मध्यवर्ती स्तर

द्विघात असमानताएँ. व्यापक मार्गदर्शिका (2019)

द्विघात समीकरणों को हल करने का तरीका जानने के लिए, हमें यह समझने की आवश्यकता है कि यह क्या है द्विघात कार्य, और इसमें क्या गुण हैं।

आपने शायद सोचा होगा कि आखिर द्विघात फलन की आवश्यकता क्यों है? इसका ग्राफ (परवलय) कहाँ लागू होता है? हाँ, आपको बस चारों ओर देखना है, और आप इसे हर दिन देखेंगे रोजमर्रा की जिंदगीतुम उसका सामना करो. क्या आपने देखा है कि शारीरिक शिक्षा में फेंकी गई गेंद कैसे उड़ती है? "चाप के साथ"? सबसे सही उत्तर "परवलय" होगा! और फव्वारे में जेट किस प्रक्षेप पथ पर चलता है? हाँ, परवलय में भी! गोली या गोला कैसे उड़ता है? यह सही है, परवलय में भी! इस प्रकार, द्विघात फलन के गुणों को जानकर कई व्यावहारिक समस्याओं का समाधान करना संभव होगा। उदाहरण के लिए, अधिकतम दूरी सुनिश्चित करने के लिए गेंद को किस कोण पर फेंका जाना चाहिए? या, यदि आप इसे एक निश्चित कोण पर प्रक्षेपित करते हैं तो प्रक्षेप्य कहाँ समाप्त होगा? वगैरह।

द्विघात फलन

तो, आइए इसका पता लगाएं।

उदाहरण के लिए, । यहाँ क्या समानताएँ हैं, और? बेशक!

क्या होगा अगर, यानी शून्य से कम? खैर, निःसंदेह, हम "दुखी" हैं, जिसका अर्थ है कि शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाएगा! आइए ग्राफ़ देखें.

यह चित्र किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है. चूंकि, यानी शून्य से कम पर परवलय की शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं। इसके अलावा, आपने शायद पहले ही देखा होगा कि इस परवलय की शाखाएँ अक्ष को काटती हैं, जिसका अर्थ है कि समीकरण की 2 जड़ें हैं, और फ़ंक्शन सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान लेता है!

आरंभ में जब हमने द्विघात फलन की परिभाषा दी तो कहा गया कि ये कुछ संख्याएँ हैं। क्या वे शून्य के बराबर हो सकते हैं? खैर, बेशक वे कर सकते हैं! मैं इससे भी बड़ा रहस्य उजागर करूंगा (जो बिल्कुल भी रहस्य नहीं है, लेकिन यह उल्लेख करने योग्य है): इन नंबरों पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है (और)!

खैर, आइए देखें कि यदि और शून्य के बराबर हैं तो ग्राफ़ का क्या होता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, विचाराधीन कार्यों (और) के ग्राफ़ स्थानांतरित हो गए हैं ताकि उनके शीर्ष अब निर्देशांक के साथ बिंदु पर हों, यानी, अक्षों के चौराहे पर और, इससे शाखाओं की दिशा पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है . इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वे समन्वय प्रणाली के साथ परवलय ग्राफ के "आंदोलन" के लिए जिम्मेदार हैं।

किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ अक्ष को एक बिंदु पर स्पर्श करता है। इसका मतलब यह है कि समीकरण का एक मूल है। इस प्रकार, फ़ंक्शन शून्य से अधिक या उसके बराबर मान लेता है।

हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ उसी तर्क का पालन करते हैं। यह एक बिंदु पर x-अक्ष को स्पर्श करता है। इसका मतलब यह है कि समीकरण का एक मूल है। इस प्रकार, फ़ंक्शन शून्य से कम या उसके बराबर मान लेता है।

इस प्रकार, किसी व्यंजक का चिह्न निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले आपको समीकरण के मूल ज्ञात करने होंगे। यह हमारे लिए बहुत उपयोगी होगा.

