बहुपदों के गुणनखंडन के जटिल मामले। गुणनखंडन बहुपद. पूर्ण वर्ग चुनने की विधि. विधियों का संयोजन

16.10.2019

बहुपदों का गुणनखंडन एक पहचान परिवर्तन है, जिसके परिणामस्वरूप एक बहुपद कई कारकों - बहुपद या एकपदी के उत्पाद में बदल जाता है।

बहुपदों का गुणनखंड करने के कई तरीके हैं।

विधि 1. सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना।

यह परिवर्तन गुणन के वितरण नियम पर आधारित है: ac + bc = c(a + b)। परिवर्तन का सार विचाराधीन दो घटकों में सामान्य कारक को अलग करना और "इसे कोष्ठक से बाहर निकालना" है।

आइए हम बहुपद 28x 3 - 35x 4 का गुणनखंड करें।

समाधान।

1. तत्व 28x 3 और 35x 4 खोजें सामान्य विभाजक. 28 और 35 के लिए यह 7 होगा; x 3 और x 4 - x 3 के लिए। दूसरे शब्दों में, हमारा सामान्य गुणनखंड 7x 3 है।

2. हम प्रत्येक तत्व को कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाते हैं, जिनमें से एक
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. हम सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

विधि 2. संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना। इस पद्धति का उपयोग करने की "महारत" अभिव्यक्ति में संक्षिप्त गुणन सूत्रों में से एक पर ध्यान देना है।

आइए हम बहुपद x 6 - 1 का गुणनखंड करें।

समाधान।

1. हम इस अभिव्यक्ति में वर्गों के अंतर के सूत्र को लागू कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, x 6 को (x 3) 2 के रूप में और 1 को 1 2 के रूप में कल्पना करें, अर्थात। 1. अभिव्यक्ति का रूप इस प्रकार होगा:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. हम परिणामी अभिव्यक्ति में घनों के योग और अंतर के लिए सूत्र लागू कर सकते हैं:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

इसलिए,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

विधि 3. समूहीकरण। समूहीकरण विधि एक बहुपद के घटकों को इस तरह से संयोजित करना है कि उन पर संचालन (एक सामान्य कारक का जोड़, घटाव, घटाव) करना आसान हो।

आइए बहुपद x 3 – 3x 2 + 5x – 15 का गुणनखंड करें।

समाधान।

1. आइए घटकों को इस प्रकार समूहित करें: पहला दूसरे के साथ, और तीसरा चौथे के साथ
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. परिणामी अभिव्यक्ति में, हम सामान्य गुणनखंडों को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं: पहले मामले में x 2 और दूसरे में 5।
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. हम सामान्य गुणनखंड x - 3 को कोष्ठक से निकालते हैं और प्राप्त करते हैं:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

इसलिए,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

आइए सामग्री को सुरक्षित करें।

बहुपद a 2 - 7ab + 12b 2 का गुणनखंड करें।

समाधान।

1. आइए हम एकपदी 7ab को योग 3ab + 4ab के रूप में निरूपित करें। अभिव्यक्ति का रूप इस प्रकार होगा:
ए 2 - (3एबी + 4एबी) + 12बी 2।

आइए कोष्ठक खोलें और प्राप्त करें:
ए 2 - 3एबी - 4एबी + 12बी 2.

2. आइए बहुपद के घटकों को इस प्रकार समूहित करें: पहला, दूसरे के साथ और तीसरा, चौथे के साथ। हम पाते हैं:
(ए 2 - 3एबी) - (4एबी - 12बी 2)।

3. आइए सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालें:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. आइए सामान्य गुणनखंड (ए - 3बी) को कोष्ठक से बाहर निकालें:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

इसलिए,
ए 2 - 7एबी + 12बी 2 =
= ए 2 - (3एबी + 4एबी) + 12बी 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (ए 2 - 3एबी) - (4एबी - 12बी 2) =
= ए(ए - 3बी) - 4बी(ए - 3बी) =
= (ए - 3 बी) ∙ (ए - 4 बी)।

