यह आलेख निम्न से संबंधित है सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) ढूँढनादो या दो से अधिक संख्याएँ. सबसे पहले, आइए यूक्लिड एल्गोरिदम को देखें; यह आपको दो संख्याओं की जीसीडी खोजने की अनुमति देता है। इसके बाद, हम एक ऐसी विधि पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो हमें संख्याओं की जीसीडी को उनके सामान्य अभाज्य कारकों के उत्पाद के रूप में गणना करने की अनुमति देती है। इसके बाद, हम तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने पर विचार करेंगे, और ऋणात्मक संख्याओं की जीसीडी की गणना के उदाहरण भी देंगे।
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जीसीडी खोजने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम
ध्यान दें कि यदि हमने शुरू से ही अभाज्य संख्याओं की तालिका देखी होती, तो हमें पता चलता कि संख्याएँ 661 और 113 अभाज्य संख्याएँ हैं, जिससे हम तुरंत कह सकते हैं कि उनकी सबसे बड़ी संख्याएँ हैं सामान्य भाजक 1 के बराबर है.
उत्तर:
जीसीडी(661, 113)=1।
संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके जीसीडी ज्ञात करना
आइए जीसीडी खोजने के दूसरे तरीके पर विचार करें। सबसे बड़ा सामान्य भाजक संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके पाया जा सकता है। आइए एक नियम बनाएं: दो धनात्मक पूर्णांक a और b की gcd संख्या a और b के अभाज्य गुणनखंडों में पाए जाने वाले सभी सामान्य अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के बराबर है।.
आइए जीसीडी खोजने के नियम को समझाने के लिए एक उदाहरण दें। आइए जानते हैं संख्या 220 और 600 को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करने पर इनका रूप 220=2·2·5·11 और 600=2·2·2·3·5·5 होता है। संख्या 220 और 600 के गुणनखंडन में शामिल सामान्य अभाज्य गुणनखंड 2, 2 और 5 हैं। इसलिए, gcd(220, 600)=2·2·5=20।
इस प्रकार, यदि हम संख्याओं ए और बी को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करते हैं और उनके सभी सामान्य कारकों का गुणनफल निकालते हैं, तो इससे संख्याओं ए और बी का सबसे बड़ा सामान्य भाजक मिलेगा।
आइए बताए गए नियम के अनुसार जीसीडी खोजने के एक उदाहरण पर विचार करें।
उदाहरण।
संख्या 72 और 96 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए।
समाधान।
आइए संख्याओं 72 और 96 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करें: 
यानी 72=2·2·2·3·3 और 96=2·2·2·2·2·3. सामान्य अभाज्य गुणनखंड 2, 2, 2 और 3 हैं। इस प्रकार, gcd(72, 96)=2·2·2·3=24।
उत्तर:
जीसीडी(72,96)=24।
इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम ध्यान देते हैं कि जीसीडी खोजने के लिए उपरोक्त नियम की वैधता सबसे बड़े सामान्य भाजक की संपत्ति से होती है, जो बताती है कि जीसीडी(एम ए 1 , एम बी 1)=एम जीसीडी(ए 1 , बी 1), जहाँ m कोई धनात्मक पूर्णांक है।
तीन या अधिक संख्याओं की gcd ज्ञात करना
तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूँढना क्रमिक रूप से दो संख्याओं की जीसीडी खोजने तक कम किया जा सकता है। जीसीडी के गुणों का अध्ययन करते समय हमने इसका उल्लेख किया था। वहां हमने प्रमेय तैयार किया और सिद्ध किया: कई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक a 1, a 2, …, a k संख्या के बराबर d k , जो क्रमिक रूप से GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)=d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k) की गणना करके पाया जाता है - 1 , a k)=d k .
आइए उदाहरण के समाधान को देखकर देखें कि कई संख्याओं की जीसीडी खोजने की प्रक्रिया कैसी दिखती है।
उदाहरण।
चार संख्याओं 78, 294, 570 और 36 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
समाधान।
इस उदाहरण में, ए 1 =78, ए 2 =294, ए 3 =570, ए 4 =36।
सबसे पहले, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके, हम पहले दो संख्याओं 78 और 294 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक d 2 निर्धारित करते हैं। विभाजित करते समय, हमें समानताएँ 294=78·3+60 प्राप्त होती हैं; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 और 18=6·3. इस प्रकार, d 2 =GCD(78, 294)=6.
अब हिसाब लगाते हैं डी 3 =जीसीडी(डी 2, ए 3)=जीसीडी(6, 570). आइए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को फिर से लागू करें: 570=6·95, इसलिए, डी 3 = जीसीडी(6, 570)=6।
अभी हिसाब लगाना बाकी है डी 4 =जीसीडी(डी 3, ए 4)=जीसीडी(6, 36). चूँकि 36, 6 से विभाज्य है, तो d 4 = GCD(6, 36) = 6.
इस प्रकार, दी गई चार संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक d 4 = 6 है, अर्थात, gcd(78, 294, 570, 36)=6।
उत्तर:
जीसीडी(78, 294, 570, 36)=6।
संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने से आप तीन या अधिक संख्याओं की जीसीडी की गणना भी कर सकते हैं। इस मामले में, सबसे बड़ा सामान्य भाजक दी गई संख्याओं के सभी सामान्य अभाज्य कारकों के उत्पाद के रूप में पाया जाता है।
उदाहरण।
पिछले उदाहरण से संख्याओं की जीसीडी की गणना उनके अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके करें।
समाधान।
आइए संख्याओं 78, 294, 570 और 36 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करें, हमें 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 प्राप्त होता है ·3·3. इन सभी चार संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंड संख्या 2 और 3 हैं। इस तरह, जीसीडी(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम नामक लेख के सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है - लघुत्तम समापवर्तक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध। यहां हम बात करेंगे लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करना, और विशेष ध्यानआइए उदाहरणों को हल करने पर ध्यान दें। सबसे पहले, हम दिखाएंगे कि इन संख्याओं के जीसीडी का उपयोग करके दो संख्याओं के एलसीएम की गणना कैसे की जाती है। इसके बाद, हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने पर विचार करेंगे। इसके बाद हम तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम निकालने पर ध्यान देंगे और ऋणात्मक संख्याओं का एलसीएम निकालने पर भी ध्यान देंगे।
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जीसीडी के माध्यम से न्यूनतम सामान्य गुणक (एलसीएम) की गणना
लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का एक तरीका एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित है। मौजूदा कनेक्शनएलसीएम और जीसीडी के बीच आपको ज्ञात सबसे बड़े सामान्य विभाजक का उपयोग करके दो सकारात्मक पूर्णांकों के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करने की अनुमति मिलती है। तत्संबंधी सूत्र है एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी) . आइए दिए गए सूत्र का उपयोग करके एलसीएम खोजने के उदाहरण देखें।
उदाहरण।
दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
समाधान।
इस उदाहरण में a=126 , b=70 . आइए हम सूत्र द्वारा व्यक्त एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध का उपयोग करें एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी). यानी सबसे पहले हमें संख्या 70 और 126 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूंढना होगा, जिसके बाद हम लिखित सूत्र का उपयोग करके इन संख्याओं के एलसीएम की गणना कर सकते हैं।
आइए यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी(126, 70) खोजें: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, इसलिए, जीसीडी(126, 70)=14।
अब हम आवश्यक लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करते हैं: जीसीडी(126, 70)=126·70:जीसीडी(126, 70)= 126·70:14=630.
उत्तर:
एलसीएम(126, 70)=630।
उदाहरण।
LCM(68, 34) किसके बराबर है?
समाधान।
क्योंकि 68, 34 से विभाज्य है, तो GCD(68, 34)=34. अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: जीसीडी(68, 34)=68·34:जीसीडी(68, 34)= 68·34:34=68.
