व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन तालिका. आइए हम सभी व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के माध्यम से व्यक्त करें

पाठ 32-33. रिवर्स त्रिकोणमितीय कार्य

09.07.2015 5917 0

लक्ष्य: त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान लिखने के लिए व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों और उनके उपयोग पर विचार करें।

I. पाठ के विषय और उद्देश्य का संचार करना

द्वितीय. नई सामग्री सीखना

1. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन

आइए इस विषय पर अपनी चर्चा निम्नलिखित उदाहरण से शुरू करें।

उदाहरण 1

आइए समीकरण हल करें:ए) पाप एक्स = 1/2; बी) पाप एक्स = ए।

ए) कोटि अक्ष पर हम मान 1/2 आलेखित करते हैं और कोण बनाते हैंएक्स 1 और x2, जिसके लिएपाप एक्स = 1/2. इस स्थिति में x1 + x2 = π, जहाँ से x2 = π -एक्स 1 . त्रिकोणमितीय कार्यों के मानों की तालिका का उपयोग करके, हम x1 = π/6 का मान ज्ञात करते हैंआइए साइन फ़ंक्शन की आवधिकता को ध्यान में रखें और इस समीकरण के समाधान लिखें:जहाँ k ∈ Z.

बी) जाहिर है, समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्मपाप x = a पिछले पैराग्राफ के समान ही है। बेशक, अब मान a को कोर्डिनेट अक्ष के साथ प्लॉट किया गया है। किसी तरह कोण x1 को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है। हम इस कोण को प्रतीक से दर्शाने पर सहमत हुएआर्कसिन एक। फिर इस समीकरण के समाधान को फॉर्म में लिखा जा सकता हैइन दोनों सूत्रों को एक में जोड़ा जा सकता है:एक ही समय पर

शेष व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन इसी प्रकार प्रस्तुत किये गये हैं।

बहुत बार कोण का परिमाण निर्धारित करना आवश्यक होता है ज्ञात मूल्यइसका त्रिकोणमितीय कार्य. ऐसी समस्या बहुमूल्यांकित है - ऐसे अनगिनत कोण हैं जिनके त्रिकोणमितीय फलन समान मान के बराबर होते हैं। इसलिए, त्रिकोणमितीय कार्यों की एकरसता के आधार पर, कोणों को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को पेश किया जाता है।

संख्या a का आर्कसाइन (arcsin , जिसकी ज्या a के बराबर है, अर्थात्।

किसी संख्या की चाप कोज्याए(आर्कोस a) अंतराल से एक कोण a है जिसकी कोज्या a के बराबर है, अर्थात।

किसी संख्या का आर्कटिकए(आर्कटीजी ए) - अंतराल से ऐसा कोणजिसकी स्पर्शरेखा a के बराबर है, अर्थातटीजी ए = ए.

किसी संख्या की स्पर्शरेखाए(arcctg a) अंतराल (0; π) से एक कोण a है, जिसका कोटैंजेंट a के बराबर है, यानी।सीटीजी ए = ए.

उदाहरण 2

पता लगाते हैं:

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाओं को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 3

चलिए हिसाब लगाते हैं

माना कोण a = आर्कसिन 3/5, फिर परिभाषा के अनुसारपाप ए = 3/5 और . इसलिए, हमें खोजने की जरूरत हैओल एक। मूल त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:यह ध्यान में रखा जाता है कि cos a ≥ 0. तो,

