समाधान के लिए विभिन्न कार्यगणित और भौतिकी के पाठ्यक्रम से आपको भिन्नों को विभाजित करना होगा। यदि आप इस गणितीय संक्रिया को निष्पादित करने के कुछ नियम जानते हैं तो यह करना बहुत आसान है।
इससे पहले कि हम भिन्नों को विभाजित करने का नियम बनाने के लिए आगे बढ़ें, आइए कुछ गणितीय शब्दों को याद रखें:
- भिन्न के ऊपरी भाग को अंश तथा निचले भाग को हर कहा जाता है।
- विभाजित करते समय, संख्याओं को इस प्रकार कहा जाता है: लाभांश: भाजक = भागफल
भिन्नों को कैसे विभाजित करें: सरल भिन्न
दो साधारण भिन्नों को विभाजित करने के लिए, भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करें। इस भिन्न को उल्टा भी कहा जाता है क्योंकि यह अंश और हर की अदला-बदली करके प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए:
3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7
भिन्नों को कैसे विभाजित करें: मिश्रित भिन्न
यदि हमें मिश्रित भिन्नों को विभाजित करना है तो यहां भी सब कुछ काफी सरल और स्पष्ट है। सबसे पहले, हम मिश्रित भिन्न को नियमित अनुचित भिन्न में परिवर्तित करते हैं। ऐसा करने के लिए, ऐसे भिन्न के हर को एक पूर्णांक से गुणा करें और परिणामी उत्पाद में अंश जोड़ें। परिणामस्वरूप, हमें मिश्रित भिन्न का एक नया अंश प्राप्त हुआ, लेकिन इसका हर अपरिवर्तित रहेगा। इसके अलावा, भिन्नों का विभाजन बिल्कुल उसी तरह किया जाएगा जैसे साधारण भिन्नों का विभाजन किया जाता है। उदाहरण के लिए:
10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40
किसी भिन्न को किसी संख्या से कैसे विभाजित करें
किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने के लिए, बाद वाले को भिन्न (अनियमित) के रूप में लिखा जाना चाहिए। ऐसा करना बहुत आसान है: यह संख्या अंश के स्थान पर लिखी जाती है, और ऐसे भिन्न का हर एक के बराबर होता है। आगे का विभाजन सामान्य तरीके से किया जाता है। आइए इसे एक उदाहरण से देखें:
5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77
दशमलव को कैसे विभाजित करें
अक्सर किसी वयस्क को कैलकुलेटर की सहायता के बिना किसी पूर्ण संख्या या दशमलव अंश को दशमलव अंश से विभाजित करने में कठिनाई होती है।
तो बंटवारा करना है दशमलव, आपको बस विभाजक में अल्पविराम को हटाने और उस पर ध्यान देना बंद करने की आवश्यकता है। लाभांश में, अल्पविराम को ठीक उतने ही स्थानों पर दाईं ओर ले जाना चाहिए जितना कि यह भाजक के भिन्नात्मक भाग में था, यदि आवश्यक हो तो शून्य जोड़ें। और फिर वे एक पूर्णांक से सामान्य विभाजन करते हैं। इसे और अधिक स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें।
पिछली बार हमने भिन्नों को जोड़ना और घटाना सीखा था (पाठ "भिन्नों को जोड़ना और घटाना" देखें)। उन कार्यों में सबसे कठिन क्षण भिन्नों को कम करना था आम विभाजक.
