे हों, हमारे कार्यों का एल्गोरिदम हमेशा समान रहेगा: हम क्रमिक रूप से दो संख्याओं का एलसीएम पाएंगे। इस मामले के लिए एक प्रमेय है.

प्रमेय 1

आइए मान लें कि हमारे पास पूर्णांक हैं ए 1 , ए 2 , … , ए के. अनापत्ति प्रमाण पत्र एम केये संख्याएँ क्रमिक रूप से m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k - 1, a k) की गणना करके पाई जाती हैं।

अब आइए देखें कि विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए प्रमेय को कैसे लागू किया जा सकता है।

उदाहरण 7

आपको चार संख्याओं 140, 9, 54 और के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करने की आवश्यकता है 250 .

समाधान

आइए हम संकेतन का परिचय दें: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250।

आइए एम 2 = एलसीएम (ए 1, ए 2) = एलसीएम (140, 9) की गणना करके शुरुआत करें। आइए संख्या 140 और 9 की जीसीडी की गणना करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम लागू करें: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4। हमें मिलता है: जीसीडी (140, 9) = 1, जीसीडी (140, 9) = 140 9: जीसीडी (140, 9) = 140 9: 1 = 1,260। इसलिए, एम 2 = 1,260.

आइए अब उसी एल्गोरिदम एम 3 = एलसीएम (एम 2, ए 3) = एलसीएम (1 260, 54) का उपयोग करके गणना करें। गणना के दौरान हमें m 3 = 3 780 प्राप्त होता है।

हमें बस m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) की गणना करनी है। हम उसी एल्गोरिदम का पालन करते हैं। हमें m 4 = 94 500 प्राप्त होता है।

उदाहरण स्थिति से चार संख्याओं का एलसीएम 94500 है।

उत्तर:एनओसी (140, 9, 54, 250) = 94,500।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गणनाएँ सरल हैं, लेकिन काफी श्रम-गहन हैं। समय बचाने के लिए आप दूसरा रास्ता अपना सकते हैं।

परिभाषा 4

हम आपको क्रियाओं का निम्नलिखित एल्गोरिदम प्रदान करते हैं:

हम सभी संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं;
पहली संख्या के गुणनखंडों के गुणनफल में हम दूसरी संख्या के गुणनखंड से लुप्त गुणनखंड जोड़ते हैं;
पिछले चरण में प्राप्त उत्पाद में हम तीसरी संख्या आदि के लुप्त गुणनखंड जोड़ते हैं;
परिणामी उत्पाद शर्त से सभी संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक होगा।

उदाहरण 8

आपको पांच संख्याओं 84, 6, 48, 7, 143 का एलसीएम ज्ञात करना होगा।

समाधान

आइए सभी पांच संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13। अभाज्य संख्याएँ, जो संख्या 7 है, को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। ऐसी संख्याएँ अभाज्य गुणनखंडों में उनके अपघटन के साथ मेल खाती हैं।

आइए अब संख्या 84 के अभाज्य गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 का गुणनफल लें और उनमें दूसरी संख्या के लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें। हमने संख्या 6 को 2 और 3 में विघटित कर दिया। ये गुणनखंड पहले संख्या के गुणनफल में पहले से ही मौजूद हैं। इसलिए, हम उन्हें छोड़ देते हैं.

हम लुप्त गुणकों को जोड़ना जारी रखते हैं। आइए संख्या 48 पर चलते हैं, जिसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल से हम 2 और 2 लेते हैं। फिर हम चौथी संख्या से 7 का अभाज्य गुणनखंड और पाँचवीं के 11 और 13 का गुणनखंड जोड़ते हैं। हमें मिलता है: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048। यह मूल पांच संख्याओं में से सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

उत्तर:एलसीएम (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048।

ऋणात्मक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना

ऋणात्मक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के लिए, इन संख्याओं को पहले विपरीत चिह्न वाली संख्याओं से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और फिर उपरोक्त एल्गोरिदम का उपयोग करके गणना की जानी चाहिए।

उदाहरण 9

एलसीएम (54, − 34) = एलसीएम (54, 34) और एलसीएम (− 622, − 46, − 54, − 888) = एलसीएम (622, 46, 54, 888)।

यदि हम इसे स्वीकार करते हैं तो ऐसे कार्यों की अनुमति है एऔर − ए– विपरीत संख्याएँ,
फिर किसी संख्या के गुणजों का समुच्चय एकिसी संख्या के गुणजों के समुच्चय से मेल खाता है − ए.

