त्रिकोणमितीय वृत्त. व्यापक गाइड (2019)। त्रिकोणमितीय वृत्त. त्रिकोणमितीय फलनों के मूल अर्थ

यदि आप पहले से ही परिचित हैं त्रिकोणमितीय वृत्त , और आप बस कुछ तत्वों की अपनी स्मृति को ताज़ा करना चाहते हैं, या आप पूरी तरह से अधीर हैं, तो यह यहाँ है:

यहां हम हर चीज का चरण दर चरण विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

त्रिकोणमितीय वृत्त कोई विलासिता नहीं, बल्कि एक आवश्यकता है

त्रिकोणमिति कई लोग इसे अभेद्य घने जंगल से जोड़ते हैं। अचानक बहुत सारे अर्थ सामने आ गए त्रिकोणमितीय कार्य, इतने सारे सूत्र... लेकिन शुरुआत में यह काम नहीं आया, और... बीच-बीच में... पूरी तरह ग़लतफ़हमी...

हार न मानना ​​बहुत महत्वपूर्ण है त्रिकोणमितीय कार्यों के मान, - वे कहते हैं, आप हमेशा मूल्यों की तालिका के साथ प्रेरणा को देख सकते हैं।

यदि आप लगातार मूल्यों वाली तालिका को देखते हैं त्रिकोणमितीय सूत्रआइए इस आदत से छुटकारा पाएं!

वह हमारी मदद करेगा! आप इसके साथ कई बार काम करेंगे और फिर यह आपके दिमाग में आ जाएगा। यह टेबल से किस प्रकार बेहतर है? हाँ, तालिका में आपको सीमित संख्या में मान मिलेंगे, लेकिन वृत्त पर - सब कुछ!

उदाहरण के लिए, देखते हुए कहें त्रिकोणमितीय सूत्रों के मानों की मानक तालिका , क्यों साइन के बराबर, मान लीजिए 300 डिग्री, या -45।

कोई रास्ता नहीं?.. बेशक, आप कनेक्ट कर सकते हैं कमी सूत्र...और त्रिकोणमितीय वृत्त को देखकर आप ऐसे प्रश्नों का उत्तर आसानी से दे सकते हैं। और आपको जल्द ही पता चल जाएगा कि कैसे!

और निर्णय लेते समय त्रिकोणमितीय समीकरणऔर त्रिकोणमितीय वृत्त के बिना असमानताएँ - कहीं भी नहीं।

त्रिकोणमितीय वृत्त का परिचय

आइए क्रम से चलें.

सबसे पहले, आइए संख्याओं की इस श्रृंखला को लिखें:

और अब यह:

और अंत में यह:

बेशक, यह स्पष्ट है कि, वास्तव में, पहले स्थान पर है, दूसरे स्थान पर है, और अंतिम स्थान पर है। यानी हमें चेन में ज्यादा दिलचस्पी होगी.

लेकिन यह कितना सुंदर निकला! यदि कुछ होता है, तो हम इस "चमत्कारिक सीढ़ी" को पुनर्स्थापित कर देंगे।

और हमें इसकी आवश्यकता क्यों है?

यह श्रृंखला पहली तिमाही में साइन और कोसाइन का मुख्य मान है।

आइए हम एक आयताकार समन्वय प्रणाली में इकाई त्रिज्या का एक वृत्त बनाएं (अर्थात, हम लंबाई में कोई भी त्रिज्या लेते हैं, और उसकी लंबाई को इकाई घोषित करते हैं)।

"0-स्टार्ट" बीम से हम तीर की दिशा में कोनों को बिछाते हैं (चित्र देखें)।

हमें वृत्त पर संगत बिंदु मिलते हैं। इसलिए, यदि हम प्रत्येक अक्ष पर बिंदुओं को प्रक्षेपित करते हैं, तो हमें उपरोक्त श्रृंखला से बिल्कुल मान प्राप्त होंगे।

आप पूछते हैं, ऐसा क्यों है?

आइए हर चीज़ का विश्लेषण न करें। आइए विचार करें सिद्धांत, जो आपको अन्य समान स्थितियों से निपटने की अनुमति देगा।

त्रिभुज AOB आयताकार है और इसमें शामिल है। और हम जानते हैं कि कोण b के विपरीत एक पैर कर्ण के आधे आकार का है (हमारे पास कर्ण = वृत्त की त्रिज्या, यानी 1 है)।

इसका मतलब है AB= (और इसलिए OM=)। और पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

मुझे आशा है कि कुछ पहले से ही स्पष्ट हो रहा है?

तो बिंदु B मान के अनुरूप होगा, और बिंदु M मान के अनुरूप होगा

पहली तिमाही के अन्य मूल्यों के साथ भी ऐसा ही है।

जैसा कि आप समझते हैं, परिचित धुरी (बैल) होगी कोसाइन अक्ष, और अक्ष (oy) – ज्या की धुरी . बाद में।

कोसाइन अक्ष के साथ शून्य के बाईं ओर (साइन अक्ष के साथ शून्य से नीचे) निश्चित रूप से होगा नकारात्मक मान.