अब गुणा और भाग से निपटने का समय आ गया है। अच्छी खबर यह है कि ये संक्रियाएँ जोड़ और घटाव से भी अधिक सरल हैं। सबसे पहले, आइए देखें सबसे सरल मामला, जब एक अलग पूर्णांक भाग के बिना दो सकारात्मक भिन्न होते हैं।
दो भिन्नों को गुणा करने के लिए, आपको उनके अंश और हर को अलग-अलग गुणा करना होगा। पहली संख्या नए भिन्न का अंश होगी, और दूसरी हर होगी।
दो भिन्नों को विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न को "उल्टे" दूसरे भिन्न से गुणा करना होगा।
पद का नाम:
परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि भिन्नों को विभाजित करने से गुणन कम हो जाता है। किसी भिन्न को "फ़्लिप" करने के लिए, बस अंश और हर की अदला-बदली करें। इसलिए, पूरे पाठ में हम मुख्य रूप से गुणन पर विचार करेंगे।
गुणन के परिणामस्वरूप, एक कम करने योग्य अंश उत्पन्न हो सकता है (और अक्सर उत्पन्न होता है) - निस्संदेह, इसे कम किया जाना चाहिए। यदि सभी कटौती के बाद अंश गलत हो जाता है, तो पूरे भाग को हाइलाइट किया जाना चाहिए। लेकिन गुणन के साथ जो निश्चित रूप से नहीं होगा वह एक सामान्य हर में कमी है: कोई क्रॉस-क्रॉस विधियां नहीं, सबसे बड़ा गुणनखंड और सबसे कम सामान्य गुणज।
परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:
भिन्नों को पूर्ण भागों और ऋणात्मक भिन्नों से गुणा करना
यदि भिन्नों में पूर्णांक भाग होता है, तो उन्हें अनुचित भागों में परिवर्तित किया जाना चाहिए - और उसके बाद ही ऊपर उल्लिखित योजनाओं के अनुसार गुणा किया जाना चाहिए।
यदि किसी भिन्न के अंश में, हर में या उसके सामने ऋण चिह्न हो, तो उसे निम्नलिखित नियमों के अनुसार गुणन से निकाला जा सकता है या पूरी तरह से हटाया जा सकता है:
- प्लस माइनस से माइनस देता है;
- दो नकारात्मक एक सकारात्मक बनाते हैं।
अब तक, ये नियम केवल ऋणात्मक भिन्नों को जोड़ने और घटाने पर ही सामने आए हैं, जब पूरे भाग से छुटकारा पाना आवश्यक था। किसी कार्य के लिए, उन्हें एक साथ कई नुकसानों को "जलाने" के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:
- हम नकारात्मकताओं को जोड़े में तब तक काटते हैं जब तक वे पूरी तरह से गायब नहीं हो जातीं। चरम मामलों में, एक ऋण जीवित रह सकता है - वह जिसके लिए कोई साथी नहीं था;
- यदि कोई माइनस नहीं बचा है, तो ऑपरेशन पूरा हो गया है - आप गुणा करना शुरू कर सकते हैं। यदि अंतिम ऋण को पार नहीं किया गया है क्योंकि इसके लिए कोई जोड़ा नहीं था, तो हम इसे गुणन की सीमा से बाहर ले जाते हैं। परिणाम एक ऋणात्मक अंश है.
काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
हम सभी भिन्नों को अनुचित भिन्नों में बदलते हैं, और फिर गुणन से ऋण निकाल देते हैं। जो बचता है उसे हम सामान्य नियमों के अनुसार गुणा करते हैं। हम पाते हैं:
मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि हाइलाइट किए गए पूर्ण भाग के साथ भिन्न के सामने दिखाई देने वाला ऋण विशेष रूप से संपूर्ण भिन्न को संदर्भित करता है, न कि केवल उसके पूरे भाग को (यह पिछले दो उदाहरणों पर लागू होता है)।
ऋणात्मक संख्याओं पर भी ध्यान दें: गुणा करते समय, वे कोष्ठक में संलग्न होते हैं। ऐसा गुणन चिह्नों से ऋणों को अलग करने और संपूर्ण अंकन को अधिक सटीक बनाने के लिए किया जाता है।
तुरंत अंशों को कम करना
गुणन एक अत्यंत श्रमसाध्य कार्य है। यहां संख्याएं काफी बड़ी हैं, और समस्या को सरल बनाने के लिए, आप भिन्न को और कम करने का प्रयास कर सकते हैं गुणन से पहले. वास्तव में, संक्षेप में, भिन्नों के अंश और हर सामान्य गुणनखंड हैं, और इसलिए, उन्हें भिन्न के मूल गुण का उपयोग करके कम किया जा सकता है। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:
काम। अभिव्यक्ति का अर्थ खोजें:
परिभाषा के अनुसार हमारे पास है:
सभी उदाहरणों में, जो संख्याएँ कम की गई हैं और जो बची हैं उन्हें लाल रंग में चिह्नित किया गया है।
कृपया ध्यान दें: पहले मामले में, गुणक पूरी तरह से कम हो गए थे। उनके स्थान पर ऐसी इकाइयाँ बनी रहती हैं, जिन्हें सामान्यतः लिखने की आवश्यकता नहीं होती। दूसरे उदाहरण में पूर्ण कमीइसे हासिल करना संभव नहीं था, लेकिन गणना की कुल मात्रा अभी भी कम हो गई।
हालाँकि, भिन्नों को जोड़ते और घटाते समय कभी भी इस तकनीक का उपयोग न करें! हाँ, कभी-कभी ऐसी ही संख्याएँ होती हैं जिन्हें आप कम करना चाहते हैं। यहाँ, देखो:
आप ऐसा नहीं कर सकते!