कार्य गुण	समारोह
	y = आर्क्सिन x	y = आर्ककोस x	y = आर्कटान x	वाई = आर्कसीटीजी एक्स
परिभाषा का क्षेत्र	एक्स ∈ [-1; 1]	एक्स ∈ [-1; 1]	x ∈ (-∞; +∞)	x ∈ (-∞ +∞)
मूल्यों की सीमा	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
समता	विषम	न तो सम और न ही विषम	विषम	न तो सम और न ही विषम
फ़ंक्शन शून्य (y = 0)	x = 0 पर	x = 1 पर	x = 0 पर	आप ≠ 0
संकेत स्थिरता के अंतराल	y > 0 x ∈ (0; 1] के लिए, पर< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 for x ∈ [-1; 1)	y > 0 x ∈ (0; +∞) के लिए, पर< 0 при х ∈ (-∞; 0)	x ∈ (-∞; +∞) के लिए y > 0
एक लय	की बढ़ती	अवरोही	की बढ़ती	अवरोही
त्रिकोणमितीय फलन से संबंध	पाप y = x	क्योंकि y = x	टीजी वाई = एक्स	सीटीजी वाई = एक्स
अनुसूची

चलिए कुछ और देते हैं विशिष्ट उदाहरणव्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाओं और बुनियादी गुणों से संबंधित।

उदाहरण 4

आइए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें

फ़ंक्शन y को परिभाषित करने के लिए, असमानता को संतुष्ट करना आवश्यक हैजो असमानताओं की प्रणाली के बराबर हैपहली असमानता का समाधान अंतराल x है∈ (-∞; +∞), दूसरा -यह अंतराल और यह असमानताओं की प्रणाली का समाधान है, और इसलिए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र है

उदाहरण 5

आइए फ़ंक्शन के परिवर्तन का क्षेत्र खोजें

आइए फ़ंक्शन के व्यवहार पर विचार करेंजेड = 2x - x2 (चित्र देखें)।

यह स्पष्ट है कि z ∈ (-∞; 1]। उस तर्क पर विचार करते हुएजेड आर्क कोटैंजेंट फ़ंक्शन निर्दिष्ट सीमा के भीतर बदलता है, तालिका डेटा से हम इसे प्राप्त करते हैंइस प्रकार, परिवर्तन का क्षेत्र

उदाहरण 6

आइए हम सिद्ध करें कि फलन y =आर्कटग x विषम. होने देनातब tg a = -x या x = - tg a = tg (- a), और इसलिए, - a = arctg x या a = - arctg एक्स। इस प्रकार, हम इसे देखते हैंअर्थात y(x) एक विषम फलन है।

उदाहरण 7

आइए हम सभी व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के माध्यम से व्यक्त करें

होने देना यह तो स्पष्ट है तब से

आइए कोण का परिचय दें क्योंकि वह

इसी तरह इसलिए और

इसलिए,

उदाहरण 8

आइए फ़ंक्शन y = का एक ग्राफ़ बनाएंकॉस(आर्क्सिन x).

आइए, फिर a = arcsin x को निरूपित करें आइए इस बात को ध्यान में रखें कि x = पाप a और y = cos a, अर्थात x 2 + y2 = 1, और x (x) पर प्रतिबंध∈ [-1; 1]) और y (y ≥ 0). फिर फ़ंक्शन का ग्राफ़ y =कॉस(आर्कसिन x) एक अर्धवृत्त है.

उदाहरण 9

आइए फ़ंक्शन y = का एक ग्राफ़ बनाएंआर्ककोस (cos x ).

चूंकि कॉस फ़ंक्शन अंतराल पर x परिवर्तन [-1; 1], तो फ़ंक्शन y संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर परिभाषित होता है और खंड पर भिन्न होता है। आइए ध्यान रखें कि y =आर्ककोस(कॉसक्स) = x खंड पर; फलन y सम है और आवर्त 2π के साथ आवर्ती है। यह मानते हुए कि फ़ंक्शन में ये गुण हैंक्योंकि x अब ग्राफ़ बनाना आसान है.

