एक चाप द्वारा समर्थित उत्कीर्ण और केंद्रीय कोण। एक वृत्त का केंद्रीय और अंकित कोण

अंकित कोण, समस्या का सिद्धांत। दोस्त! इस लेख में हम उन कार्यों के बारे में बात करेंगे जिनके लिए आपको एक अंकित कोण के गुणों को जानना आवश्यक है। यह कार्यों का एक पूरा समूह है, इन्हें एकीकृत राज्य परीक्षा में शामिल किया गया है। उनमें से अधिकांश को बहुत ही सरलता से, एक ही क्रिया में हल किया जा सकता है।

और भी कठिन समस्याएं हैं, लेकिन वे आपके लिए अधिक कठिनाई पेश नहीं करेंगी; आपको एक अंकित कोण के गुणों को जानने की आवश्यकता है। धीरे-धीरे हम कार्यों के सभी प्रोटोटाइप का विश्लेषण करेंगे, मैं आपको ब्लॉग पर आमंत्रित करता हूँ!

अब आवश्यक सिद्धांत. आइए याद रखें कि एक केंद्रीय और खुदा हुआ कोण, एक जीवा, एक चाप क्या होते हैं, जिन पर ये कोण टिके होते हैं:

एक वृत्त में केंद्रीय कोण एक समतल कोण होता हैइसके केंद्र में शीर्ष.

वृत्त का वह भाग जो समतल कोण के अंदर स्थित होता हैवृत्त का चाप कहा जाता है।

किसी वृत्त के चाप की डिग्री माप को डिग्री माप कहा जाता हैसंगत केंद्रीय कोण.

एक कोण को वृत्त में अंकित तब कहा जाता है जब कोण का शीर्ष स्थित होएक वृत्त पर, और कोण की भुजाएँ इस वृत्त को काटती हैं।

वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड को कहा जाता हैतार. सबसे बड़ी जीवा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है और कहलाती हैव्यास.

वृत्त में अंकित कोणों से संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए,आपको निम्नलिखित गुण जानने की आवश्यकता है:

1. अंकित कोण समान चाप के आधार पर, केंद्रीय कोण के आधे के बराबर होता है।

2. एक ही चाप पर अंतरित सभी अंकित कोण बराबर होते हैं।

3. एक ही जीवा पर आधारित सभी अंकित कोण और जिनके शीर्ष इस जीवा के एक ही ओर स्थित हों, बराबर होते हैं।

4. एक ही जीवा पर आधारित कोणों का कोई भी जोड़ा, जिसके शीर्ष जीवा के विपरीत दिशाओं में स्थित हों, का योग 180° होता है।

उपफल: एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

5. किसी व्यास द्वारा अंतरित सभी अंकित कोण समकोण होते हैं।

सामान्य तौर पर, यह संपत्ति संपत्ति (1) का परिणाम है; यह इसका विशेष मामला है। देखना - केंद्रीय कोण 180 डिग्री के बराबर है (और यह खुला कोण एक व्यास से अधिक कुछ नहीं है), जिसका अर्थ है, पहली संपत्ति के अनुसार, अंकित कोण सी इसके आधे के बराबर है, यानी 90 डिग्री।

इस गुण को जानने से कई समस्याओं को हल करने में मदद मिलती है और अक्सर आप अनावश्यक गणनाओं से बच जाते हैं। इसमें अच्छी तरह से महारत हासिल करने के बाद, आप इस प्रकार की आधी से अधिक समस्याओं को मौखिक रूप से हल करने में सक्षम होंगे। दो निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं:

उपफल 1: यदि एक वृत्त में एक त्रिभुज अंकित है और उसकी एक भुजा इस वृत्त के व्यास से मेल खाती है, तो त्रिभुज समकोण (शीर्ष) है समकोणवृत्त पर स्थित है)।

परिणाम 2: के बारे में वर्णित का केंद्र सही त्रिकोणवृत्त अपने कर्ण के मध्य से मेल खाता है।