ब्लॉग.साइट, सामग्री को पूर्ण या आंशिक रूप से कॉपी करते समय, मूल स्रोत के लिंक की आवश्यकता होती है।

बहुपदों का गुणनखंड करने के कई तरीके हैं।

विधि 1. सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना।

आइए हम बहुपद 28x 3 - 35x 4 का गुणनखंड करें।

समाधान।

1. तत्वों 28x3 और 35x4 के लिए एक सामान्य भाजक खोजें। 28 और 35 के लिए यह 7 होगा; x 3 और x 4 - x 3 के लिए। दूसरे शब्दों में, हमारा सामान्य गुणनखंड 7x 3 है।

आइए हम बहुपद x 6 - 1 का गुणनखंड करें।

समाधान।

इसलिए,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

आइए बहुपद x 3 – 3x 2 + 5x – 15 का गुणनखंड करें।

समाधान।

इसलिए,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

आइए सामग्री को सुरक्षित करें।

बहुपद a 2 - 7ab + 12b 2 का गुणनखंड करें।

समाधान।

आइए कोष्ठक खोलें और प्राप्त करें:
ए 2 - 3एबी - 4एबी + 12बी 2.

3. आइए सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालें:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

वेबसाइट, सामग्री को पूर्ण या आंशिक रूप से कॉपी करते समय, मूल स्रोत के लिंक की आवश्यकता होती है।

बहुपद एक अभिव्यक्ति है जिसमें एकपदी का योग होता है। उत्तरार्द्ध एक स्थिरांक (संख्या) और अभिव्यक्ति के मूल (या मूल) का k की घात का गुणनफल हैं। इस मामले में, हम घात k वाले बहुपद की बात करते हैं। बहुपद के विस्तार में अभिव्यक्ति का परिवर्तन शामिल होता है जिसमें पदों को कारकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। आइए इस प्रकार के परिवर्तन को अंजाम देने के मुख्य तरीकों पर विचार करें।

एक उभयनिष्ठ गुणनखंड को अलग करके बहुपद विस्तार की विधि

यह विधि वितरण कानून के नियमों पर आधारित है। तो, एमएन + एमके = एम * (एन + के)।

उदाहरण: 7y 2 + 2uy और 2m 3 - 12m 2 + 4lm का विस्तार करें।

7y 2 + 2uy = y * (7y + 2u),

2m 3 – 12m 2 + 4lm = 2m(m 2 – 6m + 2l).

हालाँकि, प्रत्येक बहुपद में जो कारक आवश्यक रूप से मौजूद होता है, वह हमेशा नहीं पाया जा सकता है यह विधिसार्वभौमिक नहीं है.

संक्षिप्त गुणन सूत्रों पर आधारित बहुपद विस्तार विधि

संक्षिप्त गुणन सूत्र किसी भी डिग्री के बहुपदों के लिए मान्य हैं। में सामान्य रूप से देखेंरूपांतरण अभिव्यक्ति इस तरह दिखती है:

u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), जहां k का प्रतिनिधि है प्राकृतिक संख्या ।

व्यवहार में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले सूत्र दूसरे और तीसरे क्रम के बहुपदों के लिए हैं:

यू 2 – एल 2 = (यू – एल)(यू + एल),

यू 3 – एल 3 = (यू – एल)(यू 2 + उल + एल 2),

यू 3 + एल 3 = (यू + एल)(यू 2 - उल + एल 2)।

उदाहरण: 25p 2 - 144b 2 और 64m 3 - 8l 3 का विस्तार करें।

25पी 2 – 144बी 2 = (5पी – 12बी)(5पी + 12बी),

64m 3 - 8l 3 = (4m) 3 - (2l) 3 = (4m - 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m - 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).