आइए कुछ उपयोगी समानताओं पर ध्यान दें:

उदाहरण 10

आइए सबसे छोटा और खोजें उच्चतम मूल्यकार्यचलो निरूपित करें तब आइए फ़ंक्शन प्राप्त करें इस फ़ंक्शन का बिंदु पर न्यूनतम है z = π/4, और यह बराबर है फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान बिंदु पर प्राप्त किया जाता है z = -π/2, और यह बराबर है इस प्रकार, और

उदाहरण 11

आइए समीकरण हल करें

आइए इसे ध्यान में रखें तब समीकरण इस प्रकार दिखता है:या कहाँ आर्कटेंजेंट की परिभाषा से हमें मिलता है:

2. सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना

उदाहरण 1 के समान, आप सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान प्राप्त कर सकते हैं।

समीकरण	समाधान
टीजीएक्स = ए
सीटीजी एक्स = ए

उदाहरण 12

आइए समीकरण हल करें

चूँकि साइन फ़ंक्शन विषम है, हम समीकरण को फॉर्म में लिखते हैंइस समीकरण के समाधान:हम इसे कहां से पाते हैं?

उदाहरण 13

आइए समीकरण हल करें

दिए गए सूत्र का उपयोग करके, हम समीकरण के समाधान लिखते हैं:और हम ढूंढ लेंगे

ध्यान दें कि समीकरणों को हल करते समय विशेष मामलों में (a = 0; ±1)।पाप x = ए और क्योंकि x = और सामान्य सूत्रों का उपयोग नहीं करना, बल्कि इकाई वृत्त के आधार पर समाधान लिखना आसान और अधिक सुविधाजनक है:

समीकरण पाप x = 1 समाधान के लिए

समीकरण पाप x = 0 समाधान x = π k के लिए;

समीकरण पाप x = -1 समाधान के लिए

कॉस समीकरण के लिए x = 1 समाधान x = 2πक ;

समीकरण cos x = 0 समाधान के लिए

समीकरण cos x = -1 समाधान के लिए

उदाहरण 14

आइए समीकरण हल करें

के बाद से इस उदाहरण मेंसमीकरण का एक विशेष मामला है, तो संबंधित सूत्र का उपयोग करके हम समाधान लिखते हैं:हम इसे कहां से पाते हैं?

तृतीय. नियंत्रण प्रश्न (फ्रंटल सर्वेक्षण)

1. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य गुणों को परिभाषित करें और सूचीबद्ध करें।

2. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ दीजिए।

3. सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना।

चतुर्थ. पाठ असाइनमेंट

§ 15, संख्या 3 (ए, बी); 4 (सी, डी); 7(ए); 8(ए); 12 (बी); 13(ए); 15 (सी); 16(ए); 18 (ए, बी); 19 (सी); 21;

§ 16, संख्या 4 (ए, बी); 7(ए); 8 (बी); 16 (ए, बी); 18(ए); 19 (सी, डी);

§ 17, संख्या 3 (ए, बी); 4 (सी, डी); 5 (ए, बी); 7 (सी, डी); 9 (बी); 10 (ए, सी)।

वी. होमवर्क

§ 15, नंबर 3 (सी, डी); 4 (ए, बी); 7 (सी); 8 (बी); 12(ए); 13(बी); 15 (जी); 16 (बी); 18 (सी, डी); 19 (जी); 22;

§ 16, नंबर 4 (सी, डी); 7(बी); 8(ए); 16 (सी, डी); 18 (बी); 19 (ए, बी);

§ 17, नंबर 3 (सी, डी); 4 (ए, बी); 5 (सी, डी); 7 (ए, बी); 9 (डी); 10 (बी, डी)।

VI. रचनात्मक कार्य

1. फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढें:

उत्तर:

2. फ़ंक्शन की सीमा ज्ञात करें:

उत्तर:

3. फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं:

सातवीं. पाठों का सारांश

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन गणितीय फलन हैं जो त्रिकोणमितीय फलन के व्युत्क्रम होते हैं।

फलन y=arcsin(x)