इस संपत्ति और इन परिणामों का उपयोग करके स्टीरियोमेट्रिक समस्याओं के कई प्रोटोटाइप भी हल किए जाते हैं। तथ्य को स्वयं याद रखें: यदि किसी वृत्त का व्यास एक उत्कीर्ण त्रिभुज की एक भुजा है, तो यह त्रिभुज समकोण है (व्यास के विपरीत कोण 90 डिग्री है)। आप अन्य सभी निष्कर्ष और परिणाम स्वयं निकाल सकते हैं, आपको उन्हें सिखाने की आवश्यकता नहीं है।

एक नियम के रूप में, एक अंकित कोण पर आधी समस्याएं एक रेखाचित्र के साथ दी जाती हैं, लेकिन प्रतीकों के बिना। समस्याओं को हल करते समय तर्क प्रक्रिया को समझने के लिए (लेख में नीचे), शीर्षों (कोणों) के लिए नोटेशन पेश किए गए हैं। आपको एकीकृत राज्य परीक्षा में ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है।आइए कार्यों पर विचार करें:

वृत्त की त्रिज्या के बराबर एक जीवा द्वारा बनाए गए न्यून कोण का मान क्या होता है? अपना उत्तर डिग्री में दें।

आइए किसी दिए गए खुदे हुए कोण के लिए एक केंद्रीय कोण बनाएं और शीर्षों को नामित करें:

वृत्त में अंकित कोण के गुण के अनुसार:

कोण AOB 60 0 के बराबर है, क्योंकि त्रिभुज AOB समबाहु है, और में समान भुजाओं वाला त्रिकोणसभी कोण 60 0 के बराबर हैं। त्रिभुज की भुजाएँ बराबर हैं, क्योंकि शर्त कहती है कि जीवा त्रिज्या के बराबर है।

इस प्रकार, अंकित कोण ACB 30 0 के बराबर है।

उत्तर: 30

त्रिज्या 3 के एक वृत्त में अंकित 30 0 के कोण द्वारा समर्थित जीवा ज्ञात कीजिए।

यह मूलतः (पिछली समस्या की) उलटी समस्या है। आइए केंद्रीय कोण का निर्माण करें।

यह खुदे हुए से दोगुना बड़ा है, यानी कोण AOB 60 0 के बराबर है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि त्रिभुज AOB समबाहु है। इस प्रकार, जीवा त्रिज्या के बराबर है, अर्थात तीन।

उत्तर: 3

वृत्त की त्रिज्या 1 है। दो के मूल के बराबर जीवा द्वारा बनाए गए अधिक कोण का परिमाण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

आइए केंद्रीय कोण का निर्माण करें:

त्रिज्या और जीवा को जानकर, हम केंद्रीय कोण ASV ज्ञात कर सकते हैं। यह कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके किया जा सकता है। केंद्रीय कोण को जानकर हम अंकित कोण ACB को आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

कोसाइन प्रमेय: त्रिभुज की किसी भी भुजा को वर्गाकार करें योग के बराबरअन्य दो भुजाओं का वर्ग, उनके बीच के कोण की कोज्या से इन भुजाओं के गुणनफल को दोगुना किए बिना।

इसलिए, दूसरा केंद्रीय कोण 360 0 है – 90 0 = 270 0 .

अंकित कोण के गुण के अनुसार कोण ACB उसके आधे अर्थात 135 डिग्री के बराबर होता है।

उत्तर: 135

तीन के मूल त्रिज्या वाले एक वृत्त में बने 120 डिग्री के कोण द्वारा अंतरित जीवा ज्ञात कीजिए।

आइए बिंदु A और B को वृत्त के केंद्र से जोड़ें। आइए इसे O के रूप में निरूपित करें:

हम त्रिज्या और अंकित कोण ASV जानते हैं। हम केंद्रीय कोण AOB (180 डिग्री से अधिक) ज्ञात कर सकते हैं, फिर त्रिभुज AOB में कोण AOB ज्ञात कर सकते हैं। और फिर, कोसाइन प्रमेय का उपयोग करके, AB की गणना करें।

