Taisnas līnijas staru segmenta matemātiskā koncepcija. Vienkāršākās ģeometriskās figūras: punkts, taisne, segments, stars, lauzta līnija

28.09.2019

Punkts un taisne ir pamata ģeometriskās figūras plaknē.

Sengrieķu zinātnieks Eiklīds teica: "punkts" ir kaut kas, kam nav daļu. Vārds “punkts” tulkojumā no latīņu valodas nozīmē tūlītēja pieskāriena rezultāts, injekcija. Punkts ir jebkuras ģeometriskas figūras konstruēšanas pamats.

Taisne vai vienkārši taisne ir līnija, pa kuru attālums starp diviem punktiem ir mazākais. Taisne ir bezgalīga, un nav iespējams attēlot visu taisni un to izmērīt.

Punkti tiek apzīmēti ar lielajiem latīņu burtiem A, B, C, D, E utt., bet taisnas līnijas ar tiem pašiem burtiem, bet ar mazajiem burtiem a, b, c, d, e utt. Taisni var apzīmēt arī ar divi burti, kas atbilst punktiem, kas atrodas uz viņas. Piemēram, taisni a var apzīmēt ar AB.

Var teikt, ka punkti AB atrodas uz taisnes a vai pieder tai a. Un mēs varam teikt, ka taisne a iet caur punktiem A un B.

Vienšūņi ģeometriskas figūras plaknē tas ir segments, stars, lauzta līnija.

Nogrieznis ir līnijas daļa, kas sastāv no visiem šīs līnijas punktiem, ko ierobežo divi atlasīti punkti. Šie punkti ir segmenta beigas. Segmentu norāda, norādot tā galus.

Stars vai puslīnija ir līnijas daļa, kas sastāv no visiem šīs līnijas punktiem, kas atrodas noteiktā punkta vienā pusē. Šo punktu sauc par puslīnijas sākumpunktu vai stara sākumu. Staram ir sākuma punkts, bet gala nav.

Puslīnijas vai starus apzīmē ar diviem mazajiem latīņu burtiem: sākuma burtu un jebkuru citu burtu, kas atbilst punktam, kas pieder puslīnijai. Šajā gadījumā sākuma punkts tiek likts pirmajā vietā.

Izrādās, ka taisne ir bezgalīga: tai nav ne sākuma, ne beigu; staram ir tikai sākums, bet nav beigu, bet segmentam ir sākums un beigas. Tāpēc mēs varam izmērīt tikai segmentu.

Vairāki segmenti, kas ir secīgi savienoti viens ar otru tā, ka segmenti (kaimiņos), kuriem ir viens kopīgs punkts, neatrodas vienā taisnā līnijā, attēlo lauztu līniju.

Pārtraukta līnija var būt slēgta vai atvērta. Ja pēdējā segmenta beigas sakrīt ar pirmā segmenta sākumu, mums ir slēgta lauzta līnija, ja tā nav, tā ir atvērta līnija.

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Nodarbības laikā jūs iepazīsities ar plaknes jēdzienu, ar dažādām minimālajām figūrām, kas pastāv ģeometrijā, un pētīsiet to īpašības. Uzziniet, kas ir taisna līnija, segments, stars, leņķis utt.

Mēs attēlojam visas ģeometriskās figūras uz papīra lapas ar zīmuli, uz skolas tāfele krīts vai marķieris. Bieži vasarā uz asfalta ar krītu vai baltu oļu zīmējam figūriņas. Un vienmēr, pirms sākam zīmēt iecerēto, izvērtējam, vai mums pietiek vietas. Un tā kā mēs reti zinām precīzus sava nākotnes zīmējuma izmērus, mums vienmēr ir jāatņem vieta ar rezervi un vēlams ar lielu rezervi. Parasti mēs nebaidāmies, ka pietrūks vietas zīmēšanai, ja zīmējamais lauks ir daudzkārt lielāks nekā pats zīmējums. Tātad asfalta pagalmā pietiek, lai izveidotu lēcienu laukumu. Piezīmju grāmatiņas lapa pietiekami, lai vidū uzzīmētu divus krustojošus segmentus.

Matemātikā lauks, uz kura mēs visu attēlojam, ir plakne (1. att.).

