विभिन्न सभ्यताओं के प्रतिनिधि: प्राचीन मिस्र, प्राचीन बेबीलोन, प्राचीन ग्रीस, प्राचीन भारत, प्राचीन चीन, मध्यकालीन पूर्व, यूरोप ने समाधान के तरीकों में महारत हासिल की द्विघातीय समीकरण.

प्राचीन मिस्र के गणितज्ञ पहली बार द्विघात समीकरण को हल करने में सक्षम हुए। गणितीय पपीरी में से एक में निम्नलिखित समस्या है:

"एक आयत के आकार के मैदान की भुजाएँ ज्ञात करें यदि इसका क्षेत्रफल 12 है और इसकी लंबाई इसकी चौड़ाई के बराबर है।" पपीरस कहता है, "मैदान की लंबाई 4 है।"

सहस्त्राब्दियाँ बीत गईं, और ऋणात्मक संख्याएँ बीजगणित में प्रवेश कर गईं। समीकरण x²= 16 को हल करने पर, हमें दो संख्याएँ प्राप्त होती हैं: 4, -4।

 बेशक, मिस्र की समस्या में हम X = 4 लेंगे, क्योंकि क्षेत्र की लंबाई केवल एक सकारात्मक मात्रा हो सकती है।

जो सूत्र हम तक पहुँचे हैं, उनसे संकेत मिलता है कि प्राचीन वैज्ञानिकों के पास अज्ञात मात्राओं से जुड़ी समस्याओं को हल करने की कुछ सामान्य तकनीकें थीं। बेबीलोनियाई ग्रंथों में दिए गए द्विघात समीकरणों को हल करने का नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक के समान ही है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोनवासी "इतनी दूर तक कैसे पहुंचे।" लेकिन पाए जाने वाले लगभग सभी पपीरी और क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में केवल समस्याओं के साथ समाधान भी दिए गए हैं। लेखक केवल कभी-कभार ही अपनी संख्यात्मक गणनाएँ संक्षिप्त टिप्पणियों के साथ प्रदान करते हैं जैसे: "देखो!", "ऐसा करो!", "आपको सही मिल गया!"

यूनानी गणितज्ञ डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों की रचना और समाधान किया। उनके अंकगणित में बीजगणित की एक व्यवस्थित प्रस्तुति शामिल नहीं है, लेकिन इसमें समस्याओं की एक व्यवस्थित श्रृंखला शामिल है, स्पष्टीकरण के साथ और विभिन्न डिग्री के समीकरणों का निर्माण करके हल किया गया है।

द्विघात समीकरणों की रचना करने की समस्याएँ भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आर्यभट्ट द्वारा 499 में संकलित खगोलीय ग्रंथ "एरिया-भटियाम" में पहले से ही पाई जाती हैं।

एक अन्य भारतीय वैज्ञानिक ब्रह्मगुप्त (7वीं शताब्दी) ने इसकी रूपरेखा प्रस्तुत की सामान्य नियम ax² + bx = c के रूप के द्विघात समीकरणों को हल करना।

​प्राचीन भारत में कठिन समस्याओं को सुलझाने के लिए सार्वजनिक प्रतियोगिताएं आम थीं। पुरानी भारतीय पुस्तकों में से एक ऐसी प्रतियोगिताओं के बारे में निम्नलिखित कहती है: "जैसे सूर्य अपनी चमक से तारों को ग्रहण कर लेता है, वैसे ही विद्वान व्यक्तिबीजगणितीय समस्याओं का प्रस्ताव और समाधान करके लोकप्रिय सभाओं में दूसरे की महिमा को नष्ट कर दें।'' समस्याओं को प्रायः काव्यात्मक रूप में प्रस्तुत किया जाता था।

यह 12वीं शताब्दी के प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ की समस्याओं में से एक है। भास्कर:

डरपोक बंदरों का झुंड

जी भर कर खाया, मजा आया.

उनमें से आठ भाग चौक की साफ़-सफ़ाई में खेल रहे थे।

और बारह बेलों पर... कूदने लगे, लटकने लगे...​

वहां कितने बंदर थे?

मुझे बताओ, इस पैक में?

​भास्कर के समाधान से पता चलता है कि वह जानते थे कि द्विघात समीकरणों की जड़ें दो-मूल्य वाली होती हैं।

 सबसे प्राचीन चीनी गणितीय ग्रंथ जो हमारे पास आए हैं, वे पहली शताब्दी के अंत के हैं। ईसा पूर्व द्वितीय शताब्दी में। ईसा पूर्व नौ पुस्तकों में गणित लिखा गया। बाद में, 7वीं शताब्दी में, इसे "दस शास्त्रीय ग्रंथ" संग्रह में शामिल किया गया, जिसका कई शताब्दियों तक अध्ययन किया गया। ग्रंथ "नौ पुस्तकों में गणित" बताता है कि कैसे निकालना है वर्गमूलदो संख्याओं के योग के वर्ग के सूत्र का उपयोग करना।

इस विधि को "तियान-युआन" (शाब्दिक रूप से "स्वर्गीय तत्व") कहा जाता था - इस तरह से चीनियों ने एक अज्ञात मात्रा को नामित किया।​

 समस्याओं को हल करने के लिए पहला मैनुअल जो व्यापक रूप से जाना गया वह 9वीं शताब्दी के बगदाद वैज्ञानिक का काम था। मुहम्मद बिन मूसा अल-ख्वारिज्मी। समय के साथ "अल-जबर" शब्द प्रसिद्ध शब्द "बीजगणित" में बदल गया, और अल-खोरज़मी का काम ही समीकरणों को हल करने के विज्ञान के विकास में शुरुआती बिंदु बन गया। अल-ख्वारिज्मी का बीजगणितीय ग्रंथ रैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण देता है। लेखक छह प्रकार के समीकरण गिनाता है, उन्हें इस प्रकार व्यक्त करता है:

-वर्ग बराबर जड़ें, यानी, आह ² = बीх;

-वर्ग समान संख्या, यानी, आह ² = एस;

-मूल संख्या के बराबर हैं, अर्थात्, ax = c;

-वर्ग और संख्याएँ जड़ों के बराबर हैं, यानी, आह ²+ с = bх;

-वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं, यानी, आह ² + bх = с;

-मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं, अर्थात्, bx + c = ax ²;

अल-ख्वारिज्मी का ग्रंथ पहली पुस्तक है जो हमारे पास आई है, जो व्यवस्थित रूप से द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण निर्धारित करती है और उनके समाधान के लिए सूत्र देती है।

यूरोप में अल-ख्वारिज्मी के आधार पर बनाए गए द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र पहली बार अबेकस की पुस्तक में दिए गए थे, जो 1202 में इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा लिखी गई थी। लेखक ने स्वतंत्र रूप से कुछ नया विकसित किया बीजगणितीय उदाहरणसमस्याओं को हल करना और ऋणात्मक संख्याओं को पेश करने वाला यूरोप का पहला था। उनकी पुस्तक ने न केवल इटली, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में बीजगणितीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। 16वीं-17वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में "अबेकस की पुस्तक" की कई समस्याएं शामिल थीं। और आंशिक रूप से 18वीं शताब्दी का।

द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य नियम को एकल समीकरण में बदल दिया गया है कानूनी फॉर्मएक्स ² + bх = с, गुणांक b और с के संकेतों के सभी संभावित संयोजनों के लिए यूरोप में केवल 1544 में एम. स्टिफ़ेल द्वारा तैयार किया गया था।

द्विघात समीकरण को हल करने के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति सामान्य रूप से देखेंवियत के पास यह है, लेकिन उन्होंने भी केवल सकारात्मक जड़ों को ही पहचाना। इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली 16वीं शताब्दी के पहले गणितज्ञों में से थे। सकारात्मक और नकारात्मक जड़ों के अलावा, उन्हें भी ध्यान में रखा जाता है। केवल 17वीं शताब्दी में, गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटन और अन्य वैज्ञानिकों के कार्यों के लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि ने अपना आधुनिक रूप प्राप्त किया।

​

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रूसी संघ के शिक्षा मंत्रालय

नगर शिक्षण संस्थान

"माध्यमिक विद्यालय क्रमांक 22"

द्विघात और उच्च क्रम समीकरण

पुरा होना:

8 "बी" वर्ग के छात्र

कुज़नेत्सोव एवगेनी और रूडी एलेक्सी

पर्यवेक्षक:

ज़ेनिना एलेवटीना दिमित्रिग्ना

गणित शिक्षक

परिचय

1.1 प्राचीन बेबीलोन में समीकरण

1.2 अरब समीकरण

1.3 भारत में समीकरण

अध्याय 2. द्विघात समीकरणों और उच्च कोटि समीकरणों का सिद्धांत

2.1 बुनियादी अवधारणाएँ

2.2 x पर सम गुणांक के लिए सूत्र

2.3 विएटा का प्रमेय

2.4 एक विशेष प्रकृति के द्विघात समीकरण

2.5 बहुपद (समीकरण) के लिए विएटा का प्रमेय उच्च डिग्री

2.6 द्विघात (द्विघात) में बदलने योग्य समीकरण

2.7 द्विघात समीकरणों का अध्ययन

2.8 कॉर्डानो सूत्र

2.9 तीसरी डिग्री के सममित समीकरण

2.10 पारस्परिक समीकरण

2.11 हॉर्नर सर्किट

निष्कर्ष

प्रयुक्त साहित्य की सूची

परिशिष्ट 1

परिशिष्ट 2

परिशिष्ट 3

परिचय

में समीकरण स्कूल पाठ्यक्रमबीजगणित का कब्जा है अग्रणी स्थान. किसी भी अन्य विषय की तुलना में उनके अध्ययन में अधिक समय दिया जाता है। वास्तव में, समीकरणों का न केवल महत्वपूर्ण सैद्धांतिक महत्व है, बल्कि वे विशुद्ध रूप से व्यावहारिक उद्देश्यों को भी पूरा करते हैं। स्थानिक रूपों और मात्रात्मक संबंधों के बारे में समस्याओं की भारी संख्या असली दुनियाएक निर्णय पर आता है विभिन्न प्रकारसमीकरण. उन्हें हल करने के तरीकों में महारत हासिल करके, हम विज्ञान और प्रौद्योगिकी (परिवहन, कृषि, उद्योग, संचार, आदि)।

इस सार में मैं समाधान के सूत्र और विधियाँ प्रदर्शित करना चाहूँगा अलग-अलग समीकरण. इस प्रयोजन के लिए, ऐसे समीकरण दिए गए हैं जिनका अध्ययन नहीं किया गया है स्कूल के पाठ्यक्रम. ये मुख्य रूप से एक विशेष प्रकृति के समीकरण और उच्च डिग्री के समीकरण हैं। इस विषय को विस्तार देने के लिए इन सूत्रों के प्रमाण दिये गये हैं।

हमारे निबंध के उद्देश्य:

समीकरण हल करने के कौशल में सुधार करें

समीकरणों को हल करने के नए तरीके विकसित करें

इन समीकरणों को हल करने के कुछ नए तरीके और सूत्र जानें।

अध्ययन का उद्देश्य प्रारंभिक बीजगणित है। अध्ययन का उद्देश्य समीकरण है। इस विषय का चुनाव इस तथ्य पर आधारित था कि समीकरण प्रारंभिक पाठ्यक्रम और प्रत्येक बाद की कक्षा दोनों में शामिल हैं माध्यमिक स्कूलों, लिसेयुम, कॉलेज। कई ज्यामितीय समस्याओं, भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान की समस्याओं को समीकरणों का उपयोग करके हल किया जाता है। समीकरण पच्चीस शताब्दी पहले हल किए गए थे। वे आज भी बनाए जा रहे हैं - शैक्षिक प्रक्रिया में उपयोग के लिए, और विश्वविद्यालयों में प्रतिस्पर्धी परीक्षाओं के लिए, उच्चतम स्तर के ओलंपियाड के लिए।

अध्याय 1. द्विघात और उच्च क्रम समीकरणों का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में समीकरण

बीजगणित का उद्भव समीकरणों का उपयोग करके विभिन्न समस्याओं को हल करने के संबंध में हुआ। आमतौर पर, समस्याओं के लिए वांछित और दी गई मात्रा पर किए गए कुछ कार्यों के परिणामों को जानने के साथ-साथ एक या अधिक अज्ञात को खोजने की आवश्यकता होती है। ऐसी समस्याएं एक या कई समीकरणों की प्रणाली को हल करने, दी गई मात्राओं पर बीजगणितीय संक्रियाओं का उपयोग करके आवश्यक समीकरणों को खोजने तक आती हैं। बीजगणित मात्राओं पर संक्रियाओं के सामान्य गुणों का अध्ययन करता है।

रैखिक और द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कुछ बीजगणितीय तकनीकें 4000 साल पहले प्राचीन बेबीलोन में ज्ञात थीं। न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता, यहां तक ​​​​कि प्राचीन काल में भी, सैन्य प्रकृति के भूमि भूखंडों और भूमि कार्यों के क्षेत्रों को खोजने से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण हुई थी, साथ ही खगोल विज्ञान और गणित के विकास के साथ ही। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, द्विघात समीकरणों को बेबीलोनियों द्वारा लगभग 2000 ईसा पूर्व हल करने में सक्षम किया गया था। आधुनिक बीजगणितीय संकेतन का उपयोग करते हुए, हम कह सकते हैं कि अपूर्ण और पूर्ण दोनों द्विघात समीकरण उनके क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में पाए जाते हैं।

बेबीलोनियाई ग्रंथों में निर्धारित इन समीकरणों को हल करने का नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक समीकरणों से मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोनवासी इस नियम तक कैसे पहुंचे। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनिफॉर्म ग्रंथ केवल व्यंजनों के रूप में दिए गए समाधानों के साथ समस्याएं प्रदान करते हैं, इस बात का कोई संकेत नहीं है कि उन्हें कैसे खोजा गया था।

इसके बावजूद उच्च स्तरबेबीलोन में बीजगणित के विकास के दौरान, कीलाकार ग्रंथों में ऋणात्मक संख्या की अवधारणा और द्विघात समीकरण को हल करने के सामान्य तरीकों का अभाव था।

1.2 अरब समीकरण

द्विघात और उच्च-क्रम दोनों समीकरणों को हल करने के लिए कुछ तरीके अरबों द्वारा विकसित किए गए थे। इस प्रकार, प्रसिद्ध अरब गणितज्ञ अल-खोरज़मी ने अपनी पुस्तक "अल-जबर" में विभिन्न समीकरणों को हल करने के कई तरीकों का वर्णन किया है। उनकी ख़ासियत यह थी कि अल-खोरज़मी ने इसका इस्तेमाल किया जटिल कट्टरपंथीसमीकरणों के मूल (समाधान) खोजने के लिए। वंशानुक्रम के विभाजन से संबंधित प्रश्नों में ऐसे समीकरणों को हल करने की आवश्यकता महसूस हुई।

1.3 भारत में समीकरण

द्विघात समीकरण भी भारत में हल किये गये। द्विघात समीकरणों पर समस्याएँ भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आर्यभट्ट द्वारा 499 में संकलित खगोलीय ग्रंथ "आर्यभट्टियम" में पहले से ही पाई जाती हैं। एक अन्य भारतीय वैज्ञानिक, ब्रह्मगुप्त (7वीं शताब्दी) ने द्विघात समीकरणों को एकल शंकु रूप में हल करने के लिए एक सामान्य नियम निर्धारित किया:

aх² + bx= c, जहां a > 0

इस समीकरण में, a को छोड़कर, गुणांक ऋणात्मक हो सकते हैं। ब्रह्मगुप्त का शासन मूलतः हमारे जैसा ही है।

प्राचीन भारत में कठिन समस्याओं को सुलझाने के लिए सार्वजनिक प्रतियोगिताएँ आम थीं। पुरानी भारतीय किताबों में से एक इस तरह की प्रतियोगिताओं के बारे में निम्नलिखित कहती है: "जैसे सूर्य अपनी चमक से सितारों को मात देता है, वैसे ही एक विद्वान व्यक्ति सार्वजनिक सभाओं में बीजगणितीय समस्याओं का प्रस्ताव और समाधान करते समय दूसरे की महिमा को मात देगा।" समस्याओं को प्रायः काव्यात्मक रूप में प्रस्तुत किया जाता था।

विभिन्न समीकरण, दोनों द्विघात और उच्च डिग्री के समीकरण, हमारे दूर के पूर्वजों द्वारा हल किए गए थे। ये समीकरण बहुत अलग और दूर देशों में हल किये गये। समीकरणों की आवश्यकता बहुत अधिक थी। समीकरणों का उपयोग निर्माण, सैन्य मामलों और रोजमर्रा की स्थितियों में किया जाता था।

अध्याय 2. द्विघात समीकरण और उच्च क्रम समीकरण

2.1 बुनियादी अवधारणाएँ

द्विघात समीकरण एक प्रकार का समीकरण है

जहां गुणांक a, b, c कोई वास्तविक संख्या है, और a ≠ 0 है।

एक द्विघात समीकरण को घटा हुआ कहा जाता है यदि इसका अग्रणी गुणांक 1 है।

उदाहरण :

एक्स 2 + 2एक्स + 6 = 0.