त्रुटि इसलिए होती है क्योंकि जोड़ते समय, अंश का अंश योग उत्पन्न करता है, संख्याओं का गुणनफल नहीं। नतीजतन, भिन्न के मूल गुण को लागू करना असंभव है, क्योंकि यह गुण विशेष रूप से संख्याओं के गुणन से संबंधित है।
भिन्नों को कम करने का कोई अन्य कारण नहीं है, इसलिए सही समाधानपिछला कार्य इस प्रकार दिखता है:
सही समाधान:
जैसा कि आप देख सकते हैं, सही उत्तर उतना सुंदर नहीं निकला। सामान्य तौर पर सावधान रहें.
) और हर द्वारा हर (हमें उत्पाद का हर मिलता है)।
भिन्नों को गुणा करने का सूत्र:
उदाहरण के लिए:
इससे पहले कि आप अंश और हर को गुणा करना शुरू करें, आपको यह जांचना होगा कि क्या भिन्न को कम किया जा सकता है। यदि आप भिन्न को कम कर सकते हैं, तो आपके लिए आगे की गणना करना आसान हो जाएगा।
एक सामान्य भिन्न को भिन्न से विभाजित करना.
प्राकृतिक संख्याओं से युक्त भिन्नों को विभाजित करना।
यह उतना डरावना नहीं है जितना लगता है। जैसे कि जोड़ के मामले में, हम पूर्णांक को हर में एक के साथ भिन्न में परिवर्तित करते हैं। उदाहरण के लिए:
मिश्रित भिन्नों को गुणा करना।
भिन्नों को गुणा करने के नियम (मिश्रित):
- मिश्रित भिन्नों को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करना;
- भिन्नों के अंश और हर को गुणा करना;
- अंश कम करें;
- यदि आपको कोई अनुचित भिन्न मिलता है, तो हम अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।
टिप्पणी!एक मिश्रित भिन्न को दूसरे मिश्रित भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्न के रूप में बदलना होगा, और फिर साधारण भिन्न को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।
किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका।
किसी सामान्य भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक हो सकता है।
टिप्पणी!किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा, और अंश को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।
ऊपर दिए गए उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि इस विकल्प का उपयोग करना तब अधिक सुविधाजनक होता है जब किसी भिन्न के हर को बिना किसी शेषफल के किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाता है।
मल्टीस्टोरी अंश.
हाई स्कूल में, तीन मंजिला (या अधिक) भिन्न अक्सर सामने आते हैं। उदाहरण:
ऐसे भिन्न को उसके सामान्य रूप में लाने के लिए, 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग करें:
टिप्पणी!भिन्नों को विभाजित करते समय विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।
टिप्पणी, उदाहरण के लिए:
किसी एक को किसी भिन्न से विभाजित करने पर परिणाम वही भिन्न होगा, केवल उलटा:
भिन्नों को गुणा और विभाजित करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:
1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है। सभी गणनाएँ सावधानीपूर्वक और सटीक, एकाग्र और स्पष्ट रूप से करें। मानसिक गणनाओं में खोए रहने से बेहतर है कि अपने मसौदे में कुछ अतिरिक्त पंक्तियाँ लिख लें।
2. कार्यों में अलग - अलग प्रकारभिन्न - साधारण भिन्न के रूप में जाते हैं।
3. हम सभी भिन्नों को तब तक कम करते हैं जब तक कि उन्हें कम करना संभव न हो जाए।
4. बहुमंजिला भिन्नात्मक अभिव्यक्तियाँहम उन्हें 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग करके सामान्य रूप में लाते हैं।
5. अपने दिमाग में एक इकाई को भिन्न से विभाजित करें, बस भिन्न को पलट दें।
टी पाठ का प्रकार:ओएनजेड (नए ज्ञान की खोज - गतिविधि-आधारित शिक्षण पद्धति की तकनीक का उपयोग करके)।
मूल लक्ष्य:
- किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने की विधियाँ निकालना;
- किसी भिन्न को किसी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने की क्षमता विकसित करना;
- भिन्नों के विभाजन को दोहराना और सुदृढ़ करना;
- भिन्नों को कम करने, विश्लेषण करने और समस्याओं को हल करने की क्षमता को प्रशिक्षित करें।
उपकरण प्रदर्शन सामग्री:
1. ज्ञान को अद्यतन करने के कार्य:
भावों की तुलना करें:
संदर्भ:
2. परीक्षण (व्यक्तिगत) कार्य।
1. विभाजन करें:
2. गणना की पूरी श्रृंखला निष्पादित किए बिना विभाजन निष्पादित करें:।
मानक:
- किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करते समय, आप हर को उस संख्या से गुणा कर सकते हैं, लेकिन अंश को वही छोड़ सकते हैं।
- यदि अंश किसी प्राकृत संख्या से विभाज्य है, तो भिन्न को इस संख्या से विभाजित करते समय, आप अंश को संख्या से विभाजित कर सकते हैं और हर को वही छोड़ सकते हैं।
