द्विघात रूप को विहित रूप में कम करना एक उदाहरण है। द्विघात रूप को विहित रूप में कम करना

द्विघात रूपों में कमी

आइए द्विघात रूप को कम करने की सबसे सरल और अभ्यास में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधि पर विचार करें कानूनी फॉर्म, बुलाया लैग्रेंज विधि. यह चयन पर आधारित है पूर्ण वर्गद्विघात रूप में.

प्रमेय 10.1(लैग्रेंज प्रमेय)। कोई भी द्विघात रूप (10.1):

एक गैर-विशेष रैखिक परिवर्तन (10.4) का उपयोग करके इसे विहित रूप (10.6) में घटाया जा सकता है:

,

□ हम पूर्ण वर्गों की पहचान करने के लिए लैग्रेंज की विधि का उपयोग करके प्रमेय को रचनात्मक तरीके से सिद्ध करेंगे। कार्य एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स को ढूंढना है जैसे कि रैखिक परिवर्तन (10.4) का परिणाम विहित रूप के द्विघात रूप (10.6) में हो। यह मैट्रिक्स एक विशेष प्रकार के मैट्रिक्स की सीमित संख्या के उत्पाद के रूप में धीरे-धीरे प्राप्त किया जाएगा।

बिंदु 1 (प्रारंभिक).

1.1. आइए हम उन चरों में से एक का चयन करें जो द्विघात रूप वर्ग में शामिल है और एक ही समय में पहली शक्ति है (आइए इसे कॉल करें) अग्रणी चर). आइए बिंदु 2 पर चलते हैं।

1.2. यदि द्विघात रूप में कोई अग्रणी चर नहीं हैं (सभी के लिए :), तो हम चर की एक जोड़ी का चयन करते हैं जिसका उत्पाद गैर-शून्य गुणांक वाले रूप में शामिल है और चरण 3 पर आगे बढ़ते हैं।

1.3. यदि द्विघात रूप में विपरीत चरों का कोई गुणनफल नहीं है, तो यह द्विघात रूप पहले से ही विहित रूप (10.6) में दर्शाया गया है। प्रमेय की दलील पूर्ण हो गई है।

बिंदु 2 (एक पूर्ण वर्ग का चयन करना)।

2.1. अग्रणी चर का उपयोग करके, हम एक पूर्ण वर्ग का चयन करते हैं। व्यापकता की हानि के बिना, मान लें कि अग्रणी चर है। युक्त पदों को समूहीकृत करने पर, हमें प्राप्त होता है

.

चर द्वारा एक पूर्ण वर्ग का चयन करना , हम पाते हैं

.

इस प्रकार, एक चर के साथ पूर्ण वर्ग को अलग करने के परिणामस्वरूप, हमें रैखिक रूप के वर्ग का योग प्राप्त होता है

जिसमें अग्रणी चर और द्विघात रूप शामिल हैं वेरिएबल्स से, जिसमें अग्रणी वेरिएबल अब शामिल नहीं है। आइए वेरिएबल्स में बदलाव करें (नए वेरिएबल्स का परिचय दें)

हमें एक मैट्रिक्स मिलता है

() गैर-एकवचन रैखिक परिवर्तन, जिसके परिणामस्वरूप द्विघात रूप (10.1) निम्नलिखित रूप लेता है

द्विघात रूप के साथ आइए बिंदु 1 जैसा ही करें।

2.1. यदि अग्रणी चर चर है, तो आप इसे दो तरीकों से कर सकते हैं: या तो इस चर के लिए एक पूर्ण वर्ग का चयन करें, या प्रदर्शन करें का नाम बदलने (पुनः क्रमांकन) चर:

एक गैर-एकवचन परिवर्तन मैट्रिक्स के साथ:

.

बिंदु 3 (एक अग्रणी चर बनाना)।हम चरों के चयनित जोड़े को दो नए चरों के योग और अंतर से प्रतिस्थापित करते हैं, और शेष पुराने चरों को संबंधित नए चरों से प्रतिस्थापित करते हैं। यदि, उदाहरण के लिए, अनुच्छेद 1 में शब्द पर प्रकाश डाला गया था

तब चरों के संगत परिवर्तन का रूप होता है

और द्विघात रूप (10.1) में अग्रणी चर प्राप्त होगा।

उदाहरण के लिए, परिवर्तनीय प्रतिस्थापन के मामले में:

इस गैर-एकवचन रैखिक परिवर्तन के मैट्रिक्स का रूप है

.