अंकित कोण के गुण के अनुसार केंद्रीय कोण AOB (जो 180 डिग्री से अधिक है) अंकित कोण के दोगुने अर्थात 240 डिग्री के बराबर होगा। इसका मतलब है कि त्रिभुज AOB में कोण AOB 360 0 - 240 0 = 120 0 के बराबर है।

कोसाइन प्रमेय के अनुसार:

उत्तर:3

एक चाप द्वारा अंतरित कोण ज्ञात कीजिए जो वृत्त का 20% है। अपना उत्तर डिग्री में दें।

अंकित कोण के गुण के अनुसार यह उसी चाप के आधार पर केन्द्रीय कोण के आधे आकार का होता है इस मामले मेंहम आर्क एबी के बारे में बात कर रहे हैं।

ऐसा कहा जाता है कि चाप AB परिधि का 20 प्रतिशत है। इसका मतलब है कि केंद्रीय कोण AOB भी 360 0 का 20 प्रतिशत है।*एक वृत्त 360 डिग्री का कोण होता है. मतलब,

इस प्रकार, अंकित कोण ACB 36 डिग्री है।

उत्तर: 36

एक वृत्त का चाप ए.सी., जिसमें कोई बिंदु नहीं है बी, 200 डिग्री है. और एक वृत्त BC का चाप, जिसमें कोई बिंदु नहीं है ए, 80 डिग्री है. अंकित कोण ACB ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

स्पष्टता के लिए, आइए हम उन चापों को निरूपित करें जिनके कोणीय माप दिए गए हैं। 200 डिग्री के अनुरूप चाप - नीला, 80 डिग्री के अनुरूप चाप लाल है, वृत्त का शेष भाग है पीला.

इस प्रकार, चाप AB (पीला) की डिग्री माप, और इसलिए केंद्रीय कोण AOB है: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

अंकित कोण ACB केंद्रीय कोण AOB का आधा आकार है, अर्थात 40 डिग्री के बराबर है।

उत्तर: 40

वृत्त के व्यास द्वारा अंतरित कोण क्या है? अपना उत्तर डिग्री में दें।

अंकित कोण का गुणधर्म जानना आवश्यक है; समझें कि कोसाइन प्रमेय का उपयोग कब और कैसे करना है, इसके बारे में और जानें।

बस इतना ही! आप सौभाग्यशाली हों!

सादर, अलेक्जेंडर क्रुतित्सिख

स्कूल में तीसरी कक्षा में गणित के शिक्षक:
- बच्चों, बताओ 6*6 कितना होता है?
बच्चे एक स्वर में उत्तर देते हैं:
-छहत्तर!
- अच्छा, क्या कह रहे हो बच्चों! छह बटा छह छत्तीस होगा... ठीक है, शायद एक और 37, 38, 39... ठीक है, अधिकतम 40... लेकिन छिहत्तर नहीं!

पुनश्च: यदि आप मुझे सोशल नेटवर्क पर साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

कोण ABC एक अंकित कोण है। यह अपनी भुजाओं के बीच घिरे चाप AC पर टिका हुआ है (चित्र 330)।

प्रमेय. एक उत्कीर्ण कोण को चाप के आधे भाग से मापा जाता है जिस पर वह झुकता है।

इसे इस प्रकार समझा जाना चाहिए: एक अंकित कोण में उतने ही कोणीय अंश, मिनट और सेकंड होते हैं जितने चाप के आधे हिस्से में, जिस पर वह स्थित होता है, चाप अंश, मिनट और सेकंड होते हैं।

इस प्रमेय को सिद्ध करते समय तीन मामलों पर विचार किया जाना चाहिए।

पहला मामला. वृत्त का केंद्र अंकित कोण के किनारे पर स्थित है (चित्र 331)।

माना कि ∠ABC एक उत्कीर्ण कोण है और वृत्त O का केंद्र भुजा BC पर स्थित है। यह सिद्ध करना आवश्यक है कि इसे आधे चाप AC द्वारा मापा जाता है।

बिंदु A को वृत्त के केंद्र से कनेक्ट करें। हमें एक समद्विबाहु \(\Delta\)AOB प्राप्त होता है, जिसमें AO = OB, समान वृत्त की त्रिज्या के रूप में होता है। इसलिए, ∠A = ∠B.