उत्तर:
एलसीएम(68, 34)=68।
ध्यान दें कि पिछला उदाहरण सकारात्मक पूर्णांक ए और बी के लिए एलसीएम खोजने के लिए निम्नलिखित नियम में फिट बैठता है: यदि संख्या ए, बी से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक ए है।
संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके एलसीएम ज्ञात करना
लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का दूसरा तरीका संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने पर आधारित है। यदि आप दी गई संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों से एक उत्पाद बनाते हैं, और फिर इस उत्पाद से दी गई संख्याओं के अपघटन में मौजूद सभी सामान्य अभाज्य कारकों को बाहर कर देते हैं, तो परिणामी उत्पाद दी गई संख्याओं के सबसे छोटे सामान्य गुणक के बराबर होगा। .
एलसीएम ज्ञात करने का बताया गया नियम समानता का अनुसरण करता है एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी). दरअसल, संख्या ए और बी का उत्पाद संख्या ए और बी के विस्तार में शामिल सभी कारकों के उत्पाद के बराबर है। बदले में, जीसीडी(ए, बी) संख्या ए और बी के विस्तार में एक साथ मौजूद सभी अभाज्य कारकों के उत्पाद के बराबर है (जैसा कि अभाज्य कारकों में संख्याओं के विस्तार का उपयोग करके जीसीडी खोजने के अनुभाग में वर्णित है)।
चलिए एक उदाहरण देते हैं. आइए जानते हैं 75=3·5·5 और 210=2·3·5·7. आइए इन विस्तारों के सभी कारकों से उत्पाद बनाएं: 2·3·3·5·5·5·7। अब इस उत्पाद से हम संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार (ऐसे कारक 3 और 5 हैं) दोनों में मौजूद सभी कारकों को बाहर कर देते हैं, तो उत्पाद 2·3·5·5·7 का रूप लेगा। . इस उत्पाद का मूल्य 75 और 210 के लघुत्तम समापवर्तक के बराबर है, अर्थात एनओसी(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
उदाहरण।
संख्याओं 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें और इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें।
समाधान।
आइए संख्याओं 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करें:
हमें 441=3·3·7·7 और 700=2·2·5·5·7 मिलते हैं।
आइए अब इन संख्याओं के विस्तार में शामिल सभी कारकों का एक उत्पाद बनाएं: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. आइए इस उत्पाद से उन सभी कारकों को हटा दें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक ही कारक है - यह संख्या 7 है): 2·2·3·3·5·5·7·7. इस प्रकार, एलसीएम(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
उत्तर:
एनओसी(441,700)=44 100।
अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के गुणनखंडन का उपयोग करके एलसीएम खोजने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि संख्या b के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को संख्या a के विस्तार से प्राप्त गुणनखंडों में जोड़ दिया जाए, तो परिणामी उत्पाद का मान संख्याओं a और b के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर होगा।.
उदाहरण के लिए, आइए समान संख्याएँ 75 और 210 लें, अभाज्य गुणनखंडों में उनका अपघटन इस प्रकार है: 75=3·5·5 और 210=2·3·5·7। संख्या 75 के विस्तार से गुणनखंड 3, 5 और 5 में हम संख्या 210 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2·3·5·5·7 प्राप्त होता है, जिसका मान है एलसीएम(75,210) के बराबर।
उदाहरण।
84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
समाधान।
हम सबसे पहले संख्या 84 और 648 का अभाज्य गुणनखंडों में वियोजन प्राप्त करते हैं। वे 84=2·2·3·7 और 648=2·2·2·3·3·3·3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के विस्तार से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 3 3 3 3 7 प्राप्त होता है, जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, 84 और 648 का वांछित लघुत्तम समापवर्तक 4,536 है।
उत्तर:
एलसीएम(84,648)=4,536।
तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना
दो संख्याओं का एलसीएम क्रमिक रूप से ज्ञात करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात किया जा सकता है। आइए संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम खोजने का तरीका देता है।
प्रमेय.
मान लीजिए कि धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ a 1 , a 2 , …, a k दी गई हैं, तो इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक m k क्रमिक रूप से m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) की गणना करके ज्ञात किया जाता है। 3) , … , एम के = एलसीएम(एम के−1 , ए के) .
आइए चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण का उपयोग करके इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।
उदाहरण।
चार संख्याओं 140, 9, 54 और 250 का LCM ज्ञात कीजिए।
समाधान।
इस उदाहरण में, ए 1 =140, ए 2 =9, ए 3 =54, ए 4 =250।
पहले हम ढूंढते हैं एम 2 = एलओसी(ए 1 , ए 2) = एलओसी(140, 9). ऐसा करने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके, हम GCD(140, 9) निर्धारित करते हैं, हमारे पास 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, इसलिए, GCD(140, 9)=1 , कहाँ से जीसीडी(140, 9)=140 9:जीसीडी(140, 9)= 140·9:1=1,260. अर्थात्, म 2 =1 260.
अब हम पाते हैं एम 3 = एलओसी (एम 2, ए 3) = एलओसी (1 260, 54). आइए इसकी गणना जीसीडी(1 260, 54) के माध्यम से करें, जिसे हम यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके भी निर्धारित करते हैं: 1 260=54·23+18, 54=18·3। फिर gcd(1,260, 54)=18, जिससे gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. अर्थात्, म 3 =3 780.
जो कुछ बचा है उसे ढूंढना है एम 4 = एलओसी(एम 3, ए 4) = एलओसी(3 780, 250). ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी(3,780, 250) पाते हैं: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3। इसलिए, GCM(3,780, 250)=10, जहां से GCM(3,780, 250)= 3 780 250: जीसीडी(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. अर्थात्, मी 4 =94 500.
अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94,500 है।
उत्तर:
एलसीएम(140, 9, 54, 250)=94,500.
कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना सुविधाजनक होता है। ऐसे में आपको निम्नलिखित नियम का पालन करना चाहिए। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य गुणनफल के बराबर होता है, जिसकी रचना इस प्रकार होती है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी कारकों में जोड़ा जाता है, के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ा जाता है तीसरी संख्या को परिणामी कारकों में जोड़ा जाता है, इत्यादि।
आइए अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का एक उदाहरण देखें।
उदाहरण।
पाँच संख्याओं 84, 6, 48, 7, 143 में से लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।
समाधान।
सबसे पहले, हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 एक अभाज्य संख्या है, यह संपाती है अभाज्य गुणनखंडों में इसके अपघटन के साथ) और 143=11·13।
इन संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2, 2, 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में, आपको दूसरी संख्या 6 के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के अपघटन में लुप्त कारक शामिल नहीं हैं, क्योंकि पहली संख्या 84 के अपघटन में 2 और 3 दोनों पहले से ही मौजूद हैं। इसके बाद, गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं, हमें गुणनखंड 2, 2, 2, 2, 3 और 7 का एक सेट मिलता है। अगले चरण में इस सेट में गुणक जोड़ने की आवश्यकता नहीं होगी, क्योंकि इसमें 7 पहले से ही समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2, 2, 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2·2·2·2·3·7·11·13 प्राप्त होता है, जो 48,048 के बराबर है।
तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूँढना क्रमिक रूप से दो संख्याओं की जीसीडी खोजने तक कम किया जा सकता है। जीसीडी के गुणों का अध्ययन करते समय हमने इसका उल्लेख किया था। वहां हमने प्रमेय तैयार किया और सिद्ध किया: कई संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ए 1 , ए 2 , …, ए केसंख्या के बराबर डीके, जो क्रमिक गणना द्वारा पाया जाता है जीसीडी(ए 1 , ए 2)=डी 2, जीसीडी(डी 2 , ए 3)=डी 3, जीसीडी(डी 3 , ए 4)=डी 4, …,GCD(d k-1 , a k)=d k.
आइए उदाहरण के समाधान को देखकर देखें कि कई संख्याओं की जीसीडी खोजने की प्रक्रिया कैसी दिखती है।
उदाहरण।
चार संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए 78 , 294 , 570 और 36 .