तो, यहाँ वह सर्वशक्तिमान है, जिसके बिना त्रिकोणमिति में कहीं नहीं है।

लेकिन हम इस बारे में बात करेंगे कि त्रिकोणमितीय वृत्त का उपयोग कैसे करें।

त्रिकोणमितीय वृत्त पर कोणों की गिनती।

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह लगभग पिछले पाठ जैसा ही है। वहाँ अक्ष हैं, एक वृत्त है, एक कोण है, सब कुछ क्रम में है। तिमाही संख्याएँ जोड़ी गईं (बड़े वर्ग के कोनों में) - पहली से चौथी तक। यदि कोई नहीं जानता तो क्या होगा? जैसा कि आप देख सकते हैं, क्वार्टर (इन्हें भी कहा जाता है एक सुन्दर शब्द"चतुर्भुज") को वामावर्त क्रमांकित किया गया है। अक्षों पर कोण मान जोड़े गए। सब कुछ स्पष्ट है, कोई समस्या नहीं.

और एक हरा तीर जोड़ा गया है. एक प्लस के साथ. इसका मतलब क्या है? मैं आपको याद दिला दूं कि कोण का निश्चित पक्ष हमेशा सकारात्मक अर्ध-अक्ष OX पर कील लगाया गया। इसलिए, यदि हम कोण के गतिशील पक्ष को घुमाते हैं प्लस वाले तीर के साथ, यानी तिमाही संख्या के आरोही क्रम में, कोण सकारात्मक माना जाएगा.उदाहरण के तौर पर, चित्र +60° का धनात्मक कोण दिखाता है।

अगर हम कोनों को अलग रख दें विपरीत दिशा में, दक्षिणावर्त, कोण ऋणात्मक माना जायेगा.अपने कर्सर को चित्र पर घुमाएँ (या अपने टेबलेट पर चित्र को स्पर्श करें), आपको ऋण चिह्न के साथ एक नीला तीर दिखाई देगा। यह ऋणात्मक कोण पढ़ने की दिशा है। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक कोण (- 60°) दिखाया गया है। और आप यह भी देखेंगे कि अक्षों पर संख्याएँ कैसे बदल गई हैं... मैंने उन्हें ऋणात्मक कोणों में भी बदल दिया है। चतुर्थांशों की संख्या नहीं बदलती।

आमतौर पर पहली गलतफहमियां यहीं से शुरू होती हैं। ऐसा कैसे!? क्या होगा यदि किसी वृत्त पर एक ऋणात्मक कोण एक धनात्मक कोण से मेल खाता है? और सामान्य तौर पर, यह पता चलता है कि गतिमान पक्ष (या संख्या वृत्त पर बिंदु) की एक ही स्थिति को ऋणात्मक कोण और धनात्मक दोनों कहा जा सकता है!?

हाँ। यह सही है। मान लीजिए कि एक वृत्त पर 90 डिग्री का धनात्मक कोण बनता है ठीक वैसा शून्य से 270 डिग्री के ऋणात्मक कोण के रूप में स्थिति। एक धनात्मक कोण, उदाहरण के लिए, +110° डिग्री लेता है ठीक वैसा ऋणात्मक कोण -250° के रूप में स्थिति।

कोई सवाल ही नहीं। कुछ भी सही है।) सकारात्मक या नकारात्मक कोण गणना का चुनाव कार्य की स्थितियों पर निर्भर करता है। अगर हालत कुछ नहीं कहती स्पष्ट पाठ में कोण के चिह्न के बारे में, (जैसे "सबसे छोटा निर्धारित करें सकारात्मककोण", आदि), तो हम उन मूल्यों के साथ काम करते हैं जो हमारे लिए सुविधाजनक हैं।

अपवाद (हम उनके बिना कैसे रह सकते हैं?!) त्रिकोणमितीय असमानताएं हैं, लेकिन वहां हम इस चाल में महारत हासिल कर लेंगे।

और अब आपके लिए एक प्रश्न. मुझे कैसे पता चला कि 110° कोण की स्थिति -250° कोण की स्थिति के समान है?
मैं संकेत कर दूं कि यह संपूर्ण क्रांति से जुड़ा है। 360° में... स्पष्ट नहीं? फिर हम एक वृत्त बनाते हैं। हम इसे स्वयं कागज पर बनाते हैं। कोने को चिन्हित करना लगभग 110°. और हमें लगता है कि, पूर्ण क्रांति होने तक कितना समय शेष है। बस 250° रह जाएगा...