∠AOC त्रिभुज AOB से बाह्य है, इसलिए ∠AOC = ∠A + ∠B, और चूँकि कोण A और B बराबर हैं, तो ∠B 1/2 ∠AOC है।

लेकिन ∠AOC को चाप AC द्वारा मापा जाता है, इसलिए ∠B को चाप AC के आधे से मापा जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि \(\breve(AC)\) में 60°18' है, तो ∠B में 30°9' है।

दूसरा मामला. वृत्त का केंद्र अंकित कोण की भुजाओं के बीच स्थित है (चित्र 332)।

माना ∠ABD एक अंकित कोण है। वृत्त O का केंद्र इसकी भुजाओं के बीच स्थित है। हमें यह सिद्ध करना होगा कि ∠ABD को चाप AD के आधे भाग से मापा जाता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए हम व्यास BC निकालें। कोण ABD को दो कोणों में विभाजित किया गया है: ∠1 और ∠2।

∠1 को आधे चाप AC द्वारा मापा जाता है, और ∠2 को आधे चाप CD द्वारा मापा जाता है, इसलिए, संपूर्ण ∠ABD को 1 / 2 \(\breve(AC)\) + 1 / 2 \(\breve द्वारा मापा जाता है (सीडी)\), यानी आधा चाप एडी।

उदाहरण के लिए, यदि \(\breve(AD)\) में 124° है, तो ∠B में 62° है।

तीसरा मामला. वृत्त का केंद्र अंकित कोण के बाहर स्थित है (चित्र 333)।

माना ∠MAD एक उत्कीर्ण कोण है। वृत्त O का केंद्र कोने के बाहर है। हमें यह सिद्ध करना होगा कि ∠MAD को चाप MD के आधे भाग से मापा जाता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, आइए व्यास AB खींचें। ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. लेकिन ∠MAB का माप 1 / 2 \(\breve(MB)\) है, और ∠DAB का माप 1 / 2 \(\breve(DB)\) है।

इसलिए, ∠MAD का माप 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), यानी 1 / 2 \(\breve(MD)\) है।

उदाहरण के लिए, यदि \(\breve(MD)\) में 48° 38" है, तो ∠MAD में 24° 19' 8" है।

नतीजे
1. एक ही चाप पर अंतरित सभी अंकित कोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं, क्योंकि उन्हें एक ही चाप के आधे हिस्से से मापा जाता है (चित्र 334, ए)।

2. किसी व्यास द्वारा अंतरित एक उत्कीर्ण कोण एक समकोण होता है, क्योंकि यह आधे वृत्त को अंतरित करता है। आधे वृत्त में 180 चाप अंश होते हैं, जिसका अर्थ है कि व्यास पर आधारित कोण में 90 चाप अंश होते हैं (चित्र 334, बी)।

अक्सर, गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी की प्रक्रिया बुनियादी परिभाषाओं, सूत्रों और प्रमेयों की पुनरावृत्ति के साथ शुरू होती है, जिसमें "एक वृत्त में केंद्रीय और अंकित कोण" विषय भी शामिल है। एक नियम के रूप में, प्लानिमेट्री के इस खंड का अध्ययन किया जाता है हाई स्कूल. यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कई छात्रों को दोहराने की आवश्यकता का सामना करना पड़ता है बुनियादी अवधारणाओंऔर "वृत्त का केंद्रीय कोण" विषय पर प्रमेय। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए एल्गोरिदम को समझने के बाद, स्कूली बच्चे एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करने के परिणामों के आधार पर प्रतिस्पर्धी अंक प्राप्त करने पर भरोसा कर सकते हैं।

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हाई स्कूल के छात्र अभ्यास का अभ्यास करके एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, किसी भी रूसी क्षेत्र से एक वृत्त के केंद्रीय कोण का परिमाण और एक वृत्त के चाप की लंबाई का ऑनलाइन पता लगाना।

यदि आवश्यक हो, तो पूर्ण किए गए कार्य को बाद में वापस करने के लिए "पसंदीदा" अनुभाग में सहेजा जा सकता है और एक बार फिर इसके समाधान के सिद्धांत का विश्लेषण किया जा सकता है।