समाधान।
इस उदाहरण में ए 1 =78, ए 2 =294, ए 3 =570, ए 4 =36.
सबसे पहले, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके, हम सबसे बड़ा सामान्य भाजक निर्धारित करते हैं घ 2पहले दो नंबर 78 और 294 . विभाजित करने पर हमें समानताएं मिलती हैं 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6और 18=6·3. इस प्रकार, डी 2 =जीसीडी(78,294)=6.
अब हिसाब लगाते हैं डी 3 =जीसीडी(डी 2, ए 3)=जीसीडी(6, 570). आइए फिर से यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करें: 570=6·95, इस तरह, डी 3 =जीसीडी(6,570)=6.
अभी हिसाब लगाना बाकी है डी 4 =जीसीडी(डी 3, ए 4)=जीसीडी(6, 36). क्योंकि 36 द्वारा विभाजित 6 , वह घ 4 =जीसीडी(6, 36)=6.
इस प्रकार, दी गई चार संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक बराबर है घ 4 =6, वह है, जीसीडी(78, 294, 570, 36)=6.
उत्तर:
जीसीडी(78, 294, 570, 36)=6.
संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने से आप तीन या अधिक संख्याओं की जीसीडी की गणना भी कर सकते हैं। इस मामले में, सबसे बड़ा सामान्य भाजक दी गई संख्याओं के सभी सामान्य अभाज्य कारकों के उत्पाद के रूप में पाया जाता है।
उदाहरण।
पिछले उदाहरण से संख्याओं की जीसीडी की गणना उनके अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके करें।
समाधान।
आइए संख्याओं को तोड़ें 78 , 294 , 570 और 36 अभाज्य कारकों द्वारा, हम पाते हैं 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. दी गई सभी चार संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंड संख्याएँ हैं 2 और 3 . इस तरह, जीसीडी(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
उत्तर:
जीसीडी(78, 294, 570, 36)=6.
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ऋणात्मक संख्याओं की जीसीडी ढूँढना
यदि एक, कई, या सभी संख्याएँ जिनका सबसे बड़ा भाजक पाया जाना है, ऋणात्मक संख्याएँ हैं, तो उनकी जीसीडी इन संख्याओं के मापांक के सबसे बड़े सामान्य भाजक के बराबर है। यह इस तथ्य के कारण है कि विपरीत संख्याएँ एऔर -एकविभाजक समान होते हैं, जैसा कि हमने विभाज्यता के गुणों का अध्ययन करते समय चर्चा की थी।
उदाहरण।
ऋणात्मक पूर्णांकों की gcd ज्ञात कीजिए −231 और −140 .
समाधान।
किसी संख्या का निरपेक्ष मान −231 के बराबर होती है 231 , और संख्या का मापांक −140 के बराबर होती है 140 , और जीसीडी(−231, −140)=जीसीडी(231, 140). यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म हमें निम्नलिखित समानताएँ देता है: 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7और 42=7 6. इस तरह, जीसीडी(231, 140)=7. तब ऋणात्मक संख्याओं का वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक है −231 और −140 के बराबर होती है 7 .
उत्तर:
जीसीडी(−231, −140)=7.
उदाहरण।
तीन संख्याओं की gcd ज्ञात कीजिए −585 , 81 और −189 .
समाधान।
सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने पर, ऋणात्मक संख्याओं को उनके निरपेक्ष मानों से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, अर्थात, जीसीडी(−585, 81, −189)=जीसीडी(585, 81, 189). संख्या विस्तार 585 , 81 और 189 अभाज्य कारकों में रूप होता है 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3और 189=3·3·3·7. इन तीन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंड हैं 3 और 3 . तब जीसीडी(585, 81, 189)=3·3=9, इस तरह, जीसीडी(−585, 81, −189)=9.
उत्तर:
जीसीडी(−585, 81, −189)=9.
35. एक बहुपद की जड़ें. बेज़ाउट का प्रमेय. (33 और अधिक)
36. अनेक जड़ें, जड़ों की बहुलता की कसौटी।
वह सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या जिससे संख्याओं a और b को बिना शेषफल के विभाजित किया जाता है, कहलाती है महत्तम सामान्य भाजकये नंबर. जीसीडी (ए, बी) को निरूपित करें।
आइए दो के उदाहरण का उपयोग करके जीसीडी खोजने पर विचार करें प्राकृतिक संख्या 18 और 60:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 और 432
आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
पहली संख्या से उन कारकों को काटने पर, जिनके गुणनखंड दूसरी और तीसरी संख्या में नहीं हैं, हमें प्राप्त होता है:
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
परिणामस्वरूप, जीसीडी( 324 , 111 , 432 )=3
यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके जीसीडी ढूँढना
सबसे बड़ा सामान्य विभाजक खोजने का दूसरा तरीका का उपयोग करना है यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म. यूक्लिड एल्गोरिथम सबसे अधिक है प्रभावी तरीकाखोज जीसीडी, इसका उपयोग करके आपको लगातार विभाजित संख्याओं के शेषफल को ढूंढना होगा और लागू करना होगा पुनरावृत्ति सूत्र.
पुनरावृत्ति सूत्रजीसीडी के लिए, जीसीडी(ए, बी)=जीसीडी(बी, ए मॉड बी), जहां a mod b, b से विभाजित a का शेषफल है।
यूक्लिड का एल्गोरिदम
उदाहरण संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करें 7920 और 594
आइए जीसीडी खोजें( 7920 , 594 ) यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, हम एक कैलकुलेटर का उपयोग करके विभाजन के शेष भाग की गणना करेंगे।
- 7920 मॉड 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 मॉड 198 = 594 – 3 × 198 = 0
परिणामस्वरूप, हमें GCD( 7920 , 594 ) = 198
न्यूनतम समापवर्तक
खोजने के क्रम में आम विभाजकभिन्नों को जोड़ते और घटाते समय विभिन्न भाजकआपको जानने और गणना करने में सक्षम होने की आवश्यकता है न्यूनतम समापवर्तक(NOK).
संख्या "a" का गुणज एक ऐसी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के "a" संख्या से विभाज्य होती है।
वे संख्याएँ जो 8 के गुणज हैं (अर्थात्, ये संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 8 से विभाज्य हैं): ये संख्याएँ 16, 24, 32 हैं...
9 के गुणज: 18, 27, 36, 45...
एक ही संख्या के विभाजक के विपरीत, किसी दी गई संख्या a के अनंत गुणज होते हैं। भाजक की एक सीमित संख्या होती है।
दो प्राकृतिक संख्याओं का सार्व गुणज एक ऐसी संख्या होती है जो इन दोनों संख्याओं से विभाज्य होती है।.