बहुपद विस्तार विधि - किसी अभिव्यक्ति के पदों को समूहीकृत करना

इस पद्धति में कुछ हद तक सामान्य कारक प्राप्त करने की तकनीक के साथ कुछ समानताएं हैं, लेकिन इसमें कुछ अंतर भी हैं। विशेष रूप से, एक सामान्य कारक को अलग करने से पहले, एकपदी को समूहीकृत किया जाना चाहिए। समूहीकरण संयोजनात्मक और क्रमविनिमेय कानूनों के नियमों पर आधारित है।

व्यंजक में प्रस्तुत सभी एकपदों को समूहों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक में सामान्य अर्थऐसा कि दूसरा कारक सभी समूहों में समान होगा। सामान्य तौर पर, इस अपघटन विधि को अभिव्यक्ति के रूप में दर्शाया जा सकता है:

पीएल + केएस + केएल + पीएस = (पीएल + पीएस) + (केएस + केएल) ⇒ पीएल + केएस + केएल + पीएस = पी(एल + एस) + के(एल + एस),

पीएल + केएस + केएल + पीएस = (पी + के)(एल + एस)।

उदाहरण: 14mn + 16ln - 49m - 56l तक फैला हुआ।

14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).

बहुपद विस्तार विधि - एक पूर्ण वर्ग बनाना

बहुपद को विघटित करने में यह विधि सबसे प्रभावी में से एक है। प्रारंभिक चरण में, एकपदी को निर्धारित करना आवश्यक है जिसे अंतर या योग के वर्ग में "संक्षिप्त" किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, किसी एक संबंध का उपयोग करें:

(पी - बी) 2 = पी 2 - 2पीबी + बी 2,

उदाहरण:व्यंजक u 4 + 4u 2 – 1 का विस्तार करें।

आइए इसके एकपदी में से उन पदों का चयन करें जो एक पूर्ण वर्ग बनाते हैं: u 4 + 4u 2 - 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 - 4 - 1 =

= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.

संक्षिप्त गुणन नियमों का उपयोग करके परिवर्तन पूरा करें: (u 2 + 2) 2 - 5 = (u 2 + 2 - √5)(u 2 + 2 + √5)।

वह। यू 4 + 4यू 2 – 1 = (यू 2 + 2 – √5)(यू 2 + 2 + √5).

गुणनखंड बनाने के लिए भावों को सरल बनाना आवश्यक है। ये इसलिए जरूरी है ताकि इसे और कम किया जा सके. एक बहुपद का विस्तार तब समझ में आता है जब उसकी डिग्री दो से कम न हो। प्रथम घात वाले बहुपद को रैखिक कहा जाता है।

Yandex.RTB R-A-339285-1

लेख में अपघटन की सभी अवधारणाओं को शामिल किया जाएगा, सैद्धांतिक संस्थापनाऔर बहुपद का गुणनखंडन करने की विधियाँ।

लिखित

प्रमेय 1

जब घात n वाला कोई बहुपद, जिसका रूप P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + हो। . . + a 1 x + a 0, उच्चतम डिग्री a n और n रैखिक कारकों (x - x i), i = 1, 2, ..., n, फिर P n (x) के साथ एक स्थिर कारक वाले उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है। = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , जहां x i, i = 1, 2, …, n बहुपद के मूल हैं।

प्रमेय जटिल प्रकार x i, i = 1, 2, …, n की जड़ों के लिए और जटिल गुणांक ak, k = 0, 1, 2, …, n के लिए अभिप्रेत है। यह किसी भी अपघटन का आधार है।

जब ak, k = 0, 1, 2, …, n के रूप के गुणांक वास्तविक संख्याएँ हों, तो सम्मिश्र मूल संयुग्मी युग्मों में घटित होंगे। उदाहरण के लिए, मूल x 1 और x 2, P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + रूप के बहुपद से संबंधित हैं। . . + a 1 x + a 0 को सम्मिश्र संयुग्म माना जाता है, तो अन्य मूल वास्तविक होते हैं, जिससे हम पाते हैं कि बहुपद P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · का रूप लेता है। . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, जहाँ x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

