एक बहुफलक जिसका एक फलक बहुभुज हो और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हों, पिरामिड कहलाता है।

पिरामिड बनाने वाले इन त्रिभुजों को कहा जाता है पार्श्व चेहरे, और शेष बहुभुज है आधारपिरामिड.

पिरामिड के आधार पर स्थित है ज्यामितीय आकृति- एन-गॉन। ऐसे में पिरामिड भी कहा जाता है एन-कार्बन.

वह त्रिभुजाकार पिरामिड जिसके सभी किनारे बराबर हों, कहलाता है चतुष्फलक.

पिरामिड के वे किनारे जो आधार से संबंधित नहीं होते, कहलाते हैं पार्श्व, और उनका सामान्य बिंदु है शिखरपिरामिड. पिरामिड के अन्य किनारों को आमतौर पर कहा जाता है आधार के पक्ष.

पिरामिड कहा जाता है सही, यदि इसके आधार पर एक नियमित बहुभुज है और सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर हैं।

पिरामिड के शीर्ष से आधार के तल तक की दूरी कहलाती है ऊंचाईपिरामिड. हम कह सकते हैं कि पिरामिड की ऊंचाई आधार के लंबवत एक खंड है, जिसके सिरे पिरामिड के शीर्ष पर और आधार के तल पर हैं।

किसी भी पिरामिड के लिए निम्नलिखित सूत्र लागू होते हैं:

1) एस पूर्ण = एस पक्ष + एस मुख्य, कहाँ

एस कुल – क्षेत्रफल पूरी सतहपिरामिड;

एस साइड - पार्श्व सतह का क्षेत्र, यानी। पिरामिड के सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग;

एस मुख्य – पिरामिड के आधार का क्षेत्र.

2) वी = 1/3 एस आधार एन, कहाँ

वी - पिरामिड का आयतन;

एच - पिरामिड की ऊंचाई.

के लिए नियमित पिरामिड जगह लेता है:

एस साइड = 1/2 पी मुख्य एच, कहाँ

पी मुख्य - पिरामिड के आधार की परिधि;

h एपोथेम की लंबाई है, यानी, पिरामिड के शीर्ष से नीचे की ओर की सतह की ऊंचाई की लंबाई।

पिरामिड का वह भाग जो दो तलों - आधार का तल और आधार के समानांतर काटने वाले तल - के बीच घिरा होता है, कहलाता है छोटा पिरामिड.

पिरामिड का आधार और समानांतर तल द्वारा पिरामिड का खंड कहलाता है कारणछोटा पिरामिड. शेष चेहरों को बुलाया जाता है पार्श्व. आधारों के तलों के बीच की दूरी कहलाती है ऊंचाईछोटा पिरामिड. वे किनारे जो आधारों से संबंधित नहीं होते, कहलाते हैं पार्श्व.

इसके अलावा, काटे गए पिरामिड का आधार समान एन-गोन्स. यदि किसी काटे गए पिरामिड का आधार नियमित बहुभुज है, और सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर हैं, तो ऐसे काटे गए पिरामिड को कहा जाता है सही.

के लिए मनमाने ढंग से काटा गया पिरामिडनिम्नलिखित सूत्र लागू होते हैं:

1) एस पूर्ण = एस साइड + एस 1 + एस 2, कहाँ

एस कुल - कुल सतह क्षेत्र;

एस साइड - पार्श्व सतह का क्षेत्र, यानी। एक काटे गए पिरामिड के सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग, जो समलम्बाकार हैं;

एस 1, एस 2 - आधार क्षेत्र;

2) वी = 1/3(एस 1 + एस 2 + √(एस 1 · एस 2))एच, कहाँ

वी - काटे गए पिरामिड का आयतन;

एच - काटे गए पिरामिड की ऊंचाई।

के लिए नियमित रूप से काटे गए पिरामिडहमारे पास भी है:

एस भुजा = 1/2(पी 1 + पी 2) एच,कहाँ

पी 1, पी 2 - आधारों की परिधि;

एच - एपोथेम (साइड फेस की ऊंचाई, जो एक ट्रेपेज़ॉइड है)।

आइए काटे गए पिरामिड से जुड़ी कई समस्याओं पर विचार करें।

कार्य 1.