समझ गया? और अब - ध्यान! यदि कोण 110° और -250° एक वृत्त पर कब्जा करते हैं एक ही बात स्थिति, फिर क्या? हाँ, कोण 110° और -250° हैं ठीक वैसा साइन, कोसाइन, स्पर्शज्या और कोटैंजेंट!
वे। पाप110° = पाप(-250°), सीटीजी110° = सीटीजी(-250°) इत्यादि। अब यह सचमुच महत्वपूर्ण है! और अपने आप में, ऐसे कई कार्य हैं जहां आपको अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता है, और इसके बाद कटौती सूत्रों और त्रिकोणमिति की अन्य जटिलताओं की महारत के आधार के रूप में।

निःसंदेह, मैंने यादृच्छिक रूप से 110° और -250° लिया, विशुद्ध रूप से एक उदाहरण के रूप में। ये सभी समानताएं वृत्त पर समान स्थिति वाले किसी भी कोण के लिए काम करती हैं। 60° और -300°, -75° और 285°, इत्यादि। मुझे तुरंत ध्यान देना चाहिए कि इन जोड़ियों में कोण हैं अलग।लेकिन उनके त्रिकोणमितीय कार्य हैं - समान।

मुझे लगता है कि आप समझते हैं कि नकारात्मक कोण क्या हैं। यह काफी सरल है. वामावर्त - सकारात्मक गिनती। रास्ते में - नकारात्मक. कोण को सकारात्मक या नकारात्मक मानें हम पर निर्भर करता है. हमारी चाहत से. ठीक है, और कार्य से भी, निश्चित रूप से... मुझे आशा है कि आप समझ गए होंगे कि नकारात्मक कोणों से सकारात्मक कोणों की ओर और त्रिकोणमितीय कार्यों में वापस कैसे जाना है। एक वृत्त, एक अनुमानित कोण बनाएं और देखें कि एक पूर्ण क्रांति को पूरा करने के लिए कितना गायब है, यानी। 360° तक.

360° से अधिक कोण.

आइए उन कोणों से निपटें जो 360° से अधिक हैं। क्या ऐसी चीजें हैं? अवश्य हैं। उन्हें एक वृत्त पर कैसे बनाएं? कोई बात नहीं! मान लीजिए कि हमें यह समझने की आवश्यकता है कि 1000° का कोण किस तिमाही में पड़ेगा? आसानी से! हम वामावर्त में एक पूरा चक्कर लगाते हैं (हमें जो कोण दिया गया है वह सकारात्मक है!)। हमने 360° रिवाइंड किया। खैर, चलिए आगे बढ़ते हैं! एक और मोड़ - यह पहले से ही 720° है। कितने बाकी हैं? 280°. यह पूर्ण मोड़ के लिए पर्याप्त नहीं है... लेकिन कोण 270° से अधिक है - और यह तीसरी और चौथी तिमाही के बीच की सीमा है। इसलिए, हमारा 1000° का कोण चौथी तिमाही में आता है। सभी।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह काफी सरल है। मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि 1000° का कोण और 280° का कोण, जो हमने "अतिरिक्त" पूर्ण क्रांतियों को छोड़कर प्राप्त किया है, सख्ती से कहें तो, अलगकोने. लेकिन इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्य ठीक वैसा! वे। पाप1000° = पाप280°, cos1000° = cos280°, आदि। यदि मैं एक ज्या होता, तो मुझे इन दोनों कोणों के बीच अंतर नज़र नहीं आता...

यह सब क्यों आवश्यक है? हमें कोणों को एक से दूसरे में बदलने की आवश्यकता क्यों है? हाँ, सभी एक ही चीज़ के लिए।) भावों को सरल बनाने के लिए। वास्तव में अभिव्यक्ति का सरलीकरण, मुख्य कार्यस्कूल गणित. खैर, और, रास्ते में, सिर को प्रशिक्षित किया जाता है।)

अच्छा, चलो अभ्यास करें?)

हम सवालों का जवाब देते हैं. पहले सरल वाले.

1. -325° कोण किस तिमाही में पड़ता है?

2. 3000° कोण किस तिमाही में पड़ता है?

3. -3000° कोण किस तिमाही में पड़ता है?

कोई समस्या? या अनिश्चितता? आइए धारा 555 पर चलते हैं, त्रिकोणमितीय वृत्त के साथ व्यावहारिक कार्य। वहाँ, इसी के पहले पाठ में " व्यावहारिक कार्य..." सब विस्तार से... में ऐसाअनिश्चितता के प्रश्न होना नहीं करना चाहिए!

4. syn555° का क्या चिन्ह होता है?

5. tg555° का चिन्ह क्या है?

क्या आपने ठान लिया है? महान! क्या आपको कोई संदेह है? आपको धारा 555 पर जाने की आवश्यकता है... वैसे, वहां आप त्रिकोणमितीय वृत्त पर स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट बनाना सीखेंगे। बहुत काम की चीज़ है.

और अब प्रश्न अधिक परिष्कृत हैं.

6. अभिव्यक्ति syn777° को सबसे छोटे धनात्मक कोण की ज्या तक घटाएँ।

7. व्यंजक cos777° को सबसे बड़े ऋणात्मक कोण की कोज्या तक घटाएँ।

8. व्यंजक cos(-777°) को सबसे छोटे धनात्मक कोण की कोज्या तक घटाएँ।

9. व्यंजक syn777° को सबसे बड़े ऋणात्मक कोण की ज्या तक घटाएँ।

क्या, प्रश्न 6-9 ने आपको उलझन में डाल दिया? इसकी आदत डालें, यूनिफ़ाइड स्टेट परीक्षा में आपको ऐसे फॉर्मूलेशन नहीं मिलेंगे... तो ठीक है, मैं इसका अनुवाद करूँगा। सिर्फ आपके लिए!