द्विघात असमानता

ऐसी असमानताओं को हल करते समय, हमें यह निर्धारित करने की क्षमता की आवश्यकता होगी कि एक द्विघात फलन कहां बड़ा, कम या शून्य के बराबर है। वह है:

• यदि हमारे पास रूप की असमानता है, तो वास्तव में कार्य मूल्यों के संख्यात्मक अंतराल को निर्धारित करने के लिए नीचे आता है जिसके लिए परवलय अक्ष के ऊपर स्थित होता है।
• यदि हमारे पास फॉर्म की असमानता है, तो वास्तव में कार्य x मानों के संख्यात्मक अंतराल को निर्धारित करने के लिए नीचे आता है जिसके लिए परवलय अक्ष के नीचे स्थित होता है।

यदि असमानताएँ सख्त नहीं हैं, तो जड़ें (अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक) वांछित संख्यात्मक अंतराल में शामिल हैं, सख्त असमानताओं के मामले में, उन्हें बाहर रखा गया है;

यह सब काफी औपचारिक है, लेकिन निराश या भयभीत न हों! अब आइए उदाहरण देखें, और सब कुछ ठीक हो जाएगा।

द्विघात असमानताओं को हल करते समय, हम दिए गए एल्गोरिदम का पालन करेंगे, और अपरिहार्य सफलता हमारा इंतजार कर रही है!

एल्गोरिदम	उदाहरण:
1) आइए हम संबंधित असमानता को लिखें द्विघात समीकरण(बस असमानता चिह्न को समान चिह्न "=" में बदलें)।
2) आइए इस समीकरण की जड़ें खोजें।
3) अक्ष पर जड़ों को चिह्नित करें और योजनाबद्ध रूप से परवलय की शाखाओं का अभिविन्यास दिखाएं ("ऊपर" या "नीचे")
4) आइए अक्ष पर द्विघात फलन के चिह्न के अनुरूप चिह्न लगाएं: जहां परवलय अक्ष के ऊपर है, वहां हम " " डालते हैं, और जहां नीचे - " " डालते हैं।
5) असमानता चिह्न के आधार पर " " या " " के अनुरूप अंतराल लिखें। यदि असमानता सख्त नहीं है, तो जड़ों को अंतराल में शामिल किया जाता है, यदि यह सख्त है, तो नहीं।

समझ गया? फिर आगे बढ़ें और इसे पिन करें!

उदाहरण:

अच्छा, क्या यह काम कर गया? यदि आपको कोई कठिनाई हो तो समाधान खोजें।

समाधान:

आइए चिह्न " " के संगत अंतरालों को लिखें, क्योंकि असमानता का चिह्न " " है। असमानता सख्त नहीं है, इसलिए जड़ों को अंतराल में शामिल किया गया है:

आइए संगत द्विघात समीकरण लिखें:

आइए इस द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें:

आइए हम प्राप्त जड़ों को अक्ष पर योजनाबद्ध रूप से चिह्नित करें और संकेतों को व्यवस्थित करें:

आइए चिह्न " " के संगत अंतरालों को लिखें, क्योंकि असमानता का चिह्न " " है। असमानता सख्त है, इसलिए जड़ों को अंतराल में शामिल नहीं किया गया है:

आइए संगत द्विघात समीकरण लिखें:

आइए इस द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें:

इस समीकरण का एक मूल है

आइए हम प्राप्त जड़ों को अक्ष पर योजनाबद्ध रूप से चिह्नित करें और संकेतों को व्यवस्थित करें:

आइए चिह्न " " के संगत अंतरालों को लिखें, क्योंकि असमानता का चिह्न " " है। किसी के लिए, फ़ंक्शन गैर-नकारात्मक मान लेता है। चूँकि असमानता सख्त नहीं है, उत्तर होगा।

आइए संगत द्विघात समीकरण लिखें:

आइए इस द्विघात समीकरण की जड़ें खोजें:

आइए योजनाबद्ध रूप से एक परवलय का ग्राफ बनाएं और संकेतों को व्यवस्थित करें:

आइए चिह्न " " के संगत अंतरालों को लिखें, क्योंकि असमानता का चिह्न " " है। किसी के लिए, फ़ंक्शन सकारात्मक मान लेता है, इसलिए, असमानता का समाधान अंतराल होगा:

वर्ग असमानताएँ. मध्य स्तर

द्विघात फलन.

"द्विघात असमानताएँ" विषय पर बात करने से पहले, आइए याद रखें कि द्विघात फलन क्या है और इसका ग्राफ क्या है।

दूसरे शब्दों में, यह दूसरी डिग्री का बहुपद.