10 के बराबर ऊँचाई वाले त्रिकोणीय काटे गए पिरामिड में, एक आधार की भुजाएँ 27, 29 और 52 हैं। यदि दूसरे आधार का परिमाप 72 है तो काटे गए पिरामिड का आयतन निर्धारित करें।

समाधान।

में दर्शाए गए काटे गए पिरामिड ABCA 1 B 1 C 1 पर विचार करें चित्र 1.

1. सूत्र का उपयोग करके काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात किया जा सकता है

वी = 1/3एच · (एस 1 + एस 2 + √(एस 1 · एस 2)), जहां एस 1 आधारों में से एक का क्षेत्र है, हेरॉन के सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है

एस = √(पी(पी – ए)(पी – बी)(पी – सी)),

क्योंकि समस्या एक त्रिभुज की तीन भुजाओं की लंबाई बताती है।

हमारे पास है: पी 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54।

एस 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. पिरामिड को छोटा कर दिया गया है, जिसका अर्थ है कि समान बहुभुज आधारों पर स्थित हैं। हमारे मामले में, त्रिभुज ABC त्रिभुज A 1 B 1 C 1 के समान है। इसके अलावा, समानता गुणांक को विचाराधीन त्रिभुजों की परिधि के अनुपात के रूप में पाया जा सकता है, और उनके क्षेत्रों का अनुपात समानता गुणांक के वर्ग के बराबर होगा। इस प्रकार हमारे पास है:

एस 1 /एस 2 = (पी 1) 2 /(पी 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4। अत: एस 2 = 4एस 1 /9 = 4 270/9 = 120.

तो, वी = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900।

उत्तर: 1900.

कार्य 2.

एक त्रिकोणीय काटे गए पिरामिड में, ऊपरी आधार के किनारे से विपरीत किनारे के किनारे के समानांतर एक विमान खींचा जाता है। यदि आधारों की संगत भुजाएँ 1:2 के अनुपात में हों, तो काटे गए पिरामिड का आयतन किस अनुपात में विभाजित होता है?

समाधान।

ABCA 1 B 1 C 1 पर विचार करें - एक छोटा पिरामिड दिखाया गया है चावल। 2.

चूँकि आधारों की भुजाओं का अनुपात 1:2 है, आधारों का क्षेत्रफल 1:4 के अनुपात में है (त्रिभुज ABC त्रिभुज A 1 B 1 C 1 के समान है)।

तब काटे गए पिरामिड का आयतन है:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, जहां S 2 - ऊपरी आधार का क्षेत्रफल, एच - ऊंचाई।

लेकिन प्रिज्म ADEA 1 B 1 C 1 का आयतन V 1 = S 2 h है और, इसलिए,

वी 2 = वी - वी 1 = 7/3 · एच · एस 2 - एच · एस 2 = 4/3 · एच · एस 2।

तो, वी 2: वी 1 = 3: 4।

उत्तर: 3:4.

कार्य 3.

एक नियमित चतुर्भुजाकार काटे गए पिरामिड के आधारों की भुजाएँ 2 और 1 के बराबर हैं, और ऊँचाई 3 है। पिरामिड के आधारों के समानांतर, पिरामिड के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से एक विमान खींचा जाता है, जो पिरामिड को विभाजित करता है दो भागों में. उनमें से प्रत्येक का आयतन ज्ञात कीजिए।

समाधान।

में दर्शाए गए काटे गए पिरामिड ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 पर विचार करें चावल। 3.

आइए हम O 1 O 2 = x को निरूपित करें, फिर OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x।

त्रिभुज B 1 O 2 D 1 और त्रिभुज BO 2 D पर विचार करें:

कोण बी 1 ओ 2 डी 1 कोण के बराबरवीओ 2 डी ऊर्ध्वाधर के रूप में;

कोण बीडीओ 2, कोण डी 1 बी 1 ओ 2 के बराबर है और कोण ओ 2 वीडी, बी 1 डी 1 पर आड़े पड़े कोण बी 1 डी 1 ओ 2 के बराबर है || BD और छेदक क्रमशः B₁D और BD₁।

इसलिए, त्रिभुज B 1 O 2 D 1 त्रिभुज BO 2 D के समान है और भुजाओं का अनुपात है:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 या 1/2 = x/(x – 3), जहां से x = 1.