Rīsi. 1. Lidmašīna

Viņai ir divas īpašības:

1. Uz tā varat attēlot jebkuru figūru, par kuru mēs jau esam runājuši vai runāsim vēlreiz.

2. Mēs nesasniegsim malu. Tās izmērus var uzskatīt par daudz lielākiem nekā attēla izmēri.

To, ka mēs nekad nesasniedzam plaknes malu, var saprast kā malu neesamību vispār. Mums nav vajadzīgas tās malas, tāpēc mēs vienojāmies pieņemt, ka tās neeksistē (2. att.).

Rīsi. 2. Plakne ir bezgalīga

Šajā ziņā plakne ir bezgalīga jebkurā virzienā.

Mēs to varam uzskatīt par liela lapa papīrs, liels līdzens asfalta laukums vai milzīgs rasējamais dēlis.

Ģeometrisko formu ir bezgalīgi daudz, un ir absolūti neiespējami tās visas izpētīt. Bet ģeometrija darbojas līdzīgi kā konstrukcijas komplekts. Ir vairāki pamata daļu veidi, no kuriem var uzbūvēt visu pārējo, jebkuru sarežģītāko ēku.

Šo principu var salīdzināt ar vārdiem un burtiem: mēs zinām visus burtus, bet mēs nezinām visus vārdus. Sastopoties ar nepazīstamu vārdu, mēs varam to izlasīt, jo zinām, kā tiek rakstīti burti un kā tiek izrunātas atbilstošās skaņas.

Tas pats ir matemātikā - ir ļoti maz ģeometrisko pamatfigūru, kas jums un man ir labi jāzina.

Apskatīsim segmentu (3. att.). Segments ir īsākā līnija, kas savieno divus punktus.

Rīsi. 3. Segmentēt

Turpināsim segmentu abos virzienos līdz bezgalībai. Mēs arī turpināsim taisni uz priekšu.

Ko nozīmē “taisni”? Apskatīsim segmentus un (4. att.).

Rīsi. 4. Segmenti un

Turpināsim tos abos virzienos. Augšējā līnija ir taisna, bet apakšējā līnija nav (5. att.).

Augšējai un apakšējai rindai pievienosim vēl vienu punktu (6. att.). Augšējās līnijas daļa starp punktiem un ir arī segments, bet apakšējās līnijas daļa starp punktiem un segmentu nav, jo tā nesavieno šos punktus pa īsāko ceļu.

Rīsi. 6. Līniju turpinājums un

Taisne ir līnija, kas turpinās bezgalīgi abos virzienos, un jebkura tās daļa, kuru ierobežo divi punkti, ir nogrieznis.

Taisne ir līnijas veids, un, tāpat kā jebkura līnija, taisne ir skaitlis. Un, tāpat kā jebkurai taisnei, dots punkts vai nu pieder noteiktai taisnei, vai nepieder (7. att.).

Rīsi. 7. Punkti un piederība taisnei, un punkti un kas nepieder pie taisnes

1. Taisne sadala plakni divās daļās, divās pusplaknēs. 8. attēlā punkti un atrodas vienā pusplaknē, un un - dažādās pusplaknēs.

Rīsi. 8. Divas pusplaknes

2. Jūs vienmēr varat novilkt taisnu līniju caur diviem punktiem un tikai vienu (9. att.).

Taisnu līniju, tāpat kā jebkuru līniju, var atzīmēt ar vienu latīņu alfabēta mazo burtu vai punktu secību, kas atrodas uz tā. Lai norādītu līniju caur punktiem, kas atrodas uz tās, pietiek ar diviem punktiem.

Paplašinot segmentu abos virzienos līdz bezgalībai, mēs ieguvām taisnu līniju. Ja arī pagarinām segmentu, bet tikai vienā virzienā līdz bezgalībai, iegūstam figūru, ko sauc par staru (10. att.). Šis ģeometriskais stars ir ļoti līdzīgs gaismas staram, tāpēc to tā sauc. Ja paņemat lāzera rādītāju, gaismas stars sāksies no rādītāja un virzīsies līdz bezgalībai taisnā līnijā.

Rīsi. 10. Sija

Punktu sauc par stara sākumu. Ir norādīts stars.

