आयताकार
त्रिभुज
ज्यामिति, 7वीं कक्षा
पाठ्यपुस्तक के लिए एल.एस. अतानासियन
उच्चतम श्रेणी के गणित शिक्षक
नगर शैक्षणिक संस्थान "उपशिंस्काया बुनियादी माध्यमिक विद्यालय"
मैरी एल गणराज्य का ओरशा जिला
एसी, बीसी - पैर
एबी - कर्ण
संपत्ति 1 0 . एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों का योग 90 0 है।
कार्य 1।समकोण C के साथ समकोण त्रिभुज ABC का कोण A ज्ञात कीजिए यदि: a) ے B = 32 0; बी) ے बी कोण ए से 2 गुना छोटा है; c) ے B, कोण A से 20 0 कम है।
कार्य 2.
कार्य 3.
कोण ए:
BC - कोण A के विपरीत पैर पड़ा हुआ
एसी - कोण ए से सटा हुआ पैर
कोण बी:
एसी - पैर, ...
बीसी - पैर, ...
पैरों के विपरीत कोणों को N और K नाम दें
कोण N और K से सटे पैरों के नाम बताइए
0
काम। साबित करें कि 0 , आधे कर्ण के बराबर है।
संपत्ति 2 0 . एक समकोण त्रिभुज का एक पैर 30 के कोण के विपरीत स्थित है 0 , आधे कर्ण के बराबर है।
30 कोण वाला समकोण त्रिभुज 0
काम।साबित करें कि 0 .
संपत्ति 3 0 . यदि समकोण त्रिभुज का एक पैर कर्ण के आधे के बराबर है, तो इस पैर के विपरीत कोण 30 है 0 .
30 कोण वाला समकोण त्रिभुज 0
समस्या 4 .
AB = 12 सेमी. BC ज्ञात कीजिए
कार्य 5.
BC = 7.5 सेमी
कार्य 6.
एबी + बीसी = 15 सेमी.
एबी और बीसी खोजें
30 कोण वाला समकोण त्रिभुज 0
कार्य 7.
AC = 4 सेमी
कार्य 8.
एबी - एसी = 15 सेमी.
एबी और एसी खोजें
30 कोण वाला समकोण त्रिभुज 0
समस्या 9 .
यदि AB = 12 सेमी, BC = 6 सेमी है तो समकोण त्रिभुज ABC के न्यून कोण ज्ञात कीजिए।
30 कोण वाला समकोण त्रिभुज 0
समस्या 10 .
एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण ज्ञात कीजिए यदि समद्विभाजक और शीर्ष से खींची गई ऊँचाई के बीच का कोण हो समकोण, 15 0 के बराबर है।
एससी - द्विभाजक
सीएम - ऊंचाई
30 कोण वाला समकोण त्रिभुज 0
समस्या 11 .
एक समद्विबाहु त्रिभुज में, एक कोण 120 0 है और आधार 4 सेमी है। भुजा पर खींची गई ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
एएम - ऊंचाई
30 कोण वाला समकोण त्रिभुज 0
समस्या 12 .
समद्विबाहु त्रिभुज की पार्श्व भुजा पर खींची गई ऊंचाई आधार और समद्विभाजक के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है। एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोण ज्ञात कीजिए।
AK - कोण A का समद्विभाजक
एएम - ऊंचाई
30 कोण वाला समकोण त्रिभुज 0
समस्या 14 .
सिद्ध कीजिए कि यदि त्रिभुज समकोण है, तो समकोण के शीर्ष से खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है।
संपत्ति 4 0 .
ΔАВС - आयताकार
एसएम - माध्यिका
हमें एक विरोधाभास मिला!
30 कोण वाला समकोण त्रिभुज 0
समस्या 13 .
सिद्ध कीजिए कि यदि किसी त्रिभुज की माध्यिका उस भुजा के आधे के बराबर है जिस पर वह खींचा गया है, तो त्रिभुज समकोण है।
वीएम - माध्यिका
सिद्ध कीजिए: ΔABC - आयताकार
संपत्ति 5 0 .
समकोण त्रिभुज के कुछ गुण
संपत्ति 1 0 . एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों का योग 90 होता है 0 .
संपत्ति 2 0 . एक समकोण त्रिभुज का एक पैर 30 के कोण के विपरीत स्थित है 0 , आधे कर्ण के बराबर .
संपत्ति 3 0 . यदि समकोण त्रिभुज का एक पैर कर्ण के आधे के बराबर है, तो इस पैर के विपरीत कोण 30 है 0 .