उपरोक्त एल्गोरिदम (बिंदु 1, 2, 3 के अनुक्रमिक अनुप्रयोग) के परिणामस्वरूप, द्विघात रूप (10.1) को विहित रूप (10.6) में घटा दिया जाएगा।

ध्यान दें कि द्विघात रूप में किए गए परिवर्तनों (एक पूर्ण वर्ग का चयन करना, नाम बदलना और एक अग्रणी चर बनाना) के परिणामस्वरूप, हमने तीन प्रकार के प्राथमिक गैर-एकवचन मैट्रिक्स का उपयोग किया (वे आधार से आधार में संक्रमण के मैट्रिक्स हैं)। गैर-एकवचन रैखिक परिवर्तन (10.4) का आवश्यक मैट्रिक्स, जिसके तहत फॉर्म (10.1) का विहित रूप (10.6) है, तीन प्रकार के प्रारंभिक गैर-एकवचन मैट्रिक्स की एक सीमित संख्या को गुणा करके प्राप्त किया जाता है। ■

उदाहरण 10.2.द्विघात रूप दीजिये

लैग्रेंज विधि द्वारा विहित रूप में। संगत गैर-एकवचन रैखिक परिवर्तन को इंगित करें। जाँच करें.

समाधान।आइए अग्रणी चर (गुणांक) चुनें। युक्त पदों को समूहीकृत करने और उसमें से एक पूर्ण वर्ग का चयन करने पर, हमें प्राप्त होता है

जहां संकेत दिया गया है

आइए वेरिएबल्स में बदलाव करें (नए वेरिएबल्स का परिचय दें)

पुराने चरों को नये चरों के रूप में व्यक्त करना:

हमें एक मैट्रिक्स मिलता है

220400 बीजगणित और ज्यामिति टॉल्स्टिकोव ए.वी.

व्याख्यान 16. द्विरेखीय और द्विघात रूप।

योजना

1. द्विरेखीय रूप और उसके गुण।

2. द्विघात आकृति. द्विघात रूप का मैट्रिक्स. समन्वय परिवर्तन.

3. द्विघात रूप को विहित रूप में कम करना। लैग्रेंज विधि.

4. द्विघात रूपों की जड़ता का नियम.

5. eigenvalue विधि का उपयोग करके द्विघात रूप को विहित रूप में कम करना।

6. द्विघात रूप की सकारात्मक निश्चितता के लिए सिल्वरस्ट का मानदंड।

1. विश्लेषणात्मक ज्यामिति और रैखिक बीजगणित का पाठ्यक्रम। एम.: नौका, 1984।

2. बुग्रोव हां.एस., निकोल्स्की एस.एम. रैखिक बीजगणित और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तत्व। 1997.

3. वोवोडिन वी.वी. रैखिक बीजगणित.. एम.: नौका 1980।

4. महाविद्यालयों के लिए समस्याओं का संग्रह। रैखिक बीजगणित और गणितीय विश्लेषण के मूल सिद्धांत। एड. एफिमोवा ए.वी., डेमिडोविच बी.पी.. एम.: नौका, 1981।

5. बुटुज़ोव वी.एफ., क्रुतित्सकाया एन.सी.एच., शिश्किन ए.ए. प्रश्नों और समस्याओं में रैखिक बीजगणित। एम.: फ़िज़मैटलिट, 2001।

, , , ,

1. द्विरेखीय रूप और उसके गुण।होने देना वी - एन-क्षेत्र के ऊपर आयामी वेक्टर स्थान पी।

परिभाषा 1.द्विरेखीय रूप, पर परिभाषित वी,ऐसी मैपिंग कहलाती है जी: वी 2 ® पी, जो प्रत्येक आदेशित जोड़ी के लिए ( एक्स , य ) वैक्टर एक्स , य में डालता है से वीफ़ील्ड से संख्या का मिलान करें पी, निरूपित जी(एक्स , य ), और प्रत्येक चर में रैखिक एक्स , य , यानी गुण होना:

1) ("एक्स , य , जेड Î वी)जी(एक्स + य , जेड ) = जी(एक्स , जेड ) + जी(य , जेड );

2) ("एक्स , य Î वी) ("ए ओ पी)जी(ए एक्स , य ) = ए जी(एक्स , य );

3) ("एक्स , य , जेड Î वी)जी(एक्स , य + जेड ) = जी(एक्स , य ) + जी(एक्स , जेड );

4) ("एक्स , य Î वी) ("ए ओ पी)जी(एक्स , ए य ) = ए जी(एक्स , य ).

उदाहरण 1. कोई डॉट उत्पाद, एक सदिश समष्टि पर परिभाषित वीएक द्विरेखीय रूप है.

2 . समारोह एच(एक्स , य ) = 2एक्स 1 य 1 - एक्स 2 य 2 +एक्स 2 य 1 कहाँ एक्स = (एक्स 1 ,एक्स 2), य = (य 1 ,य 2)ओ आर 2, द्विरेखीय रूप पर आर 2 .