Ja jūs atzīmējat punktu uz taisnes, tad tas sadala šo taisni divos staros (11. att.). Abi stari rodas punktā, bet ir vērsti dažādos virzienos. Šie divi stari veido taisnu līniju un ir tās puses. Tāpēc staru kūli bieži sauc arī par “pustiešu”.

Rīsi. 11. Punkts sadala taisni divos staros

Apsveriet 12. attēlu.

Rīsi. 12. Segments, taisne un stars

Izdomāsim, kā segments, taisne un stars ir līdzīgi un atšķirīgi viens otram:

Segmentu un siju var viegli nokomplektēt līdz taisnai līnijai, segmentu nepieciešams pagarināt abos virzienos, bet siju vienā virzienā;

Jūs vienmēr varat atlasīt segmentu vai staru taisnā līnijā;

Punkts sadala līniju divos staros, divās puslīnijās;

Punkti un robeža taisnā segmentā;

Visi šie skaitļi: segments, stars, taisne ir “taisnes līnijas”. Tie atšķiras ar galu klātbūtni. Segmentam ir divi, staram ir viens, un taisnei nav neviena. Vēl viens veids, kā to izteikt, ir šāds: gan stars, gan segments ir daļa no taisnas līnijas;

Mēs zinām, ka segmenta garumu var izmērīt. Var salīdzināt divus segmentus, lai noskaidrotu, kurš no tiem ir garāks;

Taisne turpinās bezgalīgi abos virzienos, stars turpinās vienā virzienā. Šī iemesla dēļ nav iespējams izmērīt taisnas līnijas vai sijas garumu, kā arī nav iespējams salīdzināt divu taisnu līniju vai divu staru garumu. Viņi visi ir vienlīdz bezgalīgi.

Divi stari, kuru izcelsme ir vienā punktā, veido vēl vienu ģeometrisku figūru no galvenās kopas - leņķi. Punktu abu staru sākumā sauc par leņķa virsotni. Pašus starus sauc par leņķa malām.

Tātad leņķis ir figūra, kas sastāv no diviem stariem, kas izplūst no viena punkta (13. att.).

Rīsi. 13. Leņķis

Leņķi apzīmē ar vienu burtu, kas atbilst virsotnes apzīmējumam. IN šajā gadījumā leņķi var saukt par leņķi (14. att.). Lai būtu skaidrs, ka mēs runājam par leņķi, nevis punktu, pirms tā nosaukuma ir jāraksta vārds “leņķis” vai jāievieto īpaša leņķa zīme (“”).

Rīsi. 14. Leņķis

Ja pēc virsotnes ir grūti saprast, par kuru leņķi ir runa, kā 15. attēlā, tad izmantojiet vēl divus punktus abās leņķa pusēs.

Ja vienkārši nosaucam leņķi šajā attēlā, nav skaidrs, par kuru ir runa, jo ar virsotni kādā punktā mēs redzam vairākus leņķus. Tāpēc mums vajadzīgā leņķa malām pievienosim punktu un apzīmēsim leņķi kā (15. att.).

Rīsi. 15.Leņķis

Apzīmējot, var iet pretējā virzienā, bet tā, lai virsotne atkal nonāktu apzīmējuma vidū.

Vēl viens izplatīts apzīmējums ir ar vienu grieķu burtu: alfa, beta, gamma un tā tālāk (16. att.). Šajā gadījumā burtu parasti raksta stūra iekšpusē (17. att.).

Rīsi. 16.Grieķu alfabēts

Rīsi. 17. Leņķa iekšpusē ierakstīts leņķa nosaukums

Tātad 18. attēlā apzīmējumi , , ir līdzvērtīgi un apzīmē to pašu leņķi.

Rīsi. 18... - tas pats leņķis

Ļaujiet divām taisnēm krustoties punktā (19. att.). Punkts katru līniju sadala divos staros, tas ir, kopā 4 staros. Katrs staru pāris nosaka leņķi.

Rīsi. 19. Iztaisnojiet un veidojiet 4 sijas

Piemēram, , , .

Caur diviem punktiem jūs vienmēr varat novilkt taisnu līniju. Vai tas tā ir ar trim punktiem?