टिप्पणी

एक बहुपद के मूलों को दोहराया जा सकता है। आइए बीजगणित प्रमेय के प्रमाण पर विचार करें, जो बेज़ौट के प्रमेय का परिणाम है।

बीजगणित का मौलिक प्रमेय

प्रमेय 2

घात n वाले किसी भी बहुपद में कम से कम एक मूल होता है।

बेज़ाउट का प्रमेय

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + रूप के बहुपद को विभाजित करने के बाद। . . + a 1 x + a 0 पर (x - s), तो हमें शेषफल मिलता है, जो बिंदु s पर बहुपद के बराबर है, फिर हमें मिलता है

पी एन एक्स = ए एन एक्स एन + ए एन - 1 एक्स एन - 1 +। . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s), जहां Q n - 1 (x) घात n - 1 वाला एक बहुपद है।

बेज़ाउट के प्रमेय का परिणाम

जब बहुपद P n (x) का मूल s माना जाता है, तो P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +। . . + ए 1 एक्स + ए 0 = (एक्स - एस) · क्यू एन - 1 (एक्स)। जब समाधान का वर्णन करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है तो यह परिणाम पर्याप्त होता है।

एक द्विघात त्रिपद का गुणनखंडन

a x 2 + b x + c के रूप के एक वर्ग त्रिपद को रैखिक गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है। तब हम पाते हैं कि a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , जहां x 1 और x 2 मूल (जटिल या वास्तविक) हैं।

इससे स्पष्ट है कि विस्तार ही समाधान तक सिमट जाता है द्विघात समीकरणबाद में।

उदाहरण 1

द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करें.

समाधान

समीकरण 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 के मूल ज्ञात करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, आपको सूत्र का उपयोग करके विवेचक का मान ज्ञात करना होगा, फिर हमें D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 मिलता है। यहां से हमारे पास वह है

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

इससे हमें पता चलता है कि 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

जाँच करने के लिए, आपको कोष्ठक खोलने होंगे। तब हमें फॉर्म की अभिव्यक्ति मिलती है:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

जाँच करने के बाद, हम मूल अभिव्यक्ति पर पहुँचते हैं। अर्थात्, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अपघटन सही ढंग से किया गया था।

उदाहरण 2

3 x 2 - 7 x - 11 के रूप के द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करें।

समाधान

हमने पाया कि 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 के रूप में परिणामी द्विघात समीकरण की गणना करना आवश्यक है।

जड़ों को खोजने के लिए, आपको विवेचक का मान निर्धारित करना होगा। हमें वह मिल गया

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 डी = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + डी 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - डी 2 3 = 7 - 181 6

इससे हमें पता चलता है कि 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

उदाहरण 3

बहुपद 2 x 2 + 1 का गुणनखंड करें।

समाधान

अब हमें द्विघात समीकरण 2 x 2 + 1 = 0 को हल करना होगा और उसके मूल ज्ञात करने होंगे। हमें वह मिल गया

2 एक्स 2 + 1 = 0 एक्स 2 = - 1 2 एक्स 1 = - 1 2 = 1 2 आई एक्स 2 = - 1 2 = - 1 2 आई

इन जड़ों को जटिल संयुग्म कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि विस्तार को स्वयं 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण 4

द्विघात त्रिपद x 2 + 1 3 x + 1 को विघटित करें।

समाधान

सबसे पहले आपको x 2 + 1 3 x + 1 = 0 के रूप का एक द्विघात समीकरण हल करना होगा और उसके मूल ज्ञात करने होंगे।