किसी संख्या α की आर्कसाइन अंतराल [-π/2;π/2] से एक संख्या α है जिसकी साइन α के बराबर है।
किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़
अंतराल [-π/2;π/2] पर फलन y=sin⁡(x), सख्ती से बढ़ रहा है और निरंतर है; इसलिए उसके पास है उलटा कार्य, सख्ती से बढ़ रहा है और निरंतर।
फ़ंक्शन y=sin⁡(x) के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन, जहां x ∈[-π/2;π/2], को आर्क्साइन कहा जाता है और इसे y=arcsin(x) से दर्शाया जाता है, जहां x∈[-1;1 ].
तो, व्युत्क्रम फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुसार, आर्कसाइन की परिभाषा का क्षेत्र खंड [-1;1] है, और मानों का सेट खंड [-π/2;π/2] है।
ध्यान दें कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=arcsin(x), जहां x ∈[-1;1], फ़ंक्शन के ग्राफ़ के सममित है y=sin(⁡x), जहां x∈[-π/2;π /2], पहले और तीसरे क्वार्टर के निर्देशांक कोणों के समद्विभाजक के संबंध में।

फ़ंक्शन रेंज y=arcsin(x).

उदाहरण क्रमांक 1.

आर्क्सिन(1/2) ज्ञात करें?

चूँकि फ़ंक्शन arcsin(x) के मानों की सीमा अंतराल [-π/2;π/2] से संबंधित है, तो केवल मान π/6 उपयुक्त है, इसलिए, arcsin(1/2) =π/ 6.
उत्तर:π/6

उदाहरण क्रमांक 2.
आर्क्सिन(-(√3)/2) ज्ञात करें?

चूंकि मानों की सीमा arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] है, तो केवल मान -π/3 उपयुक्त है, इसलिए, arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

फलन y=arccos(x)

किसी संख्या α की चाप कोज्या अंतराल से एक संख्या α होती है जिसकी कोज्या α के बराबर होती है।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़

खंड पर फ़ंक्शन y=cos(⁡x) सख्ती से घट रहा है और निरंतर है; इसलिए, इसका उलटा कार्य है, सख्ती से घटता हुआ और निरंतर।
फ़ंक्शन y=cos⁡x, जहां x ∈, के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन कहा जाता है आर्क कोसाइनऔर इसे y=arccos(x) द्वारा निरूपित किया जाता है, जहां x ∈[-1;1]।
तो, व्युत्क्रम फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुसार, आर्क कोसाइन की परिभाषा का क्षेत्र खंड [-1;1] है, और मानों का सेट खंड है।
ध्यान दें कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=arccos(x), जहां x ∈[-1;1] फ़ंक्शन के ग्राफ़ के सममित है y=cos(⁡x), जहां x ∈, के समद्विभाजक के संबंध में पहली और तीसरी तिमाही के कोणों का समन्वय करें।

फ़ंक्शन रेंज y=arccos(x).

उदाहरण संख्या 3.

आर्ककोस(1/2) खोजें?

चूँकि मानों की सीमा arccos(x) x∈ है, तो केवल मान π/3 उपयुक्त है, इसलिए, arccos(1/2) =π/3.
उदाहरण संख्या 4.
आर्ककोस(-(√2)/2) ज्ञात करें?

चूँकि फ़ंक्शन arccos(x) के मानों की सीमा अंतराल से संबंधित है, तो केवल मान 3π/4 उपयुक्त है, इसलिए arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

उत्तर: 3π/4

फलन y=arctg(x)

किसी संख्या α की स्पर्शरेखा अंतराल [-π/2;π/2] से एक संख्या α है जिसकी स्पर्शरेखा α के बराबर है।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़

स्पर्शरेखा फलन निरंतर है और अंतराल (-π/2;π/2) पर सख्ती से बढ़ रहा है; इसलिए, इसका एक उलटा कार्य है जो निरंतर और सख्ती से बढ़ रहा है।
फ़ंक्शन y= tan⁡(x) के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन, जहां x∈(-π/2;π/2); इसे चापस्पर्शरेखा कहा जाता है और इसे y=arctg(x) द्वारा निरूपित किया जाता है, जहां x∈R।
तो, व्युत्क्रम फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुसार, आर्कटेंजेंट की परिभाषा का क्षेत्र अंतराल (-∞;+∞) है, और मानों का सेट अंतराल है
(-π/2;π/2).
ध्यान दें कि फ़ंक्शन का ग्राफ y=arctg(x), जहां x∈R, फ़ंक्शन y= tan⁡x के ग्राफ के सममित है, जहां x ∈ (-π/2;π/2), के सापेक्ष पहली और तीसरी तिमाही के निर्देशांक कोणों का समद्विभाजक।

फ़ंक्शन रेंज y=arctg(x).