कक्षाओं के दौरान
I. प्रेरणा (आत्मनिर्णय)। शैक्षणिक गतिविधियां.
मंच का उद्देश्य:
- शैक्षिक गतिविधियों ("आवश्यक") के संदर्भ में छात्र के लिए आवश्यकताओं को अद्यतन करने का आयोजन करें;
- विषयगत ढाँचे ("मैं कर सकता हूँ") स्थापित करने के लिए छात्र गतिविधियों का आयोजन करें;
- शैक्षिक गतिविधियों ("मैं चाहता हूँ") में शामिल करने की आंतरिक आवश्यकता विकसित करने के लिए छात्र के लिए परिस्थितियाँ बनाएँ।
चरण I पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
नमस्ते! मुझे गणित पाठ में आप सभी को देखकर खुशी हुई। मुझे आशा है कि यह पारस्परिक है।
दोस्तों, पिछले पाठ में आपने कौन सा नया ज्ञान प्राप्त किया? (अंशों को विभाजित करें)।
सही। भिन्नों का विभाजन करने में आपको क्या मदद मिलती है? (नियम, गुण)।
हमें इस ज्ञान की आवश्यकता कहां है? (उदाहरणों, समीकरणों, समस्याओं में)।
बहुत अच्छा! आपने पिछले पाठ में असाइनमेंट अच्छा किया था। क्या आप आज स्वयं नये ज्ञान की खोज करना चाहते हैं? (हाँ)।
तो चलते हैं! और पाठ का आदर्श वाक्य यह होगा कि "आप अपने पड़ोसी को ऐसा करते हुए देखकर गणित नहीं सीख सकते!"
द्वितीय. ज्ञान को अद्यतन करना और परीक्षण कार्रवाई में व्यक्तिगत कठिनाइयों को ठीक करना।
मंच का उद्देश्य:
- नए ज्ञान के निर्माण के लिए सीखी गई क्रिया के तरीकों को अद्यतन करने की व्यवस्था करें। इन विधियों को मौखिक रूप से (भाषण में) और प्रतीकात्मक रूप से (मानक) रिकॉर्ड करें और उनका सामान्यीकरण करें;
- मानसिक संचालन के कार्यान्वयन को व्यवस्थित करें और संज्ञानात्मक प्रक्रियाओं, नए ज्ञान के निर्माण के लिए पर्याप्त;
- परीक्षण कार्रवाई और उसके स्वतंत्र कार्यान्वयन और औचित्य के लिए प्रेरित करना;
- उपस्थित व्यक्तिगत कार्यएक परीक्षण कार्रवाई के लिए और नई शैक्षिक सामग्री की पहचान करने के लिए इसका विश्लेषण करें;
- शैक्षिक लक्ष्य और पाठ के विषय का निर्धारण व्यवस्थित करें;
- परीक्षण कार्रवाई के कार्यान्वयन को व्यवस्थित करें और कठिनाई को ठीक करें;
- प्राप्त प्रतिक्रियाओं का विश्लेषण व्यवस्थित करें और परीक्षण कार्रवाई करने या उसे उचित ठहराने में व्यक्तिगत कठिनाइयों को रिकॉर्ड करें।
चरण II में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
सामने से, टैबलेट (व्यक्तिगत बोर्ड) का उपयोग करना।
1. भावों की तुलना करें:
(ये भाव समान हैं)
आपने कौन सी दिलचस्प बातें नोटिस कीं? (प्रत्येक अभिव्यक्ति में लाभांश के अंश और हर, भाजक के अंश और हर में समान संख्या में वृद्धि हुई है। इस प्रकार, अभिव्यक्तियों में लाभांश और भाजक उन भिन्नों द्वारा दर्शाए जाते हैं जो एक दूसरे के बराबर होते हैं)।
अभिव्यक्ति का अर्थ ढूंढें और इसे अपने टेबलेट पर लिखें। (2)
मैं इस संख्या को भिन्न के रूप में कैसे लिख सकता हूँ?