यदि अग्रणी गुणांक 1 से भिन्न हो तो द्विघात समीकरण को अघटीकृत कहा जाता है।

उदाहरण :

2x 2 + 8x + 3 = 0.

पूर्ण द्विघात समीकरण एक द्विघात समीकरण है जिसमें सभी तीन पद मौजूद होते हैं, दूसरे शब्दों में, यह एक समीकरण है जिसमें गुणांक बी और सी गैर-शून्य होते हैं।

उदाहरण :

3x 2 + 4x + 2 = 0.

अपूर्ण द्विघात समीकरण एक द्विघात समीकरण है जिसमें कम से कम एक गुणांक b, c शून्य के बराबर होता है।

इस प्रकार, अपूर्ण द्विघात समीकरण तीन प्रकार के होते हैं:

1) ax² = 0 (दो संपाती मूल x = 0 हैं)।

2) ax² + bx = 0 (दो मूल x 1 = 0 और x 2 = - हैं)

उदाहरण :

एक्स 1 = 0, एक्स 2 = -5.

उत्तर: x 1 =0, x 2 = -5.

अगर -<0 - уравнение не имеет корней.

उदाहरण :

उत्तर: समीकरण की कोई जड़ नहीं है.

यदि –> 0, तो x 1,2 = ±

उदाहरण :

उत्तर: x 1.2 =±

किसी भी द्विघात समीकरण को विवेचक (b² - 4ac) का उपयोग करके हल किया जा सकता है। आमतौर पर अभिव्यक्ति b² - 4ac को अक्षर D द्वारा दर्शाया जाता है और इसे द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का विभेदक कहा जाता है (या द्विघात तीन पदों ax² + bx + c का विभेदक)

उदाहरण :

x 2 +14x – 23 = 0

डी = बी 2 - 4एसी = 144 + 92 = 256

एक्स 2 =

उत्तर: x 1 = 1, x 2 = - 15.

विवेचक के आधार पर, समीकरण का कोई हल हो भी सकता है और नहीं भी।

1) यदि डी< 0, то не имеет решения.

2) यदि D = 0, तो समीकरण के दो संपाती समाधान x 1,2 = हैं

3) यदि D > 0, तो सूत्र के अनुसार इसके दो समाधान पाए जाते हैं:

x 1.2 =

2.2 x पर सम गुणांक के लिए सूत्र

हम इस तथ्य के आदी हैं कि द्विघात समीकरण की जड़ें

ax² + bx + c = 0 सूत्र द्वारा पाए जाते हैं

x 1.2 =

लेकिन गणितज्ञ अपनी गणनाओं को आसान बनाने का अवसर कभी नहीं चूकेंगे। उन्होंने पाया कि इस सूत्र को उस स्थिति में सरल बनाया जा सकता है जहां गुणांक b = 2k है, विशेष रूप से यदि b एक सम संख्या है।

वास्तव में, मान लीजिए कि द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 का गुणांक b = 2k है। हमारे सूत्र में b के स्थान पर संख्या 2k रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

तो, द्विघात समीकरण ax² + 2kx + c = 0 की जड़ों की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

x 1.2 =

उदाहरण :

5x 2 - 2x + 1 = 0

इस सूत्र का लाभ यह है कि यह संख्या b का वर्ग नहीं है, बल्कि इसका आधा है; इस वर्ग से 4ac नहीं घटाया जाता है, बल्कि केवल ac घटाया जाता है, और अंत में, हर में 2a नहीं, बल्कि केवल a होता है। .

यदि द्विघात समीकरण को छोटा कर दिया जाए तो हमारा सूत्र इस प्रकार दिखेगा:

उदाहरण :

एक्स 2 – 4एक्स + 3 = 0

उत्तर: x 1 = 3, x 2 = 1.

2.3 विएटा का प्रमेय

द्विघात समीकरण की जड़ों की एक बहुत ही दिलचस्प संपत्ति की खोज फ्रांसीसी गणितज्ञ फ्रेंकोइस विएते ने की थी। इस संपत्ति को विएटा का प्रमेय कहा गया:

ताकि संख्याएँ x 1 और x 2 समीकरण के मूल हों:

ax² + bx + c = 0

समानता को पूरा करने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है

x 1 + x 2 = -b/a और x 1 x 2 = c/a

विएटा का प्रमेय हमें द्विघात समीकरण के चिह्नों और निरपेक्ष मान का न्याय करने की अनुमति देता है

x² + bx + c = 0

1. यदि b>0, c>0 तो दोनों मूल ऋणात्मक हैं।

2. यदि बी<0, c>0 तो दोनों मूल धनात्मक हैं।

3. यदि b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.

4. यदि बी<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.

2.4 एक विशेष प्रकृति के द्विघात समीकरण

1) यदि समीकरण ax² + bx + c = 0 में a + b + c = 0 है, तो

x 1 = 1, और x 2 = .

सबूत :

समीकरण ax² + bx + c = 0 में, इसकी जड़ें

x 1.2 = (1).

आइए हम b को समानता a + b + c = 0 से निरूपित करें

आइए इस अभिव्यक्ति को सूत्र (1) में प्रतिस्थापित करें:

=

यदि हम समीकरण की दोनों जड़ों पर अलग-अलग विचार करें, तो हमें मिलता है:

1) एक्स 1 =

2) x 2 =

यह इस प्रकार है: x 1 = 1, और x 2 =।

1. उदाहरण :

2x² - 3x + 1 = 0

ए = 2, बी = -3, सी = 1.

इसलिए, a + b + c = 0

2. उदाहरण :

418x² - 1254x + 836 = 0

इस उदाहरण को विवेचक का उपयोग करके हल करना बहुत कठिन है, लेकिन उपरोक्त सूत्र को जानकर इसे आसानी से हल किया जा सकता है।

ए = 418, बी = -1254, सी = 836।

एक्स 1 = 1 एक्स 2 = 2

2) यदि a - b + c = 0, समीकरण ax² + bx + c = 0 में, तो:

x 1 =-1, और x 2 =-.

सबूत :

समीकरण ax² + bx + c = 0 पर विचार करें, यह इस प्रकार है:

x 1.2 = (2).

आइए हम b को समानता a - b + c = 0 से निरूपित करें

बी = ए + सी, सूत्र में प्रतिस्थापित करें (2):

=

हमें दो अभिव्यक्तियाँ मिलती हैं:

1) एक्स 1 =

2) x 2 =

यह फ़ॉर्मूला पिछले फ़ॉर्मूले के समान है, लेकिन यह इसलिए भी महत्वपूर्ण है क्योंकि... इस प्रकार के उदाहरण आम हैं.

1) उदाहरण :

2x² + 3x + 1 = 0

ए = 2, बी = 3, सी = 1.

इसलिए, ए - बी + सी = 0

2)उदाहरण :

उत्तर: x 1 = -1; x 2 = -

3) विधि “ तबादलों ”

द्विघात समीकरण y² + by + ac = 0 और ax² + bx + c = 0 के मूल निम्नलिखित संबंधों से संबंधित हैं:

x 1 = और x 2 =

सबूत :

ए) समीकरण ax² + bx + c = 0 पर विचार करें

x 1.2 = =

बी) समीकरण y² + by + ac = 0 पर विचार करें

y 1,2 =

ध्यान दें कि दोनों समाधानों के विभेदक समान हैं, आइए हम इन दोनों समीकरणों की जड़ों की तुलना करें। वे एक दूसरे से एक अग्रणी कारक से भिन्न होते हैं, पहले समीकरण की जड़ें दूसरे की जड़ों से कम होती हैं। विएटा के प्रमेय और उपरोक्त नियम का उपयोग करके, विभिन्न समीकरणों को हल करना मुश्किल नहीं है।

उदाहरण :

हमारे पास एक मनमाना द्विघात समीकरण है

10x² - 11x + 3 = 0

आइए इस समीकरण को दिए गए नियम के अनुसार रूपांतरित करें

y² - 11y + 30 = 0

हमें घटा हुआ द्विघात समीकरण प्राप्त होता है, जिसे विएटा के प्रमेय का उपयोग करके काफी आसानी से हल किया जा सकता है।

माना कि y 1 और y 2 समीकरण y² के मूल हैं - 11y + 30 = 0

y 1 y 2 = 30 y 1 = 6

y 1 + y 2 = 11 y 2 = 5

यह जानते हुए कि इन समीकरणों की जड़ें एक-दूसरे से भिन्न होती हैं

x 1 = 6/10 = 0.6

x 2 = 5/10 = 0.5

कुछ मामलों में पहले न करने का निर्णय लेना सुविधाजनक होता है दिया गया समीकरण ax² + bx + c = 0, और घटाए गए y² + को + ac = 0, जो दिए गए "स्थानांतरण" गुणांक a से प्राप्त होता है, और फिर मूल समीकरण खोजने के लिए पाए गए मूलों को a से विभाजित करें।