उदाहरण 10

ऋणात्मक संख्याओं का LCM ज्ञात करना आवश्यक है − 145 और − 45 .

समाधान

आइए संख्याओं को बदलें − 145 और − 45 उनके विपरीत संख्याओं के लिए 145 और 45 . अब, एल्गोरिदम का उपयोग करके, हम एलसीएम (145, 45) = 145 · 45: जीसीडी (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305 की गणना करते हैं, पहले यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी निर्धारित करते हैं।

हम पाते हैं कि संख्याओं का LCM - 145 है और − 45 के बराबर होती है 1 305 .

उत्तर:एलसीएम (- 145, - 45) = 1,305।

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एलसीएम की गणना कैसे करें यह समझने के लिए, आपको पहले "एकाधिक" शब्द का अर्थ निर्धारित करना होगा।

A का गुणज एक प्राकृतिक संख्या है जो बिना किसी शेषफल के A से विभाज्य है। इस प्रकार, जो संख्याएँ 5 के गुणज हैं उन्हें 15, 20, 25, इत्यादि माना जा सकता है।

किसी विशिष्ट संख्या के भाजक हो सकते हैं सीमित मात्रा में, लेकिन गुणजों की संख्या अनंत है।

प्राकृत संख्याओं का सामान्य गुणज वह संख्या होती है जो बिना कोई शेष छोड़े उनसे विभाज्य होती है।

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक कैसे ज्ञात करें

संख्याओं (दो, तीन या अधिक) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो इन सभी संख्याओं से विभाज्य होती है।

एलओसी खोजने के लिए आप कई तरीकों का इस्तेमाल कर सकते हैं।

छोटी संख्याओं के लिए, इन संख्याओं के सभी गुणजों को एक पंक्ति में तब तक लिखना सुविधाजनक होता है जब तक कि आपको उनमें कुछ सामान्य न मिल जाए। गुणकों को बड़े अक्षर K से दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, 4 के गुणजों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

के (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

के (6) = (12, 18, 24, ...)

इस प्रकार, आप देख सकते हैं कि संख्या 4 और 6 का सबसे छोटा सामान्य गुणक संख्या 24 है। यह अंकन इस प्रकार किया जाता है:

एलसीएम(4, 6) = 24

यदि संख्याएँ बड़ी हैं, तो तीन या अधिक संख्याओं का सामान्य गुणज ज्ञात करें, फिर एलसीएम की गणना के लिए किसी अन्य विधि का उपयोग करना बेहतर है।

कार्य को पूरा करने के लिए, आपको दी गई संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना होगा।

सबसे पहले आपको एक पंक्ति में सबसे बड़ी संख्या का अपघटन लिखना होगा, और उसके नीचे - बाकी।

प्रत्येक संख्या के अपघटन में अलग-अलग संख्या में कारक शामिल हो सकते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए संख्याओं 50 और 20 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

छोटी संख्या के विस्तार में उन कारकों पर बल देना आवश्यक है जो पहली संख्या के विस्तार में अनुपस्थित हैं। बड़ी संख्या में, और फिर उन्हें इसमें जोड़ें। प्रस्तुत उदाहरण में, एक दो लुप्त है।

अब आप 20 और 50 के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना कर सकते हैं।

एलसीएम(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

तो, अभाज्य कारकों का उत्पाद अधिकऔर दूसरी संख्या के वे गुणनखंड जो बड़ी संख्या के विस्तार में शामिल नहीं थे, लघुत्तम समापवर्तक होंगे।

तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के लिए, आपको उन सभी को पिछले मामले की तरह अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना चाहिए।

उदाहरण के तौर पर, आप संख्याओं 16, 24, 36 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कर सकते हैं।

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

इस प्रकार, सोलह के विस्तार में से केवल दो दो को बड़ी संख्या के गुणनखंड में शामिल नहीं किया गया (एक चौबीस के विस्तार में है)।

इस प्रकार, उन्हें बड़ी संख्या के विस्तार में जोड़ने की आवश्यकता है।

एलसीएम(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के विशेष मामले हैं। इसलिए, यदि किसी एक संख्या को बिना किसी शेषफल के दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, तो इनमें से बड़ी संख्या सबसे छोटा सामान्य गुणज होगी।