एक्स 2 + 1 3 एक्स + 1 = 0 डी = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 एक्स 1 = - 1 3 + डी 2 1 = - 1 3 + 35 3 आई 2 = - 1 + 35 आई 6 = - 1 6 + 35 6 आई एक्स 2 = - 1 3 - डी 2 1 = - 1 3 - 35 3 आई 2 = - 1 - 35 आई 6 = - 1 6 - 35 6 आई

जड़ें प्राप्त करने के बाद, हम लिखते हैं

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

टिप्पणी

यदि विभेदक मान ऋणात्मक है, तो बहुपद दूसरे क्रम के बहुपद बने रहेंगे। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि हम उन्हें रैखिक कारकों में विस्तारित नहीं करेंगे।

दो से अधिक घात वाले बहुपद का गुणनखंडन करने की विधियाँ

विघटित करते समय, एक सार्वभौमिक विधि मानी जाती है। अधिकांश मामले बेज़ौट के प्रमेय के परिणाम पर आधारित हैं। ऐसा करने के लिए, आपको मूल x 1 के मान का चयन करना होगा और एक बहुपद द्वारा 1 से विभाजित करके (x - x 1) से विभाजित करके इसकी डिग्री को कम करना होगा। परिणामी बहुपद को मूल x 2 खोजने की आवश्यकता है, और खोज प्रक्रिया तब तक चक्रीय है जब तक हम पूर्ण विस्तार प्राप्त नहीं कर लेते।

यदि मूल नहीं मिलता है, तो गुणनखंडन की अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है: समूहीकरण, अतिरिक्त पद। इस विषय में समीकरणों को हल करना शामिल है उच्च डिग्रीऔर पूर्णांक गुणांक.

सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना

उस स्थिति पर विचार करें जब मुक्त पद शून्य के बराबर हो, तो बहुपद का रूप P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + हो जाता है। . . + ए 1 एक्स .

यह देखा जा सकता है कि ऐसे बहुपद का मूल x 1 = 0 के बराबर होगा, तो बहुपद को अभिव्यक्ति P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + के रूप में दर्शाया जा सकता है। . . + ए 1 एक्स = = एक्स (ए एन एक्स एन - 1 + ए एन - 1 एक्स एन - 2 + ... + ए 1)

इस विधि को सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालने वाला माना जाता है।

उदाहरण 5

तीसरी डिग्री बहुपद 4 x 3 + 8 x 2 - x का गुणनखंड करें।

समाधान

हम देखते हैं कि x 1 = 0 दिए गए बहुपद का मूल है, तो हम संपूर्ण व्यंजक के कोष्ठक से x हटा सकते हैं। हम पाते हैं:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

आइए वर्ग त्रिपद 4 x 2 + 8 x - 1 के मूल ज्ञात करने के लिए आगे बढ़ें। आइए विभेदक और मूल खोजें:

डी = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + डी 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - डी 2 4 = - 1 - 5 2

फिर यह उसी का अनुसरण करता है

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

आरंभ करने के लिए, आइए एक अपघटन विधि पर विचार करें जिसमें P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + के पूर्णांक गुणांक शामिल हैं। . . + ए 1 एक्स + ए 0, जहां उच्चतम डिग्री का गुणांक 1 है।

जब किसी बहुपद में पूर्णांक मूल होते हैं, तो उन्हें मुक्त पद का विभाजक माना जाता है।

उदाहरण 6

व्यंजक f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 को विघटित करें।

समाधान

आइए विचार करें कि क्या पूरी जड़ें हैं। संख्या - 18 के विभाजक लिखना आवश्यक है। हमें वह ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18 मिलता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस बहुपद के मूल पूर्णांक हैं। आप हॉर्नर योजना का उपयोग करके जांच कर सकते हैं। यह बहुत सुविधाजनक है और आपको बहुपद के विस्तार गुणांक को तुरंत प्राप्त करने की अनुमति देता है:

इसका तात्पर्य यह है कि x = 2 और x = - 3 मूल बहुपद के मूल हैं, जिन्हें इस रूप के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है:

एफ (एक्स) = एक्स 4 + 3 एक्स 3 - एक्स 2 - 9 एक्स - 18 = (एक्स - 2) (एक्स 3 + 5 एक्स 2 + 9 एक्स + 9) = = (एक्स - 2) (एक्स + 3) (एक्स 2 + 2 एक्स + 3)

हम x 2 + 2 x + 3 के रूप के एक द्विघात त्रिपद के विस्तार के लिए आगे बढ़ते हैं।

चूँकि विवेचक नकारात्मक है, इसका मतलब है कि कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।

उत्तर:एफ (एक्स) = एक्स 4 + 3 एक्स 3 - एक्स 2 - 9 एक्स - 18 = (एक्स - 2) (एक्स + 3) (एक्स 2 + 2 एक्स + 3)

टिप्पणी

इसे हॉर्नर की योजना के बजाय एक बहुपद द्वारा मूल चयन और विभाजन का उपयोग करने की अनुमति है। आइए P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + रूप के पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के विस्तार पर विचार करें। . . + ए 1 एक्स + ए 0, जिसका उच्चतम एक के बराबर है।

यह मामला परिमेय भिन्नों के लिए होता है।

उदाहरण 7

f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 का गुणनखंड करें।

समाधान

चर y = 2 x को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है, आपको उच्चतम डिग्री पर 1 के बराबर गुणांक वाले बहुपद पर आगे बढ़ना चाहिए। आपको व्यंजक को 4 से गुणा करके प्रारंभ करना होगा। हमें वह मिल गया

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

जब फॉर्म g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 के परिणामी फ़ंक्शन में पूर्णांक जड़ें होती हैं, तो उनका स्थान मुक्त पद के विभाजकों के बीच होता है। प्रविष्टि इस प्रकार दिखेगी:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

आइए परिणाम के रूप में शून्य प्राप्त करने के लिए इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन g (y) की गणना करने के लिए आगे बढ़ें। हमें वह मिल गया

जी (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 ग्राम (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 ग्राम (2) ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 ग्राम (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 ग्राम (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 ग्राम (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 ग्राम (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 ग्राम (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 ग्राम (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 ग्राम (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

हम पाते हैं कि y = - 5, y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 के रूप के समीकरण का मूल है, जिसका अर्थ है कि x = y 2 = - 5 2 मूल फलन का मूल है।

उदाहरण 8

एक कॉलम 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 को x + 5 2 से विभाजित करना आवश्यक है।

समाधान

आइए इसे लिखें और प्राप्त करें:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

भाजक की जाँच करने में बहुत समय लगेगा, इसलिए x 2 + 7 x + 3 के रूप में परिणामी द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करना अधिक लाभदायक है। शून्य के बराबर करके हम विभेदक ज्ञात करते हैं।

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 एक्स + 7 2 + 37 2

यह उसी का अनुसरण करता है

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

बहुपद का गुणनखंड करने की कृत्रिम तकनीकें

सभी बहुपदों में परिमेय जड़ें अंतर्निहित नहीं होती हैं। ऐसा करने के लिए, आपको कारकों को खोजने के लिए विशेष तरीकों का उपयोग करने की आवश्यकता है। लेकिन सभी बहुपदों को एक उत्पाद के रूप में विस्तारित या प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

समूहीकरण विधि

ऐसे मामले होते हैं जब आप एक सामान्य गुणनखंड खोजने के लिए बहुपद के पदों को समूहित कर सकते हैं और उसे कोष्ठक से बाहर रख सकते हैं।

उदाहरण 9

बहुपद x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 का गुणनखंड करें।

समाधान

क्योंकि गुणांक पूर्णांक हैं, तो मूल संभवतः पूर्णांक भी हो सकते हैं। जाँच करने के लिए, इन बिंदुओं पर बहुपद के मान की गणना करने के लिए मान 1, - 1, 2 और - 2 लें। हमें वह मिल गया