2.5 उच्च डिग्री के बहुपद (समीकरण) के लिए वियतनाम सूत्र

वियत द्वारा द्विघात समीकरणों के लिए प्राप्त सूत्र उच्च डिग्री वाले बहुपदों के लिए भी सत्य हैं।

चलो बहुपद

पी(एक्स) = ए 0 एक्स एन + ए 1 एक्स एन -1 + … +ए एन

n अलग-अलग जड़ें हैं x 1, x 2..., x n।

इस मामले में, इसमें प्रपत्र का एक गुणनखंडन है:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

आइए इस समानता के दोनों पक्षों को 0 ≠ 0 से विभाजित करें और पहले भाग में कोष्ठक खोलें। हमें समानता मिलती है:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) एन एक्स 1 एक्स 2 … एक्स एन

लेकिन दो बहुपद समान रूप से समान होते हैं यदि और केवल यदि समान घातों के गुणांक समान हों। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि समानता

एक्स 1 + एक्स 2 + … + एक्स एन = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

उदाहरण के लिए, तीसरी डिग्री के बहुपदों के लिए

ए 0 एक्स³ + ए 1 एक्स² + ए 2 एक्स + ए 3

हमारी पहचान है

एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

जहाँ तक द्विघात समीकरणों की बात है, इस सूत्र को विएटा के सूत्र कहा जाता है। इन सूत्रों के बाएँ पक्ष इस समीकरण के मूल x 1, x 2 ..., x n से सममित बहुपद हैं, और दाएँ पक्ष को बहुपद के गुणांक के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।

2.6 द्विघात (द्विघात) में बदलने योग्य समीकरण

चौथी डिग्री के समीकरण द्विघात समीकरणों में बदल जाते हैं:

कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 2 + सी = 0,

द्विघात कहा जाता है, और ≠ 0.

इस समीकरण में x 2 = y डालना पर्याप्त है, इसलिए,

ay² + by + c = 0

आइए परिणामी द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें

y 1,2 =

मूल x 1, x 2, x 3, x 4 को तुरंत खोजने के लिए, y को x से बदलें और प्राप्त करें

x² =

x 1,2,3,4 = .

यदि चौथी डिग्री के समीकरण में x 1 है, तो इसका एक मूल x 2 = -x 1 भी है,

यदि x 3 है, तो x 4 = - x 3. ऐसे समीकरण के मूलों का योग शून्य होता है।

उदाहरण :

2x 4 - 9x² + 4 = 0

आइए समीकरण को द्विघात समीकरणों की जड़ों के सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

x 1,2,3,4 = ,

यह जानते हुए कि x 1 = -x 2, और x 3 = -x 4, तो:

x 3.4 =

उत्तर: x 1.2 = ±2; x 1.2 =

2.7 द्विघात समीकरणों का अध्ययन

आइए द्विघात समीकरण लें

कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 2 + सी = 0,

जहां a, b, c वास्तविक संख्याएं हैं, और a > 0. सहायक अज्ञात y = x² का परिचय देकर, हम इस समीकरण की जड़ों की जांच करते हैं और परिणामों को तालिका में दर्ज करते हैं (परिशिष्ट संख्या 1 देखें)

2.8 कार्डानो फॉर्मूला

यदि हम आधुनिक प्रतीकवाद का उपयोग करते हैं, तो कार्डानो सूत्र की व्युत्पत्ति इस तरह दिख सकती है:

एक्स =

यह सूत्र सामान्य तृतीय-डिग्री समीकरण की जड़ें निर्धारित करता है:

कुल्हाड़ी 3 + 3बीएक्स 2 + 3सीएक्स + डी = 0.

यह सूत्र बहुत बोझिल और जटिल है (इसमें कई जटिल मूलांक शामिल हैं)। यह हमेशा लागू नहीं होगा, क्योंकि... भरना बहुत कठिन है.

2.9 तीसरी डिग्री के सममित समीकरण

तीसरी डिग्री के सममित समीकरण रूप के समीकरण हैं

ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )

ax³ + bx² - bx – a = 0 ( 2 )

जहां a और b को a¹0 के साथ संख्याएं दी गई हैं।

आइये दिखाते हैं कि समीकरण ( 1 ).

ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(बी – ए)एक्स + ए).

हम पाते हैं कि समीकरण ( 1 ) समीकरण के समतुल्य है

(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.

इसका मतलब यह है कि इसकी जड़ें समीकरण की जड़ें होंगी

ax² +(b – a)x + a = 0

और संख्या x = -1

समीकरण ( 2 )

ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + ax + a + bx) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).

1) उदाहरण :

2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0

यह स्पष्ट है कि x 1 = 1, और

समीकरण 2x² + 5x + 2 = 0 के x 2 और x 3 मूल,

आइए उन्हें विवेचक के माध्यम से खोजें:

x 1.2 =

एक्स 2 = -, एक्स 3 = -2

2) उदाहरण :

5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0

यह स्पष्ट है कि x 1 = -1, और

समीकरण 5x² + 26x + 5 = 0 के x 2 और x 3 मूल,

आइए उन्हें विवेचक के माध्यम से खोजें:

x 1.2 =

एक्स 2 = -5, एक्स 3 = -0.2.

2.10 पारस्परिक समीकरण

व्युत्क्रम समीकरण - बीजगणितीय समीकरण

ए 0 एक्स एन + ए 1 एक्स एन – 1 + … + ए एन – 1 एक्स + ए एन =0,

जिसमें a k = a n – k, जहां k = 0, 1, 2 …n, और a ≠ 0.

व्युत्क्रम समीकरण के मूल खोजने की समस्या कम डिग्री के बीजगणितीय समीकरण का समाधान खोजने की समस्या में बदल जाती है। पारस्परिक समीकरण शब्द एल. यूलर द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

फॉर्म का चौथा डिग्री समीकरण:

कुल्हाड़ी 4 + बीएक्स 3 + सीएक्स 2 + बीएमएक्स + एएम² = 0, (ए ≠ 0)।

इस समीकरण को फॉर्म में कम करना

a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, और y = x + m/x और y² - 2m = x² + m²/x²,

जहां से समीकरण द्विघात में बदल जाता है

ay² + by + (c-2am) = 0.

3x 4 + 5x 3 – 14x 2 – 10x + 12 = 0

इसे x 2 से विभाजित करने पर समतुल्य समीकरण प्राप्त होता है

3x 2 + 5x – 14 – 5 ×, या

और कहां

3(y 2 - 4) + 5y – 14 = 0, कहाँ से

इसलिए, y 1 = y 2 = -2

और कहाँ से

उत्तर: x 1.2 = x 3.4 = .

पारस्परिक समीकरणों का एक विशेष मामला सममित समीकरण हैं। हमने पहले तीसरी डिग्री के सममित समीकरणों के बारे में बात की थी, लेकिन चौथी डिग्री के सममित समीकरण भी हैं।

चौथी डिग्री के सममित समीकरण.

1) यदि m = 1, तो यह पहली तरह का एक सममित समीकरण है, जिसका रूप है

ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 और एक नए प्रतिस्थापन द्वारा हल किया गया

2) यदि m = -1 है, तो यह दूसरे प्रकार का एक सममित समीकरण है, जिसका रूप है

ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 और नए प्रतिस्थापन द्वारा हल किया गया

2.11 हॉर्नर योजना

बहुपदों को विभाजित करने के लिए, "कोण द्वारा विभाजन" नियम, या हॉर्नर की योजना का उपयोग किया जाता है . इस प्रयोजन के लिए, बहुपदों को अवरोही अंशों में व्यवस्थित किया जाता है एक्सऔर भागफल Q(x) का अग्रणी पद इस शर्त से ज्ञात करें कि जब भाजक D(x) के अग्रणी पद से गुणा किया जाए, तो लाभांश P(x) का अग्रणी पद प्राप्त होता है। भागफल के पाए गए पद को गुणा किया जाता है, फिर भाजक से और लाभांश से घटाया जाता है। भागफल का अग्रणी पद इस शर्त से निर्धारित होता है कि, जब भाजक के अग्रणी पद से गुणा किया जाता है, तो यह अंतर बहुपद आदि का अग्रणी पद देता है। यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि अंतर की डिग्री भाजक की डिग्री से कम न हो जाए (परिशिष्ट संख्या 2 देखें)।

समीकरण आर = 0 के मामले में, इस एल्गोरिदम को हॉर्नर की योजना द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

उदाहरण :

x 3 + 4x 2 + x – 6 = 0

मुक्त पद ±1 के विभाजक ज्ञात कीजिए; ± 2; ± 3; ± 6.