एक द्विघात फलन का ग्राफ़ एक परवलय है (याद रखें कि वह क्या है?)। इसकी शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं यदि "ए) फ़ंक्शन सभी के लिए केवल सकारात्मक मान लेता है, और दूसरे () में - केवल नकारात्मक:

उस स्थिति में जब समीकरण () का बिल्कुल एक मूल होता है (उदाहरण के लिए, यदि विवेचक शून्य है), तो इसका मतलब है कि ग्राफ़ अक्ष को छूता है:

फिर, पिछले मामले के समान, " के लिए।

इसलिए, हमने हाल ही में सीखा कि यह कैसे निर्धारित किया जाए कि एक द्विघात फलन कहां शून्य से बड़ा है और कहां कम है:

यदि द्विघात असमानता सख्त नहीं है, तो जड़ों को संख्यात्मक अंतराल में शामिल किया जाता है, यदि यह सख्त है, तो नहीं;

यदि केवल एक ही जड़ है, तो कोई बात नहीं, हर जगह एक ही चिन्ह होगा। यदि कोई जड़ें नहीं हैं, तो सब कुछ केवल गुणांक पर निर्भर करता है: यदि "25((x)^(2))-30x+9

उत्तर:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

कोई जड़ें नहीं हैं, इसलिए बाईं ओर की पूरी अभिव्यक्ति पहले गुणांक का संकेत लेती है:

• यदि आप एक संख्यात्मक अंतराल खोजना चाहते हैं जिस पर द्विघात त्रिपद शून्य से बड़ा है, तो यह संख्यात्मक अंतराल है जहां परवलय अक्ष के ऊपर स्थित होता है।
• यदि आप एक संख्यात्मक अंतराल खोजना चाहते हैं जिस पर द्विघात त्रिपद शून्य से कम है, तो यह संख्यात्मक अंतराल है जहां परवलय अक्ष के नीचे स्थित होता है।

वर्ग असमानताएँ. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

द्विघात फलनप्रपत्र का एक कार्य है: ,

द्विघात फलन का ग्राफ एक परवलय होता है। इसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं यदि, और नीचे की ओर यदि:

द्विघात असमानताओं के प्रकार:

सभी द्विघात असमानताएँ निम्नलिखित चार प्रकारों में कम हो जाती हैं:

समाधान एल्गोरिथ्म:

एल्गोरिदम	उदाहरण:
1) आइए असमानता के अनुरूप द्विघात समीकरण लिखें (बस असमानता चिह्न को समान चिह्न "" में बदलें)।
2) आइए इस समीकरण की जड़ें खोजें।
3) अक्ष पर जड़ों को चिह्नित करें और योजनाबद्ध रूप से परवलय की शाखाओं का अभिविन्यास दिखाएं ("ऊपर" या "नीचे")
4) आइए अक्ष पर द्विघात फलन के चिह्न के अनुरूप चिह्न लगाएं: जहां परवलय अक्ष के ऊपर है, वहां हम " " डालते हैं, और जहां नीचे - " " डालते हैं।
5) असमानता चिह्न के आधार पर " " या " " के अनुरूप अंतराल लिखें। यदि असमानता सख्त नहीं है, तो जड़ों को अंतराल में शामिल किया जाता है, यदि यह सख्त है, तो नहीं।

द्विघात असमानता - "FROM और TO"।इस लेख में हम द्विघात असमानताओं के समाधान पर गौर करेंगे, जिसे सूक्ष्मता कहा जाता है। मैं कुछ भी खोए बिना लेख में सामग्री का ध्यानपूर्वक अध्ययन करने की सलाह देता हूं। आप तुरंत लेख पर महारत हासिल नहीं कर पाएंगे, मैं इसे कई तरीकों से करने की सलाह देता हूं, इसमें बहुत सारी जानकारी है।

सामग्री:

परिचय। महत्वपूर्ण!

परिचय। महत्वपूर्ण!