संपत्ति 4 0 . एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के शीर्ष से खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है।
संपत्ति 5 0 . यदि किसी त्रिभुज की माध्यिका उस भुजा के आधे के बराबर है जिस पर वह खींचा गया है, तो यह त्रिभुज समकोण है।
समकोण त्रिभुज के गुण
प्रिय सातवीं कक्षा के विद्यार्थियों, आप पहले से ही जानते हैं क्या ज्यामितीय आंकड़ेत्रिभुज कहलाते हैं, आप जानते हैं कि उनकी समानता के चिन्हों को कैसे सिद्ध किया जाता है। आप त्रिभुजों की विशेष स्थितियों के बारे में भी जानते हैं: समद्विबाहु और समकोण। आप समद्विबाहु त्रिभुजों के गुणों से भलीभांति परिचित हैं।
लेकिन समकोण त्रिभुजों में भी कई गुण होते हैं। एक स्पष्ट बात त्रिभुज आंतरिक कोण योग प्रमेय से संबंधित है: एक समकोण त्रिभुज में, न्यून कोणों का योग 90° होता है। आप समकोण त्रिभुज की सबसे अद्भुत संपत्ति के बारे में जानेंगे 8 वीं कक्षाजब आप प्रसिद्ध पाइथागोरस प्रमेय का अध्ययन करते हैं।
अब हम दो और महत्वपूर्ण संपत्तियों के बारे में बात करेंगे। एक 30° समकोण त्रिभुजों के लिए है और दूसरा यादृच्छिक समकोण त्रिभुजों के लिए है। आइए हम इन गुणों को तैयार करें और सिद्ध करें।
आप अच्छी तरह से जानते हैं कि ज्यामिति में सिद्ध कथनों के विपरीत कथन बनाने की प्रथा है, जब कथन में स्थिति और निष्कर्ष बदल जाते हैं। विपरीत कथन सदैव सत्य नहीं होते। हमारे मामले में, दोनों विपरीत कथन सत्य हैं।
संपत्ति 1.1 एक समकोण त्रिभुज में, 30° कोण के विपरीत पैर कर्ण के आधे के बराबर होता है।
प्रमाण: आयताकार ∆ ABC पर विचार करें, जिसमें ÐA=90°, ÐB=30°, फिर ÐC=60°..gif' width='167' ऊंचाई='41'>, इसलिए, क्या सिद्ध करने की आवश्यकता है।
संपत्ति 1.2 (संपत्ति 1.1 के विपरीत) यदि समकोण त्रिभुज में एक पैर कर्ण के आधे के बराबर है, तो इसके विपरीत कोण 30° होता है।
संपत्ति 2.1 एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण पर खींची गई माध्यिका आधे कर्ण के बराबर होती है।
आइए एक आयताकार ∆ ABC पर विचार करें, जिसमें РВ=90° है।
बीडी-माध्यिका, यानी एडी=डीसी। आइए इसे साबित करें.
इसे साबित करने के लिए, हम एक अतिरिक्त निर्माण करेंगे: हम BD को बिंदु D से आगे जारी रखेंगे ताकि BD=DN हो और N को A और C से जोड़ दें..gif" width=”616” ऊंचाई=”372 src=”>
दिया गया है: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm
1. ÐEBC=30o, क्योंकि एक आयताकार ∆BCE में न्यून कोणों का योग 90o होता है
2. बीई=14सेमी(संपत्ति 1)
3. ÐABE=30o, चूँकि ÐA+ÐABE=ÐBEC (त्रिभुज के बाहरी कोण का गुण) इसलिए ∆AEB समद्विबाहु AE=EB=14cm है।
BC=2AN=20 सेमी (संपत्ति 2)।
कार्य 3. सिद्ध करें कि एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई और माध्यिका को कर्ण पर ले जाने पर त्रिभुज के न्यून कोणों के बीच के अंतर के बराबर कोण बनता है।
दिया गया है: ∆ ABC, ÐBAC=90°, AM-माध्यिका, AH-ऊंचाई।
सिद्ध करें: RMAN=RS-RV.
सबूत:
1)РМАС=РС (संपत्ति 2 ∆ AMC-समद्विबाहु, AM=SM द्वारा)
2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS।
यह सिद्ध करना बाकी है कि РНАС=РВ। यह इस तथ्य से निकलता है कि ÐB+ÐC=90° (β ABC में) और ÐNAS+ÐC=90° (Δ ANS से)।
तो, RMAN = RС-РВ, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width=”194″ ऊंचाई=”184”>दिया गया है: ∆ABC, ÐBAC=90°, AN-ऊंचाई, .
खोजें: РВ, РС.
समाधान: आइए माध्यिका AM लें। मान लीजिए AN=x, फिर BC=4x और
वीएम=एमएस=एएम=2x.