आइए समीकरण के बाएँ पक्ष को f(x) से निरूपित करें। जाहिर है, f(1) = 0, x1 = 1. f(x) को x - 1 से विभाजित करें। (परिशिष्ट संख्या 3 देखें)

x 3 + 4x 2 + x – 6 = (x – 1) (x 2 + 5x + 6)

हम अंतिम गुणनखंड को Q(x) से निरूपित करते हैं। हम समीकरण Q(x) = 0 को हल करते हैं।

x 2.3 =

उत्तर : 1; -2; -3.

इस अध्याय में हमने विभिन्न समीकरणों को हल करने के लिए कुछ सूत्र दिये हैं। इनमें से अधिकांश सूत्र आंशिक समीकरणों को हल करने के लिए हैं। ये गुण बहुत सुविधाजनक हैं क्योंकि सामान्य सिद्धांत का उपयोग करने के बजाय इस समीकरण के लिए एक अलग सूत्र का उपयोग करके समीकरणों को हल करना बहुत आसान है। हमने प्रत्येक विधि के लिए एक प्रमाण और कई उदाहरण प्रदान किए हैं।

निष्कर्ष

पहले अध्याय में द्विघात समीकरणों और उच्च क्रम समीकरणों के उद्भव के इतिहास की जांच की गई। विभिन्न समीकरण 25 शताब्दियों से भी पहले हल किए गए थे। ऐसे समीकरणों को हल करने की कई विधियाँ भारत के बेबीलोन में बनाई गईं। समीकरणों की आवश्यकता रही है और रहेगी।

दूसरा अध्याय द्विघात समीकरणों और उच्च क्रम समीकरणों को हल करने (मूल खोजने) के विभिन्न तरीके प्रदान करता है। मूल रूप से, ये एक विशेष प्रकृति के समीकरणों को हल करने की विधियाँ हैं, अर्थात, कुछ सामान्य गुणों या प्रकार से एकजुट समीकरणों के प्रत्येक समूह के लिए, एक विशेष नियम दिया जाता है जो केवल समीकरणों के इस समूह पर लागू होता है। यह विधि (प्रत्येक समीकरण के लिए अपना स्वयं का सूत्र चुनना) विवेचक के माध्यम से मूल खोजने की तुलना में बहुत आसान है।

इस सार में, सभी लक्ष्य प्राप्त कर लिए गए हैं और मुख्य कार्य पूरे कर लिए गए हैं, नए, पहले से अज्ञात सूत्र सिद्ध और सीखे गए हैं। हमने उदाहरणों को सार में शामिल करने से पहले उन पर कई उदाहरणों पर काम किया, इसलिए हमें पहले से ही पता है कि कुछ समीकरणों को कैसे हल किया जाए। प्रत्येक समाधान आगे की पढ़ाई में हमारे लिए उपयोगी होगा। इस निबंध ने पुराने ज्ञान को वर्गीकृत करने और नए सीखने में मदद की।

संदर्भ

1. विलेनकिन एन.वाई.ए. "8वीं कक्षा के लिए बीजगणित", एम., 1995।

2. गैलिट्स्की एम.एल. "बीजगणित में समस्याओं का संग्रह", एम. 2002।

3. डैन-डेलमेडिको डी. "पाथ्स एंड लेबिरिंथ", एम., 1986।

4. ज़वाविच एल.आई. "बीजगणित 8वीं कक्षा", एम., 2002।

5. कुशनीर आई.ए. "समीकरण", कीव 1996.

6. सविन यू.पी. “ विश्वकोश शब्दकोशयुवा गणितज्ञ", एम., 1985।

7. मोर्दकोविच ए.जी. "बीजगणित 8वीं कक्षा", एम., 2003।

8. खुदोबिन ए.आई. "बीजगणित में समस्याओं का संग्रह", एम., 1973।

9. शैरगिन आई.एफ. "बीजगणित में वैकल्पिक पाठ्यक्रम", एम., 1989।

परिशिष्ट 1

द्विघात समीकरणों का अध्ययन

सी	बी		निष्कर्ष
			सहायक समीकरण ay² +by+c=0 के मूल पर	इस समीकरण की जड़ों के बारे में a(x²)² +bx² +c=0
सी< 0	बी- कोई वास्तविक संख्या		य< 0 ; y > 0 1 2	x = ±y
सी > 0	बी<0	डी > 0		x = ±y
		डी=0	आप > 0	x = ±y
		डी< 0	कोई जड़ नहीं	कोई जड़ नहीं
	बी ≥ 0			कोई जड़ नहीं
			कोई जड़ नहीं	कोई जड़ नहीं
			आप > 0 ; य< 0 1 2	x = ±y
सी=0	बी > 0		आप = 0	एक्स = 0
	बी = 0		आप = 0	एक्स = 0
	बी< 0		आप = 0	एक्स = 0

परिशिष्ट 2

एक कोने का उपयोग करके एक बहुपद को एक बहुपद में विभाजित करना

ए 0	एक 1	एक 2	...	एक	सी
+
बी 0 सी	बी 1 सी	…	बी एन-1 सी
बी 0	बी 1	बी 2	…	बी एन	= आर (शेष)

परिशिष्ट 3

हॉर्नर योजना

जड़
	1	4	1	-6	1
एक्स 1 = 1
ध्वस्त	5	6	0
	1	1×1 +4 = 5	5×1 + 1 = 6	6×1 – 6 = 0
जड़
एक्स 1 = 1

