Piemērs ir kvadrātiskās formas reducēšana uz kanonisko formu. Kvadrātiskās formas reducēšana uz kanonisko formu

26.09.2019

Kvadrātisko formu samazināšana

Apskatīsim vienkāršāko un praksē visbiežāk izmantoto metodi kvadrātiskās formas reducēšanai uz kanoniskā forma, zvanīja Lagranža metode. Tas ir balstīts uz atlasi pilns kvadrāts kvadrātiskā formā.

Teorēma 10.1(Lagranža teorēma) Jebkura kvadrātiskā forma (10.1):

izmantojot nespeciālu lineāru transformāciju (10.4), var reducēt līdz kanoniskajai formai (10.6):

□ Teorēmas pierādīšanu veiksim konstruktīvā veidā, izmantojot Lagranža metodi pabeigtu kvadrātu identificēšanai. Uzdevums ir atrast nevienskaitļa matricu, lai lineārās transformācijas (10.4) rezultātā tiktu iegūta kanoniskās formas kvadrātiskā forma (10.6). Šī matrica tiks iegūta pakāpeniski kā noteikta veida īpaša veida matricu reizinājums.

1. punkts (sagatavojošs).

1.1. Izvēlēsimies no mainīgajiem vienu, kas ir iekļauts kvadrātformā kvadrātā un vienlaikus pirmajā pakāpē (sauksim to vadošais mainīgais). Pārejam pie 2. punkta.

1.2. Ja kvadrātiskajā formā nav vadošo mainīgo (visiem : ), tad izvēlamies mainīgo pāri, kuru reizinājums formā iekļauts ar koeficientu, kas nav nulle, un pārejam uz 3. darbību.

1.3. Ja kvadrātiskā formā nav pretēju mainīgo reizinājumu, tad šī kvadrātiskā forma jau ir attēlota kanoniskā formā (10.6). Teorēmas pierādījums ir pabeigts.

2. punkts (pilna kvadrāta izvēle).

2.1. Izmantojot vadošo mainīgo, mēs atlasām pilnu kvadrātu. Nezaudējot vispārīgumu, pieņemsim, ka galvenais mainīgais ir . Grupējot terminus, kas satur , mēs iegūstam

Ideāla kvadrāta izvēle ar mainīgo in , saņemam

Tādējādi, izolējot pilnu kvadrātu ar mainīgo, mēs iegūstam lineārās formas kvadrāta summu

kas ietver vadošo mainīgo un kvadrātveida formu no mainīgajiem , kurā galvenais mainīgais vairs nav iekļauts. Mainīsim mainīgos (ieviesīsim jaunus mainīgos)

mēs iegūstam matricu

() nevienskaitļa lineāra transformācija, kuras rezultātā kvadrātiskā forma (10.1) iegūst šādu formu

Ar kvadrātveida formu Darīsim tāpat kā 1. punktā.

2.1. Ja galvenais mainīgais ir mainīgais , varat to izdarīt divos veidos: vai nu atlasīt šim mainīgajam pilnu kvadrātu, vai veikt pārdēvēšana (pārnumerācija) mainīgie:

ar nevienskaitļa transformācijas matricu:

3. punkts (vadošā mainīgā izveidošana). Mēs aizstājam izvēlēto mainīgo pāri ar divu jaunu mainīgo summu un starpību, bet atlikušos vecos mainīgos aizstājam ar atbilstošiem jaunajiem mainīgajiem. Ja, piemēram, 1. punktā termins tika izcelts

tad atbilstošajai mainīgo maiņai ir forma

un kvadrātiskā formā (10.1) tiks iegūts vadošais mainīgais.

Piemēram, mainīgā aizstāšanas gadījumā:

šīs nevienskaitļa lineārās transformācijas matricai ir forma

Iepriekš minētā algoritma (1., 2., 3. punktu secīga piemērošana) rezultātā kvadrātveida forma (10.1) tiks reducēta uz kanonisko formu (10.6).