शब्द "एक अभिव्यक्ति लाओ..." का अर्थ है अभिव्यक्ति को इस प्रकार बदलना कि उसका अर्थ बदल जाए नहीं बदला हैए उपस्थितिअसाइनमेंट के अनुसार बदला गया। तो, कार्य 6 और 9 में हमें एक साइन प्राप्त करना होगा, जिसके अंदर है सबसे छोटा धनात्मक कोण.बाकी सब कुछ मायने नहीं रखता.

मैं उत्तर क्रम से दूंगा (हमारे नियमों का उल्लंघन करते हुए)। लेकिन क्या करें, केवल दो संकेत हैं, और केवल चार चौथाई हैं... आप चुनाव के मामले में खराब नहीं होंगे।

6. पाप57°.

7. cos(-57°).

8. cos57°.

9. -पाप(-57°)

मेरा मानना ​​है कि प्रश्न 6-9 के उत्तर ने कुछ लोगों को भ्रमित कर दिया है। विशेष रूप से -पाप(-57°), वास्तव में?) वास्तव में, कोणों की गणना के प्राथमिक नियमों में त्रुटियों की गुंजाइश होती है... यही कारण है कि मुझे एक पाठ करना पड़ा: "त्रिकोणमितीय वृत्त पर कार्यों के चिह्न कैसे निर्धारित करें और कोण कैसे दें?" धारा 555 में कार्य 4-9 शामिल हैं। सभी ख़तरों के साथ, अच्छी तरह से सुलझाया गया। और वे यहाँ हैं।)

अगले पाठ में हम रहस्यमय रेडियंस और संख्या "पाई" से निपटेंगे। आइए सीखें कि डिग्री को आसानी से और सही तरीके से रेडियन में कैसे बदलें और इसके विपरीत कैसे करें। और हमें यह जानकर आश्चर्य होगा कि साइट पर यह बुनियादी जानकारी है पहले से ही काफी कुछ कस्टम त्रिकोणमिति समस्याओं को हल करने के लिए!

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का चिह्न पूरी तरह से निर्देशांक चतुर्थांश पर निर्भर करता है जिसमें संख्यात्मक तर्क स्थित है। पिछली बार हमने तर्कों को रेडियन माप से डिग्री माप में बदलना सीखा था (पाठ "कोण का रेडियन और डिग्री माप देखें"), और फिर इसी समन्वय तिमाही का निर्धारण करना सीखा। आइए अब वास्तव में साइन, कोसाइन और टेंगेंट का चिह्न निर्धारित करें।

कोण α की ज्या एक बिंदु की कोटि (y निर्देशांक) है त्रिकोणमितीय वृत्त, जो तब होता है जब त्रिज्या को कोण α द्वारा घुमाया जाता है।

कोण α की कोज्या एक त्रिकोणमितीय वृत्त पर एक बिंदु का भुज (x निर्देशांक) है, जो तब होता है जब त्रिज्या को कोण α द्वारा घुमाया जाता है।

कोण α की स्पर्श रेखा ज्या और कोज्या का अनुपात है। या, जो एक ही बात है, y निर्देशांक का x निर्देशांक से अनुपात।

संकेतन: पाप α = y ; cos α = x ; टीजी α = y : x .

ये सभी परिभाषाएँ आपको हाई स्कूल बीजगणित से परिचित हैं। हालाँकि, हमें स्वयं परिभाषाओं में रुचि नहीं है, बल्कि त्रिकोणमितीय वृत्त पर उत्पन्न होने वाले परिणामों में रुचि है। नज़र रखना:

नीला रंग ओए अक्ष (ऑर्डिनेट अक्ष) की सकारात्मक दिशा को इंगित करता है, लाल रंग ओएक्स अक्ष (एब्सिस्सा अक्ष) की सकारात्मक दिशा को इंगित करता है। इस "रडार" पर त्रिकोणमितीय कार्यों के संकेत स्पष्ट हो जाते हैं। विशेष रूप से:

1. पाप α > 0 यदि कोण α I या II निर्देशांक चतुर्थांश में स्थित है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार, साइन एक कोटि (y निर्देशांक) है। और y निर्देशांक I और II समन्वय तिमाहियों में सटीक रूप से सकारात्मक होगा;
2. cos α > 0, यदि कोण α पहले या चौथे निर्देशांक चतुर्थांश में स्थित है। क्योंकि केवल वहां x निर्देशांक (उर्फ एब्सिस्सा) शून्य से अधिक होगा;
3. tan α > 0 यदि कोण α I या III निर्देशांक चतुर्थांश में स्थित है। यह परिभाषा से निम्नानुसार है: आखिरकार, tan α = y : x, इसलिए यह केवल वहीं सकारात्मक है जहां x और y के चिह्न मेल खाते हैं। यह पहली समन्वय तिमाही (यहां x > 0, y > 0) और तीसरी समन्वय तिमाही (x) में होता है< 0, y < 0).