केन्द्रीय कोणवह कोण है जिसका शीर्ष वृत्त के केंद्र पर है।
अंकित कोण- एक कोण जिसका शीर्ष एक वृत्त पर स्थित होता है और जिसकी भुजाएँ उसे काटती हैं।

चित्र केंद्रीय और अंकित कोणों के साथ-साथ उनके सबसे महत्वपूर्ण गुणों को दर्शाता है।

इसलिए, केंद्रीय कोण का परिमाण उस चाप के कोणीय परिमाण के बराबर होता है जिस पर वह टिका होता है. इसका मतलब यह है कि 90 डिग्री का केंद्रीय कोण 90 डिग्री के बराबर चाप यानी एक वृत्त पर टिका होगा। 60° के बराबर का केन्द्रीय कोण 60° के चाप पर अर्थात् वृत्त के छठे भाग पर टिका होता है।

अंकित कोण का परिमाण उसी चाप के आधार पर केंद्रीय कोण से दो गुना कम है.

साथ ही, समस्याओं को हल करने के लिए हमें "कॉर्ड" की अवधारणा की आवश्यकता होगी।

समान केंद्रीय कोण समान जीवाओं को अंतरित करते हैं।

1. वृत्त के व्यास द्वारा अंतरित कोण क्या है? अपना उत्तर डिग्री में दें।

किसी व्यास द्वारा अंतरित एक उत्कीर्ण कोण समकोण होता है।

2. केंद्रीय कोण उसी वृत्ताकार चाप द्वारा अंतरित न्यून कोण से 36° बड़ा होता है। अंकित कोण ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

मान लीजिए कि केंद्रीय कोण x के बराबर है, और उसी चाप द्वारा अंतरित कोण y के बराबर है।

हम जानते हैं कि x = 2y.
अत: 2y = 36 + y,
वाई = 36.

3. वृत्त की त्रिज्या 1 के बराबर है। जीवा द्वारा अंतरित अधिक कोण का मान ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर डिग्री में दें।

माना कि जीवा AB बराबर है। इस जीवा पर आधारित अधिक अंकित कोण को α द्वारा निरूपित किया जाएगा।
त्रिभुज AOB में, भुजा AO और OB 1 के बराबर हैं, भुजा AB बराबर है। हम पहले ही ऐसे त्रिभुजों का सामना कर चुके हैं। जाहिर है, त्रिभुज AOB आयताकार और समद्विबाहु है, यानी कोण AOB 90° का है।
तब चाप ACB 90° के बराबर है, और चाप AKB 360° - 90° = 270° के बराबर है।
अंकित कोण α चाप AKB पर टिका है और इस चाप के आधे कोणीय मान के बराबर है, अर्थात 135°।

उत्तर: 135.

4. जीवा AB वृत्त को दो भागों में विभाजित करती है, जिनके डिग्री मान 5:7 के अनुपात में हैं। यह जीवा बिंदु C से किस कोण पर दिखाई देती है, जो वृत्त के छोटे चाप से संबंधित है? अपना उत्तर डिग्री में दें।

इस कार्य में मुख्य बात परिस्थितियों का सही चित्रण और समझ है। आप इस प्रश्न को कैसे समझते हैं: "बिंदु C से जीवा किस कोण पर दिखाई देती है?"
कल्पना करें कि आप बिंदु C पर बैठे हैं और आपको वह सब कुछ देखना है जो जीवा AB पर हो रहा है। यह ऐसा है मानो कॉर्ड एबी किसी मूवी थियेटर में एक स्क्रीन हो :-)
जाहिर है, आपको कोण एसीबी खोजने की जरूरत है।
दो चापों का योग जिसमें जीवा AB वृत्त को विभाजित करती है, 360° के बराबर है, अर्थात
5x + 7x = 360°
अत: x = 30°, और फिर अंकित कोण ACB 210° के बराबर चाप पर टिका होता है।
अंकित कोण का परिमाण उस चाप के कोणीय परिमाण के आधे के बराबर है जिस पर वह स्थित है, जिसका अर्थ है कि कोण ACB 105° के बराबर है।