आपने विभाजन की कार्रवाई कैसे की? (बच्चे नियम पढ़ते हैं, शिक्षक उसे बोर्ड पर लटका देते हैं पत्र पदनाम)
2. केवल परिणामों की गणना करें और रिकॉर्ड करें:
3. परिणाम जोड़ें और उत्तर लिखें। (2)
कार्य 3 में प्राप्त संख्या का नाम क्या है? (प्राकृतिक)
क्या आपको लगता है कि आप भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित कर सकते हैं? (हाँ, हम कोशिश करेंगे)
ये कोशिश करें।
4. व्यक्तिगत (परीक्षण) कार्य.
विभाजन निष्पादित करें: (केवल उदाहरण)
आपने विभाजन के लिए किस नियम का उपयोग किया? (भिन्नों को भिन्नों से विभाजित करने के नियम के अनुसार)
अब भिन्न को इससे बड़ी प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें सरल तरीके से, गणना की पूरी श्रृंखला निष्पादित किए बिना: (उदाहरण बी)। मैं आपको इसके लिए 3 सेकंड का समय दूंगा.
कौन 3 सेकंड में कार्य पूरा नहीं कर सका?
ये किसने किया? (ऐसा कोई नहीं है)
क्यों? (हमें रास्ता नहीं पता)
तुम्हें क्या मिला? (कठिनाई)
आपको क्या लगता है हम कक्षा में क्या करेंगे? (भिन्नों को प्राकृतिक संख्याओं से विभाजित करें)
यह सही है, अपनी नोटबुक खोलें और पाठ का विषय लिखें: "एक भिन्न को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना।"
जब आप पहले से ही भिन्नों को विभाजित करना जानते हैं तो यह विषय नया क्यों लगता है? (एक नया तरीका चाहिए)
सही। आज हम एक ऐसी तकनीक स्थापित करेंगे जो किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना सरल बना देगी।
तृतीय. समस्या के स्थान और कारण की पहचान करना।
मंच का उद्देश्य:
- पूर्ण किए गए कार्यों की बहाली का आयोजन करें और उस स्थान - चरण, संचालन - को रिकॉर्ड (मौखिक और प्रतीकात्मक) करें - जहां कठिनाई उत्पन्न हुई;
- उपयोग की गई विधि (एल्गोरिदम) के साथ छात्रों के कार्यों के सहसंबंध को व्यवस्थित करें और कठिनाई के कारण के बाहरी भाषण में निर्धारण करें - वह विशिष्ट ज्ञान, कौशल या क्षमताएं जिनकी इस प्रकार की प्रारंभिक समस्या को हल करने के लिए कमी है।
चरण III में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
आपको कौन सा कार्य पूरा करना था? (गणना की पूरी श्रृंखला से गुजरे बिना एक भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें)
आपको किस कारण कठिनाई हुई? (के लिए निर्णय नहीं ले सका छोटी अवधितेज़ तरीका)
पाठ में हमने अपने लिए क्या लक्ष्य निर्धारित किया है? (खोजो तेज तरीकाकिसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना)
आपकी क्या मदद होगी? (भिन्नों को विभाजित करने का नियम पहले से ही ज्ञात है)
चतुर्थ. किसी समस्या से बाहर निकलने के लिए एक परियोजना का निर्माण करना।
मंच का उद्देश्य:
- परियोजना लक्ष्य का स्पष्टीकरण;
- विधि का चयन (स्पष्टीकरण);
- साधनों का निर्धारण (एल्गोरिदम);
- लक्ष्य प्राप्त करने के लिए योजना बनाना।
चरण IV पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
चलिए परीक्षण कार्य पर वापस आते हैं। आपने कहा कि आपने भिन्नों को विभाजित करने के नियम के अनुसार विभाजित किया है? (हाँ)
ऐसा करने के लिए, प्राकृत संख्या को भिन्न से बदलें? (हाँ)
आपके अनुसार कौन सा चरण (या चरण) छोड़ा जा सकता है?