स्पष्टता के लिए, आइए हम प्रत्येक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन - साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा - के संकेतों को अलग-अलग "रडार" पर नोट करें। हमें निम्नलिखित चित्र मिलता है:

कृपया ध्यान दें: अपनी चर्चाओं में मैंने चौथे त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन - कोटैंजेंट के बारे में कभी बात नहीं की। तथ्य यह है कि कोटैंजेंट चिह्न स्पर्शरेखा चिह्नों से मेल खाते हैं - वहां कोई विशेष नियम नहीं हैं।

अब मैं गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा परीक्षण से समस्या बी11 के समान उदाहरणों पर विचार करने का प्रस्ताव करता हूं, जो 27 सितंबर, 2011 को हुआ था। सबसे उचित तरीकासिद्धांत को समझना अभ्यास है। खूब अभ्यास करने की सलाह दी जाती है. बेशक, कार्यों की शर्तें थोड़ी बदल गईं।

काम। त्रिकोणमितीय कार्यों और अभिव्यक्तियों के संकेत निर्धारित करें (फ़ंक्शन के मानों की गणना करने की आवश्यकता नहीं है):

1. पाप(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. टीजी(5π/3);
4. पाप (3π/4) क्योंकि (5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. पाप (5π/6) क्योंकि (7π/4);
7. tan (3π/4) cos (5π/3);
8. सीटीजी (4π/3) टीजी (π/6)।

कार्य योजना यह है: पहले हम सभी कोणों को रेडियन माप से डिग्री (π → 180°) में परिवर्तित करते हैं, और फिर देखते हैं कि परिणामी संख्या किस समन्वय तिमाही में निहित है। तिमाहियों को जानने के बाद, हम आसानी से संकेत पा सकते हैं - वर्णित नियमों के अनुसार। हमारे पास है:

1. पाप (3π/4) = पाप (3 · 180°/4) = पाप 135°. चूँकि 135° ∈, यह II निर्देशांक चतुर्थांश से एक कोण है। लेकिन दूसरी तिमाही में ज्या धनात्मक है, इसलिए पाप (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7·180°/6) = cos 210°. क्योंकि 210° ∈, यह तीसरे निर्देशांक चतुर्थांश से कोण है, जिसमें सभी कोसाइन ऋणात्मक हैं। इसलिए cos(7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. 300° ∈ के बाद से, हम चतुर्थ तिमाही में हैं, जहां स्पर्शरेखा नकारात्मक मान लेती है। इसलिए tan (5π/3)< 0;
4. पाप (3π/4) क्योंकि (5π/6) = पाप (3 180°/4) क्योंकि (5 180°/6) = पाप 135° क्योंकि 150°। आइए साइन से निपटें: क्योंकि 135° ∈, यह दूसरी तिमाही है जिसमें ज्याएँ धनात्मक हैं, अर्थात्। पाप (3π/4) > 0. अब हम कोसाइन के साथ काम करते हैं: 150° ∈ - फिर से दूसरी तिमाही, वहां कोसाइन नकारात्मक हैं। इसलिए cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°। हम कोसाइन को देखते हैं: 120° ∈ II समन्वय तिमाही है, इसलिए कॉस (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый नियमित कोणत्रिकोणमिति में)। वहां स्पर्शरेखा धनात्मक है, इसलिए tan (π/4) > 0. फिर से हमें एक उत्पाद मिलता है जिसमें कारकों के अलग-अलग चिह्न होते हैं। चूँकि "माइनस बाय प्लस माइनस देता है", हमारे पास है: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. पाप (5π/6) क्योंकि (7π/4) = पाप (5 180°/6) क्योंकि (7 180°/4) = पाप 150° क्योंकि 315°। हम साइन के साथ काम करते हैं: 150° ∈ के बाद से, हम II समन्वय तिमाही के बारे में बात कर रहे हैं, जहां साइन सकारात्मक हैं। इसलिए, पाप (5π/6) > 0. इसी तरह, 315° ∈ IV समन्वय तिमाही है, वहां कोसाइन सकारात्मक हैं। इसलिए cos (7π/4) > 0. हमने दो धनात्मक संख्याओं का गुणनफल प्राप्त किया है - ऐसा व्यंजक सदैव धनात्मक होता है। हम निष्कर्ष निकालते हैं: पाप (5π/6) क्योंकि (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°। लेकिन कोण 135° ∈ दूसरी तिमाही है, यानी। टीजी(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. चूँकि "माइनस बाय प्लस एक माइनस साइन देता है," हमारे पास है: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. सीटीजी (4π/3) टीजी (π/6) = सीटीजी (4 180°/3) टीजी (180°/6) = सीटीजी 240° टीजी 30°। हम कोटैंजेंट तर्क को देखते हैं: 240° ∈ III समन्वय तिमाही है, इसलिए ctg (4π/3) > 0. इसी तरह, स्पर्शरेखा के लिए हमारे पास है: 30° ∈ I समन्वय तिमाही है, यानी। सबसे सरल कोण. इसलिए tan (π/6) > 0. फिर से हमारे पास दो सकारात्मक अभिव्यक्तियाँ हैं - उनका उत्पाद भी सकारात्मक होगा। इसलिए cot (4π/3) tg (π/6) > 0.