उदाहरण के लिए, बारह और चौबीस का एलसीएम चौबीस है।

यदि उन सहअभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना आवश्यक है जिनमें समान भाजक नहीं हैं, तो उनका एलसीएम उनके उत्पाद के बराबर होगा।

उदाहरण के लिए, एलसीएम (10, 11) = 110।

दूसरा नंबर: बी=

हजार विभाजकअंतरिक्ष विभाजक के बिना "´

परिणाम:

सबसे बड़ा सामान्य भाजक gcd( ए,बी)=6

एलसीएम का लघुत्तम समापवर्त्य ( ए,बी)=468

वह सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या जिसे बिना किसी शेषफल के संख्याओं a और b से विभाजित किया जा सकता है, कहलाती है महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी) इन नंबरों की। जीसीडी(ए,बी), (ए,बी), जीसीडी(ए,बी) या एचसीएफ(ए,बी) द्वारा दर्शाया गया।

न्यूनतम समापवर्तकदो पूर्णांक a और b का LCM सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जो बिना किसी शेषफल के a और b से विभाज्य होती है। निरूपित एलसीएम(ए,बी), या एलसीएम(ए,बी)।

पूर्णांक a और b कहलाते हैं परस्पर प्रधान, यदि उनके पास +1 और −1 के अलावा कोई सामान्य भाजक नहीं है।

महत्तम सामान्य भाजक

मान लीजिए कि दो सकारात्मक संख्याएँ दी गई हैं ए 1 और ए 2 1). इन संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात करना आवश्यक है, अर्थात्। ऐसी संख्या खोजें λ , जो संख्याओं को विभाजित करता है ए 1 और एएक ही समय में 2. आइए एल्गोरिदम का वर्णन करें.

1) इस लेख में संख्या शब्द को पूर्णांक के रूप में समझा जायेगा।

होने देना ए 1 ≥ ए 2 और चलो

कहाँ एम 1 , ए 3 कुछ पूर्णांक हैं, ए 3 <ए 2 (विभाजन का शेष भाग) ए 1 प्रति ए 2 कम होना चाहिए ए 2).

चलिए ऐसा दिखावा करते हैं λ विभाजित ए 1 और ए 2 तो λ विभाजित एम 1 ए 2 और λ विभाजित ए 1 −एम 1 ए 2 =ए 3 (लेख का कथन 2 "संख्याओं की विभाज्यता। विभाज्यता परीक्षण")। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक सामान्य भाजक ए 1 और ए 2 सामान्य भाजक है ए 2 और ए 3. यदि विपरीत भी सत्य है λ सामान्य विभाजक ए 2 और एफिर 3 एम 1 ए 2 और ए 1 =एम 1 ए 2 +ए 3 से भी विभाज्य है λ . अतः उभयनिष्ठ भाजक ए 2 और ए 3 भी एक सामान्य भाजक है ए 1 और ए 2. क्योंकि ए 3 <ए 2 ≤ए 1, तो हम कह सकते हैं कि संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात करने की समस्या का समाधान ए 1 और ए 2 को संख्याओं के सामान्य भाजक को खोजने की सरल समस्या तक सीमित कर दिया गया है ए 2 और ए 3 .

अगर ए 3 ≠0, तो हम विभाजित कर सकते हैं ए 2 प्रति ए 3. तब

कहाँ एम 1 और ए 4 कुछ पूर्णांक हैं, ( एविभाजन से 4 शेष ए 2 प्रति ए 3 (ए 4 <ए 3)). इसी तरह के तर्क से हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि संख्याओं के सामान्य भाजक ए 3 और ए 4 संख्याओं के सामान्य भाजक के साथ मेल खाता है ए 2 और ए 3, और सामान्य भाजक के साथ भी ए 1 और ए 2. क्योंकि ए 1 , ए 2 , ए 3 , ए 4, ... वे संख्याएँ हैं जो लगातार घट रही हैं, और चूँकि इनके बीच पूर्णांकों की एक सीमित संख्या है ए 2 और 0, फिर किसी चरण पर एन, विभाजन का शेष भाग एएन पर ए n+1 शून्य के बराबर होगा ( एएन+2 =0).