एक आयताकार ∆AMN में, कर्ण AM, भुजा AN से 2 गुना बड़ा है, इसलिए ÐAMN=30° है। चूँकि VM=AM,
РВ=РВAM100%">
आइए AC को बिंदु A से आगे बढ़ाएं ताकि AD=AC हो। फिर ∆ABC=∆ABD (2 पैरों पर)। BD=BC=2AC=CD, इस प्रकार ∆DBC-समबाहु, ÐC=60o और ÐABC=30o।
समस्या 5
एक समद्विबाहु त्रिभुज में, एक कोण 120° है, आधार 10 सेमी है। भुजा पर खींची गई ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
समाधान: आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि 120° का कोण केवल त्रिभुज के शीर्ष पर हो सकता है और किनारे पर खींची गई ऊंचाई इसकी निरंतरता पर पड़ेगी।
एबी - सीढ़ी, के - बिल्ली का बच्चा।
सीढ़ी की किसी भी स्थिति में, जब तक कि वह अंततः जमीन पर न गिर जाए, ∆ABC आयताकार होता है। एमसी - माध्यिका ∆ABC.
संपत्ति 2 SK = 1/2AB के अनुसार। अर्थात्, किसी भी समय खंड SK की लंबाई स्थिर रहती है।
उत्तर: बिंदु K केंद्र C और त्रिज्या CK=1/2AB के साथ एक वृत्ताकार चाप के अनुदिश गति करेगा।
स्वतंत्र समाधान के लिए समस्याएँ.
एक समकोण त्रिभुज का एक कोण 60° है, और कर्ण और छोटी भुजा के बीच का अंतर 4 सेमी है। कर्ण की लंबाई ज्ञात करें. एक आयताकार ∆ ABC में कर्ण BC और कोण B 60° के बराबर है, ऊंचाई AD खींची गई है। यदि DB=2cm है तो DC ज्ञात करें। B ∆ABC ÐC=90o, CD - ऊंचाई, BC=2ВD. सिद्ध करें कि AD=3VD. एक समकोण त्रिभुज की ऊंचाई कर्ण को 3 सेमी और 9 सेमी भागों में विभाजित करती है। त्रिभुज के कोण और कर्ण के मध्य से लंबी भुजा तक की दूरी ज्ञात कीजिए। समद्विभाजक त्रिभुज को दो समद्विबाहु त्रिभुजों में विभाजित करता है। मूल त्रिभुज के कोण ज्ञात कीजिए। माध्यिका त्रिभुज को दो समद्विबाहु त्रिभुजों में विभाजित करती है। क्या कोण ज्ञात करना संभव है
मूल त्रिकोण?
औसत स्तर
सही त्रिकोण। संपूर्ण इलस्ट्रेटेड गाइड (2019)
सही त्रिकोण। प्रथम स्तर।
समस्याओं में, समकोण बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है - निचला बाएँ, इसलिए आपको इस रूप में समकोण त्रिभुज को पहचानना सीखना होगा,
और इसमें
और इसमें 
समकोण त्रिभुज के बारे में क्या अच्छा है? खैर... सबसे पहले, विशेष हैं सुंदर नामउसके पक्षों के लिए.
ड्राइंग पर ध्यान दें!
याद रखें और भ्रमित न हों: दो पैर हैं, और केवल एक कर्ण है(एकमात्र, अद्वितीय और सबसे लंबा)!
खैर, हमने नामों पर चर्चा की है, अब सबसे महत्वपूर्ण बात: पाइथागोरस प्रमेय।
पाइथागोरस प्रमेय।
यह प्रमेय समकोण त्रिभुज से जुड़ी कई समस्याओं को हल करने की कुंजी है। इसे प्राचीन काल में पाइथागोरस ने सिद्ध किया था और तब से इसे जानने वालों को इससे बहुत लाभ हुआ है। और इसके बारे में सबसे अच्छी बात यह है कि यह सरल है।
इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय:
क्या आपको वह चुटकुला याद है: "पायथागॉरियन पैंट हर तरफ बराबर हैं!"?
आइए इन्हीं पायथागॉरियन पैंटों को बनाएं और उन्हें देखें। 
क्या यह किसी तरह के शॉर्ट्स जैसा नहीं दिखता? खैर, वे किस तरफ और कहाँ बराबर हैं? मजाक क्यों और कहां से आया? और यह चुटकुला सटीक रूप से पाइथागोरस प्रमेय के साथ जुड़ा हुआ है, या अधिक सटीक रूप से पाइथागोरस द्वारा स्वयं अपने प्रमेय को तैयार करने के तरीके से जुड़ा हुआ है। और उन्होंने इसे इस तरह तैयार किया:
"जोड़ वर्गों का क्षेत्रफल, पैरों पर बना हुआ, के बराबर है वर्गाकार क्षेत्र, कर्ण पर निर्मित।"
क्या यह सचमुच थोड़ा अलग लगता है? और इसलिए, जब पाइथागोरस ने अपने प्रमेय का कथन निकाला, तो बिल्कुल यही चित्र सामने आया।
इस चित्र में छोटे वर्गों के क्षेत्रफलों का योग बड़े वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है। और ताकि बच्चे बेहतर ढंग से याद रख सकें कि पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर है, किसी बुद्धिमान व्यक्ति ने पायथागॉरियन पैंट के बारे में यह चुटकुला पेश किया।
अब हम पाइथागोरस प्रमेय क्यों बना रहे हैं?
क्या पाइथागोरस ने कष्ट सहा और वर्गों के बारे में बात की?
आप देखिए, प्राचीन काल में बीजगणित नहीं था! वहां कोई संकेत वगैरह नहीं थे. कोई शिलालेख नहीं थे. क्या आप कल्पना कर सकते हैं कि गरीब प्राचीन छात्रों के लिए सब कुछ शब्दों में याद रखना कितना भयानक था??! और हम इस बात से प्रसन्न हो सकते हैं कि हमारे पास पाइथागोरस प्रमेय का एक सरल सूत्रीकरण है। आइए इसे बेहतर ढंग से याद रखने के लिए इसे दोबारा दोहराएं:
यह अब आसान होना चाहिए:
| कर्ण का वर्ग योग के बराबरपैरों का वर्ग. |
खैर, समकोण त्रिभुजों के बारे में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय पर चर्चा की गई है। यदि आप इसमें रुचि रखते हैं कि यह कैसे सिद्ध होता है, तो सिद्धांत के निम्नलिखित स्तरों को पढ़ें, और अब आगे बढ़ते हैं... अंधकारमय जंगल...त्रिकोणमिति! साइन, कोसाइन, स्पर्शज्या और कोटैंजेंट जैसे भयानक शब्दों के लिए।
एक समकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या, कोटैंजेन्ट।
वास्तव में, सब कुछ इतना डरावना नहीं है। बेशक, लेख में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की "वास्तविक" परिभाषा को देखा जाना चाहिए। लेकिन मैं सचमुच नहीं चाहता, है ना? हम आनन्दित हो सकते हैं: एक समकोण त्रिभुज से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए, आप बस निम्नलिखित सरल चीजें भर सकते हैं:
सब कुछ कोने-कोने में ही क्यों है? कोना कहाँ है? इसे समझने के लिए, आपको यह जानना होगा कि कथन 1-4 को शब्दों में कैसे लिखा जाता है। देखो, समझो और याद रखो!
1.
असल में ऐसा लगता है:
कोण के बारे में क्या? क्या कोई पैर है जो कोने के विपरीत है, यानी विपरीत (कोण के लिए) पैर है? बिल्कुल है! यह एक पैर है!
कोण के बारे में क्या? ध्यान से देखें। कौन सा पैर कोने से सटा हुआ है? बेशक, पैर. इसका मतलब है कि कोण के लिए पैर आसन्न है, और
अब, ध्यान दें! देखिये हमें क्या मिला:
देखें यह कितना अच्छा है:
अब आइए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट पर चलते हैं।
अब मैं इसे शब्दों में कैसे लिख सकता हूँ? कोण के संबंध में पैर क्या है? बेशक, इसके विपरीत - यह कोने के विपरीत "झूठ" है। पैर के बारे में क्या? कोने से सटा हुआ. तो हमें क्या मिला?
देखें कि अंश और हर ने कैसे स्थानों की अदला-बदली की है?
और अब कोनों ने फिर से एक आदान-प्रदान किया:
सारांश
आइए संक्षेप में वह सब कुछ लिखें जो हमने सीखा है।
 |
पाइथागोरस प्रमेय: |
समकोण त्रिभुजों के बारे में मुख्य प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय है।
पाइथागोरस प्रमेय
वैसे, क्या आपको अच्छी तरह याद है कि पैर और कर्ण क्या हैं? अगर बहुत अच्छा नहीं है तो तस्वीर देख लीजिए- अपना ज्ञान ताज़ा कर लीजिए
यह बहुत संभव है कि आप पहले से ही कई बार पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर चुके हों, लेकिन क्या आपने कभी सोचा है कि ऐसा प्रमेय सत्य क्यों है? मैं इसे कैसे साबित कर सकता हूं? आइए प्राचीन यूनानियों की तरह कार्य करें। आइए एक भुजा वाला एक वर्ग बनाएं।
देखिए कितनी चतुराई से हमने इसकी भुजाओं को लंबाई के खंडों में विभाजित कर दिया और!
अब चिन्हित बिंदुओं को जोड़ते हैं
हालाँकि, यहाँ हमने कुछ और ही नोट किया है, लेकिन आप स्वयं चित्र को देखें और सोचें कि ऐसा क्यों है।
बड़े वर्ग का क्षेत्रफल कितना है? सही, । छोटे क्षेत्र के बारे में क्या? निश्चित रूप से, । चारों कोनों का कुल क्षेत्रफल रहता है. कल्पना कीजिए कि हमने उनमें से दो को एक बार में लिया और उन्हें उनके कर्ण के सहारे एक-दूसरे के सामने झुका दिया। क्या हुआ? दो आयत. इसका मतलब है कि "कटौती" का क्षेत्र बराबर है।
आइए अब यह सब एक साथ रखें।
आइए परिवर्तन करें:
इसलिए हमने पाइथागोरस का दौरा किया - हमने उनके प्रमेय को प्राचीन तरीके से सिद्ध किया।
समकोण त्रिभुज और त्रिकोणमिति
एक समकोण त्रिभुज के लिए, निम्नलिखित संबंध होते हैं:
साइनस तीव्र कोण अनुपात के बराबरकर्ण के विपरीत भुजा
एक न्यून कोण की कोज्या निकटवर्ती पाद और कर्ण के अनुपात के बराबर होती है।
एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा के अनुपात के बराबर होती है।
एक न्यून कोण का कोटैंजेंट आसन्न भुजा और विपरीत भुजा के अनुपात के बराबर होता है।
और एक बार फिर यह सब एक टैबलेट के रूप में:
यह बहुत आरामदायक है!
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण
I. दो तरफ
द्वितीय. पैर और कर्ण द्वारा
तृतीय. कर्ण और न्यूनकोण से
चतुर्थ. पैर और तीव्र कोण के साथ
ए) 
बी) 
ध्यान! यहां यह बहुत महत्वपूर्ण है कि पैर "उपयुक्त" हों। उदाहरण के लिए, यदि यह इस प्रकार होता है:
तब त्रिभुज बराबर नहीं होते, इस तथ्य के बावजूद कि उनके पास एक समान तीव्र कोण है।
करने की जरूरत है दोनों त्रिकोणों में पैर सटा हुआ था, या दोनों में यह विपरीत था.
क्या आपने देखा है कि समकोण त्रिभुजों की समानता के चिह्न त्रिभुजों की समानता के सामान्य चिह्नों से किस प्रकार भिन्न होते हैं? विषय को देखें "और इस तथ्य पर ध्यान दें कि" सामान्य "त्रिकोणों की समानता के लिए, उनके तीन तत्व बराबर होने चाहिए: दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण, दो कोण और उनके बीच की भुजा, या तीन भुजाएँ। लेकिन समकोण त्रिभुजों की समानता के लिए केवल दो संगत तत्व ही पर्याप्त हैं। बढ़िया, है ना?
समकोण त्रिभुजों की समानता के चिह्नों के साथ भी स्थिति लगभग वैसी ही है।
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण
I. एक न्यून कोण के अनुदिश
द्वितीय. दो तरफ
तृतीय. पैर और कर्ण द्वारा
एक समकोण त्रिभुज में माध्यिका
ऐसा क्यों है?
एक समकोण त्रिभुज के बजाय, एक संपूर्ण आयत पर विचार करें।
आइए एक विकर्ण बनाएं और एक बिंदु पर विचार करें - विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु। आप एक आयत के विकर्णों के बारे में क्या जानते हैं?
और इससे क्या निकलता है?
तो यह निकला
- - माध्यिका:
इस तथ्य को याद रखें! बहुत मदद करता है!
इससे भी अधिक आश्चर्य की बात यह है कि इसका विपरीत भी सच है।
इस तथ्य से क्या लाभ हो सकता है कि कर्ण पर खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर है? आइए तस्वीर देखें
ध्यान से देखें। हमारे पास है: अर्थात्, बिंदु से त्रिभुज के तीनों शीर्षों तक की दूरी बराबर निकली। लेकिन त्रिभुज में केवल एक ही बिंदु है, जिससे त्रिभुज के तीनों शीर्षों की दूरी बराबर होती है, और यह वृत्त का केंद्र है। तो क्या हुआ?
तो चलिए इसके साथ शुरू करते हैं "इसके अलावा..."।
आइए देखें और.
लेकिन समरूप त्रिभुजों के सभी कोण समान होते हैं!
और के बारे में भी यही कहा जा सकता है
आइए अब इसे एक साथ बनाएं:
इस "ट्रिपल" समानता से क्या लाभ प्राप्त किया जा सकता है?
खैर, उदाहरण के लिए - समकोण त्रिभुज की ऊँचाई के लिए दो सूत्र।
आइए संबंधित पक्षों के संबंध लिखें:
ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, हम अनुपात को हल करते हैं और प्राप्त करते हैं पहला सूत्र "एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई":
तो, आइए समानता लागू करें:।
अब क्या हो?
फिर से हम अनुपात को हल करते हैं और दूसरा सूत्र प्राप्त करते हैं:
आपको इन दोनों फॉर्मूलों को अच्छी तरह से याद रखना होगा और जो अधिक सुविधाजनक हो उसका उपयोग करना होगा। आइए उन्हें फिर से लिखें
पाइथागोरस प्रमेय:
एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है:।
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:
- दो तरफ:
- पैर और कर्ण द्वारा: या
- पैर और आसन्न तीव्र कोण के साथ: या
- पैर के साथ और विपरीत तीव्र कोण: या
- कर्ण और न्यून कोण द्वारा: या.
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:
- एक तीव्र कोना: या
- दो पैरों की आनुपातिकता से:
- पैर और कर्ण की आनुपातिकता से: या।
एक समकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या, कोटैंजेन्ट
- एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की ज्या विपरीत भुजा और कर्ण का अनुपात है:
- एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की कोज्या आसन्न पाद और कर्ण का अनुपात है:
- एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात है:
- एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण का कोटैंजेंट आसन्न भुजा और विपरीत भुजा का अनुपात है:।
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई: या।
एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के शीर्ष से खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है:।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल:
- पैरों के माध्यम से:
औसत स्तर
सही त्रिकोण। संपूर्ण इलस्ट्रेटेड गाइड (2019)
सही त्रिकोण। प्रथम स्तर।
समस्याओं में, समकोण बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है - निचला बाएँ, इसलिए आपको इस रूप में समकोण त्रिभुज को पहचानना सीखना होगा,
और इसमें
और इसमें
समकोण त्रिभुज के बारे में क्या अच्छा है? खैर..., सबसे पहले, इसके किनारों के लिए विशेष सुंदर नाम हैं।
ड्राइंग पर ध्यान दें!
याद रखें और भ्रमित न हों: दो पैर हैं, और केवल एक कर्ण है(एकमात्र, अद्वितीय और सबसे लंबा)!
खैर, हमने नामों पर चर्चा की है, अब सबसे महत्वपूर्ण बात: पाइथागोरस प्रमेय।
पाइथागोरस प्रमेय।
यह प्रमेय समकोण त्रिभुज से जुड़ी कई समस्याओं को हल करने की कुंजी है। इसे प्राचीन काल में पाइथागोरस ने सिद्ध किया था और तब से इसे जानने वालों को इससे बहुत लाभ हुआ है। और इसके बारे में सबसे अच्छी बात यह है कि यह सरल है।
इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय:
क्या आपको वह चुटकुला याद है: "पायथागॉरियन पैंट हर तरफ बराबर हैं!"?
आइए इन्हीं पायथागॉरियन पैंटों को बनाएं और उन्हें देखें।
क्या यह किसी तरह के शॉर्ट्स जैसा नहीं दिखता? खैर, वे किस तरफ और कहाँ बराबर हैं? मजाक क्यों और कहां से आया? और यह चुटकुला सटीक रूप से पाइथागोरस प्रमेय के साथ जुड़ा हुआ है, या अधिक सटीक रूप से पाइथागोरस द्वारा स्वयं अपने प्रमेय को तैयार करने के तरीके से जुड़ा हुआ है। और उन्होंने इसे इस तरह तैयार किया:
"जोड़ वर्गों का क्षेत्रफल, पैरों पर बना हुआ, के बराबर है वर्गाकार क्षेत्र, कर्ण पर निर्मित।"
क्या यह सचमुच थोड़ा अलग लगता है? और इसलिए, जब पाइथागोरस ने अपने प्रमेय का कथन निकाला, तो बिल्कुल यही चित्र सामने आया।
इस चित्र में छोटे वर्गों के क्षेत्रफलों का योग बड़े वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है। और ताकि बच्चे बेहतर ढंग से याद रख सकें कि पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर है, किसी बुद्धिमान व्यक्ति ने पायथागॉरियन पैंट के बारे में यह चुटकुला पेश किया।
अब हम पाइथागोरस प्रमेय क्यों बना रहे हैं?
क्या पाइथागोरस ने कष्ट सहा और वर्गों के बारे में बात की?
आप देखिए, प्राचीन काल में बीजगणित नहीं था! वहां कोई संकेत वगैरह नहीं थे. कोई शिलालेख नहीं थे. क्या आप कल्पना कर सकते हैं कि गरीब प्राचीन छात्रों के लिए सब कुछ शब्दों में याद रखना कितना भयानक था??! और हम इस बात से प्रसन्न हो सकते हैं कि हमारे पास पाइथागोरस प्रमेय का एक सरल सूत्रीकरण है। आइए इसे बेहतर ढंग से याद रखने के लिए इसे दोबारा दोहराएं:
यह अब आसान होना चाहिए:
| कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। |
खैर, समकोण त्रिभुजों के बारे में सबसे महत्वपूर्ण प्रमेय पर चर्चा की गई है। यदि आप इसमें रुचि रखते हैं कि इसे कैसे सिद्ध किया जाता है, तो सिद्धांत के निम्नलिखित स्तरों को पढ़ें, और अब आगे बढ़ें... अंधेरे जंगल में... त्रिकोणमिति! साइन, कोसाइन, स्पर्शज्या और कोटैंजेंट जैसे भयानक शब्दों के लिए।
एक समकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या, कोटैंजेन्ट।
वास्तव में, सब कुछ इतना डरावना नहीं है। बेशक, लेख में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की "वास्तविक" परिभाषा को देखा जाना चाहिए। लेकिन मैं सचमुच नहीं चाहता, है ना? हम आनन्दित हो सकते हैं: एक समकोण त्रिभुज से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए, आप बस निम्नलिखित सरल चीजें भर सकते हैं:
सब कुछ कोने-कोने में ही क्यों है? कोना कहाँ है? इसे समझने के लिए, आपको यह जानना होगा कि कथन 1-4 को शब्दों में कैसे लिखा जाता है। देखो, समझो और याद रखो!
1.
असल में ऐसा लगता है:
कोण के बारे में क्या? क्या कोई पैर है जो कोने के विपरीत है, यानी विपरीत (कोण के लिए) पैर है? बिल्कुल है! यह एक पैर है!
कोण के बारे में क्या? ध्यान से देखें। कौन सा पैर कोने से सटा हुआ है? बेशक, पैर. इसका मतलब है कि कोण के लिए पैर आसन्न है, और
अब, ध्यान दें! देखिये हमें क्या मिला:
देखें यह कितना अच्छा है:
अब आइए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट पर चलते हैं।
अब मैं इसे शब्दों में कैसे लिख सकता हूँ? कोण के संबंध में पैर क्या है? बेशक, इसके विपरीत - यह कोने के विपरीत "झूठ" है। पैर के बारे में क्या? कोने से सटा हुआ. तो हमें क्या मिला?
देखें कि अंश और हर ने कैसे स्थानों की अदला-बदली की है?
और अब कोनों ने फिर से एक आदान-प्रदान किया:
सारांश
आइए संक्षेप में वह सब कुछ लिखें जो हमने सीखा है।
|
पाइथागोरस प्रमेय: |
समकोण त्रिभुजों के बारे में मुख्य प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय है।
पाइथागोरस प्रमेय
वैसे, क्या आपको अच्छी तरह याद है कि पैर और कर्ण क्या हैं? अगर बहुत अच्छा नहीं है तो तस्वीर देख लीजिए- अपना ज्ञान ताज़ा कर लीजिए
यह बहुत संभव है कि आप पहले से ही कई बार पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर चुके हों, लेकिन क्या आपने कभी सोचा है कि ऐसा प्रमेय सत्य क्यों है? मैं इसे कैसे साबित कर सकता हूं? आइए प्राचीन यूनानियों की तरह कार्य करें। आइए एक भुजा वाला एक वर्ग बनाएं।
देखिए कितनी चतुराई से हमने इसकी भुजाओं को लंबाई के खंडों में विभाजित कर दिया और!
अब चिन्हित बिंदुओं को जोड़ते हैं
हालाँकि, यहाँ हमने कुछ और ही नोट किया है, लेकिन आप स्वयं चित्र को देखें और सोचें कि ऐसा क्यों है।
बड़े वर्ग का क्षेत्रफल कितना है? सही, । छोटे क्षेत्र के बारे में क्या? निश्चित रूप से, । चारों कोनों का कुल क्षेत्रफल रहता है. कल्पना कीजिए कि हमने उनमें से दो को एक बार में लिया और उन्हें उनके कर्ण के सहारे एक-दूसरे के सामने झुका दिया। क्या हुआ? दो आयत. इसका मतलब है कि "कटौती" का क्षेत्र बराबर है।
आइए अब यह सब एक साथ रखें।
आइए परिवर्तन करें:
इसलिए हमने पाइथागोरस का दौरा किया - हमने उनके प्रमेय को प्राचीन तरीके से सिद्ध किया।
समकोण त्रिभुज और त्रिकोणमिति
एक समकोण त्रिभुज के लिए, निम्नलिखित संबंध होते हैं:
न्यून कोण की ज्या सम्मुख भुजा और कर्ण के अनुपात के बराबर होती है
एक न्यून कोण की कोज्या निकटवर्ती पाद और कर्ण के अनुपात के बराबर होती है।
एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा के अनुपात के बराबर होती है।
एक न्यून कोण का कोटैंजेंट आसन्न भुजा और विपरीत भुजा के अनुपात के बराबर होता है।
और एक बार फिर यह सब एक टैबलेट के रूप में:
यह बहुत आरामदायक है!