अंत में, आइए कुछ और देखें जटिल कार्य. त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के चिह्न का पता लगाने के अलावा, आपको यहां थोड़ा गणित करना होगा - ठीक उसी तरह जैसे यह वास्तविक समस्याओं B11 में किया जाता है। सिद्धांत रूप में, ये लगभग वास्तविक समस्याएं हैं जो वास्तव में गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा में दिखाई देती हैं।

काम। यदि पाप 2 α = 0.64 और α ∈ [π/2; π].

चूँकि पाप 2 α = 0.64, हमारे पास है: पाप α = ±0.8। जो कुछ बचा है वह तय करना है: प्लस या माइनस? शर्त के अनुसार, कोण α ∈ [π/2; π] द्वितीय समन्वय तिमाही है, जहां सभी ज्याएँ धनात्मक हैं। इसलिए, पाप α = 0.8 - संकेतों के साथ अनिश्चितता समाप्त हो जाती है।

काम। यदि cos 2 α = 0.04 और α ∈ [π; 3π/2]।

हम समान रूप से कार्य करते हैं, अर्थात्। निकालना वर्गमूल: cos 2 α = 0.04 ⇒ cos α = ±0.2. शर्त के अनुसार, कोण α ∈ [π; 3π/2], यानी हम तीसरी समन्वित तिमाही के बारे में बात कर रहे हैं। वहां सभी कोसाइन ऋणात्मक हैं, इसलिए cos α = −0.2.

काम। यदि पाप 2 α = 0.25 और α ∈ है तो पाप α ज्ञात करें।

हमारे पास है: पाप 2 α = 0.25 ⇒ पाप α = ±0.5। हम कोण को फिर से देखते हैं: α ∈ IV समन्वय तिमाही है, जिसमें, जैसा कि हम जानते हैं, साइन नकारात्मक होगा। इस प्रकार, हम निष्कर्ष निकालते हैं: पाप α = −0.5।

काम। tan α ज्ञात करें यदि tan 2 α = 9 और α ∈ है।

सब कुछ समान है, केवल स्पर्शरेखा के लिए। वर्गमूल निकालें: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3। लेकिन शर्त के अनुसार, कोण α ∈ I समन्वय तिमाही है। सभी त्रिकोणमितीय फलन, सहित। स्पर्शरेखा, धनात्मक हैं, अत: tan α = 3. बस!

स्पर्शरेखा (टीजी x) और कोटैंजेंट (सीटीजी x) के लिए संदर्भ डेटा। ज्यामितीय परिभाषा, गुण, ग्राफ़, सूत्र। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट, व्युत्पन्न, अभिन्न, श्रृंखला विस्तार की तालिका। जटिल चरों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ। अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के साथ संबंध.

ज्यामितीय परिभाषा

|बीडी|
- बिंदु A पर केंद्र वाले वृत्त के चाप की लंबाई।

α रेडियन में व्यक्त कोण है। स्पर्शरेखा () टैन α कर्ण और पैर के बीच के कोण α के आधार पर एक त्रिकोणमितीय फलन हैसही त्रिकोण

, विपरीत भुजा |BC| की लंबाई के अनुपात के बराबर आसन्न पैर की लंबाई तक |AB| .) कोटैंजेंट (

सीटीजी α

एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| विपरीत पैर की लंबाई तक |बीसी| .स्पर्शरेखा

कहाँ
.
;
;
.

एन

- साबुत।

एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| विपरीत पैर की लंबाई तक |बीसी| .स्पर्शरेखा

पश्चिमी साहित्य में, स्पर्शरेखा को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.
स्पर्शरेखा फलन का ग्राफ़, y = tan x
;
;
.

कोटैंजेंट

पश्चिमी साहित्य में, कोटैंजेंट को इस प्रकार दर्शाया गया है:

निम्नलिखित नोटेशन भी स्वीकार किए जाते हैं:

कोटैंजेंट फ़ंक्शन का ग्राफ़, y = ctg x स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के गुणदौरा फ़ंक्शंस y =टीजी एक्स

और y =

सीटीजी एक्स

अवधि π के साथ आवर्ती हैं।

समता विपरीत पैर की लंबाई तक |बीसी| .स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्य विषम हैं।

	परिभाषा और मूल्यों के क्षेत्र, बढ़ते, घटते स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के गुण	परिभाषा और मूल्यों के क्षेत्र, बढ़ते, घटते फ़ंक्शंस y =
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं (
- साबुत)।	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
आप=		-
दायरा और निरंतरता	-
मूल्यों की सीमा	-	-
की बढ़ती 0
अवरोही 0	परिभाषा और मूल्यों के क्षेत्र, बढ़ते, घटते 0	-

चरम

शून्य, y =

; ;
; ;
;

कोटि अक्ष के साथ बिंदुओं को अवरोधित करें, x =

सूत्रों

साइन और कोसाइन का उपयोग करते हुए अभिव्यक्तियाँ

योग और अंतर से स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के सूत्र

यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान प्रस्तुत करती है।

सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ

;
;

संजात

; .

