त्रिकोणमितीय वृत्त. त्रिकोणमितीय फलनों के मूल अर्थ. त्रिकोणमितीय फलनों के लक्षण

ईसा पूर्व पाँचवीं शताब्दी में, प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो ऑफ़ एलिया ने अपना प्रसिद्ध एपोरिया तैयार किया, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" एपोरिया है। यहाँ यह कैसा लगता है:

मान लीजिए कि अकिलिस कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। अकिलिस को इस दूरी तक दौड़ने में जितना समय लगेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। जब अकिलिस सौ कदम दौड़ता है, तो कछुआ दस कदम और रेंगता है, इत्यादि। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रहेगी, अकिलिस कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट... इन सभी ने किसी न किसी रूप में ज़ेनो के एपोरिया पर विचार किया। झटका इतना जोरदार था कि " ... चर्चा आज भी जारी है; वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार पर एक आम राय नहीं बना सका है ... मुद्दे के अध्ययन में गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण शामिल थे; ; उनमें से कोई भी समस्या का आम तौर पर स्वीकृत समाधान नहीं बन सका..."[विकिपीडिया, "ज़ेनो'स अपोरिया"। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखे में क्या शामिल है।

गणितीय दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में स्पष्ट रूप से मात्रा से संक्रमण का प्रदर्शन किया। इस परिवर्तन का तात्पर्य स्थायी के बजाय अनुप्रयोग से है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों का उपयोग करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। अपने सामान्य तर्क को लागू करने से हम एक जाल में फंस जाते हैं। हम, सोच की जड़ता के कारण, समय की निरंतर इकाइयों को पारस्परिक मूल्य पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, ऐसा लगता है कि समय धीमा हो रहा है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद न हो जाए जब अकिलिस कछुए को पकड़ लेता है। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलिस कछुए से आगे नहीं निकल सकता।

यदि हम अपने सामान्य तर्क को पलट दें, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अकिलिस साथ चलता है निरंतर गति. उसके पथ का प्रत्येक अगला खंड पिछले वाले से दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ कछुए को असीम रूप से जल्दी पकड़ लेगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? समय की निरंतर इकाइयों में रहें और आगे न बढ़ें पारस्परिक. ज़ेनो की भाषा में यह इस तरह दिखता है:

अकिलिस को एक हजार कदम चलने में जितना समय लगता है, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगता है। पहले के बराबर अगले समय अंतराल के दौरान, अकिलिस एक और हजार कदम दौड़ेगा, और कछुआ सौ कदम रेंगेगा। अब अकिलिस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है. प्रकाश की गति की अप्रतिरोध्यता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो के एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टोर्टोइज़" के समान है। हमें अभी भी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना होगा। और समाधान असीमित बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

ज़ेनो का एक और दिलचस्प एपोरिया एक उड़ने वाले तीर के बारे में बताता है:

एक उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि समय के प्रत्येक क्षण में वह विश्राम में होता है, और चूँकि वह समय के प्रत्येक क्षण में विश्राम में होता है, इसलिए वह सदैव विश्राम में ही रहता है।

इस एपोरिया में तार्किक विरोधाभासइसे बहुत सरलता से दूर किया जा सकता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि समय के प्रत्येक क्षण में एक उड़ता हुआ तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर आराम कर रहा है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बात पर ध्यान देने की जरूरत है. सड़क पर किसी कार की एक तस्वीर से उसकी गति के तथ्य या उससे दूरी का पता लगाना असंभव है। यह निर्धारित करने के लिए कि कोई कार चल रही है, आपको अलग-अलग समय पर एक ही बिंदु से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी, लेकिन आप उनसे दूरी निर्धारित नहीं कर सकते। कार से दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होगी अलग-अलग बिंदुसमय में एक बिंदु पर स्थान, लेकिन उनसे गति के तथ्य को निर्धारित करना असंभव है (स्वाभाविक रूप से, गणना के लिए अभी भी अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी)। मैं क्या कहना चाहता हूँ विशेष ध्यान, यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे प्रदान करते हैं विभिन्न संभावनाएँअनुसंधान के लिए.

बुधवार, 4 जुलाई 2018

विकिपीडिया पर सेट और मल्टीसेट के बीच अंतर को बहुत अच्छी तरह से वर्णित किया गया है। चलो देखते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, "एक सेट में दो समान तत्व नहीं हो सकते," लेकिन यदि किसी सेट में समान तत्व हैं, तो ऐसे सेट को "मल्टीसेट" कहा जाता है। समझदार प्राणी ऐसे बेतुके तर्क को कभी नहीं समझ पाएंगे। यह बोलने वाले तोतों और प्रशिक्षित बंदरों का स्तर है, जिनके पास "पूरी तरह से" शब्द से कोई बुद्धि नहीं है। गणितज्ञ सामान्य प्रशिक्षकों के रूप में कार्य करते हैं, और हमें अपने बेतुके विचारों का उपदेश देते हैं।

एक बार की बात है, पुल बनाने वाले इंजीनियर पुल का परीक्षण करते समय पुल के नीचे एक नाव में थे। यदि पुल ढह गया, तो औसत दर्जे का इंजीनियर अपनी रचना के मलबे के नीचे दबकर मर गया। यदि पुल भार सहन कर सका, तो प्रतिभाशाली इंजीनियर ने अन्य पुल बनाए।

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि गणितज्ञ "मेरा ध्यान रखें, मैं घर में हूं" वाक्यांश के पीछे कैसे छिपते हैं, या बल्कि, "गणित अमूर्त अवधारणाओं का अध्ययन करता है," एक गर्भनाल है जो उन्हें वास्तविकता से जोड़ती है। यह नाल ही धन है। आइए हम गणितीय समुच्चय सिद्धांत को स्वयं गणितज्ञों पर लागू करें।

हमने गणित का बहुत अच्छा अध्ययन किया और अब हम कैश रजिस्टर पर बैठकर वेतन दे रहे हैं। तो एक गणितज्ञ अपने पैसे के लिए हमारे पास आता है। हम उसे पूरी राशि गिनते हैं और उसे अलग-अलग ढेरों में अपनी मेज पर रखते हैं, जिसमें हम एक ही मूल्यवर्ग के बिल डालते हैं। फिर हम प्रत्येक ढेर से एक बिल लेते हैं और गणितज्ञ को उसका "वेतन का गणितीय सेट" देते हैं। आइए गणितज्ञ को समझाएं कि उसे शेष बिल तभी प्राप्त होंगे जब वह यह साबित कर देगा कि समान तत्वों के बिना एक सेट समान तत्वों वाले सेट के बराबर नहीं है। मज़ा यहां शुरू होता है।

सबसे पहले, प्रतिनिधियों का तर्क काम करेगा: "यह दूसरों पर लागू किया जा सकता है, लेकिन मुझ पर नहीं!" फिर वे हमें आश्वस्त करना शुरू कर देंगे कि एक ही मूल्यवर्ग के बिलों में अलग-अलग बिल संख्याएँ होती हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें एक ही तत्व नहीं माना जा सकता है। ठीक है, आइए वेतन को सिक्कों में गिनें - सिक्कों पर कोई संख्या नहीं है। यहां गणितज्ञ भौतिकी को पागलपन से याद करना शुरू कर देगा: अलग-अलग सिक्कों में अलग-अलग मात्रा में गंदगी होती है, क्रिस्टल संरचना और परमाणुओं की व्यवस्था प्रत्येक सिक्के के लिए अद्वितीय होती है...

और अब मेरे पास सबसे ज्यादा है दिलचस्प सवाल: वह रेखा कहां है जिसके आगे एक मल्टीसेट के तत्व एक सेट के तत्वों में बदल जाते हैं और इसके विपरीत? ऐसी कोई रेखा मौजूद नहीं है - सब कुछ जादूगरों द्वारा तय किया जाता है, विज्ञान यहां झूठ बोलने के करीब भी नहीं है।

यहाँ देखो। हम समान फ़ील्ड क्षेत्र वाले फ़ुटबॉल स्टेडियमों का चयन करते हैं। फ़ील्ड का क्षेत्रफल समान है - जिसका अर्थ है कि हमारे पास एक मल्टीसेट है। लेकिन अगर हम इन्हीं स्टेडियमों के नाम देखें तो हमें कई मिलते हैं, क्योंकि नाम अलग-अलग हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, तत्वों का एक ही सेट एक सेट और मल्टीसेट दोनों है। कौन सा सही है? और यहां गणितज्ञ-शमन-शार्पिस्ट अपनी आस्तीन से तुरुप का इक्का निकालता है और हमें सेट या मल्टीसेट के बारे में बताना शुरू करता है। किसी भी स्थिति में, वह हमें विश्वास दिलाएगा कि वह सही है।

कैसे समझें आधुनिक शमांसेट सिद्धांत के साथ काम करें, इसे वास्तविकता से जोड़ते हुए, यह एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त है: एक सेट के तत्व दूसरे सेट के तत्वों से कैसे भिन्न होते हैं? मैं आपको दिखाऊंगा, बिना किसी "एक पूरे के रूप में कल्पनीय" या "एक पूरे के रूप में कल्पनीय नहीं।"

रविवार, 18 मार्च 2018

किसी संख्या के अंकों का योग डफ के साथ जादूगरों का नृत्य है, जिसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है। हां, गणित के पाठों में हमें किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करना और उसका उपयोग करना सिखाया जाता है, लेकिन यही कारण है कि वे जादूगर हैं, अपने वंशजों को अपने कौशल और ज्ञान सिखाएं, अन्यथा जादूगर बस खत्म हो जाएंगे।

क्या आपको सबूत चाहिए? विकिपीडिया खोलें और "किसी संख्या के अंकों का योग" पृष्ठ ढूंढने का प्रयास करें। वह अस्तित्व में नहीं है. गणित में ऐसा कोई सूत्र नहीं है जिसका उपयोग किसी संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए किया जा सके। आख़िरकार, संख्याएँ ग्राफिक प्रतीक हैं जिनके साथ हम संख्याएँ लिखते हैं, और गणित की भाषा में कार्य इस तरह लगता है: "किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले ग्राफिक प्रतीकों का योग ज्ञात करें।" गणितज्ञ इस समस्या को हल नहीं कर सकते, लेकिन ओझा इसे आसानी से कर सकते हैं।

आइए जानें कि किसी दी गई संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए हम क्या और कैसे करते हैं। और इसलिए, आइए हमारे पास संख्या 12345 है। इस संख्या के अंकों का योग ज्ञात करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है? आइए क्रम से सभी चरणों पर विचार करें।

1. कागज के एक टुकड़े पर संख्या लिख ​​लें। हमने क्या किया है? हमने संख्या को ग्राफिकल संख्या प्रतीक में बदल दिया है। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

2. हमने एक परिणामी चित्र को अलग-अलग संख्याओं वाले कई चित्रों में काटा। किसी चित्र को काटना कोई गणितीय क्रिया नहीं है।

3. व्यक्तिगत ग्राफ़िक प्रतीकों को संख्याओं में बदलें। यह कोई गणितीय संक्रिया नहीं है.

4. परिणामी संख्याएँ जोड़ें। अब ये गणित है.

संख्या 12345 के अंकों का योग 15 है। ये जादूगरों द्वारा पढ़ाए जाने वाले "काटने और सिलाई के पाठ्यक्रम" हैं जिनका उपयोग गणितज्ञ करते हैं। लेकिन इतना ही नहीं.

गणितीय दृष्टिकोण से, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या प्रणाली में कोई संख्या लिखते हैं। तो, में विभिन्न प्रणालियाँकैलकुलस में एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होगा। गणित में, संख्या प्रणाली को संख्या के दाईं ओर एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है। साथ एक लंबी संख्या 12345 मैं अपने सिर को मूर्ख नहीं बनाना चाहता, आइए इसके बारे में लेख से संख्या 26 को देखें। आइए इस संख्या को बाइनरी, ऑक्टल, दशमलव और हेक्साडेसिमल संख्या प्रणालियों में लिखें। हम हर कदम को माइक्रोस्कोप के नीचे नहीं देखेंगे; हम पहले ही ऐसा कर चुके हैं। आइये परिणाम पर नजर डालते हैं.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विभिन्न संख्या प्रणालियों में एक ही संख्या के अंकों का योग अलग-अलग होता है। इस परिणाम का गणित से कोई लेना-देना नहीं है। यह वैसा ही है जैसे यदि आपने किसी आयत का क्षेत्रफल मीटर और सेंटीमीटर में निर्धारित किया है, तो आपको पूरी तरह से अलग परिणाम मिलेंगे।

शून्य सभी संख्या प्रणालियों में एक जैसा दिखता है और इसमें अंकों का कोई योग नहीं होता है। यह इस तथ्य के पक्ष में एक और तर्क है। गणितज्ञों के लिए प्रश्न: वह चीज़ कैसी है जो गणित में निर्दिष्ट संख्या नहीं है? क्या, गणितज्ञों के लिए संख्याओं के अलावा कुछ भी मौजूद नहीं है? मैं ओझाओं के लिए इसकी अनुमति दे सकता हूं, लेकिन वैज्ञानिकों के लिए नहीं। वास्तविकता सिर्फ संख्या के बारे में नहीं है.

प्राप्त परिणाम को इस बात का प्रमाण माना जाना चाहिए कि संख्या प्रणालियाँ संख्याओं के माप की इकाइयाँ हैं। आख़िरकार, हम संख्याओं की तुलना माप की विभिन्न इकाइयों से नहीं कर सकते। यदि एक ही मात्रा की माप की विभिन्न इकाइयों के साथ समान क्रियाओं की तुलना करने पर अलग-अलग परिणाम मिलते हैं, तो इसका गणित से कोई लेना-देना नहीं है।

वास्तविक गणित क्या है? ऐसा तब होता है जब गणितीय ऑपरेशन का परिणाम संख्या के आकार, उपयोग की गई माप की इकाई और इस क्रिया को करने वाले पर निर्भर नहीं करता है।

दरवाजे पर हस्ताक्षर करें वह दरवाज़ा खोलता है और कहता है:

ओह! क्या यह महिला शौचालय नहीं है?
- युवती! यह स्वर्ग में आरोहण के दौरान आत्माओं की अनिश्चित पवित्रता के अध्ययन के लिए एक प्रयोगशाला है! शीर्ष पर हेलो और ऊपर तीर. और कौन सा शौचालय?

महिला... शीर्ष पर प्रभामंडल और नीचे तीर पुरुष हैं।

यदि डिजाइन कला का ऐसा कोई काम आपकी आंखों के सामने दिन में कई बार चमकता है,

फिर यह आश्चर्य की बात नहीं है कि आपको अचानक अपनी कार में एक अजीब आइकन मिले:

व्यक्तिगत रूप से, मैं शौच कर रहे व्यक्ति (एक चित्र) में माइनस चार डिग्री देखने का प्रयास करता हूं (कई चित्रों की एक रचना: माइनस साइन, नंबर चार, डिग्री पदनाम)। और मुझे नहीं लगता कि यह लड़की मूर्ख है जो भौतिकी नहीं जानती। उसके पास ग्राफिक छवियों को समझने की एक मजबूत रूढ़ि है। और गणितज्ञ हमें हर समय यही सिखाते हैं। यहाँ एक उदाहरण है.

1ए "शून्य से चार डिग्री" या "एक ए" नहीं है। यह हेक्साडेसिमल नोटेशन में "पूपिंग मैन" या संख्या "छब्बीस" है। जो लोग लगातार इस संख्या प्रणाली में काम करते हैं वे स्वचालित रूप से एक संख्या और एक अक्षर को एक ग्राफिक प्रतीक के रूप में समझते हैं।

त्रिकोणमितीय वृत्त पर कोणों की गिनती।

ध्यान!
अतिरिक्त भी हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह लगभग पिछले पाठ जैसा ही है। वहाँ अक्ष हैं, एक वृत्त है, एक कोण है, सब कुछ क्रम में है। तिमाही संख्याएँ जोड़ी गईं (बड़े वर्ग के कोनों में) - पहली से चौथी तक। यदि कोई नहीं जानता तो क्या होगा? जैसा कि आप देख सकते हैं, क्वार्टर (इन्हें भी कहा जाता है एक सुन्दर शब्द"चतुर्भुज") को वामावर्त क्रमांकित किया गया है। अक्षों पर कोण मान जोड़े गए। सब कुछ स्पष्ट है, कोई समस्या नहीं.

और एक हरा तीर जोड़ा गया है. एक प्लस के साथ. इसका मतलब क्या है? मैं आपको याद दिला दूं कि कोण का निश्चित पक्ष हमेशा सकारात्मक अर्ध-अक्ष OX पर कील लगाया गया। इसलिए, यदि हम कोण के गतिशील पक्ष को घुमाते हैं प्लस वाले तीर के साथ, यानी तिमाही संख्या के आरोही क्रम में, कोण सकारात्मक माना जाएगा.उदाहरण के तौर पर, चित्र +60° का धनात्मक कोण दिखाता है।

अगर हम कोनों को अलग रख दें विपरीत दिशा में, दक्षिणावर्त, कोण ऋणात्मक माना जायेगा.अपने कर्सर को चित्र पर घुमाएँ (या अपने टेबलेट पर चित्र को स्पर्श करें), आपको ऋण चिह्न के साथ एक नीला तीर दिखाई देगा। यह ऋणात्मक कोण पढ़ने की दिशा है। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक कोण (- 60°) दिखाया गया है। और आप यह भी देखेंगे कि अक्षों पर संख्याएँ कैसे बदल गई हैं... मैंने उन्हें ऋणात्मक कोणों में भी बदल दिया है। चतुर्थांशों की संख्या नहीं बदलती।

आमतौर पर पहली गलतफहमियां यहीं से शुरू होती हैं। ऐसा कैसे!? क्या होगा यदि किसी वृत्त पर एक ऋणात्मक कोण एक धनात्मक कोण से मेल खाता है? और सामान्य तौर पर, यह पता चलता है कि गतिमान पक्ष (या संख्या वृत्त पर बिंदु) की एक ही स्थिति को ऋणात्मक कोण और धनात्मक दोनों कहा जा सकता है!?

हाँ। यह सही है। मान लीजिए कि एक वृत्त पर 90 डिग्री का धनात्मक कोण बनता है ठीक वैसा शून्य से 270 डिग्री के ऋणात्मक कोण के रूप में स्थिति। एक धनात्मक कोण, उदाहरण के लिए, +110° डिग्री लेता है ठीक वैसा ऋणात्मक कोण -250° के रूप में स्थिति।

कोई सवाल ही नहीं। कुछ भी सही है।) सकारात्मक या नकारात्मक कोण गणना का चुनाव कार्य की स्थितियों पर निर्भर करता है। अगर हालत कुछ नहीं कहती स्पष्ट पाठ में कोण के चिह्न के बारे में, (जैसे "सबसे छोटा निर्धारित करें सकारात्मककोण", आदि), तो हम उन मूल्यों के साथ काम करते हैं जो हमारे लिए सुविधाजनक हैं।

अपवाद (हम उनके बिना कैसे रह सकते हैं?!) त्रिकोणमितीय असमानताएं हैं, लेकिन वहां हम इस चाल में महारत हासिल कर लेंगे।

और अब आपके लिए एक प्रश्न. मुझे कैसे पता चला कि 110° कोण की स्थिति -250° कोण की स्थिति के समान है?
मैं संकेत कर दूं कि यह संपूर्ण क्रांति से जुड़ा है। 360° में... स्पष्ट नहीं? फिर हम एक वृत्त बनाते हैं। हम इसे स्वयं कागज पर बनाते हैं। कोने को चिन्हित करना लगभग 110°. और हमें लगता है कि, पूर्ण क्रांति होने तक कितना समय शेष है। बस 250° रह जाएगा...

समझ गया? और अब - ध्यान! यदि कोण 110° और -250° एक वृत्त पर कब्जा करते हैं एक ही बात स्थिति, फिर क्या? हाँ, कोण 110° और -250° हैं ठीक वैसा साइन, कोसाइन, स्पर्शज्या और कोटैंजेंट!
वे। पाप110° = पाप(-250°), सीटीजी110° = सीटीजी(-250°) इत्यादि। अब यह सचमुच महत्वपूर्ण है! और अपने आप में, ऐसे कई कार्य हैं जहां आपको अभिव्यक्तियों को सरल बनाने की आवश्यकता है, और इसके बाद कटौती सूत्रों और त्रिकोणमिति की अन्य जटिलताओं की महारत के आधार के रूप में।

निःसंदेह, मैंने यादृच्छिक रूप से 110° और -250° लिया, विशुद्ध रूप से एक उदाहरण के रूप में। ये सभी समानताएं वृत्त पर समान स्थिति वाले किसी भी कोण के लिए काम करती हैं। 60° और -300°, -75° और 285°, इत्यादि। मुझे तुरंत ध्यान देना चाहिए कि इन जोड़ियों में कोण हैं अलग।लेकिन उनके त्रिकोणमितीय कार्य हैं - समान।

मुझे लगता है कि आप समझते हैं कि नकारात्मक कोण क्या हैं। यह काफी सरल है. वामावर्त - सकारात्मक गिनती। रास्ते में - नकारात्मक. कोण को सकारात्मक या नकारात्मक मानें हम पर निर्भर करता है. हमारी चाहत से. ठीक है, और कार्य से भी, निश्चित रूप से... मुझे आशा है कि आप समझ गए होंगे कि नकारात्मक कोणों से सकारात्मक कोणों की ओर और त्रिकोणमितीय कार्यों में वापस कैसे जाना है। एक वृत्त, एक अनुमानित कोण बनाएं और देखें कि एक पूर्ण क्रांति को पूरा करने के लिए कितना गायब है, यानी। 360° तक.

360° से अधिक कोण.

आइए उन कोणों से निपटें जो 360° से अधिक हैं। क्या ऐसी चीजें हैं? अवश्य हैं। उन्हें एक वृत्त पर कैसे बनाएं? कोई बात नहीं! मान लीजिए कि हमें यह समझने की आवश्यकता है कि 1000° का कोण किस तिमाही में पड़ेगा? आसानी से! हम वामावर्त में एक पूरा चक्कर लगाते हैं (हमें जो कोण दिया गया है वह सकारात्मक है!)। हमने 360° रिवाइंड किया। खैर, चलिए आगे बढ़ते हैं! एक और मोड़ - यह पहले से ही 720° है। कितने बाकी हैं? 280°. यह पूर्ण मोड़ के लिए पर्याप्त नहीं है... लेकिन कोण 270° से अधिक है - और यह तीसरी और चौथी तिमाही के बीच की सीमा है। इसलिए, हमारा 1000° का कोण चौथी तिमाही में आता है। सभी।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह काफी सरल है। मैं आपको एक बार फिर से याद दिला दूं कि 1000° का कोण और 280° का कोण, जो हमने "अतिरिक्त" पूर्ण क्रांतियों को छोड़कर प्राप्त किया है, सख्ती से कहें तो, अलगकोने. लेकिन इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्य ठीक वैसा! वे। पाप1000° = पाप280°, cos1000° = cos280°, आदि। यदि मैं एक ज्या होता, तो मुझे इन दोनों कोणों के बीच अंतर नज़र नहीं आता...

यह सब क्यों आवश्यक है? हमें कोणों को एक से दूसरे में बदलने की आवश्यकता क्यों है? हाँ, सभी एक ही चीज़ के लिए।) भावों को सरल बनाने के लिए। वास्तव में अभिव्यक्ति का सरलीकरण, मुख्य कार्यस्कूल गणित. खैर, और, रास्ते में, सिर को प्रशिक्षित किया जाता है।)

अच्छा, चलो अभ्यास करें?)

हम सवालों का जवाब देते हैं. पहले सरल वाले.

1. -325° कोण किस तिमाही में पड़ता है?

2. 3000° कोण किस तिमाही में पड़ता है?

3. -3000° कोण किस तिमाही में पड़ता है?

कोई समस्या? या अनिश्चितता? आइए धारा 555 पर चलते हैं, त्रिकोणमितीय वृत्त के साथ व्यावहारिक कार्य। वहाँ, इसी के पहले पाठ में " व्यावहारिक कार्य..." सब विस्तार से... में ऐसाअनिश्चितता के प्रश्न होना नहीं करना चाहिए!

4. syn555° का क्या चिन्ह होता है?

5. tg555° का चिन्ह क्या है?

क्या आपने ठान लिया है? महान! क्या आपको कोई संदेह है? आपको धारा 555 पर जाने की आवश्यकता है... वैसे, वहां आप त्रिकोणमितीय वृत्त पर स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट बनाना सीखेंगे। बहुत काम की चीज़ है.

और अब प्रश्न अधिक परिष्कृत हैं.

6. अभिव्यक्ति syn777° को सबसे छोटे धनात्मक कोण की ज्या तक घटाएँ।

7. व्यंजक cos777° को सबसे बड़े ऋणात्मक कोण की कोज्या तक घटाएँ।

8. व्यंजक cos(-777°) को सबसे छोटे धनात्मक कोण की कोज्या तक घटाएँ।

9. व्यंजक syn777° को सबसे बड़े ऋणात्मक कोण की ज्या तक घटाएँ।

क्या, प्रश्न 6-9 ने आपको उलझन में डाल दिया? इसकी आदत डालें, यूनिफ़ाइड स्टेट परीक्षा में आपको ऐसे फॉर्मूलेशन नहीं मिलेंगे... तो ठीक है, मैं इसका अनुवाद करूँगा। सिर्फ आपके लिए!

शब्द "एक अभिव्यक्ति लाओ..." का अर्थ है अभिव्यक्ति को इस प्रकार बदलना कि उसका अर्थ बदल जाए नहीं बदला हैए उपस्थितिअसाइनमेंट के अनुसार बदला गया। तो, कार्य 6 और 9 में हमें एक साइन प्राप्त करना होगा, जिसके अंदर है सबसे छोटा धनात्मक कोण.बाकी सब कुछ मायने नहीं रखता.

मैं उत्तर क्रम से दूंगा (हमारे नियमों का उल्लंघन करते हुए)। लेकिन क्या करें, केवल दो संकेत हैं, और केवल चार चौथाई हैं... आप चुनाव के मामले में खराब नहीं होंगे।

6. पाप57°.

7. cos(-57°).

8. cos57°.

9. -पाप(-57°)

मेरा मानना ​​है कि प्रश्न 6-9 के उत्तर ने कुछ लोगों को भ्रमित कर दिया है। विशेष रूप से -पाप(-57°), वास्तव में?) वास्तव में, कोणों की गणना के प्राथमिक नियमों में त्रुटियों की गुंजाइश होती है... यही कारण है कि मुझे एक पाठ करना पड़ा: "त्रिकोणमितीय वृत्त पर कार्यों के चिह्न कैसे निर्धारित करें और कोण कैसे दें?" धारा 555 में कार्य 4-9 शामिल हैं। सभी ख़तरों के साथ, अच्छी तरह से सुलझाया गया। और वे यहाँ हैं।)

अगले पाठ में हम रहस्यमय रेडियंस और संख्या "पाई" से निपटेंगे। आइए सीखें कि डिग्री को आसानी से और सही तरीके से रेडियन में कैसे बदलें और इसके विपरीत कैसे करें। और हमें यह जानकर आश्चर्य होगा कि साइट पर यह बुनियादी जानकारी है पहले से ही काफी कुछ कस्टम त्रिकोणमिति समस्याओं को हल करने के लिए!

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आपको कई विशिष्ट परिणाम स्थापित करने की अनुमति देता है - साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के गुण. इस लेख में हम तीन मुख्य गुणों पर गौर करेंगे। उनमें से पहला कोण α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के संकेतों को इंगित करता है, जो इस पर निर्भर करता है कि किस कोण का समन्वय तिमाही α है। आगे हम आवधिकता की संपत्ति पर विचार करेंगे, जो कोण α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों की अपरिवर्तनीयता स्थापित करता है जब यह कोण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से बदलता है। तीसरा गुण विपरीत कोणों α और −α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मानों के बीच संबंध को व्यक्त करता है।

यदि आप फलन साइन, कोसाइन, टैंगेंट और कोटैंजेंट के गुणों में रुचि रखते हैं, तो आप लेख के संबंधित अनुभाग में उनका अध्ययन कर सकते हैं।

पेज नेविगेशन.

चौथाई भाग द्वारा ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के चिह्न

इस पैराग्राफ में नीचे वाक्यांश "I, II, III और IV समन्वय तिमाही का कोण" दिखाई देगा। आइये बताते हैं क्या हैं ये कोण.

आइए एक इकाई वृत्त लें, उस पर प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) अंकित करें, और इसे बिंदु O के चारों ओर एक कोण α द्वारा घुमाएं, और हम मान लेंगे कि हम बिंदु A 1 (x, y) पर पहुंच जाएंगे।

वे कहते हैं कि कोण α I, II, III, IV समन्वय चतुर्थांश का कोण है, यदि बिंदु A 1 क्रमशः I, II, III, IV तिमाहियों में स्थित है; यदि कोण α ऐसा है कि बिंदु A 1 किसी भी समन्वय रेखा Ox या Oy पर स्थित है, तो यह कोण चार तिमाहियों में से किसी से संबंधित नहीं है।

स्पष्टता के लिए, यहां एक ग्राफिक चित्रण है। नीचे दिए गए चित्र 30, -210, 585, और -45 डिग्री के घूर्णन कोण दिखाते हैं, जो क्रमशः I, II, III और IV समन्वय क्वार्टर के कोण हैं।

एंगल्स 0, ±90, ±180, ±270, ±360, ...डिग्रियाँ किसी भी समन्वित तिमाही से संबंधित नहीं हैं।

अब आइए जानें कि किन चिह्नों में घूर्णन कोण α की ज्या, कोज्या, स्पर्शज्या और कोटैंजेंट का मान होता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि कौन सा चतुर्भुज कोण α है।

साइन और कोसाइन के लिए यह करना आसान है।

परिभाषा के अनुसार, कोण α की ज्या बिंदु A 1 की कोटि है। जाहिर है, I और II समन्वय तिमाहियों में यह सकारात्मक है, और III और IV तिमाहियों में यह नकारात्मक है। इस प्रकार, कोण α की ज्या में पहली और दूसरी तिमाही में प्लस चिह्न होता है, और तीसरी और छठी तिमाही में ऋण चिह्न होता है।

बदले में, कोण α की कोज्या बिंदु A 1 का भुज है। पहली और चौथी तिमाही में यह सकारात्मक है, और दूसरी और तीसरी तिमाही में यह नकारात्मक है। नतीजतन, I और IV तिमाहियों में कोण α की कोज्या का मान सकारात्मक है, और II और III तिमाहियों में वे नकारात्मक हैं।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के चौथाई भाग द्वारा चिह्नों को निर्धारित करने के लिए, आपको उनकी परिभाषाओं को याद रखना होगा: स्पर्शरेखा बिंदु A 1 की कोटि का भुज से अनुपात है, और कोटैंजेंट बिंदु A 1 के भुज और कोटि का अनुपात है। फिर से संख्याओं को विभाजित करने के नियमसमान और अलग-अलग चिह्नों के साथ यह इस प्रकार है कि जब बिंदु A 1 के भुज और कोटि चिह्न समान होते हैं तो स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट में प्लस चिह्न होता है, और जब बिंदु A 1 के भुज और कोटि चिह्न भिन्न होते हैं तो ऋण चिह्न होता है। नतीजतन, कोण के स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट में I और III समन्वय तिमाहियों में + चिह्न होता है, और II और IV तिमाहियों में ऋण चिह्न होता है।

वास्तव में, उदाहरण के लिए, पहली तिमाही में बिंदु A 1 का भुज x और कोटि y दोनों सकारात्मक हैं, फिर भागफल x/y और भागफल y/x दोनों सकारात्मक हैं, इसलिए, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट में + चिह्न होते हैं। और दूसरी तिमाही में, भुज x ऋणात्मक है, और कोटि y धनात्मक है, इसलिए x/y और y/x दोनों ऋणात्मक हैं, इसलिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट में ऋण चिह्न होता है।

आइए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की अगली संपत्ति पर चलते हैं।

आवधिकता संपत्ति

अब हम किसी कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की शायद सबसे स्पष्ट संपत्ति को देखेंगे। यह इस प्रकार है: जब कोण पूर्ण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से बदलता है, तो इस कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान नहीं बदलते हैं।

यह समझने योग्य है: जब कोण क्रांतियों की पूर्णांक संख्या से बदलता है, तो प्रारंभिक बिंदु A से हम हमेशा बिंदु A 1 तक पहुंचेंगे इकाई चक्रइसलिए, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान अपरिवर्तित रहते हैं, क्योंकि बिंदु A 1 के निर्देशांक अपरिवर्तित रहते हैं।

सूत्रों का उपयोग करते हुए, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की मानी गई संपत्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है: पाप (α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, जहां α रेडियन में घूर्णन का कोण है, z कोई भी है, जिसका पूर्ण मान पूर्ण क्रांतियों की संख्या को इंगित करता है जिसके द्वारा कोण α बदलता है, और संख्या z का चिह्न दिशा मोड़ को इंगित करता है।

यदि घूर्णन कोण α को डिग्री में निर्दिष्ट किया गया है, तो संकेतित सूत्र को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा पाप(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

आइए इस संपत्ति के उपयोग के उदाहरण दें। उदाहरण के लिए, , क्योंकि , ए . यहाँ एक और उदाहरण है: या.

यह गुण, कमी सूत्रों के साथ, "बड़े" कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों की गणना करते समय अक्सर उपयोग किया जाता है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की मानी जाने वाली संपत्ति को कभी-कभी आवधिकता की संपत्ति कहा जाता है।

विपरीत कोणों की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के गुण

मान लीजिए A 1 प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) को बिंदु O के चारों ओर कोण α द्वारा घुमाने से प्राप्त बिंदु है, और बिंदु A 2 बिंदु A को कोण α के विपरीत कोण −α द्वारा घुमाने का परिणाम है।

विपरीत कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की संपत्ति काफी स्पष्ट तथ्य पर आधारित है: ऊपर उल्लिखित बिंदु ए 1 और ए 2 या तो मेल खाते हैं (पर) या ऑक्स अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से स्थित हैं। अर्थात्, यदि बिंदु A 1 के निर्देशांक (x, y) हैं, तो बिंदु A 2 के निर्देशांक (x, −y) होंगे। यहां से, साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं का उपयोग करके, हम समानताएं लिखते हैं और।
उनकी तुलना करने पर, हम फॉर्म के विपरीत कोणों α और −α के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंधों पर आते हैं।
यह सूत्रों के रूप में विचाराधीन संपत्ति है।

आइए इस संपत्ति के उपयोग के उदाहरण दें। उदाहरण के लिए, समानताएं और .

यह केवल ध्यान देने योग्य है कि पिछली संपत्ति की तरह, विपरीत कोणों के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की संपत्ति का उपयोग अक्सर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों की गणना करते समय किया जाता है, और आपको नकारात्मक से पूरी तरह से बचने की अनुमति मिलती है। कोण.

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साइनसनंबर एसंख्या वृत्त पर इस संख्या को दर्शाने वाले बिंदु की कोटि कहलाती है। कोण की ज्या एरेडियन को किसी संख्या की ज्या कहा जाता है ए.

साइनस- संख्या समारोह एक्स. उसकी परिभाषा का क्षेत्र

साइन रेंज- खंड से -1 को 1 , क्योंकि कोटि अक्ष पर इस खंड की कोई भी संख्या वृत्त पर किसी भी बिंदु का प्रक्षेपण है, लेकिन इस खंड के बाहर का कोई भी बिंदु इनमें से किसी भी बिंदु का प्रक्षेपण नहीं है।

साइन अवधि

साइन साइन:

1. साइन शून्य के बराबर है, जहां एन- कोई भी पूर्णांक;

2. ज्या कहाँ पर धनात्मक है एन- कोई भी पूर्णांक;

3. साइन ऋणात्मक है जब

कहाँ एन- कोई भी पूर्णांक.

साइनस- समारोह विषम एक्सऔर -एक्स, तो उनके निर्देशांक - ज्या - भी विपरीत हो जाएंगे। वह है किसी के लिए भी एक्स.

1. खंडों पर ज्या बढ़ती है , कहाँ एन- कोई भी पूर्णांक.

2. खंड पर ज्या घटती है , कहाँ एन- कोई भी पूर्णांक.

पर ;

पर .

कोज्या

कोज्यानंबर एसंख्या वृत्त पर इस संख्या को दर्शाने वाले बिंदु का भुज (abscissa) कहलाता है। में कोण की कोज्या एरेडियन को किसी संख्या की कोज्या कहा जाता है ए.

कोज्या- संख्या का कार्य. उसकी परिभाषा का क्षेत्र- सभी संख्याओं का समुच्चय, चूँकि किसी भी संख्या के लिए आप उसका प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु की कोटि ज्ञात कर सकते हैं।

कोसाइन रेंज- खंड से -1 को 1 , चूँकि x-अक्ष पर इस खंड की कोई भी संख्या वृत्त पर किसी भी बिंदु का प्रक्षेपण है, लेकिन इस खंड के बाहर का कोई भी बिंदु इनमें से किसी भी बिंदु का प्रक्षेपण नहीं है।

कोसाइन कालके बराबर । आख़िरकार, हर बार संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु की स्थिति बिल्कुल दोहराई जाती है।

कोज्या चिह्न:

1. कोसाइन शून्य के बराबर है, जहां एन- कोई भी पूर्णांक;

2. कोसाइन धनात्मक है जब , कहाँ एन- कोई भी पूर्णांक;

3. कोज्या ऋणात्मक होती है जब , कहाँ एन- कोई भी पूर्णांक.

कोज्या- समारोह यहां तक ​​की. सबसे पहले, इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र सभी संख्याओं का समुच्चय है, और इसलिए मूल के संबंध में सममित है। और दूसरी बात, यदि हम शुरुआत से ही दो विपरीत संख्याओं को अलग रख दें: एक्सऔर -एक्स, तो उनके भुज - कोसाइन - बराबर होंगे। वह है

किसी के लिए भी एक्स.

1. खंडों पर कोज्या बढ़ती है , कहाँ एन- कोई भी पूर्णांक.

2. खंडों पर कोज्या घटती है , कहाँ एन- कोई भी पूर्णांक.

पर ;

पर .

स्पर्शरेखा

स्पर्शरेखाकिसी संख्या का इस संख्या की ज्या और इस संख्या की कोज्या का अनुपात कहलाता है: .

स्पर्शरेखामें कोण एरेडियन किसी संख्या की स्पर्शरेखा है ए.

स्पर्शरेखा- संख्या का कार्य. उसकी परिभाषा का क्षेत्र- सभी संख्याओं का समुच्चय जिनकी कोज्या शून्य के बराबर नहीं है, क्योंकि स्पर्शरेखा निर्धारित करने में कोई अन्य प्रतिबंध नहीं हैं। और चूँकि कोसाइन शून्य के बराबर है, तो , कहाँ ।

स्पर्शरेखा सीमा

स्पर्शरेखा अवधि एक्स(बराबर नहीं), एक दूसरे से भिन्न, और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें, फिर यह सीधी रेखा निर्देशांक की उत्पत्ति से गुज़रेगी और किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा को काट देगी टी. तो यह पता चला कि, यानी, संख्या स्पर्शरेखा की अवधि है।

स्पर्शरेखा चिह्न:स्पर्शज्या ज्या से कोज्या का अनुपात है। इसलिए वह

1. शून्य के बराबर है जब साइन शून्य है, यानी, कब, कहां एन- कोई भी पूर्णांक.

2. सकारात्मक जब साइन और कोसाइन के चिह्न समान हों। ऐसा सिर्फ पहली और तीसरी तिमाही में यानी जब होता है , कहाँ ए- कोई भी पूर्णांक.

3. साइन और कोसाइन होने पर नकारात्मक विभिन्न संकेत. ऐसा सिर्फ दूसरी और चौथी तिमाही में यानी जब होता है , कहाँ ए- कोई भी पूर्णांक.

स्पर्शरेखा- समारोह विषम. सबसे पहले, इस फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र मूल के सापेक्ष सममित है। और दूसरी बात, . ज्या की विषमता और कोज्या की समता के कारण, परिणामी भिन्न का अंश बराबर होता है, और उसका हर बराबर होता है, जिसका अर्थ है कि यह अंश स्वयं के बराबर है।

तो यह निकला.

मतलब, इसकी परिभाषा के क्षेत्र के प्रत्येक अनुभाग में स्पर्शरेखा बढ़ती है, अर्थात् प्रपत्र के सभी अंतरालों पर , कहाँ ए- कोई भी पूर्णांक.

कोटैंजेंट

कोटैंजेंटकिसी संख्या का इस संख्या की कोज्या और इस संख्या की ज्या का अनुपात कहलाता है: . कोटैंजेंटमें कोण एरेडियन को किसी संख्या का कोटैंजेंट कहा जाता है ए. कोटैंजेंट- संख्या का कार्य. उसकी परिभाषा का क्षेत्र- सभी संख्याओं का समुच्चय जिनकी ज्या शून्य के बराबर नहीं है, क्योंकि कोटैंजेंट की परिभाषा में कोई अन्य प्रतिबंध नहीं हैं। और चूँकि साइन शून्य के बराबर है, तो कहाँ

कोटैंजेंट रेंज- सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय।

कोटैंजेंट अवधिके बराबर । आख़िरकार, यदि हम कोई दो मान्य मान लें एक्स(बराबर नहीं), एक दूसरे से भिन्न, और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें, फिर यह सीधी रेखा निर्देशांक की उत्पत्ति से गुज़रेगी और किसी बिंदु पर कोटैंजेंट की रेखा को काट देगी टी. तो यह पता चलता है कि, अर्थात्, संख्या कोटैंजेंट की अवधि है।