प्रत्येक सामान्य विभाजक λ नंबर ए 1 और ए 2 संख्याओं का भाजक भी है ए 2 और ए 3 , ए 3 और ए 4 , .... एएन और एएन+1 . इसका विपरीत भी सत्य है, संख्याओं के सामान्य भाजक एएन और ए n+1 भी संख्याओं के विभाजक हैं ए n−1 और एएन , .... , ए 2 और ए 3 , ए 1 और ए 2. लेकिन संख्याओं का सामान्य भाजक एएन और ए n+1 एक संख्या है ए n+1 , क्योंकि एएन और ए n+1 से विभाज्य हैं ए n+1 (याद रखें एएन+2 =0). इस तरह ए n+1 संख्याओं का भाजक भी है ए 1 और ए 2 .

ध्यान दें कि संख्या ए n+1 संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक है एएन और ए n+1 , सबसे बड़े भाजक के बाद से ए n+1 स्वयं है एएन+1 . अगर ए n+1 को पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो ये संख्याएँ संख्याओं के सामान्य विभाजक भी हैं ए 1 और ए 2. संख्या ए n+1 कहा जाता है महत्तम सामान्य भाजकनंबर ए 1 और ए 2 .

नंबर ए 1 और ए 2 या तो धनात्मक या ऋणात्मक संख्या हो सकती है। यदि संख्याओं में से एक शून्य के बराबर है, तो इन संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक दूसरी संख्या के निरपेक्ष मान के बराबर होगा। शून्य संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक अपरिभाषित है।

उपरोक्त एल्गोरिथम कहा जाता है यूक्लिडियन एल्गोरिथ्मदो पूर्णांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना।

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने का एक उदाहरण

दो संख्याओं 630 और 434 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।

चरण 1. संख्या 630 को 434 से विभाजित करें। शेषफल 196 है।
चरण 2. संख्या 434 को 196 से विभाजित करें। शेषफल 42 है।
चरण 3. संख्या 196 को 42 से विभाजित करें। शेषफल 28 है।
चरण 4. संख्या 42 को 28 से विभाजित करें। शेषफल 14 है।
चरण 5. संख्या 28 को 14 से विभाजित करें। शेषफल 0 है।

चरण 5 में, विभाजन का शेषफल 0 है। इसलिए, संख्या 630 और 434 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 14 है। ध्यान दें कि संख्या 2 और 7 भी संख्या 630 और 434 के भाजक हैं।

सहअभाज्य संख्याएँ

परिभाषा 1. मान लीजिए संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है ए 1 और ए 2 एक के बराबर है. फिर इन नंबरों पर कॉल किया जाता है सहअभाज्य संख्याएँ, जिसका कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है।

प्रमेय 1. अगर ए 1 और ए 2 सहअभाज्य संख्याएँ, और λ कुछ संख्या, फिर संख्याओं का कोई सामान्य भाजक λa 1 और ए 2 भी संख्याओं का एक सामान्य भाजक है λ और ए 2 .

सबूत। संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम पर विचार करें ए 1 और ए 2 (ऊपर देखें)।

प्रमेय की शर्तों से यह निष्कर्ष निकलता है कि संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ए 1 और ए 2 और इसलिए एएन और ए n+1 है 1. यानी एएन+1 =1.

आइए इन सभी समानताओं को इससे गुणा करें λ , तब

चलो सामान्य भाजक ए 1 λ और ए 2 हाँ δ . तब δ में गुणक के रूप में शामिल किया गया है ए 1 λ , एम 1 ए 2 λ और में ए 1 λ -एम 1 ए 2 λ =ए 3 λ (देखें "संख्याओं की विभाज्यता", कथन 2)। आगे δ में गुणक के रूप में शामिल किया गया है ए 2 λ और एम 2 ए 3 λ , और, इसलिए, एक कारक के रूप में शामिल किया गया है ए 2 λ -एम 2 ए 3 λ =ए 4 λ .

इस प्रकार तर्क करते हुए, हम इस बात से आश्वस्त हैं δ में गुणक के रूप में शामिल किया गया है ए n-1 λ और एम n-1 एएन λ , और इसलिए में ए n-1 λ −एम n-1 एएन λ =एएन+1 λ . क्योंकि ए n+1 =1, फिर δ में गुणक के रूप में शामिल किया गया है λ . इसलिए संख्या δ संख्याओं का सामान्य भाजक है λ और ए 2 .