20. attēlā var novilkt taisnu līniju cauri trim punktiem, bet 21. attēlā nevar.

Rīsi. 20. Caur trim punktiem var novilkt taisnu līniju

Rīsi. 21. Nevar novilkt taisnu līniju caur trim punktiem

Tiek uzskatīts, ka trīs punkti attēlā atrodas uz vienas taisnes. Tas tiek teikts pat tad, ja pati taisnā līnija nav novilkta, vienkārši norādot, ka to var novilkt. Otrajā gadījumā viņi saka, ka punkti neatrodas uz vienas līnijas, kas nozīmē, ka nav iespējams novilkt līniju cauri visiem trim punktiem.

Ja secīgi savienojam vispirms 1. un 2. punktu, tad 2. un 3., tad iegūto līniju sauc par lauztu līniju (22. att.). Nosaukums izriet no tā izskata.

Rīsi. 22.Salauzts

Līdzīgi kā polilīnijā, jūs varat savienot jebkuru punktu skaitu. Punktus , , , , sauc par lauztās līnijas virsotnēm, segmentus , , , par lauztās līnijas saitēm.

Lauztu līniju norāda tās virsotnes.

Rīsi. 23.Salauzts

Ja pēdējais punkts ir savienots ar pirmo, tad iegūto pārtraukto līniju sauc par slēgtu (24. att.).

Rīsi. 24.Slēgta polilīnija

Ar kādu polilīniju var konstruēt minimālais komplekts virsotnes un saites? Ja ir divi punkti, tad tos var savienot ar segmentu. Tas būs visvairāk vienkāršs piemērs lauzta līnija: divas virsotnes un viena saite, kas tās savieno. Mēs varam teikt, ka segments ir minimāla lauzta līnija.

Ja tiek prasīts, lai lauztā līnija būtu aizvērta, tad vienkāršākā šāda lauzta līnija būs trīsstūris. Ja ņemat divus punktus, tad pēdējo punktu ar pirmo var savienot tikai ar to pašu segmentu, kas jau pastāv. Tas ir, lauztā līnija tāpat kā iepriekš paliks atvērta. Un, ja pievieno vēl vienu punktu, kas neatrodas vienā taisnē ar punktiem un , savieno visus punktus ar trim segmentiem, iegūst trīsstūri (25. att.).

Rīsi. 25.Trijstūris

Trijstūris ir slēgta lauzta līnija ar trim virsotnēm. Vai pat šādi: trijstūris ir minimāla slēgta lauzta līnija.

Punkti , Un ir trijstūra virsotnes. Tos savienojošos segmentus, lauztās līnijas saites, sauc par trijstūra malām.

Trīsstūri apzīmē ar tā virsotnēm. Piemēram, . Pirms apzīmējuma jāievieto vārds “trijstūris” vai īpašs trīsstūra simbols (“”).

Trīsstūris nozīmē trīs leņķus. No katras virsotnes izplūst divas malas, tas ir, trijstūra malas ir leņķu malas (26. att.).

Rīsi. 26.Trijstūra leņķi

Tādējādi trīsstūrim ir trīs virsotnes (trīs punkti un), trīs malas (trīs segmenti un).

Punkts un taisne ir pamata ģeometriskās figūras plaknē.

Taisne vai vienkārši taisne ir līnija, pa kuru attālums starp diviem punktiem ir mazākais. Taisne ir bezgalīga, un nav iespējams attēlot visu taisni un to izmērīt.

Var teikt, ka punkti AB atrodas uz taisnes a vai pieder tai a. Un mēs varam teikt, ka taisne a iet caur punktiem A un B.

Vienkāršākās ģeometriskās figūras plaknē ir segments, stars, lauzta līnija.

Nogrieznis ir līnijas daļa, kas sastāv no visiem šīs līnijas punktiem, ko ierobežo divi atlasīti punkti. Šie punkti ir segmenta beigas. Segmentu norāda, norādot tā galus.

Izrādās, ka taisne ir bezgalīga: tai nav ne sākuma, ne beigu; staram ir tikai sākums, bet nav beigu, bet segmentam ir sākums un beigas. Tāpēc mēs varam izmērīt tikai segmentu.