निर्देश

यदि वृत्त की त्रिज्या (R) और वांछित केंद्रीय कोण (θ) के अनुरूप चाप (L) की लंबाई ज्ञात है, तो इसकी गणना डिग्री और रेडियन दोनों में की जा सकती है। कुल सूत्र 2*π*R द्वारा निर्धारित किया जाता है और यदि डिग्री के बजाय रेडियन का उपयोग किया जाता है, तो यह 360° या दो पाई संख्याओं के केंद्रीय कोण से मेल खाता है। इसलिए, अनुपात 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ से आगे बढ़ें। इससे केंद्रीय कोण को रेडियन में व्यक्त करें θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R या डिग्री θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π) * आर) और परिणामी सूत्र का उपयोग करके गणना करें।

केंद्रीय कोण (θ) निर्धारित करने वाले बिंदुओं को जोड़ने वाली जीवा (एम) की लंबाई के आधार पर, यदि वृत्त की त्रिज्या (आर) ज्ञात हो तो इसके मान की गणना भी की जा सकती है। ऐसा करने के लिए, दो त्रिज्याओं द्वारा निर्मित एक त्रिभुज पर विचार करें। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है, यह तो सभी जानते हैं, लेकिन आपको आधार के विपरीत कोण ज्ञात करना होगा। इसके आधे भाग की ज्या अनुपात के बराबरआधार की लंबाई - जीवा - भुजा की लंबाई से दोगुनी - त्रिज्या। इसलिए, गणना के लिए व्युत्क्रम साइन फ़ंक्शन का उपयोग करें - आर्कसाइन: θ = 2*आर्क्सिन(½*m/R)।

केंद्रीय कोण को क्रांति के अंशों में या घुमाए गए कोण से निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि आपको पूर्ण क्रांति के एक चौथाई के अनुरूप केंद्रीय कोण खोजने की आवश्यकता है, तो 360° को चार से विभाजित करें: θ = 360°/4 = 90°। रेडियन में समान मान 2*π/4 ≈ 3.14/2 ≈ 1.57 होना चाहिए। खुला हुआ कोण पूर्ण क्रांति के आधे के बराबर है, इसलिए, उदाहरण के लिए, इसके एक चौथाई के अनुरूप केंद्रीय कोण डिग्री और रेडियन दोनों में ऊपर गणना किए गए मानों का आधा होगा।

साइन के व्युत्क्रम को त्रिकोणमितीय फलन कहा जाता है आर्कसीन. यह सकारात्मक और नकारात्मक दोनों, संख्या Pi के आधे के भीतर मान ले सकता है। नकारात्मक पक्षजब रेडियन में मापा जाता है। जब डिग्री में मापा जाता है, तो ये मान क्रमशः -90° से +90° तक की सीमा में होंगे।

निर्देश

कुछ "गोल" मानों की गणना करने की आवश्यकता नहीं होती है; उन्हें याद रखना आसान होता है। उदाहरण के लिए: - यदि फ़ंक्शन तर्क शून्य है, तो इसका आर्कसाइन भी शून्य है; - 1/2 का मान 30° या 1/6 Pi के बराबर है, यदि मापा जाए - -1/2 का आर्कसाइन -30° है या -1/6 संख्या पाई से; - 1 की आर्कसाइन रेडियन में संख्या पाई के 90° या 1/2 के बराबर है - -1 की आर्कसाइन -90° या -1/2 के बराबर है; रेडियन में पाई संख्या;

इस फ़ंक्शन के मानों को अन्य तर्कों से मापने के लिए, सबसे आसान तरीका एक मानक विंडोज कैलकुलेटर का उपयोग करना है, यदि आपके पास एक है। आरंभ करने के लिए, "प्रारंभ" बटन पर मुख्य मेनू खोलें (या WIN कुंजी दबाकर), "सभी प्रोग्राम" अनुभाग पर जाएं, और फिर "सहायक उपकरण" उपधारा पर जाएं और "कैलकुलेटर" पर क्लिक करें।