परिभाषा 2.होने देना वी = (वी 1 , वी 2 ,…, वी एन वीद्विरेखीय रूप का मैट्रिक्सजी(एक्स , य ) आधार के सापेक्षवीमैट्रिक्स कहा जाता है बी=(बी आईजे)एन ´ एन, जिसके तत्वों की गणना सूत्र द्वारा की जाती है बी आईजे = जी(वी मैं, वी जे):

उदाहरण 3. द्विरेखीय मैट्रिक्स एच(एक्स , य ) (उदाहरण 2 देखें) आधार के सापेक्ष ई 1 = (1,0), ई 2 = (0,1) के बराबर है।

प्रमेय 1. होने देनाX, Y - क्रमशः सदिशों के स्तंभों का समन्वय करेंएक्स , यआधार मेंवी, बी - द्विरेखीय रूप का मैट्रिक्सजी(एक्स , य ) आधार के सापेक्षवी. फिर द्विरेखीय रूप को इस प्रकार लिखा जा सकता है

जी(एक्स , य )=एक्स टी द्वारा. (1)

सबूत।द्विरेखीय रूप के गुणों से हमें प्राप्त होता है

उदाहरण 3. द्विरेखीय रूप एच(एक्स , य ) (उदाहरण 2 देखें) के रूप में लिखा जा सकता है एच(एक्स , य )=.

प्रमेय 2. होने देना वी = (वी 1 , वी 2 ,…, वी एन), यू = (यू 1 , यू 2 ,…, यू एन) - दो वेक्टर अंतरिक्ष आधारवी, टी - आधार से संक्रमण मैट्रिक्सv से आधारयू होने देना बी= (बी आईजे)एन ´ एन और साथ=(आईजे के साथ)एन ´ एन - द्विरेखीय मैट्रिक्सजी(एक्स , य ) क्रमशः आधारों के सापेक्षवी औरयू तब

साथ=टी टी बीटी.(2)

सबूत।संक्रमण मैट्रिक्स और द्विरेखीय रूप मैट्रिक्स की परिभाषा से, हम पाते हैं:



परिभाषा 2.द्विरेखीय रूप जी(एक्स , य ) कहा जाता है सममित, अगर जी(एक्स , य ) = जी(य , एक्स ) किसी के लिए एक्स , य Î वी

प्रमेय 3. द्विरेखीय रूपजी(एक्स , य )- सममित यदि और केवल यदि द्विरेखीय रूप का मैट्रिक्स किसी भी आधार के संबंध में सममित है।

सबूत।होने देना वी = (वी 1 , वी 2 ,…, वी एन) - सदिश समष्टि का आधार वी,बी= (बी आईजे)एन ´ एन- द्विरेखीय रूप के आव्यूह जी(एक्स , य ) आधार के सापेक्ष वीद्विरेखीय रूप बनने दीजिए जी(एक्स , य ) - सममित। फिर परिभाषा 2 के अनुसार किसी के लिए मैं, जे = 1, 2,…, एनहमारे पास है बी आईजे = जी(वी मैं, वी जे) = जी(वी जे, वी मैं) = बी जी. फिर मैट्रिक्स बी- सममित.

इसके विपरीत, मैट्रिक्स चलो बी- सममित. तब बीटी= बीऔर किसी भी वैक्टर के लिए एक्स = एक्स 1 वी 1 + …+ एक्स एन वीएन =वीएक्स, य = य 1 वी 1 + य 2 वी 2 +…+ य एन वीएन =वीवाई Î वी, सूत्र (1) के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं (हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि संख्या क्रम 1 का एक मैट्रिक्स है, और स्थानान्तरण के दौरान नहीं बदलती है)

जी(एक्स , य ) =जी(एक्स , य )टी = (एक्स टी द्वारा)टी = वाई टी बी टी एक्स = जी(य , एक्स ).

2. द्विघात आकृति. द्विघात रूप का मैट्रिक्स. समन्वय परिवर्तन.

परिभाषा 1.द्विघात आकारपर परिभाषित वी,मैपिंग कहा जाता है एफ:V® पी, जो किसी भी वेक्टर के लिए है एक्स से वीसमानता से निर्धारित होता है एफ(एक्स ) = जी(एक्स , एक्स ), कहाँ जी(एक्स , य ) पर परिभाषित एक सममित द्विरेखीय रूप है वी .

संपत्ति 1.दिए गए द्विघात रूप के अनुसारएफ(एक्स )द्विरेखीय रूप सूत्र द्वारा विशिष्ट रूप से पाया जाता है

जी(एक्स , य ) = 1/2(एफ(एक्स + य ) - एफ(एक्स )-एफ(य )). (1)

सबूत।किसी भी वेक्टर के लिए एक्स , य Î वीहम द्विरेखीय रूप के गुणों से प्राप्त करते हैं

एफ(एक्स + य ) = जी(एक्स + य , एक्स + य ) = जी(एक्स , एक्स + य ) + जी(य , एक्स + य ) = जी(एक्स , एक्स ) + जी(एक्स , य ) + जी(य , एक्स ) + जी(य , य ) = एफ(एक्स ) + 2जी(एक्स , य ) + एफ(य ).

इससे सूत्र (1) निकलता है। 

परिभाषा 2.द्विघात रूप का मैट्रिक्सएफ(एक्स ) आधार के सापेक्षवी = (वी 1 , वी 2 ,…, वी एन) संगत सममित द्विरेखीय रूप का मैट्रिक्स है जी(एक्स , य ) आधार के सापेक्ष वी.