आइए प्रमेय 1 के विशेष मामलों पर विचार करें।

परिणाम 1. होने देना एऔर सीअभाज्य संख्याएँ अपेक्षाकृत होती हैं बी. फिर उनका उत्पाद एसीके संबंध में एक अभाज्य संख्या है बी.

वास्तव में। प्रमेय 1 से एसीऔर बीके समान सामान्य भाजक हैं सीऔर बी. लेकिन संख्याएँ सीऔर बीअपेक्षाकृत सरल, यानी एक ही उभयनिष्ठ भाजक है 1. फिर एसीऔर बीइसका एक ही उभयनिष्ठ भाजक 1 भी है। इसलिए एसीऔर बीपरस्पर सरल.

परिणाम 2. होने देना एऔर बीसहअभाज्य संख्याएँ और चलो बीविभाजित एके. तब बीविभाजित करता है और क.

वास्तव में। अनुमोदन शर्त से एकेऔर बीएक सामान्य भाजक है बी. प्रमेय 1 के आधार पर, बीएक सामान्य भाजक होना चाहिए बीऔर क. इस तरह बीविभाजित क.

परिणाम 1 को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

परिणाम 3. 1. चलो संख्याएँ ए 1 , ए 2 , ए 3 , ..., ए m संख्या के सापेक्ष अभाज्य हैं बी. तब ए 1 ए 2 , ए 1 ए 2 · ए 3 , ..., ए 1 ए 2 ए 3··· एमी, इन संख्याओं का गुणनफल संख्या के सापेक्ष अभाज्य है बी.

2. मान लीजिए हमारे पास संख्याओं की दो पंक्तियाँ हैं

इस प्रकार कि पहली श्रृंखला की प्रत्येक संख्या दूसरी श्रृंखला की प्रत्येक संख्या के अनुपात में अभाज्य हो। फिर उत्पाद

आपको ऐसी संख्याएँ ढूँढ़नी होंगी जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य हों।

यदि कोई संख्या विभाज्य है ए 1, तो इसका स्वरूप है एसए 1 कहाँ एसकुछ संख्या. अगर क्यूसंख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है ए 1 और ए 2, फिर

कहाँ एस 1 कोई पूर्णांक है. तब

है संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ए 1 और ए 2 .

ए 1 और ए 2 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, तो संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज ए 1 और ए 2:

हमें इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना होगा।

उपरोक्त से यह निष्कर्ष निकलता है कि संख्याओं का कोई भी गुणज ए 1 , ए 2 , ए 3 संख्याओं का गुणज होना चाहिए ε और ए 3 और वापस. माना संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ε और ए 3 हाँ ε 1 . अगला, संख्याओं का गुणज ए 1 , ए 2 , ए 3 , ए 4 संख्याओं का गुणज होना चाहिए ε 1 और ए 4 . माना संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ε 1 और ए 4 हाँ ε 2. इस प्रकार, हमें पता चला कि संख्याओं के सभी गुणज ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,ए m एक निश्चित संख्या के गुणजों से मेल खाता है ε n, जिसे दी गई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य कहा जाता है।

विशेष मामले में जब संख्याएँ ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,ए m अपेक्षाकृत अभाज्य है, तो संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणज ए 1 , ए 2, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, का रूप (3) है। अगला, तब से एसंख्याओं के संबंध में 3 अभाज्य ए 1 , ए 2 तो ए 3 अभाज्य संख्या ए 1 · ए 2 (परिणाम 1). अर्थात संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ए 1 ,ए 2 ,ए 3 एक संख्या है ए 1 · ए 2 · ए 3. इसी प्रकार तर्क करते हुए, हम निम्नलिखित कथनों पर पहुँचते हैं।

कथन 1. सहअभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,एमी उनके उत्पाद के बराबर है ए 1 · ए 2 · ए 3··· एएम।

कथन 2. कोई भी संख्या जो प्रत्येक सहअभाज्य संख्या से विभाज्य हो ए 1 , ए 2 , ए 3 ,...,ए m उनके गुणनफल से भी विभाज्य है ए 1 · ए 2 · ए 3··· एएम।