(समाधान श्रृंखला बोर्ड पर खुली है: 
विश्लेषण करें और निष्कर्ष निकालें। (स्टेप 1)
यदि कोई उत्तर नहीं है, तो हम आपको प्रश्नों के माध्यम से ले जाते हैं:
प्राकृतिक विभाजक कहाँ गया? (हर में)
क्या अंश बदल गया है? (नहीं)
तो आप कौन सा कदम "छोड़" सकते हैं? (स्टेप 1)
कार्य योजना:
- किसी भिन्न के हर को किसी प्राकृतिक संख्या से गुणा करें।
- हम अंश नहीं बदलते.
- हमें एक नया अंश मिलता है।
वी. निर्मित परियोजना का कार्यान्वयन।
मंच का उद्देश्य:
- छूटे हुए ज्ञान को प्राप्त करने के उद्देश्य से निर्मित परियोजना को लागू करने के लिए संचारी बातचीत का आयोजन करें;
- भाषण और संकेतों (एक मानक का उपयोग करके) में कार्रवाई की निर्मित विधि की रिकॉर्डिंग व्यवस्थित करें;
- प्रारंभिक समस्या के समाधान को व्यवस्थित करें और कठिनाई को दूर करने का तरीका रिकॉर्ड करें;
- स्पष्टीकरण व्यवस्थित करें सामान्यनया ज्ञान।
चरण V पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
अब जल्दी से टेस्ट केस को नए तरीके से चलाएं।
अब क्या आप कार्य को शीघ्रता से पूरा कर पाये? (हाँ)
बताएं कि आपने यह कैसे किया? (बच्चे बात करते हैं)
इसका मतलब है कि हमने नया ज्ञान प्राप्त किया है: किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का नियम।
बहुत अच्छा! इसे जोड़े में कहें.
फिर एक छात्र कक्षा से बोलता है। हम नियम-एल्गोरिदम को मौखिक रूप से और बोर्ड पर एक मानक के रूप में तय करते हैं।
अब अक्षर पदनाम दर्ज करें और हमारे नियम का सूत्र लिखें।
छात्र बोर्ड पर नियम बताते हुए लिखता है: किसी भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करते समय, आप हर को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं, लेकिन अंश को वही छोड़ सकते हैं।
(हर कोई अपनी नोटबुक में सूत्र लिखता है)।
अब उत्तर पर विशेष ध्यान देते हुए परीक्षण कार्य को हल करने की श्रृंखला का फिर से विश्लेषण करें। आपने क्या किया? (अंश 15 के अंश को संख्या 3 से विभाजित (कम) किया गया)
यह संख्या क्या है? (प्राकृतिक, भाजक)
तो फिर आप भिन्न को प्राकृतिक संख्या से कैसे विभाजित कर सकते हैं? (जांचें: यदि किसी भिन्न का अंश इस प्राकृतिक संख्या से विभाज्य है, तो आप अंश को इस संख्या से विभाजित कर सकते हैं, परिणाम को नए अंश के अंश में लिख सकते हैं, और हर को वही छोड़ सकते हैं)
इस विधि को सूत्र के रूप में लिखिए। (छात्र नियम का उच्चारण करते समय उसे बोर्ड पर लिखता है। सभी लोग सूत्र को अपनी नोटबुक में लिखते हैं।)
चलिए पहली विधि पर वापस आते हैं। आप इसका उपयोग कर सकते हैं यदि a:n? (हाँ यह सामान्य विधि)
और दूसरी विधि का उपयोग करना कब सुविधाजनक है? (जब भिन्न के अंश को बिना किसी शेषफल के प्राकृतिक संख्या से विभाजित किया जाता है)
VI. बाह्य वाणी में उच्चारण के साथ प्राथमिक समेकन।
मंच का उद्देश्य:
- बाहरी भाषण (सामने से, जोड़े या समूहों में) में उनके उच्चारण के साथ मानक समस्याओं को हल करते समय बच्चों की कार्रवाई की एक नई पद्धति को आत्मसात करने का आयोजन करें।
चरण VI में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
नए तरीके से करें गणना:
- संख्या 363 (ए; डी) - नियम का उच्चारण करते हुए बोर्ड पर प्रदर्शन किया गया।
- संख्या 363 (ई; एफ) - नमूने के अनुसार जाँच के साथ जोड़े में।
सातवीं. मानक के अनुसार स्व-परीक्षण के साथ स्वतंत्र कार्य।
मंच का उद्देश्य:
- कार्रवाई के एक नए तरीके के लिए छात्रों के कार्यों को स्वतंत्र रूप से पूरा करने का आयोजन करें;
- मानक के साथ तुलना के आधार पर स्व-परीक्षण व्यवस्थित करें;
- निष्पादन के परिणामों के आधार पर स्वतंत्र कामकार्रवाई के एक नए तरीके को आत्मसात करने पर चिंतन का आयोजन करें।
चरण VII में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
नए तरीके से करें गणना:
- क्रमांक 363 (बी; सी)
छात्र मानक के अनुसार जांच करते हैं और निष्पादन की शुद्धता को चिह्नित करते हैं। त्रुटियों के कारणों का विश्लेषण किया जाता है और त्रुटियों को ठीक किया जाता है।
शिक्षक उन छात्रों से पूछते हैं जिन्होंने गलतियाँ कीं, इसका कारण क्या है?