प्रमेय 1. होने देनाएक्स= (एक्स 1 ,एक्स 2 ,…, एक्स एन)टी- वेक्टर का समन्वय स्तंभएक्स आधार मेंवी, बी - द्विघात रूप का मैट्रिक्सएफ(एक्स ) आधार के सापेक्षवी. फिर द्विघात रूपएफ(एक्स )

परिभाषा 10.4.विहित दृश्यद्विघात रूप (10.1) को निम्नलिखित रूप कहा जाता है: . (10.4)

आइए हम दिखाते हैं कि eigenvectors के आधार पर, द्विघात रूप (10.1) एक विहित रूप लेता है। होने देना

- eigenvalues ​​​​के अनुरूप सामान्यीकृत eigenvectors λ 1 ,λ 2 ,λ 3मैट्रिसेस (10.3) इंच ऑर्थोनॉर्मल आधार. फिर पुराने आधार से नए में संक्रमण मैट्रिक्स मैट्रिक्स होगा

नए आधार में मैट्रिक्स एविकर्ण रूप लेगा (9.7) (ईजेनवेक्टर्स की संपत्ति के अनुसार)। इस प्रकार, सूत्रों का उपयोग करके निर्देशांक को बदलना:

,

नए आधार में हम eigenvalues ​​​​के बराबर गुणांक के साथ द्विघात रूप का विहित रूप प्राप्त करते हैं λ 1, λ 2, λ 3:

नोट 1. सी ज्यामितीय बिंदुदृष्टिकोण के संदर्भ में, माना गया समन्वय परिवर्तन समन्वय प्रणाली का एक घूर्णन है, जो पुराने समन्वय अक्षों को नए के साथ जोड़ता है।

टिप्पणी 2. यदि मैट्रिक्स (10.3) का कोई भी आइगेनवैल्यू मेल खाता है, तो हम उनमें से प्रत्येक के लिए एक यूनिट वेक्टर ऑर्थोगोनल को संबंधित ऑर्थोनॉर्मल आइगेनवेक्टर में जोड़ सकते हैं, और इस प्रकार एक आधार का निर्माण कर सकते हैं जिसमें द्विघात रूप विहित रूप लेता है।

आइए हम द्विघात रूप को विहित रूप में लाएँ

एक्स²+5 य² + जेड²+2 xy + 6xz + 2yz.

इसके मैट्रिक्स का रूप व्याख्यान 9 में चर्चा किए गए उदाहरण में है, इस मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यू और ऑर्थोनॉर्मल आइजेनवेक्टर पाए जाते हैं:

आइए इन वैक्टरों से आधार पर एक संक्रमण मैट्रिक्स बनाएं:

(वेक्टरों का क्रम बदल दिया गया है ताकि वे दाएं हाथ के त्रिक का निर्माण करें)। आइए सूत्रों का उपयोग करके निर्देशांकों को रूपांतरित करें:

तो, द्विघात रूप को द्विघात रूप के मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​के बराबर गुणांक के साथ विहित रूप में घटा दिया जाता है।

व्याख्यान 11.

दूसरे क्रम के वक्र. दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय, उनके गुण और विहित समीकरण। दूसरे क्रम के समीकरण को विहित रूप में कम करना।

परिभाषा 11.1.दूसरे क्रम के वक्रएक तल पर एक वृत्ताकार शंकु की प्रतिच्छेदन रेखाएं कहलाती हैं, जिसका तल उसके शीर्ष से नहीं गुजरता है।

यदि ऐसा तल शंकु की एक गुहा के सभी जनक को काटता है, तो अनुभाग में यह निकलता है अंडाकार, दोनों गुहाओं के जनरेटर के चौराहे पर - अतिशयोक्ति, और यदि काटने वाला तल किसी जेनरेट्रिक्स के समानांतर है, तो शंकु का अनुभाग है परवलय.

टिप्पणी। सभी द्वितीय-क्रम वक्र दो चरों में द्वितीय-डिग्री समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट होते हैं।

दीर्घवृत्त.

परिभाषा 11.2.अंडाकारसमतल में बिंदुओं का समूह है जिसके लिए दो निश्चित बिंदुओं की दूरियों का योग होता है एफ 1 और एफ चाल, एक स्थिर मान है.

टिप्पणी। जब अंक मेल खाते हैं एफ 1 और एफ 2 दीर्घवृत्त एक वृत्त में बदल जाता है।

आइए हम कार्तीय प्रणाली को चुनकर दीर्घवृत्त का समीकरण प्राप्त करें

वाई एम(एक्स,वाई)समन्वय करता है ताकि अक्ष ओहएक सीधी रेखा से मेल खाता है एफ 1 एफ 2, शुरुआत

आर 1 आर 2 निर्देशांक - खंड के मध्य के साथ एफ 1 एफ 2. बता दें इसकी लंबाई

खंड 2 के बराबर है साथ, फिर चुने हुए समन्वय प्रणाली में

एफ 1 ओ एफ 2 एक्स एफ 1 (-सी, 0), एफ 2 (सी, 0). आइए बात को स्पष्ट करें एम(एक्स, वाई) दीर्घवृत्त पर स्थित है, और

इससे दूरियों का योग एफ 1 और एफ 2 बराबर 2 ए.