त्रिभुज B 1 D 1 B और त्रिभुज LO 2 B पर विचार करें: कोण B उभयनिष्ठ है, और B 1 D 1 || पर एक तरफा कोणों का एक युग्म भी है। एलएम, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज बी 1 डी 1 बी त्रिभुज एलओ 2 बी के समान है, जिसमें से बी 1 डी: एलओ 2 = ओओ 1: ओओ 2 = 3: 2, यानी।

एलओ 2 = 2/3 · बी 1 डी 1, एलएन = 4/3 · बी 1 डी 1।

तब एस केएलएमएन = 16/9 · एस ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 = 16/9।

तो, वी 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27।

वी 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

उत्तरः 152/27; 37/27.

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पिरामिड. कटा हुआ पिरामिड

पिरामिडएक बहुफलक है, जिसका एक फलक बहुभुज है ( आधार ), और अन्य सभी फलक एक उभयनिष्ठ शीर्ष वाले त्रिभुज हैं ( पार्श्व चेहरे ) (चित्र 15)। पिरामिड कहा जाता है सही , यदि इसका आधार एक नियमित बहुभुज है और पिरामिड का शीर्ष आधार के केंद्र में प्रक्षेपित है (चित्र 16)। वह त्रिभुजाकार पिरामिड कहलाता है जिसके सभी किनारे बराबर हों चतुर्पाश्वीय .

पार्श्व पसलीपिरामिड के पार्श्व फलक का वह भाग होता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है ऊंचाई पिरामिड इसके शीर्ष से आधार तल तक की दूरी है। एक नियमित पिरामिड के सभी पार्श्व किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं, सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं। शीर्ष से खींचे गए नियमित पिरामिड के पार्श्व फलक की ऊँचाई कहलाती है एपोटेम . विकर्ण खंड पिरामिड का एक खंड दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले एक विमान द्वारा कहा जाता है जो एक ही चेहरे से संबंधित नहीं होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रपिरामिड सभी पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग है। कुल सतह क्षेत्र इसे सभी पार्श्व फलकों और आधार के क्षेत्रफलों का योग कहा जाता है।

प्रमेयों

1. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार के निकट परिचालित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

2. यदि किसी पिरामिड में सभी पार्श्व किनारे हों समान लंबाई, फिर पिरामिड के शीर्ष को आधार के निकट परिचालित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

3. यदि पिरामिड के सभी फलक आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो पिरामिड का शीर्ष आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित होता है।

एक मनमाने पिरामिड के आयतन की गणना करने के लिए, सही सूत्र है:

कहाँ वी- आयतन;

एस आधार- आधार क्षेत्र;

एच-पिरामिड की ऊंचाई.

एक नियमित पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र सही हैं:

कहाँ पी- आधार परिधि;

हा ए– एपोटेम;

एच- ऊंचाई;

एस भरा हुआ

एस ओर

एस आधार- आधार क्षेत्र;

वी– एक नियमित पिरामिड का आयतन.

कटा हुआ पिरामिडपिरामिड के आधार और आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरे पिरामिड के भाग को कहा जाता है (चित्र 17)। नियमित रूप से काटे गए पिरामिड यह एक नियमित पिरामिड का हिस्सा है जो आधार और पिरामिड के आधार के समानांतर काटने वाले तल के बीच घिरा होता है।

कारणकाटे गए पिरामिड - समान बहुभुज। पार्श्व चेहरे - ट्रेपेज़ोइड्स। ऊंचाई एक काटे गए पिरामिड की दूरी उसके आधारों के बीच की दूरी है। विकर्ण एक कटा हुआ पिरामिड अपने शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड है जो एक ही सतह पर नहीं होते हैं। विकर्ण खंड एक विमान द्वारा काटे गए पिरामिड का एक खंड दो पार्श्व किनारों से होकर गुजरता है जो एक ही सतह से संबंधित नहीं हैं।

काटे गए पिरामिड के लिए निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहाँ एस 1 , एस 2 - ऊपरी और निचले आधारों के क्षेत्र;

एस भरा हुआ- कुल सतह क्षेत्र;

एस ओर- पार्श्व सतह क्षेत्र;

एच- ऊंचाई;

वी- एक काटे गए पिरामिड का आयतन।

नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए सूत्र सही है:

कहाँ पी 1 , पी 2 - आधारों की परिधि;

हा ए- एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का एपोटेम।

उदाहरण 1.दाईं ओर त्रिकोणीय पिरामिडआधार पर डायहेड्रल कोण 60º है। झुकाव के कोण की स्पर्शरेखा ज्ञात कीजिए पार्श्व पसलीआधार तल तक.