इस स्तर पर, यह महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक छात्र स्वतंत्र रूप से अपने काम की जाँच करे।
आठवीं. ज्ञान प्रणाली में समावेशन एवं पुनरावृत्ति।
मंच का उद्देश्य:
- नए ज्ञान के अनुप्रयोग की सीमाओं की पहचान व्यवस्थित करें;
- सार्थक निरंतरता सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक शैक्षिक सामग्री की पुनरावृत्ति व्यवस्थित करें।
आठवें चरण में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
चरण IX में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।
1. वार्ता:
दोस्तों, आज आपने कौन सा नया ज्ञान खोजा है? (किसी भिन्न को सरल तरीके से प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना सीखा)
एक सामान्य विधि तैयार करें. (कहते हैं)
इसका उपयोग किस प्रकार और किन मामलों में किया जा सकता है? (कहते हैं)
नये तरीके का क्या फायदा?
क्या हमने अपना पाठ लक्ष्य प्राप्त कर लिया है? (हाँ)
आपने अपने लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए किस ज्ञान का उपयोग किया? (कहते हैं)
क्या आपके लिए सब कुछ ठीक रहा?
कठिनाइयाँ क्या थीं?
2. गृहकार्य: खंड 3.2.4.; संख्या 365(एल, एन, ओ, पी); क्रमांक 370.
3. अध्यापक:मुझे खुशी है कि आज हर कोई सक्रिय था और कठिनाई से बाहर निकलने का रास्ता खोजने में कामयाब रहा। और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि एक नया भवन खोलते और स्थापित करते समय वे पड़ोसी नहीं थे। पाठ के लिए धन्यवाद, बच्चों!
आप भिन्नों के साथ विभाजन सहित सब कुछ कर सकते हैं। यह आलेख साधारण भिन्नों का विभाजन दर्शाता है। परिभाषाएँ दी जाएंगी और उदाहरणों पर चर्चा की जाएगी। आइए भिन्नों को प्राकृतिक संख्याओं से विभाजित करने और इसके विपरीत पर विस्तार से ध्यान दें। एक उभयनिष्ठ भिन्न को मिश्रित संख्या से विभाजित करने पर चर्चा की जाएगी।
भिन्नों को विभाजित करना
भाग गुणन का व्युत्क्रम है। विभाजित करने पर अज्ञात कारक पाया जाता है प्रसिद्ध कार्यऔर एक अन्य कारक, जहां इसका दिया गया अर्थ साधारण भिन्नों के साथ संरक्षित है।
यदि किसी उभयनिष्ठ भिन्न a b को c d से विभाजित करना आवश्यक है, तो ऐसी संख्या निर्धारित करने के लिए आपको भाजक c d से गुणा करना होगा, इससे अंततः लाभांश a b मिलेगा। आइए एक संख्या प्राप्त करें और इसे a b · d c लिखें, जहां d c, c d संख्या का व्युत्क्रम है। गुणन के गुणों का उपयोग करके समानताएं लिखी जा सकती हैं, अर्थात्: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, जहां अभिव्यक्ति a b · d c, a b को c d से विभाजित करने का भागफल है।
यहां से हम साधारण भिन्नों को विभाजित करने का नियम प्राप्त करते हैं और बनाते हैं:
परिभाषा 1
एक सामान्य भिन्न a b को c d से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के व्युत्क्रम से लाभांश को गुणा करना होगा।
आइए नियम को अभिव्यक्ति के रूप में लिखें: a b: c d = a b · d c
भाग के नियम गुणा तक आते हैं। इस पर टिके रहने के लिए, आपको भिन्नों को गुणा करने की अच्छी समझ होनी चाहिए।
आइए सामान्य भिन्नों के विभाजन पर विचार करें।
उदाहरण 1
9 7 को 5 3 से विभाजित करें. परिणाम को भिन्न के रूप में लिखें.