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

इससे पता चलता है कि जड़ें नहीं हैं; विस्तार और समाधान की दूसरी विधि का उपयोग करना आवश्यक है।

समूह बनाना आवश्यक है:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 एक्स) + एक्स 2 - 2 = = एक्स 2 (एक्स 2 - 2) + 4 एक्स (एक्स 2 - 2) + एक्स 2 - 2 = = (एक्स 2 - 2) (एक्स 2 + 4 एक्स + 1)

मूल बहुपद को समूहीकृत करने के बाद इसे दो के गुणनफल के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है वर्ग त्रिपद. ऐसा करने के लिए हमें गुणनखंड बनाना होगा। हमें वह मिल गया

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 एक्स 1 = - 4 - डी 2 1 = - 2 - 3 एक्स 2 = - 4 - डी 2 1 = - 2 - 3 ⇒ एक्स 2 + 4 एक्स + 1 = एक्स + 2 - 3 एक्स + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

टिप्पणी

समूहीकरण की सरलता का मतलब यह नहीं है कि शब्दों को चुनना काफी आसान है। कोई विशिष्ट समाधान विधि नहीं है, इसलिए विशेष प्रमेयों और नियमों का उपयोग करना आवश्यक है।

उदाहरण 10

बहुपद x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 का गुणनखंड करें।

समाधान

दिए गए बहुपद का कोई पूर्णांक मूल नहीं है। शर्तों को समूहीकृत किया जाना चाहिए. हमें वह मिल गया

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 एक्स - 2) - (एक्स 2 + 2 एक्स - 2) = (एक्स 2 + एक्स - 1) (एक्स 2 + 2 एक्स - 2)

गुणनखंडन के बाद हमें वह प्राप्त होता है

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

एक बहुपद का गुणनखंड करने के लिए संक्षिप्त गुणन सूत्रों और न्यूटन के द्विपद का उपयोग करना

उपस्थिति अक्सर यह स्पष्ट नहीं करती है कि अपघटन के दौरान किस विधि का उपयोग किया जाना चाहिए। परिवर्तन किए जाने के बाद, आप पास्कल के त्रिभुज से युक्त एक रेखा बना सकते हैं, अन्यथा उन्हें न्यूटन का द्विपद कहा जाता है।

उदाहरण 11

बहुपद x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 का गुणनखंड करें।

समाधान

अभिव्यक्ति को रूप में परिवर्तित करना आवश्यक है

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

कोष्ठकों में योग के गुणांकों का क्रम अभिव्यक्ति x + 1 4 द्वारा दर्शाया गया है।

इसका मतलब है कि हमारे पास x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 है।

वर्गों का अंतर लगाने पर हमें प्राप्त होता है

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 एक्स + 1 2 + 3

दूसरे कोष्ठक में मौजूद अभिव्यक्ति पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि वहां कोई शूरवीर नहीं हैं, इसलिए हमें वर्गों के अंतर के सूत्र को फिर से लागू करना चाहिए। हमें स्वरूप की अभिव्यक्ति प्राप्त होती है

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 एक्स + 1 2 + 3 = = एक्स + 1 - 3 4 एक्स + 1 + 3 4 एक्स 2 + 2 एक्स + 1 + 3

उदाहरण 12

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 का गुणनखंड करें।

समाधान

आइए अभिव्यक्ति को बदलना शुरू करें। हमें वह मिल गया

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

घनों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र लागू करना आवश्यक है। हम पाते हैं:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 एक्स 2 + एक्स 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

बहुपद का गुणनखंड करते समय एक चर को प्रतिस्थापित करने की एक विधि

किसी चर को प्रतिस्थापित करते समय, डिग्री कम हो जाती है और बहुपद का गुणनखंड हो जाता है।