तब आर 1 + आर 2 = 2ए, लेकिन ,

इसलिए, संकेतन का परिचय बी² = ए²- सी² और सरल बीजगणितीय परिवर्तन करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं विहित दीर्घवृत्त समीकरण: (11.1)

परिभाषा 11.3.सनकदीर्घवृत्त का परिमाण कहलाता है ई=एस/ए (11.2)

परिभाषा 11.4.स्कूल की संचालिका डी मैंफोकस के अनुरूप दीर्घवृत्त एफ मैं एफ मैंअक्ष के सापेक्ष ओहअक्ष के लंबवत ओहदूरी पर ए/ईमूल से.

टिप्पणी। समन्वय प्रणाली की एक अलग पसंद के साथ, दीर्घवृत्त निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है विहित समीकरण(11.1), लेकिन एक अलग प्रकार का दूसरा डिग्री समीकरण।

दीर्घवृत्त गुण:

1) एक दीर्घवृत्त में दो परस्पर लंबवत सममिति अक्ष (दीर्घवृत्त की मुख्य अक्ष) और एक समरूपता केंद्र (दीर्घवृत्त का केंद्र) होता है। यदि एक दीर्घवृत्त एक विहित समीकरण द्वारा दिया गया है, तो इसके मुख्य अक्ष निर्देशांक अक्ष हैं, और इसका केंद्र मूल बिंदु है। चूंकि मुख्य अक्षों के साथ दीर्घवृत्त के प्रतिच्छेदन से बने खंडों की लंबाई 2 के बराबर होती है एऔर 2 बी (2ए>2बी), तो नाभि से गुजरने वाली मुख्य धुरी को दीर्घवृत्त की बड़ी धुरी कहा जाता है, और दूसरी मुख्य धुरी को छोटी धुरी कहा जाता है।

2) संपूर्ण दीर्घवृत्त आयत के भीतर समाहित है

3) दीर्घवृत्त विलक्षणता ई< 1.

वास्तव में,

4) दीर्घवृत्त की नियताएं दीर्घवृत्त के बाहर स्थित होती हैं (चूंकि दीर्घवृत्त के केंद्र से दिशा की दूरी होती है) ए/ई, ए ई<1, следовательно, ए/ई>ए, और संपूर्ण दीर्घवृत्त एक आयत में स्थित है)

5) दूरी अनुपात आर मैंदीर्घवृत्त बिंदु से फोकस तक एफ मैंदूरी तक डी मैंइस बिंदु से फोकस के अनुरूप नियता दीर्घवृत्त की विलक्षणता के बराबर है।

सबूत।

बिंदु से दूरियां एम(एक्स, वाई)दीर्घवृत्त की नाभि तक को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

आइए डायरेक्ट्रिक्स समीकरण बनाएं:

(डी 1), (डी 2). तब यहाँ से आर आई / डी आई = ई, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता थी।

अतिपरवलय.

परिभाषा 11.5.अतिशयोक्तिसमतल में बिंदुओं का समूह है जिसके लिए दो निश्चित बिंदुओं की दूरी के अंतर का मापांक है एफ 1 और एफइस विमान के 2 को बुलाया गया चाल, एक स्थिर मान है.

आइए हम उसी नोटेशन का उपयोग करके, दीर्घवृत्त के समीकरण की व्युत्पत्ति के अनुरूप हाइपरबोला का विहित समीकरण प्राप्त करें।

|आर 1 - आर 2 | = 2ए, जहाँ से यदि हम निरूपित करते हैं बी² = सी² - ए², यहां से आप प्राप्त कर सकते हैं

- विहित अतिपरवलय समीकरण. (11.3)

परिभाषा 11.6.सनकअतिपरवलय को एक मात्रा कहा जाता है ई = सी/ए.

परिभाषा 11.7.स्कूल की संचालिका डी मैंफोकस के अनुरूप हाइपरबोला एफ मैं, उसी अर्ध-तल में स्थित एक सीधी रेखा कहलाती है एफ मैंअक्ष के सापेक्ष ओहअक्ष के लंबवत ओहदूरी पर ए/ईमूल से.