समाधान
संख्या 5 3 व्युत्क्रम भिन्न 3 5 है। साधारण भिन्नों को विभाजित करने के लिए नियम का प्रयोग करना आवश्यक है। हम इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखते हैं: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35।
उत्तर: 9 7: 5 3 = 27 35 .
भिन्नों को कम करते समय, यदि अंश हर से बड़ा है तो पूरे भाग को अलग कर दें।
उदाहरण 2
भाग 8 15: 24 65. उत्तर को भिन्न के रूप में लिखें।
समाधान
हल करने के लिए, आपको भाग से गुणा की ओर बढ़ना होगा। आइए इसे इस रूप में लिखें: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
कमी करना आवश्यक है, और यह इस प्रकार किया जाता है: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
संपूर्ण भाग का चयन करें और 13 9 = 1 4 9 प्राप्त करें।
उत्तर: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
एक असाधारण भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना
हम भिन्न को प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने के लिए नियम का उपयोग करते हैं: a b को प्राकृतिक संख्या n से विभाजित करने के लिए, आपको केवल हर को n से गुणा करना होगा। यहाँ से हमें अभिव्यक्ति मिलती है: a b: n = a b · n.
विभाजन नियम गुणन नियम का परिणाम है। इसलिए प्रस्तुति प्राकृतिक संख्याभिन्न के रूप में इस प्रकार की समानता देगा: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n .
किसी भिन्न के इस विभाजन पर एक संख्या से विचार करें।
उदाहरण 3
भिन्न 16 45 को संख्या 12 से विभाजित करें।
समाधान
आइए भिन्न को किसी संख्या से विभाजित करने का नियम लागू करें। हमें प्रपत्र 16 45: 12 = 16 45 · 12 का व्यंजक प्राप्त होता है।
आइए भिन्न को कम करें. हमें 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 प्राप्त होता है।
उत्तर: 16 45: 12 = 4 135 .
किसी प्राकृत संख्या को भिन्न से विभाजित करना
विभाजन नियम समान है हेकिसी प्राकृतिक संख्या को साधारण भिन्न से विभाजित करने का नियम: किसी प्राकृतिक संख्या n को साधारण भिन्न a b से विभाजित करने के लिए, संख्या n को भिन्न a b के व्युत्क्रम से गुणा करना आवश्यक है।
नियम के आधार पर, हमारे पास n: a b = n · b a है, और एक प्राकृतिक संख्या को एक साधारण भिन्न से गुणा करने के नियम के लिए धन्यवाद, हमें अपनी अभिव्यक्ति n: a b = n · b a के रूप में मिलती है। इस विभाजन पर एक उदाहरण से विचार करना आवश्यक है।
उदाहरण 4
25 को 15 से भाग दें 28.
समाधान
हमें भाग से गुणा की ओर बढ़ने की जरूरत है। आइए इसे अभिव्यक्ति 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 के रूप में लिखें। आइए भिन्न को कम करें और परिणाम भिन्न 46 2 3 के रूप में प्राप्त करें।
उत्तर: 25: 15 28 = 46 2 3 .
किसी भिन्न को मिश्रित संख्या से विभाजित करना
किसी सामान्य भिन्न को मिश्रित संख्या से विभाजित करते समय, आप आसानी से सामान्य भिन्न को विभाजित करना शुरू कर सकते हैं। आपको एक मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न में बदलने की आवश्यकता है।
उदाहरण 5
भिन्न 35 16 को 3 1 8 से विभाजित करें।
समाधान
चूँकि 3 1 8 एक मिश्रित संख्या है, आइए इसे एक अनुचित भिन्न के रूप में निरूपित करें। तब हमें 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 प्राप्त होता है। अब भिन्नों को विभाजित करते हैं। हमें प्राप्त होता है 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
उत्तर: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
मिश्रित संख्या का विभाजन सामान्य संख्याओं की तरह ही किया जाता है।
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