.
फ़ंक्शन के चर x के संबंध में nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
स्पर्शरेखा के लिए सूत्र व्युत्पन्न करना > > > ; कोटैंजेंट के लिए > > >

अभिन्न

शृंखला विस्तार

x की घातों में स्पर्शरेखा का विस्तार प्राप्त करने के लिए, आपको विस्तार के कई पद लेने होंगे बिजली की श्रृंखलाकार्यों के लिए पाप एक्सऔर क्योंकि xऔर इन बहुपदों को एक दूसरे से विभाजित करें।

इससे निम्नलिखित सूत्र तैयार होते हैं।

पर ।
पर । कहाँबटालियन
;
;
- बर्नौली संख्याएँ। वे या तो पुनरावृत्ति संबंध से निर्धारित होते हैं:
कहाँ ।

या लाप्लास के सूत्र के अनुसार:

उलटा कार्यउलटा कार्य

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट क्रमशः आर्कटैंजेंट और आर्कटैंजेंट हैं।

आर्कटिक, आर्कटेंजेंट विपरीत पैर की लंबाई तक |बीसी| .स्पर्शरेखा

, कहाँ

आर्कटिक, आर्कटेंजेंट विपरीत पैर की लंबाई तक |बीसी| .स्पर्शरेखा

आर्ककोटैंजेंट, आर्कसीटीजी
प्रयुक्त साहित्य:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

जी. कॉर्न, वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए गणित की पुस्तिका, 2012। आपको कई विशिष्ट परिणाम स्थापित करने की अनुमति देता है -साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के गुण

. इस लेख में हम तीन मुख्य गुणों पर गौर करेंगे। उनमें से पहला कोण α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के संकेतों को इंगित करता है, जो इस पर निर्भर करता है कि किस कोण का समन्वय तिमाही α है। आगे हम आवधिकता की संपत्ति पर विचार करेंगे, जो कोण α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों की अपरिवर्तनीयता स्थापित करता है जब यह कोण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से बदलता है। तीसरा गुण विपरीत कोणों α और −α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मानों के बीच संबंध को व्यक्त करता है।

यदि आप फलन साइन, कोसाइन, टैंगेंट और कोटैंजेंट के गुणों में रुचि रखते हैं, तो आप लेख के संबंधित अनुभाग में उनका अध्ययन कर सकते हैं।

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चौथाई भाग द्वारा ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के चिह्न

इस पैराग्राफ में नीचे वाक्यांश "I, II, III और IV समन्वय तिमाही का कोण" दिखाई देगा। आइये बताते हैं क्या हैं ये कोण.

आइए एक इकाई वृत्त लें, उस पर प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) अंकित करें, और इसे बिंदु O के चारों ओर एक कोण α द्वारा घुमाएं, और हम मान लेंगे कि हम बिंदु A 1 (x, y) पर पहुंच जाएंगे। वे कहते हैं किकोण α I, II, III, IV समन्वय चतुर्थांश का कोण है

स्पष्टता के लिए, यहां एक ग्राफिक चित्रण है। नीचे दिए गए चित्र 30, -210, 585, और -45 डिग्री के घूर्णन कोण दिखाते हैं, जो क्रमशः I, II, III और IV समन्वय क्वार्टर के कोण हैं।

एंगल्स 0, ±90, ±180, ±270, ±360, ...डिग्रियाँ किसी भी समन्वित तिमाही से संबंधित नहीं हैं।

अब आइए जानें कि किन चिह्नों में घूर्णन कोण α की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेंट का मान होता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि कौन सा चतुर्भुज कोण α है।

साइन और कोसाइन के लिए यह करना आसान है।

परिभाषा के अनुसार, कोण α की ज्या बिंदु A 1 की कोटि है। जाहिर है, I और II समन्वय तिमाहियों में यह सकारात्मक है, और III और IV तिमाहियों में यह नकारात्मक है। इस प्रकार, कोण α की ज्या में पहली और दूसरी तिमाही में प्लस चिह्न होता है, और तीसरी और छठी तिमाही में ऋण चिह्न होता है।

बदले में, कोण α की कोज्या बिंदु A 1 का भुज है। पहली और चौथी तिमाही में यह सकारात्मक है, और दूसरी और तीसरी तिमाही में यह नकारात्मक है। नतीजतन, I और IV तिमाहियों में कोण α की कोज्या का मान सकारात्मक है, और II और III तिमाहियों में वे नकारात्मक हैं।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के चौथाई भाग द्वारा चिह्नों को निर्धारित करने के लिए, आपको उनकी परिभाषाओं को याद रखना होगा: स्पर्शरेखा बिंदु A 1 की कोटि का भुज से अनुपात है, और कोटैंजेंट बिंदु A 1 के भुज और कोटि का अनुपात है। फिर से संख्याओं को विभाजित करने के नियमउसी के साथ और विभिन्न संकेतइससे यह निष्कर्ष निकलता है कि जब बिंदु A 1 के भुज और कोटि चिह्न समान होते हैं तो स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट में प्लस चिह्न होता है, और जब बिंदु A 1 के भुज और कोटि चिह्न भिन्न होते हैं तो ऋण चिह्न होता है। नतीजतन, कोण के स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट में I और III समन्वय तिमाहियों में + चिह्न होता है, और II और IV तिमाहियों में ऋण चिह्न होता है।