अतिपरवलय के गुण:

1) हाइपरबोला में दो सममिति अक्ष (हाइपरबोला की मुख्य अक्ष) और एक समरूपता केंद्र (हाइपरबोला का केंद्र) होता है। इस मामले में, इनमें से एक अक्ष हाइपरबोला के साथ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है, जिसे हाइपरबोला का शीर्ष कहा जाता है। इसे हाइपरबोला (अक्ष) का वास्तविक अक्ष कहा जाता है ओहसमन्वय प्रणाली की विहित पसंद के लिए)। अन्य अक्ष का हाइपरबोला के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है और इसे इसकी काल्पनिक धुरी कहा जाता है (विहित निर्देशांक में - अक्ष ओह). इसके दोनों ओर हाइपरबोला की दायीं और बायीं शाखाएँ हैं। हाइपरबोला का फोकस उसके वास्तविक अक्ष पर स्थित होता है।

2) हाइपरबोला की शाखाओं में दो अनंतस्पर्शी होते हैं, जो समीकरणों द्वारा निर्धारित होते हैं

3) हाइपरबोला (11.3) के साथ, हम विहित समीकरण द्वारा परिभाषित तथाकथित संयुग्म हाइपरबोला पर विचार कर सकते हैं

जिसके लिए समान अनंतस्पर्शी बनाए रखते हुए वास्तविक और काल्पनिक अक्षों की अदला-बदली की जाती है।

4) अतिपरवलय की विलक्षणता ई> 1.

5) दूरी अनुपात आर मैंअतिपरवलय बिंदु से फोकस तक एफ मैंदूरी तक डी मैंइस बिंदु से फोकस के अनुरूप नियता हाइपरबोला की विलक्षणता के बराबर है।

प्रमाण को दीर्घवृत्त के समान ही किया जा सकता है।

परवलय.

परिभाषा 11.8.परवलयसमतल पर बिंदुओं का समूह है जिसके लिए किसी निश्चित बिंदु की दूरी होती है एफयह तल किसी निश्चित सीधी रेखा की दूरी के बराबर है। डॉट एफबुलाया केंद्रपरवलय, और सीधी रेखा इसकी है स्कूल की संचालिका.

परवलय समीकरण प्राप्त करने के लिए, हम कार्टेशियन को चुनते हैं

समन्वय प्रणाली ताकि इसका मूल मध्य हो

डी एम(एक्स,वाई) लंबवत एफडी, निर्देश पर फोकस से हटा दिया गया

आर सु, ए समन्वय अक्षसमानांतर स्थित थे और

निदेशक के लंबवत. चलो खंड की लंबाई एफडी

डी ओ एफ एक्स के बराबर है आर. फिर समता से आर = डीयह उसका अनुसरण करता है

तब से

बीजगणितीय परिवर्तनइस समीकरण को इस रूप में घटाया जा सकता है: य² = 2 पिक्सल, (11.4)

बुलाया विहित परवलय समीकरण. परिमाण आरबुलाया पैरामीटरपरवलय.

परवलय के गुण:

1) परवलय में एक सममिति अक्ष (परवलय अक्ष) होता है। वह बिंदु जहां परवलय अक्ष को काटता है, परवलय का शीर्ष कहलाता है। यदि एक परवलय विहित समीकरण द्वारा दिया गया है, तो उसका अक्ष ही अक्ष है ओह,और शीर्ष निर्देशांक का मूल है।

2) संपूर्ण परवलय समतल के दाहिने आधे तल में स्थित है ओह!

टिप्पणी। दीर्घवृत्त और अतिपरवलय की नियताओं के गुणों और परवलय की परिभाषा का उपयोग करके, हम निम्नलिखित कथन को सिद्ध कर सकते हैं:

तल पर बिंदुओं का समुच्चय जिसके लिए संबंध है ईकिसी निश्चित बिंदु की दूरी से किसी सीधी रेखा की दूरी एक स्थिर मान है, यह एक दीर्घवृत्त है (साथ)। ई<1), гиперболу (при ई>1) या परवलय (साथ ई=1).

सम्बंधित जानकारी.

द्विघात रूप दिया गया है (2) ए(एक्स, एक्स) = , कहाँ एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन). अंतरिक्ष में एक द्विघात रूप पर विचार करें आर 3, अर्थात एक्स = (एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3), ए(एक्स, एक्स) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(हमने आकृति समरूपता की स्थिति का उपयोग किया, अर्थात् ए 12 = ए 21 , ए 13 = ए 31 , ए 23 = ए 32). आइए द्विघात रूप का एक मैट्रिक्स लिखें एआधार में ( ई}, ए(ई) =
. जब आधार बदलता है, तो सूत्र के अनुसार द्विघात रूप का मैट्रिक्स बदल जाता है ए(एफ) = सी टी ए(ई)सी, कहाँ सी– आधार से संक्रमण मैट्रिक्स ( ई) से आधार ( एफ), ए सी टी- ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स सी.

परिभाषा11.12. विकर्ण मैट्रिक्स वाले द्विघात रूप को कहा जाता है कैनन का.

तो चलिए ए(एफ) =
, तब ए"(एक्स, एक्स) =
+
+
, कहाँ एक्स" 1 , एक्स" 2 , एक्स" 3 - वेक्टर निर्देशांक एक्सनये आधार पर ( एफ}.

परिभाषा11.13. भीतर आएं एन वीऐसा आधार चुना जाता है एफ = {एफ 1 , एफ 2 , …, एफ एन), जिसमें द्विघात रूप का रूप होता है

ए(एक्स, एक्स) =
+
+ … +
, (3)

कहाँ य 1 , य 2 , …, य एन– वेक्टर निर्देशांक एक्सआधार में ( एफ). अभिव्यक्ति (3) कहा जाता है विहित दृश्यद्विघात रूप. गुणांक  1, λ 2, …, λ एनकहा जाता है कैनन का; वह आधार जिसमें द्विघात रूप का विहित रूप होता है, कहलाता है विहित आधार.

टिप्पणी. यदि द्विघात रूप ए(एक्स, एक्स) को विहित रूप में घटा दिया गया है, फिर, सामान्यतया, सभी गुणांक  नहीं मैंशून्य से भिन्न हैं. किसी भी आधार पर द्विघात रूप की रैंक उसके मैट्रिक्स की रैंक के बराबर होती है।

मान लीजिए कि पद को द्विघात रूप दिया गया है ए(एक्स, एक्स) बराबर है आर, कहाँ आर ≤ एन. विहित रूप में द्विघात रूप के एक मैट्रिक्स का एक विकर्ण रूप होता है। ए(एफ) =
, क्योंकि इसकी रैंक बराबर है आर, फिर गुणांकों के बीच  मैंहोना ही चाहिए आर, शून्य के बराबर नहीं. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि शून्येतर विहित गुणांकों की संख्या द्विघात रूप की रैंक के बराबर है।

टिप्पणी. निर्देशांक का एक रैखिक परिवर्तन चर से एक संक्रमण है एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एनचर के लिए य 1 , य 2 , …, य एन, जिसमें पुराने चरों को कुछ संख्यात्मक गुणांकों के साथ नये चरों के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।

एक्स 1 = α 11 य 1 + α 12 य 2 +… + α 1 एन य एन ,

एक्स 2 = α 2 1 य 1 + α 2 2 य 2 +… + α 2 एन य एन ,

………………………………

एक्स 1 = α एन 1 य 1 + α एन 2 य 2 +… + α एन य एन .

चूँकि प्रत्येक आधार परिवर्तन एक गैर-अपक्षयी रैखिक समन्वय परिवर्तन से मेल खाता है, एक द्विघात रूप को एक विहित रूप में कम करने का प्रश्न संबंधित गैर-अपक्षयी समन्वय परिवर्तन को चुनकर हल किया जा सकता है।

प्रमेय 11.2 (द्विघात रूपों के बारे में मुख्य प्रमेय)।कोई भी द्विघात रूप ए(एक्स, एक्स), में निर्दिष्ट एन-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष वी, एक गैर-अपक्षयी रैखिक समन्वय परिवर्तन का उपयोग करके विहित रूप में कम किया जा सकता है।

सबूत. (लैग्रेंज विधि) इस विधि का विचार प्रत्येक चर के लिए द्विघात त्रिपद को क्रमिक रूप से एक पूर्ण वर्ग में पूरक करना है। हम ऐसा मान लेंगे ए(एक्स, एक्स) ≠ 0 और आधार में ई = {ई 1 , ई 2 , …, ई एन) का रूप है (2):

ए(एक्स, एक्स) =
.

अगर ए(एक्स, एक्स) = 0, तो ( ए आईजे) = 0, अर्थात्, प्रपत्र पहले से ही विहित है। FORMULA ए(एक्स, एक्स) को परिवर्तित किया जा सकता है ताकि गुणांक ए 11 ≠ 0. यदि ए 11 = 0, तब दूसरे चर के वर्ग का गुणांक शून्य से भिन्न है, तब चरों को पुनः क्रमांकित करके यह सुनिश्चित करना संभव है कि ए 11 ≠ 0. चरों का पुन: क्रमांकन एक गैर-अपक्षयी रैखिक परिवर्तन है। यदि वर्गित चर के सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, तो आवश्यक परिवर्तन निम्नानुसार प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, चलो ए 12 ≠ 0 (ए(एक्स, एक्स) ≠ 0, तो कम से कम एक गुणांक ए आईजे≠ 0). परिवर्तन पर विचार करें

एक्स 1 = य 1 – य 2 ,

एक्स 2 = य 1 + य 2 ,

एक्स मैं = य मैं, पर मैं = 3, 4, …, एन.

यह परिवर्तन गैर-पतित है, क्योंकि इसके मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य है
= = 2 ≠ 0.

फिर 2 ए 12 एक्स 1 एक्स 2 = 2 ए 12 (य 1 – य 2)(य 1 + य 2) = 2
– 2
, अर्थात् रूप में ए(एक्स, एक्स) दो चरों के वर्ग एक साथ दिखाई देंगे।

ए(एक्स, एक्स) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

आइए आवंटित राशि को फॉर्म में बदलें:

ए(एक्स, एक्स) = ए 11
, (5)

जबकि गुणांक ए आईजेमें बदलो . गैर-पतित परिवर्तन पर विचार करें

य 1 = एक्स 1 + + … + ,

य 2 = एक्स 2 ,

य एन = एक्स एन .

फिर हमें मिलता है

ए(एक्स, एक्स) =
. (6).