न्यूनतम समापवर्तकदो या दो से अधिक प्राकृतिक संख्याओं की (LCM) सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या होती है जो इनमें से प्रत्येक संख्या से विभाज्य होती है।
एनओसी कैसे पाएं
एलसीएम को दो तरीकों से पाया और लिखा जा सकता है।
LOC खोजने का पहला तरीका
इस विधि का प्रयोग आमतौर पर छोटी संख्याओं के लिए किया जाता है।
- हम प्रत्येक संख्या के गुणजों को एक पंक्ति में तब तक लिखते हैं जब तक हमें ऐसा गुणज नहीं मिल जाता जो दोनों संख्याओं के लिए समान हो।
- संख्या "a" के गुणज को बड़े अक्षर "K" से दर्शाया जाता है।
उदाहरण। एलसीएम 6 और 8 खोजें।
एलओसी खोजने का दूसरा तरीका
तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के लिए इस विधि का उपयोग करना सुविधाजनक है।
संख्याओं के अपघटन में समान कारकों की संख्या भिन्न हो सकती है।
एलसीएम(24, 60) = 2 2 3 5 2
उत्तर: एलसीएम (24, 60) = 120
आप निम्न प्रकार से लघुत्तम समापवर्त्य (एलसीएम) ज्ञात करने को भी औपचारिक बना सकते हैं। आइए एलओसी (12, 16, 24) खोजें।
24 = 2 2 2 3
जैसा कि हम संख्याओं के अपघटन से देखते हैं, 12 के सभी गुणनखंड 24 (संख्याओं में सबसे बड़ी) के अपघटन में शामिल होते हैं, इसलिए हम संख्या 16 के अपघटन से एलसीएम में केवल एक 2 जोड़ते हैं।
एलसीएम (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
उत्तर: एलसीएम (12, 16, 24) = 48
एनओसी खोजने के विशेष मामले
उदाहरण के लिए, एलसीएम (60, 15) = 60
चूँकि यह पारस्परिक है प्रमुख संख्याकोई उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड नहीं है, तो उनका लघुत्तम समापवर्तक इन संख्याओं के गुणनफल के बराबर है।
हमारी वेबसाइट पर आप अपनी गणनाओं की जांच करने के लिए लघुत्तम समापवर्तक को ऑनलाइन खोजने के लिए एक विशेष कैलकुलेटर का उपयोग भी कर सकते हैं।
यदि कोई प्राकृत संख्या केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हो तो वह अभाज्य संख्या कहलाती है।
कोई भी प्राकृत संख्या सदैव 1 और स्वयं से विभाज्य होती है।
संख्या 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है। यह एकमात्र सम अभाज्य संख्या है; अन्य अभाज्य संख्याएँ विषम हैं।
कई अभाज्य संख्याएँ हैं, और उनमें से पहली संख्या 2 है। हालाँकि, कोई अंतिम अभाज्य संख्या नहीं है। "अध्ययन के लिए" अनुभाग में आप 997 तक की अभाज्य संख्याओं की एक तालिका डाउनलोड कर सकते हैं।
लेकिन कई प्राकृतिक संख्याएँ अन्य प्राकृतिक संख्याओं से भी विभाज्य होती हैं।
- संख्या 12 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;
- संख्या 36, 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।
- संख्याओं के भाजक को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें;
वे संख्याएँ जिनसे कोई संख्या पूरी से विभाज्य होती है (12 के लिए ये 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं) संख्या के विभाजक कहलाते हैं।
किसी प्राकृत संख्या का भाजक a वह प्राकृत संख्या है जो विभाजित करती है दिया गया नंबरशेषफल के बिना "ए"।
वह प्राकृत संख्या जिसमें दो से अधिक भाजक हों, भाज्य कहलाती है।
कृपया ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य गुणनखंड हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12. इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है।
दो दी गई संख्याओं "ए" और "बी" का सामान्य भाजक वह संख्या है जिससे दोनों दी गई संख्याओं "ए" और "बी" को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है।
महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी) दो दी गई संख्याओं में से "ए" और "बी" है सबसे बड़ी संख्या, जिससे दोनों संख्याओं "ए" और "बी" को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है।
संक्षेप में, संख्याओं "ए" और "बी" का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक इस प्रकार लिखा गया है::
उदाहरण: जीसीडी (12; 36) = 12।
समाधान रिकॉर्ड में संख्याओं के भाजक को बड़े अक्षर "डी" द्वारा दर्शाया जाता है।
संख्या 7 और 9 में केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1। ऐसे नंबरों को कहा जाता है सहअभाज्य संख्याएँ.
सहअभाज्य संख्याएँ- ये प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनका केवल एक सामान्य भाजक है - संख्या 1। उनकी जीसीडी 1 है.
सबसे बड़ा सामान्य भाजक कैसे खोजें
दो या दो से अधिक प्राकृत संख्याओं की gcd ज्ञात करने के लिए आपको चाहिए:
ऊर्ध्वाधर पट्टी का उपयोग करके गणनाएँ लिखना सुविधाजनक है। पंक्ति के बाईं ओर हम पहले लाभांश लिखते हैं, दाईं ओर - भाजक। इसके बाद, बाएँ कॉलम में हम भागफल के मान लिखते हैं।
आइए इसे तुरंत एक उदाहरण से समझाएं। आइए संख्याओं 28 और 64 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।
- हम दोनों संख्याओं में समान अभाज्य गुणनखंडों पर जोर देते हैं।
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
समरूप अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल ज्ञात कीजिए और उत्तर लिखिए;
जीसीडी (28; 64) = 2 2 = 4
उत्तर: जीसीडी (28; 64) = 4
आप जीसीडी के स्थान को दो तरीकों से औपचारिक रूप दे सकते हैं: एक कॉलम में (जैसा कि ऊपर किया गया है) या "एक पंक्ति में"।
Gcd लिखने का पहला तरीका
जीसीडी 48 और 36 खोजें।
जीसीडी (48; 36) = 2 2 3 = 12
Gcd लिखने का दूसरा तरीका
आइए अब GCD खोज का समाधान एक पंक्ति में लिखें। जीसीडी 10 और 15 खोजें।
हमारी सूचना साइट पर आप अपनी गणनाओं की जांच के लिए ग्रेटेस्ट कॉमन डिवाइजर ऑनलाइन हेल्पर का भी उपयोग कर सकते हैं।
लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना, एलसीएम ज्ञात करने की विधियाँ, उदाहरण।
नीचे प्रस्तुत सामग्री एलसीएम नामक लेख के सिद्धांत की तार्किक निरंतरता है - लघुत्तम समापवर्तक, परिभाषा, उदाहरण, एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध। यहां हम बात करेंगे लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करना, और हम उदाहरणों को हल करने पर विशेष ध्यान देंगे। सबसे पहले, हम दिखाएंगे कि इन संख्याओं के जीसीडी का उपयोग करके दो संख्याओं के एलसीएम की गणना कैसे की जाती है। इसके बाद, हम संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने पर विचार करेंगे। इसके बाद हम तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम निकालने पर ध्यान देंगे और ऋणात्मक संख्याओं का एलसीएम निकालने पर भी ध्यान देंगे।
पेज नेविगेशन.
जीसीडी के माध्यम से न्यूनतम सामान्य गुणक (एलसीएम) की गणना
लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का एक तरीका एलसीएम और जीसीडी के बीच संबंध पर आधारित है। एलसीएम और जीसीडी के बीच मौजूदा कनेक्शन हमें ज्ञात सबसे बड़े सामान्य भाजक के माध्यम से दो सकारात्मक पूर्णांकों के लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करने की अनुमति देता है। तत्संबंधी सूत्र है एलसीएम(ए, बी)=ए बी:जीसीडी(ए, बी). आइए दिए गए सूत्र का उपयोग करके एलसीएम खोजने के उदाहरण देखें।
दो संख्याओं 126 और 70 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
इस उदाहरण में a=126 , b=70 . आइए LCM और GCD के बीच संबंध का उपयोग करें, जिसे सूत्र LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) द्वारा व्यक्त किया गया है। यानी सबसे पहले हमें संख्या 70 और 126 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ढूंढना होगा, जिसके बाद हम लिखित सूत्र का उपयोग करके इन संख्याओं के एलसीएम की गणना कर सकते हैं।
आइए यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी(126, 70) खोजें: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, इसलिए, जीसीडी(126, 70)=14।
अब हम आवश्यक लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करते हैं: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630।
LCM(68, 34) किसके बराबर है?
चूँकि 68, 34 से विभाज्य है, तो GCD(68, 34)=34. अब हम लघुत्तम समापवर्त्य की गणना करते हैं: LCM(68, 34)=68·34:जीसीडी(68, 34)= 68·34:34=68।
ध्यान दें कि पिछला उदाहरण सकारात्मक पूर्णांक ए और बी के लिए एलसीएम खोजने के लिए निम्नलिखित नियम में फिट बैठता है: यदि ए, बी से विभाज्य है, तो इन संख्याओं का सबसे छोटा सामान्य गुणक ए है।
संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करके एलसीएम ज्ञात करना
लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का दूसरा तरीका संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करने पर आधारित है। यदि आप दी गई संख्याओं के सभी अभाज्य गुणनखंडों से एक उत्पाद बनाते हैं, और फिर इस उत्पाद से दी गई संख्याओं के अपघटन में मौजूद सभी सामान्य अभाज्य कारकों को बाहर कर देते हैं, तो परिणामी उत्पाद दी गई संख्याओं के सबसे छोटे सामान्य गुणक के बराबर होगा। .
एलसीएम खोजने के लिए बताया गया नियम समानता LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) से अनुसरण करता है। दरअसल, संख्या ए और बी का उत्पाद संख्या ए और बी के विस्तार में शामिल सभी कारकों के उत्पाद के बराबर है। बदले में, जीसीडी(ए, बी) संख्या ए और बी के विस्तार में एक साथ मौजूद सभी अभाज्य कारकों के उत्पाद के बराबर है (जैसा कि अभाज्य कारकों में संख्याओं के विस्तार का उपयोग करके जीसीडी खोजने के अनुभाग में वर्णित है)।
चलिए एक उदाहरण देते हैं. आइए जानते हैं 75=3·5·5 और 210=2·3·5·7. आइए इन विस्तारों के सभी कारकों से उत्पाद बनाएं: 2·3·3·5·5·5·7। अब इस उत्पाद से हम संख्या 75 के विस्तार और संख्या 210 के विस्तार (ये कारक 3 और 5 हैं) दोनों में मौजूद सभी कारकों को बाहर कर देते हैं, तो उत्पाद 2·3·5·5·7 का रूप ले लेगा। . इस गुणनफल का मान संख्या 75 और 210 के लघुत्तम समापवर्त्य के बराबर है, अर्थात LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.
संख्याओं 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें और इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें।
आइए संख्याओं 441 और 700 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंड करें: 
हमें 441=3·3·7·7 और 700=2·2·5·5·7 मिलते हैं।
आइए अब इन संख्याओं के विस्तार में शामिल सभी कारकों का एक उत्पाद बनाएं: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. आइए इस उत्पाद से उन सभी कारकों को हटा दें जो दोनों विस्तारों में एक साथ मौजूद हैं (ऐसा केवल एक ही कारक है - यह संख्या 7 है): 2·2·3·3·5·5·7·7. इस प्रकार, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100।
एनओसी(441,700)=44 100।
अभाज्य गुणनखंडों में संख्याओं के गुणनखंडन का उपयोग करके एलसीएम खोजने का नियम थोड़ा अलग तरीके से तैयार किया जा सकता है। यदि संख्या b के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को संख्या a के विस्तार से प्राप्त गुणनखंडों में जोड़ दिया जाए, तो परिणामी उत्पाद का मान संख्या a और b के लघुत्तम समापवर्तक के बराबर होगा।
उदाहरण के लिए, आइए समान संख्याएँ 75 और 210 लें, अभाज्य गुणनखंडों में उनका अपघटन इस प्रकार है: 75=3·5·5 और 210=2·3·5·7। संख्या 75 के विस्तार से गुणनखंड 3, 5 और 5 में हम संख्या 210 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 7 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2·3·5·5·7 प्राप्त होता है, जिसका मान है एलसीएम(75,210) के बराबर।
84 और 648 का लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
हम सबसे पहले संख्या 84 और 648 का अभाज्य गुणनखंडों में वियोजन प्राप्त करते हैं। वे 84=2·2·3·7 और 648=2·2·2·3·3·3·3 जैसे दिखते हैं। संख्या 84 के विस्तार से गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 648 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2, 3, 3 और 3 जोड़ते हैं, हमें गुणनफल 2 2 2 3 3 3 3 7 प्राप्त होता है, जो 4 536 के बराबर है। इस प्रकार, 84 और 648 का वांछित लघुत्तम समापवर्त्य 4536 है।
तीन या अधिक संख्याओं का LCM ज्ञात करना
दो संख्याओं का एलसीएम क्रमिक रूप से ज्ञात करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात किया जा सकता है। आइए संबंधित प्रमेय को याद करें, जो तीन या अधिक संख्याओं का एलसीएम खोजने का तरीका देता है।
मान लीजिए कि धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ a 1 , a 2 , …, a k दी गई हैं, तो इन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक m k क्रमिक रूप से m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) की गणना करके ज्ञात किया जाता है। 3) , … , एम के = एलसीएम(एम के−1 , ए के) .
आइए चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने के उदाहरण का उपयोग करके इस प्रमेय के अनुप्रयोग पर विचार करें।
चार संख्याओं 140, 9, 54 और 250 का LCM ज्ञात कीजिए।
सबसे पहले हम m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) पाते हैं। ऐसा करने के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके, हम GCD(140, 9) निर्धारित करते हैं, हमारे पास 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, इसलिए, GCD(140, 9)=1, जिससे LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260। अर्थात्, म 2 =1 260.
अब हम m 3 = LCM(m 2 , a 3) = LCM(1 260, 54) पाते हैं। आइए इसकी गणना जीसीडी(1 260, 54) के माध्यम से करें, जिसे हम यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके भी निर्धारित करते हैं: 1 260=54·23+18, 54=18·3। फिर gcd(1,260, 54)=18, जिससे gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. अर्थात्, म 3 =3 780.
एम 4 = एलसीएम(एम 3 , ए 4) = एलसीएम(3 780, 250) खोजना बाकी है। ऐसा करने के लिए, हम यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग करके जीसीडी(3,780, 250) पाते हैं: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3। इसलिए, GCD(3,780, 250)=10, जिससे GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500. अर्थात्, मी 4 =94 500.
अतः मूल चार संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य 94,500 है।
एलसीएम(140, 9, 54, 250)=94,500।
कई मामलों में, दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडों का उपयोग करके तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना सुविधाजनक होता है। ऐसे में आपको निम्नलिखित नियम का पालन करना चाहिए। कई संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य गुणनफल के बराबर होता है, जिसकी रचना इस प्रकार होती है: दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को पहली संख्या के विस्तार से सभी कारकों में जोड़ा जाता है, के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ा जाता है तीसरी संख्या को परिणामी कारकों में जोड़ा जाता है, इत्यादि।
आइए अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का एक उदाहरण देखें।
पाँच संख्याओं 84, 6, 48, 7, 143 में से लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।
सबसे पहले, हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 एक अभाज्य संख्या है, यह संपाती है अभाज्य गुणनखंडों में इसके अपघटन के साथ) और 143=11·13।
इन संख्याओं का एलसीएम ज्ञात करने के लिए, पहली संख्या 84 (वे 2, 2, 3 और 7 हैं) के गुणनखंडों में, आपको दूसरी संख्या 6 के विस्तार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ना होगा। संख्या 6 के अपघटन में लुप्त कारक शामिल नहीं हैं, क्योंकि पहली संख्या 84 के अपघटन में 2 और 3 दोनों पहले से ही मौजूद हैं। इसके बाद, गुणनखंड 2, 2, 3 और 7 में हम तीसरी संख्या 48 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ते हैं, हमें गुणनखंड 2, 2, 2, 2, 3 और 7 का एक सेट मिलता है। अगले चरण में इस सेट में गुणक जोड़ने की आवश्यकता नहीं होगी, क्योंकि इसमें 7 पहले से ही समाहित है। अंत में, गुणनखंड 2, 2, 2, 2, 3 और 7 में हम संख्या 143 के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 11 और 13 जोड़ते हैं। हमें गुणनफल 2·2·2·2·3·7·11·13 प्राप्त होता है, जो 48,048 के बराबर है।
इसलिए, LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048।
एलसीएम(84, 6, 48, 7, 143)=48,048।
ऋणात्मक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना
कभी-कभी ऐसे कार्य होते हैं जिनमें आपको संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना होता है, जिनमें से एक, अनेक या सभी संख्याएँ ऋणात्मक होती हैं। इन मामलों में, सभी नकारात्मक संख्याओं को उनके विपरीत संख्याओं से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, और फिर सकारात्मक संख्याओं का एलसीएम पाया जाना चाहिए। यह ऋणात्मक संख्याओं का LCM ज्ञात करने का तरीका है। उदाहरण के लिए, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) और LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) ।
हम ऐसा कर सकते हैं क्योंकि a के गुणजों का समुच्चय −a के गुणजों के समुच्चय के समान है (a और −a विपरीत संख्याएँ हैं)। वास्तव में, मान लीजिए कि b, a का कुछ गुणज है, तो b, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की अवधारणा एक पूर्णांक q के अस्तित्व को बताती है जैसे कि b=a·q। लेकिन समानता b=(−a)·(−q) भी सत्य होगी, जो विभाज्यता की समान अवधारणा के कारण, इसका मतलब है कि b, −a से विभाज्य है, अर्थात b, −a का गुणज है। इसका विपरीत भी सत्य है: यदि b, −a का कोई गुणज है, तो b भी a का कोई गुणज है।
ऋणात्मक संख्याओं −145 और −45 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।
आइए ऋणात्मक संख्याओं −145 और −45 को उनकी विपरीत संख्याओं 145 और 45 से प्रतिस्थापित करें। हमारे पास LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) है। GCD(145, 45)=5 (उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके) निर्धारित करने के बाद, हम GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305 की गणना करते हैं। इस प्रकार, ऋणात्मक पूर्णांक −145 और −45 का लघुत्तम समापवर्तक 1,305 है।
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हम प्रभाग का अध्ययन जारी रखते हैं। में यह सबकहम जैसी अवधारणाओं को देखेंगे जीसीडीऔर अनापत्ति प्रमाण पत्र.
जीसीडीसबसे बड़ा सामान्य भाजक है.
अनापत्ति प्रमाण पत्रसबसे छोटा सामान्य गुणज है.
विषय काफी उबाऊ है, लेकिन आपको इसे समझने की जरूरत जरूर है। इस विषय को समझे बिना, आप भिन्नों के साथ प्रभावी ढंग से काम नहीं कर पाएंगे, जो गणित में एक वास्तविक बाधा हैं।
महत्तम सामान्य भाजक
परिभाषा। संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एऔर बी एऔर बीशेषफल के बिना विभाजित.
इस परिभाषा को अच्छी तरह से समझने के लिए, आइए चरों को प्रतिस्थापित करें एऔर बीउदाहरण के लिए, किसी चर के स्थान पर कोई दो संख्याएँ एआइए संख्या 12 को प्रतिस्थापित करें, और चर के स्थान पर बीसंख्या 9। अब आइए इस परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:
संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक 12 और 9 सबसे बड़ी संख्या है जिसके द्वारा 12 और 9 शेषफल के बिना विभाजित.
परिभाषा से यह स्पष्ट है कि हम संख्या 12 और 9 के सामान्य भाजक के बारे में बात कर रहे हैं, और यह भाजक सभी मौजूदा भाजक में सबसे बड़ा है। इस सबसे बड़े सामान्य भाजक (जीसीडी) को खोजने की जरूरत है।
दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने के लिए तीन विधियों का उपयोग किया जाता है। पहली विधि काफी श्रमसाध्य है, लेकिन यह आपको विषय के सार को स्पष्ट रूप से समझने और उसका पूरा अर्थ महसूस करने की अनुमति देती है।
दूसरी और तीसरी विधियाँ काफी सरल हैं और जीसीडी को तुरंत ढूंढना संभव बनाती हैं। हम तीनों तरीकों पर गौर करेंगे. और अभ्यास में किसका उपयोग करना है यह आप पर निर्भर है।
पहली विधि दो संख्याओं के सभी संभावित भाजक ढूंढना और सबसे बड़ा भाजक चुनना है। आइये इस विधि पर नजर डालते हैं निम्नलिखित उदाहरण: संख्या 12 और 9 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात कीजिए.
सबसे पहले, हम संख्या 12 के सभी संभावित भाजक ढूंढेंगे। ऐसा करने के लिए, हम 12 को 1 से 12 तक की सीमा के सभी भाजक से विभाजित करेंगे। यदि भाजक हमें 12 को बिना किसी शेषफल के विभाजित करने की अनुमति देता है, तो हम इसे हाइलाइट करेंगे। नीला और कोष्ठक में उचित स्पष्टीकरण दें।
12: 1 = 12
(12 को बिना किसी शेषफल के 1 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 1 संख्या 12 का भाजक है)
12: 2 = 6
(12 को बिना किसी शेषफल के 2 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 2 संख्या 12 का भाजक है)
12: 3 = 4
(12 को बिना किसी शेषफल के 3 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 3 संख्या 12 का भाजक है)
12: 4 = 3
(12 को बिना किसी शेषफल के 4 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 4 संख्या 12 का भाजक है)
12:5 = 2 (2 बचे)
(12 को शेषफल के बिना 5 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 5 संख्या 12 का भाजक नहीं है)
12: 6 = 2
(12 को बिना किसी शेषफल के 6 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 6 संख्या 12 का भाजक है)
12:7 = 1 (5 बचे हुए)
(12 को शेषफल के बिना 7 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 7 संख्या 12 का भाजक नहीं है)
12: 8 = 1 (4 बचे हुए)
(12 को शेषफल के बिना 8 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 8, 12 का भाजक नहीं है)
12:9 = 1 (3 बचे हुए)
(12 को शेषफल के बिना 9 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 9 संख्या 12 का भाजक नहीं है)
12:10 = 1 (2 बचे हुए)
(12 को शेषफल के बिना 10 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 10 संख्या 12 का भाजक नहीं है)
12:11 = 1 (1 बचा हुआ)
(12 को शेषफल के बिना 11 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 11, 12 का भाजक नहीं है)
12: 12 = 1
(12 को बिना किसी शेषफल के 12 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 12 संख्या 12 का भाजक है)
आइए अब संख्या 9 के भाजक खोजें। ऐसा करने के लिए, 1 से 9 तक के सभी भाजक की जाँच करें
9: 1 = 9
(9 को बिना किसी शेषफल के 1 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 1 संख्या 9 का भाजक है)
9: 2 = 4 (1 बचा हुआ)
(9 को बिना किसी शेषफल के 2 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 2 संख्या 9 का भाजक नहीं है)
9: 3 = 3
(9 को बिना किसी शेषफल के 3 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 3 संख्या 9 का भाजक है)
9:4 = 2 (1 बचा हुआ)
(9 को शेषफल के बिना 4 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 4 संख्या 9 का भाजक नहीं है)
9:5 = 1 (4 बचे हुए)
(9 को शेषफल के बिना 5 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 5 संख्या 9 का भाजक नहीं है)
9: 6 = 1 (3 बचे हुए)
(9 को शेषफल के बिना 6 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 6 संख्या 9 का भाजक नहीं है)
9: 7 = 1 (2 बचे हुए)
(9 को बिना किसी शेषफल के 7 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 7 संख्या 9 का भाजक नहीं है)
9: 8 = 1 (1 बचा हुआ)
(9 को शेषफल के बिना 8 से विभाजित नहीं किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 8 संख्या 9 का भाजक नहीं है)
9: 9 = 1
(9 को बिना किसी शेषफल के 9 से विभाजित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि 9 संख्या 9 का भाजक है)
आइए अब दोनों संख्याओं के भाजक लिखें। नीले रंग में हाइलाइट की गई संख्याएँ विभाजक हैं। आइए उन्हें लिखें:
भाजक को लिखकर, आप तुरंत यह निर्धारित कर सकते हैं कि कौन सा सबसे बड़ा और सबसे आम है।
परिभाषा के अनुसार, संख्या 12 और 9 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक वह संख्या है जो 12 और 9 को बिना किसी शेषफल के विभाजित करती है। संख्या 12 और 9 का सबसे बड़ा और सामान्य भाजक संख्या 3 है
संख्या 12 और संख्या 9 दोनों बिना किसी शेषफल के 3 से विभाज्य हैं:
तो जीसीडी (12 और 9) = 3
जीसीडी खोजने का दूसरा तरीका
आइए अब सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करने की दूसरी विधि देखें। सार यह विधिदोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करना और उभयनिष्ठ गुणनखंडों को गुणा करना है।
उदाहरण 1. संख्या 24 और 18 की जीसीडी ज्ञात कीजिए
सबसे पहले, आइए दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें:
आइए अब उनके उभयनिष्ठ गुणनखंडों को गुणा करें। भ्रम से बचने के लिए सामान्य कारकों पर जोर दिया जा सकता है।
हम संख्या 24 के विस्तार को देखते हैं। इसका पहला कारक 2 है। हम संख्या 18 के विस्तार में भी वही कारक देखते हैं और देखते हैं कि वह वहाँ भी है। हम दोनों दो पर जोर देते हैं:
हम संख्या 24 के विस्तार को फिर से देखते हैं। इसका दूसरा कारक भी 2 है। हम संख्या 18 के विस्तार में उसी कारक को देखते हैं और दूसरी बार देखते हैं कि वह अब नहीं है। फिर हम किसी बात पर जोर नहीं देते.
संख्या 24 के विस्तार में अगले दो भी संख्या 18 के विस्तार में अनुपस्थित हैं।
आइए संख्या 24 के विस्तार में अंतिम कारक की ओर बढ़ते हैं। यह कारक 3 है। हम संख्या 18 के विस्तार में उसी कारक की तलाश करते हैं और देखते हैं कि वह वहां भी है। हम दोनों तीन बातों पर जोर देते हैं:
तो, संख्या 24 और 18 के सामान्य गुणनखंड गुणनखंड 2 और 3 हैं। जीसीडी प्राप्त करने के लिए, इन गुणनखंडों को गुणा करना होगा:
तो जीसीडी (24 और 18) = 6
जीसीडी खोजने का तीसरा तरीका
आइए अब सबसे बड़े सामान्य भाजक को खोजने का तीसरा तरीका देखें। इस पद्धति का सार यह है कि सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए पाई जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है। फिर, पहले नंबर के विस्तार से, दूसरे नंबर के विस्तार में शामिल नहीं होने वाले कारकों को काट दिया जाता है। पहले विस्तार में शेष संख्याओं को गुणा किया जाता है और जीसीडी प्राप्त की जाती है।
उदाहरण के लिए, आइए इस पद्धति का उपयोग करके संख्या 28 और 16 के लिए जीसीडी खोजें। सबसे पहले, हम इन संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:
हमें दो विस्तार प्राप्त हुए: और
अब हम पहले नंबर के अपघटन से उन कारकों को हटा देंगे जो दूसरे नंबर के अपघटन में शामिल नहीं हैं। दूसरे अंक के विस्तार में सात शामिल नहीं है। आइए इसे पहले विस्तार से हटा दें:
अब हम शेष कारकों को गुणा करते हैं और जीसीडी प्राप्त करते हैं:
संख्या 4, संख्या 28 और 16 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दोनों संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 4 से विभाज्य हैं:
उदाहरण 2.संख्या 100 और 40 की जीसीडी ज्ञात कीजिए
संख्या 100 का गुणनखंडन
संख्या 40 का गुणनखंडन
हमें दो विस्तार मिले:
अब हम पहले नंबर के अपघटन से उन कारकों को हटा देंगे जो दूसरे नंबर के अपघटन में शामिल नहीं हैं। दूसरे अंक के विस्तार में एक पाँच शामिल नहीं है (केवल एक पाँच है)। आइए इसे पहले विस्तार से हटा दें
आइए शेष संख्याओं को गुणा करें:
हमें उत्तर 20 प्राप्त हुआ। इसका मतलब यह है कि संख्या 20, संख्या 100 और 40 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दो संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 20 से विभाज्य हैं:
जीसीडी (100 और 40) = 20.
उदाहरण 3.संख्या 72 और 128 की जीसीडी ज्ञात कीजिए
संख्या 72 का गुणनखंडन
संख्या 128 का गुणनखंडन
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
अब हम पहले नंबर के अपघटन से उन कारकों को हटा देंगे जो दूसरे नंबर के अपघटन में शामिल नहीं हैं। दूसरी संख्या के विस्तार में दो त्रिक सम्मिलित नहीं हैं (वे हैं ही नहीं)। आइए उन्हें पहले विस्तार से हटा दें:
हमें उत्तर 8 प्राप्त हुआ। इसका मतलब यह है कि संख्या 8, संख्या 72 और 128 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये दोनों संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 8 से विभाज्य हैं:
जीसीडी (72 और 128) = 8
कई नंबरों के लिए जीसीडी ढूँढना
सबसे बड़ा सामान्य भाजक केवल दो नहीं, बल्कि कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए पाई जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल पाया जाता है।
उदाहरण के लिए, आइए संख्या 18, 24 और 36 के लिए जीसीडी खोजें
आइए संख्या 18 का गुणनखंड करें
आइए संख्या 24 का गुणनखंड करें
आइए संख्या 36 का गुणनखंड करें
हमें तीन विस्तार मिले:
आइए अब इन संख्याओं में सामान्य कारकों पर प्रकाश डालें और रेखांकित करें। तीनों संख्याओं में सामान्य कारक अवश्य दिखने चाहिए:
हम देखते हैं कि संख्या 18, 24 और 36 के लिए सामान्य गुणनखंड गुणनखंड 2 और 3 हैं। इन गुणनखंडों को गुणा करने पर, हमें वह जीसीडी मिलती है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं:
हमें उत्तर 6 मिला। इसका मतलब है कि संख्या 6, संख्या 18, 24 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये तीन संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य हैं:
जीसीडी (18, 24 और 36) = 6
उदाहरण 2.संख्या 12, 24, 36 और 42 के लिए जीसीडी खोजें
आइए प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें। फिर हम इन संख्याओं के उभयनिष्ठ गुणनखंडों का गुणनफल ज्ञात करते हैं।
संख्या 12 का गुणनखंड करें
आइए संख्या 42 का गुणनखंड करें
हमें चार विस्तार मिले:
आइए अब इन संख्याओं में सामान्य कारकों पर प्रकाश डालें और रेखांकित करें। सामान्य गुणनखंड सभी चार संख्याओं में प्रकट होने चाहिए:
हम देखते हैं कि संख्याओं 12, 24, 36, और 42 के लिए सामान्य गुणनखंड 2 और 3 के गुणनखंड हैं। इन कारकों को एक साथ गुणा करने से हमें वह जीसीडी मिलती है जिसकी हम तलाश कर रहे हैं:
हमें उत्तर 6 मिला। इसका मतलब यह है कि संख्या 6, संख्या 12, 24, 36 और 42 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। ये संख्याएँ बिना किसी शेषफल के 6 से विभाज्य हैं:
जीसीडी (12, 24, 36 और 42) = 6
पिछले पाठ से हम जानते हैं कि यदि किसी संख्या को बिना किसी शेषफल के दूसरी संख्या से विभाजित किया जाए तो वह उस संख्या का गुणज कहलाती है।
इससे पता चलता है कि कई संख्याओं का एक उभयनिष्ठ गुणज हो सकता है। और अब हमें दो संख्याओं के गुणज में रुचि होगी, और यह यथासंभव छोटा होना चाहिए।
परिभाषा। संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM)। एऔर बी- एऔर बी एऔर संख्या बी.
परिभाषा में दो चर होते हैं एऔर बी. आइए इन चरों के स्थान पर किन्हीं दो संख्याओं को प्रतिस्थापित करें। उदाहरण के लिए, एक वेरिएबल के बजाय एआइए संख्या 9 को प्रतिस्थापित करें, और चर के स्थान पर बीआइए संख्या 12 को प्रतिस्थापित करें। अब परिभाषा को पढ़ने का प्रयास करें:
संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM)। 9 और 12 - यह सबसे छोटी संख्या, जो एक गुणज है 9 और 12 . दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसी छोटी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के उस संख्या से विभाजित हो जाती है 9 और संख्या से 12 .