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 18)।

पिरामिड सही है, इसका मतलब आधार पर है समान भुजाओं वाला त्रिकोणऔर सभी पार्श्व फलक समान समद्विबाहु त्रिभुज हैं। आधार पर डायहेड्रल कोण पिरामिड के पार्श्व पृष्ठ और आधार के तल के झुकाव का कोण है। रैखिक कोण ही कोण है एदो लंबों के बीच: आदि। पिरामिड का शीर्ष त्रिभुज के केंद्र (त्रिभुज के परिवृत्त और अंकित वृत्त का केंद्र) पर प्रक्षेपित है एबीसी). पार्श्व किनारे के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए)। एस.बी.) किनारे और आधार के तल पर उसके प्रक्षेपण के बीच का कोण है। पसली के लिए एस.बी.यह कोण कोण होगा एसबीडी. स्पर्शरेखा ज्ञात करने के लिए आपको पाद जानने की आवश्यकता है इसलिएऔर ओ.बी.. चलो खंड की लंबाई बी.डी 3 के बराबर है ए. डॉट के बारे मेंखंड बी.डीभागों में विभाजित है: तथा से हम पाते हैं इसलिए: से हम पाते हैं:

उत्तर:

उदाहरण 2.एक नियमित रूप से काटे गए चतुर्भुज पिरामिड का आयतन ज्ञात करें यदि इसके आधारों के विकर्ण सेमी और सेमी के बराबर हैं, और इसकी ऊंचाई 4 सेमी है।

समाधान।काटे गए पिरामिड का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। आधारों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको उनके विकर्णों को जानते हुए, आधार वर्गों की भुजाएँ ज्ञात करनी होंगी। आधारों की भुजाएँ क्रमशः 2 सेमी और 8 सेमी के बराबर हैं। इसका अर्थ है आधारों का क्षेत्रफल और सभी डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम काटे गए पिरामिड के आयतन की गणना करते हैं:

उत्तर: 112 सेमी 3.

उदाहरण 3.एक नियमित त्रिभुजाकार काटे गए पिरामिड के पार्श्व फलक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसके आधारों की भुजाएँ 10 सेमी और 4 सेमी हैं, और पिरामिड की ऊँचाई 2 सेमी है।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 19)।

इस पिरामिड का पार्श्व फलक एक समद्विबाहु समलम्बाकार है। किसी समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको आधार और ऊँचाई जानने की आवश्यकता है। आधार शर्त के अनुसार दिये गये हैं, केवल ऊँचाई अज्ञात रहती है। हम उसे कहां से ढूंढ लेंगे ए 1 ईएक बिंदु से लंबवत ए 1 निचले आधार के तल पर, ए 1 डी– से लंबवत ए 1 प्रति ए.सी. ए 1 ई= 2 सेमी, चूँकि यह पिरामिड की ऊँचाई है। ढूँढ़ने के लिए डी.ईआइए शीर्ष दृश्य दिखाते हुए एक अतिरिक्त चित्र बनाएं (चित्र 20)। डॉट के बारे में- ऊपरी और निचले आधारों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीक है– वृत्त में अंकित त्रिज्या तथा ओम– एक वृत्त में अंकित त्रिज्या:

एमके = डीई.

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

पार्श्व चेहरा क्षेत्र:

उत्तर:

उदाहरण 4.पिरामिड के आधार पर एक समद्विबाहु समलंब है, जिसके आधार हैं एऔर बी (ए> बी). प्रत्येक पार्श्व किनारापिरामिड के आधार के तल के बराबर एक कोण बनाता है जे. पिरामिड का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 21)। पिरामिड का कुल सतह क्षेत्रफल एसएबीसीडीक्षेत्रफलों के योग और समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर ए बी सी डी.