उदाहरण क्रमांक 5?

आर्कटान((√3)/3) खोजें।

चूंकि मानों की सीमा arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) है, तो केवल मान π/6 उपयुक्त है, इसलिए, arctg((√3)/3) =π/6.
उदाहरण संख्या 6.
आर्कटग(-1) खोजें?

चूंकि मानों की सीमा arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) है, तो केवल मान -π/4 उपयुक्त है, इसलिए, arctg(-1) = - π/4.

फलन y=arcctg(x)

किसी संख्या α का चाप कोटैंजेंट अंतराल (0;π) से एक संख्या α है जिसका कोटैंजेंट α के बराबर है।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़

अंतराल (0;π) पर, कोटैंजेंट फ़ंक्शन सख्ती से कम हो जाता है; इसके अतिरिक्त, यह इस अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है; इसलिए, अंतराल (0;π) पर, इस फ़ंक्शन का एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन होता है, जो सख्ती से घट रहा है और निरंतर है।
फ़ंक्शन y=ctg(x), जहां x ∈(0;π), के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन को आर्ककोटेंजेंट कहा जाता है और इसे y=arcctg(x) दर्शाया जाता है, जहां x∈R।
अत: व्युत्क्रम फलन की परिभाषा के अनुसार चाप कोटैंजेंट की परिभाषा का क्षेत्र होगा आर, और एक सेट द्वारामान – अंतराल (0;π).फ़ंक्शन का ग्राफ़ y=arcctg(x), जहां x∈R फ़ंक्शन के ग्राफ़ के सममित है y=ctg(x) x∈(0;π),सापेक्ष पहली और तीसरी तिमाही के निर्देशांक कोणों के समद्विभाजक तक।

फ़ंक्शन रेंज y=arcctg(x).

उदाहरण संख्या 7.
आर्कसीटीजी((√3)/3) खोजें?

चूँकि मानों की सीमा arcctg(x) x ∈(0;π) है, तो केवल मान π/3 उपयुक्त है इसलिए arccos((√3)/3) =π/3.

उदाहरण संख्या 8.
आर्कक्टग(-(√3)/3) ज्ञात करें?

चूँकि मानों की सीमा arcctg(x) x∈(0;π) है, तो केवल मान 2π/3 उपयुक्त है, अतः arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

संपादक: अजीवा हुसोव अलेक्जेंड्रोवना, गवरिलिना अन्ना विक्टोरोवना

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाएँ और उनके ग्राफ़ दिए गए हैं। साथ ही व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों को जोड़ने वाले सूत्र, योग और अंतर के सूत्र।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा

चूँकि त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होते हैं, इसलिए उनके व्युत्क्रम फलन अद्वितीय नहीं होते हैं। तो, समीकरण y = पाप एक्स, किसी दिए गए के लिए, अनंत रूप से कई जड़ें हैं। वास्तव में, ज्या की आवर्तता के कारण, यदि x ऐसा मूल है, तो ऐसा ही है x + 2πn(जहाँ n एक पूर्णांक है) समीकरण का मूल भी होगा। इस प्रकार, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन बहुमूल्यांकित होते हैं. उनके साथ काम करना आसान बनाने के लिए, उनके मुख्य अर्थों की अवधारणा पेश की गई है। उदाहरण के लिए, साइन: y = पर विचार करें पाप एक्स. पाप एक्सयदि हम तर्क x को अंतराल तक सीमित रखते हैं, तो उस पर फलन y = होता है नीरस रूप से बढ़ता है। इसलिए, इसका एक अद्वितीय व्युत्क्रम फलन है, जिसे आर्कसाइन कहा जाता है: x =.

आर्क्सिन वाई

जब तक अन्यथा न कहा जाए, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों से हमारा तात्पर्य उनके मुख्य मानों से है, जो निम्नलिखित परिभाषाओं द्वारा निर्धारित होते हैं। आर्कसाइन ( य =) आर्कसिन एक्स साइन का व्युत्क्रम फलन है ( एक्स =

पापी आर्कसाइन ( आर्ककोस एक्स) कोज्या का व्युत्क्रम फलन है ( साइन का व्युत्क्रम फलन है ( आरामदायक), परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट होना।

आर्कटिक ( आर्कसाइन ( आर्कटान एक्स) स्पर्शरेखा का व्युत्क्रम फलन है ( साइन का व्युत्क्रम फलन है ( टीजी वाई), परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट होना।

आर्ककोटैंजेंट ( आर्कसाइन ( आर्कसीटीजी एक्स) कोटैंजेंट का व्युत्क्रम फलन है ( साइन का व्युत्क्रम फलन है ( सीटीजी वाई), परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट होना।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ़

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ़ से प्राप्त किए जाते हैं दर्पण छविसीधी रेखा y = x के सापेक्ष।

आर्कसाइन ( य =

आर्कसाइन ( आर्ककोस एक्स

आर्कसाइन ( आर्कटान एक्स

आर्कसाइन ( आर्कसीटीजी एक्स

अनुभाग देखें ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या, कोटैंजेंट।

मूल सूत्र

यहां आपको उन अंतरालों पर विशेष ध्यान देना चाहिए जिनके लिए सूत्र मान्य हैं।आर्क्सिन(पाप x) = x
पर
पाप(आर्क्सिन एक्स) = एक्सआर्क्सिन(पाप x) = x
आर्ककोस(cos x) = x

cos(arccos x) = xआर्क्सिन(पाप x) = x
आर्कटान(टीजी एक्स) = एक्स
टीजी(आर्कटीजी एक्स) = एक्सआर्क्सिन(पाप x) = x
आर्कसीटीजी(सीटीजी एक्स) = एक्स

सीटीजी(आर्कसीटीजी एक्स) = एक्स

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों से संबंधित सूत्र

योग और अंतर सूत्र

पर या

पर और

योग और अंतर सूत्र

पर या

पर और

पर और

पर

पर और

पर

परव्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन गणितीय विश्लेषण में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हालाँकि, अधिकांश हाई स्कूल के छात्रों के लिए, इस प्रकार के कार्य से जुड़े कार्य महत्वपूर्ण कठिनाइयों का कारण बनते हैं। यह मुख्य रूप से इस तथ्य के कारण है कि कई पाठ्यपुस्तकों में औरपाठ्यपुस्तकें

इस प्रकार की समस्याओं पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है। और यदि छात्र कम से कम किसी तरह व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना करने की समस्याओं का सामना करते हैं, तो ऐसे कार्यों वाले समीकरण और असमानताएं, अधिकांश भाग के लिए, बच्चों को भ्रमित करती हैं। वास्तव में, यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि व्यावहारिक रूप से कोई भी पाठ्यपुस्तक यह नहीं बताती है कि व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों वाले सबसे सरल समीकरणों और असमानताओं को कैसे हल किया जाए।

आइए व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े कई समीकरणों और असमानताओं को देखें और विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ उन्हें हल करें।

उदाहरण 1.

समीकरण हल करें: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

समाधान।

समीकरण से व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन को व्यक्त करने पर, हम पाते हैं:

आर्ककोस (2x + 3) = 5π/6. आइए अब आर्क कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करें। -1 से 1 तक के खंड से संबंधित एक निश्चित संख्या की चाप कोज्या, 0 से π तक के खंड से एक कोण y है, जिससे इसकी कोज्या औरसंख्या के बराबर

एक्स। इसलिए हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

2x + 3 = cos 5π/6.

आइए हम कमी सूत्र का उपयोग करके परिणामी समीकरण का दायां पक्ष लिखें:

2x + 3 = cos (π - π/6)।

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 – √3/2.

आइए दाएँ पक्ष को एक सामान्य विभाजक तक कम करें।

2x = -(6 + √3) / 2;

एक्स = -(6 + √3) / 4. -(6 + √3) / 4 .

उत्तर:

उदाहरण 2.

समीकरण हल करें: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

समीकरण हल करें: cos (arccos (4x – 9)) = x 2 – 5x + 5. चूँकि cos (arcсos x) = x, x के साथ [-1; 1], फिरसिस्टम के बराबर है:

(4x – 9 = x 2 – 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

आइए सिस्टम में शामिल समीकरण को हल करें।

4x – 9 = x 2 – 5x + 5.

यह वर्गाकार है, इसलिए हमें वह मिलता है

एक्स 2 – 9एक्स + 14 = 0;

डी = 81 - 4 14 = 25;

x 1 = (9 + 5) / 2 = 7;

x 2 = (9 – 5) / 2 = 2.

आइये व्यवस्था में शामिल दोहरी असमानता का समाधान करें।

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. सभी भागों में 9 जोड़ें, हमारे पास है:

8 ≤ 4x ≤ 10. प्रत्येक संख्या को 4 से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है:

2 ≤ x ≤ 2.5.

आइए अब हमें प्राप्त उत्तरों को संयोजित करें। यह देखना आसान है कि मूल x = 7 असमानता के उत्तर को संतुष्ट नहीं करता है। इसलिए, समीकरण का एकमात्र समाधान x = 2 है।

उत्तर: 2.

उदाहरण 3.

प्रश्न हल करें: टीजी (आर्कटजी (0.5 – x)) = x 2 – 4x + 2.5.

समीकरण हल करें: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

चूँकि सभी वास्तविक संख्याओं के लिए tg (arctg x) = x, यह समीकरण समीकरण के समतुल्य है:

0.5 – एक्स = एक्स 2 – 4एक्स + 2.5.

आइए परिणाम को हल करें द्विघात समीकरणएक विवेचक का उपयोग करते हुए, पहले इसे एक मानक रूप में लाया गया।

एक्स 2 – 3एक्स + 2 = 0;

डी = 9 - 4 2 = 1;

x 1 = (3 + 1) / 2 = 2;

x 2 = (3 - 1) / 2 = 1.

उत्तर: 1; 2.

उदाहरण 4.

समीकरण हल करें: arcctg (2x – 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

समीकरण हल करें: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

चूँकि arcctg f(x) = arcctg g(x) यदि और केवल यदि f(x) = g(x), तो

2x – 1 = x 2 /2 + x/2. आइए परिणामी द्विघात समीकरण को हल करें:

4x – 2 = x 2 + x;

एक्स 2 – 3एक्स + 2 = 0.

विएटा के प्रमेय से हम उसे प्राप्त करते हैं

एक्स = 1 या एक्स = 2.

उत्तर: 1; 2.

उदाहरण 5.

समीकरण हल करें: आर्क्सिन (2x – 15) = आर्क्सिन (x 2 – 6x – 8).

समीकरण हल करें: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

चूँकि arcsin f(x) = arcsin g(x) के रूप का एक समीकरण प्रणाली के समतुल्य है

(एफ(एक्स) = जी(एक्स),
(एफ(एक्स) € [-1; 1],

तो मूल समीकरण प्रणाली के बराबर है:

(2x – 15 = x 2 – 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

आइए परिणामी प्रणाली को हल करें:

(एक्स 2 – 8एक्स + 7 = 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

पहले समीकरण से, विएटा के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास है कि x = 1 या x = 7. सिस्टम की दूसरी असमानता को हल करने पर, हम पाते हैं कि 7 ≤ x ≤ 8. इसलिए, केवल मूल x = 7 ही अंतिम के लिए उपयुक्त है उत्तर।

उत्तर: 7.

उदाहरण 6.

समीकरण हल करें: (आर्ककोस x) 2 - 6 आर्ककोस x + 8 = 0.

समीकरण हल करें: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

मान लीजिए कि आर्ककोस x = t है, तो t खंड से संबंधित है और समीकरण इस प्रकार है:

t 2 - 6t + 8 = 0. विएटा के प्रमेय का उपयोग करके परिणामी द्विघात समीकरण को हल करें, हम पाते हैं कि t = 2 या t = 4।

चूँकि t = 4 खंड से संबंधित नहीं है, हम पाते हैं कि t = 2, अर्थात। आर्ककोस x = 2, जिसका अर्थ है x = cos 2.

उत्तर: क्योंकि 2.

उदाहरण 7.

समीकरण हल करें: (आर्कसिन x) 2 + (आर्ककोस x) 2 = 5π 2 /36.

समीकरण हल करें: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

आइए समानता आर्क्सिन x + आर्ककोस x = π/2 का उपयोग करें और समीकरण को इस रूप में लिखें

(आर्क्सिन x) 2 + (π/2 – आर्क्सिन x) 2 = 5π 2/36।

माना आर्क्सिन x = t, तो t खंड [-π/2; π/2] और समीकरण इस प्रकार बनता है:

टी 2 + (π/2 – टी) 2 = 5π 2 /36.

आइए परिणामी समीकरण को हल करें:

टी 2 + π 2 /4 – πt + टी 2 = 5π 2 /36;

2t 2 – πt + 9π 2 /36 – 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + π 2 /9 = 0. समीकरण में भिन्नों से छुटकारा पाने के लिए प्रत्येक पद को 9 से गुणा करने पर, हमें मिलता है:

18t 2 – 9πt + π 2 = 0.

आइए विवेचक को खोजें और परिणामी समीकरण को हल करें:

डी = (-9π) 2 – 4 · 18 · π 2 = 9π 2।

t = (9π – 3π) / 2 18 या t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 या t = 12π/36.

कमी के बाद हमारे पास है:

t = π/6 या t = π/3. तब

आर्क्सिन x = π/6 या आर्क्सिन x = π/3.

इस प्रकार, x = पाप π/6 या x = पाप π/3. यानी, x = 1/2 या x =√3/2.

उत्तर: 1/2; √3/2.

उदाहरण 8.

व्यंजक 5nx 0 का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ n मूलों की संख्या है, और x 0 समीकरण 2 आर्क्सिन x = - π - (x + 1) 2 का ऋणात्मक मूल है।

समीकरण हल करें: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

चूँकि -π/2 ≤ आर्क्सिन x ≤ π/2, तो -π ≤ 2 आर्क्सिन x ≤ π। इसके अलावा, सभी वास्तविक x के लिए (x + 1) 2 ≥ 0,
तब -(x + 1) 2 ≤ 0 और -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

इस प्रकार, समीकरण का एक हल हो सकता है यदि इसके दोनों पक्ष एक साथ -π के बराबर हों, अर्थात। समीकरण प्रणाली के समतुल्य है:

(2 आर्क्सिन x = -π,
(-π – (x + 1) 2 = -π.

आइए हम समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें:

(आर्क्सिन x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

दूसरे समीकरण से हमें पता चला कि x = -1, क्रमशः n = 1, फिर 5nx 0 = 5 · 1 · (-1) = -5.

उत्तर:-5.

जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ समीकरणों को हल करने की क्षमता सफलतापूर्वक परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए एक आवश्यक शर्त है। इसीलिए एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी करते समय ऐसी समस्याओं को हल करने का प्रशिक्षण आवश्यक और अनिवार्य है।

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