Vairāki segmenti, kas ir secīgi savienoti viens ar otru tā, ka segmenti (kaimiņos), kuriem ir viens kopīgs punkts, neatrodas vienā taisnā līnijā, attēlo lauztu līniju.

Pārtraukta līnija var būt slēgta vai atvērta. Ja pēdējā segmenta beigas sakrīt ar pirmā segmenta sākumu, mums ir slēgta lauzta līnija, ja tā nav, tā ir atvērta līnija.

blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.

Punkts ir abstrakts objekts, kam nav mērīšanas īpašību: nav augstuma, nav garuma, nav rādiusa. Uzdevuma ietvaros svarīga ir tikai tā atrašanās vieta

Punktu norāda ar ciparu vai lielo (lielo) latīņu burtu. Vairāki punkti – dažādi cipari vai dažādos burtos lai tās varētu atšķirt

punkts A, punkts B, punkts C

A B C

1. punkts, 2. punkts, 3. punkts

1 2 3

Jūs varat uz papīra uzzīmēt trīs punktus “A” un aicināt bērnu novilkt līniju caur diviem punktiem “A”. Bet kā saprast caur kurām? A A A

Līnija ir punktu kopa. Tiek mērīts tikai garums. Tam nav platuma vai biezuma

Apzīmēts ar mazajiem (mazajiem) latīņu burtiem

līnija a, līnija b, līnija c

a b c

Līnija var būt

slēgts, ja tā sākums un beigas atrodas vienā punktā,
atvērt, ja tā sākums un beigas nav savienoti

slēgtas līnijas

atvērtās līnijas

Jūs izgājāt no dzīvokļa, veikalā nopirkāt maizi un atgriezāties dzīvoklī. Kādu līniju tu dabūji? Pareizi, slēgts. Jūs esat atgriezies savā sākuma punktā. Jūs izgājāt no dzīvokļa, veikalā nopirkāt maizi, iegājāt ieejā un sākāt runāt ar savu kaimiņu. Kādu līniju tu dabūji? Atvērt. Jūs neesat atgriezies savā sākuma punktā. Jūs izgājāt no dzīvokļa un veikalā nopirkāt maizi. Kādu līniju tu dabūji? Atvērt. Jūs neesat atgriezies savā sākuma punktā.

paši krustojas
bez sevis krustojumiem

paškrustojošas līnijas

līnijas bez paškrustojumiem

taisni
salauzts
greizs

taisnas līnijas

lauztas līnijas

izliektas līnijas

Taisne ir līnija, kas nav izliekta, tai nav ne sākuma, ne beigu, to var turpināt bezgalīgi abos virzienos

Pat tad, ja ir redzams neliels taisnes posms, tiek pieņemts, ka tā turpinās bezgalīgi abos virzienos

Apzīmēts ar mazo (mazo) latīņu burtu. Vai divi lielie (lielie) latīņu burti - punkti, kas atrodas uz taisnas līnijas

taisna līnija a

taisne AB

Tiešs var būt

krustojas, ja tiem ir kopīgs punkts. Divas līnijas var krustoties tikai vienā punktā.
- perpendikulāri, ja tie krustojas taisnā leņķī (90°).
Paralēli, ja tie nekrustojas, tiem nav kopīga punkta.

paralēlas līnijas

krustojošās līnijas

perpendikulāras līnijas

Stars ir taisnas līnijas daļa, kurai ir sākums, bet nav beigu, to var turpināt bezgalīgi tikai vienā virzienā

Attēlā redzamā gaismas stara sākumpunkts ir saule.

Sv

Punkts sadala taisni divās daļās - divos staros A A

Staru apzīmē ar mazo (mazo) latīņu burtu. Vai divi lielie (lielie) latīņu burti, kur pirmais ir punkts, no kura sākas stars, bet otrais ir punkts, kas atrodas uz stara

stars a

sija AB

Stari sakrīt, ja

atrodas tajā pašā līnijā,
sākt vienā punktā
vērsta vienā virzienā

stari AB un AC sakrīt

stari CB un CA sakrīt

C B A

Nogrieznis ir līnijas daļa, kuru ierobežo divi punkti, tas ir, tai ir gan sākums, gan beigas, kas nozīmē, ka tā garumu var izmērīt. Segmenta garums ir attālums starp tā sākuma un beigu punktu