Ņemiet vērā, ka kvadrātveida formā veikto transformāciju rezultātā (izvēloties pilnu kvadrātu, pārdēvējot un izveidojot vadošo mainīgo), mēs izmantojām trīs veidu elementāras nevienskaitļa matricas (tās ir pārejas matricas no bāzes uz bāzi). Nepieciešamo nevienskaitļa lineārās transformācijas (10.4) matricu, saskaņā ar kuru formai (10.1) ir kanoniskā forma (10.6), iegūst, reizinot ierobežotu skaitu trīs veidu elementāras nevienskaitļa matricas. ■

Piemērs 10.2. Dodiet kvadrātveida formu

uz kanonisko formu ar Lagranža metodi. Norādiet atbilstošo nevienskaitļa lineāro transformāciju. Veikt pārbaudi.

Risinājums. Izvēlēsimies vadošo mainīgo (koeficientu). Grupējot terminus, kas satur , un izvēloties no tā pilnu kvadrātu, mēs iegūstam

kur norādīts

Mainīsim mainīgos (ieviesīsim jaunus mainīgos)

Veco mainīgo izteikšana jauno mainīgo izteiksmē:

mēs iegūstam matricu

220400 Algebra un ģeometrija Tolstikovs A.V.

Lekcijas 16. Bilineāras un kvadrātiskās formas.

Plānot

1. Bilineārā forma un tās īpašības.

2. Kvadrātiskā forma. Kvadrātiskās formas matrica. Koordinātu transformācija.

3. Kvadrātiskās formas reducēšana uz kanonisko formu. Lagranža metode.

4. Kvadrātisko formu inerces likums.

5. Kvadrātiskās formas reducēšana uz kanonisko formu, izmantojot īpašvērtības metodi.

6. Sudraba kritērijs kvadrātveida formas pozitīvai noteiktībai.

1. Analītiskās ģeometrijas un lineārās algebras kurss. M.: Nauka, 1984. gads.

2. Bugrovs Ya.S., Nikolsky S.M. Lineārās algebras un analītiskās ģeometrijas elementi. 1997. gads.

3. Voevodin V.V. Lineārā algebra.. M.: Nauka 1980.

4. Problēmu apkopošana koledžām. Lineārā algebra un matemātiskās analīzes pamati. Ed. Efimova A.V., Demidovičs B.P.. M.: Nauka, 1981.

5. Butuzovs V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Lineārā algebra jautājumos un uzdevumos. M.: Fizmatlit, 2001.

, , , ,

1. Bilineārā forma un tās īpašības.Ļaujiet V - n-dimensiju vektora telpa virs lauka P.

1. definīcija.Bilineāra forma, definēts uz V,šādu kartēšanu sauc g: V 2 ® P, kas katram pasūtītajam pārim ( x , y ) vektori x , y no ievieto V atbilst numuram no lauka P, apzīmēts g(x , y ), un lineāri katrā mainīgajā x , y , t.i. kam ir īpašības:

1) ("x , y , z Î V)g(x + y , z ) = g(x , z ) + g(y , z );

2) ("x , y Î V) ("a О P)g(a x , y ) = a g(x , y );

3) ("x , y , z Î V)g(x , y + z ) = g(x , y ) + g(x , z );

4) ("x , y Î V) ("a О P)g(x , a y ) = a g(x , y ).

1. piemērs. Jebkurš punktu produkts, kas definēts vektora telpā V ir bilineāra forma.

2 . Funkcija h(x , y ) = 2x 1 y 1 - x 2 y 2 +x 2 y 1 kur x = (x 1 ,x 2), y = (y 1 ,y 2)О R 2, bilineāra forma ieslēgta R 2 .

2. definīcija.Ļaujiet v = (v 1 , v 2 ,…, v n V.Bilineāras formas matricag(x , y ) attiecībā pret pamatuv sauc par matricu B=(b ij)n ´ n, kuras elementus aprēķina pēc formulas b ij = g(v i, v j):

3. piemērs. Bilineārā matrica h(x , y ) (skat. 2. piemēru) attiecībā pret bāzi e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) ir vienāds ar .

1. teorēma. ĻaujietX, Y - attiecīgi vektoru koordinātu kolonnasx , y pamatnēv, B - bilineāras formas matricag(x , y ) attiecībā pret pamatuv. Tad bilineāro formu var uzrakstīt kā

g(x , y )=X t BY. (1)

Pierādījums. No bilineārās formas īpašībām mēs iegūstam

3. piemērs. Bilineāra forma h(x , y ) (skat. 2. piemēru) var rakstīt formā h(x , y )=.

2. teorēma. Ļaujiet v = (v 1 , v 2 ,…, v n), u = (u 1 , u 2 ,…, u n) - divas vektortelpas bāzesV, T - pārejas matrica no bāzesv uz pamatuu. Ļaujiet B= (b ij)n ´ n Un AR=(ar ij)n ´ n - bilineārās matricasg(x , y ) attiecīgi attiecībā pret bāzēmv unu. Tad

AR=T t BT.(2)

Pierādījums. Pēc pārejas matricas un bilineārās formas matricas definīcijas mēs atrodam:

2. definīcija. Bilineāra forma g(x , y ) sauc simetrisks, Ja g(x , y ) = g(y , x ) jebkuram x , y Î V.

3. teorēma. Bilineāra formag(x , y )- simetrisks tad un tikai tad, ja bilineāras formas matrica ir simetriska attiecībā pret jebkuru pamatu.

Pierādījums.Ļaujiet v = (v 1 , v 2 ,…, v n) - vektoru telpas pamats V, B= (b ij)n ´ n- bilineāras formas matricas g(x , y ) attiecībā pret bāzi v.Ļaujiet veidot bilineāru g(x , y ) - simetrisks. Tad pēc definīcijas 2 jebkurai es, j = 1, 2,…, n mums ir b ij = g(v i, v j) = g(v j, v i) = b ji. Tad matrica B- simetrisks.

Un otrādi, ļaujiet matricai B- simetrisks. Tad Bt= B un jebkuriem vektoriem x = x 1 v 1 + …+ x n v n =vX, y = y 1 v 1 + y 2 v 2 +…+ g n v n =vY Î V, pēc formulas (1), iegūstam (ņemam vērā, ka skaitlis ir 1. kārtas matrica un transponēšanas laikā nemainās)

g(x , y ) =g(x , y )t = (X t BY)t = Y t B t X = g(y , x ).

2. Kvadrātiskā forma. Kvadrātiskās formas matrica. Koordinātu transformācija.

1. definīcija.Kvadrātiskā forma definēts V, sauc par kartēšanu f:V® P, kas jebkuram vektoram x no V nosaka vienlīdzība f(x ) = g(x , x ), Kur g(x , y ) ir simetriska bilineāra forma, kas definēta V .

1. īpašums.Saskaņā ar doto kvadrātisko formuf(x )bilineāro formu unikāli atrod pēc formulas

g(x , y ) = 1/2(f(x + y ) - f(x )-f(y )). (1)

Pierādījums. Jebkuriem vektoriem x , y Î V iegūstam no bilineārās formas īpašībām

f(x + y ) = g(x + y , x + y ) = g(x , x + y ) + g(y , x + y ) = g(x , x ) + g(x , y ) + g(y , x ) + g(y , y ) = f(x ) + 2g(x , y ) + f(y ).

No tā izriet formula (1).

2. definīcija.Kvadrātiskās formas matricaf(x ) attiecībā pret pamatuv = (v 1 , v 2 ,…, v n) ir atbilstošās simetriskas bilineāras formas matrica g(x , y ) attiecībā pret bāzi v.

1. teorēma. ĻaujietX= (x 1 ,x 2 ,…, x n)t- vektora koordinātu kolonnax pamatnēv, B - kvadrātveida formas matricaf(x ) attiecībā pret pamatuv. Tad kvadrātveida formaf(x )

Definīcija 10.4.Kanoniskais skats kvadrātveida formu (10.1) sauc par šādu formu: . (10.4)

Parādīsim, ka īpašvektoru bāzē kvadrātiskā forma (10.1) iegūst kanonisku formu. Ļaujiet

- normalizētie īpašvektori, kas atbilst īpašvērtībām λ 1 , λ 2 , λ 3 matricas (10.3) collas ortonormāls pamats. Tad pārejas matrica no vecā pamata uz jauno būs matrica

Jaunajā bāzē matrica A iegūs diagonālo formu (9.7) (pēc īpašvektoru īpašības). Tādējādi koordinātas pārveidojot, izmantojot formulas:

jaunajā bāzē iegūstam kvadrātiskās formas kanonisko formu ar koeficientiem, kas vienādi ar īpašvērtībām λ 1, λ 2, λ 3:

1. piezīme. C ģeometriskais punkts No skata viedokļa aplūkotā koordinātu transformācija ir koordinātu sistēmas pagriešana, apvienojot vecās koordinātu asis ar jaunajām.

2. piezīme. Ja kādas matricas (10.3) īpašvērtības sakrīt, mēs varam pievienot katrai no tām ortogonālu vienību vektoru atbilstošajiem ortonormālajiem īpašvektoriem un tādējādi izveidot bāzi, kurā kvadrātiskā forma iegūst kanonisko formu.

Ļaujiet mums pārvērst kvadrātisko formu kanoniskajā formā

x² + 5 y² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Tās matricai ir šāda forma 9. lekcijā aplūkotajā piemērā ir atrastas šīs matricas īpašvērtības un ortonormālie īpašvektori:

Izveidosim pārejas matricu uz bāzi no šiem vektoriem:

(vektoru secība tiek mainīta tā, lai tie veidotu labās puses trīskāršu). Pārveidosim koordinātas, izmantojot formulas:

Tātad kvadrātiskā forma tiek samazināta līdz kanoniskajai formai ar koeficientiem, kas vienādi ar kvadrātiskās formas matricas īpatnējām vērtībām.

11. lekcija.

Otrās kārtas līknes. Elipse, hiperbola un parabola, to īpašības un kanoniskie vienādojumi. Otrās kārtas vienādojuma reducēšana uz kanonisko formu.

Definīcija 11.1.Otrās kārtas līknes plaknē sauc par riņķveida konusa krustošanās taisnēm ar plaknēm, kas neiet cauri tā virsotnei.

Ja šāda plakne šķērso visas viena konusa dobuma ģenerācijas, tad griezumā izrādās elipse, abu dobumu ģenerātru krustpunktā – hiperbola, un ja griešanas plakne ir paralēla jebkuram ģeneratoram, tad konusa griezums ir parabola.

komentēt. Visas otrās kārtas līknes ir norādītas ar otrās pakāpes vienādojumiem divos mainīgajos.

Elipse.

Definīcija 11.2.Elipse ir plaknes punktu kopa, kurai ir attālumu summa līdz diviem fiksētiem punktiem F 1 un F trikiem, ir nemainīga vērtība.

komentēt. Kad punkti sakrīt F 1 un F 2 elipse pārvēršas aplī.

Atvasināsim elipses vienādojumu, izvēloties Dekarta sistēmu

y M(x,y) koordinātas tā, lai ass Ak sakrita ar taisnu līniju F 1 F 2, sākums

r 1 r 2 koordinātas – ar nogriežņa vidu F 1 F 2. Ļaujiet garumam šo

segments ir vienāds ar 2 Ar, tad izvēlētajā koordinātu sistēmā

F 1 O F 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0). Ļaujiet punktu M(x, y) atrodas uz elipses, un

attālumu summa no tā līdz F 1 un F 2 ir vienāds ar 2 A.

Tad r 1 + r 2 = 2a, Bet,

tādēļ, ieviešot apzīmējumu b² = a²- c² un pēc vienkāršu algebrisko transformāciju veikšanas iegūstam kanoniskais elipses vienādojums: (11.1)

Definīcija 11.3.Ekscentriskums elipses lielumu sauc par lielumu e=s/a (11.2)

Definīcija 11.4.Direktore D i elipse, kas atbilst fokusam F i F i attiecībā pret asi Ak perpendikulāri asij Ak attālumā a/e no izcelsmes.

komentēt. Izmantojot citu koordinātu sistēmas izvēli, elipsi var nenorādīt kanoniskais vienādojums(11.1), bet cita veida otrās pakāpes vienādojums.

Elipses īpašības:

1) Elipsei ir divas savstarpēji perpendikulāras simetrijas asis (elipses galvenās asis) un simetrijas centrs (elipses centrs). Ja elipse ir norādīta ar kanonisku vienādojumu, tad tās galvenās asis ir koordinātu asis, bet tās centrs ir sākuma punkts. Tā kā segmentu garumi, ko veido elipses krustošanās ar galvenajām asīm, ir vienādi ar 2 A un 2 b (2a>2b), tad galveno asi, kas iet cauri perēkļiem, sauc par elipses galveno asi, bet otro galveno asi sauc par mazo asi.

2) Visa elipse atrodas taisnstūrī

3) Elipses ekscentriskums e< 1.

Tiešām,

4) Elipses virzieni atrodas ārpus elipses (jo attālums no elipses centra līdz virzienam ir a/e, A e<1, следовательно, a/e>a, un visa elipse atrodas taisnstūrī)

5) Attāluma attiecība r i no elipses punkta līdz fokusam F i uz attālumu d i no šī punkta līdz fokusam atbilstošajam virzienam ir vienāds ar elipses ekscentriskumu.

Pierādījums.

Attālumi no punkta M(x, y) līdz elipses perēkļiem var attēlot šādi:

Izveidosim virziena vienādojumus:

(D 1), (D 2). Tad No šejienes r i / d i = e, kas bija tas, kas bija jāpierāda.

Hiperbola.

Definīcija 11.5.Hiperbola ir plaknes punktu kopa, kurai ir attālumu starpības modulis līdz diviem fiksētiem punktiem F 1 un F 2 no šīs lidmašīnas, sauc trikiem, ir nemainīga vērtība.

Atvasināsim kanonisko hiperbolas vienādojumu pēc analoģijas ar elipses vienādojuma atvasināšanu, izmantojot to pašu apzīmējumu.

|r 1 - r 2 | = 2a, no kurienes Ja apzīmējam b² = c² - a², no šejienes jūs varat iegūt

- kanoniskais hiperbolas vienādojums. (11.3)

Definīcija 11.6.Ekscentriskums hiperbolu sauc par lielumu e = c/a.

Definīcija 11.7.Direktore D i fokusam atbilstoša hiperbola F i, sauc par taisnu līniju, kas atrodas vienā pusplaknē ar F i attiecībā pret asi Ak perpendikulāri asij Ak attālumā a/e no izcelsmes.

Hiperbolas īpašības:

1) Hiperbolai ir divas simetrijas asis (hiperbolas galvenās asis) un simetrijas centrs (hiperbolas centrs). Šajā gadījumā viena no šīm asīm krustojas ar hiperbolu divos punktos, ko sauc par hiperbolas virsotnēm. To sauc par hiperbolas reālo asi (ass Ak koordinātu sistēmas kanoniskajai izvēlei). Otrai asij nav kopīgu punktu ar hiperbolu, un to sauc par tās iedomāto asi (kanoniskajās koordinātēs - ass Ak). Abās tā pusēs ir hiperbolas labās un kreisās puses zari. Hiperbolas perēkļi atrodas uz tās reālās ass.

2) Hiperbolas zariem ir divi asimptoti, ko nosaka vienādojumi

3) Kopā ar hiperbolu (11.3.) varam aplūkot tā saukto konjugēto hiperbolu, ko definē kanoniskais vienādojums

kurām reālā un iedomātā ass tiek apmainītas, saglabājot vienādas asimptotes.

4) Hiperbolas ekscentriskums e> 1.

5) Attāluma attiecība r i no hiperbolas punkta līdz fokusam F i uz attālumu d i no šī punkta līdz virzienam, kas atbilst fokusam, ir vienāds ar hiperbolas ekscentriskumu.

Pierādīšanu var veikt tāpat kā elipsi.

Parabola.

Definīcija 11.8.Parabola ir plaknes punktu kopa, kurai ir attālums līdz kādam fiksētam punktam Fšī plakne ir vienāda ar attālumu līdz kādai fiksētai taisnei. Punkts F sauca fokuss parabolas, un taisne ir tā direktore.

Lai iegūtu parabolas vienādojumu, mēs izvēlamies Dekarta vienādojumu

koordinātu sistēma, lai tās sākums būtu vidus

D M(x,y) perpendikulārs FD, izlaist no direktīvas uzmanības centrā

r su, a koordinātu asis atradās paralēli un

perpendikulāri režisoram. Ļaujiet segmenta garumam FD

D O F x ir vienāds ar r. Tad no vienlīdzības r = d no tā izriet

Algebriskās transformācijasšo vienādojumu var reducēt līdz formai: y² = 2 px, (11.4)

sauca kanoniskais parabolas vienādojums. Lielums r sauca parametrs parabolas.

Parabolas īpašības:

1) Parabolai ir simetrijas ass (parabolas ass). Punktu, kur parabola krustojas ar asi, sauc par parabolas virsotni. Ja parabolu uzrāda ar kanonisku vienādojumu, tad tās ass ir ass Ak, un virsotne ir koordinātu sākumpunkts.

2) Visa parabola atrodas plaknes labajā pusplaknē Ak!

komentēt. Izmantojot elipses un hiperbolas virzienu īpašības un parabolas definīciju, mēs varam pierādīt šādu apgalvojumu:

Plaknes punktu kopa, kurai ir attiecināma attiecība e attālums līdz kādam fiksētam punktam līdz attālumam līdz kādai taisnei ir nemainīga vērtība, tā ir elipse (ar e<1), гиперболу (при e>1) vai parabolu (ar e=1).

Saistītā informācija.

Dota kvadrātiskā forma (2) A(x, x) = , kur x = (x 1 , x 2 , …, x n). Apsveriet kvadrātveida formu telpā R 3, tas ir x = (x 1 , x 2 , x 3), A(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(mēs izmantojām formas simetrijas nosacījumu, proti A 12 = A 21 , A 13 = A 31 , A 23 = A 32). Izrakstīsim kvadrātiskās formas matricu A pamatā ( e}, A(e) =
. Mainoties bāzei, kvadrātiskās formas matrica mainās atbilstoši formulai A(f) = C t A(e)C, Kur C– pārejas matrica no bāzes ( e) uz pamatu ( f), A C t– transponētā matrica C.

Definīcija11.12. Tiek saukta kvadrātveida forma ar diagonālu matricu kanonisks.

Tātad ļaujiet A(f) =
, Tad A"(x, x) =
+
+
, Kur x" 1 , x" 2 , x" 3 – vektora koordinātas x jaunā pamatā ( f}.

Definīcija11.13. Ielaidiet iekšā n V tiek izvēlēts šāds pamats f = {f 1 , f 2 , …, f n), kurā kvadrātveida formai ir forma

A(x, x) =
+
+ … +
, (3)

Kur y 1 , y 2 , …, y n– vektora koordinātas x pamatā ( f). Izteiksme (3) tiek izsaukta kanoniskais skatījums kvadrātiskā forma. Koeficienti  1, λ 2, …, λ n tiek saukti kanonisks; sauc pamatu, kurā kvadrātveida formai ir kanoniskā forma kanoniskais pamats.

komentēt. Ja kvadrātveida forma A(x, x) tiek reducēts līdz kanoniskajai formai, tad, vispārīgi runājot, ne visi koeficienti  i atšķiras no nulles. Kvadrātiskās formas rangs ir vienāds ar tās matricas rangu jebkurā bāzē.

Ļaujiet ranga kvadrātveida forma A(x, x) ir vienāds r, Kur r ≤ n. Kvadrātiskās formas matricai kanoniskā formā ir diagonāla forma. A(f) =
, jo tā rangs ir vienāds r, tad starp koeficientiem  i tur jābūt r, nav vienāds ar nulli. No tā izriet, ka nulles kanonisko koeficientu skaits ir vienāds ar kvadrātiskās formas pakāpi.

komentēt. Lineāra koordinātu transformācija ir pāreja no mainīgajiem x 1 , x 2 , …, x n uz mainīgajiem y 1 , y 2 , …, y n, kurā vecie mainīgie tiek izteikti ar jauniem mainīgajiem ar dažiem skaitliskiem koeficientiem.

x 1 = α 11 y 1 + α 12 y 2 + … + α 1 n y n ,

x 2 = α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + … + α 2 n y n ,

………………………………

x 1 = α n 1 y 1 + α n 2 y 2 + … + α nn y n .

Tā kā katra bāzes transformācija atbilst nedeģenerētai lineārai koordinātu transformācijai, jautājumu par kvadrātiskās formas reducēšanu uz kanonisku formu var atrisināt, izvēloties atbilstošo nedeģenerēto koordinātu transformāciju.

Teorēma 11.2 (galvenā teorēma par kvadrātformām). Jebkura kvadrātiskā forma A(x, x), norādīts n-dimensiju vektoru telpa V, izmantojot nedeģenerētu lineāro koordinātu transformāciju, var reducēt līdz kanoniskajai formai.

Pierādījums. (Lagranža metode) Šīs metodes ideja ir secīgi papildināt katra mainīgā kvadrātisko trinomu līdz pilnīgam kvadrātam. Mēs to pieņemsim A(x, x) ≠ 0 un bāzē e = {e 1 , e 2 , …, e n) ir šāda forma (2):

A(x, x) =
.

Ja A(x, x) = 0, tad ( a ij) = 0, tas ir, forma jau ir kanoniska. Formula A(x, x) var pārveidot tā, lai koeficients a 11 ≠ 0. Ja a 11 = 0, tad cita mainīgā kvadrāta koeficients atšķiras no nulles, tad pārnumurējot mainīgos var nodrošināt, ka a 11 ≠ 0. Mainīgo lielumu pārnumerācija ir nedeģenerēta lineāra transformācija. Ja visi kvadrātveida mainīgo koeficienti ir vienādi ar nulli, tad nepieciešamās transformācijas iegūst šādi. Ļaujiet, piemēram, a 12 ≠ 0 (A(x, x) ≠ 0, tātad vismaz viens koeficients a ij≠ 0). Apsveriet transformāciju

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x i = y i, plkst i = 3, 4, …, n.

Šī transformācija nav deģenerēta, jo tās matricas determinants nav nulle
= = 2 ≠ 0.

Tad 2 a 12 x 1 x 2 = 2 a 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
, tas ir, formā A(x, x) uzreiz parādīsies divu mainīgo kvadrāti.

A(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Konvertēsim piešķirto summu formā:

A(x, x) = a 11
, (5)

savukārt koeficienti a ij mainīt uz . Apsveriet nedeģenerēto transformāciju

y 1 = x 1 + + … + ,

y 2 = x 2 ,

y n = x n .

Tad saņemam

A(x, x) =
. (6).

Ja kvadrātveida forma
= 0, tad jautājums par liešanu A(x, x) uz kanonisko formu ir atrisināta.

Ja šī forma nav vienāda ar nulli, tad atkārtojam argumentāciju, ņemot vērā koordinātu transformācijas y 2 , …, y n un nemainot koordinātu y 1. Ir skaidrs, ka šīs pārvērtības nebūs deģenerētas. Noteiktā soļu skaitā kvadrātiskā forma A(x, x) tiks samazināts līdz kanoniskajai formai (3).

komentēt 1. Nepieciešamā sākotnējo koordinātu transformācija x 1 , x 2 , …, x n var iegūt, reizinot spriešanas procesā atrastās nedeģenerētās transformācijas: [ x] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[t], tad [ x] = AB[z] = ABC[t], tas ir [ x] = M[t], Kur M = ABC.

komentēt 2. Ļaujiet A(x, x) = A(x, x) =
+
+ …+
, kur  i ≠ 0, i = 1, 2, …, r, un  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Apsveriet nedeģenerēto transformāciju

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y q = z q , y q +1 =
z q +1 , …, y r = z r , y r +1 = z r +1 , …, y n = z n. Tā rezultātā A(x, x) būs šādā formā: A(x, x) = + + … + – – … – ko sauc kvadrātiskās formas normālā forma.

Piemērs11.1. Samaziniet kvadrātisko formu līdz kanoniskajai formai A(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

Risinājums. Jo a 11 = 0, izmantojiet transformāciju

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x 3 = y 3 .

Šai transformācijai ir matrica A =
, tas ir [ x] = A[y] mēs saņemam A(x, x) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

Tā kā koeficients plkst nav vienāds ar nulli, mēs varam atlasīt viena nezināmā kvadrātu, lai tas būtu y 1. Ļaujiet mums atlasīt visus terminus, kas satur y 1 .

A(x, x) = 2(– 2y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

Veiksim transformāciju, kuras matrica ir vienāda ar B.

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

B =
, [y] = B[z].

Mēs saņemam A(x, x) = 2– 2–– 8z 2 z 3. Ļaujiet mums atlasīt terminus, kas satur z 2. Mums ir A(x, x) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.