द्विघात समीकरणों के इतिहास से लेखक: 9वीं "ए" कक्षा की छात्रा स्वेतलाना रैडचेंको पर्यवेक्षक: अलाबुगिना आई.ए. गणित शिक्षक एमबीओयू "गुरेव्स्क का माध्यमिक विद्यालय नंबर 5" केमेरोवो क्षेत्र प्रस्तुति का विषय क्षेत्र: गणित शिक्षक की मदद के लिए बनाया गया कुल 20 स्लाइड सामग्री परिचय………………………………………… …………………………3 द्विघात समीकरणों के उद्भव के इतिहास से प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण…………………………………….4 भारत में द्विघात समीकरण……………… ………………… …….अल-ख्वारिज्मी में 5 द्विघात समीकरण……………………6 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों की रचना और समाधान कैसे किया………………………… यूरोप में 7 द्विघात समीकरण … .10 द्विघात समीकरणों का अध्ययन करने की पद्धति……………………………………11 द्विघात समीकरणों को हल करने के 10 तरीके……………………………….12 अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम…… ……………………13 पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम…………………………..14 दिए गए द्विघात समीकरणों को हल करना………………………………15 4. लागू समस्याओं को हल करने के लिए द्विघात समीकरणों का व्यावहारिक अनुप्रयोग……………………………………………………………………………………16 5. निष्कर्ष। ………………………………………………………………………18 1. 2. 6. प्रयुक्त संदर्भों की सूची……………… ……………………………….19 2 परिचय उस दिन या उस घड़ी को दुखी मानें जिसमें आपने कुछ नया नहीं सीखा, अपनी शिक्षा में कुछ नहीं जोड़ा। जान अमोस कोमेनियस 3 द्विघात समीकरण वह आधार है जिस पर बीजगणित की भव्य इमारत टिकी हुई है। त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणक, अपरिमेय और पारलौकिक समीकरणों और असमानताओं को हल करने में इनका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। द्विघात समीकरण स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में अग्रणी स्थान रखते हैं। स्कूल के गणित पाठ्यक्रम में बहुत सारा समय उनके अध्ययन के लिए समर्पित होता है। मूलतः, द्विघात समीकरण विशिष्ट व्यावहारिक उद्देश्यों की पूर्ति करते हैं। वास्तविक दुनिया में स्थानिक रूपों और मात्रात्मक संबंधों के बारे में अधिकांश समस्याएं द्विघात समीकरणों सहित विभिन्न प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए आती हैं। उन्हें हल करने के तरीकों में महारत हासिल करके, लोग विज्ञान और प्रौद्योगिकी के विभिन्न प्रश्नों के उत्तर ढूंढते हैं। द्विघात समीकरणों के उद्भव के इतिहास से प्राचीन बेबीलोन: पहले से ही लगभग 2000 वर्ष ईसा पूर्व, बेबीलोनवासी द्विघात समीकरणों को हल करना जानते थे। पूर्ण और अपूर्ण दोनों द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ ज्ञात थीं। उदाहरण के लिए, प्राचीन बेबीलोन में, निम्नलिखित द्विघात समीकरणों को हल किया गया था: 4 भारत द्विघात समीकरणों का उपयोग करके हल की गई समस्याएं भारतीय खगोलशास्त्री और गणितज्ञ आर्यभट्ट द्वारा 499 ईस्वी में लिखे गए खगोल विज्ञान के ग्रंथ "आर्यभट्टियम" में पाई जाती हैं। एक अन्य भारतीय वैज्ञानिक, ब्रह्मगुप्त ने एक द्विघात समीकरण को उसके विहित रूप में हल करने के लिए एक सार्वभौमिक नियम की रूपरेखा तैयार की: ax2+bx=c; इसके अलावा, यह माना गया कि इसमें "ए" को छोड़कर सभी गुणांक नकारात्मक हो सकते हैं। वैज्ञानिक द्वारा तैयार किया गया नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक नियम से मेल खाता है। अल-खोरेज़मी में 5 द्विघात समीकरण: अल-खोरेज़मी के बीजगणितीय ग्रंथ में रैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण दिया गया है। लेखक 6 प्रकार के समीकरण गिनाता है, उन्हें इस प्रकार व्यक्त करता है: "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं," यानी। ax2 = bx.; "वर्ग संख्याओं के बराबर होते हैं," अर्थात ax2 = c; "मूल संख्या के बराबर हैं," अर्थात ax = c; "वर्ग और संख्याएँ जड़ों के बराबर हैं," अर्थात्। ax2 + c = bx; "वर्ग और मूल संख्या के बराबर हैं," अर्थात ax2 + bx = c; "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं," अर्थात bx + c = ax2। 6 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों की रचना और समाधान कैसे किया: सबसे मौलिक प्राचीन यूनानी गणितज्ञों में से एक अलेक्जेंड्रिया का डायोफैंटस था। डायोफैंटस के न तो जन्म का वर्ष और न ही मृत्यु की तारीख स्पष्ट की गई है; ऐसा माना जाता है कि वह तीसरी शताब्दी में रहते थे। विज्ञापन डायोफैंटस की कृतियों में सबसे महत्वपूर्ण अंकगणित है, जिसकी 13 पुस्तकों में से केवल 6 ही आज तक बची हैं। डायोफैंटस के अंकगणित में बीजगणित की व्यवस्थित प्रस्तुति नहीं है, लेकिन इसमें कई समस्याएं हैं, स्पष्टीकरण के साथ और विभिन्न डिग्री के समीकरणों का निर्माण करके हल किया गया है। समीकरण बनाते समय, डायोफैंटस समाधान को सरल बनाने के लिए कुशलता से अज्ञात का चयन करता है। 12वीं-17वीं शताब्दी में यूरोप में 7 द्विघात समीकरण: इतालवी गणितज्ञ लियोनार्ड फाइबोनैचि ने स्वतंत्र रूप से समस्याओं को हल करने के लिए कुछ नए बीजगणितीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में नकारात्मक संख्याओं को पेश करने वाले पहले व्यक्ति थे। चिह्नों और गुणांकों बी, सी के सभी संभावित संयोजनों के लिए एकल विहित रूप x2 + bх = с में घटाकर द्विघात समीकरणों को हल करने का सामान्य नियम यूरोप में 1544 में माइकल स्टिफ़ेल द्वारा तैयार किया गया था। 8 फ्रांकोइस वियत फ्रांसीसी गणितज्ञ एफ. वियत (1540-1603) ने बीजगणितीय प्रतीकों की एक प्रणाली शुरू की, और प्रारंभिक बीजगणित की नींव विकसित की। वह संख्याओं को अक्षरों द्वारा निरूपित करने वाले पहले लोगों में से एक थे, जिन्होंने समीकरणों के सिद्धांत को महत्वपूर्ण रूप से विकसित किया। सामान्य रूप में द्विघात समीकरण को हल करने के सूत्र की व्युत्पत्ति विएथ से उपलब्ध है, लेकिन विएथ ने केवल सकारात्मक जड़ों को ही पहचाना। 9 द्विघात समीकरण आज द्विघात समीकरणों को हल करने की क्षमता अन्य समीकरणों और उनकी प्रणालियों को हल करने के आधार के रूप में कार्य करती है। समीकरणों को हल करना सीखना उनके सबसे सरल प्रकारों से शुरू होता है, और कार्यक्रम उनके दोनों प्रकारों के क्रमिक संचय और समान और समकक्ष परिवर्तनों के "फंड" को निर्धारित करता है, जिसकी मदद से आप एक मनमाना समीकरण को सबसे सरल में कम कर सकते हैं। स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में समीकरणों को हल करने के लिए सामान्यीकृत तकनीक विकसित करने की प्रक्रिया भी इसी दिशा में बनाई जानी चाहिए। हाई स्कूल गणित पाठ्यक्रम में, छात्रों को समीकरणों, प्रणालियों के नए वर्गों का सामना करना पड़ता है, या पहले से ही ज्ञात समीकरणों के गहन अध्ययन के साथ द्विघात समीकरणों का अध्ययन करने की 10 विधियाँ व्यवस्थित बीजगणित पाठ्यक्रम के अध्ययन की शुरुआत के साथ होती हैं द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीकों पर ध्यान दिया गया, जो अध्ययन का एक विशेष उद्देश्य बन गए। इस विषय की विशेषता प्रस्तुति की अत्यधिक गहराई और शिक्षण में इसकी मदद से स्थापित संबंधों की समृद्धि और प्रस्तुति की तार्किक वैधता है। इसलिए, यह समीकरणों और असमानताओं की रेखा में एक असाधारण स्थान रखता है। द्विघात समीकरणों के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण बिंदु विएटा के प्रमेय पर विचार है, जो घटे हुए द्विघात समीकरण की जड़ों और गुणांकों के बीच एक संबंध के अस्तित्व को बताता है। विएटा के प्रमेय में महारत हासिल करने में कठिनाई कई परिस्थितियों के कारण है। सबसे पहले, प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम प्रमेयों के बीच के अंतर को ध्यान में रखना आवश्यक है। 11 द्विघात समीकरणों को हल करने के 10 तरीके: समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करना। पूर्ण वर्ग चुनने की विधि. सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना। विएटा के प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों को हल करना। द्विघात समीकरण के गुणांकों के गुण "फेंकने" विधि का उपयोग करके समीकरणों को हल करना। द्विघात समीकरण का आलेखीय समाधान.< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, यानी - = m, जहाँ m>0, समीकरण x2 = m के दो मूल हैं, इस प्रकार, एक अपूर्ण द्विघात समीकरण के दो मूल, एक मूल या कोई मूल नहीं हो सकता है। 13 पूर्ण द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम। ये ax2 + bx + c = 0 के रूप के समीकरण हैं, जहां a, b, c दिए गए नंबर हैं, और ≠ 0, x एक अज्ञात है। द्विघात समीकरण के मूलों की संख्या निर्धारित करने और इन मूलों को खोजने के लिए किसी भी पूर्ण द्विघात समीकरण को रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। संपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करने के निम्नलिखित मामलों पर विचार किया जाता है: डी< 0, D = 0, D >0. 1. यदि डी< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, तो द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के दो मूल हैं, जो सूत्रों द्वारा पाए जाते हैं: ; 14 घटे हुए द्विघात समीकरणों का समाधान एफ. विएटा का प्रमेय: घटे हुए द्विघात समीकरण के मूलों का योग विपरीत चिह्न के साथ लिए गए दूसरे गुणांक के बराबर है, और मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर है। दूसरे शब्दों में, यदि x1 और x2 समीकरण x2 +px + q = 0 के मूल हैं, तो x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) विएटा के प्रमेय का व्युत्क्रम प्रमेय: यदि सूत्र (*) संख्याओं x1, x2, p, q के लिए मान्य हैं, तो x1 और x2 समीकरण x2 + px + q = 0 के मूल हैं। 15 व्यावहारिक अनुप्रयोग लागू समस्याओं को हल करने के लिए द्विघात समीकरणों के भास्कर (1114-1185) - 12वीं सदी के सबसे बड़े भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री। उन्होंने उज्जैन में खगोलीय वेधशाला का नेतृत्व किया। भास्कर ने "सिद्धांत-शिरोमणि" ("शिक्षण का मुकुट") नामक ग्रंथ लिखा, जिसमें चार भाग शामिल हैं: "लीलावती" अंकगणित के लिए समर्पित है, "बिझदगनिता" बीजगणित के लिए, "गोलाध्याय" गोलाकारों के लिए, और "ग्रनघगनिता" सिद्धांत के लिए समर्पित है। ग्रहों की चाल. भास्कर ने समीकरणों की नकारात्मक जड़ें प्राप्त कीं, हालांकि उन्हें उनके महत्व पर संदेह था। उनके पास सतत गति मशीन के शुरुआती डिज़ाइनों में से एक है। 16 12वीं शताब्दी के प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ की समस्याओं में से एक। भास्कर: भास्कर के समाधान से पता चलता है कि लेखक जानता था कि द्विघात समीकरणों की जड़ें दो-मूल्य वाली हैं। 17 निष्कर्ष द्विघात समीकरणों को हल करने के विज्ञान के विकास ने एक लंबा और कांटेदार रास्ता तय किया है। स्टिफ़ेल, विएटा, टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली, गिरार्ड, डेसकार्टेस और न्यूटन के कार्यों के बाद ही द्विघात समीकरणों को हल करने के विज्ञान ने अपना आधुनिक रूप प्राप्त किया। द्विघात समीकरणों का महत्व न केवल समस्याओं को हल करने की सुंदरता और संक्षिप्तता में निहित है, हालाँकि यह बहुत महत्वपूर्ण भी है। यह भी उतना ही महत्वपूर्ण है कि समस्याओं को हल करते समय द्विघात समीकरणों का उपयोग करने के परिणामस्वरूप, अक्सर नए विवरण खोजे जाते हैं, दिलचस्प सामान्यीकरण किए जा सकते हैं और स्पष्टीकरण दिए जा सकते हैं, जो परिणामी सूत्रों और संबंधों के विश्लेषण द्वारा सुझाए जाते हैं। द्विघात समीकरणों के विकास के इतिहास से संबंधित साहित्य और इंटरनेट संसाधनों का अध्ययन करते हुए, मैंने खुद से पूछा: "ऐसे कठिन समय में रहने वाले वैज्ञानिकों को मौत के खतरे के बावजूद भी विज्ञान में संलग्न होने के लिए किसने प्रेरित किया?" संभवतः, सबसे पहले, यह मानव मन की जिज्ञासा है, जो विज्ञान के विकास की कुंजी है। दुनिया के सार के बारे में, इस दुनिया में मनुष्य के स्थान के बारे में प्रश्न हर समय सोचने वाले, जिज्ञासु, बुद्धिमान लोगों को परेशान करते हैं। लोगों ने हमेशा खुद को और दुनिया में अपनी जगह को समझने का प्रयास किया है। अपने अंदर झाँकें, शायद आपकी स्वाभाविक जिज्ञासा इसलिए पीड़ित हो रही है क्योंकि आपने रोजमर्रा की जिंदगी और आलस्य के आगे घुटने टेक दिए हैं? कई वैज्ञानिकों के भाग्य का अनुसरण करने के लिए 18 उदाहरण हैं। सभी नाम सुप्रसिद्ध और लोकप्रिय नहीं हैं। इसके बारे में सोचें: मैं अपने करीबी लोगों के लिए कैसा हूं? लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि मैं अपने बारे में कैसा महसूस करता हूं, क्या मैं सम्मान के लायक हूं? इसके बारे में सोचें... सन्दर्भ 1. ज़वाविच एल.आई. "बीजगणित 8वीं कक्षा", एम., 2002। 2. सविन यू.पी. "एक युवा गणितज्ञ का विश्वकोश शब्दकोश", एम., 1985. 3. यू.एन. मकारिचेव "बीजगणित 8वीं कक्षा", एम, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www. ido.rudn.ru/nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index- 2427. एचटीएमएल 19 आपके ध्यान के लिए धन्यवाद 20