Caur vienu punktu jūs varat novilkt jebkuru līniju skaitu, ieskaitot taisnas līnijas

Caur diviem punktiem - neierobežots skaits līkumu, bet tikai viena taisne

izliektas līnijas, kas iet caur diviem punktiem

taisne AB

No taisnes tika “nogriezts” gabals un palika segments. Iepriekš redzamajā piemērā var redzēt, ka tā garums ir mazākais attālums starp diviem punktiem. ✂ B A ✂

Segmentu apzīmē ar diviem lielajiem (lielajiem) latīņu burtiem, kur pirmais ir punkts, kurā segments sākas, bet otrais ir punkts, kurā segments beidzas.

segments AB

Problēma: kur ir līnija, stars, segments, līkne?

Pārrauta līnija ir līnija, kas sastāv no secīgi savienotiem segmentiem, kas nav 180° leņķī

Garš segments tika “sadalīts” vairākos īsos

Pārtrauktās līnijas posmi (līdzīgi ķēdes posmiem) ir segmenti, kas veido lauzto līniju. Blakus esošās saites ir saites, kurās vienas saites beigas ir citas saites sākums. Blakus esošās saites nedrīkst atrasties uz vienas taisnas līnijas.

Pārrautas līnijas virsotnes (līdzīgi kalnu virsotnēm) ir punkts, no kura sākas lauztā līnija, punkti, kuros ir savienoti segmenti, kas veido lauzto līniju, un punkts, kurā lauztā līnija beidzas.

Lauzīta līnija tiek apzīmēta, uzskaitot visas tās virsotnes.

lauzta līnija ABCDE

polilīnijas A virsotne, polilīnijas B virsotne, polilīnijas C virsotne, polilīnijas D virsotne, polilīnijas E virsotne

bojāta saite AB, bojāta saite BC, bojāta saite CD, bojāta saite DE

saite AB un saite BC atrodas blakus

saite BC un saites CD atrodas blakus

saites CD un saite DE atrodas blakus

A B C D E 64 62 127 52

Pārrautas līnijas garums ir tās saišu garumu summa: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Uzdevums: kura pārtrauktā līnija ir garāka, A kam ir vairāk virsotņu? Pirmajā rindā ir visas vienāda garuma saites, proti, 13 cm. Otrajā rindā ir visas vienāda garuma saites, proti, 49 cm. Trešajā rindā ir visas vienāda garuma saites, proti, 41 cm.

Daudzstūris ir slēgta polilīnija

Daudzstūra malas (izteicieni palīdzēs atcerēties: “iet visos četros virzienos”, “skrien uz māju”, “kurā galda pusē sēdēsi?”) ir lauztas līnijas saites. Daudzstūra blakus esošās malas ir lauztas līnijas blakus esošās saites.

Daudzstūra virsotnes ir lauztas līnijas virsotnes. Blakus esošās virsotnes ir daudzstūra vienas malas galapunkti.

Daudzstūris tiek apzīmēts, uzskaitot visas tā virsotnes.

slēgta polilīnija bez paškrustošanās, ABCDEF

daudzstūris ABCDEF

daudzstūra virsotne A, daudzstūra virsotne B, daudzstūra virsotne C, daudzstūra virsotne D, daudzstūra virsotne E, daudzstūra virsotne F

virsotne A un virsotne B atrodas blakus

virsotne B un virsotne C atrodas blakus

virsotne C un virsotne D atrodas blakus

virsotne D un virsotne E atrodas blakus

virsotne E un virsotne F atrodas blakus

virsotne F un virsotne A atrodas blakus

daudzstūra mala AB, daudzstūra mala BC, daudzstūra mala CD, daudzstūra mala DE, daudzstūra mala EF

puse AB un mala BC atrodas blakus

sānu BC un sānu CD atrodas blakus

Blakus atrodas CD puse un DE puse

mala DE un mala EF atrodas blakus

sānu EF un sānu FA atrodas blakus

A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Daudzstūra perimetrs ir lauztās līnijas garums: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Daudzstūri ar trim virsotnēm sauc par trīsstūri, ar četrām - par četrstūri, ar piecām - par piecstūri utt.