वास्तव में, उदाहरण के लिए, पहली तिमाही में बिंदु A 1 का भुज x और कोटि y दोनों सकारात्मक हैं, फिर भागफल x/y और भागफल y/x दोनों सकारात्मक हैं, इसलिए, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट में + चिह्न होते हैं। और दूसरी तिमाही में, भुज x ऋणात्मक है, और कोटि y धनात्मक है, इसलिए x/y और y/x दोनों ऋणात्मक हैं, इसलिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट में ऋण चिह्न होता है।

आइए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की अगली संपत्ति पर चलते हैं।

आवधिकता संपत्ति

अब हम किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की शायद सबसे स्पष्ट संपत्ति को देखेंगे। यह इस प्रकार है: जब कोण पूर्ण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से बदलता है, तो इस कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान नहीं बदलते हैं।

यह समझ में आता है: जब कोण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से बदलता है, तो हम हमेशा यूनिट सर्कल पर प्रारंभिक बिंदु ए से बिंदु ए 1 तक पहुंचेंगे, इसलिए, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान अपरिवर्तित रहते हैं, चूँकि बिंदु A 1 के निर्देशांक अपरिवर्तित हैं।

सूत्रों का उपयोग करते हुए, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की मानी गई संपत्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है: पाप (α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, जहां α रेडियन में घूर्णन का कोण है, z कोई भी है, जिसका पूर्ण मान पूर्ण क्रांतियों की संख्या को इंगित करता है जिसके द्वारा कोण α बदलता है, और संख्या z का चिह्न दिशा मोड़ को इंगित करता है।

यदि घूर्णन कोण α को डिग्री में निर्दिष्ट किया गया है, तो संकेतित सूत्र को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा पाप(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

आइए इस संपत्ति के उपयोग के उदाहरण दें। उदाहरण के लिए, , क्योंकि , ए . यहाँ एक और उदाहरण है: या.

यह गुण, कमी सूत्रों के साथ, "बड़े" कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों की गणना करते समय अक्सर उपयोग किया जाता है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की मानी जाने वाली संपत्ति को कभी-कभी आवधिकता की संपत्ति कहा जाता है।

विपरीत कोणों की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के गुण

मान लीजिए A 1 प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) को बिंदु O के चारों ओर कोण α द्वारा घुमाने से प्राप्त बिंदु है, और बिंदु A 2 बिंदु A को कोण α के विपरीत कोण −α द्वारा घुमाने का परिणाम है।

विपरीत कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की संपत्ति काफी स्पष्ट तथ्य पर आधारित है: ऊपर उल्लिखित बिंदु ए 1 और ए 2 या तो मेल खाते हैं (पर) या ऑक्स अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से स्थित हैं। अर्थात्, यदि बिंदु A 1 के निर्देशांक (x, y) हैं, तो बिंदु A 2 के निर्देशांक (x, −y) होंगे। यहां से, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं का उपयोग करके, हम समानताएं लिखते हैं और।
उनकी तुलना करने पर, हम फॉर्म के विपरीत कोणों α और −α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंधों पर आते हैं।
यह सूत्रों के रूप में विचाराधीन संपत्ति है।

आइए इस संपत्ति के उपयोग के उदाहरण दें। उदाहरण के लिए, समानताएं और .

यह केवल ध्यान देने योग्य है कि पिछली संपत्ति की तरह, विपरीत कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की संपत्ति का उपयोग अक्सर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों की गणना करते समय किया जाता है, और आपको नकारात्मक से पूरी तरह से बचने की अनुमति मिलती है। कोण.

सन्दर्भ.

• बीजगणित:पाठयपुस्तक 9वीं कक्षा के लिए. औसत स्कूल/यु. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंडयुक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा; एड. एस. ए. तेल्याकोवस्की - एम.: शिक्षा, 1990. - 272 पीपी.: आईएसबीएन 5-09-002727-7
• बीजगणितऔर विश्लेषण की शुरुआत: प्रोक. 10-11 ग्रेड के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / ए. एन. कोलमोगोरोव, ए. एम. अब्रामोव, यू. पी. डुडनित्सिन और अन्य; एड. ए. एन. कोलमोगोरोव - 14वां संस्करण - एम.: शिक्षा, 2004. - 384 पीपी. - आईएसबीएन 5-09-013651-3।
• बश्माकोव एम.आई.बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत: पाठ्यपुस्तक। 10-11 ग्रेड के लिए. औसत विद्यालय - तीसरा संस्करण। - एम.: शिक्षा, 1993. - 351 पी.: बीमार। - आईएसबीएन 5-09-004617-4.
• गुसेव वी.ए., मोर्दकोविच ए.जी.गणित (तकनीकी स्कूलों में प्रवेश करने वालों के लिए एक मैनुअल): प्रोक। भत्ता.- एम.; उच्च स्कूल, 1984.-351 पी., बीमार।