आइए इस कथन का उपयोग करें कि यदि पिरामिड के सभी चेहरे आधार के तल पर समान रूप से झुके हुए हैं, तो शीर्ष को आधार में अंकित वृत्त के केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है। डॉट के बारे में- शीर्ष प्रक्षेपण एसपिरामिड के आधार पर. त्रिकोण एसओडीत्रिभुज का ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है क्रिस्टोफ़र स्ट्रीट डेआधार के तल तक. ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय द्वारा सपाट आकृतिहम पाते हैं:

वैसे ही इसका मतलब है इस प्रकार, समस्या समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने तक सीमित रह गई ए बी सी डी. आइए एक समलम्ब चतुर्भुज बनाएं ए बी सी डीअलग से (चित्र 22)। डॉट के बारे में- एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित वृत्त का केंद्र।

चूँकि एक वृत्त को एक समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो या पाइथागोरस प्रमेय से हमारे पास है

• 09.10.2014

  चित्र में दिखाए गए प्रीएम्प्लीफायर को 4 प्रकार के ध्वनि स्रोतों के साथ उपयोग के लिए डिज़ाइन किया गया है, उदाहरण के लिए, एक माइक्रोफोन, सीडी प्लेयर, रेडियो, आदि। इस मामले में, प्रीएम्प्लीफायर में एक इनपुट होता है, जो संवेदनशीलता को 50 एमवी से 500 तक बदल सकता है। एमवी. एम्पलीफायर आउटपुट वोल्टेज 1000mV। कनेक्ट विभिन्न स्रोतस्विच SA1 स्विच करते समय सिग्नल, हमें हमेशा मिलता है...

• 20.09.2014

  बिजली आपूर्ति 15…20 W के भार के लिए डिज़ाइन की गई है। स्रोत एकल-चक्र पल्स उच्च-आवृत्ति कनवर्टर के सर्किट के अनुसार बनाया गया है। एक ट्रांजिस्टर का उपयोग 20…40 किलोहर्ट्ज़ की आवृत्ति पर संचालित होने वाले एक स्व-ऑसिलेटर को इकट्ठा करने के लिए किया जाता है। आवृत्ति को कैपेसिटेंस C5 द्वारा समायोजित किया जाता है। तत्व VD5, VD6 और C6 ऑसिलेटर स्टार्टिंग सर्किट बनाते हैं। ब्रिज रेक्टिफायर के बाद सेकेंडरी सर्किट में एक माइक्रोक्रिकिट पर एक पारंपरिक रैखिक स्टेबलाइज़र होता है, जो आपको इसकी अनुमति देता है ...

• 28.09.2014

  यह आंकड़ा K174XA11 माइक्रोक्रिकिट पर आधारित एक जनरेटर दिखाता है, जिसकी आवृत्ति वोल्टेज द्वारा नियंत्रित होती है। कैपेसिटेंस C1 को 560 से 4700 pF में बदलकर, आवृत्तियों की एक विस्तृत श्रृंखला प्राप्त की जा सकती है, जबकि आवृत्ति को प्रतिरोध R4 को बदलकर समायोजित किया जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, लेखक को पता चला कि, C1 = 560pF के साथ, जनरेटर की आवृत्ति को R4 का उपयोग करके 600Hz से 200kHz तक बदला जा सकता है, ...

• 03.10.2014

  यूनिट को एक शक्तिशाली यूएलएफ को बिजली देने के लिए डिज़ाइन किया गया है, इसे ±27V के आउटपुट वोल्टेज और प्रत्येक बांह पर 3A तक के लोड के लिए डिज़ाइन किया गया है। बिजली की आपूर्ति द्विध्रुवी है, जो पूर्ण मिश्रित ट्रांजिस्टर KT825-KT827 पर बनी है। स्टेबलाइज़र की दोनों भुजाएँ एक ही सर्किट के अनुसार बनाई जाती हैं, लेकिन दूसरी भुजा में (यह नहीं दिखाया गया है) कैपेसिटर की ध्रुवता बदल दी जाती है और एक अलग प्रकार के ट्रांजिस्टर का उपयोग किया जाता है...