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1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों की रचना और समाधान कैसे किया

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

1.4 अल-खोरज़मी द्वारा द्विघात समीकरण

1.5 यूरोप XIII - XVII सदियों में द्विघात समीकरण

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

निष्कर्ष

साहित्य

1. द्विघात समीकरणों के विकास का इतिहास

1.1 प्राचीन बेबीलोन में द्विघात समीकरण

न केवल पहली, बल्कि दूसरी डिग्री के समीकरणों को हल करने की आवश्यकता, यहां तक ​​​​कि प्राचीन काल में भी, भूमि भूखंडों के क्षेत्रों को खोजने और सैन्य प्रकृति के उत्खनन कार्यों से संबंधित समस्याओं को हल करने की आवश्यकता के कारण हुई थी। जैसा कि खगोल विज्ञान और गणित के विकास के साथ ही हुआ। द्विघात समीकरणों को लगभग 2000 ईसा पूर्व हल किया जा सका था। ई. बेबीलोनियन।

आधुनिक बीजगणितीय संकेतन का उपयोग करते हुए, हम कह सकते हैं कि उनके क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में, अपूर्ण लोगों के अलावा, उदाहरण के लिए, पूर्ण द्विघात समीकरण भी हैं:

एक्स 2 + एक्स = ¾; एक्स 2 - एक्स = 14,5

बेबीलोनियन ग्रंथों में निर्धारित इन समीकरणों को हल करने का नियम अनिवार्य रूप से आधुनिक के साथ मेल खाता है, लेकिन यह ज्ञात नहीं है कि बेबीलोनियन इस नियम पर कैसे पहुंचे। अब तक पाए गए लगभग सभी क्यूनिफॉर्म ग्रंथ केवल व्यंजनों के रूप में दिए गए समाधानों के साथ समस्याएं प्रदान करते हैं, इस बात का कोई संकेत नहीं है कि उन्हें कैसे खोजा गया था।

बेबीलोन में बीजगणित के विकास के उच्च स्तर के बावजूद, क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में नकारात्मक संख्या की अवधारणा और द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य तरीकों का अभाव है।

1.2 डायोफैंटस ने द्विघात समीकरणों की रचना और समाधान कैसे किया।

डायोफैंटस के अंकगणित में बीजगणित की एक व्यवस्थित प्रस्तुति शामिल नहीं है, लेकिन इसमें समस्याओं की एक व्यवस्थित श्रृंखला शामिल है, स्पष्टीकरण के साथ और विभिन्न डिग्री के समीकरणों का निर्माण करके हल किया गया है।

समीकरण बनाते समय, डायोफैंटस समाधान को सरल बनाने के लिए कुशलता से अज्ञात का चयन करता है।

उदाहरण के लिए, यहाँ उनके कार्यों में से एक है।

समस्या 11."दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, यह जानते हुए कि उनका योग 20 है और उनका गुणनफल 96 है"

डायोफैंटस का कारण इस प्रकार है: समस्या की स्थितियों से यह पता चलता है कि आवश्यक संख्याएँ समान नहीं हैं, क्योंकि यदि वे समान होतीं, तो उनका गुणनफल 96 के बराबर नहीं, बल्कि 100 के बराबर होता। इस प्रकार, उनमें से एक इससे अधिक होगा उनकी राशि का आधा, यानी. 10 + एक्स, दूसरा कम है, यानी। 10 का. उनके बीच का अंतर 2x .

इसलिए समीकरण:

(10 + एक्स)(10 - एक्स) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

यहाँ से एक्स = 2. आवश्यक संख्याओं में से एक के बराबर है 12 , अन्य 8 . समाधान एक्स = -2डायोफैंटस मौजूद नहीं है, क्योंकि ग्रीक गणित केवल सकारात्मक संख्याएं जानता था।

यदि हम आवश्यक संख्याओं में से किसी एक को अज्ञात के रूप में चुनकर इस समस्या को हल करते हैं, तो हम समीकरण के समाधान पर पहुंच जाएंगे

वाई(20 - वाई) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

यह स्पष्ट है कि आवश्यक संख्याओं के आधे अंतर को अज्ञात के रूप में चुनकर, डायोफैंटस समाधान को सरल बनाता है; वह समस्या को अपूर्ण द्विघात समीकरण (1) को हल करने में सक्षम बनाता है।

1.3 भारत में द्विघात समीकरण

द्विघात समीकरणों पर समस्याएँ भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आर्यभट्ट द्वारा 499 में संकलित खगोलीय ग्रंथ "आर्यभट्टियम" में पहले से ही पाई जाती हैं। एक अन्य भारतीय वैज्ञानिक, ब्रह्मगुप्त (7वीं शताब्दी) ने द्विघात समीकरणों को एक में घटाकर हल करने के लिए सामान्य नियम की रूपरेखा तैयार की कानूनी फॉर्म:

आह 2+ बी एक्स = सी, ए > 0. (1)

समीकरण (1) में, गुणांकों को छोड़कर ए, नकारात्मक भी हो सकता है। ब्रह्मगुप्त का शासन मूलतः हमारे जैसा ही है।

प्राचीन भारत में कठिन समस्याओं को सुलझाने के लिए सार्वजनिक प्रतियोगिताएँ आम थीं। पुरानी भारतीय किताबों में से एक इस तरह की प्रतियोगिताओं के बारे में निम्नलिखित कहती है: "जैसे सूर्य अपनी चमक से सितारों को मात देता है, वैसे ही एक विद्वान व्यक्ति सार्वजनिक सभाओं में बीजगणितीय समस्याओं का प्रस्ताव और समाधान करते समय दूसरे की महिमा को मात देगा।" समस्याओं को प्रायः काव्यात्मक रूप में प्रस्तुत किया जाता था।

यह 12वीं शताब्दी के प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ की समस्याओं में से एक है। भास्कर.

समस्या 13.

"खूंखार बंदरों का झुंड, और बेलों के किनारे बारह...