द्विघात असमानता इस प्रकार की असमानता है:

यदि आप एक द्विघात समीकरण लेते हैं और उपरोक्त में से किसी के साथ बराबर चिह्न को प्रतिस्थापित करते हैं, तो आपको एक द्विघात असमानता मिलती है। किसी असमानता को हल करने का अर्थ इस प्रश्न का उत्तर देना है कि x के किन मानों के लिए यह असमानता सत्य होगी। उदाहरण:

10 एक्स 2 – 6 एक्स+12 ≤ 0

2 एक्स 2 + 5 एक्स –500 > 0

– 15 एक्स 2 – 2 एक्स+13 > 0

8 एक्स 2 – 15 एक्स+45≠ 0

द्विघात असमानता को स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:

10 एक्स 2 – 6 एक्स+14 एक्स 2 –5 एक्स +2≤ 56

2 एक्स 2 > 36

8 एक्स 2 <–15 एक्स 2 – 2 एक्स+13

0> – 15 एक्स 2 – 2 एक्स+13

इस मामले में, बीजगणितीय परिवर्तन करना और इसे मानक रूप (1) में लाना आवश्यक है।

*गुणांक भिन्नात्मक और तर्कहीन हो सकते हैं, लेकिन ऐसे उदाहरण स्कूली पाठ्यक्रम में दुर्लभ हैं, और एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों में बिल्कुल भी नहीं पाए जाते हैं। लेकिन, उदाहरण के लिए, यदि आपका सामना हो तो चिंतित न हों:

यह भी एक द्विघात असमानता है.

सबसे पहले, आइए एक सरल समाधान एल्गोरिथ्म को देखें जिसमें यह समझने की आवश्यकता नहीं है कि एक द्विघात फ़ंक्शन क्या है और इसका ग्राफ़ समन्वय अक्षों के सापेक्ष समन्वय तल पर कैसा दिखता है। यदि आप जानकारी को दृढ़तापूर्वक और लंबे समय तक याद रखने में सक्षम हैं, और नियमित रूप से अभ्यास के साथ इसे सुदृढ़ करते हैं, तो एल्गोरिदम आपकी मदद करेगा। इसके अलावा, यदि, जैसा कि वे कहते हैं, आपको ऐसी असमानता को "तुरंत" हल करने की आवश्यकता है, तो एल्गोरिदम आपकी मदद करेगा। इसका पालन करके आप आसानी से समाधान लागू कर सकेंगे।

यदि आप स्कूल में पढ़ रहे हैं, तो मैं दृढ़ता से अनुशंसा करता हूं कि आप लेख का अध्ययन दूसरे भाग से शुरू करें, जो समाधान का पूरा अर्थ बताता है (नीचे बिंदु से देखें -)। यदि आप सार को समझते हैं, तो निर्दिष्ट एल्गोरिदम को सीखने या याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं होगी, आप किसी भी द्विघात असमानता को आसानी से हल कर सकते हैं;

निःसंदेह, मुझे तुरंत ही द्विघात फलन के ग्राफ और स्वयं अर्थ की व्याख्या के साथ स्पष्टीकरण शुरू करना चाहिए था, लेकिन मैंने इस तरह से लेख का "निर्माण" करने का निर्णय लिया।

एक और सैद्धांतिक बात! द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करने का सूत्र देखें:

जहाँ x 1 और x 2 द्विघात समीकरण ax 2 के मूल हैं+ बीएक्स+सी=0

*द्विघात असमानता को हल करने के लिए, द्विघात त्रिपद का गुणनखंड करना आवश्यक होगा।

नीचे प्रस्तुत एल्गोरिदम को अंतराल विधि भी कहा जाता है। यह प्रपत्र की असमानताओं को हल करने के लिए उपयुक्त है एफ(एक्स)>0, एफ(एक्स)<0 , एफ(एक्स)≥0 औरएफ(एक्स)≤0 . कृपया ध्यान दें कि दो से अधिक गुणक हो सकते हैं, उदाहरण के लिए:

(x–10)(x+5)(x–1)(x+104)(x+6)(x–1)<0

समाधान एल्गोरिथ्म. अंतराल विधि. उदाहरण.

असमानता को देखते हुए कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स+ सी > 0 (कोई चिह्न)।

1. एक द्विघात समीकरण लिखिए कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स+ सी = 0 और इसे हल करें. हम पाते हैं एक्स 1 और एक्स 2- द्विघात समीकरण की जड़ें.

2. गुणांक को सूत्र (2) में रखें ए और जड़ें. :

ए(एक्स – एक्स 1 )(एक्स – x 2)>0

3. संख्या रेखा पर अंतरालों को परिभाषित करें (समीकरण की जड़ें संख्या रेखा को अंतरालों में विभाजित करती हैं):

4. अभिव्यक्ति में प्रत्येक परिणामी अंतराल से एक मनमाना "x" मान प्रतिस्थापित करके अंतराल (+ या -) पर "चिह्न" निर्धारित करें:

ए(एक्स – एक्स 1 )(एक्स – x2)

और उनका जश्न मनाओ.

5. जो कुछ बचा है वह उन अंतरालों को लिखना है जिनमें हमारी रुचि है, उन्हें चिह्नित किया गया है:

- यदि असमानता में ">0" या "≥0" है तो "+" चिह्न के साथ।

- चिन्ह "-" यदि असमानता शामिल है "<0» или «≤0».

ध्यान देना!!! असमानता में संकेत स्वयं हो सकते हैं:

सख्त - यह ">", " है<» и нестрогими – это «≥», «≤».

इसका निर्णय के परिणाम पर क्या प्रभाव पड़ता है?

सख्त असमानता संकेतों के साथ, अंतराल की सीमाएं समाधान में शामिल नहीं हैं, जबकि उत्तर में अंतराल स्वयं फॉर्म में लिखा गया है ( एक्स 1 ; एक्स 2 ) - गोल कोष्ठक।

कमजोर असमानता संकेतों के लिए, अंतराल की सीमाओं को समाधान में शामिल किया जाता है, और उत्तर फॉर्म में लिखा जाता है [ एक्स 1 ; एक्स 2 ] - वर्गाकार कोष्ठक।

*यह न केवल द्विघात असमानताओं पर लागू होता है। वर्गाकार कोष्ठक का अर्थ है कि अंतराल सीमा स्वयं समाधान में शामिल है।

आप इसे उदाहरणों में देखेंगे. आइए इस बारे में सभी प्रश्नों को स्पष्ट करने के लिए कुछ पर नजर डालें। सिद्धांत रूप में, एल्गोरिदम कुछ जटिल लग सकता है, लेकिन वास्तव में सब कुछ सरल है।

उदाहरण 1: हल करें एक्स 2 – 60 एक्स+500 ≤ 0

द्विघात समीकरण को हल करना एक्स 2 –60 एक्स+500=0

डी = बी 2 –4 ए.सी = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

जड़ें ढूँढना:

गुणांक को प्रतिस्थापित करें ए

एक्स 2 –60 एक्स+500 = (x–50)(x–10)

हम असमानता को फॉर्म में लिखते हैं (x–50)(x–10) ≤ 0

समीकरण के मूल संख्या रेखा को अंतरालों में विभाजित करते हैं। आइए उन्हें संख्या रेखा पर दिखाएं:

हमें तीन अंतराल (–∞;10), (10;50) और (50;+∞) प्राप्त हुए।

हम अंतराल पर "संकेत" निर्धारित करते हैं; हम प्रत्येक परिणामी अंतराल के मनमाने मूल्यों को अभिव्यक्ति (x-50)(x-10) में प्रतिस्थापित करके करते हैं और परिणामी "चिह्न" के साइन इन के पत्राचार को देखते हैं। असमानता (x–50)(x–10) ≤ 0:

x=2 पर (x–50)(x–10) = 384 > 0 ग़लत

x=20 पर (x–50)(x–10) = –300 < 0 верно

x=60 पर (x–50)(x–10) = 500 > 0 ग़लत

समाधान अंतराल होगा.

इस अंतराल से x के सभी मानों के लिए असमानता सत्य होगी।

*कृपया ध्यान दें कि हमने वर्गाकार कोष्ठक शामिल किए हैं।

x = 10 और x = 50 के लिए, असमानता भी सत्य होगी, अर्थात समाधान में सीमाएँ शामिल हैं।

उत्तर: x∊

दोबारा:

- अंतराल की सीमाएं असमानता के समाधान में शामिल होती हैं जब स्थिति में चिह्न ≤ या ≥ (गैर-सख्त असमानता) होता है। इस मामले में, परिणामी जड़ों को एक HASHED सर्कल के साथ एक स्केच में प्रदर्शित करने की प्रथा है।

- जब स्थिति में चिह्न शामिल हो तो अंतराल की सीमाएं असमानता के समाधान में शामिल नहीं होती हैं< или >(सख्त असमानता)। इस मामले में, रूट को स्केच में अनहैश्ड सर्कल के रूप में प्रदर्शित करने की प्रथा है।

उदाहरण 2: हल करें एक्स 2 + 4 एक्स–21 > 0

द्विघात समीकरण को हल करना एक्स 2 + 4 एक्स–21 = 0

डी = बी 2 –4 ए.सी = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

जड़ें ढूँढना:

गुणांक को प्रतिस्थापित करें एऔर सूत्र (2) में जड़ें, हमें मिलती हैं:

एक्स 2 + 4 एक्स–21 = (x–3)(x+7)

हम असमानता को फॉर्म में लिखते हैं (x–3)(x+7) > 0.

समीकरण के मूल संख्या रेखा को अंतरालों में विभाजित करते हैं। आइए उन्हें संख्या रेखा पर अंकित करें:

*असमानता सख्त नहीं है, इसलिए जड़ों के प्रतीकों को छायांकित नहीं किया गया है। हमें तीन अंतराल (-∞;–7), (–7;3) और (3;+∞) प्राप्त हुए।

हम अंतरालों पर "चिह्न" निर्धारित करते हैं, हम इन अंतरालों के मनमाने मूल्यों को अभिव्यक्ति (x–3)(x+7) में प्रतिस्थापित करके ऐसा करते हैं और असमानता के अनुपालन की तलाश करते हैं (x–3)(x+7)> 0:

x=-10 (-10-3)(-10 +7) = 39 > 0 पर सही

x= 0 (0–3)(0 +7) = -21 पर< 0 неверно

x=10 (10-3)(10 +7) = 119 > 0 पर सही

समाधान दो अंतराल (–∞;–7) और (3;+∞) होंगे। इन अंतरालों से x के सभी मानों के लिए असमानता सत्य होगी।

*ध्यान दें कि हमने कोष्ठक शामिल किए हैं। x = 3 और x = -7 पर असमानता गलत होगी - समाधान में सीमाएँ शामिल नहीं हैं।

उत्तर: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

उदाहरण 3: हल करें – एक्स 2 –9 एक्स–20 > 0

द्विघात समीकरण को हल करना – एक्स 2 –9 एक्स–20 = 0.

ए = –1 बी = –9 सी = –20

डी = बी 2 –4 ए.सी = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

जड़ें ढूँढना:

गुणांक को प्रतिस्थापित करें एऔर सूत्र (2) में जड़ें, हमें मिलती हैं:

– एक्स 2 –9 एक्स–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)

हम असमानता को फॉर्म में लिखते हैं –(x+5)(x+4) > 0.

समीकरण के मूल संख्या रेखा को अंतरालों में विभाजित करते हैं। आइए संख्या रेखा पर अंकित करें:

*असमानता सख्त है, इसलिए जड़ों के प्रतीकों को छायांकित नहीं किया गया है। हमें तीन अंतराल (-∞;–5), (–5; –4) और (–4;+∞) मिले।

हम अंतरालों पर "संकेतों" को परिभाषित करते हैं, हम इसे अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करके करते हैं –(x+5)(x+4)इन अंतरालों के मनमाने मूल्य और असमानता के पत्राचार को देखें –(x+5)(x+4)>0:

x= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30 पर< 0 неверно

x= –4.5 पर – (–4.5+5)(–4.5+4) = 0.25 > 0 सही

x= 0 पर – (0+5)(0 +4) = –20< 0 неверно

समाधान अंतराल (-5,-4) होगा। इससे संबंधित "x" के सभी मूल्यों के लिए, असमानता सत्य होगी।

*कृपया ध्यान दें कि सीमाएँ समाधान का हिस्सा नहीं हैं। x = -5 और x = -4 के लिए असमानता सत्य नहीं होगी।

टिप्पणी!

द्विघात समीकरण को हल करते समय, हो सकता है कि हमारे पास एक मूल हो या कोई मूल ही न हो, फिर इस विधि का आँख बंद करके उपयोग करने पर, समाधान निर्धारित करने में कठिनाइयाँ उत्पन्न हो सकती हैं।

एक छोटा सा सारांश! यह विधि उपयोग करने के लिए अच्छी और सुविधाजनक है, खासकर यदि आप द्विघात फ़ंक्शन से परिचित हैं और इसके ग्राफ़ के गुणों को जानते हैं। यदि नहीं, तो कृपया एक नज़र डालें और अगले भाग पर जाएँ।

द्विघात फलन के ग्राफ़ का उपयोग करना। मेरा सुझाव है!

द्विघात रूप का एक कार्य है:

इसका ग्राफ एक परवलय है, परवलय की शाखाएँ ऊपर या नीचे की ओर निर्देशित होती हैं:

ग्राफ़ को निम्नानुसार स्थित किया जा सकता है: यह x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काट सकता है, यह इसे एक बिंदु (शीर्ष) पर छू सकता है, या यह प्रतिच्छेद नहीं कर सकता है। इस पर बाद में और अधिक जानकारी।

आइए अब इस दृष्टिकोण को एक उदाहरण से देखें। संपूर्ण समाधान प्रक्रिया में तीन चरण होते हैं. आइए असमानता का समाधान करें एक्स 2 +2 एक्स –8 >0.

प्रथम चरण

समीकरण हल करना एक्स 2 +2 एक्स–8=0.

डी = बी 2 –4 ए.सी = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

जड़ें ढूँढना:

हमें x 1 = 2 और x 2 = - 4 मिला।

दूसरा चरण

एक परवलय का निर्माण आप=एक्स 2 +2 एक्स–8 अंकों के अनुसार:

बिंदु 4 और 2 परवलय और x अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। यह सरल है! आपने क्या किया? हमने द्विघात समीकरण हल किया एक्स 2 +2 एक्स–8=0. उनकी पोस्ट इस तरह देखें:

0 = एक्स 2+2x – 8

हमारे लिए शून्य "y" का मान है। जब y = 0, तो हमें x अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का भुज मिलता है। हम कह सकते हैं कि शून्य मान "y" x अक्ष है।

अब देखें कि अभिव्यक्ति x का क्या मान है एक्स 2 +2 एक्स – 8 शून्य से अधिक (या कम)? परवलय ग्राफ़ से यह निर्धारित करना कठिन नहीं है, जैसा कि वे कहते हैं, सब कुछ दृष्टि में है:

1. एक्स पर< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен एक्स 2 +2 एक्स –8 सकारात्मक होगा.

2. -4 पर< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен एक्स 2 +2 एक्स –8 नकारात्मक होगा.

3. x > 2 के लिए, परवलय की शाखा x अक्ष के ऊपर स्थित है। निर्दिष्ट x के लिए, त्रिपद एक्स 2 +2 एक्स –8 सकारात्मक होगा.

तीसरा चरण

परवलय से हम तुरंत देख सकते हैं कि अभिव्यक्ति किस x पर है एक्स 2 +2 एक्स–8 शून्य से अधिक, शून्य के बराबर, शून्य से कम। यह समाधान के तीसरे चरण का सार है, अर्थात् ड्राइंग में सकारात्मक और नकारात्मक क्षेत्रों को देखना और पहचानना। हम प्राप्त परिणाम की तुलना मूल असमानता से करते हैं और उत्तर लिखते हैं। हमारे उदाहरण में, x के सभी मानों को निर्धारित करना आवश्यक है जिसके लिए अभिव्यक्ति एक्स 2 +2 एक्स–8 शून्य से भी अधिक. हमने दूसरे चरण में ऐसा किया.

जो कुछ बचा है वह उत्तर लिखना है।

उत्तर: x∊(–∞;–4) U (2;∞).

आइए संक्षेप में बताएं: पहले चरण में समीकरण की जड़ों की गणना करने के बाद, हम x-अक्ष पर परिणामी बिंदुओं को चिह्नित कर सकते हैं (ये x-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं)। इसके बाद, हम योजनाबद्ध रूप से एक परवलय का निर्माण करते हैं और हम पहले से ही समाधान देख सकते हैं। योजनाबद्ध क्यों? हमें गणितीय रूप से सटीक शेड्यूल की आवश्यकता नहीं है। और कल्पना करें, उदाहरण के लिए, यदि मूल 10 और 1500 हैं, तो ऐसे मानों की श्रृंखला के साथ कागज की एक शीट पर एक सटीक ग्राफ बनाने का प्रयास करें। सवाल उठता है! ठीक है, हमें जड़ें मिल गईं, ठीक है, हमने उन्हें ओ-अक्ष पर चिह्नित किया है, लेकिन क्या हमें परवलय के स्थान को स्वयं स्केच करना चाहिए - इसकी शाखाओं को ऊपर या नीचे के साथ? यहाँ सब कुछ सरल है! x 2 का गुणांक आपको बताएगा:

- यदि यह शून्य से अधिक है, तो परवलय की शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं।

- यदि शून्य से कम हो तो परवलय की शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं।

हमारे उदाहरण में, यह एक के बराबर है, अर्थात सकारात्मक है।

*टिप्पणी! यदि असमानता में एक गैर-सख्त चिह्न है, अर्थात ≤ या ≥, तो संख्या रेखा पर जड़ों को छायांकित किया जाना चाहिए, यह पारंपरिक रूप से इंगित करता है कि अंतराल की सीमा स्वयं असमानता के समाधान में शामिल है। इस मामले में, जड़ों को छायांकित नहीं किया जाता है (छिद्रित कर दिया जाता है), क्योंकि हमारी असमानता सख्त है (एक ">" चिह्न है)। इसके अलावा, इस मामले में, उत्तर वर्गाकार के बजाय कोष्ठक का उपयोग करता है (समाधान में सीमाएँ शामिल नहीं हैं)।

बहुत कुछ लिखा जा चुका है, मैंने शायद किसी को भ्रमित कर दिया है। लेकिन यदि आप परवलय का उपयोग करके कम से कम 5 असमानताओं को हल करते हैं, तो आपकी प्रशंसा की कोई सीमा नहीं होगी। यह सरल है!

तो, संक्षेप में:

1. हम असमानता को लिखते हैं और इसे मानक एक तक कम करते हैं।

2. एक द्विघात समीकरण लिखिए और उसे हल कीजिए।

3. x अक्ष बनाएं, परिणामी जड़ों को चिह्नित करें, योजनाबद्ध रूप से एक परवलय बनाएं, यदि x 2 का गुणांक सकारात्मक है तो शाखाएं ऊपर की ओर हों, या यदि यह नकारात्मक है तो शाखाएं नीचे की ओर हों।

4. सकारात्मक या नकारात्मक क्षेत्रों को दृष्टिगत रूप से पहचानें और मूल असमानता का उत्तर लिखें।

आइए उदाहरण देखें.

उदाहरण 1: हल करें एक्स 2 –15 एक्स+50 > 0

प्रथम चरण।

द्विघात समीकरण को हल करना एक्स 2 –15 एक्स+50=0

डी = बी 2 –4 ए.सी = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

जड़ें ढूँढना:

दूसरा चरण.

हम अक्ष O का निर्माण कर रहे हैं। आइए परिणामी जड़ों को चिह्नित करें। चूँकि हमारी असमानता सख्त है, हम उन पर छाया नहीं डालेंगे। हम योजनाबद्ध रूप से एक परवलय का निर्माण करते हैं, यह अपनी शाखाओं के साथ ऊपर की ओर स्थित होता है, क्योंकि x 2 का गुणांक सकारात्मक है:

तीसरा चरण.

हम दृष्टिगत रूप से सकारात्मक और नकारात्मक क्षेत्रों को परिभाषित करते हैं, यहां हमने स्पष्टता के लिए उन्हें अलग-अलग रंगों में चिह्नित किया है, आपको ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है।

हम उत्तर लिखते हैं.

उत्तर: x∊(–∞;5) U (10;∞).

*यू चिन्ह एक एकीकरण समाधान को इंगित करता है। लाक्षणिक रूप से कहें तो, समाधान "यह" और "यह भी" अंतराल है।

उदाहरण 2: हल करें – एक्स 2 + एक्स+20 ≤ 0

प्रथम चरण।

द्विघात समीकरण को हल करना – एक्स 2 + एक्स+20=0

डी = बी 2 –4 ए.सी = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

जड़ें ढूँढना:

दूसरा चरण.

हम अक्ष O का निर्माण कर रहे हैं। आइए परिणामी जड़ों को चिह्नित करें। चूँकि हमारी असमानता सख्त नहीं है, हम जड़ों के पदनामों को छायांकित करते हैं। हम योजनाबद्ध रूप से एक परवलय का निर्माण करते हैं, यह नीचे की ओर शाखाओं के साथ स्थित है, क्योंकि x 2 का गुणांक ऋणात्मक है (यह -1 के बराबर है):

तीसरा चरण.

हम सकारात्मक और नकारात्मक क्षेत्रों को दृष्टिगत रूप से पहचानते हैं। हम इसकी तुलना मूल असमानता से करते हैं (हमारा चिह्न ≤ 0 है)। असमानता x ≤ – 4 और x ≥ 5 के लिए सत्य होगी।

हम उत्तर लिखते हैं.

उत्तर: x∊(–∞;–4] U; एस. ए. टेलियाकोवस्की द्वारा संपादित। - 16वां संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2008. - 271 पीपी.: बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09 -019243-9।