परिभाषा से यह स्पष्ट है कि एलसीएम सबसे छोटी संख्या है जो बिना किसी शेषफल के 9 और 12 से विभाज्य है। इस एलसीएम को खोजने की आवश्यकता है।
लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करने के लिए आप दो विधियों का उपयोग कर सकते हैं। पहला तरीका यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणजों को लिख सकते हैं, और फिर इन गुणजों में से एक ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो संख्याओं के लिए सामान्य और छोटी दोनों होगी। आइए इस विधि को लागू करें.
सबसे पहले, आइए संख्या 9 का पहला गुणज ज्ञात करें। 9 का गुणज ज्ञात करने के लिए, आपको इस नौ को 1 से 9 तक की संख्याओं से एक-एक करके गुणा करना होगा। परिणामी उत्तर संख्या 9 के गुणज होंगे। इसलिए, चलो शुरू करें। हम गुणकों को लाल रंग में हाइलाइट करेंगे:
अब हम संख्या 12 के गुणज ज्ञात करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 12 को 1 से 12 तक की सभी संख्याओं से एक-एक करके गुणा करते हैं।
लेकिन कई प्राकृतिक संख्याएँ अन्य प्राकृतिक संख्याओं से भी विभाज्य होती हैं।
उदाहरण के लिए:
संख्या 12 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से विभाज्य है;
संख्या 36, 1 से, 2 से, 3 से, 4 से, 6 से, 12 से, 18 से, 36 से विभाज्य है।
वे संख्याएँ जिनसे कोई संख्या पूरी से विभाज्य हो (12 के लिए ये 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं) कहलाती हैं संख्याओं के विभाजक. किसी प्राकृत संख्या का भाजक ए- एक प्राकृतिक संख्या है जो किसी दी गई संख्या को विभाजित करती है एएक का पता लगाए बिना। वह प्राकृत संख्या जिसमें दो से अधिक भाजक हों, कहलाती है कम्पोजिट. कृपया ध्यान दें कि संख्या 12 और 36 में सामान्य गुणनखंड हैं। ये संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12. इन संख्याओं का सबसे बड़ा भाजक 12 है।
दो दी गई संख्याओं का उभयनिष्ठ भाजक एऔर बी- यह वह संख्या है जिससे दोनों दी गई संख्याओं को बिना किसी शेषफल के विभाजित किया जाता है एऔर बी. कई संख्याओं का सामान्य भाजक (जीसीडी)एक संख्या है जो उनमें से प्रत्येक के लिए विभाजक के रूप में कार्य करती है।
संक्षेप में संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एऔर बीइसे इस प्रकार लिखें:
उदाहरण: जीसीडी (12; 36) = 12.
समाधान रिकॉर्ड में संख्याओं के भाजक को बड़े अक्षर "डी" द्वारा दर्शाया जाता है।
उदाहरण:
जीसीडी (7; 9) = 1
संख्या 7 और 9 में केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1। ऐसी संख्याएँ कहलाती हैं परस्पर प्रधानची स्लामी.
सहअभाज्य संख्याएँ- ये प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनका केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1। उनकी जीसीडी 1 है।
महानतम सामान्य भाजक (जीसीडी), गुण।
- मूल संपत्ति: सबसे बड़ा सामान्य भाजक एमऔर एनइन संख्याओं के किसी भी सामान्य भाजक से विभाज्य है। उदाहरण: संख्या 12 और 18 के लिए, सबसे बड़ा सामान्य भाजक 6 है; इसे इन संख्याओं के सभी सामान्य विभाजकों द्वारा विभाजित किया जाता है: 1, 2, 3, 6।
- परिणाम 1: सामान्य भाजक का सेट एमऔर एनजीसीडी विभाजक के सेट के साथ मेल खाता है( एम, एन).
- उपफल 2: उभयनिष्ठ गुणजों का समुच्चय एमऔर एनएकाधिक एलसीएम के सेट के साथ मेल खाता है ( एम, एन).
इसका मतलब है, विशेष रूप से, किसी भिन्न को अघुलनशील रूप में छोटा करने के लिए, आपको उसके अंश और हर को उनके gcd से विभाजित करना होगा।
- संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एमऔर एनउनके सभी रैखिक संयोजनों के सेट के सबसे छोटे सकारात्मक तत्व के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
और इसलिए इसे संख्याओं के रैखिक संयोजन के रूप में निरूपित करें एमऔर एन:
इस अनुपात को कहा जाता है बेज़ाउट का रिश्ता, और गुणांक यूऔर वी — बेज़आउट गुणांक. बेज़आउट गुणांक की गणना विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिदम द्वारा कुशलतापूर्वक की जाती है। यह कथन प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का सामान्यीकरण करता है - इसका अर्थ यह है कि समुच्चय द्वारा उत्पन्न समूह का उपसमूह चक्रीय है और एक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है: जीसीडी ( ए 1 , ए 2 , … , एक).
सबसे बड़े सामान्य भाजक (जीसीडी) की गणना करें।
दो संख्याओं की जीसीडी की गणना करने के प्रभावी तरीके हैं यूक्लिडियन एल्गोरिथ्मऔर द्विआधारीकलन विधि. इसके अलावा, gcd का मान ( एम,एन) की गणना आसानी से की जा सकती है यदि संख्याओं का विहित विस्तार ज्ञात हो एमऔर एनप्रमुख कारकों में:
जहां अलग-अलग अभाज्य संख्याएं हैं, और और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं (यदि संबंधित अभाज्य विस्तार में नहीं है तो वे शून्य हो सकते हैं)। फिर जीसीडी ( एम,एन) और एनओसी ( एम,एन) सूत्रों द्वारा व्यक्त किए गए हैं:
यदि दो से अधिक संख्याएँ हैं:, तो उनकी gcd निम्नलिखित एल्गोरिथम का उपयोग करके पाई जाती है:
- यह वांछित जीसीडी है.
इसके अलावा, खोजने के लिए महत्तम सामान्य भाजक, आप दी गई संख्याओं में से प्रत्येक को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित कर सकते हैं। फिर केवल उन्हीं कारकों को अलग से लिखें जो सभी दी गई संख्याओं में शामिल हैं। फिर हम लिखित संख्याओं को एक साथ गुणा करते हैं - गुणन का परिणाम सबसे बड़ा सामान्य भाजक होता है .
आइए चरण दर चरण सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना देखें:
1. संख्याओं के विभाजकों को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें:
ऊर्ध्वाधर पट्टी का उपयोग करके गणनाएँ लिखना सुविधाजनक है। पंक्ति के बाईं ओर हम पहले लाभांश लिखते हैं, दाईं ओर - भाजक। इसके बाद, बाएँ कॉलम में हम भागफल के मान लिखते हैं। आइए इसे तुरंत एक उदाहरण से समझाएं। आइए संख्याओं 28 और 64 को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।
2. हम दोनों संख्याओं में समान अभाज्य गुणनखंडों पर जोर देते हैं:
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. समान अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल ज्ञात कीजिए और उत्तर लिखिए:
जीसीडी (28; 64) = 2. 2=4
उत्तर: जीसीडी (28; 64) = 4
आप जीसीडी के स्थान को दो तरीकों से औपचारिक रूप दे सकते हैं: एक कॉलम में (जैसा कि ऊपर किया गया है) या "एक पंक्ति में"।
GCD लिखने का पहला तरीका:
जीसीडी 48 और 36 खोजें।
जीसीडी (48; 36) = 2. 2. 3 = 12
GCD लिखने का दूसरा तरीका:
आइए अब GCD खोज का समाधान एक पंक्ति में लिखें। जीसीडी 10 और 15 खोजें।
डी (10) = (1, 2, 5, 10)
डी (15) = (1, 3, 5, 15)
डी (10, 15) = (1, 5)