एक बहुफलक है जो पिरामिड के आधार और उसके समानांतर एक खंड से बनता है। हम कह सकते हैं कि एक कटा हुआ पिरामिड एक पिरामिड है जिसका शीर्ष कटा हुआ है। इस आकृति में कई अद्वितीय गुण हैं:

• पिरामिड के पार्श्व फलक समलम्बाकार हैं;
• नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के पार्श्व किनारे समान लंबाई के होते हैं और समान कोण पर आधार से झुके होते हैं;
• आधार समान बहुभुज हैं;
• एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड में, चेहरे समान समद्विबाहु समलम्बाकार होते हैं, जिनका क्षेत्रफल बराबर होता है। वे भी एक कोण पर आधार की ओर झुके हुए हैं।

एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र का सूत्र इसके पक्षों के क्षेत्रों का योग है:

चूँकि काटे गए पिरामिड की भुजाएँ समलम्बाकार हैं, मापदंडों की गणना करने के लिए आपको सूत्र का उपयोग करना होगा समलम्बाकार क्षेत्र. एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के लिए, आप क्षेत्रफल की गणना के लिए एक अलग सूत्र लागू कर सकते हैं। चूँकि इसकी सभी भुजाएँ, फलक और आधार पर कोण समान हैं, इसलिए आधार और एपोथेम की परिधि को लागू करना संभव है, और आधार पर कोण के माध्यम से क्षेत्र भी प्राप्त करना संभव है।

यदि, नियमित रूप से काटे गए पिरामिड की स्थितियों के अनुसार, एपोथेम (पक्ष की ऊंचाई) और आधार के किनारों की लंबाई दी गई है, तो क्षेत्रफल की गणना परिमापों के योग के आधे-उत्पाद के माध्यम से की जा सकती है आधार और एपोथेम:

आइए एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना का एक उदाहरण देखें।
एक नियमित पंचकोणीय पिरामिड दिया गया है। एपोथेम एल= 5 सेमी, बड़े आधार में किनारे की लंबाई है ए= 6 सेमी, और किनारा छोटे आधार पर है बी= 4 सेमी. काटे गए पिरामिड का क्षेत्रफल ज्ञात करें.

सबसे पहले, आइए आधारों की परिधि ज्ञात करें। चूँकि हमें एक पंचकोणीय पिरामिड दिया गया है, हम समझते हैं कि आधार पंचकोण हैं। इसका मतलब यह है कि आधारों में पांच समान भुजाओं वाली एक आकृति होती है। आइए बड़े आधार का परिमाप ज्ञात करें:

इसी प्रकार हम छोटे आधार का परिमाप ज्ञात करते हैं:

अब हम एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं। डेटा को सूत्र में रखें:

इस प्रकार, हमने परिधि और एपोथेम के माध्यम से एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड के क्षेत्र की गणना की।

एक नियमित पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने का दूसरा तरीका सूत्र है आधार पर कोणों और इन्हीं आधारों के क्षेत्रफल के माध्यम से.

आइए एक उदाहरण गणना देखें। याद रखें कि यह सूत्र केवल नियमित रूप से काटे गए पिरामिड पर लागू होता है।

जो सही है वही दिया जाए चतुर्भुज पिरामिड. निचले आधार का किनारा a = 6 सेमी है, और ऊपरी आधार का किनारा b = 4 सेमी है। आधार पर डायहेड्रल कोण β = 60° है। एक नियमित रूप से काटे गए पिरामिड का पार्श्व सतह क्षेत्र ज्ञात करें।

सबसे पहले, आइए आधारों के क्षेत्रफल की गणना करें। चूँकि पिरामिड नियमित है, आधारों के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हैं। यह मानते हुए कि आधार एक चतुर्भुज है, हम समझते हैं कि इसकी गणना करना आवश्यक होगा वर्ग का क्षेत्रफल. यह चौड़ाई और लंबाई का गुणनफल है, लेकिन वर्ग करने पर ये मान समान होते हैं। आइए बड़े आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करें:


अब हम पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के लिए पाए गए मानों का उपयोग करते हैं।

कुछ सरल सूत्रों को जानने के बाद, हमने विभिन्न मूल्यों का उपयोग करके आसानी से एक काटे गए पिरामिड के पार्श्व ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना की।