यदि द्विघात रूप
= 0, तो कास्टिंग का सवाल ए(एक्स, एक्स) को विहित रूप में हल किया गया है।

यदि यह रूप शून्य के बराबर नहीं है, तो हम समन्वय परिवर्तनों पर विचार करते हुए तर्क दोहराते हैं य 2 , …, य एनऔर समन्वय को बदले बिना य 1. यह स्पष्ट है कि ये परिवर्तन गैर-विकृत होंगे। चरणों की एक सीमित संख्या में, द्विघात रूप ए(एक्स, एक्स) को विहित रूप (3) में घटा दिया जाएगा।

टिप्पणी 1. मूल निर्देशांक का आवश्यक परिवर्तन एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एनतर्क की प्रक्रिया में पाए जाने वाले गैर-विकृत परिवर्तनों को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है: [ एक्स] = ए[य], [य] = बी[जेड], [जेड] = सी[टी], तब [ एक्स] = एबी[जेड] = एबीसी[टी], वह है [ एक्स] = एम[टी], कहाँ एम = एबीसी.

टिप्पणी 2. चलो ए(एक्स, एक्स) = ए(एक्स, एक्स) =
+
+ …+
, कहाँ  मैं ≠ 0, मैं = 1, 2, …, आर, और  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ क्यू > 0, λ क्यू +1 < 0, …, λ आर < 0.

गैर-पतित परिवर्तन पर विचार करें

य 1 = जेड 1 , य 2 = जेड 2 , …, य क्यू = जेड क्यू , य क्यू +1 =
जेड क्यू +1 , …, य आर = जेड आर , य आर +1 = जेड आर +1 , …, य एन = जेड एन. नतीजतन ए(एक्स, एक्स) फॉर्म लेगा: ए(एक्स, एक्स) = + + … + – – … – जिसे कहा जाता है द्विघात रूप का सामान्य रूप.

उदाहरण11.1. द्विघात रूप को विहित रूप में कम करें ए(एक्स, एक्स) = 2एक्स 1 एक्स 2 – 6एक्स 2 एक्स 3 + 2एक्स 3 एक्स 1 .

समाधान. तब से ए 11 = 0, परिवर्तन का उपयोग करें

एक्स 1 = य 1 – य 2 ,

एक्स 2 = य 1 + य 2 ,

एक्स 3 = य 3 .

इस परिवर्तन में एक मैट्रिक्स है ए =
, वह है [ एक्स] = ए[य] हम पाते हैं ए(एक्स, एक्स) = 2(य 1 – य 2)(य 1 + य 2) – 6(य 1 + य 2)य 3 + 2य 3 (य 1 – य 2) =

2– 2– 6य 1 य 3 – 6य 2 य 3 + 2य 3 य 1 – 2य 3 य 2 = 2– 2– 4य 1 य 3 – 8य 3 य 2 .

चूंकि गुणांक पर शून्य के बराबर नहीं है, हम एक अज्ञात का वर्ग चुन सकते हैं, इसे रहने दें य 1. आइए हम सभी शब्दों का चयन करें य 1 .

ए(एक्स, एक्स) = 2(– 2य 1 य 3) – 2– 8य 3 य 2 = 2(– 2य 1 य 3 + ) – 2– 2– 8य 3 य 2 = 2(य 1 – य 3) 2 – 2– 2– 8य 3 य 2 .

आइए एक परिवर्तन करें जिसका मैट्रिक्स बराबर है बी.

जेड 1 = य 1 – य 3 ,  य 1 = जेड 1 + जेड 3 ,

जेड 2 = य 2 ,  य 2 = जेड 2 ,

जेड 3 = य 3 ;  य 3 = जेड 3 .

बी =
, [य] = बी[जेड].

हम पाते हैं ए(एक्स, एक्स) = 2– 2–– 8जेड 2 जेड 3. आइए युक्त शब्दों का चयन करें जेड 2. हमारे पास है ए(एक्स, एक्स) = 2– 2(+ 4जेड 2 जेड 3) – 2= 2– 2(+ 4जेड 2 जेड 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(जेड 2 + 2जेड 3) 2 + 6.

मैट्रिक्स परिवर्तन करना सी:

टी 1 = जेड 1 ,  जेड 1 = टी 1 ,

टी 2 = जेड 2 + 2जेड 3 ,  जेड 2 = टी 2 – 2टी 3 ,

टी 3 = जेड 3 ;  जेड 3 = टी 3 .

सी =
, [जेड] = सी[टी].

प्राप्त हुआ: ए(एक्स, एक्स) = 2– 2+ 6द्विघात रूप का विहित रूप, के साथ [ एक्स] = ए[य], [य] = बी[जेड], [जेड] = सी[टी], यहाँ से [ एक्स] = एबीसी[टी];

एबीसी =


=
. रूपांतरण सूत्र इस प्रकार हैं

एक्स 1 = टी 1 – टी 2 + टी 3 ,

एक्स 2 = टी 1 + टी 2 – टी 3 ,