अधिकारियों ने खाना खाकर मौज-मस्ती की। वे कूदने लगे, लटकने लगे...

वे चौक में हैं, भाग आठ में कितने बंदर थे?

मैं समाशोधन में आनंद ले रहा था। मुझे बताओ, इस पैक में?

भास्कर का समाधान इंगित करता है कि वह जानता था कि द्विघात समीकरणों की जड़ें दो-मूल्य वाली हैं (चित्र 3)।

समस्या 13 से संबंधित समीकरण है:

( एक्स /8) 2 + 12 = एक्स

भास्कर इस आड़ में लिखते हैं:

x 2 - 64x = -768

और, इस समीकरण के बाएँ पक्ष को एक वर्ग में पूरा करने के लिए, दोनों पक्षों को जोड़ें 32 2 , फिर प्राप्त करना:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(एक्स - 32) 2 = 256,

एक्स - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 अल-खोरेज़मी में द्विघात समीकरण

अल-खोरज़मी के बीजगणितीय ग्रंथ में रैखिक और द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण दिया गया है। लेखक ने 6 प्रकार के समीकरण गिनाए हैं और उन्हें इस प्रकार व्यक्त किया है:

1) "वर्ग जड़ों के बराबर होते हैं," अर्थात। कुल्हाड़ी 2 + सी = बी एक्स।

2) "वर्ग संख्याओं के बराबर होते हैं", अर्थात्। कुल्हाड़ी 2 = सी.

3) "मूल संख्या के बराबर होते हैं," अर्थात। आह = एस.

4) "वर्ग और संख्याएँ जड़ों के बराबर हैं," अर्थात। कुल्हाड़ी 2 + सी = बी एक्स।

5) "वर्ग और मूल संख्याओं के बराबर होते हैं", अर्थात्। आह 2+ बीएक्स = एस.

6) "मूल और संख्याएँ वर्गों के बराबर हैं," अर्थात। बीएक्स + सी = कुल्हाड़ी 2।

अल-खोरज़मी के लिए, जो ऋणात्मक संख्याओं के उपयोग से बचते थे, इनमें से प्रत्येक समीकरण के पद जोड़ हैं, घटाने योग्य नहीं। इस मामले में, जिन समीकरणों का सकारात्मक समाधान नहीं है, उन्हें स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं रखा जाता है। लेखक ने अल-जबर और अल-मुकाबला की तकनीकों का उपयोग करके इन समीकरणों को हल करने के तरीके निर्धारित किए हैं। निःसंदेह, उनके निर्णय हमारे निर्णयों से पूरी तरह मेल नहीं खाते। यह उल्लेख करने की आवश्यकता नहीं है कि यह विशुद्ध रूप से आलंकारिक है, उदाहरण के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पहले प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को हल करते समय

अल-खोरेज़मी, 17वीं शताब्दी से पहले के सभी गणितज्ञों की तरह, शून्य समाधान को ध्यान में नहीं रखते हैं, शायद इसलिए कि विशिष्ट व्यावहारिक समस्याओं में यह कोई मायने नहीं रखता। पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करते समय, अल-खोरज़मी विशेष संख्यात्मक उदाहरणों और फिर ज्यामितीय प्रमाणों का उपयोग करके उन्हें हल करने के लिए नियम निर्धारित करते हैं।

समस्या 14.“वर्ग और संख्या 21, 10 मूलों के बराबर हैं। जड़ खोजें" (समीकरण x 2 + 21 = 10x का मूल दर्शाते हुए)।

लेखक का समाधान कुछ इस प्रकार है: जड़ों की संख्या को आधे में विभाजित करें, आपको 5 मिलता है, 5 को स्वयं से गुणा करें, गुणनफल में से 21 घटाएं, जो बचता है वह 4 है। 4 से मूल निकालें, आपको 2 मिलता है। 5 में से 2 घटाएं। , आपको 3 मिलता है, यह वांछित रूट होगा। अथवा 5 में 2 जोड़ने पर 7 प्राप्त होता है, यह भी एक मूल है।

अल-खोरज़मी का ग्रंथ पहली पुस्तक है जो हमारे पास आई है, जो व्यवस्थित रूप से द्विघात समीकरणों का वर्गीकरण निर्धारित करती है और उनके समाधान के लिए सूत्र देती है।

1.5 यूरोप में द्विघात समीकरण तेरहवें - XVII बी बी

यूरोप में अल-ख्वारिज्मी की तर्ज पर द्विघात समीकरणों को हल करने के सूत्र सबसे पहले अबेकस की पुस्तक में दिए गए थे, जो 1202 में इतालवी गणितज्ञ लियोनार्डो फिबोनाची द्वारा लिखी गई थी। यह विशाल कार्य, जो इस्लाम के देशों और प्राचीन ग्रीस दोनों से गणित के प्रभाव को दर्शाता है, अपनी पूर्णता और प्रस्तुति की स्पष्टता से प्रतिष्ठित है। लेखक ने स्वतंत्र रूप से समस्याओं को हल करने के कुछ नए बीजगणितीय उदाहरण विकसित किए और यूरोप में नकारात्मक संख्याओं की शुरूआत करने वाले पहले व्यक्ति थे। उनकी पुस्तक ने न केवल इटली, बल्कि जर्मनी, फ्रांस और अन्य यूरोपीय देशों में बीजगणितीय ज्ञान के प्रसार में योगदान दिया। अबेकस की पुस्तक की कई समस्याओं का उपयोग 16वीं - 17वीं शताब्दी की लगभग सभी यूरोपीय पाठ्यपुस्तकों में किया गया था। और आंशिक रूप से XVIII.

द्विघात समीकरणों को एकल विहित रूप में हल करने का सामान्य नियम:

एक्स 2+ बीएक्स = सी,

गुणांक चिह्नों के सभी संभावित संयोजनों के लिए बी , साथयूरोप में केवल 1544 में एम. स्टिफ़ेल द्वारा तैयार किया गया था।

सामान्य रूप में द्विघात समीकरण को हल करने के सूत्र की व्युत्पत्ति विएथ से उपलब्ध है, लेकिन विएथ ने केवल सकारात्मक जड़ों को ही पहचाना। इतालवी गणितज्ञ टार्टाग्लिया, कार्डानो, बॉम्बेली 16वीं शताब्दी के पहले गणितज्ञों में से थे। सकारात्मक जड़ों के अलावा, नकारात्मक जड़ों को भी ध्यान में रखा जाता है। केवल 17वीं शताब्दी में। गिरार्ड, डेसकार्टेस, न्यूटन और अन्य वैज्ञानिकों के काम के लिए धन्यवाद, द्विघात समीकरणों को हल करने की विधि आधुनिक रूप लेती है।

1.6 विएटा के प्रमेय के बारे में

एक द्विघात समीकरण के गुणांकों और उसकी जड़ों के बीच संबंध को व्यक्त करने वाला प्रमेय, जिसका नाम विएटा के नाम पर रखा गया है, उनके द्वारा पहली बार 1591 में इस प्रकार तैयार किया गया था: "यदि बी + डी, से गुणा किया गया ए - ए 2 , बराबर बी.डी, वह एके बराबर होती है मेंऔर बराबर डी ».

विएटा को समझने के लिए हमें यह याद रखना चाहिए ए, किसी भी स्वर अक्षर की तरह, का अर्थ अज्ञात (हमारा) था एक्स), स्वर में, डी- अज्ञात के लिए गुणांक. आधुनिक बीजगणित की भाषा में उपरोक्त विएटा सूत्रीकरण का अर्थ है: यदि है

(ए+ बी )एक्स - एक्स 2 = अब ,

एक्स 2 - (ए + बी )एक्स + ए बी = 0,

एक्स 1 = ए, एक्स 2 = बी .

प्रतीकों का उपयोग करके लिखे गए सामान्य सूत्रों के साथ समीकरणों की जड़ों और गुणांक के बीच संबंध व्यक्त करते हुए, विएते ने समीकरणों को हल करने के तरीकों में एकरूपता स्थापित की। हालाँकि, वियत का प्रतीकवाद अभी भी दूर है आधुनिक रूप. वह ऋणात्मक संख्याओं को नहीं पहचानते थे और इसलिए, समीकरणों को हल करते समय, उन्होंने केवल उन मामलों पर विचार किया जहां सभी मूल सकारात्मक थे।

2. द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ

द्विघात समीकरण वह आधार है जिस पर बीजगणित की भव्य इमारत टिकी हुई है। त्रिकोणमितीय, घातीय, लघुगणक, अपरिमेय और पारलौकिक समीकरणों और असमानताओं को हल करने में द्विघात समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हम सभी जानते हैं कि स्कूल (8वीं कक्षा) से लेकर स्नातक स्तर तक द्विघात समीकरणों को कैसे हल किया जाए।