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण
I. दो तरफ
द्वितीय. पैर और कर्ण द्वारा
तृतीय. कर्ण और न्यूनकोण से
चतुर्थ. पैर और तीव्र कोण के साथ
ए)
बी)
ध्यान! यहां यह बहुत महत्वपूर्ण है कि पैर "उपयुक्त" हों। उदाहरण के लिए, यदि यह इस प्रकार होता है:
तब त्रिभुज बराबर नहीं होते, इस तथ्य के बावजूद कि उनके पास एक समान तीव्र कोण है।
करने की जरूरत है दोनों त्रिकोणों में पैर सटा हुआ था, या दोनों में यह विपरीत था.
क्या आपने देखा है कि समकोण त्रिभुजों की समानता के चिह्न त्रिभुजों की समानता के सामान्य चिह्नों से किस प्रकार भिन्न होते हैं? विषय को देखें "और इस तथ्य पर ध्यान दें कि" सामान्य "त्रिकोणों की समानता के लिए, उनके तीन तत्व बराबर होने चाहिए: दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण, दो कोण और उनके बीच की भुजा, या तीन भुजाएँ। लेकिन समकोण त्रिभुजों की समानता के लिए केवल दो संगत तत्व ही पर्याप्त हैं। बढ़िया, है ना?
समकोण त्रिभुजों की समानता के चिह्नों के साथ भी स्थिति लगभग वैसी ही है।
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण
I. एक न्यून कोण के अनुदिश
द्वितीय. दो तरफ
तृतीय. पैर और कर्ण द्वारा
एक समकोण त्रिभुज में माध्यिका
ऐसा क्यों है?
एक समकोण त्रिभुज के बजाय, एक संपूर्ण आयत पर विचार करें।
आइए एक विकर्ण बनाएं और एक बिंदु पर विचार करें - विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु। आप एक आयत के विकर्णों के बारे में क्या जानते हैं?
और इससे क्या निकलता है?
तो यह निकला
- - माध्यिका:
इस तथ्य को याद रखें! बहुत मदद करता है!
इससे भी अधिक आश्चर्य की बात यह है कि इसका विपरीत भी सच है।
इस तथ्य से क्या लाभ हो सकता है कि कर्ण पर खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर है? आइए तस्वीर देखें
ध्यान से देखें। हमारे पास है: अर्थात्, बिंदु से त्रिभुज के तीनों शीर्षों तक की दूरी बराबर निकली। लेकिन त्रिभुज में केवल एक ही बिंदु है, जिससे त्रिभुज के तीनों शीर्षों की दूरी बराबर होती है, और यह वृत्त का केंद्र है। तो क्या हुआ?
तो चलिए इसके साथ शुरू करते हैं "इसके अलावा..."।
आइए देखें और.
लेकिन समरूप त्रिभुजों के सभी कोण समान होते हैं!
और के बारे में भी यही कहा जा सकता है
आइए अब इसे एक साथ बनाएं:
इस "ट्रिपल" समानता से क्या लाभ प्राप्त किया जा सकता है?
खैर, उदाहरण के लिए - समकोण त्रिभुज की ऊँचाई के लिए दो सूत्र।
आइए संबंधित पक्षों के संबंध लिखें:
ऊंचाई ज्ञात करने के लिए, हम अनुपात को हल करते हैं और प्राप्त करते हैं पहला सूत्र "एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई":
तो, आइए समानता लागू करें:।
अब क्या हो?
फिर से हम अनुपात को हल करते हैं और दूसरा सूत्र प्राप्त करते हैं:
आपको इन दोनों फॉर्मूलों को अच्छी तरह से याद रखना होगा और जो अधिक सुविधाजनक हो उसका उपयोग करना होगा। आइए उन्हें फिर से लिखें
पाइथागोरस प्रमेय:
एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है:।
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:
- दो तरफ:
- पैर और कर्ण द्वारा: या
- पैर और आसन्न तीव्र कोण के साथ: या
- पैर के साथ और विपरीत तीव्र कोण: या
- कर्ण और न्यून कोण द्वारा: या.
समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण:
- एक तीव्र कोना: या
- दो पैरों की आनुपातिकता से:
- पैर और कर्ण की आनुपातिकता से: या।
एक समकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या, कोटैंजेन्ट
- एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की ज्या विपरीत भुजा और कर्ण का अनुपात है:
- एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की कोज्या आसन्न पाद और कर्ण का अनुपात है:
- एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात है:
- एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण का कोटैंजेंट आसन्न भुजा और विपरीत भुजा का अनुपात है:।
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई: या।
एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के शीर्ष से खींची गई माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है:।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल:
- पैरों के माध्यम से: