स्कूल में वे हमें सब पढ़ाते हैं सरल नियम, जिसे शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता। उसी समय, जब हम प्रश्न पूछते हैं: "क्यों?", तो वे हमें उत्तर देते हैं: "यह सिर्फ एक नियम है और आपको इसे जानना आवश्यक है।" इस लेख में मैं आपको यह समझाने की कोशिश करूंगा कि आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते। वे लोग गलत क्यों हैं जो कहते हैं कि आप शून्य से भाग दे सकते हैं और फिर अनंत प्राप्त होता है?
आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते?
औपचारिक रूप से, गणित में, केवल दो क्रियाएँ होती हैं। संख्याओं का जोड़ और गुणा. तो घटाव और विभाजन के बारे में क्या? आइए इस उदाहरण पर विचार करें. 7-4=3, हम सभी जानते हैं कि सात घटा चार तीन के बराबर होगा। वास्तव में, इस उदाहरण को, औपचारिक रूप से, समीकरण x+4=7 को हल करने का एक तरीका माना जा सकता है। यानी, हम एक ऐसी संख्या चुनते हैं, जिसे चार में जोड़ने पर 7 आएगा। तब हमें ज्यादा देर सोचने की जरूरत नहीं पड़ेगी और पता चलेगा कि यह संख्या तीन के बराबर है। विभाजन के साथ भी ऐसा ही है. मान लीजिए 12/3. यह x*3=12 के समान ही होगा.
हम एक संख्या चुनते हैं, जिसे 3 से गुणा करने पर हमें 12 प्राप्त होगा इस मामले मेंवह चार बनता है. यह बिल्कुल स्पष्ट है. 7/0 जैसे उदाहरणों के बारे में क्या? यदि हम सात को शून्य से विभाजित करके लिखें तो क्या होगा? इसका मतलब यह है कि हम 0*x=7 के रूप का एक समीकरण हल कर रहे हैं। लेकिन इस समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि यदि शून्य को किसी भी संख्या से गुणा किया जाए, तो परिणाम हमेशा शून्य ही होता है। यानी कोई समाधान नहीं है. यह या तो इन शब्दों के साथ लिखा जाता है कि कोई समाधान नहीं है, या एक आइकन के साथ जिसका अर्थ है एक खाली सेट।
दूसरे शब्दों में
इस नियम का यही मतलब है. आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते क्योंकि संबंधित समीकरण, शून्य गुना x सात के बराबर है या जो भी संख्या हम शून्य से विभाजित करने का प्रयास कर रहे हैं, उसका कोई समाधान नहीं है। सबसे चौकस लोग कह सकते हैं कि यदि हम शून्य को शून्य से विभाजित करें, तो यह काफी उचित होगा कि यदि 0*X=0। सब कुछ बढ़िया है, हम शून्य को किसी संख्या से गुणा करते हैं, हमें शून्य मिलता है। लेकिन फिर हमारा समाधान कोई भी संख्या हो सकता है। यदि हम x=1, 0*1=0, x=100500, 0*100500=0 को देखें। यहां कोई भी संख्या काम करेगी.
तो हम उनमें से किसी एक को क्यों चुनें? हमारे पास वास्तव में कोई विचार नहीं है जिसके आधार पर हम इनमें से किसी एक संख्या को ले सकें और कह सकें कि ये समीकरणों के समाधान हैं। इसलिए, इसके अनंत रूप से कई समाधान हैं और यह एक अस्पष्ट समस्या भी है जिसमें यह माना जाता है कि इसका कोई समाधान नहीं है।
अनंत
ऊपर मैंने आपको बताया कि आप क्यों बंटवारा नहीं कर सकते, अब मैं आपसे किस बारे में बात करना चाहता हूं। आइए सावधानी के साथ शून्य ऑपरेशन द्वारा डिवीजन से संपर्क करने का प्रयास करें। आइए सबसे पहले संख्या 5 को दो से विभाजित करें। हम जानते हैं कि क्या होगा दशमलव 2.5. अब हम भाजक को कम करेंगे और 5 को 1 से विभाजित करेंगे तो 5 आएगा। अब हम 5 को 0.5 से विभाजित करेंगे। यह पांच को एक आधे से विभाजित करने के समान है, या 5 * 2 के समान है, तो यह 10 होगा। कृपया ध्यान दें कि विभाजन का परिणाम, यानी भागफल, बढ़ता है: 2.5, 5, 10।
अब 5 को 0.1 से विभाजित करते हैं, यह 5*10=50 के समान होगा, भागफल फिर से बढ़ गया है। साथ ही, हमने भाजक को कम कर दिया। यदि हम 5 को 0.01 से विभाजित करते हैं, तो यह 5*100=500 के समान है। देखना। हम भाजक को जितना छोटा करेंगे, भागफल उतना ही बड़ा होगा। यदि हम 5 को 0.00001 से विभाजित करते हैं, तो हमें 500000 प्राप्त होता है।
आइए इसे संक्षेप में बताएं
यदि आप इसे इस अर्थ में देखें तो शून्य से विभाजन क्या है? ध्यान दें कि हमने अपना भागफल कैसे कम किया? यदि आप एक अक्ष बनाते हैं, तो आप उस पर देख सकते हैं कि पहले हमारे पास दो थे, फिर एक, फिर 0.5, 0.1, इत्यादि। हम दाहिनी ओर शून्य के और करीब पहुँच रहे थे, लेकिन हम कभी भी शून्य तक नहीं पहुँच पाए। हम कम और कम लेते हैं कम संख्याऔर हमारे भागफल को इससे विभाजित करें। यह और भी बड़ा होता जा रहा है. इस मामले में वे लिखते हैं कि हम 5 को X से विभाजित करते हैं, जहाँ x अपरिमित रूप से छोटा है। यानी यह शून्य के करीब और करीब होता जा रहा है। बस इस स्थिति में, पाँच को X से विभाजित करने पर हमें अनंत प्राप्त होता है। अंतहीन बड़ी संख्या. यहीं पर एक सूक्ष्मता उत्पन्न होती है।
यदि हम दाईं ओर से शून्य की ओर बढ़ते हैं, तो यह अतिसूक्ष्म धनात्मक होगा और हमें धन अनंत प्राप्त होगा। यदि हम बायीं ओर से हमें ऋणात्मक भागफल प्राप्त होगा। और फिर पाँच को x से विभाजित किया जाता है, जहाँ x अतिसूक्ष्म होगा, लेकिन बाईं ओर, ऋण अनंत के बराबर होगा। इस मामले में वे लिखते हैं: x दाईं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, 0+0, यह दर्शाता है कि हम दाईं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं। मान लीजिए कि हम दाहिनी ओर तीन को लक्ष्य कर रहे थे, इस मामले में हम लिखते हैं कि X बाईं ओर लक्ष्य कर रहा है। तदनुसार, हम बाईं ओर तीन का लक्ष्य रखेंगे, इसे इस प्रकार लिखेंगे कि x की प्रवृत्ति 3-0 की ओर होती है।
फ़ंक्शन ग्राफ़ कैसे मदद कर सकता है
किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़, जिसे हमने स्कूल में पढ़ा था, हमें इसे बेहतर ढंग से समझने में मदद करता है। फ़ंक्शन को व्युत्क्रम संबंध कहा जाता है, और इसका ग्राफ़ एक अतिपरवलय है। अतिशयोक्ति इस प्रकार दिखती है: यह एक वक्र है जिसके अनंतस्पर्शी बिंदु x-अक्ष और y-अक्ष हैं। अनंतस्पर्शी वह रेखा है जिस तक वक्र जाता है लेकिन कभी पहुंचता नहीं है। ऐसा है गणितीय नाटक. हम देखते हैं कि जितना हम शून्य के करीब पहुंचते हैं, हमारा मूल्य उतना ही बड़ा हो जाता है। X जितना छोटा होता जाता है, यानी, जैसे-जैसे X दाहिनी ओर शून्य की ओर बढ़ता है, गेम बड़ा और बड़ा होता जाता है, और प्लस अनंत की ओर बढ़ता जाता है। तदनुसार, जब x बायीं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, जब x बायीं ओर से शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, अर्थात x 0-0 की ओर प्रवृत्त होता है, तो हम शून्य से अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं। सही है ऐसा लिखा है. Y शून्य से अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, जबकि X बाईं ओर शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। तदनुसार, हम लिखते हैं कि y धन अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, जबकि x दाईं ओर शून्य की ओर प्रवृत्त होता है। अर्थात्, संक्षेप में, हम शून्य से विभाजित नहीं होते हैं, हम एक अतिसूक्ष्म मान से विभाजित होते हैं।
और जो लोग कहते हैं कि आप शून्य से विभाजित कर सकते हैं, हमें बस अनंत मिलता है, उनका सीधा सा मतलब है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, लेकिन आप शून्य के करीब एक संख्या से विभाजित कर सकते हैं, यानी एक अनंत मान से। यदि हम अतिसूक्ष्म धनात्मक से भाग देते हैं तो हमें धन अनंत प्राप्त होता है और ऋण अनंत को अति लघु ऋणात्मक से भाग देने पर हमें धन अनंत प्राप्त होता है।
मुझे आशा है कि इस लेख से आपको उस प्रश्न को समझने में मदद मिलेगी जिसने बचपन से ही अधिकांश लोगों को परेशान किया है, कि आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते। क्यों हमें कोई नियम सीखने के लिए मजबूर किया जाता है, लेकिन कुछ भी समझाया नहीं जाता है। मुझे आशा है कि लेख ने आपको यह समझने में मदद की है कि आप वास्तव में शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, और जो लोग कहते हैं कि आप शून्य से विभाजित कर सकते हैं, उनका वास्तव में मतलब यह है कि आप एक अनंत मान से विभाजित कर सकते हैं।
गणितज्ञों में हास्य की एक विशिष्ट भावना होती है और गणना से संबंधित कुछ प्रश्नों को अब गंभीरता से नहीं लिया जाता है। यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि क्या वे आपको पूरी गंभीरता से समझाने की कोशिश कर रहे हैं कि आप शून्य से विभाजित क्यों नहीं कर सकते हैं या क्या यह सिर्फ एक और मजाक है। लेकिन प्रश्न स्वयं इतना स्पष्ट नहीं है; यदि प्रारंभिक गणित में कोई इसके समाधान तक पूरी तरह तार्किक रूप से पहुँच सकता है, तो उच्च गणित में अन्य प्रारंभिक स्थितियाँ भी हो सकती हैं।
शून्य कब प्रकट हुआ?
शून्य संख्या कई रहस्यों से भरी है:
- में प्राचीन रोमवे इस संख्या को नहीं जानते थे; संदर्भ प्रणाली I से शुरू हुई।
- लंबे समय तक, अरबों और भारतीयों ने शून्य के पूर्वज कहलाने के अधिकार के लिए तर्क दिया।
- माया संस्कृति के अध्ययन से यह पता चला है प्राचीन सभ्यताशून्य का उपयोग करने के मामले में यह पहला स्थान हो सकता था।
- शून्य का कोई संख्यात्मक मान नहीं है, न्यूनतम भी नहीं।
- इसका शाब्दिक अर्थ कुछ भी नहीं है, गिनने लायक चीजों का अभाव।
आदिम व्यवस्था में ऐसी किसी आकृति की कोई विशेष आवश्यकता नहीं थी; किसी चीज़ की अनुपस्थिति को शब्दों का उपयोग करके समझाया जा सकता था। लेकिन सभ्यताओं के उद्भव के साथ, वास्तुकला और इंजीनियरिंग के मामले में मानव की ज़रूरतें भी बढ़ीं।
अधिक जटिल गणनाएँ करना और नये फलन प्राप्त करना आवश्यक था एक संख्या जो किसी चीज़ की पूर्ण अनुपस्थिति को इंगित करेगी.
क्या शून्य से भाग देना संभव है?
वहाँ हैं दो बिल्कुल विपरीत राय:
स्कूल में, अभी भी अंदर कनिष्ठ वर्गवे सिखाते हैं कि आपको कभी भी शून्य से भाग नहीं देना चाहिए। इसे अत्यंत सरलता से समझाया गया है:
- आइए कल्पना करें कि आपके पास 20 कीनू के टुकड़े हैं।
- इन्हें 5 से बांटकर आप पांच दोस्तों को 4 स्लाइस देंगे.
- शून्य से भाग देने से काम नहीं चलेगा, क्योंकि किसी के बीच विभाजन की प्रक्रिया ही नहीं होगी।
बेशक, यह एक आलंकारिक व्याख्या है, जो काफी हद तक सरलीकृत है और पूरी तरह से वास्तविकता के अनुरूप नहीं है। लेकिन यह किसी चीज़ को शून्य से विभाजित करने की निरर्थकता को अत्यंत सुलभ तरीके से समझाता है।
आख़िरकार, वास्तव में, इस तरह कोई विभाजन की अनुपस्थिति के तथ्य को निरूपित कर सकता है। गणितीय गणनाओं को जटिल क्यों बनाते हैं और विभाजन की अनुपस्थिति को भी क्यों लिखते हैं?
क्या शून्य को किसी संख्या से विभाजित किया जा सकता है?
व्यावहारिक गणित के दृष्टिकोण से, कोई भी विभाजन जिसमें शून्य शामिल हो, उसका कोई विशेष अर्थ नहीं है। लेकिन स्कूल की पाठ्यपुस्तकें उनकी राय में स्पष्ट हैं:
- शून्य को विभाजित किया जा सकता है.
- भाग के लिए किसी भी संख्या का प्रयोग किया जा सकता है।
- आप शून्य को शून्य से विभाजित नहीं कर सकते.
तीसरा बिंदु थोड़ी हैरानी का कारण बन सकता है, क्योंकि इसके ऊपर कुछ पैराग्राफों में ही संकेत दिया गया था कि ऐसा विभाजन काफी संभव है। दरअसल, यह सब उस अनुशासन पर निर्भर करता है जिसमें आप गणना कर रहे हैं।
ऐसे में स्कूली बच्चों के लिए यह लिखना वाकई बेहतर है अभिव्यक्ति निर्धारित नहीं की जा सकती , और, इसलिए, इसका कोई मतलब नहीं है। लेकिन बीजगणितीय विज्ञान की कुछ शाखाओं में शून्य को शून्य से विभाजित करके ऐसा व्यंजक लिखने की अनुमति है। खासकर जब बात कंप्यूटर और प्रोग्रामिंग भाषाओं की आती है।
किसी भी समानता को हल करते समय और प्रारंभिक मानों की खोज करते समय शून्य को किसी संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता उत्पन्न हो सकती है। लेकिन उस मामले में, उत्तर सदैव शून्य ही होगा. यहां, गुणन की तरह, चाहे आप शून्य को किसी भी संख्या से विभाजित करें, आपको शून्य से अधिक नहीं मिलेगा। इसलिए, यदि आप इस क़ीमती संख्या को एक विशाल सूत्र में देखते हैं, तो जल्दी से "पता लगाने" का प्रयास करें कि क्या सभी गणनाएँ एक बहुत ही सरल समाधान पर आएँगी।
यदि अनंत को शून्य से विभाजित किया जाए
कुछ समय पहले अपरिमित रूप से बड़े और अतिसूक्ष्म मानों का उल्लेख करना आवश्यक था, क्योंकि इससे विभाजन के लिए कुछ खामियाँ भी खुलती हैं, जिनमें शून्य का उपयोग भी शामिल है। यह सच है, और यहाँ एक छोटी सी उलझन है, क्योंकि अतिसूक्ष्म मूल्य और मूल्य का पूर्ण अभाव अलग-अलग अवधारणाएँ हैं.
लेकिन हमारी स्थितियों में इस छोटे से अंतर को नजरअंदाज किया जा सकता है, अंततः गणना अमूर्त मात्राओं का उपयोग करके की जाती है:
- अंशों में अनंत का चिह्न अवश्य होना चाहिए।
- हर शून्य की ओर रुझान वाले मान की एक प्रतीकात्मक छवि हैं।
- उत्तर अनंत होगा, जो एक असीम रूप से बड़े फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि हम अभी भी एक अतिसूक्ष्म फ़ंक्शन के प्रतीकात्मक प्रदर्शन के बारे में बात कर रहे हैं, न कि शून्य के उपयोग के बारे में। इस चिन्ह में कुछ भी नहीं बदला है; इसे अभी भी केवल बहुत ही दुर्लभ अपवादों के रूप में विभाजित नहीं किया जा सकता है।
अधिकांश भाग में, शून्य का उपयोग उन समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है जो मौजूद हैं विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक स्तर. शायद, दशकों या सदियों के बाद, सभी आधुनिक कंप्यूटिंग मिल जाएंगे व्यावहारिक अनुप्रयोग, और वे विज्ञान में किसी प्रकार की भव्य सफलता प्रदान करेंगे।
इस बीच, अधिकांश गणितीय प्रतिभाएँ केवल विश्वव्यापी मान्यता का सपना देखती हैं। इन नियमों का अपवाद हमारे हमवतन हैं, पेरेलमैन. लेकिन वह पॉइन्क्वेरे अनुमान के प्रमाण के साथ वास्तव में युगांतरकारी समस्या को हल करने और अपने असाधारण व्यवहार के लिए जाने जाते हैं।
विरोधाभास और शून्य से विभाजन की अर्थहीनता
अधिकांश भाग में शून्य से भाग देने का कोई मतलब नहीं है:
- प्रभाग को इस प्रकार दर्शाया गया है गुणन का व्युत्क्रम फलन.
- हम किसी भी संख्या को शून्य से गुणा कर सकते हैं और उत्तर के रूप में शून्य प्राप्त कर सकते हैं।
- इसी तर्क से, कोई भी किसी भी संख्या को शून्य से विभाजित कर सकता है।
- ऐसी परिस्थितियों में, इस निष्कर्ष पर पहुंचना आसान होगा कि शून्य से गुणा या विभाजित की गई कोई भी संख्या किसी अन्य संख्या के बराबर होती है जिस पर यह ऑपरेशन किया गया था।
- हम गणितीय संक्रिया को त्याग देते हैं और सबसे दिलचस्प निष्कर्ष निकालते हैं - कोई भी संख्या किसी भी संख्या के बराबर होती है।
ऐसी घटनाएँ रचने के साथ-साथ शून्य से भाग देने पर कोई नहीं होता व्यवहारिक महत्व , सामान्य रूप से शब्द से। यदि यह क्रिया करना संभव भी हो तो भी कोई नई जानकारी प्राप्त करना संभव नहीं होगा।
प्रारंभिक गणित की दृष्टि से शून्य से भाग करने पर पूरी वस्तु शून्य बार अर्थात एक भी बार नहीं विभाजित होती है। सीधे शब्दों में कहें - कोई विखंडन प्रक्रिया नहीं होतीअत: इस घटना का कोई परिणाम नहीं हो सकता।
एक गणितज्ञ के रूप में एक ही कंपनी में होने के नाते, आप हमेशा कुछ सामान्य प्रश्न पूछ सकते हैं, उदाहरण के लिए, आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते हैं और एक दिलचस्प और समझने योग्य उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। या चिड़चिड़ापन, क्योंकि यह शायद पहली बार नहीं है जब किसी व्यक्ति से यह पूछा गया हो। और दसवीं में भी नहीं. इसलिए अपने गणितज्ञ मित्रों का ख्याल रखें, उन्हें एक स्पष्टीकरण को सौ बार दोहराने के लिए मजबूर न करें।
वीडियो: शून्य से भाग दें
इस वीडियो में, गणितज्ञ अन्ना लोमकोवा आपको बताएंगी कि यदि आप किसी संख्या को शून्य से विभाजित करते हैं तो क्या होता है और गणितीय दृष्टिकोण से ऐसा क्यों नहीं किया जा सकता है:
स्कूल में सीखे जाने वाले सबसे पहले नियमों में से एक शून्य से विभाजन का निषेध है। आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते? यह एक स्वयंसिद्ध बात है जो प्रारंभिक बीजगणित में दिखाई देती है। इसका अध्ययन माध्यमिक विद्यालयों में किया जाता है।
स्कूल के दिनों से अब भी एक पूर्वाग्रह है कि यह असंभव है, हालांकि कोई भी वास्तव में यह नहीं बता सकता कि ऐसा क्यों है। इस गणितीय संक्रिया को समझने के लिए, आपको पहले एक प्रश्न को समझना होगा: अनंत क्या है?
गणितीय अनंत की अवधारणा
यह मानव सोच की श्रेणियों में से एक है, जिसका उपयोग असीमित, असीमित घटनाओं, प्रक्रियाओं और संख्याओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। गणितीय अनंत एक ऐसी मात्रा है जिसकी गणना करना सैद्धांतिक और व्यावहारिक रूप से असंभव है.
सब कुछ काफी नीरस है: यदि किसी संख्या को कम और कम से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम एक बड़ा मूल्य होगा। यह जितना छोटा होगा, उतना अधिक मूल्य. लाभांश और भाजक के बीच जितना अधिक अंतर होगा, भागफल उतना ही बड़ा होगा। गणित में अनंत की यही प्रकृति है।
इस प्रकार, यदि भाजक शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, तो भागफल का अंतिम मान अनंत के करीब होगा। और उस स्थिति में जब भाजक शून्य है, तो गणना का अंतिम परिणाम यही "विशालता" होगा। बहुत बड़ा मूल्य नहीं, अरबों लाखों नहीं, बल्कि अनंत।
चूँकि इस मात्रा की अभी भी कोई परिभाषा नहीं है (यदि कोई है भी), तो भौतिकविदों और गणितज्ञों ने पारंपरिक रूप से स्वीकार कर लिया है कि शून्य से विभाजित करना असंभव है। कोई मतलब नहीं.
यह हमारे प्रश्न का सबसे सरल उत्तर है। और जिन लोगों ने इसका पता नहीं लगाया है, उनके लिए हम आपको और अधिक विस्तार से बताने का प्रयास करेंगे।
संख्याओं के साथ सबसे सरल ऑपरेशन सेसभी गणितज्ञों को याद है कि चार सरल ऑपरेशन होते हैं: गुणा, भाग, जोड़ और घटाव। ये ऑपरेशन समतुल्य नहीं हैं. गुणा और भाग को जोड़ और घटाव इत्यादि पर प्राथमिकता दी जाती है। गणित से यह निष्कर्ष निकलता है कि संख्याओं के साथ मुख्य संक्रियाएँ जोड़ और घटाव हैं, और अन्य सभी (व्युत्पन्न, अभिन्न और लघुगणक सहित) व्युत्पन्न हैं।
आइए घटाव को एक उदाहरण के रूप में देखें। उदाहरण "10 - 7 = ..." को हल करने के लिए, आपको दस इकाइयों में से सात घटाना होगा, और गणना का परिणाम उत्तर होगा। चूंकि जोड़ की प्रासंगिकता अधिक है, इसलिए उदाहरण पर जोड़ के नियमों के माध्यम से विचार किया जाना चाहिए। हमारे पास इस प्रकार का उदाहरण है: "X + 7 = 10"। दूसरे शब्दों में, दस प्राप्त करने के लिए आपको किस अंक में सात जोड़ने की आवश्यकता है?
विभाजन के साथ भी ऐसा ही है. अभिव्यक्ति "10: 2 = ...." अभिव्यक्ति "2 एक्स = 10" से ली जाएगी। दूसरे शब्दों में, कुल दस प्राप्त करने के लिए आपको दो बार क्या लेने की आवश्यकता है? उत्तर स्पष्ट है. अब हम उसी उदाहरण को देखेंगे, केवल शून्य के साथ। आइए अभिव्यक्ति "10: 0 = ..." लें। इसका व्युत्क्रम बाइनरी ऑपरेशन "0 X = 10" होगा। यहां हम उत्तर देखते हैं. कुल दस प्राप्त करने के लिए (प्रारंभिक बीजगणित में) "कुछ नहीं" से क्या गुणा करना होगा? यह ज्ञात है कि यदि शून्य को किसी अन्य मान से गुणा किया जाए, तो हमारे पास "कुछ नहीं" होगा। एक संख्या जो किसी ऑपरेशन का एक अलग अंतिम परिणाम उत्पन्न कर सकती है वह अस्तित्व में ही नहीं है।
इसका परिणाम समाधान की असंभवता है।
आप शून्य से गुणा क्यों कर सकते हैं?
आप इसे शून्य से क्यों नहीं कर सकते, लेकिन क्या आप गुणा कर सकते हैं? मोटे तौर पर कहें तो, सभी उच्च गणित इसी प्रश्न से शुरू होते हैं। आप उत्तर केवल तभी पा सकते हैं जब आपके पास गणितीय सेटों में हेरफेर के बारे में औपचारिक गणितीय परिभाषाओं का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने का अवसर हो।
ये कोई बड़ी मुश्किल नहीं है. विश्वविद्यालयों में, प्रारंभिक पाठ्यक्रम पहले इस विषय को कवर करते हैं। इसलिए, जो लोग इस मुद्दे में गंभीरता से रुचि रखते हैं, वे मापदंडों, रैखिक कार्यों आदि के साथ समीकरणों पर कुछ पाठ्यपुस्तकों का अध्ययन कर सकते हैं।
निषिद्ध विभाजन के गैर-मानक तरीके
और अंत में, उन लोगों के लिए जिन्होंने इसे अब तक पढ़ा है और अंतिम उत्तर प्राप्त करने का निर्णय लिया है, हम उन मामलों के उदाहरण देंगे जब आप शून्य से विभाजित कर सकते हैं।
वास्तव में, सामान्य गणित में संख्याओं के साथ सभी संक्रियाएँ संभव हैं। आप यह भी सिद्ध कर सकते हैं कि 1 = 2। आप पूछते हैं, कैसे? बिल्कुल सरल. 7वीं कक्षा के स्तर पर सरल गणितीय संक्रियाओं के माध्यम से:
एक्स 2 - एक्स 2 = एक्स 2 - एक्स 2
एक्स (एक्स - एक्स) = (एक्स + एक्स) (एक्स - एक्स)
आइए अब उन मुख्य सिद्धांतों पर नजर डालें जिनमें "कुछ नहीं" में विभाजन शामिल है।
गैर मानक विश्लेषण
सबसे अपरिवर्तनीय के लिए, उन्होंने विशेष रूप से गैर-मानक विश्लेषण में हाइपररियल संख्याओं का आविष्कार किया। इस सिद्धांत के अनुसार, ऐसे मान हैं जो शून्य के बराबर नहीं हैं, लेकिन साथ ही सबसे छोटी वास्तविक संख्या मॉड्यूल हैं। कठिन? आप स्वयं इसका उत्तर ढूंढ रहे थे।
एक जटिल चर के कार्यों का सिद्धांत
विस्तारित जटिल विमान शून्य से विभाजन की अनुमति देता है। यह इस तथ्य के कारण है कि इसमें अनन्तता एक अत्यंत अप्राप्य मूल्य नहीं है, बल्कि अंतरिक्ष में एक विशिष्ट बिंदु है जिसे स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण में देखा जा सकता है।
इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं: शून्य से विभाजित करना अभी भी संभव है। लेकिन स्कूली गणित के दायरे में नहीं। हमें आशा है कि हम आपके प्रश्न का उत्तर देने में सक्षम थे। और भविष्य में आप खुद ही इन गणितीय जटिलताओं को सभी को समझा सकेंगे।
एवगेनी शिर्याव, शिक्षक और पॉलिटेक्निक संग्रहालय की गणित प्रयोगशाला के प्रमुख, शून्य से विभाजन के बारे में AiF.ru को बताया:
1. मुद्दे का क्षेत्राधिकार
सहमत हूँ, जो चीज़ नियम को विशेष रूप से उत्तेजक बनाती है वह है प्रतिबंध। यह कैसे नहीं किया जा सकता? प्रतिबंध किसने लगाया? हमारे नागरिक अधिकारों के बारे में क्या?
न तो रूसी संघ का संविधान, न ही आपराधिक संहिता, न ही आपके स्कूल का चार्टर उस बौद्धिक कार्रवाई पर आपत्ति करता है जिसमें हमारी रुचि है। इसका मतलब कोई प्रतिबंध नहीं है कानूनी बल, और कुछ भी आपको यहीं AiF.ru के पन्नों पर किसी चीज़ को शून्य से विभाजित करने का प्रयास करने से नहीं रोकता है। उदाहरण के लिए, एक हजार.
2. आइए सिखाए अनुसार विभाजित करें
याद रखें, जब आपने पहली बार विभाजित करना सीखा था, तो पहले उदाहरणों को गुणन की जाँच करके हल किया गया था: भाजक द्वारा गुणा किया गया परिणाम विभाज्य के समान होना चाहिए। यदि यह मेल नहीं खाता, तो उन्होंने निर्णय नहीं लिया।
उदाहरण 1. 1000: 0 =...
आइए एक पल के लिए निषिद्ध नियम को भूल जाएं और उत्तर का अनुमान लगाने के लिए कई प्रयास करें।
गलत वालों का चेक काट दिया जाएगा। निम्नलिखित विकल्प आज़माएँ: 100, 1, −23, 17, 0, 10,000 उनमें से प्रत्येक के लिए, चेक समान परिणाम देगा:
100 0 = 1 0 = - 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10,000 0 = 0
शून्य को गुणा करने से हर चीज़ अपने आप में बदल जाती है, हजार में कभी नहीं। निष्कर्ष निकालना आसान है: कोई भी संख्या परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होगी। अर्थात्, किसी गैर-शून्य संख्या को शून्य से विभाजित करने पर कोई भी संख्या प्राप्त नहीं हो सकती। इस तरह का विभाजन निषिद्ध नहीं है, लेकिन इसका कोई परिणाम नहीं है।
3. सूक्ष्मता
हमने प्रतिबंध का खंडन करने का एक अवसर लगभग गँवा दिया। हाँ, हम स्वीकार करते हैं कि एक गैर-शून्य संख्या को 0 से विभाजित नहीं किया जा सकता है। लेकिन शायद 0 स्वयं कर सकता है?
उदाहरण 2. 0: 0 = ...
निजी तौर पर आपके क्या सुझाव हैं? 100? कृपया: 100 के भागफल को भाजक 0 से गुणा करने पर लाभांश 0 के बराबर होता है।
अधिक विकल्प! 1? फिट भी बैठता है. और -23, और 17, और बस इतना ही। इस उदाहरण में, परीक्षण किसी भी संख्या के लिए सकारात्मक होगा। और ईमानदारी से कहें तो, इस उदाहरण में समाधान को एक संख्या नहीं, बल्कि संख्याओं का एक समूह कहा जाना चाहिए। सब लोग। और इस बात पर सहमत होने में देर नहीं लगती कि ऐलिस ऐलिस नहीं है, बल्कि मैरी एन है, और वे दोनों एक खरगोश का सपना हैं।
4. उच्च गणित के बारे में क्या?
समस्या का समाधान हो गया है, बारीकियों को ध्यान में रखा गया है, बिंदु लगाए गए हैं, सब कुछ स्पष्ट हो गया है - शून्य से विभाजन वाले उदाहरण का उत्तर एक संख्या नहीं हो सकता है। ऐसी समस्याओं का समाधान निराशाजनक एवं असंभव है। यानी... दिलचस्प! टेक टू।
उदाहरण 3. जानें कि 1000 को 0 से कैसे विभाजित किया जाए।
लेकिन कोई रास्ता नहीं. लेकिन 1000 को अन्य संख्याओं से आसानी से विभाजित किया जा सकता है। ठीक है, आइए कम से कम वह करें जो हम कर सकते हैं, भले ही हम हाथ में लिया गया कार्य बदल दें। और फिर, आप देखिए, हम बहक जाते हैं, और उत्तर अपने आप सामने आ जाएगा। आइए एक मिनट के लिए शून्य को भूल जाएं और सौ से भाग दें:
शतक शून्य से बहुत दूर है. आइए भाजक को कम करके इस ओर एक कदम बढ़ाएं:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
गतिशीलता स्पष्ट है: भाजक शून्य के जितना करीब होगा, भागफल उतना ही बड़ा होगा। इस प्रवृत्ति को भिन्नों की ओर ले जाकर और अंश को कम करना जारी रखकर आगे भी देखा जा सकता है:
यह ध्यान रखना बाकी है कि हम जितना चाहें शून्य के करीब पहुंच सकते हैं, भागफल को जितना चाहें उतना बड़ा बना सकते हैं।
इस प्रक्रिया में कोई शून्य नहीं है और कोई अंतिम भागफल नहीं है। जिस संख्या में हम रुचि रखते हैं, उसमें परिवर्तित होने वाले अनुक्रम के साथ संख्या को प्रतिस्थापित करके हमने उनकी ओर आंदोलन का संकेत दिया:
इसका तात्पर्य लाभांश के लिए एक समान प्रतिस्थापन से है:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
यह अकारण नहीं है कि तीर दो तरफा हैं: कुछ अनुक्रम संख्याओं में परिवर्तित हो सकते हैं। तब हम अनुक्रम को उसकी संख्यात्मक सीमा के साथ जोड़ सकते हैं।
आइए भागफल के क्रम पर नजर डालें:
यह असीमित रूप से बढ़ता है, किसी संख्या के लिए प्रयास नहीं करता और न ही किसी से आगे निकल जाता है। गणितज्ञ संख्याओं में प्रतीक जोड़ते हैं ∞ ऐसे क्रम के आगे एक दो तरफा तीर लगाने में सक्षम होने के लिए:
उन अनुक्रमों की संख्या के साथ तुलना जिनकी एक सीमा है, हमें तीसरे उदाहरण का समाधान प्रस्तावित करने की अनुमति देती है:
जब 1000 में परिवर्तित होने वाले अनुक्रम को 0 में परिवर्तित होने वाली सकारात्मक संख्याओं के अनुक्रम से तत्ववार विभाजित किया जाता है, तो हमें ∞ में परिवर्तित होने वाला एक अनुक्रम प्राप्त होता है।
5. और यहां दो शून्य के साथ बारीकियां हैं
शून्य पर मिलने वाली सकारात्मक संख्याओं के दो अनुक्रमों को विभाजित करने का परिणाम क्या है? यदि वे समान हैं, तो इकाई समान है। यदि लाभांश अनुक्रम तेजी से शून्य में परिवर्तित हो जाता है, तो भागफल में अनुक्रम की शून्य सीमा होती है। और जब भाजक के तत्व लाभांश की तुलना में बहुत तेजी से घटते हैं, तो भागफल का क्रम बहुत बढ़ जाएगा:
अनिश्चित स्थिति. और इसे ही कहा जाता है: प्रकार की अनिश्चितता 0/0 . जब गणितज्ञ ऐसे अनुक्रम देखते हैं जो ऐसी अनिश्चितता के अनुकूल होते हैं, तो वे दो समान संख्याओं को एक-दूसरे से विभाजित करने में जल्दबाजी नहीं करते हैं, बल्कि यह पता लगाते हैं कि कौन सा अनुक्रम तेजी से शून्य तक चलता है और वास्तव में कितना। और प्रत्येक उदाहरण का अपना विशिष्ट उत्तर होगा!
6. जीवन में
ओम का नियम किसी सर्किट में करंट, वोल्टेज और प्रतिरोध से संबंधित है। इसे अक्सर इस रूप में लिखा जाता है:
आइए हम साफ-सुथरी भौतिक समझ को नजरअंदाज करें और औपचारिक रूप से दाहिनी ओर को दो संख्याओं के भागफल के रूप में देखें। आइए कल्पना करें कि हम बिजली पर एक स्कूल की समस्या का समाधान कर रहे हैं। स्थिति वोल्ट में वोल्टेज और ओम में प्रतिरोध देती है। प्रश्न स्पष्ट है, समाधान एक क्रिया में है।
अब आइए अतिचालकता की परिभाषा देखें: यह कुछ धातुओं का शून्य विद्युत प्रतिरोध होने का गुण है।
खैर, आइए सुपरकंडक्टिंग सर्किट की समस्या का समाधान करें? बस इसे सेट करें आर= 0 यह काम नहीं करेगा, भौतिकी ख़राब है दिलचस्प कार्य, जो स्पष्ट रूप से पीछे खड़ा है वैज्ञानिक खोज. और जो लोग इस स्थिति में शून्य से विभाजित करने में कामयाब रहे उन्हें प्राप्त हुआ नोबेल पुरस्कार. किसी भी निषेध को दरकिनार करने में सक्षम होना उपयोगी है!
इसलिए, बच्चे हैरान थे, मुझे इंटरनेट पर खोजबीन करनी पड़ी, स्पष्ट रूप से पागल स्पष्टीकरणों का एक समूह ढूंढना पड़ा और अपना स्वयं का स्पष्टीकरण बनाना पड़ा, वह भी स्पष्ट रूप से अपूर्ण, सबसे कम उम्र के दस वर्षीय बच्चे पर सफलतापूर्वक परीक्षण किया गया। शायद किसी को यह उपयोगी लगेगा:
"स्कूल के समय से ही हर कोई जानता है कि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते। क्यों? शिक्षक इसकी अनुमति नहीं देंगे?
शायद हमें एक किस्से पर अमल करना चाहिए:
आप कॉन्यैक क्यों पी रहे हैं? डॉक्टर ने तुम्हें मना किया है.
और मैंने उसे पैसे दिए और उसने मुझे अनुमति दे दी।
यह आश्चर्य की बात है कि वे स्कूल में तुरंत यह क्यों नहीं समझाते कि उच्च गणित के क्षेत्र में शून्य से विभाजन एक गणितीय ऑपरेशन है, लेकिन प्रारंभिक गणित में अनिश्चितता के कारण यह असंभव है। वैसे,शून्य से गुणा करना भी उच्च गणित से है, यानी, फिर से श्रृंखला से "बच्चों, इसे समझा नहीं जा सकता, आपको बस इसे याद रखने की जरूरत है।"
दरअसल, यह सब समझना इतना मुश्किल नहीं है। प्रारंभिक गणित में, बहुत निश्चित परिणाम प्राप्त होते हैं, उदाहरण के लिए 2x3=6, और यदि हम परिणाम को किसी एक कारक से विभाजित करते हैं, तो हमें स्पष्ट रूप से दूसरा कारक प्राप्त होगा: 6:3=2 या 6:2=3।
लेकिन शून्य के साथ क्रियाएं इतनी सरल नहीं हैं। हम किसी भी Y संख्या को शून्य से गुणा करते हैं: Yх0=0. अब हम परिणाम को 0:Y=0 या 0:0=Y में से किसी एक कारक से विभाजित करते हैं, जिससे कोई भी संख्या प्राप्त होती है, यानी एक अनिश्चित परिणाम।
ऐसा क्यों हो रहा है? आप सेट सिद्धांतों, अनंत के साथ संचालन, जटिल संख्याओं आदि के साथ उच्च गणित के जंगल में उतरे बिना भी इसे समझने के करीब पहुंच सकते हैं।
आश्चर्य की बात है, गलत "गुणा सारणी" की तरह, किसी कारण से स्कूल में प्राथमिक चीजें नहीं समझाई जाती हैं: संख्याएँ कार्डिनल (कार्डिनल) और क्रमसूचक (क्रमिक) होती हैं।उदाहरण के लिए,अवधारणाएँ " 10 अपार्टमेंट" - मात्रात्मक और "अपार्टमेंट नंबर 10" - क्रमिक, बिल्कुल स्पष्ट रूप सेएकदम अलग. मात्रात्मक "10 अपार्टमेंट" को प्राथमिक गणित के नियमों के अनुसार विभाजित, जोड़ा और अन्य क्रियाएं की जा सकती हैं, जो पूरी तरह से निश्चित मात्रात्मक परिणाम देगी।
लेकिन समान क्रियाओं के साथ क्रम संख्या 10 (अपार्टमेंट नंबर 10) कोई मात्रात्मक परिणाम नहीं देगा, अपार्टमेंट अभी भी वही होगा, केवल अलग होगा। क्रमिक संख्याओं के साथ गणितीय संक्रियाओं की कभी-कभी आवश्यकता होती है, उदाहरण के लिए, जब आपको तुरंत गणना करने की आवश्यकता होती है कि आपको जिस अपार्टमेंट की आवश्यकता है वह किस मंजिल पर स्थित है और "यादृच्छिक रूप से" लिफ्ट की सवारी न करें। आओ देखे अंतिम संख्यापिछले प्रवेश द्वार में अपार्टमेंट, हमें जिस अपार्टमेंट संख्या की आवश्यकता है उसमें से घटाएं और परिणाम को फर्श पर अपार्टमेंट की संख्या से विभाजित करें। लाभ!
आलंकारिक रूप से बोलते हुए, यदि आप मात्रात्मक और क्रमिक संख्याओं के बीच अंतर नहीं समझते हैं, तो 10 अपार्टमेंट और अपार्टमेंट नंबर 10 जोड़ने पर आपको मिल सकता है 20 अपार्टमेंट और अपार्टमेंट नंबर 20।
अतः शून्य पूर्णतया विशेष हैएक क्रमिक संख्या, जो परिभाषा के अनुसार मात्रात्मक नहीं हो सकती।शून्य संदर्भ का मुख्य बिंदु है, एक सीमा जिसका कोई आकार नहीं है।इसके अलावा, यह एक बिंदु है, खंड नहीं।
किसी भी प्राकृतिक और काल्पनिक (नकारात्मक) संख्याओं का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व खंड है, यानी, बिंदुओं से घिरे सीधी रेखा के हिस्से जिनका कोई आकार नहीं है। यदि उन्हें, खंडों की तरह, मनमाने ढंग से छोटे खंडों में विभाजित किया जा सकता है, तो प्रारंभिक गणित में एक बिंदु को बिना आकार के इसकी परिभाषा के अनुसार विभाजित करना अब संभव नहीं है।
इसलिए, वैसे, समय के साथ बारीकियाँ। चाहिएएक क्षण के पदनाम, समय पैमाने पर एक बिंदु और एक समय अंतराल के बीच अंतर करें - इस पैमाने पर शून्य और समय में एक क्षण के निर्दिष्ट बिंदु के बीच एक खंड। उदाहरण के लिए, जब वे उम्र के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब एक साथ होता हैआप कितने वर्ष जी चुके हैं, और यह कौन सा वर्ष है, जीवन के किस वर्ष में। लेकिन आपको वर्तमान समय पूछना होगा"ये वक़्त क्या है " (क्रमिक), और "कितनी देर" (मात्रात्मक) नहीं, क्योंकि "कितनी देर" कुछ प्रक्रियाओं की अवधि को संदर्भित करता है - खाना बनाना, चलना, आदि।