उदाहरण 13

x 6 + 5 x 3 + 6 के रूप के बहुपद का गुणनखंड करें।

समाधान

शर्त के अनुसार यह स्पष्ट है कि प्रतिस्थापन y = x 3 करना आवश्यक है। हम पाते हैं:

एक्स 6 + 5 एक्स 3 + 6 = वाई = एक्स 3 = वाई 2 + 5 वाई + 6

परिणामी द्विघात समीकरण की जड़ें y = - 2 और y = - 3 हैं

एक्स 6 + 5 एक्स 3 + 6 = वाई = एक्स 3 = वाई 2 + 5 वाई + 6 = = वाई + 2 वाई + 3 = एक्स 3 + 2 एक्स 3 + 3

घनों के योग के संक्षिप्त गुणन के लिए सूत्र लागू करना आवश्यक है। हमें इस प्रकार के भाव मिलते हैं:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 एक्स + 3 3 एक्स 2 - 3 3 एक्स + 9 3

अर्थात्, हमें वांछित अपघटन प्राप्त हुआ।

ऊपर चर्चा किए गए मामले एक बहुपद पर विभिन्न तरीकों से विचार करने और उसका गुणनखंड करने में मदद करेंगे।

यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ

आपकी गोपनीयता बनाए रखना हमारे लिए महत्वपूर्ण है। इस कारण से, हमने एक गोपनीयता नीति विकसित की है जो बताती है कि हम आपकी जानकारी का उपयोग और भंडारण कैसे करते हैं। कृपया हमारी गोपनीयता प्रथाओं की समीक्षा करें और यदि आपके कोई प्रश्न हों तो हमें बताएं।

व्यक्तिगत जानकारी का संग्रहण एवं उपयोग

व्यक्तिगत जानकारी से तात्पर्य उस डेटा से है जिसका उपयोग किसी विशिष्ट व्यक्ति की पहचान करने या उससे संपर्क करने के लिए किया जा सकता है।

जब भी आप हमसे संपर्क करेंगे तो आपसे किसी भी समय आपकी व्यक्तिगत जानकारी प्रदान करने के लिए कहा जा सकता है।

नीचे कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि हम किस प्रकार की व्यक्तिगत जानकारी एकत्र कर सकते हैं और हम ऐसी जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

कौन सी निजी जानकारी हम एकत्र करते हैं:

जब आप साइट पर कोई आवेदन जमा करते हैं, तो हम आपका नाम, टेलीफोन नंबर, ईमेल पता आदि सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं।

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:

हमारे द्वारा एकत्रित की गई व्यक्तिगत जानकारी हमें अनूठे प्रस्तावों, प्रचारों और अन्य घटनाओं और आगामी कार्यक्रमों के साथ आपसे संपर्क करने की अनुमति देती है।
समय-समय पर, हम महत्वपूर्ण सूचनाएं और संचार भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि हमारे द्वारा प्रदान की जाने वाली सेवाओं को बेहतर बनाने और आपको हमारी सेवाओं के संबंध में सिफारिशें प्रदान करने के लिए ऑडिट, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना।
यदि आप किसी पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रचार में भाग लेते हैं, तो हम ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए आपके द्वारा प्रदान की गई जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।

तृतीय पक्षों को सूचना का प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को प्रकट नहीं करते हैं।

अपवाद:

यदि आवश्यक हो तो कानून के अनुसार, न्यायिक प्रक्रिया, कानूनी कार्यवाही में, और/या सार्वजनिक पूछताछ या अनुरोधों के आधार पर सरकारी एजेंसियोंरूसी संघ के क्षेत्र में - अपनी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करें। यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक महत्व के उद्देश्यों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उचित है, तो हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं।
पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम एकत्र की गई व्यक्तिगत जानकारी को लागू उत्तराधिकारी तीसरे पक्ष को हस्तांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानियां बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता का सम्मान करना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा मानकों के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।