कैलकुलेटर इंटरफ़ेस को ऑपरेटिंग मोड पर स्विच करें जो आपको गणना करने की अनुमति देता है त्रिकोणमितीय कार्य. ऐसा करने के लिए, इसके मेनू में "देखें" अनुभाग खोलें और "इंजीनियरिंग" या "वैज्ञानिक" (प्रयुक्त ऑपरेटिंग सिस्टम के आधार पर) चुनें।

उस तर्क का मान दर्ज करें जिससे आर्कटेंजेंट की गणना की जानी चाहिए। यह माउस से कैलकुलेटर इंटरफ़ेस बटन पर क्लिक करके, या कुंजी दबाकर, या मान (CTRL + C) की प्रतिलिपि बनाकर और फिर इसे (CTRL + V) कैलकुलेटर इनपुट फ़ील्ड में पेस्ट करके किया जा सकता है।

माप की उन इकाइयों का चयन करें जिनमें आपको फ़ंक्शन गणना का परिणाम प्राप्त करने की आवश्यकता है। इनपुट फ़ील्ड के नीचे तीन विकल्प हैं, जिनमें से आपको एक का चयन करना होगा (माउस से क्लिक करके) - रेडियन या रेड।

उस चेकबॉक्स को चेक करें जो कैलकुलेटर इंटरफ़ेस बटन पर दर्शाए गए फ़ंक्शन को उलट देता है। इसके आगे एक संक्षिप्त शिलालेख है Inv.

पाप बटन पर क्लिक करें. कैलकुलेटर इससे जुड़े फ़ंक्शन को उलट देगा, गणना करेगा और आपको निर्दिष्ट इकाइयों में परिणाम प्रस्तुत करेगा।

विषय पर वीडियो

सामान्य ज्यामितीय समस्याओं में से एक वृत्ताकार खंड के क्षेत्रफल की गणना करना है - वृत्त का वह भाग जो एक जीवा से घिरा होता है और संबंधित जीवा एक वृत्त के एक चाप से घिरा होता है।

एक वृत्ताकार खंड का क्षेत्रफल संबंधित वृत्ताकार क्षेत्र के क्षेत्रफल और खंड के अनुरूप क्षेत्र की त्रिज्या और खंड को सीमित करने वाली जीवा द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल के बीच के अंतर के बराबर होता है।

उदाहरण 1

वृत्त को अंतरित करने वाली जीवा की लंबाई मान a के बराबर होती है। डिग्री मापजीवा के अनुरूप चाप 60° है। वृत्ताकार खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान

दो त्रिज्याओं और एक जीवा से बना एक त्रिभुज समद्विबाहु होता है, इसलिए केंद्रीय कोण के शीर्ष से जीवा द्वारा निर्मित त्रिभुज की भुजा तक खींची गई ऊंचाई भी केंद्रीय कोण का समद्विभाजक होगी, जो इसे आधे में विभाजित करती है, और मध्यिका, राग को आधे में विभाजित करती है। यह जानते हुए कि कोण की ज्या विपरीत पैर और कर्ण के अनुपात के बराबर है, हम त्रिज्या की गणना कर सकते हैं:

पाप 30°= ए/2:आर = 1/2;

एससी = πR²/360°*60° = πa²/6

त्रिज्यखंड के अनुरूप त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना निम्नानुसार की जाती है:

S▲=1/2*ah, जहां h केंद्रीय कोण के शीर्ष से जीवा तक खींची गई ऊंचाई है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

तदनुसार, S▲=√3/4*a²।

खंड का क्षेत्रफल, जिसकी गणना Sreg = Sc - S▲ के रूप में की गई है, इसके बराबर है:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

ए के मान के लिए संख्यात्मक मान प्रतिस्थापित करके, आप आसानी से खंड क्षेत्र के संख्यात्मक मान की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण 2

वृत्त की त्रिज्या a के बराबर है. खंड के अनुरूप चाप की डिग्री माप 60° है। वृत्ताकार खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

संबंधित सेक्टर का क्षेत्रफल दिया गया कोणनिम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है: